SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES

On donne ci-dessous quelques exemples de syste`mes de p equations lineaires a` q inconnues,eventuellement avec un ou plusieurs parame`tres. On demande :

1) decrire ces syste`mes sous forme matricielle AX = B,

2) de les resoudre,

3) dindiquer a` chaque fois le rang r de la matrice A,

4) de determiner la dimension d = q r de lespace des solutions de lequation sans secondmembre associee AX = O

1.{

2x+ y = 24x+ 6y = 4

2.{

2x+ y 1 = 04x = 6y

3.{

2x 4y = 13x+ 6y = 1 4.

x y + z = 1y = z + 2z = 3

5.

x+ y 2z = 4x y z = 112x+ y z = 8

6.

x+ y 3 = 02x y 6 = 04x+ 5y 2 = 0

7.

3y + 5x z = 24z + 6 = 03x+ 2y + z = 1

8.

x y = 13x+ 3z = 32x+ y + 3z = 4

9.

x+ 2y = 12x+ y = 1x+ 3y = 2

10.

x1 + x2 + x3 + x4 = 1x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 1x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4 = 1

11.

x+ y 2z = 4x y z = 112x+ y z = 8x+ 3y 6z = 11

12.

a+ 2b+ c+ d = 0a+ b c d = 82a+ b+ c+ d = 1a+ b+ c 2d = 2

13.

x+ 2y + z = 2x+ 3y + 2z = 1x+ 2y + 3z = 3x+ 3y + 3z = 2

14.

x+ y + z + t = 13x+ 2y + 2z + 2t = 02x+ y + 2z + 2t = 2

1

Syste`mes avec parame`tres reels (discuter suivant les valeurs des parame`tres).

15.

ax+ y + z = 1x+ ay + z = ax+ y + az = a2

(parame`tre : a)

16.

3x+ 2y + z = 92x+ y + 2z = 8x+ 3y + z = 15

(parame`tre : )

17.

x+ (y z) = 0y + (z x) = 0z + (x y) = 0

(parame`tre : )

18.

x+ y + z = 0(b+ c)x+ (c+ a)y + (a+ b)z = 0bcx+ cay + abz = 0

(parame`tres : a, b et c)

19.

x+ ay + a2z + a3t = a4x+ by + b2z + b3t = b4y + 2az + 3a2t = 4a3y + 2bz + 3b2t = 4b3

(parame`tres : a et b)

20.

ax+ by + t = a+ bbx+ ay + z = a by + az + bt = a+ 1x+ bz + at = a 1

(parame`tres : a et b)

2

Corrige

Remarques preliminaires :

Dans tous ces exercices nous utilisons la methode du pivot en appliquant sur les lignes desoperations de premie`re espe`ce, cest-a`-dire en ajoutant a` la ligne que lon veut modifier un mul-tiple de celle contenant le pivot choisi.

On sautorisera (pour les exercices avec parame`tres) des operations de deuxie`me espe`ce, cest-a`-dire la simplification de tous les termes dune ligne par la meme nombre non nul.

Pour les exercices numeriques on donne seulement les transformations successives par la methodedu pivot. Les pivots sont places dans un carre. Pour les exercices avec parame`tres, les calculsont ete plus detailles.

On donne pour chaque exercice, lensemble des solutions du syste`me, le rang r, et le nombred. Lorsque le syste`me na pas de solution unique, on donne egalement les solutions du syste`meAX = 0.

1) (2 14 6

)(xy

)=(24

)2 14 6

24 = 2 10 4 20 = 2 00 4

20Solution : (x,y) = (1,0), r = 2, d = 0.

2) (2 14 6

)(xy

)=(10

)2 14 6

10 = 2 10 4 12 = 2 00 4

3/22Solution : (x,y) =

(34, 1

2

)r = 2, d = 0.

3) (2 43 6

)(xy

)=(11

)2 43 6

11 = 2 40 0 15/2

Le syste`me na pas de solution. r = 1, q = 1 (lespace des solutions de lequation AX = O est ledroite vectorielle dequation x 2y = 0).

4) 1 1 10 1 10 0 1

xyz

=123

3

1 1 10 1 10 0 1

123

=1 1 00 1 00 0 1

253

=1 0 00 1 00 0 1

353

Solution : (x,y,z) = (3,5,3), r = 3, d = 0.

5) 1 1 21 1 12 1 1

xyz

= 411

8

1 1 21 1 12 1 1

4118

=1 1 20 2 10 3 5

470

=1 3 00 2 10 7 0

18735

=1 0 00 0 10 7 0

3335

Solution : (x,y,z) = (3,5,3), r = 3, d = 0.

6) 1 12 14 5

(xy

)=

362

1 12 14 5

362

=1 10 30 9

3014

=1 00 30 0

3014

Le syste`me na pas de solution. r = 2, d = 0.

7) 5 3 10 0 43 2 1

xyz

= 26

1

5 3 10 0 43 2 1

261

=5 3 00 0 43 2 0

1/265/2

=1/2 0 00 0 43 2 0

13/465/2

=1/2 0 00 0 40 2 0

13/4622

Solution : (x,y,z) =(13

2,11, 3

2

), r = 3, d = 0.

8) 1 1 03 0 32 1 3

xyz

=13

4

1 1 03 0 32 1 3

134

=1 1 03 0 31 1 0

131

=1 1 00 3 30 0 0

160

On obtient les solutions en fonction de la variable y car il ny a pas de pivot dans la colonne de y.

4

Solutions : {(x,y,z) = (y 1,y, y + 2) | y R}, r = 2, d = 1. (Lespace des solutions delequation AX = O est la droite vectorielle definie par les equations x = y et z = y, cest-a`-dire lensemble des multiples du vecteur de coordonnees (1,1, 1) obtenu en prenant y = 1).

9) 1 22 11 3

(xy

)=

112

1 22 11 3

112

=1 20 30 1

131

=1 00 00 1

101

Solution : (x,y) = (1,1), r = 2, d = 0.

10) 1 1 1 11 1 2 31 2 3 41 3 4 5

x1x2x3x4

=1111

1 1 1 11 1 2 31 2 3 41 3 4 5

1111

=1 1 1 10 0 1 20 1 2 30 2 3 4

1000

=1 0 1 20 0 1 20 1 2 30 0 1 2

1000

=1 0 0 00 0 1 20 1 0 10 0 0 0

1000

On obtient les solutions en fonction de la variable x4 car il ny a pas de pivot dans la colonnede x4.

Solutions : {(x1,x2,x3,x4) = (1,x4, 2x4,x4) | x4 R}, r = 3, d = 1. (Lespace des solutions delequation AX = O est la droite vectorielle definie par les equations x1 = 0, x2 = x4 etx3 = 2x4cest-a`-dire lensemble des multiples du vecteur de coordonnees (0,1, 2,1) obtenu en prenantx4 = 1).

11) 1 1 21 1 12 1 11 3 6

xyz

=411811

1 1 21 1 12 1 11 3 6

411811

=1 1 20 2 10 3 50 2 4

4707

=1 3 00 2 10 7 00 6 0

1873535

=1 0 00 0 10 7 00 0 0

33355

Le syste`me na pas de solution. r = 3, d = 0.

12) 1 2 1 11 1 1 12 1 1 11 1 1 2

abcd

=

0812

5

1 2 1 11 1 1 12 1 1 11 1 1 2

0812

=1 2 1 12 3 0 01 1 0 02 1 0 3

0812

=0 3 1 10 5 0 01 1 0 00 3 0 3

11014

=

=0 0 1 10 5 0 01 0 0 00 0 0 3

51012

=0 0 1 00 5 0 01 0 0 00 0 0 3

13/31012

Solution : (a,b,c,d) =(1,2, 13

3, 2

3

), r = 4, d = 0.

13) 1 2 11 3 21 2 31 3 3

xyz

=2132

1 2 11 3 21 2 31 3 3

2132

=1 2 10 1 10 0 20 1 2

2110

=1 0 10 1 10 0 20 0 1

4111

=1 0 00 1 00 0 00 0 1

5211

Le syste`me na pas de solution. r = 3, d = 0.

14) 1 1 1 13 2 2 22 1 2 2

xyzt

=102

1 1 1 13 2 2 22 1 2 2

102

=1 1 1 10 1 1 10 1 0 0

130

=1 0 1 10 0 1 10 1 0 0

130

=1 0 0 00 0 1 10 1 0 0

230

On obtient les solutions en fonction de la variable t car il ny a pas de pivot dans la colonne det.

Solutions : {(x,y,z) = (2,0,3 t,t) | t R}, r = 3, d = 1. (Lespace des solutions de lequationAX = O est la droite vectorielle definie par les equation x = 0, y = 0, z = t cest-a`-dire len-semble des multiples du vecteur de coordonnees (0,0, 1,1) obtenu en prenant t = 1).

15) a 1 11 a 11 1 a

xyz

= 1aa2

a 1 11 a 11 1 a

1aa2

L1 aL3L2 L3

L3

=0 1 a 1 a20 a 1 1 a1 1 a

1 a3a a2a2

6

Si a 6= 1 , on peut simplifier les deux permie`res lignes par 1 a

0 1 1 + a0 1 11 1 a

1 + a+ a2

aa2

L1 + L2L2

L3 + L2=

0 0 2 + a0 1 11 0 1 + a

1 + 2a+ a2

aa+ a2

Si a 6= 2 , on peut achever la methode du pivot

0 0 2 + a0 1 11 0 1 + a

(1 + a)2

aa+ a2

L1L2 L1/(2 + a)

L3 (1 + a)L1/(2 + a)=

0 0 2 + a0 1 01 0 0

(1 + a)2

1/(2 + a)(1 + a)/(2 + a)

Si a 6= 1 et a 6= 2 on a donc comme solution

(x,y,z) =(a+ 1a+ 2

,1

a+ 2,(a+ 1)2

a+ 2

), r = 3, d = 0 .

Si a = 2 le tableau du syste`me sest transforme en

0 0 00 1 11 0 1

122

Le syste`me na pas de solution. On a r = 2 et d = 1. (Lespace des solutions de lequationAX = O est la droite vectorielle definie par les equation x = z, y = z, cest-a`-dire lensembledes multiples du vecteur de coordonnees (1,1,1) obtenu en prenant z = 1).

Si a = 1 le syste`me initial a ses trois lignes identiques.Solutions : {(x,y,z) = (x,y,1 x y) | x, y R}, r = 1, d = 2. (Lespace des solutions delequation AX = O est le plan vectoriel defini par les equation x+ y + z = 0).

16) 3 2 12 1 21 3

xyz

= 9815

3 2 12 1 21 3

9815

L1L2 2L1/3L3 L1/3

=3 2 10 1/3 4/30 7/3 1/3

9212

L1 + 6L2L2

L3 + 7L2=

3 0 90 1/3 4/30 0 + 9

21226

Si 6= 9 , on peut achever la methode du pivot

3 0 90 1/3 4/30 0 + 9

21226

L1 9L3/(+ 9)L2 4L3/(3(+ 9))

L3

=3 0 00 1/3 00 0 + 9

3(7 15)/(+ 9)(6 50)/(3(+ 9))

26.

Solution : (x,y,z) =(7 15+ 9

,6+ 50+ 9

,26

+ 9

), r = 3, d = 0.

7

Si = 9 , le tableau du syste`me sest transforme en

3 0 90 1/3 4/30 0 0

21226

Il na pas de solution. On a r = 2, d = 1. (Lespace des solutions de lequation AX = O estla droite vectorielle definie par les equations x + 3z = 0 et y + 4z = 0, cest lensemble desmultiples du vecteur de coordonnees (3,4,1) obtenu pour z = 1).

17) 1 1 1

xyz

=000

Le second membre etant nul, on ne lecrit pas. Il reste nul dans toutes les transformationselementaires. On remarquera aussi que si est reel, 2 + 1 nest pas nul.

1 1 1

L1L2 + L1L3 L1

=1 0 2 + 1 2 + 0 2 2 + 1

L1 L2/(2 + 1)L2

L3 + (2 + )L2/(2 + 1)=

1 0 (+ 1)2 + 1

0 2 + 1 2 +

0 032 + 12 + 1

Il est inutile de poursuivre le calcul. Le syste`me est de Cramer avec second membre nul.

Solution : (x,y,z) = (0,0,0), r = 3, d = 0.

18) 1 1 1b+ c c+ a a+ bbc ca ab

xyz

=000

Le second membre etant nul, on ne lecrit pas. Il reste nul dans toutes les transformationselementaires.

1 1 1b+ c c+ a a+ bbc ca ab

L1L2 (b+ c)L1L3 bcL1

=1 1 10 a b a c0 c(a b) b(a c)

Si a 6= b on peut poursuivre la methode du pivot

8

1 1 10 a b a c0 c(a b) b(a c)

L1 + L2/(b a)L2

L3 cL2=

1 0 (c b)/(a b)0 a b a c0 0 (a c)(b c)

Si a 6= c et b 6= c , on peut prendre un troisie`me pivot. Il est inutile de poursuivre le calcul. Lesyste`me est de Cramer avec second membre nul.

Solution (x,y,z) = (0,0,0), r = 3, d = 0.

Si b = c 6= a , le tableau du syste`me devient

1 0 00 a b a c0 0 0

.

Solutions : lensemble des solutions est la droite vectorielle definie par les equations x = 0 ety + z = 0 dont les vecteurs sont proportionnels au vecteur de coordonnees (0, 1,1) obtenu enprenant z = 1. On a r = 2 et d = 1.

De manie`re generale, si deux des trois nombres a, b, c sont egaux on obtient une droite vectorielle :

si b = c 6= a on obtient la droite vectorielle engendree par (0, 1,1)si a = b 6= c on obtient la droite vectorielle engendree par (1, 1,0)si a = c 6= b on obtient la droite vectorielle engendree par (1,0, 1).

Si maintenant a=b=c Les trois colonnes sont egales. Le syste`me se reduit a` x + y + z = 0.Cest lequation dun plan vectoriel. r = 1 et d = 2.

19) 1 a a2 a3

1 b b2 b3

0 1 2a 3a2

0 1 2b 3b2

xyzt

=a4b44a34b3

1 a a2 a3

1 b b2 b3

0 1 2a 3a2

0 1 2b 3b2

a4b44a34b3

L1L2 L1

L3L4

=1 a a2 a3

0 b a b2 a2 b3 a30 1 2a 3a2

0 1 2b 3b2

a4

a4 b44a34b3

L1 aL3L2 (b a)L3

L3L4 L3

=

1 0 a2 2a30 0 (b a)2 b3 3a2b+ 2a30 1 2a 3a2

0 0 2(b a) 3(b2 a2)

3a4

3a4 b4 + 4a3b4a3

4(a3 b3)Si b 6= a, on peut simplifier la deuxie`me ligne par (b a)2 et la quatrie`me ligne par b a etcontinuer le pivot.En effet

b3 3a2b+ 2a3 = (b a)(b2 + ab 2a2) = (b a)2(b+ 2a) ,et

3a4 b4 + 4a3b = (b a)(b3 ab2 a2b+ 3a3) = (b a)2(b2 2ab 3a2) .

9

1 0 a2 2a30 0 1 b+ 2a0 1 2a 3a2

0 0 2 3(b+ a)

3a4

b2 2ab 3a24a3

4(b2 + ab+ a2)

L1 + a2L2L2

L3 2aL2L4 2L2

=

1 0 0 a2b0 0 1 b+ 2a0 1 0 a2 2ab0 0 0 b a

a2b2 2a3b

b2 2ab 3a22ab2 + 4a2b+ 2a3

2(a2 b2)On peut simplifier la dernie`re ligne par b a et terminer le pivot.

1 0 0 a2b0 0 1 b+ 2a0 1 0 a2 2ab0 0 0 1

a2b2 2a3b

b2 2ab 3a22ab2 + 4a2b+ 2a3

2(a+ b)

L1 a2bL4L2 (b+ 2a)L4L3 + (a2 + 2ab)L4

L4

=

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

a2b2

a2 + 4ab+ b2

2ab(a+ b)2(a+ b)

Solution : (x,y,z,t) = (a2b2, 2ab(a+ b),a2 + 4ab+ b2, 2(a+ b)), r = 4, d = 0.

Si b = a , le tableau du syste`me devient

1 0 a2 2a30 0 0 00 1 2a 3a2

0 0 0 0

3a4

04a30

Solutions : {(3a4 + a2z + 2a3t, 4a3 2az 3a2t,z,t) | z, t R}, r = 2, d = 2. (Lespace dessolutions de lequation AX = O est le plan vectoriel defini par les equations x a2z 2a3t = 0et y + 2a+ 3a2t = 0).

Remarque : si lon note P (U) = U4 + tU3 + zU2 + yU + x, le proble`me pose revient a` chercherles polynomes P tels que P (a) = P (a) = P (b) = P (b) = 0. Si a 6= b, ce polynome est

P (U) = (U a)2(U b)2 = (U2 (a+ b)U + ab)2 .En developpant, on obtient

P (U) = U4 2(a+ b)U3 + (a2 + 4ab+ b2)U2 2ab(a+ b)U + a2b2 ,et lon retrouve bien les resultats obtenus plus haut.

20) Remarque : cet exercice est complique, et la methode du pivot est un peu penible dans cecas, car elle introduit des conditions inutiles et donne des calculs fastidieux. On a interet a` utili-ser un logiciel de calcul formel qui permet de faire plus facilement les calculs et les simplifications.

a b 0 1b a 1 00 1 a b1 0 b a

xyzt

=a+ ba ba+ 1a 1

10

a b 0 1b a 1 00 1 a b1 0 b a

a+ ba ba+ 1a 1

L1 aL4L2 bL4

L3L4

=

0 b ab 1 a20 a 1 b2 ab0 1 a b1 0 b a

a2 + 2a+ bab+ aa+ 1a 1

L1 bL3L2 aL3

L3L4

=

(A)

0 0 2ab 1 a2 b20 0 1 a2 b2 2ab0 1 a b1 0 b a

a2 + 2a abab a2a+ 1a 1

Si ab 6= 0 , on peut poursuivre la methode du pivot

0 0 2ab 1 a2 b20 0 1 a2 b2 2ab0 1 a b1 0 b a

a2 + 2a abab a2a+ 1a 1

L1L2 + (1 a2 b2)L1/(2ab)

L3 + L1/(2b)L4 + L1/(2a)

=

(B)

0 0 2ab 1 a2 b2

0 0 0D(a,b)2ab

0 1 01 a2 + b2

2b

1 0 01 + a2 b2

2a

a2 + 2a ab

(1 a2 b2)(2 a b) 2ab(a+ b)2b

a2 + 2a+ 2b+ ab2b

a b2

On remarque que, en utilisant les identites remarquables, on peut factoriser lexpression

D(a,b) = (2ab)2 + (1 a2 b2)2

figurant dans le tableau precedent. On a

D(a,b) = (1 a2 b2 2ab)(1 a2 b2 + 2ab)= (1 (a+ b)2)(1 (a b)2)= (1 a b)(1 + a+ b)(1 a+ b)(1 + a b) .

Si (a+ b+ 1)(a b 1)(a+ b 1)(a b+ 1) 6= 0 , on peut alors terminer la methode du pivot.

11

0 0 2ab 1 a2 b2

0 0 0D(a,b)2ab

0 1 01 a2 + b2

2b

1 0 01 + a2 b2

2a

a2 + 2a ab

(1 a2 b2)(2 a b) 2ab(a+ b)2b

a2 + 2a+ 2b+ ab2b

a b2

L1 2ab(1 a2 b2)

D(a,b)L2

L2

L3 a(1 a2 + b2)

D(a,b)L2

L4 b(1 + a2 b2)

D(a,b)L2

=

0 0 2ab 0 10 0 0

D(a,b)2ab

2

0 1 0 0 31 0 0 0 4

Solution : (x,y,z,t) =(4,3, 12ab,

2ab2D(a,b)

), r = 4, d = 0.

Apre`s calcul et simplification (a` laide dun logiciel de calcul formel) par a+ b 1, on obtient

x =a3 a2b+ ab+ ab2 b3 b2 + b+ 1(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) , y =

a3 3a2b ab+ ab2 2a+ b3 + b2 b 1(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1)

z =a(a2 2ab+ a+ b+ b2)

(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) , t =a(a2 2ab a+ b2 2 b)

(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) .

Etudions le cas ab 6= 0 et D(a,b) = 0 . Le tableau (B) devient :

(C)

0 0 2ab 1 a2 b2

0 0 0 0

0 1 01 a2 + b2

2b

1 0 01 + a2 b2

2a

a2 + 2a ab

(1 a2 b2)(2 a b) 2ab(a+ b)2b

a2 + 2a+ 2b+ ab2b

a b2

Il y a donc trois pivots, et r = 3, d = 1. Lensemble des solutions du syste`me AX = 0 est ladroite vectorielle definie par les equations

x+1 + a2 b2

2at = 0 , y +

1 a2 + b22b

t = 0 , 2abz + (1 a2 b2) t = 0 ,

12

cest-a`-dire lensemble des multiples du vecteur obtenu pour t = 1, de coordonnees(1 + a2 b2

2a,1 a2 + b2

2b,a2 + b2 1

2ab, 1

).

Pour voir si le syste`me AX = B est possible ou non, etudions lexpression Q definie par

Q(a,b) = (1 a2 b2)(2 a b) 2ab(a+ b) .

On peut la factoriser. Posons S = a+ b et P = ab. On a

Q(a,b) = (1 S2 + 2P )(2 S) 2PS= 2 S 2S2 + S3 + 4P 4PS= (S3 S) 2(S2 1) 4P (S 1) .

on peut donc mettre en facteur S 1, et

Q(a,b) = (S 1)(S2 + S 2(S + 1) 4P ) ,

dou`Q(a,b) = (a+ b 1)(a2 2ab+ b2 a b 2) .

Donc si ab 6= 0 et a+ b = 1 , le tableau (C) devient

0 0 2ab 1 a2 b2

0 0 0 0

0 1 01 a2 + b2

2b

1 0 01 + a2 b2

2a

a2 + 2a ab

0

a2 + 2a+ 2b+ ab2b

a b2

Solutions :{(a b2

1 + a2 b22a

t,a2 + 2a+ 2b+ ab

2b 1 a

2 + b2

2bt,a 2 + a

2b+

1 a2 b22ab

t,t

)| t R

}.

Si ab 6= 0 et a+ b = 1 , on constate que Q(a,b) = S2 + S 2(S + 1) 4P = 4P nest pasnul. Le syste`me na pas de solution dans ce cas.

Si maintenant ab 6= 0 et a b = 1 , alors

Q(a,b) = a2 2ab+ b2 a b 2 = (a b)2 a b 2 = 1 a b .

Mais le syste`me {a+ b = 1a b = 1

necessite a = 0 ou b = 0 ce qui est exclu. Donc Q(a,b) nest pas nul. Le syste`me na pas desolution non plus dans ce cas.

Si a = 0 et 1 b2 6= 0 , (remarquons que dans ce cas D(a,b) 6= 0), le tableau (A) devient

13

0 0 0 1 b20 0 1 b2 00 1 0 b1 0 b 0

0011

On a encore quatre pivots, donc r = 4, d = 0, et (x,y,z,t) = (1,1,0,0). On peut remarquer quela solution obtenue dans ce cas particulier, est celle que lon obtient en faisant a = 0 dans lasolution du cas general ab 6= 0 , D(a,b) 6= 0.

Si b = 0 et 1 a2 6= 0 , (remarquons que la` aussi D(a,b) 6= 0), le tableau du syste`me devient

0 0 0 1 a20 0 1 a20 1 a 01 0 0 a

2a a2a2a+ 1a 1

On a encore quatre pivots, donc r = 4, d = 0, on resout facilement le syste`me (sans poursuivrele pivot). On a tout dabord

t =2a a21 a2 et z =

a21 a2 ,

puis

x = a 1 at = a2 + a 11 a2 et y = a+ 1 az =

1 + a a21 a2 .

On peut remarquer que, de nouveau, la solution obtenue dans ce cas particulier, est celle quelon obtient en faisant b = 0 dans la solution du cas general ab 6= 0 , D(a,b) 6= 0.

Il reste a` etudier le cas ou` ab = 1 a2 b2 = 0, ce qui correspond aux quatre couples (1,0),(1,0), (0,1), (0, 1) (On a donc aussi D(a,b) = 0).

(a,b) = (1,0) le tableau (A) du syste`me devient

0 0 0 00 0 0 00 1 1 01 0 0 1

1120

Le syste`me na pas de solution, r = 2, d = 2. (Lensemble des solutions du syste`me AX = O estle plan vectoriel dont les equations sont x+ t = 0 et y + z = 0).

(a,b) = (1,0) le tableau (A) du syste`me devient

0 0 0 00 0 0 00 1 1 01 0 0 1

3102

Le syste`me na pas de solution, r = 2, d = 2. (Lensemble des solutions du syste`me AX = O estle plan vectoriel dont les equations sont x t = 0 et y z = 0).

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(a,b) = (0,1) le tableau (A) du syste`me devient

0 0 0 00 0 0 00 1 0 11 0 1 0

0011

Solutions : {(z 1, t+ 1,z,t) | z, t R}, r = 2, d = 2. (Lensemble des solutions du syste`meAX = O est le plan vectoriel dont les equations sont x+ z = 0 et y + t = 0).

(a,b) = (0, 1) le tableau (A) du syste`me devient

0 0 0 00 0 0 00 1 0 11 0 1 0

0011

Solutions : {(z 1,t + 1,z,t) | z, t R}, r = 2, d = 2. (Lensemble des solutions du syste`meAX = O est le plan vectoriel dont les equations sont x z = 0 et y t = 0).

Remarque : on constate en particulier que le syste`me AX = B est de Cramer si et seulement siD(a,b) 6= 0. Dans ce cas la solution unique est donnee par

x =a3 a2b+ ab+ ab2 b3 b2 + b+ 1(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) , y =

a3 3a2b ab+ ab2 2a+ b3 + b2 b 1(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1)

z =a(a2 2ab+ a+ b+ b2)

(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) , t =a(a2 2ab a+ b2 2 b)

(a b 1)(a+ b+ 1)(a b+ 1) .

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