L-P-Bourguiba deTunis Prof :Ben jedidia chokri Chapitre 6Fiche6Gomtrie dans lespaceClasse :4 MathRsum du cours Produit scalaire Dfinition : lespace E est orient dans le sens direct* Soit A, B et C des points. Le produit scalaire des vecteurs AC etABest le rel dfini par : = = = 0 AC ou0 AB si , 0 AC . AB . = 0 AC et 0 AB si BAC, cos . AC . AB AC . AB . . AB AB AB . AB22 = =Expression analytique dans une base orthonorm PropritsSoit) k , j , i , O ( un repre orthonorm de lespace. Pour tous vecteurs,' z' y' xv et zyxu||||

\|||||

\| ' zz ' yy ' xx v . u + + = et. z y x u2 2 2+ + = Pour tous points M (x, y, z) et M (x, y, z), ( ) ( ) ( ) . ' z z ' y y ' x x ' MM2 2 2 + + = Orthogonalit dans lespaceProduit vectoriel DfinitionSoitA,BetCdespointsdelespace.Leproduitvectorielde AC parAB estle vecteur not AC ABet dfini comme suit : * si AC et AB colinaires, alors, 0 AC AB = * si AC et AB ne sont pas colinaires, alors AC ABest orthogonal AC etAB) AC AB , AC , AB ( est une base directe, . BAC sin . AC . AB AC AB = PropritSoit v etudeux vecteurs et , deux rels. . 0 u u = . 0 v u = si et seulement si, v etusont colinaires ; ) v u ( v u, w u v u ) w v ( u), u v ( v u = + = + = Expression analytique du produit vectoriel Lespace est muni dune base orthonorm directe( ) k , j , i . Pour tous vecteurs ||||

\|cbau et ,' c' b' av||||

\| ( ) ( ) ( ) u v bc' cb' i ca ' ac' j ab' ba ' k = + + . Proprits Lespace est muni dun repre orthonorm direct( ) k , j , i , O . *Pour tous vecteurs, w et v , u ( u v).w ( v w).u(w u). v det( u, v, w). = = =*Laire du paralllogramme ABCD est gale AD AB . *Le volumeV dun ttradre ABCD est gal BA ). BD BC (61. *Le volume dun paralllpipde ABCDEFGH est gal AE ). AD AB (Lespace est muni dun repre orthonorm ) k , j , i , O ( . Reprsentation paramtrique dune droite de lespace 000x=x +kay=y +kb (k rel)z=z +kc Ce systme est une reprsentation paramtrique dequi passe par( )0 0 0z , y , x Aetde vecteurdirecteur non nul au bc ( ( ( (

. Reprsentation paramtrique dun plan Soit P le plan passant par( )0 0 0z , y , x Aet dont un couple de vecteurs directeurs est( ) v , uo||||

\|cbauet ||||

\|' c' b' avLe systme ( ) + + = + + = + + =' c c z zP de ue paramtriq tionreprsenta une estR , ' b b y y' a a x x0200. Equation cartsienne dun plan Tout plan de lespace a une quation cartsienne vrifiant0 d cz by ax = + + + de vecteur normal an bc ( ( ( (

avec( ) ( ). 0 , 0 , 0 c , b , a Point mthode : Pour dterminer une quation cartsienne du plan (ABC) *On peut traduire analytiquement : n.AM=0 oun est un vecteur normal au plan par exemple, en choisissantn=AB AC *On peut traduire analytiquement : AM=t AB+t' AC

et en dduire une relation liant les coordonnes x,y et z de M Distance dun point une droite Soit D une droite de vecteur directeur u et A un point de D.d (M, D) = uu MA. Distance dun point un plan Lespace est muni dun repre orthonorm( ) k , j , i , O . soit un plan P dquation :ax + by + cz + d = 0et A (x0, y0, z0) un point de lespace. 0 0 0ax +by +cz +dd(A,P)=a+b+c. Equation cartsienne dune sphreLasphre S de centre 0 0 0A (x , y , z )et de rayon R a pour quation : 2 2 2 20 0 0(x-x ) +(y-y ) +(z-z ) R = . Positions dune sphre et dun plan Lespace est muni dun repre orthonorm( ) k , j , i , O . Soit S une sphre de centre A et de rayon R.Soit P un plan, d la distance de A P et H le projet orthogonal de A sur P.Lintersection de S et P estvide si d > r, rduire au singleton { } Hsi d= R, le cercle de rayon R-det de centre H si d < R Point mthodeSoit P : ax+by+cz+d=0 Pour dterminer H : *on crit le systme dquations paramtriques de la droite (AH)qui passe par( )0 0 0z , y , x A etde vecteurdirecteur non nul au bc ( ( ( (

. **On dtermine lintersection du plan P et (AH) Translation Dfinition Soit u un vecteur de lespace. Lapplication qui tout point M de lespace associe lunique point M tel que = u ' MM est appele translation de vecteur uet noteut .Pour tous points M et M de lespace, ut (M) = Mquivaut = u ' MM . Thorme Toute translation de lespace de vecteuru est bijective. Son application rciproque est la translation de vecteur. uProprit caractristique Thorme Une application de lespace dans lui-mme est une translation, si et seulement si, pour tous points M et N dimages respectives M et N,. MN ' MN =ConsquencesToute translation de lespace conserve la distance. Toute translation de lespace conserve le produit scalaire. Action dune translation sur les configurations Thorme Limage dune droite par une translation est une droite qui lui est parallle. Limage dun plan par une translation est un plan qui lui est parallle. Consquences Toute translation conserve le paralllisme et lorthogonalit. Toute translation conserve le milieu. ThormeLimage dune sphre S par une translation est une sphre S de mme rayon et de centre limage du centre. Expression analytique dune translation Thorme Lespace est muni dun repre( ) k , j , i , O . Soit ||||

\|cbauun vecteur de lespace. Si M (x, y, z) est un point de lespace et M (x, y, z) est son image parla translation de vecteur u alors + =+ =+ =b z ' zb y ' ya x ' x Lapplication qui tout point M (x, y, z) associe le point M (x, y, z) tel que+ =+ =+ =b z ' zb y ' ya x ' x est la translation de vecteur ||||

\|cbauHomothtie de lespaceDfinition Soit I un point de lespace et k un rel non nul. Lapplication qui tout point Mde lespace associe lunique point M tel que = IM k ' IM est appele homothtiede centre I et de rapport k, elle est note h(I,k). Pour tous points M et M de lespace, h(I,k) (M) = M quivaut = IM k ' IM . Thorme Toute homothtie de centre I et de rapport non nul k est une bijection de lespace et admet comme application rciproque lhomothtie de centre I et de rapport.k1 Pour tous points M et N de lespace, N =h(I,k) (M) quivaut ) N ( h Mk1, I ||

\|= . Proprit caractristique Thorme Soit f une application de lespace dans lui-mme et k un rel non nul et diffrent de 1.festunehomothtiederapportk,sietseulementsi,pourtouspointsMetN dimages respectives M et N par f, = MN k ' N ' M . Consquence Soit h une homothtie de lespace de rapport k. Pour tous points M et N dimages respectives M et N par h,. MN k ' N ' M =Action dune homothtie sur les configurations Thorme Limage dune droite par une homothtie est une droite qui lui est parallle. Limage dun plan par une homothtie est un plan qui lui est parallle. Thorme Limage dune sphre s de centre I et de rayon R par une homothtie de lespace de rapport k est une sphre S de centre I image de I et de rayon. R kProprit Toute homothtie de lespace conserve le contact. Expression analytique dune homothtie Thorme Lespace est muni dun repre orthonorm( ) k , j , i , O . Soit un point I (a, b, c), k un rel non nul et diffrent de 1 et h lhomothtie de centre I et de rapport k. Si M (x, y, z) est un point de lespace et M (x, y, z) est son image par h, *Lapplication qui tout point M (x, y, z) associe le point M (x, y, z) tel que x' kxy' ky , k 1est l'homothtie de centreI, ,et de rapport k.1-k 1 k 1 kz' kz= + | |= + | \ = +