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Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1/16

Objectif n° 1 : Positions relatives de droites et de plans dans l'espace

Quelques différences entre la géométrie plane et la géométrie dans l'espace

Dans le plan Dans l'espace

* Par 2 points distincts, il passe une droite et une seule ( on dit

aussi que " dans le plan, deux points distincts définissent une

droite " )

* On dit que des points du plan sont alignés lorsqu'il existe une

droite qui les contient tous.

Remarque : deux points sont toujours alignés; ce n'est pas

toujours le cas à partir de 3 points.

* Par 3 points non alignés, il passe un plan et un seul ( on dit

aussi que " dans l'espace, trois points non alignés définissent

un plan " )

* On dit que plusieurs points du plan sont coplanaires lorsqu'il

existe un plan qui les contient tous.

Remarque : trois points sont toujours coplanaires; ce n'est pas

toujours le cas à partir de 4 points.

Propriété 1 : soient (d) et (d ’) deux droites quelconques. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative :

(d) et (d ’) coplanaires (d) et (d ’) non coplanaires

(d) et (d ’) parallèles (d) et (d ’) sécantes

strictement parallèles

(d) (d ’) = ∅

confondues

(d) = (d ’)

(d) (d ’) = A

Cas particulier :

droites perpendiculaires

(d) (d ’) = ∅

Attention ! dans l'espace deux droites qui n'ont aucun point commun ne sont pas forcément parallèles. C'est le cas par exemple si

elles ne sont pas coplanaires

Propriété 2 : soient (P) et (P ’) deux plans quelconques. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative :

(P) et (P ’) parallèles (P) et (P ’) sécants

strictement parallèles

(P) (P ’) = ∅

confondus

(P) = (P ’)

Cas particulier :

plans perpendiculaires

(P) (P ') = (d)


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Propriété 3 : soient (d) et (P) une droite et un plan quelconque. Plusieurs cas se présentent concernant leur position relative :

(d) et (P) parallèles (d) et (P) sécants

(d) non incluse dans (P)

(d) (P) = ∅

(d) incluse dans (P)

(d) (P) = (D)

Cas particulier :

droite perpendiculaire au plan

(d) (P) = A

Exercice 1 : considérons le cube ci-contre.

1. Citer deux droites sécantes. 2. Citer deux droites strictement parallèles.

3. Citer deux droites non coplanaires. 4. Citer un plan sécant au plan (FGC) .

5. Citer deux plans strictement parallèles. 6. Citer une droite sécante au plan (EFA).

7. Citer une droite strictement parallèle au plan

(EHF).

8. Citer une droite incluse dans le plan (DCG).

9. Citer deux plans perpendiculaires. 10. Citer deux droites perpendiculaires.

11. Préciser la position relative des plans (EFA) et

(GCD).

12. Préciser la position relative des droites (EF)

et (HC) .

13. Préciser la position relative de la droite (DG) et

du plan (ABE) .

14. Préciser la position relative des plans (CDF)

et (ABE).

15. Préciser la position relative de la droite (DC) et

du plan (EHB).

16. Préciser la position relative des droites (AG)

et (BH)

17. Quelle est l'intersection entre le plan (EHB) et

la droite (GC) ?

18. Quelle est l'intersection entre les plans

(CDE) et (EFG) ?


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Propriété 4 : le tableau ci-dessous résume les principales propriétés concernant le parallélisme dans l'espace :

Deux droites parallèles à une même

droite sont parallèles entre elles

(d1) // (d2)

(d3) // (d2) (d1) // (d3)

Si (P) et (P ') sont deux plans parallèles,

alors tout plan (Q) qui coupe (P) coupe

aussi (P ') et les deux droites

d'intersection (d) et (d ’) sont parallèles

Théorème "du toit" : soient (P) et (P ')

deux plans sécants. Soit (d) une droite de

(P) et soit (d ’) une droite de (P ').

Si (d) et (d ’) sont parallèles, alors la droite

d'intersection de (P) et de (P ') est parallèle

à (d) et à (d ’).

Deux plans parallèles à un même

plan sont parallèles entre eux

(P1) // (P2)

(P3) // (P2) (P1) // (P3)

Soient (d) et (∆) deux droites sécantes

d'un plan (P).

Soient (d ’) et (∆ ') deux droites sécantes

d'un plan (P ').

Si (d) et (d ’) sont parallèles et si (∆) et

(∆ ') sont parallèles, alors les plans (P)

et (P ') sont parallèles

Si une droite (d ’ ) est parallèle à une

droite (d) d'un plan (P), alors (d ’ ) est

parallèle à (P)

Exercice 2 : on se place dans l'espace. Pour chaque proposition ci-dessous, répondre par Vrai (V) ou Faux (F).

N° Proposition V/F N° Proposition V/F

1 3 points distincts définissent un plan 2 3 points non alignés définissent un plan

3 2 droites sécantes définissent un plan 4 1 point et 1 droite définissent un plan

5 Une droite ayant au moins 2 points distincts en

commun avec un plan est incluse dans ce plan 6

2 plans ayant au moins 3 points distincts en

commun sont confondus

7 2 plans ayant au moins 3 points non alignés en

commun sont confondus 8 2 droites non sécantes sont parallèles

9 2 plans non sécants sont parallèles 10 Deux droites parallèles sont coplanaires

11 Deux droites non sécantes sont coplanaires 12 Deux plans parallèles à un même plan sont

parallèles

13 Un plan coupe deux plans parallèles selon deux

droites parallèles 14

Une droite parallèle à un plan est parallèle à

toutes droites de ce plan

15 Deux plans perpendiculaires à un même troisième

sont parallèles 16

Deux droites incluses dans des plans parallèles

sont parallèles.

17 Deux droites incluses dans des plans

perpendiculaires sont perpendiculaires. 18

Deux droites perpendiculaires à une même

troisième sont parallèles

19 L'ensemble des points équidistants de deux points

distincts est une droite. 20

L'ensemble des points équidistants de deux points

distincts est un plan.

21

Un point I étant donné, l'ensemble des points M

de l'espace tels que IM = 4 est le cercle de centre

I, de rayon 4.

22

L'intersection d'un plan et d'une sphère est :

soit .............................., soit ..............................,

soit .............................. .


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Objectif n° 2 : section d'un solide par un plan

Considérons un cube ABCDEFGH.

Imaginons que l'on coupe ce cube par un plan (P) passant par les milieux de certaines

arêtes comme illustré sur la figure ci-contre.

La section du cube par le plan (P) est la figure plane formée par l'intersection entre le

plan (P) et les faces du cube.

Sur la figure ci-contre, il s'agit de l'hexagone IJKLMN.

Voici quelques exemples de construction de sections de solide par des plans :

Exercice 3 : Sections planes d'un cube

Dans le cube ABCDEFGH ci-dessous, on a placé les points M, milieu de [EH], N milieu de [FC] et P tel que →HP =

1

4 →HG.

On se propose de construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (MNP).

1. Justifier que les droites (MP) et (FG) sont sécantes. On notera L leur point d'intersection. Placer L sur la figure.

2. a. Justifier que les droites (LN) et (CG) sont sécantes. On note T leur point d'intersection. Placer T sur la figure.

b. De même on note Q le point d'intersection des droites (LN) et (BF). Placer Q sur la figure.

3. Justifier que les droites (MP) et (EF) sont sécantes. On note R leur point d'intersection. Placer R sur la figure.

4. Déterminer l'intersection des plans (ABF) et (MNP)

5. Construire alors la section du cube ABCDEFGH par le plan (MNP).


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Exercice 4 : Sections planes d'un tétraèdre.

Dans le tétraèdre ci-dessous, I, J, K et L sont respectivement sur les arêtes [AB], [CD], [AC] et [BC]

1. Construire la section du tétraèdre par le plan (KLJ) 2. Construire la section du tétraèdre par le plan (IJL)

Exercice 5 : Section d'un pavé.

ABCDEFGH est un pavé. I et J sont deux points des arêtes [EF] et [AB]. K est un point de la face EFGH. Tracer la section du pavé

par le plan (IJK).

Remarque : une petite aide pour l'exercice 5 ( https://www.youtube.com/watch?v=vgXcf3M0f9w )


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Objectif n° 3 : Vecteurs de l'espace - orthogonalité dans l'espace

Introduction :

La notion de vecteur étudiée en géométrie plane se généralise à l'espace. Ainsi, les vecteurs de l'espace sont définis de la même

manière que les vecteurs du plan et ils possèdent les mêmes propriétés (addition, multiplication par un réel, relation de Chasles, etc.).

Définitions 5 :

* 2 vecteur →u et

→v sont dits colinéaires s'il existe un réel k tel que

→u = k

→v

Exercice 6 : on considère le tétraèdre ABCD ci-contre. On appelle I, J, K et L les points définis par :

→AI =

2

3 →AB ;

→BJ =

1

3 →BC ;

→CK =

2

3 →CD ;

→DL =

1

3 →DA

1. Placer I, J, K et L sur la figure ci-contre.

2. En utilisant la relation de Chasles, exprimer →IJ en fonction de

→AB et de

→BC .

En déduire que →IJ et

→AC sont colinéaires.

3. Démontrer que →LK et

→AC sont colinéaires.

4. Démontrer que IJKL est un parallélogramme.

Que peut-on en déduire pour les points I, J, K et L ?

5. Démontrer que la droite (AC) est parallèle au plan (IJK) .

6. Démontrer que la droite (BD) est parallèle au plan (IJK).

Définition 6 : Soient ( d ) et ( d ’ ) deux droites de vecteurs directeurs →u et

→v ,

Si les droites ( d ) et ( d ’ ) sont perpendiculaires, on dit que les vecteurs →u et

→v sont orthogonaux ( et on note

→u ⊥

→v )

Attention : lorsque deux vecteurs →u et

→v sont orthogonaux, deux droites de vecteurs directeurs

→u et

→v ne sont pas nécessairement

perpendiculaires ( car elles ne sont pas forcément coplanaires donc par forcément sécantes ). On dit qu'elles sont

orthogonales.

On en déduit donc que deux droites sont perpendiculaires lorsqu'elles sont orthogonales et sécantes.

Définition 7 : Une droite ( d ) et un plan (P) sont perpendiculaires lorsque ( d ) est orthogonale à toutes les droites de (P)

Définition 8:

Soit (P) un plan et soit →n un vecteur non nul. Soient A et B deux points tels que

→AB =

→n

Si la droite (AB) est orthogonale au plan (P), alors on dit que

le vecteur →n est un vecteur normal au plan (P).

Propriété 9 : Pour qu'un vecteur →n soit normal à un plan (P), il suffit que

→n soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (P).


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Les propriétés suivantes se retiennent facilement de manière intuitive ( faire des figures à main levée pour les retrouver ) :

Propriétés 10 : (d) est une droite de vecteur directeur →u , (P) et (P ') sont deux plans de vecteurs normaux respectifs

→n et

→n'.

* →u et

→n orthogonaux ⇔ (d) et (P) parallèles.

* →u et

→n colinéaires ⇔ (d) et (P) perpendiculaires.

→n et

→n' colinéaires ⇔ (P) et (P ') parallèles

→n et

→n' orthogonaux ⇔ (P) et (P ') perpendiculaires.


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Objectif n° 4 : Produit scalaire - Repères et coordonnées dans l'espace

Produit scalaire ( définition 11 ) : la définition du produit scalaire de deux vecteurs est la même dans l'espace que dans le plan, à

savoir :

* Si →u et

→v sont deux vecteurs non nuls alors le produit scalaire des vecteurs

→u et

→v , noté

→u .

→v vaut :

→u .

→v = cos( , )u v u v× ×

r r r r

où ur

désigne la norme du vecteur →u ( c'est-à-dire "la longueur" du vecteur

→u ).

* Si →u ou si

→v est nul alors

→u .

→v = 0.

Propriétés 12 : →u ,

→v ,

→w désignent trois vecteurs quelconques, t désigne un réel quelconque.

* →u .

→v =

→v .

→u On dit que le produit scalaire est symétrique

* ( t × →u ) .

→v = t ×

→u .

→v

* →u . ( t ×

→v ) = t ×

→u .

→v

* →u . (

→v +

→w ) =

→u .

→v +

→u .

→w

* ( →v +

→w ) .

→u=

→v .

→u +

→w.

→u

Ces quatre résultats se résument en disant que le produit scalaire est linéaire

Vecteurs orthogonaux ( définition 13 ) : la définition de deux vecteurs orthogonaux est la même dans le plan que dans l'espace, à

savoir :

Deux vecteurs →u et

→v sont orthogonaux ( on note

→u ⊥

→v ) si et seulement si

→u .

→v = 0

Dans le plan ( rappels de collège et de 2nde

)

* 3 points O, I et J non alignés constituent un repère du

plan, noté ( O; I, J ).

* En pratique, on se place souvent dans le cas où les

droites (OI) et (OJ) sont perpendiculaires ( repère

orthogonal ).

* On note souvent le repère (O; →i ,

→j ) en posant

→i =

→OI et

→j =

→OJ

Dans l'espace

* 4 points O, I, J et K non coplanaires constituent un repère de l'espace,

noté ( O; I, J, K ).

* En pratique, on se place souvent dans le cas où les droites (OI), (OJ)

et (OK) sont 2 à 2 perpendiculaires ( repère orthogonal ).

* On note souvent le repère (O; →i ,

→j ,

→k ) en posant

→i =

→OI ,

→j =

→OJ et

→k =

→OK


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* Les coordonnées d'un point A se notent A ( xA ; yA )

( l'abscisse et l'ordonnée );

les coordonnées du vecteur →OA se notent

→OA

xA

yA

.

* Plus généralement, on note : u

u

xu

y

r

r

r

* Si A ( xA ; yA ) et si B ( xB ; yB ) , alors →AB

xB − xA

yB − yA

* Les coordonnées d'un point A se notent A ( xA ; yA ; zA )

( l'abscisse, l'ordonnée et la côte);

les coordonnées du vecteur →OA se notent

→OA

xA

yA

zA

.

* Plus généralement, on note :

u

u

u

x

u y

z

r

r

r

r

* Si A ( xA ; yA ; zA) et si B ( xB ; yB ; zB) , alors →AB

xB − xA

yB − yA

zB − zA

Dans un repère orthonormal du plan, on a :

Si →u

a

b et si

→v

a '

b ' sont deux vecteurs quelconques

et si A ( xA ; yA ) et si B ( xB ; yB ) sont deux points

quelconques, alors :

Dans un repère orthonormal de l'espace, on a :

Si →u

a

b

c

et si →v

a '

b '

c’

sont deux vecteurs quelconques et si

A ( xA ; yA ; zA) et si B ( xB ; yB ; zB ) sont deux points

quelconques, alors :

* →u .

→v = a a ' + b b ' *

→u .

→v = a a ' + b b ' + c c '

* ur

= a² + b² * ur

= a² + b² + c²

* AB = ( xB − xA )² + ( yB − yA )² * AB = ( xB − xA )² + ( yB − yA )² + ( zB − zA )²

* Critère d'orthogonalité dans le plan →u et

→v sont orthogonaux si et seulement si :

a a ' + b b ' = 0

* Critère d'orthogonalité dans l'espace : →u et

→v sont orthogonaux si et seulement si :

a a ' + b b ' + c c’ = 0

Exercice 7 :

On considère le parallélépipède ABCDEFGH ci-contre.

1. On nomme I le milieu de [AB], K celui de [EG].

P et Q les points définis par →AP =

1

3 →AE ;

→BQ =

1

3 →BG et J le milieu de [PQ] .

Placer ces points sur la figure.

2. a. Déterminer les coordonnées des points I et P dans le repère (A; →AB ,

→AD ,

→AE )

b. Exprimer →AQ en fonction de

→AB,

→AD et

→AE . En déduire les coordonnées de Q dans le repère (A;

→AB ,

→AD ,

→AE ).

c. En procédant de la même manière, déterminer les coordonnées des points J et K dans le repère (A; →AB ,

→AD ,

→AE )

3. En déduire les coordonnées de →IJ et de

→IK dans ce même repère.

4. Démontrer que I, J et K sont alignés.


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Exercice 8 : soit ABCD un tétraèdre régulier (c'est à dire que toutes les arêtes sont de même longueur, toutes les faces étant donc des

triangles équilatéraux). Supposons que toutes les arêtes mesurent 4 cm.

1. Dessiner la face ABC en vraie grandeur.

2. Démontrer l'égalité : →BC .

→BA = 8.

3. De la même façon, on démontrerait l'égalité : →BC .

→BD = 8 . En utilisant la relation de

Chasles et la linéarité du produit scalaire, en déduire l'égalité : →BC .

→DA = 0.

4. Que peut-on en conclure pour les arêtes [BC] et [AD] ?

Remarque : de la même façon, on démontrerait que [AB] et [CD] sont orthogonales

et que [AC] et [BD] sont orthogonales.

De façon plus générale, les arêtes opposées d'un tétraèdre régulier sont orthogonales.

Exercice 9 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère les points D ( 1 ; 2 ; − 2 ) ; E ( 2 ; 3 ; − 2 ) ; F ( 0 ; 3 ; − 2 ) et

G ( 1 ; 2 ; − 2 + 2 ) .

1. Démontrer que les droites (DE) et (DF) sont orthogonales.

2. Démontrer que les points E, F et G sont situés sur une même sphère S1 de centre D. Préciser son rayon.

3. Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de la sphère S1. On a alors DM = 2 ou encore DM ² = 2.

Traduire l'égalité DM ² = 2 à l'aide de x, y et z et en déduire une équation cartésienne de la sphère S1.

4. Soit S2 la sphère de diamètre [EG] et soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de cette sphère S2.

On a alors (ME) ⊥ (MG). En déduire la valeur du produit scalaire →ME .

→MG

Traduire ce produit scalaire à l'aide de x, y et z et en déduire une équation cartésienne de la sphère S2.


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Objectif n° 5 : Représentation paramétrique d'une droite dans l'espace

Exercice 10 :

Soient A et B deux points distincts de l'espace.

1. Soit M un point quelconque de la droite (AB). Faire une figure et repasser le vecteur →AB en rouge et le vecteur

→AM en vert.

2. On déduit de la figure précédente que M appartient à (AB) si et seulement si →AM et

→AB sont ….............................., c'est à dire s'il

existe un réel quelconque t tel que →AM = t

→AB .

3. Plaçons nous dans un repère et supposons que dans ce repère, A et B ont pour coordonnées A ( 2 ; − 1 ; 3 ) et B ( − 1 ; 0 ; 5 ).

Nommons x, y et z les coordonnées de M ; M ( x ; y ; z )

D'après la question 2, M appartient à (AB) si et seulement si →AM = t

→AB . Traduire cette égalité vectorielle en égalités sur les

coordonnées puis compléter :

x = ..........

y = ..........

z = .......... On dit que ce système est une représentation paramétrique de la droite (AB) ( t est le paramètre )

4. Chaque valeur du paramètre t permet de déterminer les coordonnées d'un point de (AB). Par exemple, pour t = 0, on retrouve les

coordonnées du point A. Déterminer les coordonnées du point C de correspondant à la valeur t = 3 .

5. Le point D ( 8 ; − 3 ; 2 ) appartient-il à la droite (AB). Justifier.

Exercice 11 : dans chacun des cas suivants, déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A et de vecteur

directeur →u

1 ) A ( 2 ; − 3 ; 1 ) et →u

1

0

− 2

2 ) A ( xA ; yA ; zA ) et →u

a

b

c

On déduit de cet exercice le résultat suivant :

Définition et propriété 14 :

* Soit A ( xA ; yA ; zA ) un point de l'espace et →u

a

b

c

un vecteur non nul de l'espace.

Soit (D) la droite passant par A et de vecteur directeur →u

Un point M ( x ; y ; z ) appartient à (D) si et seulement si : x = xA + t a

y = yA + t b

z = zA + t c ( t ∈ ℝ )

Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite (D)

* Réciproquement l'ensemble E des points M ( x ; y ; z) du plan dont les coordonnées vérifient le système

x = + t a

y = + t b

z = + t c

est une droite.

Cette droite passe par le point A ( ; ; ) et a pour vecteur directeur →u

a

b

c

.


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Exercice 12 : l'espace est muni d'un repère ( O; →i ,

→j ,

→k ).

Considérons la droite (d) dont la représentation paramétrique est : x = 2 + 3t

y = 5 − t

z = 2t − 1

, t ∈ ℝ

Considérons la droite (d’) dont la représentation paramétrique est : x = 9 − 2t '

y = 4

z = 2 t ' − 3

, t ' ∈ ℝ

1. Sans aucun calcul, déterminer les coordonnées d'un point A de la droite (d) et d'un vecteur directeur →u de la droite (d).

2. Même question pour un point B et un vecteur directeur →v de la droite (d').

3. Le point appartient C ( 12,5 ; 1,5 ; 6 ) appartient- il à la droite (d) ? Justifier.

4. Le vecteur →w

− 4,5

1,5

− 3

est-il un vecteur directeur de la droite (d) ? Justifier.

5. Les droites (d) et (d’) sont-elles parallèles ?

6. Les droites (d) et (d’) sont-elles sécantes ? Si oui, déterminer les coordonnées de leur point d'intersection I.

Exercice 13 : l'espace est muni d'un repère ( O; →i ,

→j ,

→k ).

On considère les droites (d1) et (d2) dont les représentations paramétriques sont :

Droite (d1) : x = 4 + t

y = 6 + 2t

z = 5 − 2t

t ∈ ℝ Droite (d2) : x = 8 + 5t '

y = 2 − 2t '

z = 10 + t’ t ' ∈ ℝ

Cinq affirmations sont proposées ci-dessous.

Pour chacune d'elle, indiquer si celle ci est vraie ou fausse, en justifiant les réponses.

1. Le point A (1 ; 0 ; 11 ) appartient à la droite (d1) .

2. Le vecteur →u

− 20

8

− 4

est un vecteur directeur de (d2) .

3. Les droites (d1) et (d2) sont parallèles.

4. Les droites (d1) et (d2) sont sécantes.

5. Les droites (d1) et (d2) ne sont pas coplanaires.


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Objectif n° 6 : Equation cartésienne d'un plan

Exercice 14 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère le point A ( 1 ; 2 ; − 2 ) et le vecteur →n

2

− 1

1

.

Appelons (P) le plan passant par A et de vecteur normal →n .

Soit M ( x ; y ; z ) un point quelconque de l'espace.

M appartient à (P) si et seulement si les vecteurs →AM et

→n sont orthogonaux c'est-à-dire :

M (P) ⇔ →AM .

→n = 0

1. Traduire cette égalité à l'aide de x, y et z.

L'équation obtenue s'appelle une équation cartésienne de (P)

2. Le point B ( 2 ; − 5 ; 1 ) appartient il à (P) ? Justifier.

Cet exercice met en évidence la propriété suivante.

Propriété 15 : dans un repère orthonormal, tout plan de vecteur normal →n

a

b

c

a une équation cartésienne de la forme

ax + by + cz + d = 0

Exercice 15 : on se place dans un repère orthonormal de l'espace.

Déterminer une équation cartésienne des plans (P1) et (P2) ci-dessous :

(P1) passant par A ( − 1 ; 0 ; 1 ) de vecteur normal →n

− 3

1

2

. (P2) plan médiateur de [CD] avec C ( − 1 ; 3 ; 1 ) et D ( 0 ; 5 ; − 3 ).

On admet la réciproque de la propriété précédente :

Propriété 16 : dans un repère orthonormal, l'ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant ax + by + cz + d = 0

( avec ( a ; b ; c ) ≠ ( 0 ; 0 ; 0 ) ) est un plan de vecteur normal →n

a

b

c

Remarque : si l'espace est muni d'un repère ( O; →i ,

→j ,

→k ).

* le plan ( O; →j ,

→k ) a pour équation x = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; →j ,

→k )

a une équation de la forme : x = a

( a ∈ ℝ )

* le plan ( O; →i ,

→k ) a pour équation y = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; →i ,

→k )

a une équation de la forme : y = b

( b ∈ ℝ )

* le plan ( O; →i ,

→j ) a pour équation z = 0.

Tout plan parallèle au plan ( O; →i ,

→j )

a une équation de la forme : z = c

( c ∈ ℝ )


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Exercice 16 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère :

Le plan (P1) d'équation 2x − y + z = 1 . Le plan (P2) d'équation 3x − 2y + z + 5 = 0 .

1. Déterminer les coordonnées d'un vecteur →n1 normal de (P1) . Le vecteur

→m1

4

− 2

3

est-il normal à (P1) ? Justifier.

2. Déterminer les coordonnées d'un vecteur →n2 normal de (P2) . Le vecteur

→m2

− 9

6

− 3

est-il normal à (P2) ? Justifier.

3. Les plans (P1) et (P2) sont-ils parallèles ? Justifier.

4. Les plans (P1) et (P2) sont-ils perpendiculaires ? Justifier.

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) passant par A ( 1 ; 2 ; 3 ) et perpendiculaire au plan (P1).

6. Déterminer une équation cartésienne du plan (P3) passant par A ( 1 ; 2 ; 3 ) et parallèle au plan (P1).

Exercice 17 : dans un repère orthonormal de l'espace, on considère :

* les points A ( 1 ; 2 ; − 1 ) ; B ( 3 ; − 1 ; 0 ) et C ( 2 ; 1 ; 4 ),

* le plan (P) d'équation cartésienne 4x − 6y + 2z + 6 = 0 ,

* le plan (P ') passant par C et perpendiculaire à la droite (AB).

1. Donner une représentation paramétrique de la droite (BC).

2. Déterminer une équation cartésienne de (P ') .

3. Les plans (P) et (P ') sont-ils parallèles ? Justifier.

4. a. Démontrer que la droite (BC) et le plan (P) sont sécants.

b. Déterminer les coordonnées du point I d'intersection de la droite (BC) et du plan (P) .


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Objectif n° 7 : En route vers le bac ....

Exercice 18 :

Dans un repère orthonormé de l'espace, on considère les points : A ( 5 ; − 5 ; 2 ) ; B ( − 1 ; 1 ; 0 ) ; C ( 0 ; 1 ; 2 ) et D ( 6 ; 6 ; − 1 ).

1. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire.

2. a. Montrer que le vecteur →n

− 2

3

1

est un vecteur normal au plan (BCD).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (BCD)

3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (d) orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A.

4. Déterminer les coordonnées du point H, intersection de la droite (d) et du plan (BCD)

5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule V = 1

3 B × h où B est l'aire d'une base du tétraèdre et h

la hauteur correspondante.

6. On admet que AB = 76 et que AC = 61. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré de l'angle aBAC

Exercice 19 :

On considère le pavé droit ABCDEFGH ci-contre dans lequel AB = 6 ;

AD = 4 et AE = 2.

I, J et K sont les points tels que : →AI =

1

6 →AB ;

→AJ =

1

4 →AD et

→AK =

1

2 →AE .

On se place dans le repère orthonormé ( A ; →AI ,

→AJ ,

→AK ).

1. Vérifier que le vecteur →n de coordonnées

2

2

− 9

est normal au plan (IJG)

2. Déterminer une équation du plan (IJG).

3. Déterminer les coordonnées du point d'intersection L du plan (IJG) et de la droite (BF).

4. Tracer la section du pavé ABCDEFG par le plan (IJG). Ce tracé sera réalisé sur la figure donnée en annexe ci-dessous. On ne

demande pas de justification.

Annexe :


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Exercice 20 :

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K ) d'unité 1 cm, on considère les points A ( 0 ; − 1 ; 5 ) ; B ( 2 ; − 1 ; 5 ) ; C ( 11 ; 0 ; 1 ) et

D ( 11 ; 4 ; 4 )

Un point M se déplace sur la droite (AB) dans le sens de A vers B à la vitesse de 1 cm par seconde.

Un point N se déplace sur la droite (CD) dans le sens de C vers D à la vitesse de 1 cm par seconde.

A l'instant t = 0, le point M est en A et le point N est en C.

On note Mt et Nt les positions de M et de N au bout de t secondes, t désignant un nombre réel positif.

On admet que Mt et Nt ont pour coordonnées : Mt ( t ; − 1 ; 5 ) et Nt ( 11 ; 0,8 t ; 1 + 0,6 t ).

Les questions 1 et 2 sont indépendantes.

1. a. La droite (AB) est parallèle à l'un des axes (OI), (OJ) ou (OK). Lequel ?

b. La droite (CD) se trouve dans un plan P parallèle à l'un des plans (OIJ), (OIK) ou (OJK). Lequel ? On donnera une équation de

ce plan P.

c. Vérifier que la droite (AB), orthogonale au plan P, coupe ce plan au point E ( 11 ; − 1 ; 5 ).

d. Les droites (AB) et (CD) sont-elles sécantes ?

2. a. Montrer que MtNt

2 = 2 t² − 25,2 t + 138.

b. A quel instant t, la longueur MtNt est-elle minimale ?

Exercice 21 :

Partie A : un calcul de volume sans repère.

On considère une pyramide équilatère SABCD ( pyramide à base carrée dont toutes les

faces latérales sont des triangles équilatéraux ) représentée ci-contre.

Les diagonales du carré ABCD mesurant 24 cm. On note O le centre du carré ABCD.

On admettra que OS = OA.

1. Sans utiliser de repère, démontrer que la droite SO est orthogonale au plan (ABC).

2. En déduire le volume, en cm3, de la pyramide SABCD.

Partie B : dans un repère

On considère le repère orthonormé ( O; →OA,

→OB,

→OS )

3. On note P et Q les milieux respectifs des segments [AS] et [BS].

a. Justifier le vecteur →n de coordonnées

1

1

− 3

est un vecteur normal au plan (PQC).

b. En déduire une équation cartésienne du plan (PQC).

4. Soit H le point du plan (PQC) tel que la droite (SH) est orthogonale au plan (PQC).

a. Donner une représentation paramétrique de la droite (SH).

b. Calculer les coordonnées du point H.

c. Montrer alors que la longueur SH, en unité de longueur, est 2 11

11.

5. On admettra que l'aire du quadrilatère PQCD, en unité d'aire, est égale à 3 11

8.

Calculer le volume de la pyramide SPQCD, en unité de volume.

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Term S Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1 … · Term S - Ch 11 : Géométrie dans l'espace Page 1/16 Objectif n° 1 : Positions relatives de droites et de plans dans l'espace