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Propagation d’épidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL

Superviseur : Micha HerschEtudiants : Bruno Pais & Didier Languetin

3 avril 2009

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Objectifs

Etudier le modèle simple SIR

Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un casd’épidémie actuel :

Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL

Adapter ce modèle à notre cas particulier afin d’évaluer:

- les risques encourus- efficacité de la campagne de vaccination

L’épidémie

L’épidémie, qu’est-ceexactement?

Une épidémie signifieaugmentation rapide de

l’incidence d’une pathologie en un lieu et sur un momentdonné.

Nombre de jours

I(t)

Intérêts du modèle SIR

Le modèle SIR permet de :

• Visualiser graphiquement la propagation d’une maladie au sein d’un espace clos et son évolution.

• D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.

Le modèle simple SIR

Le système dynamique

• S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie.

• I(t): nombres de personnes infectées.

• R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.

Le modèle simple SIR

Le système dynamique:

dS/dt = -r ·S(t) ·I(t)

dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t)

dR/dt = a ·I(t)

Les paramètres:

r : indice de virulence (vitesse de transmission)

a : indice de guérison.

Perfectionnement du modèle

Nous avons optimiser le modèle de manière à prendre

en considération:

• le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL

• La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)

Données acquises

Méthodologie (choix)

Choix :

1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux2. Intervalle de temps3. Une semaine = 7 jours de cours4. Un dose suffit pour être vaccinné5. Pas de période d'incubation6. 5-6 jours pour être mis en quarantaine7. Uniquement les 10% initialement non

vaccinées son pris en compte dans notre modèle

Méthodologie (conditions)

Conditions initiales :

1. S(t=0) = 2500 dont : 1400 (Unil)1100 (EPFL)

2. I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0

3. R(t=tf) = 1500

4. nombre totale d'infectés = 49

Modèle perfectionnéfunction y=f(x,t)

s= 0.0082;r=0.000232958;a=2/11;u=0.95;v=0.050905;

if(t>=14 & t<=32)

# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):

y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1);y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1);

# Site EPFL :

y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4);y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4);

else

# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):

y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4));y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6));

# Site EPFL :

y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4));y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6));

endendfunction

Optimisation des paramètres

Calcul de a:

Une personne sera isolée en moyenne 6 jours aprèsêtre susceptible de transmettre le virus. Le taux deguérison est donc de 1/6.

Recherche de r et s avec a fixé:

On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à l’aide de la formule suivante:

(nEPFL – 37)² + (nUNIL -12)²

soit le plus petit possible

Optimisation des paramètres

41.2610.020000.000215

43.7720.020000.000214

39.690.020000.000216

39.1280.020000.000217

39.6470.020000.000218

63.2250.020000.000221

146.650.020000.000200

67.8210.020000.000210

58.0660.020000.000220

186.990.020000.000230

572.520.020000.000240

2997.10.020000.000260

1407.80.020000.000250

Coût(s)(r)

1.1040.008200.000232958

12.5670.012000.000217

11.9950.011000.000217

14.2620.009000.000217

12.490.010000.000217

19.0410.015000.000217

32.3340.018500.000217

35.4460.019200.000217

35.8990.019300.000217

36.3540.019400.000217

37.2710.019600.000217

36.8120.019500.000217

41.4870.020500.000217

48.780.022000.000217

43.8860.021000.000217

Coût(s)(r)

Modélisation des flux

Modélisation des flux des personnes:

Le calcul des flux se fait également à l’aide de la formule précédente.

Paramètres de la vaccination

Les paramètres u et v de la vaccination:

v dS/d(t) = - v S(t) avec t= 19 et

v = -log (S(t)/2500) / t S(19) = 1000

v = 0.050905

u = 0.95

Dynamique des populationsDynamique sans vaccin Dynamique avec vaccin

jours

Nom

bre

de p

ers

onnes

Nom

bre

de p

ers

onnes

jours

Effet de la vaccination

semaines semaines

Nom

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

Nom

bre

de p

ers

onnes

infe

ctées

Dynamique avec vaccin Dynamique sans vaccin

EPFL

UNIL+EPFL

UNIL

UNIL+EPFL

UNILEPFL

Perspectives

• Présence sur site que 5 jours sur 7

• Tenir compte des flux extérieurs