1 Quelques exercices sur les probabilités F. Kohler

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Quelques exercices sur les probabilités

F. Kohler

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Les dés

• On jette un dès non pipé. – Dénombrez l’ensemble des résultats

possibles– Soit A, B et C les événements obtenir un

nombre pair, un nombre impair,un nombre impair et premier. Calculez P(A), P(B), P(C).

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Les dés

• Ensemble des résultats possibles :{1, 2, 3, 4, 5, 6}

• P(A) = P(B) = 0,5

• P(C) = 2/3 =0,66 (rappel 1 n’est pas un nombre premier)

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La pièce de monnaie

• Dans un jeu, on jette une pièce de monnaie jusqu’à ce que l’on obtienne face, et l’on compte le nombre de jet. Calculez la probabilité d’obtenir face au bout de 2 jets et au bout de 10 jets

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La pièce de monnaie

• P(Face) = 0, 5

• P(non Face et Face) = 0,5 * 0,5

• P(non face 9 fois de suite) = 0,59

• P(Face après 9 coup) = 0,5 * 0,59 = 0,510

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Le forgeron et l’autocar

• Un forgeron habite entre Raon (R) et Senone (S), deux villes distantes de 24 km. L’autocar fait le trajet R-S à vitesse constante et retourne après s’être arrêté un temps négligeable à S à R et ainsi de suite. Le forgeron qui sort de sa maison pour se rendre à R voit passer l’autocar dans le sens R vers S à l’opposé de sa direction 5 fois sur 6. Quelle est la distance de la maison M du forgeron de R ? (d’après J.P. ALEM mathématiques Ed. Tchou)

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Le forgeron et l’autocar

• Soit le schéma :

R M S

24 km

Si le forgeron arrive en M alors que l’autocar est entre M et S, il le verra passer dans le sens S vers M.Les probabilités de voir passer l’autocar dans la direction RS ou dans la direction SR sont proportionnels au trajet MRM et MSM ou à leur moitié MR et MS

MR/MS = (5/6)/(1/6)MR+MS = 24MR = 20

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La DRASS et les statistiques sanitaires

• A partir des données sanitaires on a obtenu les éléments suivants :– Coliques néphrétiques et Asthme sont 2 maladies indépendantes– Prévalence de l’asthme = 0,0098– Prévalence de coliques néphrétiques = 0,002– Prévalence des infections pulmonaires (IP) = 0,10– Fréquence des IP chez les asthmatiques = 0,3– 40% des asthmatiques sont fumeurs– 30% des fumeurs asthmatiques présentent des affections cardio-vasculaires – 10% des non fumeurs asthmatiques présentent une affection cardio-vasculaire

• Quelle est la probabilité d’être asthmatique ou d’infection pulmonaire ?• Quelle est la fréquence des porteurs d’asthme ou de coliques néphrétiques ?• Un malade présente une IP quelle est la probabilité qu’il soit asthmatique ?

( quelle est la fréquence des asthmatiques chez les IP) ?• Quelle est la fréquence des affections cardiovasculaires chez les asthmatiques ?• Quelle est la fréquence des non fumeurs chez les asthmatiques qui n’ont pas

d’affections cardio-vasculaire ? (d’après F. Kohler le Docteur P.Ilul et les statistiques)

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Traduction en probabilités

• Asthme (A) et coliques néphrétiques (CN) sont 2 maladies indépendantes :– P(A et CN) = P(A) * P(CN)– P(A) = 0,0098– P(CN) = 0,002– P(IP)= 0,10– P(IP/A) = 0,3 = P(A et IP)/P(A) => P(A et IP) =

0,3*0,0098 = 0,00294

• P(A ou IP)– P(A ou IP) = P(A) + P(IP) – P(A et IP) = 0,1 + 0,0098

–0,00294 = 0,10686

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Traduction en probabilités


0,3*0,0098 = 0,00294• P(A et CN)

– P(A et CN) = 0,0098 * 0,002 = 0,0000196• P(A ou CN)

– P(A ou CN) = 0,0098 + 0,002 – 0,0000196 = 0,01178

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Traduction en terme de probabilités


0,3*0,0098 = 0,00294

• P(A/IP) = P(A et IP)/P(IP)– P(A/IP) = 0,00294/0,1 = 0,0294

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Traduction en terme de probabilités

• Asthme (A) et coliques néphrétiques (CN) sont 2 maladies indépendantes :– P(A et CN) = P(A) * P(CN)– P(A) = 0,0098– P(CN) = 0,002– P(IP)= 0,10– P(IP/A) = 0,3 = P(A et IP)/P(A) => P(A et IP) = 0,3*0,0098 = 0,00294

• P(F) = 0,4• P(ACV/F) = 0,3• P(ACV/ non F) = 0,1• P(ACV)

– P(ACV) = P(ACV/F) * P(F) + P(ACV/non F) * P(non F)– P(ACV) = 0,3*0,4 + 0,1*0,6 = 0,18

• P(non F/non ACV)– P(non F/non ACV) = P(non F et Non ACV)* P(non ACV =>– P(non F et non ACV) = P(non ACV/ non F) * P(non F) = (1-0,1) *(1-0,4) = 0,54– P(non ACV) = 1 – 0,18 = 0,82– P(non F/non ACV) = 0,54/0,82 = 0,659

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Les médicaments dangereux

• Un enfant a absorbé accidentellement l’un ou l’autre exclusivement de trois médicaments dangereux A, B et C. Il y avait à sa portée 3 boites de A, 1 de B et 2 de C

– Quelle est la probabilité qu’il ait pris A ?

• Les 3 médicaments entraînent des troubles digestifs dans 50% des cas avec A, 75% des cas avec B et 20% avec C. L’enfant présente ces troubles


• Au bout de quelques jours, les malades donnent des signes de fièvre dans 90% des cas pour A, 10% pour B et jamais avec C. L’enfant n’a pas de fièvre.


• La probabilité de survie est de 10% si l’on a pris A, 80% si l’on a pris B et de 90% si l’on a pris C.

– Quelle est la probabilité de survie de l’enfant ?

(tirés de Éléments de statistiques et de probabilités. Michel Doly et coll. Interédition)

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• Question 1 : on a 6 boites dont 3 de A => P(A) = 0,5– P(B) = 1/6 ; P(C) = 2/6 = 1/3

• Question 2– P(TD/A) = 0,5– P(TD/B) = 0,75– P(TD/C)= 0,2– P(TD) = P(TD/A)*P(A)+P(TD/B)*P(B)+P(TD/C)*P(C) = 0,5*0,5 +

0,75*1/6 + 0,2 *1/3 = 0,44167– P(A/TD) = P(TD/A)*P(A) / P(TD) = 0,5 * 0,5 / 0,44167 = 0,566

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Les médicament dangereux

• Question 3– P(F/A) = 0,9

– P(F/B) = 0,1

– P(F/C) = 0

– P(A/non F)

– P(non F) = P(non F/A) * P(A) + P(non F/B) * P(B) + P(non F/C)* P(C)

– P(non F) = 0,1 *0,5 + 0,9*1/6 + 1*1/3 = 0,53

– P(A/non F) = P(nonF/A)*P(A)/P(non F) = 0,1 * 0,5 / 0,53 = 0,094

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• Question 4– P(S/A) = 0,1

– P(S/B) = 0,8

– P(S/C) = 0,9

– P(S) = P(S/A)*P(A) + PS/B)*P(B) + PS/C) * P(C)

– P(S) = 0,1*0,5+0,8*1/6+0,9*1/3 = 0,483

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Les sujets sains et les malades : sensibilité, spécificité

• Les deux tableaux ci-contre donnent la distribution d’un paramètre chez les sujets sains et les malades. Construire la courbe de ROC pour des limites entre 40 et 50 avec un pas de 2

Sujets Sains Maladesxi ni fi Ni Fi xi ni fi Ni Fi

30 1 2% 1 2% 38 1 2% 1 2%32 1 2% 2 4% 46 3 6% 4 8%33 1 2% 3 6% 47 1 2% 5 10%34 1 2% 4 8% 48 5 10% 10 20%38 1 2% 5 10% 49 2 4% 12 24%40 2 4% 7 14% 50 1 2% 13 26%41 1 2% 8 16% 51 2 4% 15 30%42 1 2% 9 18% 52 1 2% 16 32%43 1 2% 10 20% 53 4 8% 20 40%44 2 4% 12 24% 54 3 6% 23 46%45 2 4% 14 28% 55 2 4% 25 50%46 3 6% 17 34% 56 2 4% 27 54%49 5 10% 22 44% 57 2 4% 29 58%51 4 8% 26 52% 58 1 2% 30 60%52 1 2% 27 54% 59 2 4% 32 64%53 2 4% 29 58% 60 4 8% 36 72%54 2 4% 31 62% 61 2 4% 38 76%55 2 4% 33 66% 62 3 6% 41 82%56 1 2% 34 68% 65 1 2% 42 84%57 1 2% 35 70% 67 2 4% 44 88%58 2 4% 37 74% 68 1 2% 45 90%59 3 6% 40 80% 72 1 2% 46 92%60 1 2% 41 82% 73 1 2% 47 94%62 4 8% 45 90% 75 1 2% 48 96%63 1 2% 46 92% 76 1 2% 49 98%65 1 2% 47 94% 79 1 2% 50 100%67 1 2% 48 96%73 1 2% 49 98%74 1 2% 50 100%

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Les sujets sains et les malades• La fréquence relative cumulée (Fi) permet de calculer pour une

valeur donnée de la limite L la spécificité et la sensibilité.– Si le test est positif quand la valeur est supérieur à L (ce qui est le cas

ici)• Fi chez les sujets sains donne la spécificité• 1 – Fi chez les malades donne la sensibilité

– Si le test est positif quand la valeur est inférieure à L• 1-Fi chez les sujet sains donne la spécificité• Fi chez les malades donne la sensibilité

• Si la valeur de la limite L n’est pas disponible directement dans les valeurs observés (xi), on réalise une interpolation linéaire.

• La construction de la courbe de ROC est faite en portant en axe des ordonnées la sensibilité et en abscisse 1-la spécificité. Chaque valeur de la limite L est représentée par un point sur ce diagramme.

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