1

Intégration numérique garantie de systèmes décrits par des équations différentielles non-linéaires

Application à l'estimation garantie d'état et de paramètres dans un contexte à erreur bornée.

T. RAISSI, N. RAMDANI et Y.CANDAU

Centre d’Etude et de Recherche en Thermique, Energétique et Systèmes Université Paris XII-Val de Marne, Créteil.

Centre d’Etudeset de Recherche en T hermique

Energétique et S ystèmes

C E R T E S

Groupe identification 26 Septembre 2002

2

Plan

- Introduction- Rappel sur le développement de Taylor (pour les intervalles)- Application à l’estimation d’état pour les systèmes continus- Estimation de paramètres

- Conclusions et perspectives

3

Estimation d’état : cas discret

x(k+1) = )(),( kukxf y(k) = g(x(k), u(k)) x(0) = x0

x IRn : vecteur d’état à estimer

y IRm : vecteur des mesures (sortie)

Deux types d’estimateur :

Estimateur causal (on n’a que les mesures des instants précédents)

Estimateur non causal ( on a toutes les mesures)

4

Estimateur causal (Jaulin et al. 2001)

fx(0

)x(1)

x(n)

y(1)

g

y(n)

g

On attribue un domaine a priori pour l’état à chaque instant, puis on fait une propagation dans le sens direct

on trouve l’ensemble des valeurs de l’état qui sont cohérentes avec les mesures

5

Algorithme State_estimation(Jaulin et al., 2001)

Entrée : [x(0)]

Pour k = 1 à N,

la mesure [y(k)] est disponible

[x](k) = f([x(k-1)]) g-1([y(k)])

Sortie : [x(1)], [x(2)] … [x(N)]

C’est un estimateur à deux étapes: prédiction et correction

6

Systèmes continus

=x )(),( tutxf y = g(x(t), u(t)) x(t0) = x0

Calcul Symbolique Solution explicite

Inversion ensembliste

(SIVIA, CSP,…)

Généralement, PAS de solution EXPLICITE pour les systèmes non-linéaires

7

=x )(txf y = g(x(t)) x(t0) = x0

Intégration de fx(0

)x(1)

x(n)

y(1)

g

y(n)

g

Pour estimer l’état à des instants définis, il faut intégrer numériquement l’équation d’état

Systèmes continus : suite

8

Outils Mathématiques(Développement de Taylor: Rappel)

1

1

K

i

Si : IRn IRm CK dans un voisinage D d’un vecteur de réels a

Alors x D,

(x) = (a) + (i)(a) + rK(x)!

)(

p

ax p

9

Application à l’intégration de l’équation d’état

=x )(txf

x(t0) = x0

Avec : h = tj+1 - tj

x(tj+1) = x(tj) +

1

0

k

ihi x[i](x(tj)) + hk x[k]( )jx~Taylor

x[i] : le ième coefficient de Taylor

x[i] = i

i

t

x

i

!

1

Si f : IRn IRm est de classe Ck

10

t

x

x[1] = = f(x) = f[1]

t

x

x[2] = 2

2

2

1

t

x

= ( ) = (f(x)) = = J(f[1])f = f[2]

t

2

1

t

x

x

f

]1[

2

1

t

2

1

2

1

Calcul explicite des coefficients de Taylor

Méthode récursive pour calculer les coefficients de Taylor

t

x

i

)!1(

1x[i] = i

i

t

x

i

!

1= ( ) = (f[i-1]) =

ti 1

t

x

x

f

i

i

]1[1

ti 1

= = f[i]ffJi

i )(1 ]1[ f[i]

A chaque pas, calcul du jacobien du coefficient précédent

11

Développement de Taylor(version Intervalles)

=x )(txf

x(t0) = [x0]

Ce calcul se fait en 2 étapes :

1) Trouver un encadrement a priori de la solution qui garantit que: t [tj, tj+1], xt [ ]

2) Utiliser un développement de Taylor pour réduire cet encadrement

Améliorer la qualité de la solution

jx~

12

Intégration des équations d’état

Calcul d’une solution a priori contenant de manière garantie la solution exacte: Théorème du point fixe + l’opérateur de Picard Lindelöf (Nedialkov, 1997)

Tel que : [xj] + f([w])[0,h] [w]

Pour faire le développement de Taylor (intervalle) on remplace chaque occurrence de x par un intervalle [x] :

[x(tj+1)] = [x(tj)] +

1

0

k

i hi f[i] ([x(tj)]) + hk f[k]([ ])jx~

Trouver [w]

Problème de surestimation

w([xj+1])=w([xj])+ hi w(f[i] ([x(tj)])) +w( f[k]([ ])) ≥ w([xj])jx~

1

0

k

i

13

Valeur Moyenne

x, y [a],

(y) (x) + ’([a])([a] – x) : forme moyenne

: IRn IR, une fonction dérivable dans un domaine [a]

i-ème coefficient de Taylor avec la forme moyenne :

jx̂ [xj] qui peut être le milieu de [xj]

jx̂ jx̂f[i] ([xj]) f[i]( ) + J(f[i], )([xj] - ), jx̂ i = 1,…,k

14

Taylor + forme moyenne(Nedialkov et Al. 1997)

Développement de Taylor pour l’état x avec la forme moyenne pour les coefficients de Taylor :

jx̂

+

jx̂ jx~

jx̂

[xj+1] = +

1

0

k

ihi f[i] ( ) + hkf[k]( )

I + hjJ(f[i],[xj])([xj] - )

1

0

k

i

= [Vj+1] + [Sj]([xj] - ) jx̂

jx̂jx~hi f[i] ( ) + hkf[k]( ) [Vj+1] = +

1

0

k

ijx̂

[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])

1

0

k

i

C’est une méthode directe pour intégrer une équation différentielle

15

Algorithme de la méthode directe

[xj+1] = [Vj+1] + [Sj]([xj] - ) jx̂

Entrées : [x0], h

pour j = 1 à N, calculer :

Sorties : [x1], [x2],…, [xN]

jx̂

1

0

k

i

hi f[i] ( ) + hkf[k]([ ] ) [Vj+1] = +

1

0

k

ijx̂

[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])

jx~

16

Inconvénient : surestimation

[x1] = [V1] + [S0]([x0] - ) 0x̂

[x2] = [V2] + [S1]([x1] - ) 1x̂

[x2] = [V2] + [S1]([V1] - ) + 1x̂ [S1]([S0]([x0] - ) 0x̂

[xj+1] = [Vj+1] + [Sj]([Vj] - ) + jx̂ [Sj]([Sj-1]([Vj-1] - ) 1ˆ jx

+ + [Sj]([Sj-1]([Sj-2](…([S0]([x0] - ) 0x̂w([Sj]([Sj-1]([Sj-2](…([S0]([x0] - )) >>0x̂ w(([Sj][Sj-1][Sj-2]…[S0])([x0] - ) )0x̂

Une grande surestimation introduite à chaque pas

17

Méthode de la valeur moyenne étendue

(Rihm, 1994)Initialisation : [x0], [p0], A0 = I

Pour j = 1 à N, calculer :

1) Un encadrement à priori [ ] pour la solution

2)

jx~

jx̂jx~hi f[i] ( ) + hkf[k]( ) [Vj+1] = +

1

0

k

ijx̂

[Sj] = I + hjJ(f[i],[xj])

[qj+1] = ([Sj]Aj)[pj] + [Sj]([Vj] - )

1

0

k

i

jx̂

[xj+1] = [Vj+1] + [qj+1]

jx̂

Sorties : x1, x2, …, xN

[pj+1] = ( ([Sj]Aj)[pj] + ( [Sj])([Vj] - )11

jA 1

1jA

18

Application à l’estimation d’état

Deux étapes à chaque pas : Prédiction et Correction

Algorithme

Entrées : [x0] , [p0], A = I

Pour j = 1 à N

1) Etape de prédiction : calculer [xj+1] par Intégration de f avec la Méthode de la valeur moyenne étendue

2) Etape de correction :

[xj+1] = [xj+1] g-1([yj+1])

Sorties : [x1], [x2], … , [xN]

19

Exemple (Lotka-Volterra)

2x

= (1 – 0.01 x2)x1

= (-1 + 0.002x1)x2

1x

y = x1(t) + x(t0) = [x0]

[x(t0)] = [49, 51][49, 51]

h = 0.005

Bruit numérique de 5% de la mesure

Modèle de Taylor d’ordre 4

Nombre de pas N = 1400

20

Résultats

Sans mesures Avec mesure

Les mesures permettent de réduire le phénomène d’enveloppement

Prédiction assez bonne

21

Estimation de paramètres

=x ptxf ),( y = g(x(t), p) x(t0) = x0

Estimation des paramètres p : trouver l’ensemble des paramètres tel que le système précédent possède une solution

IP = {p IRnp | t IR, g(x(t,p)) [y(t)] }

Trouver l’ensemble des paramètres qui sont cohérents avec les mesures et avec l’état prédit

Soit param_estimation_test un test qui peut prendre trois valeurs { vrai, faux, indéterminé}

Vrai : Si g(x,p) [y]

Faux : Si g(x,p) [y] =

Indéterminé sinon

param_estimation_test

22

Algorithme Parameter estimation( SIVIA, Jaulin et al. 1993)

Entrées : f, g, [p], , [x0], [y1], [y2], …,[yN]

1) Si param_estimation_test (p) = faux; fin // [p] n’est pas une

solution

2) Si param_estimation_test (p) = vrai

IPin [p] ;

3) Si w(p) <

IPind [p]

4) bissecter ([p] en [p1] et [p2]) et aller à 1)

Sorties : IPin , IPout = IPin IPind

23

2x

= (1 – p1 x2)x1

= (-1 + p2x1)x2

1x

y = x1(t)) + x(t0) = [x0]

[x(t0)] = [49, 51][49, 51]

h = 0.005

[p0] = [-1,1][-1,1]

Exemple

Erreur maximale de 5%

24

Conclusions

Résolution des équations différentielles à l’aide du développement

de Taylor

Application à l’estimation d’état dans le cas des systèmes continus :

des résultats relativement corrects si on fait attention au phénomène

de surestimation.

Faisabilité de l’estimation de paramètres sans discrétisation de

l’équation d’état grâce à une intégration numérique garantie de

l’équation d’état

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Perspectives

On propose de réaliser un estimateur non causal pour réduire l’effet

de surestimation en utilisant des techniques de propagation de

contraintes

Appliquer ces algorithmes pour l’estimation de paramètres

thermiques