1. L’implémentation des représentations temps-fréquence en Matlab. L’utilisation de la boîte à outils Temps-Fréquence

La Boîte à Outils Temps-Fréquence (TFTB) La Boîte à Outils Temps-Fréquence (Time-Frequency Toolbox - TFTB) est une collection de quelques programmes pour Matlab (R) développée pour l'analyse de signaux non-stationnaires à l'aide de distributions temps-fréquence. Cette boîte à outils comprend deux groupes de fonctions :

• pour générer des signaux, qui permettent la synthèse de plusieurs types de signaux non stationnaires.

• pour le traitement des signaux, qui incluent des distributions temps-fréquence.

Comme d'habitude sous MATLAB, chaque fonction de cette boîte à outils contient une description utile qui peut être consulté en tapant

>> help name_of_the_file

dans la fenêtre de commande de MATLAB. Dans presque tous les cas, un exemple simple est donné, qui facilite l'utilisation de la fonction.

Sept programmes de démonstration (démo) sont disponibles en TFTB, et ils fournissent une série d'exemples illustrant les capacités de la boîte à outils temps-fréquence. Ces sont les suivantes:

tfdemo Description

tfdemo1 Introduction tfdemo2 Signaux non-stationnaires tfdemo3 Représentations temps-fréquence linéaire tfdemo4 La classe de distributions temps-fréquence de Cohen tfdemo5 La classe de distributions temps-fréquence affine tfdemo6 La réallocation des distributions temps-fréquence tfdemo7 Extraction d’information

Tableau 1: Des démo pour la boîte à outils TFTB

Exemple_ démo 1: Ouvrez le logiciel MATLAB.

Ouvrez et exécutez le fichier qui contient le premier exemple démo (tfdemo1) de la boîte à outils TFTB. Ce premier fichier contient trois types de signaux : - Le premier est un signal d'amplitude constante, modulée linéairement en fréquence, avec la fréquence normalisée entre 0 et 0,5. Ce signal s’appelé chirp, et est un signal non stationnaire. - Le signal suivant est un signal de type sonar, il a une fréquence d'échantillonnage de 230,4 kHz et la bande de fréquence [8 kHz, 80 kHz]. - Le dernier exemple présenté ici est un signal transitoire auquel est ajouté un bruit blanc gaussien. Si on analyse la représentation graphique de ces signaux il est très difficile à localiser ces signaux en temps et en fréquence. Le but de l'analyse temps-fréquence est l’obtention d’une localisation temps-fréquence des ces types de signaux.

Suivez chaque ligne de code dans le fichier .mat (dans la fenêtre d'édition), les instructions, la description de l'application qui se trouve dans la fenêtre de commande et les figures générées dans chaque étape. Cette boîte à outils est destinée à des chercheurs, des ingénieurs et des étudiants avec des

connaissances de base dans le traitement du signal. La boîte à outils TFTB contient de nombreux algorithmes implémentant divers types d'analyse temps-fréquence, en particulier les distributions quadratiques de la classe de Cohen et de la classe affine ainsi que leur versions améliorées par la méthode de réallocation. La boîte à outils inclut également des procédures de simulation des signaux et de post-traitements (pour l'affichage) et quelques démonstrations illustrent son fonctionnement.

Une partie de la boîte à outils temps-fréquence est utilisée pour la génération de signaux non stationnaires. Dans cette partie, trois groupes de fichiers sont disponibles en MATLAB:

1. Le premier groupe permet de synthétiser des différentes modulations d'amplitude. Ces fichiers commencent par le préfixe 'am'. Par exemple, amrect.m génère une modulation d'amplitude rectangulaire, amgauss.m la modulation d'amplitude gaussienne…

2. Le deuxième groupe propose des différentes modulations de fréquence. Ces fichiers commencent par le préfixe 'fm'. Par exemple, fmconst.m produise une modulation de fréquence constante, fmhyp.ma donne une modulation de fréquence hyperbolique.

3. Le troisième groupe est un ensemble de signaux prédéfinis. Certains d'entre eux commencent par le préfixe 'ana', car ces signaux sont analytiques (par exemple anastep, anabpsk, anasing...). D'autres ont des noms spéciaux (doppler, les atomes...).

Les premiers deux groupes de fichiers peuvent être combinées pour produire une grande classe de signaux non stationnaires.

Exemple_ démo 2: Signaux non-stationnaires Ouvrez et exécutez le programme tfdemo2. Ce programme est conçu pour des signaux non stationnaires. Suivez chaque ligne de code dans le fichier tfdemo2.mat, les instructions, la description de l'application dans la fenêtre de commande et les figures générées dans chaque étape.

La transformée de Fourier n'est pas adaptée à l'analyse des signaux non stationnaires puisque pour

l'analyse de ce type de signaux il est nécessaire un traitement localisé dans le temps. La notion de fréquence instantanée n’est pas également adaptée à un grand nombre de signaux non stationnaires, ceux qui contiennent plus d'une composante élémentaire et les signaux affectés par le bruit. Par conséquent, les solutions avec une seule dimension ne sont pas suffisantes. Donc, on doit considérer des fonctions à deux variables (le temps et la fréquence). Une première classe des représentations temps-fréquence est la classe des représentations linéaires.

Exemple_ démo 3: Représentation temps-fréquence linéaire Ouvrez et exécutez le programme qui contient le troisième exemple démo (tfdemo3) destiné à des

représentations temps-fréquence linéaire. Suivez étape par étape les instructions et les commentaires publiés dans la fenêtre de commande, et les

figures générées dans chaque étape. La TFTB a été développée par François Auger, Olivier Lemoine, Paulo Gonçalvès et Patrick Flandrin sous les auspices du CNRS (Centre National de la Recherche Scientifique). Des parties de la boîte à outils ont été écrites au Département d'Ingénierie Électrique et Informatique de l’Université de Rice (USA) avec le support de la NSF (National Science Foundation). Exercices :

Écrivez dans la fenêtre d'édition du MATLAB les deux applications suivantes. Suivez étape par étape les instructions et les figures générés. Faites pivoter la figure 4 pour observer la dépendance temporelle de la représentation temps-fréquence, le comportement en fréquence ou pour obtenir une représentation vue d’en haut.

1. La représentation temps-fréquence Gabor. % La génération du signal à analyser % AMGAUSS Generate Gaussian amplitude modulation. % Y = AMGAUSS(N,T0,T) generates a Gaussian amplitude modulation % centered on a time T0, and with a spread proportional to T. % This modulation is scaled such that Y(T0) = 1 % and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5 . % N : number of points. % T0 : time center (default : N/2). % T : time spreading (default : 2*sqrt(N)). % Y : signal.

amplitude = amgauss(128, 64, 30);

% FMCONST Signal with constant frequency modulation. % [Y,IFLAW] = FMCONST(N,FNORM,T0) generates a frequency modulation % with a constant frequency fnorm. % The phase of this modulation is such that y(t0)=1. % % N : number of points. % FNORM : normalised frequency. (default: 0.25) % T0 : time center. (default: round(N/2)) % Y : signal. % IFLAW : instantaneous frequency law (optional). % carrier = 0.05 [carrier, IFLAW] = fmconst(128, 0.05, 64); z = amplitude.* carrier; signal = real(z); figure(1); plot(amplitude); title('L’amplitude instantanée du signal analysé');

figure(2); plot(real(carrier)); title('La porteuse du signal analysé');

figure(3); plot(signal); title('La forme d’onde du signal analysé ');

% Le calcul de la représentation temps-fréquence Gabor % TFRGABOR Gabor representation of a signal. % [TFR,DGR,GAM] = TFRGABOR(SIG,N,Q,H,TRACE) computes the Gabor % representation of signal X, for a given synthesis window H, on a % rectangular grid of size (N,M) in the time-frequency plane. M and N % must be such that N1 = M * N / Q % where N1 = length(X) and Q is an integer corresponding to the % degree of oversampling. % SIG : signal to be analyzed (length(SIG)=N1). % N : number of Gabor coefficients in time (N1 must be a multiple % of N) (default : divider(N1)). % Q : degree of oversampling ; must be a divider of N % (default : Q=divider(N)). % H : synthesis window, which was originally chosen as a Gaussian % window by Gabor. Length(H) should be as closed as possible % from N, and must be >=N (default : Gauss(N+1)). % H must be of unit energy, and CENTERED.

% TRACE : if nonzero, the progression of the algorithm is shown % (default : 0). % TFR : Square modulus of the Gabor coefficients. When % called without output arguments, TFRGABOR runs TFRQVIEW. % DGR : Gabor coefficients (complex values). % GAM : biorthogonal (dual frame) window associated to H. % If Q=1, the time-frequency plane (TFP) is critically % sampled, so there is no redundancy in the TFP. % If Q>1, the TFP is oversampled, allowing a greater % numerical stability of the algorithm. [tfr, dgr, gam] = tfrgabor(signal, 64, 32); figure(4); % La représentation graphique en deux dimensions mesh(tfr); title('Le carré du module de la RTF de type Gabor du signal analysé');

2. La représentation temps-fréquence « chirp » % La génération du signal à analyser % AMGAUSS Generate gaussian amplitude modulation. % Y = AMGAUSS(N, T0, T) generates a gaussian amplitude modulation % centered on a time T0, and with a spread proportional to T. % This modulation is scaled such that Y(T0) = 1 % and Y(T0+T/2) and Y(T0-T/2) are approximately equal to 0.5 . % N : number of points. % T0 : time center (default : N / 2). % T : time spreading (default : 2 * sqrt(N)). % Y : signal. amplitude = amgauss(128, 64, 30); % FMPAR Parabolic frequency modulated signal. % [X, IFLAW] = FMPAR(N, P1, P2, P3) generates a signal with % parabolic frequency modulation law. % X(T) = exp(j * 2 * pi(A0. T + A1 / 2. T ^ 2 + A2 / 3. T ^ 3)) % N : the number of points in time % P1 : if NARGIN = 2, P1 is a vector containing the three % coefficients [A0 A1 A2] of the polynomial instantaneous phase. % If NARGIN=4, P1 (as P2 and P3) is a time-frequency point of the form % [Ti Fi]. % The coefficients (A0,A1,A2) are then deduced such that % the frequency modulation law fits these three points. % P2, P3 : same as P1 if NARGIN=4. (optional) % X : time row vector containing the modulated signal samples % IFLAW : instantaneous frequency law

[carrier, IFLAW] = fmpar(128, [1 0.0035], [64 0.224], [128 0.418]); z = amplitude. * carrier; signal = real(z);

figure(1); plot(amplitude); title('L’amplitude instantanée du signal à analyser');

figure(2); subplot(121); plot(real(carrier)); subplot(122); plot(IFLAW);

title('La porteuse du signal à analyser, (forme d’onde à gauche et loi de variation de la fréquence instantanée à droit)');

figure(3); plot(signal); title('La forme d’onde du signal à analyser (on observe la double modulation)');

% Le calcule de la représentation temps-fréquence de type narrowband ambiguity function % AMBIFUNB Narrow-band ambiguity function. % [NAF, TAU, XI] = AMBIFUNB(X, TAU, N, TRACE) computes the narrow-band % ambiguity function of a signal X, or the cross-ambiguity % function between two signals. % X : signal if auto-AF, or [X1, X2] if cross-AF (length(X) = Nx). % TAU : vector of lag values (default : -Nx / 2 : Nx / 2). % N : number of frequency bins (default : length(X)). % TRACE : if nonzero, (default : 0) % the progression of the algorithm is shown. % NAF : Doppler-lag representation, with the Doppler bins stored in % the rows and the time-lags stored in the columns. % When called without output arguments, AMBIFUNB displays the squared % modulus of the ambiguity function by means of contour. % XI : vector of doppler values. tfr = ambifunb(signal); figure(4);

% La représentation graphique en deux dimensions

mesh(abs(tfr)); title(' Le module de la RTF de type fonction d’ambigüité de bande étroite du signal analysé')

2. La simulation des techniques de compression basée sur les représentations temps-fréquence en Matlab. L’utilisation de la boîte a

outils WaveLab

La boîte à outils WaveLab La boîte à outils WaveLab est une collection de routines MATLAB pour l'analyse en ondelettes, qui peut être téléchargée gratuitement par Internet (http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/). Elle est compatible avec tous les systèmes d'exploitation (Windows, UNIX, MAC).

Cette boîte à outils comprend plus de 1200 fichiers et 50 sous-répertoires. Comme d'habitude sous MATLAB, chaque fonction de WaveLab contient une description utile qui peut être consulté en tapant :

>> help name_of_the_file

dans la fenêtre de commande de MATLAB.

WaveLab a été utilisé en enseignement pour des cours d'analyse en ondelettes aux universités Stanford et Berkeley. Pour ses auteurs, cette boîte à outils constitue la base pour la recherche dans le domaine des ondelettes, car elle peut être utilisée pour reproduire les figures presentées dans les articles qu'ils ont publié et aussi pour réfaire des figures pour lesquelles les paramètres varient. Le sous-répertoire Wavelab850/Papers contient plusieurs autres sous-répertoires, et chacun contiene un fichier de démonstration (démo).

Le Tableau 1 donne la liste des fichiers démo contenus dans la boîte à outils WaveLab (la version 850) et les articles correspondants:

Les fichiers démo disponibles

Les articles appropriées

AdaptDemo ''Adapting to Unknown Smoothness via Wavelet Shrinkage'' AsympDemo ''Wavelet Shrinkage: Asymptopia?'' BlockyDemo ''Smooth Wavelet Decompositions with Blocky Coefficient Kernels'' CorrelDemo ''Wavelet Threshold Estimators for Data with Correlated Noise'' IdealDemo ''Ideal Spatial Adaptation via Wavelet Shrinkage'' MESDemo ''Minimum Entropy Segmentation'' MIPTDemo ''Nonlinear Wavelet Transforms based on Median-Interpolaton'' RiskDemo ''Exact Risk Analysis of Wavelet Regression'' SCDemo '' Nonlinear Wavelet Methods for Recovery of Signals, Densities and Spectra

from Indirect and Noisy Data'' CSpinDemo ''Translation-Invariant De-Noising'' TourDemo ''Wavelet Shrinkage and W.V.D. -- A Ten-Minute Tour'' VdLDemo ''WaveLab and Reproducible Research''

Tableau 1: Les fichiers de démonstration pour Wavelab850

Exemple_ démo: Ouvrez le logiciel MATLAB. Tapez le nom de chaque fichier démo dans la fenêtre de commande. Analysez pour chaque fichier les figures générées. Pour chaque figure un commentaire sera présenté dans la fenêtre de commande de MATLAB.

La boîte à outils WaveLab offre :

• Une collection de signaux de test (ensembles de données) qui peuvent être facilement accédés par l'utilisateur. WaveLab contient des signaux synthetisés qui présentent un intérêt scientifique ou d'enseignement. En plus WaveLab comprend des données réelles, par example l'image du chercheur Ingrid Daubechies ou l’enregistrement de la voix du ténor italien Enrico Caruso. Les bases de données contient également une documentation qui peut être trouvée dans le sous-répertoire Wavelab850/ Datasets, où pour chaque ensemble de données (. raw ou .asc) correspond un fichier. doc.

• Un navigateur (browser) qui permet à l'utilisateur de sélectionner les types de données, les types

d’ondelettes, d’effectuer des diverses transformations ou des opérations de débruitage, et ensuite d’observer les résultats, sans devoir utiliser l’interface ligne de commande du logiciel MATLAB.

• Une documentation détaillée, qui contiens une documentation en ligne (on-line) pour chaque

fonction, des fichiers contenu (Content files) pour chaque sous-répertoire, un guide sur l'architecture, WaveLab Architecture, et un document intitulé About WaveLab, qui prépare l'utilisateur pour la première utilisation du WaveLab.

Example_browser: Tapez WLBrowser dans la fenêtre de commande du logiciel Matlab.

Après avoir initialisé le navigateur vous verrez quatre nouvelles fenêtres: Signal, Signal/Reconstruction, Transform et Auxialiary. Chaque fenêtre contienne un menu. Celle du coin qui se trouve en haut et à gauche (Signal) est la plus importante. Quand vous cliquez sur *Data vous pouvez voir un sous-menu avec les nomes des suites de données que vous pourriez accesser. En même temps un commentaire informatif sera présenté dans la fenêtre de commande du MATLAB. Pour sélecter l’action qui s'exécutera cliquez sur *Actions. Autres réglages peuvent être sélectionnés en cliquant l'option *Param ou *Xforms.

Example: De-Noising Sélectionnez l'option *Data du menu, et sélectionnez RaphaelNMR. Dans la fenêtre Figure No.1 Signal on peut voir un signal bruité. En dessous de la fenêtre on peut voir quelques réglages. Ces réglages ne sont pas importantes pour cet exemple. Dans la fenêtre de commande du MATLAB vous pouvez lire quelques renseignements sur la suite de données. Sélectionnez l'option *Param et l’ondelette que vous voulez utiliser, par example Symmlet. En suite choisisez l'option *Actions-WTDeNoise. Dans la fenêtre Figure No.2 Signal/Reconstruction on peut voir le signal bruité (en jaune) et le signal debruité (en bleu).

Dans la fenêtre Figure No.3 Transform sont présentés les transformées en ondelettes discrètes des signaux bruité (Before) et debruité (After). On peut remarquer que les échantillons de petite taille de la transformée en ondelettes discrète du signal bruité manquent dans la transformée en ondelettes discrète du signal debruité. C’est l’effet de la procédure de debruitage (de-noising) qui fait l’objet de l’application WTDenoise. Dans la fenêtre Figure No.4 sont présentés les densités fréquentielles de puissance des signaux bruité (vert) et debruité (rouge) (présentés dans la figure No. 2). On peut remarquer que la densité de puissance du signal debruité est inférieure à la densité de puissance du signal bruité.

Le répertoire Workouts/Toons contient plus que cent scripts, par example toon0131 qui contient des programmes qui font la représentation graphique des ondelettes à différentes échelles, le domaine de programmes qui est compris entre toon0541 et toon0548, qui est destiné à la comparaison des transformations en deux dimensions en ondelettes et de Fourier discrètes utilisées pour la compression des images, les programmes comprises entre toon1611 et toon1613 qui illustrent la compression d’images d’empreinte digitale (fingerprint). Example_toons :

Tapez help toon0111 dans la fenêtre de commande du Matlab. Vous pouvez lire dans la fenêtre de commande une bref présentation du contenu de cet programme. Tapez maintenant toon0111. Vous pouvez voir les représentations graphiques de quatre ondelettes mère à support compact: l'ondelettes de Haar, l'ondelette de Daubechies d'ordre 4, D4, l'ondelette de Coifman et Daubechies, Coiflet d'ordre 3, C3 et l'ondelette la plus symétrique de Daubechies d'ordre 8 Symmlet, S8. Analysez les figures générées. Étudiez l’instruction: makewavelet. Pour trouver la signification des paramètres de cette instruction tapez help MakeWavelet. Faites les représentations graphiques des ondelettes mère suivantes:

- Daubechies 2-10, - Coiflet2-Coiflet5, - Symmlet2-Symmlet10.

Étudiez, en utilisant la technique déjà mentionnée (appellation du programme, exécution, figure, contenu) les

autres programmes toons, qui décrivent les ondelettes:

toon0111 -- Wavelet Families toon0112 -- Interpolating Wavelets toon0113 -- Average Interpolating Wavelets toon0114 -- Meyer Wavelets toon0121 -- Wavelets Come in Genders toon0131 -- Scale Families of Wavelets toon0132 -- Wavelets come at all different scales and positions toon0140 -- Illustrating Boundary Wavelets toon0141 -- Illustrating Boundary Wavelets toon0142 -- Illustrating Boundary Wavelets toon0151 -- Visualize wavelet decomposition of ramp. toon0152 -- Visualize wavelet decomposition of Doppler. toon0161 -- Visualize multi-resolution decomposition toon0171 -- Illustrate smoothness of wavelets

3. La simulation des techniques pour le filigranage des images en utilisant des ondelettes en Matlab

Le filigranage

Le filigranage ou tatouage numérique (watermarking) est une méthode pour ajouter une information numérique invisible aux produits multimédia, par exemple aux images ou aux signaux audio et vidéo.

Un filigrane est un signal inséré dans une suite de données numériques. Ce filigrane est comme une signature transparente. Un filigrane peut être un ensemble de nombres, le nom d’une société, la signature d'une personne, etc.

Les filigranes sont générés d'une façon privée et ensuite ils devraient être détectés en utilisant des clés publiques ou privés (en fonction de leur utilisation). La caractéristique principale d’un filigrane est qu’il ne peut pas être détecté par nos yeux ou nos oreilles. Donc si on regarde/écoute l’objet multimédia qui contient un filigrane, on n’observera pas sa présence. Par contre, le filigrane peut être détecté et extrait si on utilise l’ordinateur muni d’un certain algorithme.

Le terme filigrane (digital watermark) vient des mots anglais water=eau et mark=marque est désigne un marquage invisible, comme la transparence de l'eau. Le terme “watermarking” est généralement utilisé pour l'insertion d’un ou quelques bits d'information. Pour le cas où plusieurs bits sont insérés on utilise le terme de data embedding.

Pour permettre la protection d’information le procédé de filigranage suppose deux opérations: l'insertion du filigrane dans les données initiales, avant la transmission ou le stockage et la récupération du filigrane des données reçues. Puis on compare le filigrane ajouté à l’émission avec le filigrane extrait à la réception, pour l'authentification, en cas d’un différend.

Les techniques de filigranage ne sont pas utilisées seulement pour la protection des données, mais aussi en autres applications:

• Indexation: l’indexation de vidéos et des articles contenus dans une base de données, où on peut ajouter des signes et des commentaires qui pourraient être utilisés par les moteurs de recherche sur l’Internet,

• La sécurité médicale: le placement de données et du nom du patient dans des images médicales peut être une mesure de sécurité très utile,

• Le cachage des données: les techniques de filigranage peuvent être utilisées pour transmettre des messages privées, secrets. Comme les gouvernements restreignent l'utilisation des services de cryptage, les gens peuvent cacher leurs messages en autres données.

Classes des techniques de filigranage Dans la figure 1 est présentée une classification de techniques de filigranage existantes:

Les filigranes visibles créent des changements notables dans le signal original, mais ils permettent que le signal marqué communique le message original. Les filigranes imperceptibles peuvent être, dépendent de l’application: fragiles ou robustes. Les filigranes fragiles sont insérés dans le signal multimédia de sorte que presque tout traitement (indésirable) du signal marqué conduira à la modification du filigrane, fournissant ainsi des informations sur les changements du signal (faits avec mauvaise volonté). Les filigranes robustes sont insérés dans le signal hôte de sorte que leur élimination soit difficile à faire (contrairement aux filigranes fragiles). Ils doivent être résistants contre les attaques intentionnelles. Dans le cas des techniques de filigranage robuste, on peut définir deux types de méthodes :

• publiques (qui utilisent une clé pour l’insertion du filigrane et pour la détection et l'extraction de celui-ci, sans utilisant le signal multimédia original pour la détection et pour l’extraction),

• privés (qui utilisent le signal multimédia marqué et le signal original pour la détection et l'extraction des filigranes).

Les techniques de filigranage robuste peuvent être classifiées en considérant le lieu d’insertion du filigrane en:

• des techniques dans le domaine spatial/ temporel, où le filigrane est inséré dans le domaine spatial pour les séquences vidéo, respectivement dans le domaine temporel pour les signaux audio.

• des techniques dans le domaine d’une transformation, où on travaille sur les coefficients de la

transformée de Fourier (DFT) ou de la transformée en cosinus (DCT) ou de la transformée en ondelettes (DWT) du signal hôte.

Figure 1: La classification des techniques de filigranage.

Les techniques de filigranage peuvent être classifiées selon plusieurs critères, en considèrant: • Le choix des endroits pour insérer le filigrane, en utilisant le modèle du système visuel humain

HVS, ou une clé générée de façon aléatoire ou pseudo-aléatoire, • Le domaine où on va insérer le filigrane: le domaine spatial ou temporel ou le domaine d’une

transformée (DCT, DWT, DFT, ...), • Le codage des messages de marquage en utilisant les codes correcteurs d'erreurs (ECC), la

transmission á étalement de spectre (spread spectrum - SS), le multiplexage fréquentiel ou temporel et le multiplexage par code,

• La formation du signal composé : additive ou basée sur quantification, • La détection / décodage de filigrane: par corrélation,...

Les techniques décrites ci-dessus peuvent être appliquées dans le domaine du traitement de l'image, ou

on peut prendre en compte les critères de perception dans le processus d’insertion du filigrane et dans la construction des techniques de filigranage robustes contre les attaques basées sur des techniques de traitement communes. Chaque domaine de transformation a ses avantages et ses inconvénients. Filigranage dans le domaine des ondelettes

Ces techniques font l’insertion d'information dans les blocs LH (Low High), HL (High Low) et HH (High High) de la DWT de l'image. Les changements de ces régions ne sont pas visuellement observables du aux caractéristiques du HVS. Si les techniques de filigranage peuvent exploiter les caractéristiques du HSV, il est possible de cacher des filigranes d'énergie plus grande, ce qui augmente leur robustesse.

De ce point de vue la DWT est très attrayante car elle est plus efficace en vitesse de calcul. Il semble que l'œil humain est moins sensible au bruit dans les bandes de haute résolution de la DWT et dans les bandes orientées à 45 dégrées (bande HH). En plus, la technique de codage EZW (Embedded Zero-tree Wavelet), est inclue dans les normes de compression de vidéo ou d’image (JPEG2000). En plaçant le filigrane dans le même domaine (de la DWT) on peut estimer les pertes de la compression EZW, car on peut prédire les bandes de la DWT qui seront touchées par le schéma de compression. En plus, la DWT peut être exploitée afin de créer des applications de filigranage en temps réel.

Algorithmes dans le domaine des ondelettes Beaucoup d'applications emploient la DWT. Deux de ces applications sont la compression et le débruitage. En fait, l’un des succès les plus importantes de la théorie des ondelettes est son utilisation à la compression des empreintes par FBI. L'analyse en ondelettes permet l'utilisation de longs intervalles de temps pour l’extraction plus précise d’une information de basse fréquence, et l’utilisation des intervalles de temps plus courtes pour l’extraction d’une information de haute fréquence. Dans le cas du filigranage ont été proposées plusieurs techniques qui utilisent une transformé. Pour l'insertion du filigrane, une transformation est appliquée au signal hôte et puis les coefficients obtenus sont modifiés. Les transformées qui ont été étudiées dans le contexte du codage et de la compression d'images sont applicables aussi dans le cas de filigranage. Pour la plupart des images, les couleurs des pixels adjacents sont corrélées. Le transfert d’une image dans le champ d’un transformée, comme la DCT ou la DWT, devrait decorréler le signal original et concentrer son énergie dans un nombre réduit de coefficients. Une image codée en fréquence a une énergie qui est concentrée dans les premiers coefficients de sa DCT en contenant principalement des composants de basse fréquence. Elles représentent la forme et les caractéristiques générales de l’image: la luminance et le contraste. Les fréquences hautes représentent les contours de l'image, mais elles ne contribuent pas beaucoup à l'énergie de celui-ci. Une image peut contenir 95% de son énergie dans 5% des ses composantes spectrales de plus bas fréquences qui correspondent aux premiers coefficients de sa DCT bidimensionnelle. La DWT décompose l'image en plusieurs sous-bandes de détails : HH, HL et LH pour chaque niveau de résolution, et une sous-bande d’approximation LL (low low) pour le niveau de la plus basse résolution. La sous-bande LL contient la plupart des informations de l'image. Les sous-bandes HL, LH, et HH contiennent les détails horizontaux, verticaux et diagonaux. Les détails de l'image telle que les contours et les textures sont confinés dans les sous-bandes HH, LH, et HL de la DWT de l'image. Attaques Une attaque représente une modification du signal multimédia marqué qui peut affecter la qualité du filigrane extraite. Les attaques peuvent se produire pendant la transmission ou sur l'environnement de stockage. L'objectif de l'attaquant est de réduire la sécurité du système de filigranage, c'est-à-dire de réduire la probabilité d'extraction / détection du filigrane originale, et d’augmenter la probabilité d'extraction / détection d'un faux filigrane qui n’a pas été inséré dans le signal hôte. Les attaques peuvent utiliser une seul copie d'un filigrane originale (dans ce cas les attaques peuvent être involontaires ou intentionnelle), ou plusieurs copies du filigrane original (dans ce cas-ci elles sont intentionnelles) (figure 2).

Figure 2: Classification des attaques en fonction du numéro de copies marquées.

Selon la manière de génération, les attaques peuvent être classifiées dans deux catégories principales (figure 3):

• attaques involontaires dues au traitement des signaux par transmission ou par stockage : filtrage, compression, conversion A/N et N/A etc.,

• attaques intentionnelles faites par des attaquants afin d'éliminer le filigrane ou insérer un filigrane faux.

- attaques sur un seul cadre / single-frame: filtrage, transformations géométriques, cryptographiques, de protocole, d’estimation du signal hôte ou du filigrane, par addition de bruit; - attaques sur plusieurs cadres / multiple-frames: le calcule de la moyenne de plusieurs cadres, l'estimation de plusieurs cadres (par exemple, par moyenne pondérée).

Figure 3: Classification des attaques. Exercice: Une méthode robuste de filigranage pour les images Ouvrez le logiciel MATLAB et exécuter main.m du répertoire Watermarking.

Les simulations ont été effectuées en utilisant l’image, Peppers, avec la taille 256 x 256. Le filigrane est une séquence binaire pseudo aléatoire, avec longueur wN 256= . L’ondelette Daubechies 10pt a été employée pour produire les coefficients de DWT. Dans tous les essais nous avons employé les paramètres suivants : le nombre de niveaux de résolution L = 3, la force du filigrane α = 0.1, et les variables niveau-dépendantes 1q = 0.06, 2q = 0.04 et 3q = 0.02. Nous extrayons le filigrane de deux manières : - de tous les niveaux, en utilisant une règle de majorité, (détecteur NC1) - du premier niveau de décomposition seulement (nous tenons compte du fait que les plus basses fréquences ne sont pas affectées par des techniques communes de traitement du signal). (Détecteur NC2).

a) Faites les simulations en utilisant plusieurs images (Lena, Boat, Barbara), toutes avec la taille 256 x 256.

b) Observez la différence visuelle entre les images filigranées et originales; mesurez la différence entre les deux types d’images en utilisant le rapport signal/bruit de sommet.

c) Etudiez les effets des attaques basés sur des techniques communes de traitement du signal (filtrage médian, compression JPEG, AWGN) sur le coefficient de corrélation entre le filigrane originel et le filigrane extrait.

La simulation d'un système de modulation en ondelettes en Matlab La modulation multi-porteuse La modulation multi-porteuse a connu dans les dernières décennies, une grande utilisation. Ainsi, des différentes variantes d'OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) sont actuellement proposées dans la plupart des normes de transmissions sur les canaux radio, mais aussi dans une variété d’applications de transmission sur des canaux avec fil. On peut énumérer ici les normes DAVB (Digital Audio et Video Broadcasting), IEEE 802.11 (réseaux WiFi), IEEE 802.16 (WiMAX), 3GPP Release 8 (LTE), les technologies DSL (Digital Subscriber Loop) ou la transmission des données sur des lignes de tension. Les technologies énumérées ci-dessus sont les applications les plus connues de la modulation multi-porteuses. Leur utilisation dans plusieurs domaines prouve leur fiabilité et leur robustesse et justifie l’intérêt pour cette direction dans la recherche scientifique. Les applications énumérées ci-dessus utilisent des différentes versions d'OFDM. L'OFDM présente un certain nombre d'inconvénients aussi, qui constituent des sérieux obstacles à la mise en œuvre pratique et qui réduisent les performances des systèmes de communication. Actuellement il existe deux directions de recherche dans le domaine des modulations multi-porteuses: 1. D'une part, on cherche des solutions et des algorithmes, tout en maintenant les principes de base de l’OFDM (les même types de porteuses, les mêmes algorithmes pour la mise en œuvre du modulateur et du démodulateur), pour réduire l'impact des désavantages de cette technique. 2. De l’autre part, plus des travaux de recherche plaident pour la mise en œuvre des modulations multi-porteuse sur des nouvelles bases, en utilisant d'autres familles de porteuses orthogonales que l’exponentielle complexe de l’OFDM. De la seconde catégorie de méthodes appartienne la modulation en ondelettes. L’utilisation des ondelettes dans une méthode de transmission multi-porteuse est un sujet de recherche qui est en plein expansion. Les principales applications des méthodes multi-porteuses basées sur les ondelettes présentées dans la littérature sont la transmission de données via le réseau de haute tension, d'une part, et la transmission sur les canaux radio, de l'autre. L’OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) L’expansion de la modulation OFDM s'est effectivement produit avec le développement des techniques de traitement numérique du signal et des algorithmes associés. Dans ce cas, l’algorithme rapide pour le calcul de la transformation de Fourier discrète (TFD) a une importance particulière. Cet algorithme est le point clé du modulateur et du démodulateur OFDM, comme on le verra ci-dessous. L’utilisation de cette technique a connu un développement rapide, en particulier dans les systèmes qui utilisent la transmission sans fil. Ainsi, plusieurs normes utilisent l’OFDM au niveau physique pour transmettre l’information par canal radio. Entre eux on peut exemplifier le DAVB (Digital Audio & Video Broadcasting), le WiFi (IEEE 802.11), le WiMAX (IEEE 802.16), le LTE (Long Term Evolution norme 3GPP Release 8) ou le Flash OFDM (solution Flarion). La technique OFDM est basée sur la transmission multi-porteuse: plusieurs séquences de données sont transmises en parallèle, en utilisant sous-porteuses qui sont orthogonales. L’orthogonalité est essentielle, car elle est celle qui permet la séparation des sous-porteuses au récepteur. La figure 1 montre le diagramme bloc d'un canal de transmission en utilisant le multiplex orthogonal avec division en fréquence.

Figure 1: Le diagramme bloc d'un system de transmission basse sur l’OFDM

Les symboles d'information sont une séquence de bits, qui résulte éventuellement après un codage de canal de la série des données d'origine. La séquence ainsi obtenue est convertie en parallèle (sur N branches) et est soumise à la modulation dans la bande de base. Cela signifie que, en fonction de la constellation de la modulation choisie sur chaque branche, les groupes de bits sont convertis en symboles complexes. Le point clé du modulateur OFDM est l'algorithme IFFT (Inverse Fast Fourier Transform). Le fait que la modulation est obtenue en appliquant la transformée de Fourier inverse peut conduire à l'interprétation des symboles d’entrée du modulateur comme des „échantillons” définis en fréquence. En ce qui concerne la constellation de modulation utilisée, elle peut être identique ou différent, sur chaque branche, avec un mécanisme intelligent d’optimisation de la transmission, basée sur l'estimation du canal. Un préfixe circulaire est ajouté devant le symbole OFDM généré par le modulateur IFFT pour séparer deux blocs OFDM successifs et pour faciliter l'égalisation du canal. En pratique, toutes ces opérations sont mises en œuvre par traitement numérique de signal. Pour obtenir le signal qui corresponde à la modulation OFDM, il est nécessaire une conversion du signal numérique en signal analogique (utilisant une conversion analogique-numérique, et un formateur d’impulsions). Le spectre du signal analogique obtenu ainsi, sera translaté autour de la fréquence radio de transmission. Le récepteur met en œuvre opérations complémentaires: le spectre du signal est translaté dans la bande de base et le signal obtenu ainsi est converti en signal numérique. Après avoir enlevé le préfixe circulaire on peut utiliser un égaliseur de canal (qui n’est pas représenté dans la figure 1). Si on fait quelques hypothèses simplificatrices, par exemple: canal linéaire et invariant en temps estimé parfaitement, ou la durée du préfixe circulaire supérieure à la durée de la réponse impulssionnelle du canal, alors l’égaliseur de canal est très simple étant réalisé par la multiplication du signal avec une constante sur chaque sous-porteuse, pour compenser le coefficient complexe de la réponse en fréquence du canal. La séquence obtenue ainsi est mise à l'entrée du bloc FFT (Fast Fourier Transform), qui joue le rôle du démodulateur. Les symboles de sortie complexes sont transformés en des groupes de bits en conformité avec la constellation de modulation utilisée sur chaque sous-porteuse. Si on utilise un code correcteur d'erreurs, le décodeur peut encapsuler toute la partie de détection, et à la sortie résultent les valeurs estimées des bits transmis. L’utilisation des ondelettes pour la transmission multi-porteuse Plusieurs applications de la théorie des ondelettes ont apparus pendant les dernières années dans des nombreux domaines liés au traitement du signal. Nous nous référons ici aux algorithmes de "débruitage" (terme introduit juste à propos de l'utilisation des ondelettes), de compression, de segmentation des signaux et de différents types d’images, ou de classification. Récemment, des propriétés spécifiques aux certaines familles d’ondelettes, comme par exemple l’orthogonalité des composantes ou leur capacité de partager le plan temps-fréquences d'une manière flexible, ont été utilisées dans des applications de transmission de données.

Une approche moderne de la communication de données considère le canal de transmission comme un plan temps-fréquence. Sur l’axe des fréquences on peut identifier la bande dédiée à une transmission, et sur l’axe de temps on peut identifier la manière dans laquelle sont allouées les ressources temporelles pour la transmission. Selon le principe d'incertitude de Heisenberg-Gabor, appliqué dans la théorie des signaux, aucun signal ne peut pas être parfaitement localisé en temps et en fréquence simultanément. Une collection d’ondelettes (base ou cadre) peut "couvrir" le plan temps-fréquence d’une façon efficace. Une ondelette mère a la capacité de générer une base orthonormée. Cette collection est obtenue par la translation dans le temps et la dilatation de l’ondelette mère. La relation mathématique correspondante est la suivante:

s,1 t(t) ( )

ssτ− τψ = ψ (1)

Dans la relation ci-dessus, les variables d'échelle (s) et de positionnement sur l'axe temporel (τ) sont des variables continues. Par rapport aux porteuses sinusoïdales de l’OFDM, les ondelettes ont des avantages en ce qui concerne la complexité réduite de la mise en œuvre, la flexibilité et l'efficacité spectrale. L'idée d’utilisation dans les systèmes de transmission multi porteuse a été étendue aussi pour les paquets d'ondelettes, qui confèrent une efficacité spectrale augmentée et une plus grande adaptabilité aux conditions du canal de transmission. La liaison entre l'OFDM traditionnel et l’OFDM qui utilise les ondelettes (WOFDM) est donnée par l'orthogonalité (dans les deux cas) des fonctions qui vont être utilisées comme des porteuses. L'un des points clés de la WOFDM est qu'elle peut être produite par des techniques de traitement numérique du signal, (l’IDWT). Dans ce cas, le signal transmis dans le canal sera «synthétisé» (tout comme dans le cas de l’OFDM) en utilisant des coefficients d'ondelettes (les détails), et des coefficients d'échelle (les approximations). Ainsi, les données pour la transmission peuvent être considérées comme étant définies dans un domaine transformé, tout comme dans le cas de l’OFDM. La WOFDM peut être simulée en utilisant le schéma-bloc présenté dans la figure 2.

Figure 2: La simulation de la transmission WOFDM

Il faut remarquer l'interprétation des données d’entrée, vues comme des coefficients de détail (wj,k), respectivement d’approximation (aL,k). Plus précisément, il s’agie des symboles à transmettre, qui correspondent au schéma de modulation (constellation de signal) utilisée. Dans le cas des modulations qui transportent plus d'un bit par symbole (QPSK, 16 QAM, etc.), les symboles à transmettre correspondent à des nombres complexes, et, dans ce cas, il faut travailler sur deux branches (l’une correspondant à la composante en phase et l'autre à la composante en quadrature). C'est parce que, contrairement à la DFT, la DWT est une transformée réelle, et, en principe elle s’applique à des nombres réels. Au canal de la figure 2 corresponde une fonction de transfert (H (z)). Dans le cas le plus simple, H(z) = 1, ce qui n'affecte pas le signal transmis. Dans ce cas, l'influence du support de transmission est déterminée par deux types de bruit. La séquence z[n] corresponde en général à un bruit blanc Gaussien de moyenne nulle. La séquence ray[n] est une variable aléatoire de type Rayleigh, et serve à la modélisation de la variabilité en temps du canal. Quand H(z) est différent de 1, on peut capturer aussi le caractère sélectif en fréquence du canal. Les avantages des ondelettes pour la transmission multi porteuses

La mise en œuvre de la modulation multi-porteuse basée sur les ondelettes peut présenter un certain nombre d'avantages par rapport à celle basée sur la transformée de Fourier, et donc sur les exponentielles complexes:

• l’efficacité spectrale (le signal WOFDM est plus «adapté» à une bande passante fixée et génère des interférences dans les bandes adjacentes moins importantes que dans le cas du signal OFDM; les systèmes de type OFDM utilisent un préfixe circulaire qui diminue leur efficacité spectrale. Les systèmes de type WOFDM n’utilisent pas un préfixe circulaire).

• la complexité de mise en œuvre (si le signal transmis doit être réel alors l’OFDM présente des

problèmes supplémentaires, qui conduisent directement à une complexité plus grande que celle de la WOFDM.)

Exercice 1 : Le principe de la modulation et démodulation en ondelettes

Ouvrez le logiciel MATLAB et exécutez exercitiul1.m du répertoire Programe.

On génère 4 symboles à transmettre en utilisant la méthode Wavelet OFDM (WOFDM): {+1,-1,+1,-1}. Les porteuses sont de la famille de Daubechies-10, d'une durée de 128 échantillons et on travaille avec une échelle mj = 2, c'est-à-dire, le facteur de „compression temporelle”, vaut 4.

Dans les figures générées après l'exécution du programme on peut observer le symbole WOFDM, et comment fonctionne le détecteur: d'abord la multiplication avec l’ondellete approprié, puis l'intégration du signal pendant la transmission d'un symbole WOFDM. Cette méthode de détection corresponde effectivement à l'application de la transformée en ondelettes directe.

On observe comment aux sorties des intégrateurs placés sur les branches (les sous-porteuses) sur lesquelles a été transmis le symbole 1, le signal tend à augmenter, atteignant rapidement la valeur 1. L'effet est similaire pour les branches 2 et 4, mais cette fois-ci on parle de valeurs négatives. L’'échantillonnage conduise à la detection des symboles transmis.

On suppose qu’on utilise l’ondelette de Haar, et que le signal s(t) généré sera approximé par une séquence qui a N=16 échantillons. Dans ce cas on aura mj =4 et on va utiliser comme porteuse l’ondelette de Haar. Donc, les symboles à transmetre peuvent être vues comme un coefficient de détail ( 0,1w ) et un coefficient d’approximation ( 0,1a )

pour le niveau de decomposition le plus brut, deux coefficients de détail pour j=1( 1,1w et 1,2w ), 4 coefficients de

détail pour j = 2 et 8 coefficients pour j = 3. Le coefficient d’approximation va moduler la fonction d'échelle, 0(t)ϕ , le coefficient de detail du niveau de decomposition le plus brut va moduler l’ondelette 0(t)ψ et de suite. Par l’addition de toutes ces formes d'onde on obtienne le symbole WOFDM.

Pour d’autres ondelettes mère des familles de Daubechies, Coiflet et Symmlet exécutez de nouveau le programme exercitiul1.m

Exercice 2: Le critère de Nyquist d’interférence inter-symbole nulle et les ondelettes Exécutez exercitiul2.m du répertoire Programe.

Pour d’autres ondelettes mère des familles de Daubechies, Coiflet et Symmlet, exécutez de nouveau le programme exercitiul2.m.

Observez l’ondelette mère dans chacun de ces cas et la fonction d'auto corrélation de l’ondelette mère. Observez que les ondelettes vérifient le critère de Nyquist d’interférence inter-symbole nulle.

Bibliographie:

[1] Marius Oltean, teza de doctorat: " Contributii la optimizarea transmisiei pe canale radio, folosind functii wavelet" http://shannon.etc.upt.ro/docs/cercetare//teze_doctorat/tezaOltean.pdf

Une méthode de prédiction de trafic basée sur les ondelettes

Introduction Les réseaux sans fil ont connu depuis quelques années une augmentation considérable du nombre d’utilisateurs et de la quantité de trafique à transporter. L’étude de la capacité d’un réseau de télécommunications est un objectif très important qui n’a pas reçu encore l’attention demandée dans le domaine de la recherche. La théorie de planification de la capacité pour les réseaux de télécommunications traditionnelles est un domaine bien explorée, qui a une applicabilité limitée dans les réseaux ad-hoc, tels que le réseau WiMAX. Les séries temporelles Une série temporelle représente une séquence d’observations 1X , 2X ,…, t 1X − , tX d’un processus aléatoire X à intervalles de temps discrets, où une observation au temps t est donnée par tX . De telles suites de valeurs peuvent être exprimées mathématiquement afin d'en analyser le comportement, généralement pour comprendre son évolution passée et pour en prévoir le comportement futur. Une telle transposition mathématique utilise le plus souvent des concepts de probabilités et de statistique. Parmi ses principaux objectifs figurent la détermination de tendances au sein de ces séries ainsi que la stabilité des valeurs (et de leur variation) au cours du temps. Pendant les derniers ans beaucoup des études sur les séries chronologiques et sur les procédures de prédiction ont été élaborées. Il y a beaucoup des modèles linéaires classiques qui peuvent être appliqués pour prédire les séries temporelles, telles que les modèles : Auto Régressifs (AR(p)), Moyenne Mobile (MA(q)), Autorégressif à Moyenne Mobile (ARMA(p,q)), Autorégressif Intégré à Moyenne Mobile (ARIMA(p,d,q)) ou ARIMA Fractionnelle (FARIMA). Ces modèles peuvent être montés sur tout ensemble de données de type séries chronologiques en sélectionnant les valeurs appropriées des paramètres p, d et q. Le Réseau de Neurones (RN) a été considéré comme un outil de prédiction très important et a été utilisé dans plusieurs domaines, y compris la prédiction du trafic. La transformée en ondelettes. La transformée en ondelettes non décimée. La transformée en ondelettes est un outil d’analyse temps-fréquence très populaire dans le traitement du signal. L’analyse multi résolution (MRA) est une propriété importante de la transformée en ondelettes, par laquelle les signaux peuvent être décomposés en éléments de haute fréquence (les détails) et des composants de basse fréquence (les approximations). A partir d’une séquence de coefficients d’approximations et d’une séquence des coefficients de détails d’une résolution quelconque, on peut reconstruire sans pertes, le signal analysé au niveau supérieur de résolution. La décomposition du signal qui doit être analysé en séquences d’approximation et de détails se réalise itérativement, chaque niveau de décomposition correspondant à une certaine résolution. On utilise la transformée en ondelettes non décimée, appelée aussi stationnaire (qui est calculée à l’aide de l’algorithme à trous) même si elle est redondante et demande une complexité algorithmique plus importante que la transformée en ondelettes discrète. Cette transformée est invariante aux translations grâce à l’élimination de la décimation entre les échelles successives et ainsi elle présente l’avantage d’un choix de filtres plus simple que pour la transformée décimée. Un système de calcul de la transformée en ondelettes non décimée est présenté dans la Figure 1.

Figure 1 – Système pour le calcul de la transformée en ondelettes non décimée.

Dans ce cas, l’utilisation des décimateurs est évitée mais, à chaque itération différents filtres passe-bas et passe-haut sont utilisés. Modèles de prédiction ARIMA Étant donné une série temporelle tX , le modèle ARMA est un outil pour comprendre et prédire, éventuellement, les valeurs futures de cette série. Généralement, un modèle ARMA est noté ARMA (p, q), où p représente l’ordre de la partie autorégressive (AR) et q représente l’ordre de la partie moyenne mobile (MA). Le modèle ARMA permet de traiter les séries stationnaires. Les modèles ARIMA permettent de traiter les séries non stationnaires comme des modèles ARMA après avoir déterminé le niveau d’intégration(le nombre de fois qu’il faut différencier la série avant de la rendre stationnaire). Le modèle général ARIMA comprenne trois types de paramètres : les paramètres AR(p), le paramètre de différenciation (d) et les paramètres MA(q). Un modèle ARIMA est donné par : ( )( ) ( ) ( )21 , ~ 0,d

t t tB B X B Z Z WNϕ − = θ σ Ces paramètres peuvent être estimés en utilisant la méthodologie Box-Jenkins. L’approche générale de la méthodologie Box-Jenkins consiste à différencier la série chronologique pour la rendre stationnaire (déterminer le niveau d’intégration d). La détermination des ordres p et q dépende de la fonction d’auto corrélation et de la fonction d’auto corrélation partielle de la série qu’on veut modéliser. Le modèle statistique pour la série qu’on veut prédire, réduit le modèle de régression linéaire multiple à seulement deux paramètres : la tendance globale de la série (décrite par les coefficients d’approximation de la transformée en ondelettes) et sa variabilité autour de cette tendance globale (décrite par les coefficients de détails de la transformée en ondelettes). Exercise Ouvrez le fichier main.m du répertoire Laborator 5/ Programe. Description des données Les données ont été collectées pendant une période de huit semaines, au niveau de chaque station de base qui composent le réseau WiMAX considérée. Ces valeurs représentent la quantité de trafic, mesurée en paquets, pour toutes les connexions de chaque station de base, et pour toutes les stations de base dans ce réseau pendant la période de huit semaines. Ces valeurs étaient enregistrées toutes les 15 minutes. La Figure 2 montre le signal original d’une station de base.

Figure 2 – Le signal original

Premièrement, les données passent par une étape de prétraitement avant l’application de la transformée en ondelettes. L’étape de prétraitement comprend l’identification des erreurs potentielles dans l’ensemble de données, le traitement des valeurs manquantes, et la suppression des bruits ou des résultats inattendus qui pourraient surgir durant le processus d’acquisition. Dans cette étape, les données d’entrée sont également analysées pour savoir si elle contient des périodicités. Dans la figure 3 on a représenté la densité spectrale de puissance du signal représenté dans la figure 2.

Figure 3 : La densité spectrale de puissance

La décomposition en ondelettes et la reconstruction correspondante de la série chronologique a été réalisée avec l’ondelette mère db1. On a utilise 6 niveaux de décomposition. La résolution temporelle de la série d’origine est de 15 minutes. Par décimation temporelle avec un facteur de 6, on obtient une nouvelle résolution temporelle initiale de 1h 30. Pour extraire la tendance globale de la série temporelle nous avons effectué l’analyse multi résolution en utilisant des résolutions temporelles entre 1h 30 et 96 heures. A chaque résolution temporelle on obtienne deux catégories de coefficients : les coefficients d’approximation et les coefficients de détail, d1- d6. L’équation qui décrit la MRA proposée est la suivante :

( ) ( ) ( )6

61

pp

X t c t d t=

= +∑

On construit la nouvelle série statistique pour la série temporelle de trafic qu’on veut prédire : ( ) ( ) ( ) ( )6 3 4X t c t d t d t= +β ⋅ + γ ⋅ ou ( )6c t représente la tendance et ( ) ( )3 4d t d tβ ⋅ + γ ⋅ représente la variabilité. On va faire la prédiction pout chacun de ce deux composantes : la tendance et la variabilité. On va estimer les composantes de tendance et de variabilité en utilisant les modèles linéaires des séries chronologiques. Observez chaque étape de l’algorithme de prédiction et les figures générées. Changez l’ondelette mère utilisée avec autres ondelettes mère que vous connaissez. Observez les différences qui apparaissent quand on change l’ondelette mère.