1 Les ensembles 2016. 9. 5. · 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Déﬁnition d’un ensemble Déﬁnition 1. Un ensemble

2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22

ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES

1 Les ensembles

1.1 Définition d’un ensemble

Définition 1. Un ensemble est une collection d’objets mathématiques. Les objets qui appartiennent à unensemble sont appelés les éléments de cet ensemble.

Exemple

Notons E est l’ensemble des nombres entiers pairs compris entre 0 et 10. Alors les éléments de E sont 0, 2, 4,6, 8 et 10. On écrit E = {0,2,4,6,8,10}.

Pour dire qu’un objet mathématique x est un élément d’un ensemble A, on écrit : x ∈ A. Lorsque x n’est pasun élément de A, on écrit : x ∉ A.

Exemple

Avec E = {0,2,4,6,8,10}, on a : 4 ∈ E et 5 ∉ E .

Définition 2. Si A et B sont deux ensembles, on dit que B est une partie de A lorsque tous les éléments de Bsont des éléments de A. On écrit : B ⊂ A. On dit aussi que B est inclus dans A.

Exemple

Avec E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : F ⊂ E . En effet, 10 ∈ E , 2 ∈ E et 8 ∈ E .

Remarque

On peut dire aussi que B est un sous-ensemble de A pour dire que B est une partie de A.

Définition 3. Deux ensembles A et B sont égaux lorsqu’ils ont les mêmes éléments. On écrit : A = B . Ainsi,A = B lorsque A ⊂ B et B ⊂ A.

Exemple

Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {6,8,10,0,2,4,6,8}, on a : E = F .

Remarque

L’ensemble qui ne contient pas d’éléments est noté ;. Il s’appelle « l’ensemble vide » . Pour tout ensemble A,on a : ;⊂ A ; l’ensemble vide est une partie de A.

Si A est un ensemble, l’ensemble de ses parties est noté P (A).

Exemple


Si E = {0,2} , on a : P (E) = {;, {0}, {2}, {0,2}}.

Si A et B sont deux ensembles et si B ⊂ A, on écrit A \ B l’ensemble des éléments x de A tels que x ∉ B . On lit :« A privé de B » ou « le complémentaire de B dans A ». On note parfois cet ensemble ÙB

A . On remarque que A \Best une partie de A.

Exemple

Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {10,2,8}, on a : E \ F = {0,4,6}.

1.2 Opérations sur les ensembles

Si A et B sont deux ensembles, on note A∩B l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A et àB . A∩B se lit « A inter B » ou « l’intersection de A et de B ». On remarque que A∩B est une partie de A (et unepartie de B).

Exemple

Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E ∩F = {2,8,10}.

Si A et B sont deux ensembles, on note A∪B l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à A ouà B . A∪B se lit « A union B » ou « la réunion de A et de B ». On remarque que A et B sont des parties de A∪B .

Exemple

Si E = {0,2,4,6,8,10} et F = {3,10,2,8,8,5}, alors E ∪F = {0,2,3,4,5,6,8,10}.

Proposition 1 (lois de Morgan). Soit A un ensemble. Pour toutes parties E et F de A, on a :

ÙE∪FA = ÙE

A ∩ÙFA et ÙE∩F

A = ÙEA ∪ÙF

A .

Proposition 2 (distributivité de ∩ par rapport à ∪ et distributivité de ∪ par rapport à ∩). Soit A un en-semble. Pour toutes parties E , F et G de A, on a :

E ∩ (F ∪G) = (E ∩F )∪ (E ∩G) et E ∪ (F ∩G) = (E ∪F )∩ (E ∪G).

Si A et B sont des ensembles, on note A ×B l’ensemble dont les éléments sont les couples (x, y), où x ∈ A ety ∈ B . A×B se lit « A croix B ».

Exemple

Si E = {2,8,10} et F = {3,8}, alors E ×F = {(2,3), (2,8), (8,3), (8,8), (10,3), (10,8)}.

1.3 Familles d’ensembles

Soit I un ensemble. Pour tout élément i de I , on suppose qu’on a un ensemble noté Ei . On dit qu’on a unefamille d’ensembles (Ei )i∈I .On note

⋂i∈I Ei l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à tous les ensembles Ei (pour tout i

appartenant à I ).⋂

i∈I Ei se lit « l’intersection des Ei pour i dans I ».On note

⋃i∈I Ei l’ensemble des objets mathématiques qui appartiennent à au moins un ensemble Ei (pour au

moins un élément i de I ).⋃

i∈I Ei se lit « la réunion des Ei pour i dans I ».


On dit que la famille d’éléments (xi )i∈I appartient à l’ensemble∏

i∈I Ei si pour tout i ∈ I , xi appartient à Ei .∏i∈I Ei se lit « le produit cartésien des Ei pour i dans I ».

Exemple

Si I = {1,2,3}, E1 = {8,3,5}, E2 = {7,3} et E3 = {3,5}, alors :⋂i∈I

Ei = {3},⋃i∈I

Ei = {8,3,5,7},

∏i∈I

Ei ={(8,7,3), (8,7,5), (8,3,3), (8,3,5), (3,7,3), (3,7,5), (3,3,3), (3,3,5), (5,7,3), (5,7,5), (5,3,3), (5,3,5)

}.

Notations

1. Dans l’exemple précédent, I est fini ; le produit cartésien s’écrit alors plutôt E1 ×E2 ×E3.

2. Lorsque tous les Ei sont égaux à un même ensemble E , on note

E I =∏i∈I

Ei .

On dit que E I est l’ensemble des familles d’éléments de E indexées par I .

3. Lorsque tous les Ei sont égaux à un même ensemble E et que I est un ensemble ayant un nombre finid’éléments n, on note

E n = E I .

Les éléments de E n sont appelés les n-uplets de E .

Exemple

E ×E ×E ×E est noté E 4.

2 La logique

2.1 Langage de la logique

On appelle assertion une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse.

Exemple

«p

2 est rationnel » est une assertion.

Définition 4. Si A est une assertion, on note ¬A la négation de A. On lit « non A ». Par exemple, si A est vraie,alors ¬A est fausse, alors que si A est fausse, alors ¬A est vraie.

A ¬AV FF V


Remarque

¬(¬A) = A.

Définition 5. 1. Si A et B sont des assertions, on note A∧B l’assertion qui est vraie seulement lorsque Aet B sont vraies. On lit « A et B ».

2. Si A et B sont des assertions, on note A ∨B l’assertion qui est vraie lorsque A est vraie ou B est vraie.On lit « A ou B ».

A B A∧BV VV FF VF F

A B A∨BV VV FF VF F

Remarque

La négation de A∨B est (¬A)∧ (¬B). La négation de A∧B est (¬A)∨ (¬B).

Définition 6. Si A et B sont des assertions, on note A =⇒ B l’assertion (¬A)∨B . On lit « A implique B ».

A B ¬A (¬A)∨BV VV FF VF F

i.e.

A B A =⇒ BV VV FF VF F

Remarque

La négation de A =⇒ B est A∧ (¬B).

Définition 7. Si A et B sont des assertions, on note A ⇐⇒ B l’assertion (A =⇒ B)∧ (B =⇒ A). On lit « A estéquivalente à B ». On remarque que A est équivalente à B lorsque A et B sont vraies ou lorsque A et B sontfausses.

2.2 Quantificateurs

Dans un énoncé mathématique, le symbole ∀ devant une variable se dit « pour tout » et signifie que ce qui suitest vérifié par tous les éléments. ∀ se dit aussi « quel que soit ».

Exemple

Pour dire qu’un réel strictement positif est positif, on écrit : ∀x ∈ R, x > 0 =⇒ x Ê 0. Cette phrase peut se lire :« Pour tout réel x, si x est strictement positif, alors x est positif ». On peut aussi lire : « Quel que soit le réel x, xstrictement positif implique x positif ».

Dans une énoncé mathématique, le symbole ∃ devant une variable se dit « il existe » et signifie que ce qui suitest vérifié par l’un des éléments (par au moins un des éléments).

Exemple


Pour dire qu’il existe un réel x positif qui vérifie x2 = 2, on écrit : ∃x ∈ R+, x2 = 2. Cette phrase se lit : « Il existeun réel x positif tel que x2 est égal à 2 ».

Pour nier un énoncé mathématique qui a des symboles ∀ et ∃, on fait comme suit.

1. On change les symboles ∀ par ∃.

2. On change les symboles ∃ par ∀.

3. On change les assertions A par ¬A.

Exemple

La négation de E :∀y ∈R, ∃x ∈R, x Ê 0 et f (x) = y

est ¬E :∃ y ∈R, ∀x ∈R, x < 0 ou f (x) 6= y.

Dans E , il y a :

1. un symbole ∀, qu’on a changé par le symbole ∃2. un symbole ∃, qu’on a changé par le symbole ∀3. une assertion A :

(x Ê 0)∧ ( f (x) = y)

qu’on a changée par l’assertion ¬A :(x < 0)∨ ( f (x) 6= y).

Remarque

Le symbole ∃ ! se lit « il existe un unique ». L’énoncé ∃ ! x A(x) signifie qu’il existe un élément x0 tel que A(x0) estvrai et que A(x) est faux pour tous les éléments x différents de x0. On n’utilisera quasiment jamais ce symbole.

2.3 Liens avec les notations des ensembles

Soit I un ensemble et (Ei )i∈I une famille d’ensembles. Alors

x ∈ ⋂i∈I

Ei ⇐⇒∀ i ∈ I , x ∈ Ei ,

x ∈ ⋃i∈I

Ei ⇐⇒∃ i ∈ I , x ∈ Ei ,

et(xi )i∈I ∈

∏i∈I

Ei ⇐⇒∀ i ∈ I , xi ∈ Ei .

3 Les applications

3.1 Définition

Définition 8. Soit A et B deux ensembles. Soit Γ une partie de A ×B . On dit que Γ est le graphe d’une appli-cation si les énoncés U et E suivants sont satisfaits.

U : ∀x ∈ A ∀ (y1, y2) ∈ B 2((

(x, y1) ∈ Γ)∧ ((x, y2) ∈ Γ))=⇒ (

y1 = y2),

E : ∀x ∈ A ∃ y ∈ B (x, y) ∈ Γ.


Remarque

L’énoncé U peut s’écrire aussi :

∀ (x, y1, y2) ∈ A×B 2((

(x, y1) ∈ Γ)∧ ((x, y2) ∈ Γ))=⇒ (

y1 = y2).

Remarque

L’énoncé U garantit, pour tout élément x de A fixé, l’unicité de l’élément y de B tel que (x, y) ∈ Γ. L’énoncé Egarantit, pour tout élément x de A fixé, l’existence de l’élément y de B tel que (x, y) ∈ Γ. Ainsi, pour tout x ∈ A,il existe un unique y ∈ B tel que (x, y) ∈ Γ ; si on décide de noter f (x) cet élément y , et si on procède de mêmepour tout x ∈ A, alors on définit une application f de A dans B de graphe Γ.

Une application f de A dans B est donc un objet mathématique qui à tout élément x de A associe exacte-ment un élément y de B , noté f (x) et appelé l’image de x par f .

On voit donc que f et f (x) ne peuvent pas être confondus : f est une application tandis que f (x)est−pourvu que x soit bien défini−un élément de B (notons que lorsque x n’est pas introduit, parler de f (x)n’a aucun sens).

Exemple

Prenons l’exemple de A = {0,1,3}, B = {5,7,8}. On note

Γ1 = {(0,5), (1,8), (3,8), (0,7)}, Γ2 = {(0,8), (1,8)} et Γ3 = {(0,5), (1,8), (3,8)}.

Alors Γ1, Γ2 et Γ3 sont des parties de A ×B . Γ1 ne satisfait pas l’énoncé U et Γ2 ne satisfait pas l’énoncé E ; cene sont pas des graphes. En revanche, Γ3 satisfait à la fois les énoncés U et E ; Γ3 est le graphe de l’applicationqui à 0 associe 5, à 1 associe 8 et à 3 associe 8.

Notation

Si A et B sont deux ensembles, on note F (A,B) l’ensemble des applications de A dans B . On peut aussi appelerles éléments de F (A,B) les fonctions de A dans B .

Remarque

Lorsque Γ est le graphe d’une application f ∈F (A,B), on écrit rarement

Γ= {(x, f (x)) ; x ∈ A

}.

On écrit plutôtf : x ∈ A 7→ f (x) ∈ B

ouf : A −→ B

x 7−→ f (x).

On lit : « f est l’application qui, à tout élément x de A, associe l’élément f (x) de B ».

Exemple

Si B = A, l’application qui à tout élément x de A associe l’élément x de A est notée IdA :

IdA : A −→ Ax 7−→ x.


IdA est appelée l’identité de A.

Définition 9. Soit A et B deux ensembles et f ∈F (A,B).

1. Pour tout élément x de A, on appelle image de x par f l’élément f (x) de B . On dit aussi : « f (x) estl’image de x par f ».

2. Pour tout élément y de B , on appelle antécédent de y par f tout élément x de A tel que y = f (x). Dansce cas, on dit : « x est un antécédent de y par f ».

Un élément x de A a une seule image mais un élément y de B peut avoir zéro, un ou plusieurs antécé-dents.

Exemple

Si on considère l’application de graphe Γ3 donné à l’exemple de la page 6, l’image de 0 est 5 tandis 1 est unantécédent en 8.

Définition 10. Soit A, B et C trois ensembles, f ∈ F (A,B) et g ∈ F (B ,C ). L’application qui à tout élément xde A associe l’élément g ( f (x)) de C est notée g ◦ f et est appelée la composée de f par g :

g ◦ f : A −→ Cx 7−→ g ( f (x)).

Remarquons que g ◦ f ∈F (A,C ). g ◦ f se lit : « g rond f ».

Définition 11. Soit A et B deux ensembles, E une partie de A et f ∈F (A,B). L’application qui à tout élémentx de E associe l’élément f (x) de B est notée f |E et est appelée la restriction de f à E :

f |E : E −→ Bx 7−→ f (x).

Remarquons que f |E ∈F (E ,B).

Définition 12. Soit A un ensemble et B une partie de A. L’application qui à tout élément de B associe 1 etqui à tout élément de A \ B associe 0 est notée 1B et est appelée l’indicatrice de B :

1B : A −→ {0,1}x 7−→ 1 si x ∈ Bx 7−→ 0 sinon.

Remarquons que 1B ∈F (A, {0,1}).

Proposition 3. Soit E un ensemble et A, B et C des parties de E . Alors

1. 1A∩B = 1A 1B ,

2. 1A∪B = 1A +1B −1A 1B ,

3. Si C ⊂ B , alors 1B\C = 1B −1C .


3.2 Images directes, images réciproques par une application

Définition 13. Soit f une application de A dans B .

1. Pour toute partie E de A, on appelle l’image directe de E par f la partie f (E) de B définie par :

f (E) = { f (x) ; x ∈ E }.

2. Pour toute partie F de B , on appelle l’image réciproque de F par f la partie f −1(F ) de A définie par :

f −1(F ) = {x ∈ A ; f (x) ∈ F }.

Remarque

L’image directe de E par f s’écrit aussi :

f (E) = {y ∈ B ; ∃x ∈ E ; y = f (x)}.

Remarque

Pour tout y ∈ B , l’ensemble des antécédents de y par f est f −1({y}).

Remarque

Ces notions sont très importantes. Insistons encore une fois.Pour tout y ∈ B ,

y ∈ f (E) ⇐⇒ ∃x ∈ E ; y = f (x). (1)

Pour tout x ∈ A,x ∈ f −1(F ) ⇐⇒ f (x) ∈ F. (2)

Exemple

Si on considère à nouveau l’application f de graphe Γ3 donné à l’exemple de la page 6, on voit que f ({0,1}) ={5,8} et que f −1({5,8}) = {0,1,3}. Notons qu’on a donc : f −1( f ({0,1})) = {0,1,3}, et donc f −1( f ({0,1})) 6= {0,1} ;il faut faire très attention avec ces notions. Seule la démarche consistant à revenir à la définition 13−ou auxrelations (1) et (2) qui lui sont équivalentes−est rigoureuse.

3.3 Injectivité, surjectivité, bijectivité

Définition 14. Soit f une application de A dans B .

1. On dit que f est injective lorsque pour tout (x1, x2) ∈ A2 tel que f (x1) = f (x2), on a : x1 = x2. On dit aussique f est une injection.

2. On dit que f est surjective lorsque pour tout y ∈ B , il existe x ∈ A tel que y = f (x). On dit aussi que f estune surjection.

Remarque

Remarquons que dire que f est injective revient à dire que pour tout (x1, x2) ∈ A2 tel que x1 6= x2, on a : f (x1) 6=f (x2).


Remarque

Remarquons que f est surjective si et seulement si f (A) = B .

Remarque

Reformulons ici aussi les notions :

f est injective ⇐⇒ ∀ (x1, x2) ∈ A2, f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2

etf est surjective ⇐⇒ ∀ y ∈ B , ∃x ∈ A, y = f (x).

Exemple

Considérons à nouveau l’application f de graphe Γ3 donné à l’exemple de la page 6. Puisque f (1) = f (3) etque 1 6= 3, f n’est pas injective. Puisque 7 n’a pas d’antécédent par f , f n’est pas surjective.

Définition 15. Soit f une application de A dans B . On dit que f est bijective lorsque f est injective et surjec-tive. On dit aussi : f est une bijection de A sur B .

Proposition 4. Soit f une bijection de A sur B . Alors la partie de B × A définie par

{(y, x) ∈ B × A ; y = f (x)}

est le graphe d’une application de B dans A, notée f −1 et appelée l’application réciproque de f .

Démonstration Notons Γ l’ensemble {(y, x) ∈ B × A ; y = f (x)}. C’est bien une partie de B × A. Reprenons lesnotations de la définition 8 (attentions, les rôles de A et de B sont interchangés ici). On peut voir que l’énoncéU est équivalent à l’injectivité de f et que l’énoncé E est équivalent à la surjectivité de f . Ainsi, dire que Γ est legraphe d’une application de B dans A revient à dire que f est bijective, ce qui est vrai par hypothèse.

■Remarque

On peut montrer que lorsque f est bijective, alors pour toute partie F de B , l’image réciproque de F par f estégale à l’image directe de F par f −1 ; ainsi, la notation f −1 pour l’application réciproque est compatible avecla notation de l’image réciproque : f −1(F ) = f −1(F ) !

Remarque

Remarquons que lorsque f est bijective, f −1 est l’application qui à tout y ∈ B associe l’unique élément x de Atel que y = f (x).

Exemple

Prenons l’exemple de A = {0,1,3}, B = {3,8,9} et f l’application qui à 0 associe 9, à 1 associe 3 et à 3 associe8. Alors f est à la fois injective et surjection : c’est une bijection de A sur B . Son application réciproque estl’application de B dans A qui à 9 associe 0, à 3 associe 1 et à 8 associe 3.


4 Les démonstrations

4.1 Les différents types de questions en mathématiques

On fait ici un catalogue des différents types de questions que l’on peut poser en mathématiques. Pour cha-cun d’entre eux, on donne la manière de rédiger proprement le raisonnement permettant de répondre à laquestion.

4.1.1 Comment prouver une assertion qui commence par « pour tout x » ?

Imaginons qu’on nous demande :

« Montrer que pour tout x ∈ E , l’assertion P (x) est vraie ».

Il faut alors faire comme suit.

1. On commence par fixer un élément x de E avec lequel on va travailler. On écrit donc toujours au débutde la preuve : « Soit x un élément de E ».

2. On démontre que P (x) est vraie par une suite de phrases qui commencent toutes par « Donc » ou « Or ».

(a) Une phrase qui commence par « Donc » signifie qu’on fait une déduction.

(b) Une phrase qui commence par « Or » signifie qu’on rappelle :

i. soit une hypothèse de l’énoncé,

ii. soit un résultat qu’on a démontré auparavant dans la preuve.

3. On écrit toujours à la fin de la preuve : « Finalement, P (x) est vraie. On en déduit que pour tout x ∈ E ,l’assertion P (x) est vraie ».

4.1.2 Comment prouver une unicité ?


« Montrer que l’assertion P (x) est vraie pour au plus un élément x de E ».

On fait comme suit : on fixe deux éléments x1 et x2 de E tels que P (x1) et P (x2) sont vraies et on démontre quex1 = x2 par une suite de phrases qui commencent toutes par « Donc » ou « Or ».

4.1.3 Comment prouver une assertion qui commence par « il existe x » ?


« Montrer qu’il existe x ∈ E tel que l’assertion P (x) est vraie ».

On peut faire comme suit : on trouve un élément x de E qui vérifie P (x). Il s’agit souvent d’une question trèsdifficile ! Tant et si bien que très souvent, c’est grâce la connaissance parfaite du cours de mathématiques, quifournit de nombreux résultats d’existence difficiles à redémontrer si on ne connaît pas son cours, que l’on peutrépondre à ce genre de questions.

Remarque

On verra une autre méthode dans le paragraphe 4.2.1.


4.1.4 Comment prouver une implication ?


« Montrer que l’assertion P implique l’assertion Q, c’est-à-dire montrer que P =⇒Q ».

On fait comme suit.

1. On commence par écrire au début de la preuve : « Supposons que P est vraie ».

2. On démontre que Q est vraie par une suite de phrases qui commencent toutes par « Donc » ou « Or ».

3. On conclut en écrivant à la fin de la preuve : « Finalement, l’assertion P implique l’assertion Q ».

Remarque

Souvent, on vous demandera : « Montrer que si on a P , alors on a Q ». Cela signifie exactement qu’on vousdemande de montrer que l’assertion P implique l’assertion Q.

Remarque

Parfois, après vous avoir demandé de prouver P ⇒ Q, on vous demandera : « La réciproque est-elle vraie ? ».Cela signifie que vous devez dire si l’assertion Q ⇒ P est vraie ou fausse. Deux cas se présentent :

1. Si vous pensez que l’implication Q ⇒ P est vraie, vous devez appliquer la méthode qu’on vient de voirpour prouver une implication.

2. Si vous pensez que l’implication Q ⇒ P est fausse, c’est-à-dire si vous pensez que ¬(Q ⇒ P ) est vraie,vous devez prouver qu’on a : Q ∧ (¬P ).

On a vu trois sens au mot « réciproque » en mathématiques. Cela peut désigner :

1. un ensemble, lorsqu’on parle de f −1(F ), qui est l’image réciproque de l’ensemble F par l’application f(ici, f −1 est simplement une notation, une écriture, et ne peut s’employer seule : on doit toujours faireapparaître f −1(F ), qui est un ensemble bien défini pour toute application f ),

2. une application, lorsqu’on parle de f −1, qui est l’application réciproque de l’application bijective f (ici,f −1 a un sens : c’est une application ; bien sûr, f doit être bijective pour pouvoir parler de l’applicationf −1),

3. une assertion, lorsqu’on parle de Q ⇒ P , qui est l’implication réciproque de l’implication P ⇒Q.

4.1.5 Comment prouver une équivalence ?


« Montrer que l’assertion P est équivalente à l’assertion Q, c’est-à-dire montrer que P ⇐⇒Q ».

D’après la définition 7, il suffit de prouver que l’assertion P implique l’assertion Q et que l’assertion Q impliquel’assertion P , c’est-à-dire on montre P ⇒ Q et Q ⇒ P . On appelle cette méthode la « double implication ». Ilfaut donc appliquer deux fois la méthode vue dans le paragraphe 4.1.4.

Remarque

L’implication P ⇒Q s’appelle le sens direct. L’implication Q ⇒ P s’appelle le sens indirect ou le sens réciproque.


Remarque

Souvent, on vous demandera : « Montrer qu’on a P si et seulement si on a Q ». Cela signifie exactement qu’onvous demande de montrer que l’assertion P est équivalente à l’assertion Q.

4.1.6 Comment prouver l’inclusion d’un ensemble dans un autre ?


« Montrer que l’ensemble B est inclus dans l’ensemble A, c’est-à-dire montrer que B ⊂ A ».

Comme toujours, il suffit de revenir à la définition du cours : la définition 2 assure que : « B ⊂ A si et seulementsi pour tout x ∈ B , on a x ∈ A ». Comme expliqué dans le paragraphe 4.1.1, il faudra commencer la preuve par :« Soit x ∈ B ». Il faudra ensuite prouver, à l’aide d’un raisonnement, que x ∈ A.

4.1.7 Comment prouver l’égalité entre deux ensembles ?


« Montrer que l’ensemble A est égal à l’ensemble B , c’est-à-dire montrer que A = B ».

D’après le cours (voir définition 3), « les ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A ». Ainsi, sion nous demande de montrer que A = B , on prouve que A ⊂ B et B ⊂ A. On appelle cette méthode la « doubleinclusion ». Il faut donc appliquer deux fois la méthode vue dans le paragraphe 4.1.6.

4.1.8 Comment prouver l’égalité entre deux applications ?


« Montrer que l’application f : A → B est égale à l’application g : A → B ».

D’après le cours, les applications f ∈ F (A,B) et g ∈ F (A,B) sont égales si et seulement si pour tout x ∈ A,f (x) = g (x). Ainsi, si on nous demande de montrer que f = g , on fixe un élément x de A (en commençant lapreuve par : « Soit x ∈ A ») et on prouve avec une suite de déductions que f (x) = g (x).

4.1.9 Comment résoudre une équation ?


« Résoudre l’équation (E) : E (x) d’inconnue x ∈ A ».

Il s’agit ici de donner l’ensemble S de tous les éléments x de l’ensemble A tels que l’énoncé E (x) soit vrai.Remarquons que S est une partie de A. S est appelé « l’ensemble des solutions de l’équation (E) ».Remarque

Ainsi, on a :pour tout x ∈ A, x ∈S si et seulement si E (x) est vérifié.

Exemples


1. L’équation (E1) : x2 = 4 d’inconnue x ∈R a pour ensemble de solutions {−2,2}.

2. L’équation (E2) : x2 = 4 d’inconnue x ∈R+ a pour ensemble de solutions {2}.

3. L’équation (E3) : x2 +4 = 0 d’inconnue x ∈R a pour ensemble de solutions ;.

4. L’équation (E4) : x2 +4 = 0 d’inconnue x ∈C a pour ensemble de solutions {−2i ,2i }.

Pour résoudre l’équation (E), on peut raisonner par analyse/synthèse (voir aussi le paragraphe 4.2.4), quiconsiste ici à faire comme suit.

1. Première étape : analyse. On prend un élément x de S , c’est-à-dire on prend un élément x de l’ensembleA tel que E (x) soit vrai. On fait des calculs, un raisonnement, et on trouve que x appartient nécessaire-ment à une partie B de A. Ceci prouve que S ⊂ B .

2. Deuxième étape : synthèse. On vérifie que pour tout x ∈ B , E (x) est vrai (si ce n’est pas le cas, il fautrevenir à la première étape−i.e. à l’analyse−et la poursuivre : à la première étape, on avait explicitéun ensemble B trop gros). Ceci prouve que B ⊂S .

3. Troisième étape : conclusion. On en déduit que S = B : l’ensemble S des solutions de l’équation (E) estB .

4.1.10 Comment déterminer l’ensemble des objets satisfaisant une propriété ?


« Déterminer l’ensemble des éléments x de A vérifiant la propriété P (x) ».

On peut reformuler cela sous forme d’une équation : la question posée revient à résoudre l’équation (E) :P (x) d’inconnue x ∈ A. On suffit alors de procéder comme indiqué dans le paragraphe 4.1.9, i.e. par ana-lyse/synthèse.

Remarque

Bien entendu, réciproquement, toute équation peut se reformuler en une recherche d’un ensemble d’objetssatisfaisant une propriété : résoudre l’équation E (x) d’inconnue x ∈ A revient à déterminer l’ensemble deséléments x de A tels que la propriété E (x) est vraie (on note S cet ensemble).

4.1.11 Comment montrer qu’il existe un unique objet satisfaisant une propriété ?


« Montrer qu’il existe un unique élément x de l’ensemble A qui vérifie une propriété P (x) ».

C’est un cas particulier du paragraphe 4.1.10. En effet, il s’agit ici de prouver que l’ensemble des élémentsx de A tels que la propriété P (x) est vraie est un singleton 1. On peut donc encore une fois raisonner paranalyse/synthèse :

1. Analyse. On prend un élément x de A qui vérifie la propriété P (x). On fait des calculs, un raisonnement,et on trouve que x est nécessairement égal à un élément x0 de A.

2. Synthèse. On vérifie que x0 satisfait la propriété P (x0).

3. Conclusion. On en déduit que la propriété P est vérifiée par un unique élément de A, à savoir x0.

1. Un singleton est un ensemble possédant un seul élément. {3} est un singleton, {0,1} n’en est pas un.


4.2 Les différents types de démonstrations en mathématiques

4.2.1 Démonstration par l’absurde


« Montrer que l’assertion P est vraie ».

Le raisonnement par l’absurde consiste à faire comme suit.

1. On suppose au début de la preuve que P est fausse. On commence donc par écrire : « Supposons parl’absurde que P est fausse ».

2. On fait un raisonnement pour avoir, à la fin, une assertion Q à la fois vraie et fausse.

3. On conclut que P ne peut pas être fausse, donc que P est vraie. On écrit donc à la fin : « On aboutit à uneabsurdité, donc l’assertion P est vraie ».

4.2.2 Démonstration par contraposition


« Montrer que l’assertion P implique l’assertion Q ».

Le raisonnement par contraposition consiste à montrer (¬Q) =⇒ (¬P ) (pour prouver une implication, voir leparagraphe 4.1.4). Ceci prouve P =⇒Q.

4.2.3 Démonstration par récurrence

On se donne une famille d’énoncés mathématiques (Hn)n∈N. Imaginons qu’on nous demande :

« Montrer que pour tout n ∈N, Hn est vrai ».

Le raisonnement par récurrence consiste à faire comme suit.

1. On prouve que H0 est vrai.

2. On prouve l’énoncé « ∀n ∈ N, Hn =⇒ Hn+1 ». On commence donc toujours cette deuxième étape par :« Soit n ∈N tel que Hn est vrai », puis on fait un raisonnement pour établir Hn+1.

3. On conclut que pour tout n ∈N, Hn est vrai.

Vous ne devez pas, à chaque fois que vous voyez : « Montrer que pour tout n ∈N, Hn est vrai », faire unedémonstration par récurrence. On choisit de faire une récurrence seulement lorsqu’on voit un lien entre Hn

et Hn+1, c’est-à-dire lorsque Hn =⇒ Hn+1 semble naturel. Parfois, on pourra établir

∀n ∈N, Hn est vrai

de manière simple, sans faire de récurrence, directement en suivant le paragraphe 4.1.1 : on commence par« Soit n ∈N » et on prouve, via un raisonnement, que Hn est vrai.

Remarque

La démonstration par récurrence s’appuie sur le théorème suivant.

Théorème 1. Toute partie non vide deN possède un plus petit élément.


Corollaire 1. Soit (Hn)n∈N une famille d’énoncés mathématiques telle que :

1. H0 est vrai,

2. pour tout n ∈N tel que Hn est vrai, on a : Hn+1 est vrai.

Alors pour tout n ∈N, Hn est vrai.

Démonstration Considérons l’ensemble A des indices n ∈N tels que Hn est vrai :

A = {n ∈N ; Hn est vrai}.

Il nous faut prouver que A = N. Supposons par l’absurde que A 6= N. Notons B = N \ A. Alors B 6= ; et B ⊂ N. Lethéorème 1 assure alors que B possède un plus petit élément, que l’on note b. Comme H0 est vrai, on sait que0 ∈ A. Donc 0 ∉ B . Or, b ∈ B . Donc b 6= 0. On en déduit que b −1 ∈N. Deux cas se présentent :

1. Si b −1 ∈ A. Alors Hb−1 est vrai, donc H(b−1)+1 est vrai, i.e. Hb est vrai, donc b ∈ A, ce qui n’est pas vrai.

2. Si b −1 ∈ B . Comme b −1 < b, on en déduit que b n’est pas le plus petit élément de B , ce qui n’est pas vrai.

Finalement, l’assertion « b −1 ∈ A » est à la fois fausse et vraie, ce qui est absurde. On en déduit que A =N, ce quimontre que pour tout n ∈N, Hn est vrai.

■Le corollaire 1 assure que la démonstration par récurrence est bien fondée.

Notons qu’il existe d’autres versions de la démonstration par récurrence, qui sont en fait exactement équi-valentes à la démonstration par récurrence classique (appelée aussi récurrence faible). Citons par exemple larécurrence forte (qui n’est à vrai dire pas plus forte que la récurrence faible, la seule vraie récurrence !).On se donne encore une famille d’énoncés mathématiques (Hn)n∈N. Il s’agit encore de prouver que pour toutn ∈N, Hn est vrai. Le raisonnement par récurrence forte consiste à faire comme suit.

1. On prouve que H0 est vrai.

2. On prouve l’énoncé «∀n ∈N, (H0 ∧ H1 ∧ . . .∧ Hn−1 ∧ Hn) =⇒ Hn+1 ». On commence donc toujours cettedeuxième étape par : « Soit n ∈N tel que H0, H1 . . . , Hn sont tous vrais », puis on fait un raisonnement pourétablir Hn+1.

3. On conclut que pour tout n ∈N, Hn est vrai.

Pour prouver que la conclusion est correcte (i.e. que pour tout n ∈ N, Hn est effectivement vrai), il suffit defaire un raisonnement par récurrence (faible) sur la famille (Cn)n∈N, où pour tout n ∈N, Cn est l’énoncé H0 ∧H1 ∧ . . . ∧ Hn−1 ∧ Hn .

4.2.4 Démonstration par analyse/synthèse

Définition 16. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition nécessaire de C tout énoncé mathé-matique N tel que C =⇒ N .

Ainsi, si C est vérifié, alors nécessairement toute condition nécessaire de C l’est aussi.

Définition 17. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition suffisante de C tout énoncé mathéma-tique S tel que S =⇒C .

Ainsi, il suffit qu’une condition suffisante de C soit vérifiée pour que C le soit aussi.

Définition 18. Soit C un énoncé mathématique. On appelle condition nécessaire et suffisante de C touténoncé mathématique C0 tel que C ⇐⇒C0.

Parfois, on nous demande de déterminer une condition nécessaire et suffisante (en abrégé, CNS) simple d’unecondition C . On peut procéder par analyse/synthèse, qui consiste à faire comme suit.

1. Analyse. On suppose C et on trouve que nécessairement, une condition C1 est alors vérifiée. Ceci prouveque C1 est une condition nécessaire de C .


2. Synthèse. On vérifie que réciproquement, si la condition C1 est satisfaite, alors C l’est aussi (si ce n’est pasle cas, il faut revenir à la première étape−i.e. à l’analyse−et la poursuivre : la première condition C1

trouvée n’était pas assez restrictive, c’était une condition nécessaire mais non suffisante). Ceci prouveque C1 est une condition suffisante de C .

3. Conclusion. On en déduit que C1 est une condition nécessaire et suffisante de C .

Ce type de raisonnement a de nombreuses variantes. Par exemple, pour déterminer l’ensemble des éléments xd’un l’ensemble A qui vérifient une propriété P (x), on peut procéder par analyse/synthèse. La condition C estici indexée par x ∈ A et s’écrit C (x) : « P (x) est vraie ». Une condition nécessaire correspond alors à une partiede A qui contient l’ensemble {x ∈ A ; P (x) est vraie} cherché. Une condition suffisante correspond à une partiede l’ensemble {x ∈ A ; P (x) est vraie} cherché. Et trouver une condition nécessaire et suffisante correspond àdéterminer exactement l’ensemble {x ∈ A ; P (x) est vraie} cherché. Pour répondre à la question

« Déterminer l’ensemble des éléments x de A tels que la propriété P (x) est vraie ».

on peut donc faire une analyse/synthèse :

1. Analyse. On prend un élément x de A qui vérifie la propriété P (x). On fait des calculs, un raisonnement,et on trouve que x appartient nécessairement à une partie B de A. Ceci prouve que {x ∈ A ; P (x) est vraie} ⊂B .

2. Synthèse. On vérifie que tous les éléments x de B satisfont la propriété P (x) (si ce n’est pas le cas, il fautrevenir à l’analyse et la poursuivre). Ceci prouve que B ⊂ {x ∈ A ; P (x) est vraie}.

3. Conclusion. On en déduit que B est l’ensemble des éléments x de A qui vérifient P (x).

Remarque

Procéder par analyse/synthèse est agréable puisqu’on sait comment partir : on commence par supposer lacondition C . Mais elle est assez déroutante parce qu’on a l’impression de partir de la conclusion. Cependant,comme on fait ensuite une sorte de réciproque (lors de la synthèse), il n’y a aucun problème de logique.

4.3 Retour sur les applications

Nous allons présenter quelques résultats sur les applications, que nous allons démontrer. Ce sera l’occasiond’appliquer quelques unes des règles de rédactions que nous venons de présenter.

Proposition 5. Soit A et B deux ensembles et f ∈F (A,B) une application. Les deux assertions suivantes sontéquivalentes.

1. f est bijective.

2. Il existe une application g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB .

D’autre part, lorsque f est bijective, f −1 est l’unique application g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦g = IdB .

Démonstration On a deux résultats à établir : une équivalence entre deux assertions d’une part, puis l’unicitéd’une application vérifiant une propriété donnée.• Commençons par prouver que la bijectivité de f est équivalente à l’existence d’une application g ∈F (B , A) telle

que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB . On procède par double implication.

1. Sens direct. Supposons que f est bijective. Il s’agit de prouver l’existence d’une application g ∈ F (B , A)telle que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB . C’est une question difficile ! Heureusement, on a l’idée de montrer quel’application réciproque f −1 convient.

(a) Tout d’abord, on a bien : f −1 ∈F (B , A).

(b) Montrons que f −1 ◦ f = IdA . Il s’agit de montrer l’égalité entre deux applications dont l’ensemble dedépart est A. Soit donc x ∈ A. On sait que l’image par f −1 de f (x) est l’unique élément de A dontl’image par f est f (x). C’est donc bien sûr x : f −1( f (x)) = x. Ainsi, pour tout x ∈ A, ( f −1◦ f )(x) = IdA(x),ce qui montre que f −1 ◦ f = IdA .


(c) Montrons enfin que f ◦ f −1 = IdB . Soit y ∈ B . f −1(y) est l’unique élément de A dont l’image par f est y .En particulier, l’image par f de f −1(y) est y : f ( f −1(y)) = y . Ainsi, pour tout y ∈ B , ( f ◦ f −1)(y) = IdB (y),ce qui montre que f ◦ f −1 = IdB .

Finalement, on a bien montré qu’il existe une application g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB .

2. Sens indirect. Supposons qu’il existe existe une application g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB .Montrons que f est bijective.

(a) Montrons tout d’abord que f est injective. Soit (x1, x2) ∈ A2 tel que f (x1) = f (x2). Alors g ( f (x1)) =g ( f (x2)). Donc (g ◦ f )(x1) = (g ◦ f )(x2). Or, g ◦ f = IdA . Donc IdA(x1) = IdA(x2), i.e. x1 = x2. Ainsi, pourtout (x1, x2) ∈ A2 tel que f (x1) = f (x2), on a : x1 = x2. Ceci prouve l’injectivité de f .

(b) Montrons enfin que f est surjective. Soit y ∈ B . Alors f (g (y)) = IdB (y), i.e. f (g (y)) = y . On en déduitque y admet un antécédent par f (qui est l’élément g (y) de A). Finalement, tous les éléments de Badmettent un antécédent par f , ce qui montre que f est surjective.

On en déduit que f est bijective.

• Supposons que f est bijective. Montrons que f −1 est l’unique application g ∈ F (B , A) telle que g ◦ f = IdA etf ◦ g = IdB . Remarquons tout d’abord que nous avons déjà vu que f −1 vérifie effectivement les propriétés :f −1 ∈F (B , A), f −1◦ f = IdA et f ◦ f −1 = IdB . Réciproquement, soit g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦g = IdB .Montrons que g = f −1. Soit y ∈ B . Alors f (g (y)) = y . Or, on sait que f ( f −1(y)) = y . Donc f (g (y)) = f ( f −1(y)). Or,f est injective. Donc g (y) = f −1(y). Finalement, pour tout y ∈ B , g (y) = f −1(y), donc g = f −1. On conclut quef −1 est l’unique application g ∈F (B , A) telle que g ◦ f = IdA et f ◦ g = IdB .

■Corollaire 2. Soit A et B deux ensembles et f ∈F (A,B). Si f est bijective, alors f −1 est bijective et(

f −1)−1 = f .

Démonstration Supposons f bijective. D’après la proposition 5, on sait que f −1 ◦ f = IdA et f ◦ f −1 = IdB . On endéduit qu’il existe une application h ∈F (A,B) telle que h◦ f −1 = IdB et f −1◦h = IdA . La proposition 5 assure alorsque f −1 est bijective. D’autre part, puisque ( f −1)−1 est l’unique application h ∈ F (A,B) telle que h ◦ f −1 = IdB etf −1 ◦h = IdA et que f vérifie ces propriétés, on a : f = ( f −1)−1.

■Corollaire 3. Soit A, B et C trois ensembles, f ∈ F (A,B) et g ∈ F (B ,C ). Si f et g sont bijectives, alors g ◦ fest bijective et sa réciproque est f −1 ◦ g−1 :

(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.

Démonstration Supposons f et g bijectives. Alors pour tout x ∈ A,(f −1 ◦ g−1)◦ (g ◦ f )(x) = f −1 (

g−1 (g

(f (x)

)))= f −1( f (x)) = x

et pour tout z ∈C ,(g ◦ f )◦ (

f −1 ◦ g−1) (z) = g(

f(

f −1 (g−1 (z)

)))= g(g−1 (z)

)= z.

Ainsi ( f −1 ◦ g−1)◦ (g ◦ f ) = IdA et (g ◦ f )◦ ( f −1 ◦ g−1) = IdC . La proposition 5 assure alors que g ◦ f est bijective etque

(g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.

■Proposition 6. Soit A, B et C trois ensembles, f ∈F (A,B) et g ∈F (B ,C ).

1. Si f et g sont injectives, alors g ◦ f est injective.

2. Si f et g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.

Démonstration

1. Supposons que f et g sont injectives. Montrons que g ◦ f est injective. Soit (x1, x2) ∈ A2 tel que g ◦ f (x1) =g ◦ f (x2). Alors f (x1) et f (x2) ont même image par g . Comme g est injective, on en déduit que f (x1) = f (x2).Donc x1 et x2 ont même image par f . Comme f est injective, on en déduit que x1 = x2. Finalement, pourtout (x1, x2) ∈ A2 tel que g ◦ f (x1) = g ◦ f (x2), on a x1 = x2. Ceci montre que g ◦ f est injective.


2. Supposons que f et g sont surjectives. Montrons que g ◦ f est surjective. Soit z ∈ C . Par surjectivité de g ,il existe y ∈ B tel que z = g (y). Par surjectivité de f , il existe x ∈ A tel que y = f (x). Alors z = g ( f (x)), i.e.z = g ◦ f (x), ce qui montre que z possède un antécédent par g ◦ f . Finalement, tout élément z de C possèdeun antécédent par g ◦ f , donc g ◦ f est surjective.

■

Proposition 7. Soit A et B deux ensembles. Il existe une bijection de B A sur F (A,B).

Démonstration Notons f l’application qui à toute famille d’éléments (ba)a∈A de B indexée par A associe l’ap-plication a ∈ A 7→ ba ∈ B . Remarquons que f ∈ F (B A ,F (A,B)). Notons g l’application qui à toute applicationu ∈F (A,B) la famille d’éléments (u(a))a∈A de B indexée par A. Remarquons que g ∈F (F (A,B),B A). Il est aisé demontrer que g ◦ f = IdB A et que f ◦ g = IdF (A,B). On en déduit que f est une bijection.

■Remarque

Ainsi, se donner une famille d’éléments de B indexée par A revient à se donner une application de A dans B ;c’est la raison pour laquelle on identifie souvent B A avec F (A,B).

5 Les relations

5.1 Premières définitions

Définition 19. Soit A un ensemble. On appelle relation binaire sur A toute partie R de A2. Pour tout (x, y) ∈A2, on dit que x est en relation avec y et on note x R y si (x, y) ∈R.

Exemples

1. Si E = {0,2,4,6,8,10} et R = {(0,4), (0,0), (6,10), (4,0)}, alors R est une relation binaire sur E et 0 est enrelation avec 4, 4 est en relation avec 0, 0 est en relation avec lui-même, 6 est en relation avec 10, mais10 n’est pas en relation avec 6.

2. Si E = R et si R = {(x, y) ∈ R2 ; x y Ê 0}, alors R est une relation binaire sur R et un réel a est en relationavec un réel b si et seulement si a et b ont même signe : R est la relation « avec le même signe ».

Définition 20. Soit R une relation binaire sur un ensemble A. On dit que :

• R est réflexive si pour tout x ∈ A, x R x,

• R est symétrique si pour tout (x, y) ∈ A2 tel que x R y , on a : y R x,

• R est transitive si pour tout (x, y, z) ∈ A3 tel que x R y et y R z, on a : x R z.

Exemple

La relation « avec le même signe » sur R vue dans l’exemple précédent est réflexive, symétrique mais n’est pastransitive puisque −1 est en relation avec 0, 0 est en relation avec 1 mais −1 n’est pas en relation avec 1.

5.2 Relations d’équivalence

Définition 21. On appelle relation d’équivalence sur un ensemble A toute relation binaire sur A réflexive,symétrique et transitive.


Exemples

1. Soit n ∈N∗. La relation binaire R sur Z définie par

x R y ⇐⇒ n divise y −x

est une relation d’équivalence et est appelée congruence modulo n. Par exemple, 9 est congru à 23 mo-dulo 7.

2. La relation binaire R sur R définie par

x R y ⇐⇒ ∃k ∈Z, y = x +2kπ

est une relation d’équivalence et est appelée congruence modulo 2π. Plus généralement, pour tout α ∈R∗, la relation binaire sur R égale à {

(x, y) ∈R2 ;y −x

α∈Z

}est une relation d’équivalence et est appelée congruence modulo α.

Définition 22. Soit A un ensemble et R une relation d’équivalence sur A. Pour tout x ∈ A, on appelle classed’équivalence de x l’ensemble [x] défini par :

[x] = {y ∈ A ; x R y}.

Exemple

Soit n ∈N∗. Pour la congruence modulo n, il y a n classes d’équivalence.

Proposition 8. Soit A un ensemble et R une relation d’équivalence sur A. Alors :

1. pour tout x ∈ A, x ∈ [x],

2. pour tout (x, y) ∈ A2, [x]∩ [y] 6= ; si et seulement si [x] = [y].

Remarque

On peut montrer que réciproquement, si (Bi )i∈I est une partition d’un ensemble A, i.e. une famille de partiesnon vides de A telle :

1.⋃

i∈I Bi = A,

2. ∀ ( j ,k) ∈ I 2, j 6= k ⇒ B j ∩Bk =;,

alors la relation R sur A définie par :

x R y ⇐⇒ ∃ i ∈ I , {x, y} ⊂ Bi

est une relation d’équivalence. Par ailleurs, les classes d’équivalence sont les parties Bi , i ∈ I .


5.3 Relations d’ordre

Définition 23. Soit R une relation binaire sur un ensemble A. On dit que R est antisymétrique si pour tout(x, y) ∈ A2 tel que x R y et y R x, on a : x = y .

Définition 24. On appelle relation d’ordre sur un ensemble A toute relation binaire sur A réflexive, antisy-métrique et transitive. On appelle ensemble ordonné tout couple (A,R) où A est un ensemble et R est unerelation d’ordre sur A.

Exemples

1. Les ordres surN, Z,Q et R sont des relations d’ordre.

2. Soit E un ensemble. La relation R sur P (E) définie par :

x R y ⇐⇒ x ⊂ y

est une relation d’ordre.

3. La divisibilité surN définie par :x R y ⇐⇒ x divise y

est une relation d’ordre.

Notation

Souvent, lorsque (A,R) est un ensemble ordonné, on note :

• x É y pour dire que x R y (on dit alors que « x est plus petit que y »),

• x < y pour dire que x R y et x 6= y (on dit alors que « x est strictement plus petit que y »).

• x Ê y pour dire que y R x (on dit alors que « x est plus grand que y »),

• x > y pour dire que y R x et y 6= x (on dit alors que « x est strictement plus grand que y »).

Exemple

Pour la divisibilité sur N, 1 est plus petit que tous les entiers naturels et 0 est plus grand que tous les entiersnaturels.

Lorsque A 6= ;, la relation < n’est pas une relation d’ordre puisqu’il existe x0 ∈ A et alors l’assertion« x0 < x0 » est fausse : la relation < n’est pas réflexive.

Ce n’est pas parce qu’on n’a pas x É y qu’on a nécessairement y < x : il est possible qu’il existe (x, y) ∈ A2

tel que les assertions « x É y » et « y < x » soient toutes les deux fausses. Par exemple pour la relation de divisi-bilité, « 2 É 3 » et « 3 < 2 » sont des assertions fausses.

Définition 25. Soit (A,É) un ensemble ordonné. On dit que l’ordre est total si pour tout (x, y) ∈ A2, on a :x É y ou y É x. Dans ce cas, on dit que (A,É) est un ensemble totalement ordonné. Dans le cas contraire, ondit que l’ordre est partiel et que (A,É) est un ensemble partiellement ordonné.

Exemples

1. (Q,É) est totalement ordonné.


2. Lorsque E n’est ni vide, ni un singleton, (P (E),⊂) est partiellement ordonné.

3. La divisibilité surN est un ordre partiel.

Définition 26. Soit (A,ÉA) et (B ,ÉB ) deux ensembles ordonnés et f ∈F (A,B).

1. On dit que f est croissante si

∀ (x, y) ∈ A2, x ÉA y ⇒ f (x) ÉB f (y)

2. On dit que f est décroissante si

∀ (x, y) ∈ A2, x ÉA y ⇒ f (x) ÊB f (y)

3. On dit que f est monotone si f est croissante ou décroissante.

4. On dit que f est strictement croissante si f est croissante et injective.

5. On dit que f est strictement décroissante si f est décroissante et injective.

6. On dit que f est strictement monotone si f est monotone et injective.

Exemple

Pour tout ensemble E , l’application(P (E),⊂) −→ (P (E),⊂)

F 7−→ ÙFE .

est strictement décroissante.

Proposition 9. Soit A, B et C trois ensembles ordonnés, f ∈F (A,B) et g ∈F (B ,C ).

1. Si f et g sont monotones de même sens, alors g ◦ f est croissante.

2. Si f et g sont monotones de même contraire, alors g ◦ f est décroissante.

3. Si f est bijective monotone et si l’ordre de E est total, alors f −1 est monotone de même sens que f .

Définition 27. Soit (A,É) un ensemble ordonné. Il existe au plus un élément a ∈ A tel que pour tout x ∈ A,x É a. Si un tel élément a existe, on l’appelle le plus grand élément de A et on le note max A.

Définition 28. Soit (A,É) un ensemble ordonné. Il existe au plus un élément a ∈ A tel que pour tout x ∈ A,x Ê a. Si un tel élément a existe, on l’appelle le plus petit élément de A et on le note min A.

Exemples

1. Pour la divisibilité surN, maxN= 0 et minN= 1.

2. Pour tout ensemble E , si on munit P (E) de l’ordre ⊂, on a : maxP (E) = E et minP (E) =;.

Définition 29. Soit (A,É) un ensemble ordonné, B une partie de A et a ∈ A. On dit que a est un majorant deB si pour tout y ∈ B , y É a.

Définition 30. Soit (A,É) un ensemble ordonné et B une partie de A et a ∈ A. On dit que B est majorée si Badmet un majorant.


Définition 31. Soit (A,É) un ensemble ordonné, B une partie de A et a ∈ A. On dit que a est un minorant deB si pour tout y ∈ B , y Ê a.

Définition 32. Soit (A,É) un ensemble ordonné et B une partie de A et a ∈ A. On dit que B est minorée si Badmet un minorant.

Définition 33. Soit (A,É) un ensemble ordonné et B une partie de A et a ∈ A. On dit que B est bornée si B estmajorée et minorée.

Définition 34. Soit (A,É) un ensemble ordonné et B une partie de A. On note U l’ensemble des majorantsde B et V l’ensemble des minorants de B .

1. Si U possède un plus petit élément, alors minU est appelé la borne supérieure de B et est noté supB .

2. Si V possède un plus grand élément, alors maxV est appelé la borne inférieure de B et est noté infB .

Exemples

1. Dans (R,É), considérons B = [0,1[. L’ensemble des majorants U de B est [1,+∞[. U a un plus petit élé-ment, qui est 1. Ainsi, sup([0,1[) = 1. L’ensemble des minorants V de B estR−. V a un plus grand élément,qui est 0. Ainsi, inf([0,1[) = 0.

2. Dans (R,É), considérons B = {x ∈R ; x2 É 2}. Alors B admet une borne supérieure : c’estp

2.

3. Dans (Q,É), considérons B = {x ∈ Q ; x2 É 2}. Alors B , bien que majorée, n’admet pas de borne supé-rieure : l’ensemble de ses majorants n’admet pas de plus petit élément.

Proposition 10. Soit (A,É) un ensemble totalement ordonné, B une partie de A et u ∈ A. Alors u est la bornesupérieure de B si et seulement si(∀ y ∈ B , y É u

) ∧ (∀v < u, ∃ y ∈ B , v < y).

Remarque

On peut parler de plus grand élément, de borne supérieure, etc. d’une famille (xi )i∈I d’éléments d’un ensembleordonné A. Il s’agira respectivement du plus grand élément, de la borne supérieure, etc. de la partie {xi ; i ∈ I }.Lorsque cela fait sens, on note supi∈I xi pour sup{xi ; i ∈ I } (de même pour max, inf et min).

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1 Les ensembles 2016. 9. 5. · 2015-2016 MPSI2 du lycée Condorcet 1/22 ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES 1 Les ensembles 1.1 Déﬁnition d’un ensemble Déﬁnition 1. Un ensemble