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Propagation d’épidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL

Superviseur : Micha HerschEtudiants : Bruno Pais & Didier Languetin

29 mai 2009

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Objectifs

Etudier le modèle simple SIR

Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un casd’épidémie actuel :

Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL

Adapter ce modèle à notre cas particulier afin d’évaluer:

- les risques encourus- efficacité de la campagne de vaccination

L’épidémie

L’épidémie, qu’est-ceexactement?

Une épidémie signifieune augmentation rapide

de l’incidence d’unepathologie en un lieu et sur un momentdonné.

Nombre de jours

Nom

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

0 20 40 60 80 100 120

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Nombre de personnes infectées présentes sur le campus à un temps

donné

Intérêts du modèle SIR

Le modèle SIR permet de :

• Visualiser graphiquement la propagation d’une maladie au sein d’un espace clos et son évolution.

• D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.

Le modèle simple SIR

Le système dynamique

•S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie.

• I(t): nombres de personnes infectées.

•R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.

Le modèle simple SIR

Le système dynamique:

dS/dt = -r ·S(t) ·I(t)

dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t)

dR/dt = a ·I(t)

Les paramètres:

r : taux de contagion(vitesse de transmission)

a : taux de guérison

Perfectionnement du modèle

Nous avons améliorer le modèle de manière à prendre

en considération:

•le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL

•La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)

Le modèle amélioré

Le flux de personnes entre les 2 sites :

s = flux de personnes qui transitent entre les 2 sites

Le modèle amélioré

Le système dynamique (dans le cas où on se trouve à l'Unil) :

dS/dt = -r ·S(t) ·I(t) + s · (SEPFL(t)-S(t)) – u · v · S(t)

dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t) + s · (IEPFL(t)-I(t))

dR/dt = a ·I(t) + s · (REPFL(t)-R(t)) + u · v · S(t)

Les paramètres:

r : taux de contagion a : taux de mise en quarantaines : flux de personnes qui transitent

entre les 2 sitesu : 95% d'efficacité du vaccinv : taux de personnes vaccinées par

jour

Le modèle amélioré

Données acquises

Données fournies par le médecin cantonal

Méthodologie

Choix :1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux

2. Intervalle de temps = 7semaines

3. Une semaine = 7 jours de cours

4. Un dose suffit pour être vacciné

5. Période d'incubation nulle

6. 5-6 jours pour être mis en quarantaine

7. Uniquement les 10% initialement non vaccinées sont pris en compte dans notre modèle

8. s = Flux (Unil -> EPFL) = Flux (EPFL -> Unil)

9. Mise en quarantaine = guérison, donc :

a = taux de guérison = taux de mise en quarantaine

Méthodologie

Conditions initiales :1. Durée de la campagne 19 jours à partir de la 3ème semaine

2. Nombre de personnes non-vaccinées S(t) :

S(t=0) = 2500 dont : 1400 (Unil)

1100 (EPFL)

3. Nombre de personnes infectées I(t) et immunisées R(t) :

I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0

4. Nombre total de personnes vaccinées = 1500

5. Nombre total d'infectés = 49

Optimisation des paramètres

Calcul de a:

Une personne contagieuse sera détectée et misequarantaine en moyenne 5-6 jours après infection.

Le taux de guérison a est donc de 2/11 (approximation)

Recherche de r et s avec a fixé:

On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à l’aide de la formule suivante:

(nEPFL – 37)² + (nUNIL -12)²

soit le plus petit possible

Optimisation des paramètres

41.2610.020000.000215

43.7720.020000.000214

39.690.020000.000216

39.1280.020000.000217

39.6470.020000.000218

63.2250.020000.000221

146.650.020000.000200

67.8210.020000.000210

58.0660.020000.000220

186.990.020000.000230

572.520.020000.000240

2997.10.020000.000260

1407.80.020000.000250

Coût(s)(r)

1.1040.008200.000232958

12.5670.012000.000217

11.9950.011000.000217

14.2620.009000.000217

12.490.010000.000217

19.0410.015000.000217

32.3340.018500.000217

35.4460.019200.000217

35.8990.019300.000217

36.3540.019400.000217

37.2710.019600.000217

36.8120.019500.000217

41.4870.020500.000217

48.780.022000.000217

43.8860.021000.000217

Coût(s)(r)

Formule d'optimisation des paramètres :

Paramètres de la vaccination

Les paramètres u et v de la vaccination:

Soient à t = 18, S(0) = 2500 et S(18) = 1000, on a :

dS/d(t) = - v · S(t) v = -log(S(t)/2500)/t

tel que : v = 0.050905

et : u = efficacité du vaccin = 95%

Dynamique des populationsDynamique sans vaccin Dynamique avec vaccin

jours

Nom

bre

de p

ers

onnes

Nom

bre

de p

ers

onnes

jours 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120

2500

2000

1500

1000

500

0

2500

2000

1500

1000

500

0

S(t)

I(t)R(t)

I(t)

S(t)

R(t)

Effet de la vaccination

semaines semainesNom

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

chaque

jour

Dynamique avec vaccin Dynamique sans vaccin

EPFL

UNIL+EPFL

UNIL

UNIL+EPFL

UNILEPFL

12.3

12.3N

om

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

chaque

jour

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7

12

10

8

6

4

2

0

180

160

140

120

100

80

60

40

20

0

Conclusion

Résultats :

•Nombre de personnes infectées selon nos données :

49 personnes

•Nombre de personnes infectées selon notre modèle :

- avec campagne : 48 ± 1 personnes

- sans campagne : 413 personnes (risques encourus)

•% de personnes épargnées : 88.38% 365 personnes!

Vaccination efficace et recommandée selon notre modèle

Conclusion

Limites du modèles :

Le nombre de personnes infectées chaque jour de notre modèlene réflétent pas la réalité de nos données... Lors de la 3ème semaine par exemple, on a pic d'activité qui passe

du simple au double...

semaines

Nom

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

chaque jour

1 2 3 4 5 6 7

25

20

15

10

5

0

0

UNIL+EPFLEPFL

UNIL

Conclusion

Limites du modèles :

On ne peut estimer précisemment le nombre exact d'infectésun jour donnée... Néanmois, notre modèle suffit à prédire que ce pic d'activité se déroulera lors de la 3 semaine et à estimer la fin de l'épidémie.

Perspectives

•Présence des étudiants sur le site que 5 jours de la semaine sur les 7

•Tenir compte des flux extérieurs à notre système

• Interpreter l’influence que le TSOL pourrait avoir comme lieu à hauts risques de contamination, en considérant le TSOL comme 3ème site

Annexe : codes du modèlefunction y=f(x,t)

s= 0.0082;r=0.000232958;a=2/11;u=0.95;v=0.050905;

if(t>=14 & t<=32)

# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):

y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1);y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1);

# Site EPFL :

y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4);y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4);

else

# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):

y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4));y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6));

# Site EPFL :

y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4));y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6));

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