1 P DE GARDE · 2017. 11. 13. · Nawaf et al [6] ont étudié numériquement la convection naturelle dans une cavité carrée remplie d'un milieu poreux en régime transitoire. Ils

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIREMINISTERE DE LrsquoENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE MENTOURI CONSTANTINEFACULTE DES SCIENCES EXACTES

DEPARTEMENT DE PHYSIQUE

Ndeg de seacuterie helliphelliphelliphellipNdeg drsquoordre helliphelliphelliphellip

MEMOIRE

Preacutesenteacute pour obtenir le diplocircme de

MAGISTER EN PHYSIQUE

Speacutecialiteacute ENERGETIQUE

Option PHOTOTHERMIQUE

Thegraveme

ETUDE NUMERIQUE DE LA CONVECTION NATURELLE EN MILIEU POREUX

SATURE DE FLUIDE DANS UNE CAVITE CARREE A ORIENTATION VARIABLE

Par

LATRECHE ABDELKRIM

Soutenue le 122010

Devant le jury

Preacutesidente A CHAKER Professeur Univ Mentouri Cne

Rapporteur M DJEZZAR MCA Univ Mentouri Cne

Examinateurs N BELLEL MCA Univ Mentouri Cne

A OMARA MCA Univ Mentouri Cne

i

Remerciements

Je deacutesire tout drsquoabord exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements les plus

chaleureux agrave Monsieur DJEZZAR Mahfoud Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri

Constantine pour son aide appreacuteciable pour ses conseils preacutecieux pour ses ideacutees originales qui

ont enrichi cette thegravese pour sa disponibiliteacute permanente et pour mrsquoavoir fait profiter de son

expeacuterience

Je tiens agrave remercier sincegraverement Madame CHAKER Abla professeur agrave lrsquouniversiteacute

Mentouri Constantine qui a bien voulu preacutesider mon jury drsquoexamen malgreacute ces nombreuses

occupations

Monsieur BELLEL Nadir Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri Constantine et

Monsieur OMARA Abdeslam Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri Constantine mrsquoont

fait lrsquohonneur drsquoexaminer ce meacutemoire et de participer agrave mon jury drsquoexamen Qursquoils trouvent ici

lrsquoexpression de mes meilleurs remerciements

Enfin je tiens agrave remercier tous ceux qui ont contribueacute de pregraves ougrave de loin agrave la reacutealisation de

ce travail

ii

Nomenclature

Lettres latines

a Diffusiviteacute thermique (m2sminus1)

Cp Chaleur massique agrave pression constante (J kgminus1 Kminus1)

Da Nombre de darcy

g Acceacuteleacuteration de la pesanteur (ms-2)

Gr Nombre de Grashof

H Hauteur de la caviteacute (m)

k Permeacuteabiliteacute du milieu poreux (m2)

L Largeur de la caviteacute (m)

തതതതݑ Nombre de Nusselt moyen sur la paroi chaude

ݑ Nombre de Nusselt local sur la paroi chaude

തതതതݑ Nombre de Nusselt moyen sur la paroi froide

ݑ Nombre de Nusselt local sur la paroi froide

P Pression (at)

Pr Nombre de Prandtl

Ra Nombre de Rayleigh

Ralowast Nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute

T tempeacuterature du fluide en un point donneacute du systegraveme (K)

t Temps (s)

T0 tempeacuterature de reacutefeacuterence (K)

Tc Tempeacuterature de la paroi chaude (K)

Tf Tempeacuterature de la paroi froide (K)

u et v Composantes de la vitesse suivant x et y (ms-1)

Vሬሬ Vecteur vitesse (ms-1)

x y et z Coordonneacutees carteacutesiennes (m)

iii

Lettres grecques

α Angle drsquoinclinaison (deg)

β Coefficient drsquoexpansion volumique thermique du fluide (K-1)

Conductiviteacute thermique du fluide (Wm-1k-1)

micro Viscositeacute dynamique (kgmminus1 sminus1)

ݒ Viscositeacute cineacutematique (m2s-1)

Masse volumique du fluide (kgm-3)

c Masse volumique du fluide agrave la tempeacuterature de reacutefeacuterence (kgm-3)

σ Facteur de la capaciteacute thermique

ψ Fonction de courant (m2s-1)

Fonction geacuteneacuterale

Exposant

+ Paramegravetres adimensionnels

Indices

c Chaude

f Froide

f Fluide

p Milieu poreux

Autres symboles

Gradient

2 Laplacien

iv

Sommaire

INTRODUCTION 1

CHAPITRE 1 ndash RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE 3

CHAPITRE 2 ndash ANALYSE THEORIQUE 10

21 Description du problegraveme 10

22 Hypothegraveses simplificatrices 11

2-3 Formulation des eacutequations gouvernantes 12

24 Elimination du terme de pression de leacutequation du mouvement 14

25 Formulation des conditions aux limites dimensionnelles 14

26 Adimensionalisation 16

27 Formulation des conditions aux limites adimensionnelles 16

28 Coefficients drsquoeacutechange de la chaleur 16

281 Nombre de Nusselt local 16

282 Nombre de Nusselt moyen 16

CHAPITRE 3 - FORMULATION NUMERIQUE 17

31 Introduction 17

32 Principe de la meacutethode des volumes finis 17

33 Discreacutetisation de lrsquoeacutequation de la chaleur dans le volume de controcircle 19

34 Discreacutetisation des conditions aux limites 28

35 Discreacutetisation de lrsquoeacutequation de quantiteacute de mouvement 29


37 Discreacutetisation des composantes de la vitesse 30

38 Processus du calcul 31

CHAPITRE 4 -RESULTATS NUMERIQUE 34

41 Introduction 34

v

42 Etude du maillage 34

43 Validation du code de calcul 34

44 Influence du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute 39

441 Isothermes et lignes de courant 39



45 Influence du facteur de forme 46



46 Influence de lrsquoangle drsquoinclinaison 49




Conclusion 59

Annexe A Milieu Poreux 60

Annexe B Meacutethodes Iteacuteratives 66

Reacutefeacuterences Bibliographiques 69

Introduction

-1-

Introduction

Lrsquoapparition au sein drsquoun milieu fluide de gradients de tempeacuterature entraicircne lrsquoexistence de

diffeacuterences de masse volumique De telles diffeacuterences peuvent avoir dans certains cas par action

de la pesanteur une influence sur la distribution des vitesses du fluide au sein du milieu On dit

alors qursquoil y a convection naturelle

Au cours de ces derniegraveres anneacutees un effort de recherche consideacuterable a eacuteteacute consacreacute agrave

lrsquoeacutetude du transfert de chaleur induit par convection naturelle au sein drsquoun milieu poreux satureacute

par un fluide Lrsquointeacuterecirct pour ces pheacutenomegravenes de convection naturelle est ducirc aux nombreuses

applications potentielles en ingeacutenierie Parmi ces applications on peut citer lrsquoextraction de

lrsquoeacutenergie geacuteothermique la dispersion des polluants dans les aquifegraveres les problegravemes de seacutecuriteacute

dans le cœur des reacuteacteurs nucleacuteaires lrsquoisolation thermique des bacirctimentshellipetc

Lrsquoobjet du preacutesent travail est une contribution agrave lrsquoeacutetude des mouvements de convection

naturelle se deacuteveloppant dans une caviteacute rectangulaire inclineacutee drsquoun angle α par rapport au plan

horizontal remplie par un milieu poreux satureacute par un fluide newtonien Les paramegravetres dont

deacutependent la structure de lrsquoeacutecoulement sont le nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute qui varie

entre 100 et 450 le facteur de forme de la caviteacute A (LH) entre 1 et 5 et lrsquoangle drsquoinclinaison α

entre 0deg et 90deg

La preacutesentation de cette thegravese est articuleacutee de la faccedilon suivante

Le premier chapitre est consacreacute agrave une synthegravese bibliographique des travaux theacuteoriques

expeacuterimentaux et numeacuteriques ayant trait agrave la convection thermique en caviteacute poreuse pour

diverses configurations et pour diffeacuterentes conditions aux limites

Le modegravele physique choisi les eacutequations gouvernantes ainsi que les conditions aux limites

associeacutees constituent le deuxiegraveme chapitre

Introduction

-2-

Le troisiegraveme chapitre est consacreacute agrave lanalyse numeacuterique Les techniques de discreacutetisation

des diffeacuterentes eacutequations et les algorithmes des calculs sont deacuteveloppeacutes Lrsquoeacutequation de la chaleur

eacutetant parabolique est discreacutetiseacutee agrave laide de la meacutethode des volumes finis tandis que leacutequation de

mouvement apregraves transformation eacutetant elliptique elle lrsquoest agrave lrsquoaide des diffeacuterences centreacutees les

eacutequations ainsi obtenues sont reacutesolues par une meacutethode iteacuterative de sous-relaxations successives

(Successive Under Relaxation)

Nous rassemblons dans le chapitre quatre les principaux reacutesultats numeacuteriques de cette

eacutetude Les commentaires interpreacutetations et analyse des divers reacutesultats sont preacutesenteacutes agrave partir des

distributions de certaines grandeurs physiques

En fin nous terminons ce travail par une conclusion geacuteneacuterale qui reacutesume les principaux

reacutesultats obtenus et pour ne pas alourdir le texte nous preacutesentons en annexes une caracteacuterisation

dun milieu poreux et quelques compleacutements danalyse numeacuterique

Chapitre 1- Recherche Bibliographique

-3-

Chapitre 1

Recherche bibliographique

Dans cette partie nous preacutesentons une revue de la litteacuterature portant sur le transfert de

chaleur par convection naturelle en caviteacutes poreuses satureacutees par un fluide pour diverses

configurations et pour diffeacuterentes conditions aux limites Les eacutetudes effectueacutees dans le passeacute sur

ce sujet peuvent se classer en deux cateacutegories Dans la premiegravere les eacutecoulements sont induits par

des gradients de tempeacuterature appliqueacutes perpendiculairement par rapport agrave la direction du champ

de graviteacute Dans la deuxiegraveme cateacutegorie ces gradients sont appliqueacutes dans la mecircme direction que

la graviteacute Le problegraveme consideacutereacute dans cette thegravese appartient agrave la seconde cateacutegorie Une revue

exhaustive des travaux disponibles sur ce sujet agrave eacuteteacute faite par Nield et Bejan [1] et Ingham et

Pop[2]

Bahloul [3] a fait une eacutetude analytique et numeacuterique de la convection naturelle dun fluide

dans une caviteacute poreuse verticale Une diffeacuterence de tempeacuterature uniforme est appliqueacutee agrave travers

les parois verticales tandis que les parois horizontales sont adiabatiques Les paramegravetres dont

deacutepend la structure de lrsquoeacutecoulement sont le nombre de Rayleigh Ra qui varie entre 10 et 10000

et le facteur de forme de la caviteacute A qui varie entre 1 et 20 Pour un grand nombre de Rayleigh

et sur la base des reacutesultats numeacuteriques il a obtenu un modegravele approximatif du reacutegime de couche

limite Pour un chauffage eacuteleveacute il a donneacute un modegravele simplifieacute pour le paramegravetre de

stratification =122A-047Ra046 Il a montreacute aussi que le coefficient de stratification thermique

deacutepend essentiellement du rapport de forme de lenceinte A et devient presque indeacutependant du

nombre de Rayleigh Ra dans le reacutegime de la couche limite = (32)A Il a utiliseacute la theacuteorie de la

stabiliteacute lineacuteaire du flux parallegravele pour obtenir le nombre de Rayleigh critique pour une caviteacute

longue (Agtgt1) Il a constateacute que lrsquoeacutecoulement est stable indeacutependant du coefficient de

stratification

Baytas [4] a fait une analyse sur la production dentropie dans une caviteacute poreuse satureacutee et

inclineacutee pour un transfert de chaleur par convection naturelle laminaire en reacutesolvant


-4-

numeacuteriquement les eacutequations de masse de mouvement et drsquoeacutenergie il a utiliseacute la loi de Darcy et

lapproximation de Boussinesq incompressible Comme conditions aux limites de la caviteacute deux

parois opposeacutees sont maintenus agrave tempeacuteratures constantes mais diffeacuterentes et les deux autres

sont isoleacutes thermiquement Les paramegravetres consideacutereacutes sont langle dinclinaison et le nombre de

Darcy-Rayleigh Il a compareacute ses solutions avec les reacutesultats des recherches preacuteceacutedentes

connues Il a obtenu un excellent accord entre les reacutesultats qui valident le code de calcul utiliseacute

Il a montreacute que la distribution dentropie locale est faisable et peut fournir des informations utiles

pour le choix dun angle approprieacute dinclinaison

Kalla et al [5] ont fait une eacutetude numeacuterique sur la convection naturelle dans une couche

poreuse allongeacutee dans la direction horizontale Toutes les faces de la caviteacute rectangulaire sont

exposeacutees agrave des flux de chaleur uniformes le chauffage et le refroidissement eacutetant appliqueacutes sur

les parois opposeacutees Le problegraveme est formuleacute en termes du modegravele de Darcy Ils ont montreacute qursquoil

est possible drsquoutiliser lrsquohypothegravese drsquoun eacutecoulement parallegravele pour obtenir une solution analytique

deacutecrivant les champs de fonction de courant et de tempeacuterature dans la reacutegion centrale de la

caviteacute Il a deacutemontreacute aussi que des solutions multiples sont possibles certaines drsquoentre elles eacutetant

instables Il a employeacute une meacutethode aux diffeacuterences finies pour obtenir des solutions numeacuteriques

agrave partir des eacutequations gouvernantes complegravetes Ils ont analyseacute les effets des diffeacuterents

paramegravetres notamment celui du nombre de Rayleigh Ra et drsquoune constante a donnant la

proportion entre les flux de chaleur horizontaux et verticaux

Nawaf et al [6] ont eacutetudieacute numeacuteriquement la convection naturelle dans une caviteacute carreacutee

remplie dun milieu poreux en reacutegime transitoire Ils ont utiliseacute le modegravele de Darcy et le fluide

est supposeacute un fluide standard de Boussinesq La tempeacuterature de la paroi chaude (la paroi

gauche) oscille dans le temps autour dune valeur constante tandis que la paroi froide (la paroi

droite) est maintenue agrave une tempeacuterature constante les parois horizontales sont adiabatiques Ils

ont preacutesenteacute des reacutesultats pour deacutemontrer la variation temporelle des lignes de courant des

isothermes et du nombre de Nusselt Lorsque la tempeacuterature de la paroi chaude oscille avec une

forte amplitude et une forte freacutequence ils ont trouveacute que le nombre de Nusselt devient neacutegatif

sur une partie de la peacuteriode du nombre de Rayleigh 103 Les valeurs neacutegatives du nombre de

Nusselt ont eacuteteacute trouveacutees parce quil ny aura pas assez de temps pour transfeacuterer la chaleur de la


-5-

paroi chaude vers la paroi froide La valeur maximum du nombre moyen de Nusselt est observeacutee

pour une freacutequence adimensionnelle de 450 dans la gamme consideacutereacutee (1-2000) pour un nombre

de Rayleigh 103

Varol et al [7] ont fait une eacutetude numeacuterique de la convection naturelle en milieu poreux

satureacute de fluide dans une enceinte rectangulaire avec une variation sinusoiumldale du profil de

tempeacuterature sur la paroi infeacuterieure Toutes les parois de lenceinte sont isoleacutees sauf

la paroi infeacuterieure qui est partiellement chauffeacutee et refroidie Le milieu poreux est modeacuteliseacute agrave

partir des eacutequations classiques de Darcy Ensuite ils ont reacutesolu numeacuteriquement ces eacutequations en

utilisant la meacutethode des diffeacuterences finies Ils ont analyseacute le problegraveme pour diffeacuterentes valeurs du

nombre de Rayleigh Ra dans la gamme 10 le Ra le 1000 et pour diffeacuterentes valeurs du facteur de

forme AR avec 025 le AR le 10 et aussi pour diffeacuterentes valeurs de lrsquoamplitude de la fonction

sinusoiumldale de la tempeacuterature λ dans la gamme 025 le λ le 10 Ils ont trouveacute que le transfert de

chaleur augmente avec lrsquoaugmentation de la valeur de lrsquoamplitude λ et diminue quand la valeur

du facteur de forme AR augmente Ils ont observeacute Plusieurs cellules dans la caviteacute pour toutes

les valeurs des paramegravetres consideacutereacutes

Barletta et al [8] ont eacutetudieacute numeacuteriquement la convection naturelle dans une caviteacute carreacutee

verticale remplie dun milieu poreux satureacute par un fluide Ils ont utiliseacute le logiciel Femlab 31i (c

COMSOL Inc) La caviteacute est chauffeacutee par une paroi interne concentrique circulaire soumise agrave

un flux de chaleur uniforme Les parois de la caviteacute sont isothermes et leacutecoulement est supposeacute

ecirctre agrave deux dimensions stationnaire et laminaire Ils ont neacutegligeacute leffet de la dissipation

visqueuse et aucune production deacutenergie interne nest consideacutereacutee Le milieu poreux satisfait agrave la

loi de Darcy et la validiteacute de lapproximation de Boussinesq est reacutealiseacutee Ils ont trouveacute que la

fonction de courant et la tempeacuterature deacutependent du nombre de Rayleigh modifieacute Ra qui est le

produit du nombre de Rayleigh Ra et du nombre de Darcy Da Ils ont eacutevalueacute les valeurs

moyennes du nombre de Nusselt et de lrsquoeacutenergie cineacutetique Ils ont fait des essais pour veacuterifier que

la solution est indeacutependante du maillage et que Femlab produit geacuteneacuteralement des reacutesultats preacutecis

agrave quatre chiffres pour toutes les quantiteacutes testeacutees


-6-

Bouhadef [9] a fait une eacutetude numeacuterique de la convection naturelle laminaire dans une

enceinte bidimensionnelle agrave fond non uniforme (sinusoiumldal) chauffeacutee par une tempeacuterature

constante et uniforme Tp les parois verticales sont adiabatiques et la paroi supeacuterieure est

maintenue agrave une tempeacuterature constante Ta Les paramegravetres dont deacutepend la structure de la

convection naturelle sont le nombre de Rayleigh qui varie entre 103 et 5105 le rapport drsquoaspect

de la caviteacute As=8 le facteur de forme A (entre 010 et 020) et le nombre de Prandtl (celui de

lrsquoeau) Il a discreacutetiseacute les eacutequations gouvernant lrsquoeacutecoulement et le transfert thermique dans la

caviteacute en utilisant une meacutethode implicite aux diffeacuterences finies et la meacutethode des volumes de

controcircle Il a reacutealiseacute lrsquoadeacutequation entre les champs des vitesses et de pression agrave lrsquoaide de

lrsquoalgorithme SIMPLE Lrsquoinfluence des paramegravetres caracteacuteristiques de la topographie de la

surface drsquoeacutechange (fond sinusoiumldal) notamment de lrsquoamplitude drsquoondulation b et le facteur de

forme de la caviteacute A sur le transfert de chaleur et sur la structure de lrsquoeacutecoulement sont mises en

eacutevidence la variation du nombre de Rayleigh a permis lrsquoobtention de plusieurs types

drsquoeacutecoulements et plusieurs bifurcations entre ces eacutecoulements Il a trouveacute que les nombres de

Nusselt locaux passent par des maximums aux sommets et aux creux et par des minimums entre

eux

Varol et al [10] Ont utiliseacute une technique de programmation Support Vector Machines

(SVM) pour estimer la distribution de la tempeacuterature et le deacutebit des champs dans une enceinte

carreacutee poreuse dont la paroi verticale gauche est chauffeacutee par trois appareils de chauffage

isotherme la paroi verticale droite est isotherme mais elle a une tempeacuterature plus froide que les

appareils de chauffage alors que les deux autres parois sont resteacutees adiabatiques Ils ont eacutetabli

une base de donneacutees par la reacutesolution des eacutequations reacutegissant lrsquoeacutecoulement qui ont eacuteteacute eacutecrites en

utilisant le modegravele de Darcy Avec lrsquoutilisation de la meacutethode des diffeacuterences finies ils ont eacutecrit

un code Dynamique des Fluides Computationnelle (CFD) Ils ont eacutetabli une correacutelation entre le

nombre de Nusselt et le nombre de Rayleigh Par lrsquoutilisation de la base de donneacutees obtenue

dautres valeurs de tempeacuterature et de vitesses ont eacuteteacute estimeacutees par la technique SVM pour

diffeacuterents nombres de Rayleigh et diffeacuterentes positions de chauffage Ils ont montreacute que SVM est

une technique utile sur lestimation des lignes de courant et les isothermes Ainsi SVM reacuteduit le

temps de calcul et aide agrave reacutesoudre certains cas lorsque CFD ne parvient pas agrave reacutesoudre en raison

de linstabiliteacute numeacuterique


-7-

Baez et al [11] Ont eacutetudieacute numeacuteriquement la convection naturelle dans une caviteacute carreacutee

inclineacutee remplie dun milieu poreux satureacute par un fluide Ils ont supposeacute que la tempeacuterature de la

surface supeacuterieure est constante et eacutegale agrave c la tempeacuterature de la surface infeacuterieure est constante

aussi et eacutegale agrave h avec h gt c les surfaces verticales eacutetant adiabatiques Lrsquoeacutecoulement du fluide

est consideacutereacute bidimensionnel non stationnaire et dans le cadre de lrsquoapproximation de

Boussinesq Leacutetude deacutepend du nombre de Rayleigh Ra de lrsquoangle dinclinaison α et du facteur

de forme de la caviteacute A Ils ont supposeacute que les reacutesultats preacutesenteacutes sont de nouveaux reacutesultats

soit pour des angles dinclinaison pas signaleacutes avant ou pour des nombres de Rayleigh eacuteleveacutes

avec des facteurs de forme tregraves importants Ils ont trouveacute plusieurs cellules dans les caviteacutes

rectangulaires poreuses avec un nombre de Rayleigh Rage102 et pour certains angles Pour un

fluide homogegravene un nombre de Rayleigh de lordre de 105 -106 et un facteur de forme Agtgt1 des

cellules secondaires apparaissent pour certains angles et leacutecoulement devient plus complexe

Basak et al [12] Ont fait une eacutetude numeacuterique sur la convection naturelle dans une caviteacute

carreacutee remplie dune matrice poreuse Ils ont utiliseacute la meacutethode des eacuteleacutements finis pour un

chauffage uniforme et non uniforme de la paroi infeacuterieure la paroi supeacuterieure est adiabatique et

les parois verticales sont maintenues agrave une tempeacuterature froide constante Le milieu poreux est

modeacuteliseacute en utilisant les eacutequations de Darcy-Forchheimer Ils ont adopteacute la proceacutedure numeacuterique

pour obtenir une performance constante sur une large gamme de paramegravetres (nombre de

Rayleigh Ra 103leRale106 nombre de Darcy Da 10-5 leDale10-3 et le nombre de Prandtl Pr

071lePrle10) agrave leacutegard de la continuation et la discontinuation des conditions thermiques aux

limites Ils ont preacutesenteacute les reacutesultats numeacuteriques en termes des fonctions de courant des

isothermes et des nombres de Nusselt Ils ont trouveacute que le chauffage non uniforme de la paroi

infeacuterieure produit un plus grand taux de transfert de chaleur au centre de la paroi infeacuterieure que

le cas de chauffage uniforme pour tous les nombres de Rayleigh mais le nombre moyen de

Nusselt montre globalement un plus faible taux de transfert de chaleur pour le cas de chauffage

non-uniforme Ils ont trouveacute que le transfert de chaleur est principalement ducirc agrave la conduction

quand Dale10-5 indeacutependamment de Ra et Pr Ils ont trouveacute aussi que le transfert de chaleur par

conduction est une fonction de Ra pour Dage 10-4 Ils ont donneacute les nombres de Rayleigh

critiques pour que la conduction domine le transfert de chaleur et ils ont preacutesenteacute les correacutelations


-8-

du Power Law entre le nombre moyen de Nusselt et les nombres de Rayleigh quand la

convection domine le transfert

Saeid et al [13] Ont eacutetudieacute numeacuteriquement la convection naturelle dans une caviteacute poreuse

La paroi infeacuterieure est chauffeacutee et la paroi supeacuterieure est refroidie tandis que les parois verticales

sont adiabatiques La paroi chaude est supposeacutee avoir une tempeacuterature agrave variation spatiale et

sinusoiumldale sur une valeur moyenne constante qui est supeacuterieure agrave la tempeacuterature de la paroi

supeacuterieure froide Les eacutequations gouvernantes non-dimensionnelles sont deacuteriveacutees sur la base du

modegravele de Darcy Ils ont eacutetudieacute les effets de lamplitude de la variation de la tempeacuterature de la

paroi infeacuterieure et la longueur de la source de la chaleur sur la convection naturelle dans la caviteacute

pour la gamme 20-500 du nombre de Rayleigh Ils ont constateacute que les valeurs du nombre de

Nusselt moyen augmentent lorsque la longueur de la source de chaleur ou de lamplitude de la

variation de la tempeacuterature augmente Ils ont constateacute aussi que le transfert de chaleur par uniteacute

de la surface de la source de la chaleur diminue quand la longueur du segment chauffeacutee

augmente

Moya et al [14] Ont analyseacute un eacutecoulement bidimensionnel de la convection naturelle dans

une caviteacute poreuse rectangulaire inclineacutee et satureacutee drsquoun fluide newtonien par une reacutesolution

numeacuterique des eacutequations de masse de mouvement et drsquoeacutenergie Ils ont utiliseacute la loi de Darcy et

lapproximation de Boussinesq Les conditions aux limites isothermes sont consideacutereacutees pour les

deux parois verticales opposeacutees ils sont conserveacutes agrave des tempeacuteratures constantes mais

diffeacuterentes (la tempeacuterature de la paroi infeacuterieure est supeacuterieure agrave la tempeacuterature de la paroi

supeacuterieure) et les deux autres parois sont isoleacutees thermiquement Les paramegravetres externes

consideacutereacutes sont lrsquoangle dinclinaison le facteur de forme de la caviteacute et le nombre de Darcy-

Rayleigh Ils ont trouveacute trois modes de convection principaux la conduction la convection

unicellulaire et multicellulaire Ils ont preacutesenteacute les nombres de Nusselt locaux et globaux en

fonction des paramegravetres externes Ils ont exploreacute la multipliciteacute des solutions pour un rapport de

forme eacutegal agrave lrsquouniteacute Lexistence de plus dune solution est trouveacutee lorsque la paroi infeacuterieure est

agrave une tempeacuterature plus eacuteleveacutee et agrave une position horizontale ou proche de lrsquohorizontale


-9-

Pour notre cas agrave nous nous preacutesentons une eacutetude des mouvements de convection naturelle

se deacuteveloppant dans une caviteacute rectangulaire inclineacutee drsquoun angle α par rapport au plan horizontal

remplie par un milieu poreux satureacute par un fluide newtonien Les paramegravetres dont deacutependent la

structure de lrsquoeacutecoulement sont le nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute qui varie entre 100 et 450

le facteur de forme de la caviteacute A (LH) entre 1 et 5 et lrsquoangle drsquoinclinaison α entre 0deg et 90deg

Ceci agrave lrsquoaide drsquoun code de calcul en langage fortran que nous avons mis au point et qui se base

sur la formulation vorticiteacute-fonction de courant la meacutethode des volumes finis pour lrsquoeacutequation de

type parabolique et une meacutethode aux diffeacuterences centreacutees pour lrsquoeacutequation de type elliptique

Chapitre 2- Analyse theacuteorique

-10-

Chapitre 2Analyse theacuteorique

21 Description du problegraveme

Consideacuterons une caviteacute rectangulaire impermeacuteable de largeur L et de hauteur H remplie

drsquoun milieu poreux satureacute de fluide -figure 1- On suppose que la tempeacuterature de la surface

supeacuterieure est constante et eacutegale agrave Tf la tempeacuterature de la surface infeacuterieure est constante aussi et

eacutegale agrave Tc avec Tc gt Tf les surfaces verticales eacutetant adiabatiques et que la caviteacute est inclineacutee

drsquoun angle α par rapport au plan horizontal

Figure 21 Deacutefinition du modegravele physique caviteacute rectangulaire inclineacutee drsquoun angle α

Il se produit donc dans la caviteacute une convection naturelle que nous nous proposons

drsquoeacutetudier numeacuteriquement

డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-

22 Hypothegraveses simplificatrices

De faccedilon agrave obtenir un modegravele matheacutematique simple les approximations classiques

suivantes sont faites

1- La profondeur de la caviteacute est suffisamment grande par rapport aux autres dimensions

pour que lrsquoon puisse supposer un eacutecoulement bidimensionnel

2- Le fluide est newtonien et incompressible

3- Lrsquoeacutecoulement engendreacute est laminaire

4- Le travail induit par les forces visqueuses et de pression est neacutegligeable

5- Le transfert de chaleur par rayonnement est neacutegligeable

6- La masse volumique du fluide varie lineacuteairement avec la tempeacuterature Cette variation est

donneacutee par la relation

= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave

T repreacutesente la tempeacuterature du fluide en un point donneacute du systegraveme

T0 la tempeacuterature de reacutefeacuterence qui correspond geacuteneacuteralement agrave la valeur moyenne de

la tempeacuterature dans le systegraveme

0 la masse volumique du fluide agrave la tempeacuterature de reacutefeacuterence

β le coefficient drsquoexpansion volumique thermique du fluide

ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)

On utilise donc une hypothegravese simplificatrice (lrsquohypothegravese de Boussinesq) laquo la masse

volumique du fluide est supposeacutee constante dans les eacutequations hydrodynamiques sauf dans le

terme geacuteneacuterateur de la convection naturelle g ou ses variations induisent directement des forces

de pousseacutee drsquoArchimegravede Toutes les autres caracteacuteristiques thermo-physiques du fluide (la

viscositeacute dynamique ߤ la conductiviteacute thermique et la chaleur massique agrave pression constante

Cp) sont consideacutereacutees comme constantes et deacutefinies agrave la tempeacuterature de reacutefeacuterence T0 raquo


-12-

23 Formulation des eacutequations gouvernantes

La reacutesolution drsquoun problegraveme de convection naturelle consiste en la deacutetermination des

champs de vitesse et de tempeacuterature en chaque point du domaine occupeacute par le fluide dans la

caviteacute Dans ce but nous allons eacutetablir les eacutequations de base reacutegissant la convection naturelle dans

la caviteacute rectangulaire Le mouvement du fluide ainsi que la reacutepartition de tempeacuterature dans un

milieu poreux satureacute par un fluide sont reacutegis par les eacutequations de conservation de masse de

quantiteacute de mouvement et de conservation de lrsquoeacutenergie suivantes

231 Formulation vectorielle

- eacutequation de continuiteacute

div Vሬሬ= 0 (23)

- eacutequation de mouvement

Comme la majoriteacute des eacutetudes concernant la convection dans les milieux poreux nous

utilisons la formulation classique de Darcy ougrave la vitesse moyenne de filtration (vitesse de Darcy)

ሬ est proportionnelle agrave la somme du gradient de pression P et de la force gravitationnelle gሬ

lrsquoeffet de lrsquoinertie eacutetant neacutegligeacute

Vሬሬ= minusk

μ(nablaP minus ρgሬ)

(24a)

Introduisant lrsquoapproximation de Boussinesq (21) lrsquoeacutequation de la conservation de la

quantiteacute de mouvement srsquoeacutecrit

ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r

(1 minus β(T minus T))gሬ൯

(24b)

- eacutequation de la chaleur

Le principe de conservation de lrsquoeacutenergie conduit agrave lrsquoeacutequation suivante

൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯

൫Vሬሬሬ gradሬሬሬሬሬሬሬሬ൯ = lnablaଶ

(25)

Ougrave

k la permeacuteabiliteacute du milieu poreux

ߤ viscositeacute dynamique du fluide

ߩ ∶ la masse volumique du fluide


-13-

൫ρC୮൯ capaciteacute thermique du fluide

൫ρC୮൯ capaciteacute thermique du milieu poreux

l conductiviteacute thermique du milieu poreux satureacute

232 Formulation en coordonneacutees carteacutesiennes

Introduisons les coordonneacutees carteacutesiennes deacutefinies sur la figure 21

Le problegraveme eacutetant bidimensionnel donc les eacutequations (23) (24b) et (25) srsquoeacutecrivent


part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r

g(1 minus β(T minus T)) sinα൰

(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r

g(1 minus β(T minus T)) cosߙ൰

(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l

(ρC) diffusiviteacute thermique

σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯

facteur de la capaciteacute thermique


-14-

24 Elimination du terme de pression de leacutequation du mouvement

En deacuterivant les eacutequations du mouvement (27a) et (27b) respectivement par rapport agrave y et agrave

x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)

En introduisant la fonction de courant ψ telle que

u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)

Donc leacutequation du mouvement seacutecrit

ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)

25 Formulation des conditions aux limites dimensionnelles

Les conditions initiales dimensionnelles sont

x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)

y agrave x = 0 et x = L

ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-

26 Adimensionalisation

Pour simplifier les eacutequations et geacuteneacuteraliser les reacutesultats Nous posons les quantiteacutes

adimensionnelles suivantes

xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =

T minus TTୡ minus T

(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)

- eacutequation du mouvement

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା = Da Gr ቆݎ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା = Ralowast ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ

ଶݒnombre de Grashof

Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy

Ralowast = Da Ra nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute

Ra = Gr Pr nombre de Rayleigh


-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)

27 Formulation des conditions aux limites adimensionnelles

x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)

y agrave x = 0 et x = L ା

ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)

28 Coefficients drsquoeacutechange de la chaleur

281 Le nombre de Nusselt local

Lrsquoeacutetude du transfert de chaleur dans la caviteacute neacutecessite la deacutetermination des taux de

transfert de chaleur donneacutes par le biais du nombre de Nusselt Les valeurs de ce dernier sur les

parois horizontales sont deacutefinies comme suit

- Sur la paroi chaude

ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)

- Sur la paroi froide

ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀଵ

(219b)

282 Le nombre de Nusselt moyen

Les valeurs moyennes des nombres de Nusselt le long de ces parois sont calculeacutees par les

inteacutegrales suivantes


തതതതݑ = minusන ቆା

ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)

Chapitre 3-Formulation Numeacuterique

-17-

Chapitre 3

Formulation Numeacuterique

31 Introduction

Dans le chapitre preacuteceacutedent nous avons deacuteveloppeacute les eacutequations de base reacutegissant la

convection naturelle en milieu poreux Les eacutequations reacutesultantes forment un systegraveme

drsquoeacutequations diffeacuterentielles partielles non-linaires coupleacutees Ce sont par conseacutequent des eacutequations

difficiles agrave reacutesoudre analytiquement et en geacuteneacuteral on ne peut obtenir une solution de ces

derniegraveres que par le bais de meacutethodes numeacuteriques Pour la reacutesolution du systegraveme deacutequations

coupleacutees obtenu et les conditions aux limites associeacutees nous consideacuterons pour lrsquoeacutequation

(216) qui est une eacutequation du type elliptique une solution numeacuterique par la meacutethode des

diffeacuterences centreacutees Alors que pour leacutequation (217) qui est une eacutequation du type parabolique

nous consideacuterons une solution numeacuterique par la meacutethode des volumes finis

Les deux meacutethodes sont tregraves utiliseacutees dans la solution numeacuterique des problegravemes de

transferts et sont bien exposeacutees par SV Patankar [15] et EF Nogotov [16]

32 Principe de la meacutethode des volumes finis

La meacutethode des volumes finis consiste agrave diviser le domaine de calcul en un certain nombre

de volumes de controcircle Les eacutequations algeacutebriques sont obtenues par lrsquointeacutegration des eacutequations

de conservation agrave travers ces derniers dont les centres constituent les nœuds

La figure 31 repreacutesente le domaine de calcul


-18-

Figure 31 le domaine de calcul

Nous utilisons des pas x et y constants et plus preacuteciseacutement nous posons

Dx =xminus xଵNI minus 1

Dy =y minus yଵNN minus 1

A =xminus xଵy minus yଵ

(facteur de forme)

Avec

NI le nombre de points suivant x

NN le nombre de points suivant y

Volume eacuteleacutementaire drsquointeacutegration

On deacutecoupe lespace annulaire selon les directions x et y en un ensemble de volumes

eacuteleacutementaires ou laquo volume de controcircle raquo eacutegaux agrave laquoxy1 raquo (Le problegraveme eacutetant bidimensionnel

on prend luniteacute dans la direction z comme eacutepaisseur)

Le centre dun volume fini typique est un point P et ses faces lateacuterales laquo est raquo laquo ouest raquo

laquo nord raquo et laquo sud raquo sont deacutesigneacutees respectivement par les lettres e w n et s Chacun des

volumes finis inteacuterieurs est entoureacute de quatre autres volumes finis Les centres de ces volumes

sont les points E W N et S Les variables scalaires (tempeacuterature vorticiteacutehellip) sont stockeacutees aux

y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-

points centreacutes dans les volumes finis Donc les eacutequations de transfert des variables scalaires sont

inteacutegreacutees dans le volume fini typique

Les nœuds E et N sont pris dans les directions des coordonneacutees positives de x et y

respectivement et les nœuds W et S dans les sens contraires

La figure 32 repreacutesente un volume-fini typique et son voisinage dans un domaine de

calcul

Figure 32 Volume de controcircle

33 Discreacutetisation de lrsquoeacutequation de la chaleur dans le volume de controcircle

Nous consideacuterons lèacutequation de la chaleur (217) elle sèacutecrit

ା

ାݐ+

ାݔቆuା ା minus

ା

ାݔቇ+

ାݕቆvା ା minus

ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-

Cette eacutequation est de la forme geacuteneacuterale

φ

ାݐ+

ାݔ൬uା φ minus Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬vା φminus Г

φ

ାݕ൰ = S

(32)

Le terme de source et le coefficient de diffusion sont speacutecifieacutes dans le tableau 31

Equation Г

(31) T+ 1 0

Tableau 31 Terme de source et coefficient de diffusion

Lrsquoeacutequation de discreacutetisation drsquoune variable φ est obtenue par lrsquointeacutegration de son eacutequation

de conservation dans un volume fini typique Ci-apregraves nous preacutesentons un cas de discreacutetisation

drsquoune eacutequation de transfert de

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න

ାݔ൬uା φminus Г

φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ = න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න ቈ( uା φ)

ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-

Pour la discreacutetisation spatiale nous utilisons le scheacutema de la loi de puissance (Power Law)

pour approcher les variations de φ entre les points du maillage [15] Ce scheacutema preacutesente

lrsquoavantage drsquoecirctre inconditionnellement stable

Posons

௫ܬ = ൬uା φminus Гφ

ାݔ൰

(33a)

௬ܬ = ൬vା φminus Гφ

ାݕ൰

(33b)

Ougrave ௫ܬ et ௬ܬ sont les flux totaux (convection plus diffusion)

En portons ces valeurs dans leacutequation (32) on obtient

φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)

Linteacutegration de leacutequation (34) dans le volume de controcircle de la figure 32 donne

൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ

ାݐ∆+ minusܬ ௪ܬ + ܬ minus ௦ܬ = ఝ

തതത∆(35)

௪ܬܬ ܬ ௦ܬݐ sont les valeurs des flux totaux aux interfaces du volume de controcircle തതതest la

valeur moyenne de ఝ dans ce volume eacuteleacutementaire Ce terme peut geacuteneacuteralement ecirctre lineacuteariseacute en

fonction de φ୮

(au nœud P) et se mettre sous la forme

Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0

Par suite lrsquoeacutequation (35) devient

൫φ௧శ minus φ

൯∆x∆y

∆tା+ minusܬ ௪ܬ + ܬ minus ௦ܬ = ൫S + S୮φ୮൯∆ (37)

En inteacutegrant aussi lrsquoeacutequation de continuiteacute (214) dans le volume eacuteleacutementaire on obtient

Fminus F௪ + F minus F௦ = 0 (38)


-22-

Ougrave Fe Fw Fn et Fs sont les deacutebits massiques (termes de convection) agrave travers les surfaces

de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆

F = (vା)୬∆ݔା

F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)

Nous poserons dans ce qui suit φ௧శ = φ

En multipliant lrsquoeacutequation (38) par φ୮ et en soustrayant lrsquoeacutequation obtenue de lrsquoeacutequation

(37) il vient

൫φ minus φ൯∆x∆y

∆tା+൫ܬminus Fφ୮൯minus ൫ܬ௪ minus F௪ φ୮൯+ ൫ܬ minus Fφ୮൯

(310)

minus൫ܬ௦minus F௦φ୮൯= ൫S + S୮φ୮൯∆

Dàpregraves le scheacutema numeacuterique du POWER LAW de SVPATANKAR [15] on peut

repreacutesenter les termes entre parenthegraveses de lrsquoeacutequation (310) de la maniegravere suivante

minusܬ Fφ୮ = a൫φ୮ minus φ൯

௪ܬ minus F௪ φ୮ = a ൫φ minus φ୮൯

ܬ minus Fφ୮ = a൫φ୮ minus φ൯

minus௦ܬ F௦φ୮ = aୗ൫φୗminus φ୮൯⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(311)

Introduisons ces valeurs dans lèacutequation (310) on obtient


∆tା+a൫φ୮ minus φ൯minus a ൫φ minus φ୮൯+ a൫φ୮ minus φ൯

(312)

minusaୗ൫φୗminus φ୮൯= ൫S + S୮φ୮൯∆


-23-

Ce qui nous amegravene enfin a lrsquoeacutequation de discreacutetisation

aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)

On introduit maintenant la fonction (||)ܣ du nombre de Peacuteclet qui est celle de la loi de

puissance (Power Law) drsquoapregraves SVPATANKAR [15] elle est donneacute par

(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ

Le symbole ܤܣ signifie que le maximum entre A et B est choisi

Les coefficients de lrsquoeacutequation algeacutebrique (313) deviennent alors

a = Dܣ(| |) + minusF 0

a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)

Les grandeurs D Dw Dn et Ds sont les termes diffusifs et P P୵ P୬ et Pୱ sont les

nombres de Peacuteclet ils sont deacutefinis par


-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)

Les pas drsquointeacutegration (ݔߜ) ௪(ݔߜ) (ݕߜ) et ௦(ݕߜ) peuvent ecirctre eacutegaux ou non aux pas de

calcul ݔ∆ et ݕ∆ respectivement Ils sont choisis constants et eacutegaux aux pas etݔ∆ ݕ∆

Consideacuterons que les interfaces n s e et w sont les milieux des (P N) (P S) (P E) et (P W)

Dans ces conditions les grandeurs preacuteceacutedentes srsquoeacutecrivent

D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-

Parmi les conditions de convergence et de stabiliteacute exigeacutees par cette meacutethode notons que

tous les coefficients dans lrsquoeacutequation (313) doivent ecirctre positifs S୮ doit ecirctre neacutegatif et le

coefficient a doit ecirctre eacutegal agrave la somme des autres coefficients et S୮∆V

La discreacutetisation preacuteceacutedente srsquoapplique agrave lrsquoeacutequation drsquoeacutenergie En suivant les mecircmes eacutetapes

de discreacutetisation on obtient lrsquoeacutequation algeacutebrique suivante

aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)

Le terme de source de cette eacutequation est

S =∆x∆y

∆tାTା

En introduisant la fonction de courant adimensionnelle ψାdans le systegraveme (39) il vient

F = ାݕ∆ ቆψା

ାݕቇ

F௪ = ାݕ∆ ቆψା

ାݕቇ௪

F = ାݔ∆ ቆminusψା

ାݔቇ

F௦ = ାݔ∆ ቆminusψା

ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)

Dans la suite nous supposons que

ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-

Le deacuteveloppement du gradient de la fonction de courant agrave linterface e est eacutetabli dapregraves la

deacutemarche de EF NOGOTOV [16] comme suit (figure 33)

Figure 33 Repreacutesentation scheacutematique des nœuds P E W N et S dans le maillage

ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1

ାݕ∆ቆψା(i + 1 j + 1) + ψା(i j + 1) + ψା(i j) + ψା(i + 1 j)

4

minusψା(i + 1 j) + ψା(i j) + ψା(i j minus 1) + ψା(i + 1 j minus 1)

4൰

=1

ାݕ∆4൫ψା(i + 1 j + 1) + ψା(i j + 1) minus ψା(i j minus 1) minus ψା(i + 1 j minus 1)൯

Donc

ܨ =1

4൫ ା(+ 1+ 1) + ା( + 1) minus ା( minus 1) minus ା(+ 1minus 1)൯ (325a)

x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1

ାݕ∆ቆା(minus 1+ 1) + ା(minus 1 ) + ା( ) + ା( + 1)

4

minusା( minus 1) + ା( ) + ା(minus 1 ) + ା(minus 1minus 1)

4൰

=1

ାݕ∆4൫ ା(minus 1+ 1) + ା( + 1) minus ା( minus 1) minus ା(minus 1minus 1)൯

Donc

௪ܨ =1

4൫ ା(minus 1+ 1) + ା( + 1) minus ା( minus 1) minus ା(minus 1minus 1)൯ (325b)

ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12

+12ቁminus ା ቀ minus

12

+12ቁ

ାݔ∆

=1

ାݔ∆ቆψା(i + 1 j + 1) + ψା(i j + 1) + ψା(i j) + ψା(i + 1 j)

4

minusψା(i j + 1) + ψା(i minus 1 j + 1) + ψା(i minus 1 j) + ψା(i j)

4൰

=1

ାݔ∆4൫ψା(i + 1 j + 1) + ψା(i + 1 j) minus ψା(i minus 1 j + 1) minus ψା(i minus 1 j)൯

Donc

ܨ =1

4(ା(minus 1+ 1) + ା(minus 1 ) minus ା(+ 1+ 1) minus ା(+ 1 ) ) (325c)

ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12

minus12ቁminus ା ቀ minus

12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1

ାݔ∆ቆା(+ 1 ) + ା(+ 1minus 1) + ା( ) + ା( minus 1)

4

minusା( ) + ା(minus 1 ) + ା(minus 1minus 1) + ା( minus 1)

4൰

=1

ାݔ∆4൫ ା(+ 1 ) + ା(+ 1minus 1) minus ା(minus 1 ) minus ା(minus 1minus 1)൯


-28-

Donc

௦ܨ =1

4൫ ା(minus 1 ) + ା(minus 1minus 1) minus ା(+ 1 ) minus ା(+ 1minus 1)൯ (325d)

Comme nous lrsquoavons montreacute preacuteceacutedemment dans le tableau 31 le coefficient Гఝ prend la

valeur 1 En portant cette valeur dans le systegraveme (320) les coefficients D D୵ D୬ et Dୱ

srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)

Par suite les nombres de Peacuteclet dans le systegraveme (319) deviennent

P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)

Pour homogeacuteneacuteiser les notations dans lrsquoeacutequation (321) on eacutecrit P E W N et S

respectivement (ij) (i+1j) (i-1j) (ij+1) (ij-1)

Les coefficients a a a aୗݐ sont pris au nœud (ij) Lrsquoeacutequation (321) peut finalement

srsquoeacutecrire sous la forme

aTା(i j) = aTା(i + 1 j) + a Tା(i minus 1 j) + aTା(i j + 1) + aୗTା(i j minus 1) + S (328)

34 Discreacutetisation des conditions aux limites

Pour satisfaire les conditions imposeacutees agrave la tempeacuterature des parois on doit avoir


-29-

Sur la paroi chaude (j = 1)

Tା(i 1) = 1

Sur la paroi froide (j = NN)

Tା(i NN) = 0

Sur les parois adiabatiques (i = 1 et i = NI)

Tା(1 j) = Tା(2 j) et Tା(NI j) = Tା(NI minus 1 j)

35 Discreacutetisation de lrsquoeacutequation de quantiteacute de mouvement

Lrsquoeacutequation (216) eacutetant de type elliptique comme nous lrsquoavons citeacute plus haut crsquoest

pourquoi pour la discreacutetiser nous utiliserons les diffeacuterences centreacutees

partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=

f୧ାଵ୨+ f୧ ଵ୨minus 2f୧୨

∆xଶ+

f୧୨ାଵ + f୧୨ ଵminus 2f୧୨

∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=

ψା(i + 1 j) + ψା(i minus 1 j) minus 2ψା(i j)

∆xାଶ(330)

+ψା(i j + 1) + ψା(i j minus 1) minus 2ψା(i j)

∆yାଶ

ା

ାݔቤ

=ା(+ 1 ) minus ା(minus 1 )

ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ

=ା( + 1) minus ା( minus 1)

ାݕ∆2(331b)

Les eacutequations (216) (330) (331a) et (331b) nous donnent


∆xାଶ+ψା(i j + 1) + ψା(i j minus 1) minus 2ψା(i j)

∆yାଶ

= Ralowast ቆ cosߙା(+ 1 ) minus ା(minus 1 )

ାݔ∆2minus sinߙ

ା( + 1) minus ା( minus 1)

ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ

ቈψା(i + 1 j) + ψା(i minus 1 j)

∆xାଶ+ψା(i j + 1) + ψା(i j minus 1)

∆yାଶ

minus Ralowast ቆ cosߙା(+ 1 ) minus ା(minus 1 )

ାݔ∆2

minus sinߙା( + 1) minus ା( minus 1)

ାݕ∆2ቇ

(333)


Les conditions aux limites sont


ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0

37 Discreacutetisation des composantes de la vitesse

Nous utilisons aussi les diffeacuterences centreacutees aussi pour obtenir une expression discreacutetiseacutee

des composantes adimensionnelles uା et vା de la vitesse ce qui nous donne

uା(i j) = ψା

ାݕቤ

=ψା( + 1) minus ψା( minus 1)

ାݕ∆2(334)

vା(i j) = minus ψା

ାݔቤ

= minusψା(+ 1 ) minus ψା(minus 1 )

ାݔ∆2(335)

(ij) i ne 1 i ne NI j ne 1 j ne NN


-31-

38 Processus du calcul

Pour reacutesoudre le systegraveme deacutequations (328) et (333) nous utilisons la meacutethode proposeacutee

par EF NOGOTOV [16]

Ces eacutequations peuvent se mettre sous la forme suivante adapteacutee preacuteciseacutement agrave une

reacutesolution agrave laide dune meacutethode iteacuterative agrave coefficients de relaxation

ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)

ψାଵ( ) = (1minus ))ψܩ )

+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ

ቈψ୬(i + 1 j) + ψ୬ାଵ(iminus 1 j)

∆xଶ

+ψ୬(i j + 1) + ψ୬ାଵ(i j minus 1)

∆yଶ

minus Ralowast ቆ ߙݏ+1( + 1 ) minus +1( minus 1 )

+ݔ∆2

minus ߙݏ+1( + 1)minus +1( minus 1)

+ݕ∆2ቇ

(337)

n lrsquoordre dinteacutegration

Les paramegravetres GT et GP sont les facteurs de relaxation Leurs valeurs deacutependent en

principe de la valeur du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute (Ra)

Nous reacutesolvons le systegraveme deacutequations (336) et (337) de la faccedilon suivante

1 Initialisation des valeurs de chaque variable au sein du maillage

2 Calcul de la distribution de la tempeacuterature

3 Calcul de la distribution de la fonction de courant


-32-

4 Le processus iteacuteratif reacutepeacuteteacute jusqursquoagrave ce qursquoil nrsquoy ait plus de changement significatif de la

valeur de par rapport au critegravere de convergence suivant

ቤ minusyାଵݔ yݔ

yାଵݔቤle 10

5 Le mecircme critegravere est utiliseacute pour la tempeacuterature

6 Calcul des composantes de la vitesse

7 Stockage des valeurs de T et


-33-

Deacutebut

Lecture et eacutecrituredes donneacutees

Initialisation desT ψ

Calcul de ladistribution de T

Calcul de la fonctionde courant ψ

Calcul des composantesdes vitesses

Condition deconvergence

sur ψ

2n1n

2TTT n1n

Stockage desValeurs de T et de

Calcul des nombresde Nusselt locaux et

moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui

Chapitre 4-Reacutesultats Numeacuterique

-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction

Rappelons nos conditions de travail

Les trois caviteacutes sont caracteacuteriseacutees par les facteurs de formes suivants A=1 3 et 5 Les

conditions thermiques aux parois horizontales (Tc et Tf) ainsi que la hauteur de la caviteacute H sont

supposeacutees constantes

Pour chaque caviteacute nous donnons agrave lrsquoangle drsquoinclinaison les valeurs suivantes 0deg 15deg 30deg

45deg et 90deg Quant au nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute Ra il varie entre 100 et 450

42 Etude du maillage

Lrsquoeacutetude de lrsquoinfluence du maillage sur la valeur du nombre de Nusselt moyen de la paroi

chaude et sur la valeur de la fonction de courant maximale est illustreacutee par les figures (41) (42)

(43) et (44) Elle nous a permis de constater que le maillage choisi (71x71) reacutealisait un bon

compromis entre le temps et la preacutecision des calculs


-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400

Figure 41 Variation du nombre de Nusselt moyen തതതതcݑ sur la paroi chaude en fonction du

maillage A = 1 et =0deg

11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400

Figure 42 Variation du nombre de Nusselt moyen തതതതcݑ sur la paroi chaude

en fonction du maillage A = 1 et =45deg


-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0

Figure 43 Variation de la valeur de la fonction de courant maximale

en fonction du maillage A=1 et =0deg

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



Nous avons utiliseacute aussi divers maillages pour essayer de voir si le nombre de cellules

deacutepend de la finesse de maillage ou non Les figures (45a 45b et 45c) repreacutesentent les lignes


-37-

de courant pour les maillages 31 x 93 51 x 153 et 71 x 213 Ces figures montrent que dans aucun

cas plus de cinq cellules ont eacuteteacute produits

Figure 45a Lignes de courant pour un maillage 31x93 avec =0deg A=3 et Ra=100

Figure 45b lignes de courant pour un maillage 51x153 avec =0deg A=3 et Ra=100

Figure 45c lignes de courant pour un maillage 71x213 avec =0deg A=3 et Ra=100


-38-

4-3 Validation du code de calcul

SL Moya et E Ramos [14] ont consideacutereacute une enceinte paralleacuteleacutepipeacutedique allongeacutee suivant

un axe donneacute et de section rectangulaire les deux parois horizontales sont diffeacuterentiellement

chauffeacutees alors que les parois verticales sont isoleacutees Nous avons appliqueacute notre code de calcul agrave

leur cas et nous avons fait une comparaison de nos reacutesultats avec les leurs

Ces reacutesultats sont preacutesenteacutes dans les tableaux 41 et 42 pour le cas drsquoun rapport de forme

A=1 un nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute Ra=100 diffeacuterentes valeurs de lrsquoangle

drsquoinclinaison ( = 45deg et 90deg) et pour diffeacuterents maillages (20x20 30x30 et 40x40)

maillage Reacutefeacuterence[14]

Nos calculs Erreur

relative ()

Reacutefeacuterence[14]

Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027

Tableau 41 Comparaison des valeurs de la fonction de courant maximale avec lesreacutesultats de la reacutefeacuterence [14]


Nos calculs Erreurrelative ()



20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346

Tableau 42 Comparaison des valeurs du nombre de Nusselt moyen sur la paroi chaudeavec les reacutesultats de la reacutefeacuterence [14]

On constate un tregraves bon accord entre nos reacutesultats et ceux de la reacutefeacuterence [14] avec une

preacutecision de lrsquoordre de 093 agrave 365 pour le nombre de Nusselt moyen et de 011 agrave 045

pour la valeur maximale de la fonction de courant


-39-

4-4 Influence du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute

4-4 -1 Isothermes et lignes de courant

Les figures (46) (47) et (48) repreacutesentent les isothermes et les lignes de courant pour

diffeacuterentes valeurs du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute pour un facteur de forme A=1 3 et 5

respectivement quand = 00 Elles montrent que la structure de lrsquoeacutecoulement est multicellulaire

Le nombre des cellules de convection et la valeur maximale de la fonction de courant

augmentent avec lrsquoaugmentation du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute

Pour Ra=100 et Ra=200 les figures (46a) et (46b) repreacutesentent une symeacutetrie par rapport

agrave lrsquoaxe vertical de la caviteacute La structure drsquoeacutecoulement est formeacutee par deux cellules symeacutetriques

tournant en sens inverse et un champ de tempeacuterature sous forme de panache vertical

Pour Ra=300 et Ra=400 la structure drsquoeacutecoulement symeacutetrique du cas (Ra=100 et 200) est

rapidement deacutestabiliseacutee avec lrsquoapparition drsquoune troisiegraveme cellule comme lrsquoillustrent bien les

figures (46c) et (46d)


-40-

Figure 46 Isothermes et lignes de courant pour A=1 = 00 (a)Ra=100 (b)Ra=200

(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-

Figure 47 Isothermes et lignes de courants pour A=3 = 00 (a) Ra=100 (b) Ra=200 (c)

Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-

Figure 48 Isothermes et lignes de courants pour A=5 = 00 (a) Ra=100 (b) Ra=200

(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-

4-4 -2 Nombre de Nusselt local Nuc

Les variations des nombres de Nusselt locaux le long des parois sont eacutetroitement lieacutees aux

distributions des isothermes et des isocourants de sorte que qualitativement ces variations et

ces distributions peuvent souvent se deacuteduire les une des autres

La figure (49) illustre la variation du nombre de Nusselt local sur la paroi chaude et nous

permet de remarquer qursquoavec lrsquoaugmentation du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute la valeur

du nombre de Nusselt local augmente mais aux positions 02lexle035 et 085lexle1 cette variation

se fait presque en sens inverse ceci est ducirc au fait qursquoagrave ces positions lagrave le fluide quitte la paroi

comme en teacutemoignent les figures (46a) (46b) (46c) et (46d) deacutejagrave vues preacuteceacutedemment

00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400

Figure 49 Variation du nombre de Nusselt local sur la paroi chaude Nuc

pour diffeacuterents Ra A= 1 et =0deg

Les figures 410 et 411 qui illustrent respectivement pour A=3 et A=5 les variations du

nombre de Nusselt local sur la paroi chaude montrent que ces variations preacutesentent plusieurs

maximums et minimums qui deacutenotent donc la preacutesence drsquoun eacutecoulement multicellulaire chaque

paire de cellules voisines sont contrarotatives pour faire soit eacuteloigner du fluide de cette paroi


-45-

soit le faire ramener vers cette derniegravere Ce qui nous met en accord avec les figures (48a)

(48b) (48c) et (48d) deacutejagrave vues plus haut

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0


pour diffeacuterents Ra A=5 et =0deg


-46-

4-4 -3 Nombre de Nusselt moyen തതതതc

La figure (412) illustre les variations du nombre de Nusselt moyen sur la paroi chaude en

fonction du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute ce nombre de Nusselt moyen augmente avec le

nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute donc le transfert de chaleur devient plus intense avec

lrsquoaccroissement du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute

1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5

Figure 412 Variation du nombre de Nusselt moyen തതതതcݑ sur la paroi chaude en fonction du Ra

pour diffeacuterents facteurs de forme A =45deg

4-5 Influence du facteur de forme

4-5-1 Isothermes et lignes de courant

Les figures (413a) (413b) et (413c) repreacutesentent les isothermes et les lignes de courant

pour diffeacuterentes valeurs du facteur de forme de la caviteacute quand = 00 et Ra=400

Ces figures montrent que le facteur de forme de la caviteacute influe sur le mode du transfert de

chaleur il reste toujours domineacute par une convection multicellulaire et le nombre des cellules

augmente

Pour A=1 trois reacutegions clairement identifiables ougrave les cellules de convection

contrarotatives se deacuteveloppent


-47-

Pour A=3 sur la figure (413b) ce sont neuf cellules contrarotatives de convection qui se

deacuteveloppent aussi Les cellules repreacutesenteacutees avec la couleur rouge ont un sens de rotation

trigonomeacutetrique et celles en bleu ont un sens de rotation contraire (horaire)

Pour A=5 la figure (413c) repreacutesente une symeacutetrie de lrsquoeacutecoulement par rapport agrave lrsquoaxe

vertical de la caviteacute Les cellules contrarotatives aussi et qui sont au nombre 16 permettent

justement cette configuration

Sur ces mecircmes figures (413a) (413b) et (413c) qui montrent que le facteur de forme de

la caviteacute influe peu sur la valeur maximale de la fonction de courant celle-ci augmente de 3

quand A varie de 1 agrave 3 et elle diminue de 01 quand A=5


-48-

Figure 413 Isothermes et lignes de courants pour Ra=400 = 00

(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-

4-5 -3 Nombre de Nusselt moyen തതതതതܝۼ


fonction du facteur de forme de la caviteacute ce nombre diminue avec lrsquoaccroissement du facteur de

forme de la caviteacute donc le transfert de chaleur srsquointensifie lorsque le facteur de forme de la

caviteacute eacutegal agrave lrsquouniteacute dans pour une inclinaison de 45deg

1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0

Figure 414 Variation du nombre de Nusselt moyen Nuୡതതതതതsur la paroi chaude

en fonction du facteur de forme A pour diffeacuterents Ra et =45deg

4-6 Influence de lrsquoangle drsquoinclinaison



diffeacuterentes valeurs de lrsquoangle drsquoinclinaison pour A=1 3 et 5 respectivement quand Ra=100

Pour un facteur de forme A= 1 et un angle drsquoinclinaison ge15deg une seule cellule a eacuteteacute

obtenue La valeur de la fonction de courant augmente quand Ra augmente ce qui indique un


-50-

mouvement plus vigoureux En fonction de langle dinclinaison la valeur de la fonction de

courant est maximale au voisinage de lrsquoinclinaison =30deg

Les Geacuteomeacutetries avec un facteur de forme A supeacuterieur agrave luniteacute preacutesentent une plus grande

varieacuteteacute de modes de convection

Pour un facteur de forme A = 3 et ge45deg les lignes de courant preacutesentent une cellule

unique ougrave tout le fluide agrave linteacuterieur de la caviteacute poreuse circule dans le mecircme sens et la valeur de

la fonction de courant augmente avec lrsquoinclinaison du systegraveme Pour des inclinaisons comprises

entre =15deg et =30deg nous avons vu qursquoune inclinaison optimum est agrave rechercher pour trouver

un meilleur transfert mais lrsquoeacutecoulement du fluide dans la caviteacute reste dans le mecircme sens Pour

0degltle15deg trois cellules de convection se deacuteveloppent avec des directions de rotation alterneacutees

Et pour =0deg nous avons cinq cellules pour Ra = 100 sept cellules pour Ra = 200 et neuf

cellules pour Ra = 300 et 400 qui se deacuteveloppent avec des directions de rotation aussi alterneacutees

Le cas A=5 preacutesente essentiellement des caracteacuteristiques drsquoeacutecoulement similaires agrave celles

trouveacutees pour A=3 La seule diffeacuterence pour ce cas est le nombre de cellules qui apparaissent le

plus grand nombre de cellules correspondant donc agrave de faibles angles dinclinaison

psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-

Figure 415 Isothermes et lignes de courants pour A=1 Ra=100

(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-



permet de remarquer que pour le facteur de forme A=3 si lrsquoinclinaison de notre caviteacute est

supeacuterieure agrave 30deg le nombre de Nusselt local deacutecroit drsquoune maniegravere monotone le long de la paroi

chaude et donc nous sommes en preacutesence drsquoun eacutecoulement monocellulaire la valeur maximale

se situe agrave la position x=0 et donc le fluide arrive vers la paroi agrave cette position et la valeur

minimale est agrave la position x=3 et donc le fluide quitte la paroi agrave cette position tout ceci nous

amegravene agrave conclure que notre eacutecoulement monocellulaire se fait dans un sens trigonomeacutetrique

Pour des inclinaisons infeacuterieures agrave 30deg la variation du nombre de Nusselt local preacutesente

des maximums et des minimums ce qui deacutenote que nous somme en preacutesence drsquoun eacutecoulement

multicellulaire car un maximum correspond agrave la juxtaposition de deux cellules ramenant du

fluide vers la paroi et un minimum correspond agrave la juxtaposition de deux cellules eacuteloignant du

fluide de la paroi Toute cette analyse nous en accord avec les figures (416a) (416b) (416c)

(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00

Figure 418 Variation du nombre de Nusselt local sur la paroi chaude Nuc pour diffeacuterents

Ra= 100 et A=3


La figure (419) preacutesente la variation du nombre de Nusselt moyen sur la paroi chaude en

fonction du nombre de Darcy-Rayleigh modifieacute Ra pour diffeacuterents α quand A=1 Elle montre

que les transferts srsquouniformisent mieux jusqursquoagrave lrsquoinclinaison α=45deg au-delagrave de cette derniegravere

une inclinaison optimum est rechercher pour obtenir le meilleur transfert de chaleur


-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00

Figure (418) Variation du nombre de Nusselt moyen Nuୡതതതതതsur la paroi chaude

en fonction de Ra pour diffeacuterents A=1

Conclusion

-59-

Conclusion

Le pheacutenomegravene de la convection naturelle dans une caviteacute poreuse bidimensionnelle satureacute

drsquoun fluide newtonien a eacuteteacute eacutetudieacute au moyen dune meacutethode numeacuterique La convection

monocellulaire ou multicellulaire a lieu selon le facteur de forme le nombre de Darcy-Rayleigh

modifieacute et langle dinclinaison

Pour langle dinclinaison α=0deg le mode principal de transfert thermique est la convection

multicellulaire pour αne0deg le comportement du systegraveme de la convection naturelle est

complegravetement diffeacuterent lorsque la caviteacute poreuse est inclineacutee les deux modes de convection sont

preacutesents Nous avons remarqueacute que lrsquoeacutecoulement srsquointensifie le plus quand =90deg pour tous les

facteurs de formes consideacutereacutes sauf pour le cas A=1 ou un angle est agrave rechercher pour avoir

une valeur optimum de la valeur de la fonction de courant

Aux angles dinclinaison proches de zeacutero le mode preacutefeacutereacute de la circulation est le mode

multicellulaire tandis quagrave de plus grands angles dinclinaison le mode preacutefeacutereacute est

monocellulaire Le changement se produit agrave environ 30deg pour A = 3 et 5 Nous avons constateacute

que le nombre maximum de cellules dans le cas A=3 est 9 tandis que pour A = 5 16 cellules

apparaissaient pour α=0deg Nous avons analyseacute ce point en deacutetail et divers maillages utiliseacutes pour

essayer de voir si le nombre de cellules deacutepend de la finesse du maillage ou non Les maillages

31x93 51x153 et 71x213 (A=3) ont eacuteteacute utiliseacutes et dans aucun cas plus de neuf cellules ont eacuteteacute

trouveacutes

Une suite inteacuteressante agrave ce travail serait de geacuteneacuteraliser leacutetude en consideacuterant le cas

tridimensionnel de notre enceinte ceci en consideacuterant bien sucircr la formulation en variables

primitives (vitesse-pression) et lutilisation de lalgorithme Simpler

Annexe A- Milieu Poreux

-60-

Annexe A

Milieu Poreux

Caracteacuterisation dun milieu poreux

1 Deacutefinition du milieu poreux

Le milieu poreux est composeacute dune matrice solide agrave linteacuterieur de laquelle se trouvent des

pores relieacutes entre eux ou eacuteventuellement isoleacutes On peut distinguer

- Les matrices solides non consolideacutees ougrave la phase solide est formeacutee de grains (par

exemple le sable le gravier billes de verre dacierhellip) pratique pour lexpeacuterimentation

- Les matrices solides consolideacutees (par exemple les roches calcaires les greacutes largile le

bois tissu biologique )

Dans le cas de la matrice solide non consolideacutee les pores relieacutes entre eux permettent

leacutecoulement dun ou plusieurs fluides On peut alors classer les problegravemes rencontreacutes suivant les

phases en preacutesence agrave linteacuterieur des pores

1) le milieu est satureacute dun seul fluide ou encore un ensemble de fluides miscibles (par

exemple un sol imbibeacute deau)

2) le milieu est composeacute de plusieurs fluides non miscibles Un ensemble de meacutenisques

seacutepare alors les diffeacuterentes phases (par exemple un meacutelange eau-huile-gaz dans les roches

peacutetroliegraveres ou un sol partiellement satureacute deau la deuxiegraveme phase eacutetant lair)

3) le milieu est le siegravege dun transport de fluide et de particules solides Il agit en geacuteneacuteral

comme un filtre mais ses proprieacuteteacutes hydrodynamiques se modifient au cours du temps

(deacutepollution des eaux contenant de grosses particules par percolation agrave travers le sol)


-61-

2 Paramegravetres

21Volume Eleacutementaire Repreacutesentatif (VER)

Leacutechelle du pore d varie geacuteneacuteralement de 005microm pour les nano pores agrave 05mm pour les

macro pores Or la distribution des pores et des grains est geacuteneacuteralement tregraves irreacuteguliegravere A cette

eacutechelle la pression la vitesse et la tempeacuterature varient donc tregraves irreacuteguliegraverement dun point agrave

lautre du domaine On est donc ameneacute agrave effectuer une moyenne spatiale de ces grandeurs Elles

ont pour but deacuteliminer les fluctuations agrave leacutechelle du pore mais pas les fluctuations agrave leacutechelle

macroscopique du milieu poreux L Cette moyenne seffectue donc sur des nombreux pores par

lintermeacutediaire dun Volume Eleacutementaire Repreacutesentatif VER (figure 1) du milieu De plus leacutechelle l

du VER doit donc veacuterifier

d le l le L

On obtient donc les grandeurs caracteacuteristiques de la vitesse la pression et la tempeacuterature

en les moyennant sur le VER Cela permet de repreacutesenter un point dans un nouveau milieu

continu fictif par changement deacutechelle Il est eacutequivalent au domaine poreux eacutetudieacute mais agrave

leacutechelle macroscopique Lorsque les proprieacuteteacutes locales deacutefinies sur le VER sont

indeacutependantes de la position de celui-ci le milieu est dit homogegravene agrave leacutechelle macroscopique

Sauf au cas particulier toutes les grandeurs (pression vitesse tempeacuterature) apparaissant dans les

diffeacuterents modegraveles seront deacutefinies sur le VER


-62-

Figure 1 La taille intermeacutediaire l du (VER) entre la taille du milieu poreux agrave leacutechelle

macroscopique L et agrave leacutechelle des pores d

22Porositeacute

La porositeacute est deacutefinie comme le rapport du volume vide occupeacute par les pores sur le

volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ

La proportion occupeacutee par la matrice solide est donc donneacutee par 1 minus ߝ En fait ߝ est plus

exactement appeleacute porositeacute totale En effet cette deacutefinition prend en compte les pores fermeacutes

On introduit donc une porositeacute accessible deacutefinie comme le rapport du volume des pores

connecteacutes sur le volume total Cela nest possible que si on connaicirct suffisamment la structure du

milieu poreux elle est peu utiliseacutee en pratique Cette distinction naura pas lieu dans leacutetude qui

suit les milieux expeacuterimentaux se font par empilement (matrice solide non consolideacutee) Pour les

milieux poreux naturels nexcegravedeߝ pas 066 (pour lardoise en poudre) Neacuteanmoins cela peut ecirctre

plus eacuteleveacute pour des milieux poreux industriels (09 en moyenne pour les fibres de verre)


-63-

Beaucoup de reacutesultats sont issus de modegraveles geacuteomeacutetriques particuliers de grains ou de

pores Ils sont obtenus dans le cas dempilements reacuteguliers de sphegraveres de mecircme diamegravetre Ces

empilements forment des reacuteseaux et la porositeacute deacutepend fortement de larrangement (figure 2)

Dans le cas dun reacuteseau cubique il y a beaucoup plus despace pour le fluide (ε = 0476) que dans

le cas dun reacuteseau cubique agrave face centreacute (ε = 0255) qui est le reacuteseau reacutegulier le plus compact que

lon puisse obtenir avec des sphegraveres de mecircme diamegravetre

Il existe de nombreux cas ougrave la porositeacute est variable mais on la considegravere comme uniforme

Figure2 modegravele geacuteomeacutetrique par empilement reacutegulier de sphegraveres de mecircme diamegravetre (a) cubique

ε = 0476 (b) cubique centreacute ε = 032 (c) cubique agrave face centreacute ε = 0255

Des mesures expeacuterimentales donnent dans le tableau (1) ci dessous quelques valeurs de la

porositeacute pour diffeacuterents mateacuteriaux

Mateacuteriaux porositeacute Mateacuteriaux porositeacute

Mateacuteriau mousseux 098 Sable 037 ndash 050

Fibre de verre 088 ndash 093 Poudre de silice 037 ndash 049

Fil agrave tisser 068 ndash 076 Sphegravere bien empileacutee 036 ndash 043

Grains de silice 065 Filtre de cigarettes 017 ndash 049

Poudre drsquoardoise noire 057 ndash 066 Briques 012 ndash 034

a b c


-64-

Cuir 056 ndash 059 Poudre de cuivre 009 ndash 034

Catalyseur 045 Pierre agrave chaud Dolomite 004 ndash 010

Granuleacute de pierres 044 ndash 045 Houille 002 ndash 007

Terre 043 ndash 054

Tableau 1 Porositeacute de quelques mateacuteriaux

23Permeacuteabiliteacute

La permeacuteabiliteacute K se reacutefegravere agrave la capaciteacute du milieu poreux agrave laisser passer le ou les fluides

agrave linteacuterieur des pores Elle ne deacutepend que de la geacuteomeacutetrie de la matrice solide en particulier de

la porositeacute Ainsi le milieu est dautant plus permeacuteable que les pores sont connecteacutes entre eux

Geacuteneacuteralement K est deacutetermineacute par des mesures expeacuterimentales par le biais de la loi de

Darcy reacutegissant le mouvement du fluide dans le milieu poreux Il existe de nombreux travaux

reacutepertoriant la permeacuteabiliteacute pour diffeacuterents milieux Elle se situe entre 10-7 et 10-9 pour le gravier

et 10-13 et 10-16m2 pour largile stratifieacute

Il est possible deacutevaluer la permeacuteabiliteacute K gracircce agrave des geacuteomeacutetries particuliegraveres du milieu

par lintermeacutediaire de ε et dune dimension caracteacuteristique de la matrice solide agrave leacutechelle du pore

On note notamment

- la relation de Kozeny-Carman (1937) qui donne une estimation satisfaisante de K

dans le cas dun empilement de grains de formes agrave peu preacutes identiques et dont la distribution des

tailles des grains nest pas trop eacuteloigneacutee dune taille moyenne D

ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ

C0 est un coefficient de forme il est compris entre 36 et 5 Il est eacutegal agrave 48 pour les grains

spheacuteriques et dans ce cas D repreacutesente le diamegravetre de la sphegravere Le tableau ci-dessous repreacutesente

la permeacuteabiliteacute de quelques mateacuteriaux poreux


-65-

Matrice Permeacuteabiliteacute[m2] Matrice Permeacuteabiliteacute[m2]

Briques 4810-15 ndash 2210-13 Sable 2 10-11 ndash 1810-10

Pierre agrave chaud Dolomite 2 10-15 ndash 4510-14 Cheveux artificiels 8310-10 ndash 1210-9

Cuir 9510-14 ndash 1210-13Plaque de liegravege 3310-10 ndash 1510-9

Poudre drsquoardoise noire 4910-14 ndash 1210-13Fils agrave tisser 3810-9 ndash 110-8

Terre 2910-13 ndash 1410-11Cigarette 1110-9

Fibres de verre 2410-11 ndash 5110-11

Tableau2 la permeacuteabiliteacute de quelques mateacuteriaux poreux

Annexe B-Meacutethodes Iteacuteratives

-66-

Annexe B

Meacutethodes Iteacuteratives

Meacutethodes iteacuteratives pour systegravemes lineacuteaires

Pour la reacutesolution des systegravemes lineacuteaires

=ݔܣ (1)

Il y a des situations ougrave les meacutethodes iteacuteratives sont tregraves utiles Par exemple si la matrice A

possegravede une tregraves grande dimension et si beaucoup drsquoeacuteleacutements de A sont nuls (matrice creuse) ce qui

est le cas pour les discreacutetisations des eacutequations aux deacuteriveacutees partielles

Pour se ramener agrave un problegraveme de point fixe on considegravere une deacutecomposition A= M ndash N

(splitting) et on deacutefinit lrsquoiteacuteration

M xk+1 = N xk + b (2)

Le choix de la deacutecomposition A = M ndash N est important pour la performance de la meacutethode

Drsquoune part M doit ecirctre choisie tel que le systegraveme (2) soit beaucoup plus facile agrave reacutesoudre que le

systegraveme (1) Drsquoautre part les valeurs propres de la matrice M -1 N doivent satisfaire pour que

lrsquoiteacuteration (2) converge

Il y a beaucoup de possibiliteacutes de deacutefinir la deacutecomposition A= M ndash N Si lrsquoon deacutenote

=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲

Et D = diag(a11hellipann) (afin que A=L+D+U) les iteacuterations les plus connus sont

- Jacobi M = D N= ndash L ndash U


-67-

- Gauss-Seidel M = D+L N = ndash U

Pour ces deux meacutethodes la matrice M est choisie de maniegravere agrave ce que le systegraveme (2) soit tregraves

facile agrave reacutesoudre Un avantage de la meacutethode de Gauss-Seidel est le fait que pour le calcul de la

composante ݔାଵ du vecteur ାଵݔ on nrsquoa besoin que des composantes ݔ

ାଵ hellip ݔdu vecteur ݔ

Alors on peut utiliser la mecircme variable pour ݔାଵque pour ݔ

Une iteacuteration devient donc

simplement

Pour i = 1hellipn

=ݔ ൫ minus sum ݔ ଵୀଵ minus sum ݔ

ୀାଵ ൯

Une modification inteacuteressante de cet algorithme est la meacutethode SOR (ldquosuccessive over-

relaxationrdquo)

ାଵݔ = (1 minus ݔ( + ොݔ

=ොݔܦ minus minusାଵݔܮ ݔ

ቑ (3)

Ougrave est un paramegravetre donneacute (pour = 1 SOR se reacuteduit agrave Gauss-Seidel) Elle est aussi simple

agrave programmer que la preacuteceacutedente

Les reacutesultats suivants deacutemontrent la convergence dans quelques situations particuliegraveres

Theacuteoregraveme 1 Si la matrice A est agrave ldquodiagonale dominanterdquo c-agrave-d

| | gt sum ห หݎݑ= 1 hellip ஷ (4)

Alors lrsquoiteacuteration de Jacobi converge

Deacutemonstration Pour la meacutethode de Jacobi on a ܯ ଵ = +ܮ)ଵܦminus ) La condition (4)

implique que ܯ ଵஶ lt 1


-68-

Pour eacutetudier la convergence de la meacutethode SOR (en particulier pour Gauss-Seidel) on leacutecrit

sous la forme eacutequivalente

ܦ) + ାଵݔ(ܮ = ൫(1 minus ܦ( minus ൯ݔ +

Ou encore ାଵݔ = ݔ()ܪ + ܦ) + ଵ(ܮ avec

()ܪ = ܦ) + ଵ((1(ܮ minus ܦ( minus ) (5)

Theacuteoregraveme 2 Si A est symeacutetrique et deacutefinie positive et si isin (02) lrsquoiteacuteration SOR deacutefinie

par (3) converge

Deacutemonstration Il faut deacutemontrer que toutes les valeurs propres de ()ܪ satisfont |ߣ| lt 1

Soient uneߣ valeur propre et neݔ 0 le vecteur propre correspondant

൫(1 minus ܦ( minus ൯ݔ= ܦ)ߣ + ݔ(ܮ (6)

Comme (1 minus ܦ(ߣ minus = ܦ minus ܣ + ܮ la formule (6) devient

=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)

En multipliant (6) et (7) avec lowastݔ on obtient pour ߙ) = ܦ)lowastݔ + ݔ(ܮ (observer que = (ܮ

+ߙߣ =തߙ (2 minus ltݔܦlowastݔ( 0 (1 minus ߙ(ߣ = =ݔܣlowastݔ ߚ gt 0 (8)

On en deacuteduit

0 lt +ߙߣ =തߙ ቀߚఒ

ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ

Ce qui implique |ߣ| lt 1

Pour quelques matrices on connaicirct la valeur de qui minimise le rayon spectral de ()ܪ et

par conseacutequent qui acceacutelegravere la convergence par rapport agrave lrsquoiteacuteration de Gauss-Seidel Drsquoautres

meacutethodes iteacuteratives pour des systegravemes lineacuteaires sont SSOR (ldquosymmetric successive over-relaxationrdquo)

et la meacutethode du gradient conjugueacute (avec preacute-conditionnement)

Reacutefeacuterences Bibliographiques

-69-


[1] D Nield A Bejan Convection in Porous Media 2nd ed Spingerverlang New York Inc

(1999)

[2] D B Ingham I pop Transport phenomena in porous media 2nd ed Pergamon Amsterdam

(2002)

[3] A Bahloul Boundary layer and stability analysis of natural convection in a porous cavity

International Journal of Thermal Sciences vol 45 no 7 pp 635-642 (2006)

[4] AC Baytas Entropy generation for natural convection in a inclined porous cavity Int J

Heat Mass Transfer vol 43 pp 2089-2099 (2000)

[5] L Kalla M Mamou P Vasseur L Robillard Multiple steady states for natural convection

in a shallow porous cavity subject to uniform heat fluxes International Communications in Heat

and Mass Transfer vol 26 Issue 6 pp 761-770 (1999)

[6] H Nawaf A Saeid A Mohamad Natural convection in a square porous cavity with an

oscillating wall temperature International Journal of Numerical Methods for Heat amp Fluid Flow vol

15 Issue 6 pp 555-566 (2005)

[7] Y Varol F Oztop I Pop Numerical analysis of natural convection for a porous

rectangular enclosure with sinusoidally varying temperature profile on the bottom wall

International Communications in Heat and Mass Transfer vol 35 pp 56-64 (2008)

[8] A Barletta S Lazzari 2D free convection in a porous cavity heated by an internal circular

boundary International Journal of Thermal Sciences vol 45 pp 917-922 (2006)


-70-

[9] K Bouhadef Simulation numeacuterique de la convection naturelle dans une caviteacute agrave fond

sinusoiumldal 12egravemes Journeacutees Internationales de Thermique Tanger Maroc du 15 au 17

Novembre 2005

[10] Y Varol F Oztop E Avci Estimation of thermal and flow fields due to natural convection

using support vector machines (SVM) in a porous cavity with discrete heat sources International

Communications in Heat and Mass Transfer vol 35 pp 928ndash936 (2008)

[11] E Baez A Nicolaacutes 2D natural convection flows in tilted cavities Porous media and

homogeneous fluids Int J Heat Mass Transfer vol 49 pp 4773-4785 (2006)

[12] T Basak S Roy T Paul I Pop Natural convection in a square cavity filled with a porous

medium Effects of various thermal boundary conditions International Journal of Heat and Mass

Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)

[13] A Saeid H Nawaf Natural convection in porous cavity with sinusoidal bottom wall

temperature variation International Communications in Heat and Mass Transfer vol 32 pp

454-463 (2005)

[14] SL Moya E Ramos S Mihir Numerical study of natural convection in a tilted

rectangular porous material Int J Heat Mass Transfer vol 30 Issue 4 pp 741-756 (1987)

[15] SV Patankar Numerical Heat Transfer and fluid flow McGraw-Hill book company New

York (1980)

[16] EF Nogotov Applications of Numerical Heat transfer McGraw-Hill book company New

York (1978)

Title Numerical study of natural convection in porous media saturated with fluid in a

square cavity with variable orientation

Summary

Two-dimensional natural convective flow in a tilted rectangular porous material saturated

with fluid is analyzed by solving numerically the mass momentum and energy balance

equations using Darcyrsquos law and the Boussinesq approximation Isothermal boundary conditions

are considered where two opposite walls are kept at constant but different temperatures and the

other two are thermally insulated The external parameters considered are the tilt angle the

aspect ratio and the Darcy-Rayleigh number Two main convective modes are found single and

multiple cell convection and their features described in detail Local and global Nusselt numbers

are presented as functions of the external parameters

Key words naturel convection porous media Boussinesq equations Darcy Law square cavity

دراسة عددیة للحمل الحراري الطبیعي في وسط مسامي مشبع بمائع داخل فجوة مربعة مائلةالعنوان

ملخص

قمنا في إطار ھذا العمل بدراسة عددیة لظاھرة انتقال الحرارة بواسطة الحمل الحراري الطبیعي

وذلك بحل عدديبمائع نیوتونيوء ھذا التجویف مملمائل و ثنائي األبعادمربع تجویف مساميداخل

الشروط الحدیة مرتبطة معادالت انحفاظ الكتلة والطاقة باستعمال مقاربة بوسیناسك وقانون دارسيل

العوامل والوجھان اآلخران معزولین حراریابوجھین متقابلین درجة حرارتھما ثابتة لكنھا مختلفة

الشكل وعدد دراسي رایلي المعدلزاویة المیالن عامل الخارجیة المؤثرة والمأخوذة بعین الحسبان ھي

لقد وجدنا الكیفیتین الرئیسیتین للحمل الحراري األحادیة والمتعددة الخالیا وكل منھما مشروحة بالتفصیل

فجوة مربعةقانون دارسيالحمل الحراري الطبیعي وسط مسامي مقاربة بوسیناسكالمفاتیح

Titre Etude numeacuterique de la convection naturelle en milieu poreux satureacute de fluide dans

une caviteacute carreacutee agrave orientation variable

Reacutesumeacute

La convection naturelle bidimensionnelle dans un mateacuteriau poreux carreacute et inclineacute est

analyseacute en reacutesolvant numeacuteriquement les eacutequations des bilans de masse de quantiteacute de

mouvement et deacutenergie en utilisant la loi de Darcy et lapproximation de Boussinesq Les

conditions aux limites consideacutereacutees correspondent agrave deux parois opposeacutees maintenues agrave deux

tempeacuteratures uniformes mais diffeacuterentes et les deux autres eacutetant thermiquement isoleacutees Les

paramegravetres externes consideacutereacutes sont langle dinclinaison le rapport de forme et le nombre de

Darcy-Rayleigh modifieacute On trouve deux modes principaux de convection la convection avec un

ou plusieurs cellules et leur description est donneacutee en deacutetail Les nombres de Nusselt locaux et

globaux sont preacutesenteacutes en fonction des paramegravetres externes

Mots-cleacutes convection naturelle milieu poreux eacutequations de Boussinesq loi de Darcy caviteacute

carreacutee

i

Remerciements

Je deacutesire tout drsquoabord exprimer ma profonde gratitude et mes remerciements les plus

chaleureux agrave Monsieur DJEZZAR Mahfoud Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri

Constantine pour son aide appreacuteciable pour ses conseils preacutecieux pour ses ideacutees originales qui

ont enrichi cette thegravese pour sa disponibiliteacute permanente et pour mrsquoavoir fait profiter de son

expeacuterience

Je tiens agrave remercier sincegraverement Madame CHAKER Abla professeur agrave lrsquouniversiteacute

Mentouri Constantine qui a bien voulu preacutesider mon jury drsquoexamen malgreacute ces nombreuses

occupations

Monsieur BELLEL Nadir Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri Constantine et

Monsieur OMARA Abdeslam Maicirctre de confeacuterences agrave lrsquouniversiteacute Mentouri Constantine mrsquoont

fait lrsquohonneur drsquoexaminer ce meacutemoire et de participer agrave mon jury drsquoexamen Qursquoils trouvent ici

lrsquoexpression de mes meilleurs remerciements

Enfin je tiens agrave remercier tous ceux qui ont contribueacute de pregraves ougrave de loin agrave la reacutealisation de

ce travail

ii

Nomenclature

Lettres latines



Da Nombre de darcy










P Pression (at)





t Temps (s)







iii

Lettres grecques











Exposant


Indices

c Chaude

f Froide

f Fluide

p Milieu poreux

Autres symboles

Gradient

2 Laplacien

iv

Sommaire

INTRODUCTION 1














31 Introduction 17









41 Introduction 34

v














Conclusion 59




Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

ii

Nomenclature

Lettres latines



Da Nombre de darcy










P Pression (at)





t Temps (s)







iii

Lettres grecques











Exposant


Indices

c Chaude

f Froide

f Fluide

p Milieu poreux

Autres symboles

Gradient

2 Laplacien

iv

Sommaire

INTRODUCTION 1














31 Introduction 17









41 Introduction 34

v














Conclusion 59




Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

iii

Lettres grecques











Exposant


Indices

c Chaude

f Froide

f Fluide

p Milieu poreux

Autres symboles

Gradient

2 Laplacien

iv

Sommaire

INTRODUCTION 1














31 Introduction 17









41 Introduction 34

v














Conclusion 59




Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

iv

Sommaire

INTRODUCTION 1














31 Introduction 17









41 Introduction 34

v














Conclusion 59




Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

v














Conclusion 59




Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

Introduction

-1-

Introduction
















entre 0deg et 90deg







Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

Introduction

-2-














-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-3-

Chapitre 1










Pop[2]













stratification




-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-4-































-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-5-



de Rayleigh 103


























-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-6-
















eux
















-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-7-































-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-8-














augmente















-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-9-










-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-10-











డ

డ௫= 0

L

H

డ

డ௫= 0

Tf

Tc

Y

X

α


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-11-












= 0 [1-β(T-T0)] (21)

Ougrave






ߚ = minus1

r

൬ߩ

൰

(22)








-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-12-










div Vሬሬ= 0 (23)






Vሬሬ= minusk


(24a)



ሬ= minus

ߤ൫nablaminus r


(24b)



൫ρC୮൯

partT

partt+ ൫ρC୮൯


(25)

Ougrave





-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-13-








part u

part x+part v

part y= 0

(26)


u = minusK

μ൬partP

partx+ r


(27a)

v = minusܭ

ߤ൬

ݕ+ r


(27b)


σpartT

partt+ ൬u

ݔ+ v

ݕ൰= ቆ

ଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇ

(28)

Ougrave

=l


σ =൫ρC୮൯

൫ρC୮൯



-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-14-



x Il vient

u

ݕ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݕ ݔ+ r

ୡgߚ sinߙ

ݕቇ

(29a)

v

ݔ= minus

ܭ

ߤቆଶ

ݔ ݕ+ r

ୡgߚ cosߙ

ݔቇ

(29b)

Donc

u

ݕminus

v

ݔ=

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(29c)


u =ψ

ݕ

v = minusψ

ݔ

(210)


ቆଶ

ଶݔ+ଶ

ଶݕቇψ =

ߚgܭ

ݒ൬cosߙ

ݔminus sinߙ

ݕ൰

(211)



x agrave y = 0 T = Tୡ ψ = 0 (212a)

x agrave y = H T = T ψ = 0 (212b)


ݔ= 0

ψ = 0 (212c)


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-15-




xା =x

Lyା =

y

L(213a)

uା =u

Lvା =

v

L(213b)

ψା =ψ

Tା =


(213c)

tା = σ

Lଶt (213d)


uା

ାݔ+

vା

ାݕ= 0

(214)


ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ

ାଶݕቇψା =

ܭ

Lଶ∆ଷܮߚ

ଶݒݒ

ቆ cosߙ

ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215a)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(215b)

ቆଶ

ାଶݔ+

ଶ


ା

ାݔminus sinߙ

ା

ାݕቇ

(216)

Avec

Gr =∆ଷܮߚ


Pr =ݒ

nombre de Prandtl

Da =ܭ

Lଶnombre de Darcy




-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-16-


ା

ାݐ+ uା

ା

ାݔ+ vା

ା

ାݕ= ቆ

ଶା

ାଶݔ+ଶା

ାଶݕቇ

(217)


x agrave y = 0 ା = 1 ψା = 0 (218a)

x agrave y = H ା = 0 ψା = 0 (218b)


ାݔ= 0

ψା = 0 (218c)







ݑ = minus ା

ାݕቤ௬శୀ

(219a)


ݑ = minus ା


(219b)






ାݕቇ

ାݔଵ

(220a)



ାݕቇଵ

ାݔଵ

(220b)


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-17-

Chapitre 3


31 Introduction


















-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-18-






(facteur de forme)

Avec











y

x

y

Y

X

αyଵ xଵ

x


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-19-






calcul




ା

ାݐ+


ା

ାݔቇ+


ା

ାݕቇ = 0

(31)

EW

N

S

e

n

w

s

P y

x

xexw

ys

yn

Je

Jn

Js

Jw

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i+1)x(i)x(i-1)


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-20-


φ

ାݐ+


φ

ାݔ൰+


φ

ାݕ൰ = S

(32)


Equation Г

(31) T+ 1 0





න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ + න න න


φ

ାݔ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න


φ

ାݕ൰

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

Ou bien

න න නφ

ାݐ

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪


ାݔ+( vା φ)

ାݕ

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

= න න න

ାݔ൬Г

φ

ାݔ൰+

ାݕ൬Г

φ

ାݕ൰൨

(௧శା∆௧శ)

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ

+ න න න S

(௧శା∆௧శ )

௧శ

ାݔ

௦

ାݕ

௪

ାݐ


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-21-




Posons


ାݔ൰

(33a)


ାݕ൰

(33b)



φ

ାݐ+௫ܬାݔ

+௬ܬ

ାݕ= S

(34)


൫ ௧శ minus

൯∆ݕ∆ݔ


തതത∆(35)



fonction de φ୮


Sതതത= S + S୮φ୮ (36)

Avec lt 0



൯∆x∆y





-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-22-


de ce volume

F = (uା) ାݕ∆

F௪ = (uା)୵ ାݕ∆


F௦ = (vା)ୱ∆ݔା ⎭⎬

⎫

(39)



(37) il vient



(310)








⎪⎪⎪⎫

(311)




(312)



-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-23-


aφ୮ = aφ + a φ + aφ + aୗφୗ + b (313)

Avec

a = a + a + a + aୗ + a୮ minus S୮∆V (314)

a୮ =

∆x∆y

∆tା(315)

b = S∆ + a୮φ

(316)



(||)ܣ = 0 (1 minus 01||)ହ




a = D୵ |)ܣ ௪ |) + F௪ 0

a = D୬ |)ܣ |) + minusF 0

aୗ = Dୱܣ( | ௦| ) + F௦ 0⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(317)




-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-24-

D =൫Г൯

ݕ∆

(ݔߜ)

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

௪(ݔߜ)

D୬ =൫Г൯

ݔ∆

(ݕߜ)

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

௦(ݕߜ) ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(318)

P =FD

P୵ =F୵D୵

P୬ =F୬D୬

Pୱ =FୱDୱ ⎭

⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(319)





D =൫Г൯∆ݕ

ݔ∆

D୵ =൫Г൯௪

ݕ∆

ݔ∆

D୬ =൫Г൯∆ݔ

ݕ∆

Dୱ =൫Г൯௦

ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(320)


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-25-






aTା = aT

ା + a Tା + aT

ା + aୗTୗା + S (321)

a = a + a + a + aୗ +∆x∆y

∆tା(322)


S =∆x∆y

∆tାTା



ାݕቇ


ାݕቇ௪


ାݔቇ


ାݔቇ௦ ⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(323)


ା =

ା(+ 1 ) + ା( )

2

௪ା =

ା( ) + ା(minus 1 )

2

ା =

ା( + 1) + ା( )

2

௦ା =

ା( ) + ା( minus 1)

2⎭⎪⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎪⎫

(324)


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-26-




ቆψା

ାݕቇ

=ψା ቀ

i + 12

j + 1

2ቁminus ψା ቀ

i + 12

j minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


x( i )

EW

(i-1j)

y(j+1)

y(j)

y(j-1)

x(i-1) x(i+1)

(ାݕ∆)

N

ାݔ∆)

)

S

n

s

(i-1j+1) (ij+1) (i+1j+1)

(i-1j-1) (i+1j-1)(ij-1)

(ij)

( ଵ

ଶ ଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(୧ାଵ

ଶ୨ ଵ

ଶ)

(୧ ଵ

ଶ୨ାଵ

ଶ)

(i+1j)

ePw


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-27-

ቆା

ାݕቇ௪

=ା ቀ

minus 12

+ 1

2ቁminus ା ቀ

minus 12

minus 1

2ቁ

ାݕ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

௪ܨ =1


ቆା

ାݔቇ

=ା ቀ +

12


12

+12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1


Donc

ܨ =1


ቆା

ାݔቇ௦

=ା ቀ +

12


12

minus12ቁ

ାݔ∆

=1


4


4൰

=1



-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-28-

Donc

௦ܨ =1




srsquoeacutecrivent

D = D୵ =ݕ∆

ݔ∆

D୬ = Dୱ =ݔ∆

ݕ∆ ⎭⎪⎬

⎪⎫

(326)


P = Fݔ∆

ݕ∆

P୵ = F୵ݔ∆

ݕ∆

P୬ = F୬ݕ∆

ݔ∆

Pୱ = Fୱݕ∆

ݔ∆ ⎭⎪⎪⎪⎬

⎪⎪⎪⎫

(327)









-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-29-


Tା(i 1) = 1


Tା(i NN) = 0






partଶf

partxଶ+partଶf

partyଶ=


∆xଶ+


∆yଶ(329)

Donc

ቆଶψା

ାଶݔ+ଶψା

ାଶݕቇ=


∆xାଶ(330)


∆yାଶ

ା

ାݔቤ


ାݔ∆2(331a)

ା

ାݕቤ


ାݕ∆2(331b)




∆yାଶ




ାݕ∆2ቇ

(332)


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-30-

Donc

ψା(i j) =1

2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ



∆yାଶ


ାݔ∆2


ାݕ∆2ቇ

(333)




ψା(i 1) = 0


ψା(i NN) = 0


ψା(1 j) = 0 et ψା(NI j) = 0




uା(i j) = ψା

ାݕቤ


ାݕ∆2(334)


ାݔቤ


ାݔ∆2(335)



-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-31-



par EF NOGOTOV [16]



ାଵ( ) = (1 minus )(ܩ ) + ቀ

ୟቁ[a

(+ 1 ) + a ାଵ(minus 1 ) +

a( + 1) + aୗ

ାଵ( minus 1)](336)


+ܩ2൬

1

∆xାଶ+

1

∆yାଶ൰ଵ


∆xଶ


∆yଶ


+ݔ∆2


+ݕ∆2ቇ

(337)









-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-32-




yାଵݔቤle 10





-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-33-

Deacutebut







sur ψ

2n1n

2TTT n1n



moyens

n gt nmax

Pas deConvergence

Fin


sur T

n=0 k=0

n=n+1

oui

oui

non

non

nonoui

n gt nmax

k=k+1

non

oui


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-34-

Chapitre 4

RESULTATS NUMERIQUE

41 Introduction













-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-35-

11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400



11

x11

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

101

x101

111

x111

121

x121

131

x131 --

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

Maillage

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400




-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-36-

11

x1

1

21

x21

31

x31

41

x41

51

x51

61

x61

71

x71

81

x81

91

x91

10

1x1

01

11

1x1

11

12

1x1

21

13

1x1

31 --

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

9 5

10 0P

si m

ax

M a illa g e

R A= 1 0 0

R A= 2 0 0

R A= 3 0 0

R A= 4 0 0



11x

11

21x2

1

31x3

1

41x4

1

51x5

1

61x6

1

71x7

1

81x8

1

91x9

1

101x1

01

111x1

11

121x1

21

131x1

31 --

6 5

70

75

80

85

90

95

100

105

110

115

120

125

130

135

140

145

150

155

160

Psi m

ax

M aillage

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400






-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-37-







-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-38-










Nos calculs Erreur

relative ()


Nos calculs Erreur

relative ()

20x20 647 6446 037 4718 4697 045

30x30 6529 6518 017 4727 4711 034

40x40 6552 6545 011 4728 4715 027






20x20 3316 3347 093 2662 2748 313

30x30 3481 3562 227 2801 2907 365

40x40 3564 3653 244 2873 2976 346






-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-39-















-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-40-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi239186133080027

-026-079-131-184-237

psi516401286172057

-058-173-287-402-517

psi515401286172057

-058-173-287-474-571

psi667613515401172057

-058-287-474-674

max= 589 min = -589

max= 537min = -581

max= 6 95 min = -756

max= 272 min = -272(a)

(d)

(c)

(b)


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-41-


Ra=300 (d) Ra=400

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi -507 -454 -326 -209 -109 107 232 324 434 487

psi -507 -326 -209 -109 107 232 324 434 487 552

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

max= 513 min = -522(b)

max= 557 min = -575(c)

max= 720 min = -746(d)

max= 371 min = -373(a)


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-42-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

(a) max= 389 min = -390

(b) max= 549 min = -557


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-43-


(c) Ra=300 (d) Ra=400

psi -503 -341 -190 -114 -038 038 113 265 341 496

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(c ) max= 56 min = -575

(d) max= 694 min = -698


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-44-










00 02 04 06 08 10

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

Ra=100

Ra=200

Ra=300

Ra=400








-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-45-



0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Nu

c

X

R a=100

R a=200

R a=300

R a=400



0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

c

X

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0




-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-46-






1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A = 1A = 3A = 5









augmente




-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-47-











-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-48-


(a) A=1 (b) A=3 (c) A=5

psi667613515401172057

-058-287-474-674

psi -681 -573 -326 -109 107 232 434 487 552 669

psi -653 -523 -190 -114 113 265 341 421 490 642

(a) max= 6 95 min = -756

max= 720 min = -746(b)

(c) max= 694 min = -698


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-49-






1 2 3 4 5

1 5

2 0

2 5

3 0

3 5

4 0

4 5

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

8 5

9 0

Nu

C

A

R a= 1 0 0

R a= 2 0 0

R a= 3 0 0

R a= 4 0 0










-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-50-
















psi244190137083029

-024-078-132-186-239

max= 272 min = -272(a)


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-51-

psi584516448380312243175107039

psi618546474402330258185113041

psi616544472400329257185113041

max= 6 22 min = 0

max= 6 59 min = 0

max= 6 57 min = 0

(c)

(b)

(d)


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-52-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi441390338287235184132081029

psi -326 -254 -182 -109 -037 035 107 180 252 324

psi584484384284184084

-016-116-216-316

max= 372 min = -372

max= 648 min = -380

max= 471 min = 0(e)

(a)

(b)


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-53-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi742665588510433356279201124047

psi895848790685580476371266161057

psi901807714620527434340247153060

max= 752 min = 0

max= 908 min = 0

max= 961 min = 0

(c)

(d)

(e)


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-54-

psi -341 -265 -190 -114 -038 038 113 189 265 341

psi -195 -104 -013 077 168 259 349 440 530

psi -247 -126 -004 117 239 360 481 603 724

max= 390 min = -390

max= 582 min = -246

max= 794 min = -317

(a)

(c)

(b)


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-55-


(a) = 00 (b) =150 (c) =300 (d) =450 (e) =900

psi899845746648549451352254155056

psi1055

932809686563439316193070

max= 901 min = 0

max= 1125 min = 0

(d)

(e)


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-56-














(416d) et (416c)


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

8

1 0

1 2

1 4

1 6

Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

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ଵ 0

൲ = ൮

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⋱ ⋱⋮ ⋱

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⋮ଵ

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simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


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ቑ (3)










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par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

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ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-57-

0 0 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0

-2

0

2

4

6

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Nu

C

X

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00


Ra= 100 et A=3







-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

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9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


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Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

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-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

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ଵ 0

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⋱ ⋱⋮ ⋱

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-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


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ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-58-

1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 5 0 4 0 0

2

3

4

5

6

7

8

9

Nu

C

R a

A lp h a = 00

A lp h a = 1 50

A lp h a = 3 00

A lp h a = 4 50

A lp h a = 9 00



Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

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-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

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൲ = ൮

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⋱ ⋱⋮ ⋱

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simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


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ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

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ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee

Conclusion

-59-

Conclusion


















trouveacutes





-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

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0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

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-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


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ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-60-

Annexe A

Milieu Poreux





















-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

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0 ଵଶ hellip

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-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


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ቑ (3)










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par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

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ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-61-

2 Paramegravetres










d le l le L









-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

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ଵ

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0 ଵଶ hellip

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simplement

Pour i = 1hellipn


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ቑ (3)










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par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

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ଵఒഥቁ= ߚ

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-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-62-



22Porositeacute


volume total soit

=ߝݒ ݑ ݎݏ ݏ

ݒ ݐݐݑ










-63-


















a b c


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Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

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-65-










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Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

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Pour i = 1hellipn


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On en deacuteduit


ଵఒ+

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-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-63-


















a b c


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

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-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

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On en deacuteduit


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ଵఒഥቁ= ߚ

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(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-64-




Terre 043 ndash 054












On note notamment




ܭ =ଷߝଶܦ

(1ܥ36 minus ଶ(ߝ





-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






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(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







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Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











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-65-










-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






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On en deacuteduit


ଵఒ+

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-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-66-

Annexe B




=ݔܣ (1)






M xk+1 = N xk + b (2)






=ܮ ൮

0

ଶଵ ⋱⋮

ଵ

⋱hellip

⋱

ଵ 0

൲ = ൮

0 ଵଶ hellip

⋱ ⋱⋮ ⋱

ଵ

⋮ଵ

0

൲




-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-67-








simplement

Pour i = 1hellipn


ୀାଵ ൯


relaxationrdquo)



ቑ (3)










-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-68-







par (3) converge





=ݔܣ ൫(1 minus ܦ)(ߣ + ݔ൯ܮ (7)



On en deacuteduit


ଵఒ+

ଵ

ଵఒഥቁ= ߚ

ଵ|ఒ|మ

|ଵఒ|మ







-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-69-



(1999)


(2002)










15 Issue 6 pp 555-566 (2005)







-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


-70-



Novembre 2005








Transfer vol 49 pp 1430-1441 (2006)



454-463 (2005)




York (1980)


York (1978)



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee



Summary











ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee


ملخص










Reacutesumeacute











carreacutee



Reacutesumeacute











carreacutee

Documents

1 P DE GARDE · 2017. 11. 13. · Nawaf et al [6] ont étudié numériquement la convection naturelle dans une cavité carrée remplie d'un milieu poreux en régime transitoire. Ils