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Les systèmes optiques centrés

Filières SM et SMI, année 2005-2006

H. EL RHALEBUniversité Mohammed V, Rabat, AgdalFaculté des Sciences, Département de Physique,Laboratoire de Spectronomie Moléculaire, d’Optique et d’Instrumentation Laserelrhaleb@fsr.ac.ma

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Dans ce chapitre on définit tous les

éléments qui interviennent en optique

géométrique (système optique, objet,

image, relation de conjugaison, etc.).

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I.1 GénéralitésI.1.1 Définition d’une

image

I – Les systèmes optiques

En optique, un objet peut être décrit par six variables: position (x, y, z), temps (t), couleur ou fréquence (ν), intensité I. Une image est une projection, grâce à un dispositif, de cet objet dans un espace ayant au plus cinq dimensions (x, y, t, ν, I). Par exemple une photographie en noir et blanc est

une projection dans un espace à trois dimensions (x,y,I).

Suivant ce point de vue "géométrique" une image est "homothétique" de l'objet. Nous nous limitons ici à ce cas.

4/39I.1.2 Notion de quantum d’information

Bien que le cerveau donne une perception continue d'une image, celle-ci est toujours "projetée" sur un support ayant une structure discontinue; par exemple :- film photographique (grain),- rétine de l'œil (structure en cônes et bâtonnets),- photocathode d'une caméra vidéo,- écran (trame du tissu...).

La structure discontinue "élémentaire" est appelée pixel (Picture Element), elle correspond au "quantum d'information". Elle impose une limite inférieure aux dimensions des images.

Nous supposerons toujours que les récepteurs d'images sont parfaits (structure continue).

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Un système optique (SO) est un dispositif assurant grâce à la réflexion et/ou la réfraction, une correspondance entre un objet et une image :

Objet Image

SystèmeOptique

Sens de la lumièreou sens positif +

I.2 Systèmes optiquesI.2.1 Systèmes optiques et orientation de

l’espace

6/39Le sens de propagation de la lumière (ou sens +)

définit donc un espace objet réel situé en amont du système optique et un espace image réelle situé en aval du système optique.

Espace Objet Réel

Espace Image Réelle

+

SO

Tout élément qui n'est pas dans le "bon espace" est dit virtuel.

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On appelle système centré, un système optique ayant une symétrie de révolution autour d'un axe.

I.2.2 Les systèmes centrés

axe principal

+

Cet axe, appelé axe principal ou axe optique matérialise également un rayon lumineux particulier (un rayon arrivant suivant l’axe optique n’est pas dévié).

8/39La face du système optique située du coté des

rayons incidents est appelée face d’entrée et la face du coté des rayons émergents, face de sortie.

SS΄

face de sortie

face d’entrée

axe optique

rayon incident

rayon émergent

+

On notera généralement S le point d'intersection de l'axe optique avec la face d'entrée du système centré et S΄ le point d'intersection de l'axe optique avec la face de sortie.

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On appelle source, un objet d'où sont issus des rayons lumineux. Bien qu'une source réelle soit un objet étendu, on utilise très souvent le modèle de la source ponctuelle : point lumineux d'où sont issus les rayons lumineux.

II – Objets et imagesII.1 Nature des objets et des

imagesII.1.1 Objet ponctuel

A

Source ponctuelle Source étendue

S

Une source étendue est traitée comme un ensemble d’objets ponctuels indépendants les uns des autres.

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Un objet réel est un ensemble de points sources d'où sont issus des faisceaux, divergents.

II.1.2 Objet réel, image réelle

AObjet réel Image réelle

A´

Une image réelle est une région de j'espace où convergent les rayons lumineux issus d'un objet et ayant traversé un système optique.

Une image correspond à une concentration d'énergie électromagnétique ; elle peut être recueillie sur un récepteur (écran, CCD,...).

11/39II.1.3 Objet virtuel, image

virtuelleUn objet virtuel se trouvant en aval du système

optique ne peut correspondre qu'à des prolongements fictifs de rayons lumineux.

AObjet virtuel

Image réelleA´

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De la même façon, une image virtuelle, située en amont du système optique est une intersection de rayons fictifs.

A´

Image virtuelle

AObjet réel

Une telle image ne peut être recueillie sur un écran, mais peut être observée par l'œil ou tout autre dispositif convergent.

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Les points objet A et image A´ sont des "points conjugués" ; tout point objet a un conjugué image grâce a un système optique.

II.1.4 Points conjugués

Remarque 1 : On peut disposer de plusieurs systèmes optiques les uns à la suite des autres. L'image du système numéro N joue le rôle d'objet pour le système numéro N + 1.

A A΄΄A΄SO2SO1

Si l’on change le sens de parcours de la lumière, on intervertit les rôles objet image.

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A'SO2A´

Remarque 2 : On réalise un objet virtuel à partir d'une image réelle en interposant entre celle-ci et le système optique un second système optique.

AA΄΄

SO1

Sur la figure, A΄ image réelle de A pour SO1 joue le rôle d'objet virtuel pour SO2 ; A΄΄ est l'image finale (ici réelle).

A´

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On appelle relation de conjugaison une relation entre la position d'un objet A et celle de son image A΄ sur l'axe optique.

II.1.5 Relation de conjugaison

L'expression de cette relation dépend du choix de l'origine des positions.

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Pour définir un objet ponctuel (ou une image ponctuelle) deux rayons sont nécessaires et suffisants. On choisit généralement un rayon quelconque et l'axe principal :

Si l'objet (l'image) est étendu (e), il faut généralement deux rayons pour définir chaque point de l'objet (image).

Axe optique

rayon incident quelconque

rayon émergentcorrespondant

SO

Aobjet

II.1.6 Construction géométrique

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Un système optique est dit stigmatique pour tout couple de points conjugués A et A΄ (objet et image) si tout rayon passant par A avant la traversée du système optique, passe par A΄ (image unique) après cette traversée. Cela signifie que le chemin optique entre A et A΄ est invariant pour tout rayon lumineux passant par A :

II.2 Le stigmatismeLe stigmatisme est la notion fondamentale de l’optique géométrique puisque c’est elle qui caractérise la netteté d’une image.

II.2.1 Le stigmatisme rigoureux

LAA´ = cte.

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Ou encore quels que soient les points I et J :

On montre que dans le cas d'un objet ou/et d'une image virtuelle, les chemins optiques doivent être comptés négativement et affectés de l'indice de réfraction du milieu dans lequel se propagent les prolongements des rayons virtuels.

SO

Aobjet

A´image

n´I Jn

[1]cteJA’n´LnAI IJ

Si le système optique est une surface simple, LIJ = 0.

On généralise donc en écrivant algébriquement la relation [1] : cteJA´nLAIn IJ

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A

A´

zone de convergence

SO

II.2.2 Le stigmatisme approchéLe stigmatisme rigoureux est l’exception. Heureusement, il n’est pas nécessaire pour la formation des images : Les détecteurs sont formés d’éléments photosensibles de taille finie.

On dit qu'un système optique présente un stigmatisme approché pour deux points conjugués A et A΄ si tout rayon passant par A passe au voisinage de A΄.

20/39On montre que pour les systèmes centrés, le stigmatisme approché est conservé dans l'espace.

- Transversalement cette conservation ou aplanétisme est décrite par la relation des sinus d'Abbe qui traduit la condition d’obtention d’une image plane à partir d’un objet plan, perpendiculaire à l’axe optique du système :

où AB et A´B´ sont des couples de points voisins conjugués et appartenant à des plans perpendiculaires à l'axe optique.

n

n´

SOA

BA´

B´

´

´B´A´n ´sinθsinABn θ

21/39- Longitudinalement la conservation est exprimée

par la condition d'Herschel qui traduit la condition d’obtention d’une image plane à partir d’un objet plan, sur l’axe optique du système :

où AC et A´C´ sont des couples de points voisins conjugués et appartenant à l'axe optique.

n

n΄

SOAA΄

C C΄ ´

2´C´A´n sin2 ´θ

2n sin2 θAC

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Cette approximation correspond à la linéarisation de l'optique géométrique, c'est-à-dire que la relation de Snell-Descartes.

est remplacée par

La relation d'Abbe devient (Lagrange Helmholtz) :

II.3 L’approximation de GaussII.3.1 Définition

car dans ce cas-là, sinθ ~ θ et sinθ΄ ~ θ΄.

cteisinn ctein

´´B´A´nABn θθ

23/39Dans la pratique cela revient à limiter (grâce à des

diaphragmes) les rayons lumineux au voisinage de l'axe optique et à de faibles inclinaisons par rapport à celui-ci.

´

SO

diaphragme

De tels rayons sont dits paraxiaux.

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L'approximation de Gauss implique un stigmatisme et un aplanétisme approchés.

II.3.2 Grandissement

En effet si AB perpendiculaire à l'axe optique est "petit", le rayon lumineux BJ est paraxial, donc BJ ~ AI et par suite J΄B΄ ~ I΄A΄ (A et A΄ sont deux points conjugués).Remarque 3 : Le rayon (fictif) BB΄ coupe l'axe optique en un point O appelé centre optique; ce rayon matérialise un axe optique secondaire.

SOplan P

plan P΄A A΄

B΄

B

II΄J

J΄

+

+

O

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Soit un rayon lumineux incliné d'un angle θ par rapport à l'axe optique avant le système optique et un angle θ΄ après le système optique.

III.3.2.a - Grandissement angulaire

On définit le grandissement angulaire Ga

par :

´SO

θθ΄

Ga

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Les plans P et P΄ perpendiculaires à l'axe optique sont dits plans conjugués. Le grandissement transversal est défini par le rapport des dimensions transverses de l’image A´B´ et de son objet :

La relation de Lagrange-Helmholtz permet de relier le grandissement transverse et le grandissement angulaire :

III.3.2.b - Grandissement transversal

AB´B´Aγ

´nn

Ga γ

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Soient deux points objets A et C situés sur l'axe optique et A΄ et C΄ les images correspondantes. On définit un grandissement longitudinal ℓ par : 

Dans l’approximation de Gauss, la condition de Herschel est :

Ce qui conduit à :

III.3.2.c - Grandissement longitudinal

n

n´

SOAA´

C C´ ´

AC´C´A

γ

22´´C´A´nACn θθ

a

2

Gn´n γγγ

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On appelle éléments cardinaux un ensemble d'éléments (points, plans) caractéristiques définis essentiellement dans l'approximation de Gauss et permettant de déterminer le cheminement de tout rayon lumineux à travers le système optique.

III – Les élément cardinaux des systèmes optiques

ℓ est positif, c'est-à-dire que si l'objet se déplace

d'une petite quantité Δx, son image se déplace de Δx΄ dans le même sens.

29/39III.1 Les points conjugués de l’infiniIII.1.1 Objet ou image à l’infiniUn objet est dit à l'infini si le faisceau lumineux issu

de cet objet est un faisceau parallèle.

De même, une image se forme à l'infini si le faisceau lumineux converge à l'infini, c'est-à-dire est parallèle.

objet àl’infini

espaceobjet

image àl’infini

espaceimage

30/39III.1.2 Les foyers

objet à

l’infini

F΄

F

foyer objet image à

l’infini

foyer image

SO

Par définition, le foyer image F΄ est le point conjugué d'un point objet situé à l'infini sur l'axe optique.

De la même façon, le foyer objet F est le point conjugué d'un point image situé à l'infini sur l'axe optique.

SO

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F΄ F

foyer objetimage

àl’infini

objet à

l’infini

foyer image

SO

Le système optique est dit convergent si le foyer image est réel (situé dans l'espace image).

SO

Il est dit divergent si le foyer image est virtuel (le foyer F΄ n'appartient pas à l'espace image).

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Si les faisceaux parallèles précédents sont parallèles à un axe secondaire, on peut définir des foyers secondaires et par suite des plans focaux.

III.1.3 Les plans

focaux

Le plan focal objet (image) est le plan perpendiculaire à l'axe optique et passant par le foyer objet (image).

Plan focale objet

Foyer principal objet

axe

secondaire

Plan focale image

Foyer principalimage

Foyer secondaireimage

axe secondaire

Foyer secondaireobjet

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Soit un objet dans un plan P perpendiculaire à l'axe optique et son image dans un plan P΄

perpendiculaire à l'axe optique. Si , c'est-à-dire si γ = 1, les plans P et P΄ sont dits plans

principaux ou unitaires. P est le plan principal objet, P΄ le plan principal image.

III.2 Les plans conjugués de grandissement transversal +1

 

III.2.1 Les plans

principaux

plan principal objet P plan principal image P´

B B΄

A A΄SO

´B´AAB

AB´B´A

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Remarque 4 : On définit également des plans

conjugués de grandissement transversal égal à -1 ;

ces plans sont dits antiprincipaux.

On schématise un système optique par ses plans principaux.

De manière générale, on note H(H΄) l'intersection de P(P΄) avec l'axe optique.

H H΄ A΄

plan principal objet P plan principal image P΄

B B´

A SO

35/39III.2.2 Distances focales et vergence

On appelle distance focale objet la quantité algébrique et distance focale image la

quantité algébrique .

III.2.2.a Distances

focales

΄

+

H΄ F΄F H

΄F΄H΄ HF

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Soit BH un rayon incident incliné d'un angle θ et H´E l'émergent correspondant, incliné d'un angle θ´ (H´E est parallèle à K´F´ puisque B joue le rôle de foyer objet secondaire).

FB =H´K´ = θ HF = -θ´ H´F´

De la relation précédente on en déduit : ´ ´

f

f

n-n

FF΄

HH΄

A ΄

B

K K΄

n

n΄

AB Considérons un objet situé dans le plan focal objet.

θ et θ´ étant orientés, il est évident que :

Sachant que pour les plans P et P´ on a  = 1, on en déduit la relation : nθ  = n´θ´

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III.2.2.b Vergence Soit un point objet A dans un milieu d'indice n et H la position du plan principal objet d'un système centré. Soit de même A´ le point image correspondant dans un milieu d’indice n´ et H´ la position du plan principal image.

On appelle vergences des points A et A´ les quantités :

et

Si A est à l'infini, A´ devient le foyer image du système donc :

VA = 0 et VA´ f

-n´ n´V = =

´H´F´ vergence du système optique.

Si A´ est à l'infini alors VA´ = 0 et f fA

-n -n n´V = = = = V

´HF

-n´A´

VH´A´A

-nV

HA==

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Soit un point objet N et son image N΄ tels que Ga = 1.

Il est facile de voir que

Si les milieux extrêmes sont identiques, + ΄ = 0.

III.3 Les plans conjugués de

grandissement angulaire +1

et par suite

Ces points sont appelés points nodaux.

Donc , les points nodaux et principaux sont confondus.

0΄N΄HHN

΄΄N΄HHN

΄N΄F ΄FN N N΄H

H΄ ΄et

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Remarque 5 : On définit également des points conjugués tels que Ga = -1. Ces points sont dits

antinodaux.

FIN