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Modélisation d’endommagement
Cyril Kazymyrenko, ERMES
Formation Aster GC 2018
Endommagement du béton
Béton : matériau fragile adoucissant
2/42
EDF R&D
Adoucissement => snap-back
– Comportement endo typique :
• linéaire jusqu’à la valeur critique
• adoucissement post-pic
• linéaire en décharge
– Seul le maillon faible se rompe => problème?
s=sc
état initial
rupture
traction max
Régime dissipatif
Régime linéaires
e
sc
Régime linéaire endommagé
Traction d’une barre 1D
s
e
Comportement simplifié :
sc
ec
Bimatériau à caractéristiques proches
S
l1
Soit les deux barre s’endommagent simultanément
Equation d’équilibre => contrainte constante dans la barre
1 2 1 1 2 2/ /l l l le e= = =
ef
si
( ) si
c
f c
E
E
e e es
e e e e
=
III
l2
Réponse force-déplacement
Régime dissipatif
Régime linéaire
F
l
/ elastique
( / ) endof
SE l lF
SE l le
=
Energie dissipée
Energie dissipée :2
diss cJ Fdl SE le= =
Traction d’une barre 1D
Barre II
Barre Is
e
Comportement simplifié :
sc
ec
Bimatériau à caractéristiques proches
S
l1
Soit la barre II s’endommage seule
Equation d’équilibre post pic => égalité de contraintes
2
2
1
1
2 21 1( ) ; f
l
l
l
lE Ee ees e e
= == =
2 1 2( ) /( )fF S S l ll lEs e= =
ef
si
( ) si
c
f c
E
E
e e es
e e e e
=
III
l2
1 12 2/ ( / )fl ll ll E Es e s =
donc
Réponse force-déplacement
Energie dissipée diminueF
l
Analyse EF d’une barre homogène
Etude de convergence en fonction de finesse de maillage
ec
Régime dissipatif
Régime linéaire
ef
Plusieurs mailles, mais seul le maillon faible s’endommage
/l l
/F S
La réponse est homogène,
identique à la réponse locale
Une seule maille QUAD8
ec ef
/l l
/F S
2 mailles
ec ef
/l l
/F S
5 mailles
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Comportement endo
Seul le maillon faible se rompe
état initial
rupture
Elément endommagé
Tout élément sain
s
e
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Comportement endo => rupture du maillon faible
Concentration de déformation sur une maille
rupture
x
deplacement u(x)
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Concentration de déformation sur une maille
Déformation discontinue
rupture
x
déformation e(x)
=
i
j
j
iij
x
u
x
u
2
1e
1 ( )d
dux
dxe =
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Raffinement de maillage
Concentration de déformation sur une maille
rupture
x
deplacement u(x)
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Raffinement de maillage
Déformation discontinue
rupture
x
défo e(x)
=
i
j
j
iij
x
u
x
u
2
1e
1 ( )d
dux
dxe =
•EDF R&D : Créer de la valeur et préparer l’avenir
Exemple : endommagement
Raffinement de maillage
Saut de déplacement
Pic de déformation
Le champs de déplacement n’est plus une fonction dérivable
rupture
x
1 ( )d
dux
dxe =
depl u(x)
Sensibilité à la taille et à l’orientation de maillage
Modélisation 2D axis-symétriqueEprouvette en traction simple
Test sur une éprouvette entaillée
Différents maillages testés
Maillage droit Maillage coude
Maillage est orienté dans la
partie centrale de l’éprouvette
« Accrochage » de fissures
au maillage
Maillage droit
Maillage coude
Test sur une éprouvette entaillée : trajet de fissuration
Test sur une éprouvette entaillée: réponse force-depl
snap-back global n’est pas identique pour différentes finesses
Particularité des modèles endo
Sensibilité à la taille de maille
L’énergie de dissipation tend vers zéro avec la finesse de maillage
Sensibilité à l’orientation de maillage
Trajets de fissuration varie pour les maillages réguliers
Solutions multiples
Les équations d’équilibre mécanique perdent leur ellipticité => pas d’unicité. Etude de
la stabilité et de bifurcation est nécessaire.
Robustesse
Matrice tangente varie en permanence, ce qui perturbe la convergence de l’algorithme
de Newton => convergence difficile
Performance
Les calculs sont très longs
Notion d’endommagement
Kachanov (1954), Lemaître (1955)
Définition de l’endommagement : Taux irréversible de fissuration α évoluant
de 0 pour un matériau sain à 1 lorsqu’une fissure apparaît,
Notion d’endommagement
L’endommagement permet de représenter la perte de rigidité du matériau :
0 ) 1
1 ) 0
α A(α
α A(α
= =
= =
Es e=1
2Es e=
endommagement
( ) (, )A Es e e =
variable d’endommagement
La loi élastique est complétée par une loi d’évolution de variable endo α
sain
endommagé
0 α < 1
s
e
sc
Par exemple : A(α) =1-α
Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)
Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)
Endommagement est piloté par la déformation maximale
Modèles énergétiques : Marigo (1989)
Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale
Endommagement est supposé croissant
Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)
Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique
Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive
Modèles micro-macro
Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique
Modèles générales à seuil
La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée
Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.
Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe
Évolution d’endommagement( ) (, )A Es e e =
Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)
Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)
Endommagement est piloté par la déformation maximale
• Modèles énergétiques : Marigo (1989)
Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale
Endommagement est supposé croissant
• Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)
Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique
Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive
Modèles micro-macro
Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique
• Modèles générales à seuil
La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée
• Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.
Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe
Classifications : I type
1. Liens forts avec l’expérimental
2. Premiers modèles reproduisant bien les comportements simples
3. Largement utilisés par l’ingénierie et les équipes expérimentales
( ) (, )A Es e e =
( ) ( ))
0
(
( )
EAs e e e
e
=
Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazard (1984)
Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)
Endommagement est piloté par la déformation maximale
Modèles énergétiques : Marigo (1989)
Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale
Endommagement est supposé croissant
Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)
Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique
Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive
Modèles micro-macro
Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique
• Modèles générales à seuil
La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée
• Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.
Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complex
Classifications : II type
1. Modèles basés sur les principes physiques générales
2. Dépendance de peu de paramètres
3. Possibilité d’introduire la régularisation commune
= xxaxa d))(),((),(F εε
1( , ) () : )
2(A aa E ae e e =
(( , ) )a EA as e ee
= =
Modèles « empiriques » : exemple loi de Mazars (1984)
Loi ajustée sur comportements simples (traction 1D)
Endommagement est piloté par la déformation maximale
Modèles énergétiques : Marigo (1989)
Loi basé sur le principe de minimisation d’énergie totale
Endommagement est supposé croissant
• Modèle standard généralisé (MSG) : Halphen et Son (1975)
Loi basé sur le seconde principe de la thermodynamique
Etat d’endommagement est définit en imposant la dissipation positive
Modèles micro-macro
Loi obtenue par homogénéisation de l’état microscopique
Modèles générales à seuil
La fonction seuil décrivant l’évolution d’endommagement est postulée
Lois multi-physiques : loi Sellier, RAG etc.
Etat d’endommagement est piloté par un phénomène physique complexe
Classifications : III type
1. Loi de comportements très complexes
2. Dépendance au jeu important de paramètres
3. Problème d’identification fréquent
Modèles énergétiques : Halphen et Son (1975), Marigo (1989)
Principe : le système minimise son énergie totale
21( , ) (1 ) :
2a a E kae e e =
Endommagement scalaire
Energie libre de Helmholz
Energie élastique
Energie d’endommagement
(1 )( , )a Eas e ee
= =
1
: 22
E kaa
e e
=
( , ) ( , ) :total a ae e s e e a
Modèle ENDO local : paramètrisation
Régime dissipatifs
e
sc
21( , ) (1 ) :
2a a E kae e e =
Ceux sont des lois à un seul paramètres : on ne peut contrôler qu’une
seule propriétés physiques soit
Régime dissipatif
Régime linéaires
sc
21( , ) (1 ) :
2a a E kae e e =
; c fGs
Il faut introduire les lois dépendant de plus de paramètres afin de pouvoir
capter les phénomènes physiques plus complexes
21( , ) : / 2
1k
aa E a
ae e e
=
e
Zone élastique en 2D/3D
zone élastique réelle
Loi dépendante que de 2 paramètres:
Seuil en traction
Energie de rupture (Griffith)
21( , ) : / 2
1k
aa E a
ae e e
=
s2
s1
zone élastique numérique0a
=
Zone élastique en 2D/3D
1. Lois peu robustes
2. Energie de rupture dépendante de
la taille de maille
3. Zone élastique non réaliste
Loi dépendante que de 2 paramètres:
Seuil en traction
Energie de rupture (Griffith)
21( , ) : / 2
1k
aa E a
ae e e
=
s2
s1
Zone élastique numérique
Correction pragmatique : contrôle de l’énergie dissipée
Ajustement taille de maille ou paramètre matériau
Energie dissipée au point matériel
Taille de maille
Expression de l’énergie de fissuration Gf : énergie pour créer 1 m2 de fissure)
s
e
ETE
21 1
2
cdiss
T
JE E
s =
pour le Béton
=
=
=
=
mmNG
MPa
MPaE
MPaE
c
c
T
/1.0
3
20000
30000
s
mmh 270=
diss fJ h G =
Energie dissipée
h
s
e
Correction pragmatique : Hillerborg
Ajustement de la taille de maille ou du paramètre matériau
Energie dissipée au point matériel
Taille de maille
diss fJ h G =
Energie dissipée
h
s
e
1. Lois très peu robustes
2. Energie de rupture dépendante de
la taille de maille
3. Fissure s’accroche aux maillages
Modélisation régularisée :
Loi avec gradient d’endommagement
1( , ) ( ) : ( )
2
1.
2c a aa A a E ae e e =
Modélisation locale :
( )1 1
( , ) : .2 2
( )a E c a aaA ae e e =
Perte de rigidité Dissipation
Régularisation par le gradient d’endommagementGRAD_VARI
Origine des oscillations numériques
Présence de nombreuses oscillations globales difficiles à suivre
Proposition :
Si modèle 1D est régulière alors la comportement totale est régulier
Solution 1D pour le choix de A(a)
Cas unidimensionnel de test
Barre chargée en déplacement aux deux extrémités
Symétrie du problème pour simplification
Objectifs
U
l
Réponse stable.
Possibilité d’atteindre l’endommagement ultime .
Lien possible entre les paramètres de la loi et des paramètres macro.
1a =
A a Es = e2
( , ) '( )'( ) '' 0
2 ( )
a A aa ca
a A a E
e s
2=
Equation (EDO) à résoudre
Nouvelle loi régularisée :
A 1D se réduit à la loi semi-analytique
Zone élastique de deuxième ordre
Loi isotrope
Bons résultats : bonne robustesse, peu de paramètres
Différentiation traction/compression
Zone élastique en fonction du choix de para
s2
s1
zone élastique modifiée
compression
traction
Loi dépendant de 4+1 paramètres :
Trois para d’endo (trac, comp, cisaille)
Energie de rupture (Griffith)
Taille de la zone endommagée (numérique)
Éprouvette cylindrique entaillée
Calcul 2D : indépendance aux maillage Calcul 3D rapide
Plaque trouée
Différence
traction/compression
Chemins de fissuration
correctes
Bonne robustesse
compression
traction
robustesse
Réponse globale
Poutre MECA
Différence traction/compression
Chemins de fissuration correctes
Bonne robustesse
Poutre MECA :
Poutre armé en flexion 3 points
Calcul Enceinte
Enceinte en béton : calcul complet avec modèle de Mazars
Câbles de précontrainte
60 Radier
57 Verticaux
98 Gamma
18 Dôme
122 Horizontaux
Nervure
SAS Matériel
SAS Exploration
SAS
Entretien
SAS Personnel
Résultats qualitatifs
Détection de la zone de danger
Evolution des lois d’endommagement
OTM 2008:
Calcul 3D est possible
sans armatures
50 000 nœuds
10 heurs de calcul
Livrable 2014:
Calcul sur PACE
armature, câble précontrainte
500 000 nœuds
10 heures de calcul
0.1 m 1 m
time
Surface de charge proche des essais pour le béton
s2
s1
s2
s1
Industrialisation
Calcul sur PACE
• Taille 2m x1m
• Armatures
• Câble de précontrainte
Stratégie de calcul industriel
• Seuil de rupture par RDM
• Trajet de fissuration par ImplEx
• Validation par ENDO réduit (membrane, barre)
• Validation ultime ENDO 3D
Suivi VERCORS
0,00E+00
1,00E-03
2,00E-03
3,00E-03
4,00E-03
5,00E-03
6,00E-03
trajet de fissuration
initiation autours du câble
ouverture de fissures
Damage model to be used
Behavior law Modelisation Usage and material type
GLRC_DM(DAMAGE) DKTG plates - Earthquake analysis
- Only reinforced concrete
ENDO_SCALAIRE
ENDO_FISS_EXP
GRAD_VARI - Concrete crack propagation
- Reinforced concrete with 1D rebars; 2D layer
ENDO_ISOT_BETON Local IMPLEX - Approximate concrete crack propagation
- Reinforced concrete with 1D rebars; 2D layer
ENDO_ORTH_BETON Local/GRAD_EPSI + Orthotropic damage
+ contact rigidity restoration
- bad numeric performance
MAZARS Local - Quasi-static analysis
- Only reinforced concrete
•Two possible regularisations for damage localization : GRAD_VARI, GRAD_EPSI
« Crack » mechanics summary
Three methods to represent cracksLinear elastic fracture mechanics (LEFM) + extended finite elements (XFEM)
Cohesive zone model (CZM)
Damage mechanics
(Dis)advantage LEFM + XFEM CZM DAMAGE
Crack initiation
Crack path
Performance
Robustness
Usage Complexity