11 Exos Lois Densite Loi Normale

Exercices 7 avril 2015

Loi de probabilit densitLoi normale

Exercice 1A la recherche de la densit

On tire au hasard sur une cible de rayon 1 msans jamais la manquer.X est la variable alatoire qui donne la dis-tance , en mtre, de limpact au centre de lacible.Ainsi, X prend ses valeurs dans lintervalle[0 ;1].Selon le modle usuel, pour tout t [0; 1],la probabilit de lvnement X 6 t estdfinie par :

P(X 6 t) = aire disque de rayon taire de la cible

b

O

t

1

1) Pour tout t [0, 1], on considre la fonction de rpartition F telle que :F(t) = P(X 6 t). Exprimer F(t) en fonction de t.

2) On note f la densit sur [0 ;1] de la loi de Xa) crire F(t) sous la forme dune intgrale.b) Justifier que F est drivable sur [0 ;1] et prciser sa drive.c) En dduire lexpression de la densit f . Reprsenter alors C f .

Loi uniforme

Exercice 2Une rame de mtro relie deux stations M1 et M2 en un temps compris entre 8 et 12 mi-nutes. On note X la dure du trajet lors dune liaison.On suppose que X suit une loi uniforme sur [8 ;12]1) Quelle est la densit de probabilit de X ?2) Calculer la probabilit que la rame relie les deux stations en moins de 9min 30s.3) La rame quitte M1 huit heures et un usager arrive en M2 8h11. La rame reste en

gare une minute. Quelle est la probabilit que lusager rate le mtro ?

Loi exponentielle

Exercice 3On suppose que la dure de vie dune voiture suit une loi exponentielle de paramtre 0,1.1) Calculer la probabilit quune voiture dpasse 10 ans de dure de vie.

paul milan 1 Terminale S

exercices

2) On sait quune voiture a dur dj 10 ans. Quelle est la probabilit quelle dpasse 12ans de dure de vie ?

Exercice 4La dure de vie X, en heures, dun robot jusqu ce que survienne la premire panne, estmodlise par une loi de dure de vie sans vieillissement de paramtre = 0, 000 5.1) La probabilit quun robot ait une dure de vie suprieure 2 500 heures est :

A : e25002000 B : e

54 C : 1 e 25002000 D : e 20002500

2) La dure de vie moyenne des robots, exprime en heures, est :

A : 3 500 B : 2 000 C : 2 531, 24 D : 3 000

Exercice 5La dure de vie, en anne, dun composant lectronique est une variable alatoire noteT qui suit une loi sans vieillissement de paramtre . Une tude statistique montrer quepour ce type de composant, la dure de vie ne dpasse pas 5 ans avec une probabilit de0,675.1) Calculer la valeur arrondie trois dcimales.2) Quelle est la probabilit, arrondie trois dcimales, quun composant de ce type dure :

a) moins de 8 ans b) plus de 10 ansc) au moins 8 ans sachant quil fonctionne encore au bout de trois ans

3) Quelle est lesprance de vie de ce composant.

Exercice 6La dure de vie T, en heure, dun transistor suit une loi exponentielle telle que :P(T 6 1000) = 0, 0951) Calculer la probabilit conditionnelle : PT>1000(T > 2000)2) Dterminer, 1 h prs, la dure t1/2 telle que : : P(T 6 t1/2) = 0, 5

Exercice 7X est une variable alatoire qui suit une loi exponentielle de paramtre .1) Dterminer en fonction de la valeur t1/2 telle que : P(X 6 t1/2) = P(X > t1/2)2) On suppose que t1/2 = 99 . Calculer P(100 6 X 6 200).

Exercice 8La dure de vie X, en anne, dun lment radioactif suit une loi exponentielle de para-mtre 1) La demi-vie t1/2 du carbone 14 est estim environ 5 568 ans, avec t1/2 dfini par

P(X 6 t1/2) = 0, 5.a) Calculer P(X < 1000).b) Dterminer, un an prs, la valeur de x telle que : P(X < x) = 0, 2


exercices

2) La demi-vie du csium 137 est t1/2 30 ans. Rpondre aux mmes questions que lecarbone 14.Remarque : Le csium 137 est lun des nombreux produits de fission de luranium et sans doute leplus connu pour avoir t utilis dans les tudes hydrologiques et cologiques suite une contaminationgnrale de latmosphre induite, partir de 1945, par lutilisation des bombes atomiques et des essaisnuclaires (puis laccident de Tchernobyl) Wikipdia

Exercice 9Deux composants A et B sont monts en srie sur une machine. La dure de vie (exprimeen jour) de lun deux est une variable alatoire qui suit la loi exponentielle de paramtre = 0,000 4.La panne dau moins lun dentre eux, A ou B, entrane lindisponibilit de la machine.Les pannes de A et B sont supposes indpendantes les unes des autres. On note TA ladure de vie de A et TB celle de B.1) a) Calculer P(TA > 300).

b) Calculer la probabilit que la machine fonctionne aprs 300 jours.2) On se place dans le cas o les composants A et B monts en parallle. La machine

nest alors indisponible que si A et B sont en panne. Calculer la probabilit que lamachine fonctionne aprs 300 jours.

Exercice 10X est une variable alatoire qui suit une loi de dure de vie sans vieillisement de paramtrek > 0.On dsigne par a un nombre tel que : 0 < a < 1Lobjectif est de dterminer le plus grand entier n tel que : P(X 6 n) 6 1 a1) Rsoudre le problme algbriquement en exprimant n en fonction de k et de a.2) On donne lalgorithme ci-dessous dont lobjectif est de dterminer n

a) Quel est la fonction f utilise ?b) Tester cet algorithme pour les couple

(k; a) suivants :(0, 1 ; 0, 05); (0, 01 ; 0, 1); (0, 1 ln 2 ; 0, 2)Comparer les rsultats avec les valeursexactes du 1). Pourquoi cette diff-rence ?

c) Modifier alors cet algorithme pourquil fonctionne.

Variables : K, A : rels et N : entierEntres et initialisation

Lire K, A0 N

Traitementtant que f (N) 6 1 A faire

N + 1 Nfin

Sorties : Afficher N

Exercice 11Une entreprise dautocars dessert une rgion montagneuse. En chemin, les vhiculespeuvent tre bloqus par des incidents extrieurs (chutes de pierres, prsence ce trou-peaux sur la route, verglas, etc.).Un autocar part du dpt. On note D la variable alatoire qui mesure la distance, en km,que lautocar va parcourir jusqu ce que survienne un incident. On admet que D suit laloi exponentielle de paramtre = 182.Les rsultats demands seront arrondis 103 prs.


exercices

1) Calculer la probabilit que la distance parcourue sans incident soit :a) comprise entre 50 et 100 km ; b) suprieure 300 km.

2) Sachant que lautocar a dj parcouru 300 km sans incident, quelle est la probabilitquil nen subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomtres ?

3) Quelle est la distance moyenne dm parcourue sans incident ? Justifier.4) Lentreprise possde 96 autocars. Les distances parcourues par chacun deux sont des

variables alatoires de mme loi exponentielle vue ci-dessus.Les incidents qui peuvent survenir aux autocars sont indpendants les uns des autres.Pour tout nombre d > 0, Xd dsigne la variable alatoire qui donne le nombre dauto-cars nayant subi aucun incident aprs avoir parcouru d kilomtres.a) Quelle est la loi de la variable alatoire Xdm ?b) Quel est, une unit prs, le nombre moyen autocars nayant subi aucun incident

aprs avoir parcouru dm kilomtres ?

Exercice 12Daprs une tude statistique sur la dure dattente, en minute, aux vingt caisses dunhypermarch : six caisses ont une dure dattente qui suit la loi exponentielle de paramtre = 0, 05 ; les autres caisses ont une dure dattente qui suit la loi exponentielle de paramtre = 0, 1.

Un client choisit une caisse au hasard. On note T sa dure dattente, exprime en minute.1) On dsigne par t un nombre positif.

On se propose de dterminer la probabilit P(T 6 t).a) Reprsenter la situation par un arbre pondr.b) En dduire P(T 6 t).

2) Calculer 103 prs la probabilit que ce client attendea) moins dun quart dheure ;b) plus de 10 minutes ;

c) entre 5 et 20 minutes.

Exercice 13Un fabricant vend un modle de jouet lectronique.La variable alatoire T qui indique la dure de vie, exprime en anne, dun jouet pris auhasard dans la production, suit la loi exponentielle de paramtre = 13.Pour chaque probabilit demande, on donnera sa valeur exacte puis une valeur approche 104 prs.1) a) Quelle est la probabilit p que le jouet ne fonctionne plus au bout dun an ?

b) On dsigne par t un nombre positif. Exprimer, en fonction de t, la probabilitP(T > t).

2) On a achet un jouet de ce type.On note A lvnement Le jouet na aucune dfaillance pendant un an et B lv-nement Le jouet na aucune dfaillance pendant trois ans .Calculer les probabilits P(A), P(B) puis PA(B).


exercices

3) Le fabricant garantit ses jouets un an. Il sengage alors rembourser les jouets dfec-tueux.

a) Quel taux de remboursement doit-il prvoir ?b) Quelle dure de garantie t0 ( 1 mois prs) aurait-il d proposer pour que ce taux

ne dpasse pas 8 % ?4) Un commerant achte un lot de trois jouets et le fabricant offre pour chaque jouet la

garantie dun an. X dsigne le nombre de jouets rembourss sur ce lot.a) Dresser en fonction de p le tableau de la loi de X.b) Quelle est en fonction de p lesprance de X ?

Loi normale centre rduite

Exercice 14Un variable alatoire T suit la loi normale centre rduite.1) Calculer :

a) P(T < 1, 8)b) P(T < 1, 8)

c) P(T > 2, 58)d) P(1, 21 < T < 1, 44)

2) Calculer le nombre rel u tel que :a) P(T < u) = 0, 14 b) P(T > u) = 0, 25 c) P(0 < T < u) = 0, 4

Exercice 15Un variable alatoire T suit la loi normale centre rduite. Dans chaque cas, dterminerlarrondi au millime du nombre u tel que :

a) P(u < T < u) = 0, 915 b) P(u < T < u) = 0, 732

Exercice 16Lors dun concours, la moyenne des notes est 8.T est la variable alatoire qui donne lcart t 8 o t est la note obtenue par le candidat.T suit la loi normale centre rduite.1) combien faut-il fixer la note dadmission de ce concours pour que 60 % des candi-

dats soient reu ? Donner larrondi au centime.2) Dans quel intervalle de notes se trouvent 80 % des candidats.

Exercice 17La temprature T releve en janvier, en milieu de journe, suit une loi normale centrerduite.1) Interprter dans ce contexte, la valeur 0 de lesprance de T.2) Justifier que dans plus de 95 % des cas, la temprature releve est entre -2C et +2C.3) Quelle est la fourchette de tempratures dans laquelle on trouve les tempratures rele-

ves dans 99 % des cas ?


exercices

4) Donner une estimation de la probabilit davoir un jour de janvier, une tempraturesuprieure +2C, puis vrifier la calculatrice.

Exercice 18tude de la fonction dsigne la fonction de Laplace-Gauss.1) a) Dmontrer que pour tout x de R :

(x) = x(x) et (x) = (x2 1)(x)b) En dduire les variations de et de .

2) On appelle C la courbe de Gauss et I et J les points dabscisses respectifs 1 et 1.a) Dterminer les quations des tangentes, Ti et T j, C aux points I et J.b) On appelle les points I et J des points dinflexion de la courbe C. Quon de parti-

culier les tangentes Ti et T j ?3) Tracer la courbe C ainsi que les tangentes Ti et T j. On prendra comme unit : 2 cm

sur les abscisses et 10 cm sur les ordonnes.

Loi normale gnrale

Exercice 19Une variable alatoire X suit la loi normale N (4; 7) Calculer 104 les probabilitssuivantes :1) P(11 6 X 6 3) 2) P(5 < X < 0) 3) P(X 6 5 ou X > 0)

Exercice 201) La variable alatoire X suit la loi N (, 0, 16). Dterminer 102 prs, pour que :

a) P(X < 3, 2) = 0, 05 b) P(X > 5, 6) = 0, 052) La variable alatoire X suit la loi N (120, 2). Dterminer 102 prs, pour que :

a) P(X < 100) = 0, 05 b) P(X > 140) = 0, 05

Exercice 21Une machine produit des clous dont la longueur moyenne est de 12 mm, avec un cart-type de 0,2 mm.La longueur L dun clou pris au hasard est une variable alatoire qui suit une loi normale.Un clou est jug dfectueux si sa longueur est suprieure 12,5 mm ou infrieure 11,5mm.

1) Quelle est la proportion de clous dfectueux ?2) Pour un clou dfectueux pris au hasard, quelle est la probabilit que sa longueur soit

infrieure 11,5 mm ?

Exercice 22La dure de vie dune ampoule lectrique, en heures, dun type donn suit une loi normalede moyenne 2 200 et dcart-type 200.Quelle est la probabilit quune telle ampoule dure :


exercices

a) moins de 2 000 heures ?b) plus de 2 400 heures ?c) entre 2 000 heures et 2 400 heures ?

Exercice 23Dans un supermarch, le grant a tabli une statistique de ses ventes quotidiennes depacks deau minrale. Il apparat que le nombre X de packs vendue chaque jour suit uneloi normale de moyenne 52 et dcart-type 12.1) Le grant ne peut pas stocker plus de 76 packs dans sa rserve. Avec un tel stocks,

quelle est la probabilit quun jour donn, il ne puisse pas rpondre la demande ?2) Il ne souhaite pas remplir compltement sa rserve, car cela rend la manutention dif-

ficile. Mais il voudrait limiter 5 % le risque de rupture de stock. Quel doit tre auminimum son stocks quotidien ?

Approximation normale dune loi binomiale

Exercice 24On estime 16 % la proportion de gaucher dans une population. On choisit dans cettepopulation 900 personnes au hasard avec remise . Quelle est ( 102 prs) la probabilitquil y ait dans cet chantillon :

a) au plus 140 gauchers ? b) au moins 150 gauchers ?

Exercice 25Un questionnaire choix multiples, comprend 36 questions. Pour chaque question, troisrponses sont proposes, dont une seule est exacte. Un candidat trs ignorant choisitune rponse au hasard chaque question. On appelle X la variable alatoire indiquantle nombre de rponses exactes. Calculer la probabilit quil rponde juste moins 5 ques-tions.

Exercice 26Pour un certain traitement mdical, on a observ que les patients peuvent faire une rac-tion allergique avec une probabilit de 0,02. On prvoit de traiter 1 225 personnes.Quelle est la probabilit quil y en ait au moins 30 qui fassent cette raction allergique.

Exercice 27La compagnie arienne Mankpad Air estime 0,1 la probabilit quun client ayant rservsa place ne se prsente pas lembarquement.Sur le vol MA 2013, lavion une capacit de 300 places. Pour optimiser son remplissage,la compagnie a accept plus de 300 rservations. Ce faisant, elle court le risque que seprsente lembarquement plus de 300 personnes ayant rserv, auquel cas elle devraindemniser ceux qui ne pourront embarquer.On note n le nombre de rservations, acceptes par la compagnie, et X la variable alatoireindiquant le nombre de personnes ayant rserv qui se prsentent lembarquement. Onsuppose les comportements des clients indpendants les uns des autres.1) Justifier que X suit une loi binomiale dont on prcisera les paramtres.


exercices

2) Justifier que cette loi binomiale peut tre approche par une loi normale dont on pr-cisera les paramtres.

3) On suppose dans cette question que n = 324.Quelle est la probabilit que la compagnie ne puisse pas embarquer tous les passagersqui se prsentent ?

4) La compagnie souhaite limiter 1 % le risque de ne pouvoir embarquer tous les pas-sagers qui se prsentent.Dterminer le nombre maximum de places quelles peut proposer la rservation.

Exercice 28Pondichry avril 2013Une entreprise emploie 220 salaris. La probabilit pour quun salari soit malade unesemaine donne durant une priode dpidmie est gale p = 0, 05.On suppose que ltat de sant dun salari ne dpend pas de ltat de sant de ses col-lgues.On dsigne par X la variable alatoire qui donne le nombre de salaris malades une se-maine donne.1) Justifier que la variable alatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les para-

mtres.Calculer lesprance mathmatique et lcart type de la variable alatoire X.

2) On admet que lon peut approcher la loi de la variable alatoire X

par la loi normale centre rduite cest--dire de paramtres 0 et 1.On note Z une variable alatoire suivant la loi normale centre rduite.Le tableau suivant donne les probabilits de lvnement Z < x pour quelques valeursdu nombre rel x.

x 1, 55 1, 24 0, 93 0, 62 0, 31 0,00 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55

P(Z < x) 0,061 0,108 0,177 0,268 0,379 0,500 0,621 0,732 0,823 0,892 0,939Calculer, au moyen de lapproximation propose en question b., une valeur approche 102 prs de la probabilit de lvnement : le nombre de salaris absents danslentreprise au cours dune semaine donne est suprieur ou gal 7 et infrieur ougal 15 .

Exercice 29Amrique du Nord mai 2013Une boulangerie industrielle utilise une machine pour fabriquer des pains de campagnepesant en moyenne 400 grammes. Pour tre vendus aux clients, ces pains doivent peser aumoins 385 grammes. Un pain dont la masse est strictement infrieure 385 grammes estun pain non-commercialisable, un pain dont la masse est suprieure ou gale 385 grammesest commercialisable.La masse dun pain fabriqu par la machine peut tre modlise par une variable alatoireX suivant la loi normale desprance = 400 et dcart-type = 11.Les probabilits seront arrondies au millime le plus proche


exercices

Partie AOn pourra utiliser le tableau suivant dans lequel les valeurs sont arrondies au millimele plus proche.

x 380 385 390 395 400 405 410 415 420P(X 6 x) 0,035 0,086 0,182 0,325 0,5 0,675 0,818 0,914 0,965

1) Calculer P(390 6 X 6 410).2) Calculer la probabilit p quun pain choisi au hasard dans la production soit commer-

cialisable.3) Le fabricant trouve cette probabilit p trop faible. Il dcide de modifier ses mthodes

de production afin de faire varier la valeur de sans modifier celle de .Pour quelle valeur de la probabilit quun pain soit commercialisable est-elle gale 96 % ? On arrondira le rsultat au dixime.On pourra utiliser le rsultat suivant : lorsque Z est une variable alatoire qui suit la loinormale desprance 0 et dcart-type 1, on a P(Z 6 1, 751) 0, 040.

Partie BLe boulanger utilise une balance lectronique. Le temps de fonctionnement sans drgle-ment, en jours, de cette balance lectronique est une variable alatoire T qui suit une loiexponentielle de paramtre .

1) On sait que la probabilit que la balance lectronique ne se drgle pas avant 30 joursest de 0, 913. En dduire la valeur de arrondie au millime.Dans toute la suite on prendra = 0, 003.

2) Quelle est la probabilit que la balance lectronique fonctionne encore sans drgle-ment aprs 90 jours, sachant quelle a fonctionn sans drglement 60 jours ?

3) Le vendeur de cette balance lectronique a assur au boulanger quil y avait une chancesur deux pour que la balance ne se drgle pas avant un an. A-t-il raison ? Si non, pourcombien de jours est-ce vrai ?

Exercice 30Liban mai 2013Lentreprise Fructidoux fabrique des compotes quelle conditionne en petits pots de 50 grammes.Elle souhaite leur attribuer la dnomination compote allge .La lgislation impose alors que la teneur en sucre, cest--dire la proportion de sucre dansla compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compoteest conforme.Lentreprise possde deux chanes de fabrication F1 et F2.Partie ALa chane de production F2 semble plus fiable que la chane de production F1. Elle estcependant moins rapide.Ainsi, dans la production totale, 70 % des petits pots proviennent de la chane F1 et 30 %de la chane F2.La chane F1 produit 5 % de compotes non conformes et la chane F2 en produit 1 %.On prlve au hasard un petit pot dans la production totale. On considre les vnements :E : Le petit pot provient de la chane F2 C : Le petit pot est conforme.


exercices

1) Construire un pondr sur lequel on indiquera les donnes qui prcdent.2) Calculer la probabilit de lvnement : Le petit pot est conforme et provient de la

chane de production F1. 3) Dterminer la probabilit de lvnement C.4) Dterminer, 103 prs, la probabilit de lvnement E sachant que lvnement C

est ralis.

Partie B

1) On note X la variable alatoire qui, un petit pot pris au hasard dans la production dela chane F1, associe sa teneur en sucre.On suppose que X suit la loi normale desprance m1 = 0, 17 et dcart-type 1 =0, 006.Dans la suite, on pourra utiliser le tableau ci-dessous.

P( 6 X 6 )0,13 0,15 0,000 40,14 0,16 0,047 80,15 0,17 0,499 60,16 0,18 0,904 40,17 0,19 0,499 60,18 0,20 0,047 80,19 0,21 0,000 4

Donner une valeur approche 104 prs de la probabilit quun petit pot prlev auhasard dans la production de la chane F1 soit conforme.

2) On note Y la variable alatoire qui, un petit pot pris au hasard dans la production dela chane F2, associe sa teneur en sucre.On suppose que Y suit la loi normale desprance m2 = 0, 17 et dcart-type 2.On suppose de plus que la probabilit quun petit pot prlev au hasard dans la pro-duction de la chane F2 soit conforme est gale 0, 99.

Soit Z la variable alatoire dfinie par Z = Y m22

.

a) Quelle loi la variable alatoire Z suit-elle ?b) Dterminer, en fonction de 2 lintervalle auquel appartient Z lorsque Y appartient

lintervalle [0,16 ; 0,18].c) En dduire une valeur approche 103 prs de 2.

On pourra utiliser le tableau donn ci-dessous, dans lequel la variable alatoire Zsuit la loi normale desprance 0 et dcart-type 1.

P( 6 Z 6 )2,432 4 0,9852,457 3 0,9862,483 8 0,9872,512 1 0,9882,542 7 0,9892,575 8 0,9902,612 1 0,9912,652 1 0,9922,696 8 0,993


exercices

Exercice 31Amrique du Nord mai 2014Une grande enseigne de cosmtiques lance une nouvelle crme hydratante.Cette enseigne souhaite vendre la nouvelle crme sous un conditionnement de 50 m etdispose pour ceci de pots de contenance maximale 55 m.On dit quun pot de crme est non conforme sil contient moins de 49 m de crme.

1) Plusieurs sries de tests conduisent modliser la quantit de crme, exprime enm, contenue dans chaque pot par une variable alatoire X qui suit la loi normaledesprance = 50 et dcart-type = 1, 2.Calculer la probabilit quun pot de crme soit non conforme.

2) La proportion de pots de crme non conformes est juge trop importante. En modi-fiant la viscosit de la crme, on peut changer la valeur de lcart-type de la variablealatoire X, sans modifier son esprance = 50. On veut rduire 0, 06 la probabilitquun pot choisi au hasard soit non conforme.

On note le nouvel cart-type, et Z la variable alatoire gale X 50

a) Prciser la loi que suit la variable alatoire Z.b) Dterminer une valeur approche du rel u tel que p(Z 6 u) = 0, 06.c) En dduire la valeur attendue de .

3) Une boutique commande son fournisseur 50 pots de cette nouvelle crme.On considre que le travail sur la viscosit de la crme a permis datteindre lobjectiffix et donc que la proportion de pots non conformes dans lchantillon est 0, 06.Soit Y la variable alatoire gale au nombre de pots non conformes parmi les 50 potsreus.a) On admet que Y suit une loi binomiale. En donner les paramtres.b) Calculer la probabilit que la boutique reoive deux pots non conformes ou moins

de deux pots non conformes.

Exercice 32Mtropole Septembre 2014Dans cet exercice, on sintresse au mode de fonctionnement de deux restaurants : sansrservation ou avec rservation pralable.

1) Le premier restaurant fonctionne sans rservation mais le temps dattente pour obtenirune table est souvent un problme pour les clients.On modlise ce temps dattente en minutes par une variable alatoire X qui suit uneloi exponentielle de paramtre o est un rel strictement positif. On rappelle quelesprance mathmatique de X est gale 1

.

Une tude statistique a permis dobserver que le temps moyen dattente pour obtenirune table est de 10 minutes.a) Dterminer la valeur de .b) Quelle est la probabilit quun client attende entre 10 et 20 minutes pour obtenir

une table ? On arrondira 104.


exercices

c) Un client attend depuis 10 minutes. Quelle est la probabilit quil doive attendre aumoins 5 minutes de plus pour obtenir une table ? On arrondira 104.

2) Le deuxime restaurant a une capacit daccueil de 70 places et ne sert que des per-sonnes ayant rserv au pralable. La probabilit quune personne ayant rserv seprsente au restaurant est estime 0, 8.On note n le nombre de rservations prises par le restaurant et Y la variable alatoirecorrespondant au nombre de personnes ayant rserv qui se prsentent au restaurant.On admet que les comportements des personnes ayant rserv sont indpendants lesuns des autres. La variable alatoire Y suit alors une loi binomiale.

a) Prciser, en fonction de n, les paramtres de la loi de la variable alatoire Y , sonesprance mathmatique E(Y) et son cart-type (Y).

b) Dans cette question, on dsigne par Z une variable alatoire suivant la loi normaleN(, 2

)de moyenne = 64, 8 et dcart-type = 3, 6.

Calculer la probabilit p1 de lvnement {Z 6 71} laide de la calculatrice.c) On admet que lorsque n = 81, p1 est une valeur approche 102 prs de la proba-

bilit p(Y 6 70) de lvnement {Z 6 70}.Le restaurant a reu 81 rservations.Quelle est la probabilit quil ne puisse pas accueillir certains des clients qui ontrserv et se prsentent ?

Exercice 33Amrique du Sud novembre 2014Un ballon de football est conforme la rglementation sil respecte, suivant sa taille, deuxconditions la fois (sur sa masse et sur sa circonfrence).En particulier, un ballon de taille standard est conforme la rglementation lorsque samasse, exprime en grammes, appartient lintervalle [410 ; 450] et sa circonfrence,exprime en centimtres, appartient lintervalle [68 ; 70].

1) On note X la variable alatoire qui, chaque ballon de taille standard choisi au hasarddans lentreprise, associe sa masse en grammes.On admet que X suit la loi normale desprance 430 et dcart type 10.Dterminer une valeur approche 103 prs de la probabilitP(410 6 X 6 450).

2) On note Y la variable alatoire qui, chaque ballon de taille standard choisi au hasarddans lentreprise associe sa circonfrence en centimtres.On admet que Y suit la loi normale desprance 69 et dcart type .Dterminer la valeur de , au centime prs, sachant que 97 % des ballons de taillestandard ont une circonfrence conforme la rglementation.On pourra utiliser le rsultat suivant : lorsque Z est une variable alatoire qui suit la loinormale centre rduite, alors P( 6 Z 6 ) = 0, 97 pour 2, 17.


exercices

Exercice 34Nlle Caldonie novembre 2014Une fabrique de desserts glacs dispose dune chane automatise pour remplir des cnesde glace.Partie ALes cnes de glace sont emballs individuellement puis conditionns en lots de 2 000pour la vente en gros.On considre que la probabilit quun cne prsente un dfaut quelconque avant sonconditionnement en gros est gale 0, 003.On nomme X la variable alatoire qui, chaque lot de 2 000 cnes prlevs au hasarddans la production, associe le nombre de cnes dfectueux prsents dans ce lot.On suppose que la production est suffisamment importante pour que les tirages puissenttre supposs indpendants les uns des autres.

a) Quelle est la loi suivie par X ? Justifier la rponse et prciser les paramtres de cetteloi.

b) Si un client reoit un lot contenant au moins 12 cnes dfectueux, lentreprise procdealors un change de celui-ci.Dterminer la probabilit quun lot ne soit pas chang ; le rsultat sera arrondi aumillime.

Partie BChaque cne est rempli avec de la glace la vanille. On dsigne par Y la variable ala-toire qui, chaque cne, associe la masse (exprime en grammes) de crme glace quilcontient.On suppose que Y suit une loi normale N

(110 ; 2

), desprance = 110 et dcart-type

.

Une glace est considre comme commercialisable lorsque la masse de crme glacequelle contient appartient lintervalle [104 ; 116].Dterminer une valeur approche 101 prs du paramtre telle que la probabilit delvnement la glace est commercialisable soit gale 0, 98.


Documents

11 Exos Lois Densite Loi Normale