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15 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1
On se donne la fonction f (x) = (3x â 4)2 â (3x â 4)(5x + 3)
1. DĂ©velopper f (x) et montrer que f (x) = â6x2 â 13x + 282. Factoriser f (x) et montrer que f (x) = (3x â 4)(â2x â 7)
3. Calculer f (â2) et f (43)
Carl Friedrich Gauss1777-1855Allemagne
4. Déterminer tous les antécédents de 0 par la fonction f .
Exercice 2 Pondichery - Avril 2012
Un jeune berger se trouve au bord dâun puits de forme cy-lindrique dont le diamĂštre vaut 75cm : il aligne son regardavec le bord infĂ©rieur du puits et le fond du puits pour enestimer la profondeur. Le fond du puits et le rebord sont ho-rizontaux. Le puits est vertical.
1. En sâaidant du schĂ©ma ci-dessous (il nâest pas Ă lâĂ©chelle),donner les longueurs CB, FG, RB en mĂštres.
2. Calculer la profondeur BG du puits.
3. Le berger sâaperçoit que la hauteur dâeau dans le puits est2, 60 m. Le jeune berger a besoin de 1 m3 dâeau pour abreuvertous ses moutons.
En trouvera-t-il suffisamment dans ce puits Ă
Exercice 3 MĂ©tropole - Septembre 2012
On veut rĂ©aliser un tipi qui aura la forme dâune pyramideayant pour base un rectangle ABCD de centre H et pour hau-teur [SH] (voir le schĂ©ma ci-contre).
Le tipi aura les dimensions suivantes :AD = 1, 60 m, CD = 1, 20 m et SH = 2, 40 m.
1. Calculer le volume V de cette pyramide, en m3.
2. Calculer la longueur BD.
3. Lâarmature du tipi, constituĂ©e du cadre rectangulaireABCD et des quatre arĂȘtes latĂ©rales issues de S, est faite debaguettes de bambou.a. Montrer que : SD = 2, 60 m.b. On ajoute Ă lâarmature une baguette [EF] comme indiquĂ©sur le dessin de sorte que (EF)//(AD) et SF = 1, 95 m.Calculer EF.
4. On a trouvĂ© dans un magasin des tiges de bambou de 3 m.Une tige peut ĂȘtre coupĂ©e pour obtenir deux baguettes maisune baguette ne peut ĂȘtre fabriquĂ©e par collage de deux mor-ceaux de bambou.Combien faut-il acheter de tiges de bambou, au minimum,pour rĂ©aliser les neuf baguettes de lâarmature du tipi ?
15 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą DĂ©velopper une identitĂ© remarquable ;âą Factoriser avec un facteur commun ;âą Calculs sur les fractions ;âą Ăquation produit ;âą AntĂ©cĂ©dent ;
⹠ThéorÚme de ThalÚs ;⹠ThéorÚme de Pythagore ;⹠Unités de volume ;⹠La pyramide ;⹠Volume du cylindre.
Exercice 1
On se donne la fonction f (x) = (3x â 4)2 â (3x â 4)(5x + 3)1.f (x) = (3x â 4)2 â (3x â 4)(5x + 3) = (9x2 â 24x + 16)â (15x2 + 9x â 20x â 12)
f (x) = â6x2 â 13x + 282.f (x) = (3x â 4)2 â (3x â 4)(5x + 3) = (3x â 4) [(3x â 4)â (5x + 3)] = (3x â 4)(â2x â 7)3.f (â2) = â6(â2)2 â 10 Ă (â2) + 28 = â6 Ă 4 + 20 + 28 = â24 + 48 donc f (â2) = 24
f (43) = â6 Ă
(
43
)2â 13 Ă 4
3+ 28 = â6 Ă 16
9â 40
3+ 28
f43) = â32
3â 52
3+
843
donc f (43) = 0
4.
DâaprĂšs la question 3.,43
est un antécédent de 0.
Il faut résoudree f (x) = 0, on utilise la forme factorisée.
(3x â 4)(â2x â 7) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
3x â 4 = 0
3x = 4
x =43
â2x â 7 = 0
â2x = 7
x = â72
Il y a deux antécédents de 0 par f :43
et72
Exercice 2
1. On voit que CB = 20 cm, FG = 20 cm + 75 cm = 95 cm et RB = 1, 80 m â 1 m = 0, 80 m
2. Dans le triangle RFG. Comme les droites (CB) et (FG) sont horizontales, elles sont parallĂšles.DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs on a :
RBRG
=RCRF
=CBGF
0, 80 mRG
=0, 2 m
0, 95 m
Donc RG =0, 95 m Ă 0, 80 m
0, 2 m= 3, 8 m ainsi BG = 3, 8 m â 0, 8 m = 3 m
La profondeur du puits mesure 3 m
3. La hauteur dâeau dans le puits est un cylindre de diamĂštre 75 cm, donc de rayon 37, 5 cm, et dehauteur 2, 60 m.Le volume dâeau est donc (0, 375 m)2 Ă Ï Ă 2, 60 m = 3, 65625 Ă Ï m3 â 1, 148 m3
Il y a donc suffisamment dâeau dans le puits.
Exercice 3
On veut rĂ©aliser un tipi qui aura la forme dâune pyramide ayant pour base un rectangle ABCD decentre H et pour hauteur [SH] (voir le schĂ©ma ci-contre).Le tipi aura les dimensions suivantes :AD = 1, 60 m, CD = 1, 20 m et SH = 2, 40 m.
1. V = 1, 60 m Ă 1, 20 m Ă 2, 40 m = 4, 608 m3
2. ABCD est un rectangle donc ABD est un triangle rectangle en D.DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en A
AB2 + AD2 = BD2
BD2 = 1, 202 + 1, 602 = 1, 44 + 2, 56 = 4
BD =â
4 = 2, BD = 2 m
3. Lâarmature du tipi, constituĂ©e du cadre rectangulaire ABCD et des quatre arĂȘtes latĂ©rales issuesde S, est faite de baguettes de bambou.a. Le triangle SHD est rectangle en HLes diagonales dâun rectangle se coupent en leur milieu don HD = 1 mDâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore, on a :
HS2 + HD2 = SD2
SD2 = 2, 402 + 12 = 4, 76 + 1 = 5, 76
SD =â
4, 76 = 2, 60 donc SD = 2, 60 m
b. Dans le triangle SAD, les droites (EF) et (AD) sont parallĂšles.DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs on a :
SESA
=SFSD
=EFAD
1, 95 m2, 60 m
=EF
1, 60 mdonc EF =
1, 95 m Ă 1, 60 m2, 60 m
= 1, 2 m
EF = 1, 20 m
4. Il faudra 4 baguettes de 2, 60 m, 2 baguettes de 1, 60 m, 2 baguette de 1, 20 m et 1 baguette de1, 20 mComme 1, 60 m + 1, 20 m = 2, 80 m, il faudra 7 tiges de bambou.
14 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice Centres Ă©trangers - Juin 2012
Voici deux programmes de calcul :
Programme no 1⹠Choisir un nombre ;⹠Lui ajouter 1 ;⹠Calculer le carré de lasomme obtenue ;⹠Soustraire au résultat lecarré du nombre de dé-part.
Programme no 2âą Choisir un nombre ;âą Calculer le double de cenombre ;âą Ajouter 1.
LĂ©onhard Euler1707-1783
Suisse
1. On choisit 5 comme nombre de dĂ©part.Quel rĂ©sultat obtient-on avec ces deux programmes Ă
2. Démontrer que quelque soit le nombre choisi, les résultats obtenus avec les deux programmes sont identiques.
ProblĂšme Centres Ătrangers - Juin 2012
Dans le cadre dâun projet pĂ©dagogique, des professeurs prĂ©parent une sortie au Mont Saint Michel avec les 48 Ă©lĂšves detroisiĂ©me.
Partie 1 : Financement de la sortieLe coĂ»t total de cette sortie (bus, hĂ©bergement et nourriture, activitĂ©s, ... ) sâĂ©lĂšve Ă 120 e par Ă©lĂšve.
1. Le foyer du collége propose de prendre en charge 15% du coût total de cette sortie. Quelle est la somme prise en chargepar le foyer ?
2. Les professeurs dĂ©cident dâorganiser une tombola.Chaque Ă©lĂšve dispose dâune carte contenant 20 cases quâildoit vendre Ă 2e la case. En dĂ©cembre, les professeurs font lepoint avec les 48 Ă©lĂšves sur le nombre de cases vendues parchacun dâentre eux. Voici les rĂ©sultats obtenus :
Nombre de cases vendues 10 12 14 15 16 18 20Nombre dâĂ©lĂšves 5 12 9 7 5 6 4
a. Quel est le nombre total de cases dĂ©jĂ vendues en dĂ©cembre ? Quelle somme dâargent cela reprĂšsente-t-il ?
b. Quel est le pourcentage dâĂ©lĂšves ayant vendu 15 cases ou moins Ă (arrondir Ă lâunitĂ©).
c. Quel est le nombre moyen de cases vendues par Ă©lĂšve Ă (arrondir Ă lâunitĂ©).
3. Les 92 lots à gagner sont les suivants : un vélo ; un lecteur DVD ; 20 DVD ; 20 clés USB de 4 GO ; 50 sachets de chocolats.Ces lots sont fournis gratuitement par trois magasins qui ont accepté de sponsoriser le projet. Le tirage au sort a lieu aumois de mars. Les 960 cases ont toutes été vendues. Une personne a acheté une case.
a. Quelle est la probabilité que cette personne gagne un lot à (arrondir au centiÚme)
b. Quelle est la probabilité que cette personne gagne une clé USB à (arrondir au centiÚme)
Partie 2 : Travail effectué en mathématiques sur le Mont
1. Alexandre souhaite savoir Ă quelle distance il se trouvedu Mont Ă lâaide dâun thĂ©odolite (appareil servant Ă mesurerdes angles). Il sait que le sommet S du Mont est Ă 170 m dâal-titude. Son Ćil (O sur le dessin) Ă©tant situĂ© Ă 1, 60 m du sol, ilobtient la mesure suivante : SOH = 25Ë. (Le dessin nâest pasrĂ©alisĂ© Ă lâĂ©chelle).Ă quelle distance LK du Mont se trouve-t-il Ă (Donner unevaleur approchĂ©e au mĂštre).
2. Sachant que le Mont est inscrit dans un rectangle de 225 msur 285 m. Calculer la superficie de la partie émergée duMont.
14 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Programme de calcul ;⹠Identité remarquable ;⹠Moyenne pondérée ;
⹠Probabilités ;
⹠Trigonométrie ;
Exercice
1.En prenant 5 on obtient :
Avec le programme 1 : 5 + 1 = 6 ; 62 = 36 ; 36 â 52 = 36 â 25 = 11
Avec le programme 2 : 2 Ă 5 = 10 ; 10 + 1 = 11
2.Notons n le nombre choisi au dĂ©part.Le programme 1 devient : (n + 1)2 â x2
Le programme 2 devient : 2n + 1Or (n + 1)2 â n2 = n2 + 2n + 1 â n2 = 2n + 1Cela prouve que les deux programmes sont Ă©quivalents.
ProblĂšme
Partie 1
1.
120e Ă 15100
= 18e
2.a5 Ă 10 + 12 Ă 12 + 9 Ă 14 + 7 Ă 15 + 5 Ă 16 + 6 Ă 18 + 4 Ă 20 = 693
693 Ă 2 e = 1386 eCette vente reprĂšsente 1386 e
2.bIl y a 5 + 12 + 9 + 7 = 33 Ă©lĂšves sur 48 qui ont vendu 15 cases ou moins.
1548
= 0, 75
75% des Ă©lĂšves qui ont vendu 15 cases ou moins.
2.cIl faut faire la moyenne des cases vendues pondĂ©rĂ©e par le nombre dâĂ©lĂšves, câest Ă dire :
5 Ă 10 + 12 Ă 12 + 9 Ă 14 + 7 Ă 15 + 5 Ă 16 + 6 Ă 18 + 4 Ă 205 + 12 + 9 + 7 + 5 + 6 + 4
=69348
= 14, 4375
La moyenne des cases vendues par Ă©lĂšve est donc 14 Ă 1 case prĂšs.
3.aNous sommes dans une situation dâĂ©quiprobabilitĂ©.
Il y a 960 cases vendues pour 92 lots Ă gagner.
La probabilité de gagner un lot est donc92960
â 0, 01 Ă 0, 01 prĂšs.
3.bIl y a 20 clés USB à gagner et 960 cases vendues.
La probabilité de gagner une clés USB est donc20960
â 0, 02 Ă 0, 01 prĂšs.
Partie 2
1.Dans le triangle SOH rectangle en H.SH = 170 m â 1, 60 m = 168, 40 m
tan(
SOH)
=SHOH
Ainsi OH à tan 25⊠= 168, 40 m
Donc OH =168, 40 mtan 25âŠ
â 361 m Ă 1 m prĂšs.
2.225 m Ă 285 m = 64 125 m2
13 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice
1. A =53Ă 12
7â 2
3Ă· 5
9et B =
27761735
. Montrer que A > B
2. Donner lâĂ©criture scientifique de C =1 200 000 Ă 10â11
0, 024 Ă (103)â4
3. Ăcrire sous la forme aâ
b avec b entier le plus petitpossible :
D = 5â
20 â 7â
125 + 3â
80 ââ
5 et E =(
2â
3 â 3â
2)2
4. Donner une valeur approchée à 0, 01 prÚs de
F =(â4)3 â 52
(â4)2 â 53
Srinivasa Ramanujan1887-1923
Inde
PROBLĂME Aix-Marseille - Juin 2006
La station de ski Mathenfolie propose les tarifs suivants pour la saison 2012-2013 :
Tarif A : Chaque journĂ©e de ski coĂ»te 20e ;Tarif B : En adhĂ©rant au club des sports dont la cotisation annuelle sâĂ©lĂšve Ă 60e , on bĂ©nĂ©ficie dâune rĂ©duction de 30% surles prix de chaque journĂ©e Ă 20e .
1. Caroline est adhĂ©rente au club des sports de la station. Sachant quâelle a dĂ©jĂ payĂ© sa cotisation annuelle, expliquezpourquoi elle devra payer 14e par journĂ©e de ski.
2. Reproduire et compléter le tableau suivant :
Nombre de jours de ski pour la saison 2010-2011 5 8
Coût avec le Tarif A (en euros) 100 220
Coût avec le Tarif B (en euros) 130
3. On appelle x le nombre de journée de ski durant la saison 2010-2011. Exprimer en fonction de x :
a. Le coût annuel Ca en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif A.b. Le coût annuel Cb en euros pour un utilisateur ayant choisi le tarif B.
4. Sachant que Caroline est adhĂ©rente au club et quâelle a dĂ©pensĂ© au total 242e , combien de jours a-t-elle skiĂ© ?
5. Sur une feuille de papier millimétré, dans un repÚre orthogonal, prendre :- en abscisse : 1 cm pour 1 jour de ski ;- en ordonnée : 1 cm pour 10e .
On placera lâorigine du repĂšre en bas Ă gauche de la feuille, lâaxe des abscisses Ă©tant tracĂ© sur le petit cĂŽtĂ© de la feuille.
Tracer dans ce repÚre les reprÚsentations graphiques des fonctions affines f et g définies par :f (x) = 20x et g(x) = 14x + 60
6. Dans cette partie, on répondra aux différentes questions en utilisant le graphique (faire apparaßtre sur le graphique lestraits nécessaires)
a. Fabrice doit venir skier douze journées pendant la saison 2010-2011.Quel est pour lui le tarif le plus intéressant à Quel est le prix correspondant ?
b. En Ă©tudiant les tarifs de la saison, Pascale constate que, pour son sĂ©jour, les tarifs A et B sont Ă©gaux.Combien de journĂ©es de ski prĂ©voit-elle de faire Ă Quel est le prix correspondant Ă
13 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Calcul sur les fractions ;⹠PGCD ;⹠écriture scientifique ;⹠Racine carrée ;
⹠Identités remarquables ;
âą Pourcentage ;
âą Fonctions affines ;
Exercice
1.
A =53Ă 12
7â 2
3Ă· 5
9=
5 Ă 123 Ă 7
â 23Ă 9
5=
207
â 65=
10035
â 4235
=5835
Calculons le PGCD de 2776 et 1735 par lâalgorithme dâEuclide :
2776 = 1735 Ă 1 + 1041
1735 = 1041 Ă 1 + 694
1041 = 694 Ă 1 + 347
694 = 347 Ă 2 + 0
Donc PGCD(2776; 1735) = 34727761735
=347 Ă 8347 Ă 5
=85
Comme85=
5635
on a bien A > B
2.
C =1 200 000 Ă 10â11
0, 024 Ă (103)â4 =1, 2 Ă 106 Ă 10â11
2, 4 Ă 10â2 Ă 10â12 =1, 2 Ă 10â5
2, 4 Ă 10â12 = 2 Ă 107
3.D = 5
â20 â 7
â125 + 3
â80 â
â5 = 5
â4 Ă 5 â 7
â5 Ă 25 + 3
â5 Ă 16 â
â5
D = 5 Ă 2â
5 â 7 Ă 5â
5 + 3 Ă 4â
5 ââ
5 = 10â
5 â 35â
5 + 12â
5 ââ
5 = â14â
5
E =(
2â
3 â 3â
2)2
= 4 Ă 3 â 2 Ă 2â
3 Ă 3â
2 + 9 Ă 2 = 12 â 12â
6 + 18 = 30 â 12â
64.Ă la calculatrice on trouve : F â 0, 82 Ă 0, 01 prĂšs
ProblĂšme
1.
Calculons le montant de la réduction : 20 e à 30100
= 6. Elle aura 6 e de réduction,
elle devra donc payer 14 e par journ ?e de ski.
2.
Nombre de jours de ski pour la saison 2010-2011 5 8 11Coût avec le Tarif A (en euros) 100 160 220Coût avec le Tarif B (en euros) 130 172 214
3.a. Ca = 20x ; 3.b. Cb = 14x + 604. 242 e â60 e = 182 e . Caroline a donc versĂ© 182 e en plus de sa cotisation.
182 e ÷14 e = 13. Caroline a donc skié 13 jours
6.a. Fabrice doit venir skier douze journées pendant la saison 2012-2013.
Le tarif B est le plus intĂ©ressant , Le prix correspondant est 60 e +14 e Ă12 = 228 e
6.b. En étudiant les tarifs de la saison, Pascale constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sontégaux.
Elle prévoit de skier 10 jours , Le prix payé est 200 e
5. (Sur papier millimétré)
Prix du séjour en euros
Durée du séjour en jours1
10
10
200
12
240
228
60
12 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1
Quatre affirmations sont données ci-dessous. Pour chacune,indiquer si elle est vraie ou fausse en argumentant laréponse.
Affirmation 1 :18
est un nombre décimal.
Affirmation 2 : 72 a exactement cinq diviseurs.
Pierre de Fermat1601-1665
Toulouse - France
Affirmation 3 : Si n est entier, (n â 1)(n + 1) + 1 est toujours Ă©gal au carrĂ© dâun entier.
Affirmation 4 : Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux.
Exercice 2
Construire un carrĂ© dont lâaire est Ă©gale Ă la somme des airesdes deux carrĂ©s reprĂšsentĂ©s ci-contre. Vous laisserez appa-rentes toutes vos recherches.
Exercice 3
Un propriétaire souhaite aménager le grenier de sa ferme. Voici le croquis de son grenier.
Ce propriĂ©taire mesurant 1, 75 m souhaite savoir sâil peut rester debout sans se cogner la tĂȘte sur une des poutres reprĂšsentĂ©epar le segment [KM]. I est le milieu du segment [BC].
1. Calculer la longueur du segment [AI]. On donnera une valeur approchée par défaut au centimÚtre prÚs.
2. Calculer la longueur du segment [AJ]. On donnera une valeur approchée par excÚs au centimÚtre prÚs.
3. Le propriĂ©taire peut-il se tenir debout sans se cogner la tĂȘte ?
Exercice 4
Dans la figure ci-aprĂšs, le triangle ABC un triangle isocĂšleen A tel que AB = 5 cm et ABC = 75Ëet le triangle ACE estĂ©quilatĂ©ral.
La figure ci-dessous nâest pas en vraie grandeur.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2.a. Calculer la mesure de lâangle BAC.
2.b. Quelle est la nature du triangle ABE ?
3. Calculer la longueur exacte du segment [BE]. Donner lavaleur arrondie au millimĂštre prĂšs.
12 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Connaissance des nombres ;⹠Arithmétique ;⹠Identités remarquables ;⹠ThéorÚme de Pythagore ;
⹠ThéorÚme de Thales ;⹠Trigonométrie ;
Exercice 1
Affirmation 118
= 0, 125 Cette fraction peut sâĂ©crire de maniĂšre exacte en utilisant les chiffres,
Lâaffirmation 1 est vraie,18
est un nombre décimal
Affirmation 2Les diviseurs de 72 sont : 1, 2, 3, 6, 8, 9 ,12, 24, 36, 72. 72 possĂšde 10 diviseurs, lâaffirmation 2 est fausse
Affirmation 3(n â 1)(n + 1) + 1 = n2 â 1 + 1 = n2 n2 est un carrĂ© dâun entier donc lâaffirmation 3 est vraie.Affirmation 49 et 15 ne sont pas premiers entre eux car ils ont 3 comme diviseur commun.
Lâaffirmation 4 est donc fausse.
Exercice 2
Le petit carrĂ© a une aire de 4 cm2, donc son cĂŽtĂ©mesure 2 cm. Le grand carrĂ© Ă donc un cĂŽtĂ© quimesure 4 cm et une aire de 16 cm2. Il faut doncconstruire un carrĂ© dont lâaire mesure 0 cm2. Or20 nâest pas un carrĂ© parfait.
Dans un triangle rectangle dont les cĂŽtĂ©s delâangle droit mesurent respectivement 4 cm et2 cm, dâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore, lâhypo-tĂ©nuse sâobtient :
42 + 22 = 16+ 4 = 20 donc le carrĂ© construit surlâhypotĂ©nuse Ă une aire de 20 cm2
Voici une construction possible :
Exercice 3
1. Dans le triangle ABI rectangle en I on a :
tan48Ë=AIBI
donc tan48Ë=AI
3, 6 mAI = 3, 6 mtan48Ëâ 4 m Ă 1 cm prĂšs.
2. Les droites (KJ) et (BJ) sont perpendiculaires Ă la droite (AI).
Si deux droites sont perpendiculaires Ă une mĂȘme droite alors elles sont parallĂšles entre elles.
Ainsi (KJ)//(BI)
Par symĂ©trie axiale dâaxe (AI), comme I est le milieu de [BC] on en dĂ©duit que J est le milieu de[KM], donc KJ = 1 m
Dans le triangle ABI, les droites (KJ) et (BI) sont parallÚles et les points A, K et B ainsi que A, J etI sont alignés.
DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs on a :
AKAB
=AJAI
=KJBI
AJAI
=1
3, 6
Donc AJ =AI3, 6
â 43, 6
â 1, 11 m
Calculons le montant de la réduction : 20 e à 30100
= 6. Elle aura 6 e de réduction,
elle devra donc payer 14 e par journée de ski.
2.
Nombre de jours de ski pour la saison 2010-2011 5 8 11Coût avec le Tarif A (en euros) 100 160 220Coût avec le Tarif B (en euros) 130 172 214
3.a. Ca = 20x ; 3.b. Cb = 14x + 60
4. 242 e â60 e = 182 e . Caroline a donc versĂ© 182 e en plus de sa cotisation.
182 e ÷14 e = 13. Caroline a donc skié 13 jours
6.a. Fabrice doit venir skier douze journées pendant la saison 2012-2013.
Le tarif B est le plus intĂšressant , Le prix correspondant est 60 e +14 e Ă12 = 228 e
6.b. En étudiant les tarifs de la saison, Pascale constate que, pour son séjour, les tarifs A et B sontégaux.
Elle prévoit de skier 10 jours , Le prix payé est 200 e
5. (Sur papier millimétré)
11 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1
On note g(x) = (5x â 3)2 â (4x + 5)2
1. Développer et réduire g(x)
2. Factoriser g(x)
3. Calculer g(0), g(â2) et g(23)
4. RĂ©soudree (x â 8)(9x + 2) = 0
Andrew Wiles1953-
Cambridge - Angleterre
EXERCICE 2
Le dessin donnĂ© ci-contre nâest pas en vraie grandeur. Il re-prĂšsente une figure gĂ©omĂ©trique pour laquelle on sait que :ABC est un triangle rectangle en BE est sur le segment [AB] et D sur le segment [AC]AE = 2, 4 cm, AB = 3 cm, AC = 8 cm et AD = 6, 4 cm1. Construire la figure en vraie grandeur.2. Calculer la mesure de lâangle BAC Ă un degrĂ© prĂšs.3. DĂ©montrer que AED est un triangle rectangle.
EXERCICE 3
La note de restaurant suivante est partiellement effacée.
Retrouver les éléments manquants en justifiant vos calculs.
Toutes les traces de recherche doivent apparaĂȘtre sur votrecopie
4 menus Ă 16, 50 e lâunitĂ© ..........1 bouteille dâeau minĂ©rale ..........3 cafĂ©s Ă 1, 20 e lâunitĂ© ..........Sous-total ..........Service 5, 5% du total 4, 18eTotal ..........
PROBLĂME
Une école décide de tester un logiciel pour gérer sa bibliothéque. Elle télécharge ce logiciel sur Internet.
1. Le fichier a une taille de 3, 5 Mo (mĂ©gaoctets) et le tĂ©lĂ©chargement sâeffectue en 7 secondes.Quel est le dĂ©bit de la connexion internet Ă On donnera le rĂ©sultat en Mo/s.
2. AprĂšs une pĂ©riode dâessai de 1 mois, lâĂ©cole dĂ©cide dâacheter le logiciel.Il y a trois tarifs :âą Tarif A : 19 eâą Tarif B : 10 centimes dâeuro par Ă©lĂšveâą Tarif C : 8e dâabonnement puis 5 centimes dâeuro par Ă©lĂšve
Recopier et compléter le tableau suivant :
Nombre dâĂ©lĂšves 100 200 300 400 500Tarif ATarif BTarif C
3. a x reprĂšsente le nombre dâĂ©lĂšves, on note f , g et h les fonctions qui au nombre dâĂ©lĂšves associe le prix Ă payer. Donnerlâexpression de chacune des fonction f , g et h.3.b. Quelle est la nature de chacune de ces fonctions ?
4. ReprÚsenter dans un répére convenablement choisi la représentation graphique des fonctions f , g et h.
5. Par lecture graphique, Ă partir de combien dâĂ©lĂšves le tarif A est-il plus intĂ©ressant que le tarif C ?
Dans lâĂ©cole, il y a 209 Ă©lĂšves.6. Quel est le tarif le plus intĂ©ressant pour lâĂ©cole ?
11 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą DĂ©velopper une identitĂ© remarquable ;âą Factorisation en a2 â b2
âą Image par une fonction ;âą Ă©quation produit ;âą Pourcentages ;
⹠Trigonométrie ;⹠Réciproque du théorÚme de ThalÚs ;⹠Propriété des parallÚles⹠Grandeurs composées ;⹠Fonctions affines.
Exercice 1
1. g(x) = (5x â 3)2 â (4x + 5)2 = (25x2 â 30x + 9)â (16x2 + 40x + 25)
g(x) = 9x2 â 70x â 16
2. g(x) = (5x â 3)2 â (4x + 5)2 = [(5x â 3) + (4x + 5)] [(5x â 3)â (4x + 5)]
g(x) = (5x â 3 + 4x + 5)(5x â 3 â 4x â 5) = (9x + 2)(x â 8)
3. g(0) = â16
g(â2) = 9 Ă (â2)2 â 70 Ă (â2)â 16 = 9 Ă 4 + 140 â 16 = 160
g(
23
)
=
(
9 Ă 23+ 2
)(
23â 8
)
= (6 + 2)(
23â 24
3
)
= 8 Ă â223
=â176
3
4. (x â 8)(9x + 2) = 0Si un produit de facteurs est nul alors un au moins des facteurs est nul.
x â 8 = 0
x = 8
9x + 2 = 0
9x = â2
x = â29
Exercice 2
1. La figure est sans difficulté !
2. Dans le triangle BAC rectangle en B
cosBAC =ABAC
=38
A la calculatrice on obtient BAC â 68ËĂ 1ËprĂšs.
3. ComparonsAEAB
etADAC
AEAB
=2, 43
= 0, 8
ADAC
=6, 48
= 0, 8
Dans le triangle ABC, les points A, E et B sont alignĂ©s et dans le mĂȘme ordre que les points alignĂ©sA, D et C.
CommeAEAB
=ADAC
dâaprĂšs la rĂ©ciproque du thĂ©orĂšme de ThalĂšs, les droites (EB) et (BC) sont
parallĂšles.
Comme (BC) est perpendiculaire Ă (AB) et que (BC) est parallĂšles Ă (EC), on sait que si deuxdroites sont parallĂšless alors toute perpendiculaire Ă lâune est perpendiculaire Ă lâautre, ainsi(ED) est perpendiculaire Ă (AE).
Le triangle AED est donc rectangle en E
Exercice 3
4 Ă 16, 50e = 66e3 Ă 1, 20e = 3, 60e
4, 18e reprĂšsente 5, 5% du sous-total. Le sous-total est donc :4, 18 Ă 100
5, 5= 76e
La bouteille dâeau minĂ©rale coĂ»te donc : 76e â66e â3, 60e = 6, 40eLe total avec le service est donc 76e +4, 18e = 80, 18e
ProblĂšme
1.3, 5 Mo
7 s= 0, 5 Mo/s
2.
Nombre dâĂ©lĂšves 100 200 300 400 500Tarif A 19 19 19 19 19+Tarif B 10 20 30 40 50Tarif C 13 18 23 28 33
3.a f (x) = 19, g(x) = 0, 10x et h(x) = 0, 05x + 83.b f est constante donc affine. g est linĂ©aire donc affine, h est affine.4. f est une fonction affine constante reprĂšsentĂ©e par une droite parallĂšles Ă lâaxe des abscisses etpassant par le point (0; 19)g est une fonction linĂ©aire reprĂšsentĂ©e par une droite passant par (0; 0). Comme g(300) = 30, cettedroite passe aussi par (300; 30)h est une fonction affine reprĂšsentĂ©e par une droite. Comme h(0) = 8 et que h(300) = 23 cettedroite passe par (0; 8) et (300; 23)
Prix en euros
Nombre dâĂ©lĂšvess100
5
Tarif A
Tarif B
Tarif C
220
19
209
5. à partir de 220 élÚves le tarif A est plus interessant que la tarif COn peut aussi résoudree :
8 + 0, 05x = 19
0, 05x = 11
x =11
0, 05= 220
6. f (209) = 19, g(209) = 20, 90 et h(209) = 18, 45Le tarif C est plus intéressant comme on le voit aussi sur le graphique.
10 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1
1. Ăcrire la fraction84
126sous forme irréductible.
2. Donner lâĂ©criture scientifique de6 Ă 1012 Ă 35 Ă 104
14 Ă 103 .
3. Ăcrire lâexpressionâ
20 + 5â
125 + 2â
45 sous la formeaâ
5 oĂč a est un nombre.
Pythagore580 av JC - 495 av JC
Samos - GrĂšce
4. Voici les tarifs pratiquĂ©s dans deux magasins :- Magasin A : 17, 30e : la cartouche dâencre, livraison gratuite.- Magasin B : 14, 80e : la cartouche dâencre, frais de livraison de 15e quel que soit le nombre de cartouches achetĂ©es.Ăcrire et rĂ©soudree lâĂ©quation permettant de dĂ©terminer le nombre de cartouches dâencre pour lequel les deux tarifs sontidentiques.
5. On rappelle que (a â b)2 = a2 â 2ab + b2. En dĂ©duire la forme dĂ©veloppĂ©e de lâexpression (2x â 3)2.
6. Donner la valeur dĂ©cimale arrondie au dixiĂšme du nombreâ
5 + 36â
11
7. On rappelle que a2 â b2 = (a â b)(a + b). En dĂ©duire la forme factorisĂ©e de lâexpression (7x + 2)2 â 25.
PROBLĂME
La figure ci-contre nâest pas en vraie grandeur. LâunitĂ© delongueur est le centimĂštre.Dans le triangle ABC, on inscrit un rectangle EFGH oĂč H estsur [AB], G sur [AC], E et F sur [BC].Dans le triangle ABC, L est sur [BC] et (AL) est la hauteurissue de A. (AL) coupe [GH] en K.On donne BC = 14 cm, AL = 6 cm et AK = x cm oĂč xdĂ©signe un nombre positif
Partie 1Dans cette partie, on se place dans le cas particulier ouBL = 4, 8 cm et x = 1 cm.
1. Construire la figure en vraie grandeur.
2. Calculer lâaire en cm2 du triangle BLA.
3. On souhaite justifier que les droites (HG) et (BC) sont parallĂšles. Parmi les propriĂ©tĂ©s suivantes, choisir et recopier survotre feuille celle(s) qui permette(nt) cette justification.a. Si un quadrilatĂ©re est un rectangle alors ses cĂŽtĂ©s opposĂ©s sont parallĂšles deux Ă deux.b. Si une droite passe par les milieux de deux cĂŽtĂ©s dâun triangle alors elle est parallĂšles au troisiĂšme cĂŽtĂ©.c. Si deux droites sont parallĂšles Ă une mĂȘme troisiĂšme droite alors elles sont parallĂšless entre elles.d. La rĂ©ciproque du thĂ©orĂšme de ThalĂšs.
4. Calculer la longueur HK.
Partie 2 : Dans cette partie, on se place dans le cas gĂ©nĂ©ral oĂč BL et x ne sont pas connus.
1. Exprimer la longueur KL en fonction de x.
2. On dĂ©place le point K sur le segment [AL]. Lâutilisation dâun tableur a permis dâobtenir les longueurs KL et HG pourdiffĂ©rentes valeurs de x.
Sans aucune justification, rĂ©pondre aux questions suivantes :a. Quelles sont les longueurs KL et HG pour x Ă©gal Ă 4, 5cm ?b. Pour quelle valeur de x a-t-on lâĂ©galitĂ© KL = HG ?Dans ce cas, que peut-on dire du quadrilatĂ©re EFGH ?
x 0, 6 1, 5 1, 8 2, 1 4, 2 4, 5 5, 1KL 5, 4 4, 5 4, 2 3, 9 1, 8 1, 5 0, 9HG 1, 4 3, 5 4, 2 4, 9 9, 8 10, 5 11, 9
10 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Calcul sur les fractions ;⹠PGCD ;⹠écriture scientifique ;⹠Racine carrée ;
⹠Identités remarquables ;⹠ThéorÚme de ThalÚs ;
Exercice 1
1. Calculons le PGCD de 84 et 126 par lâalgorithme dâEuclide.
126 = 84 Ă 1 + 42
84 = 2 Ă 42 + 0
Donc le PGCD(84; 126) = 42, ainsi84126
=2 Ă 423 Ă 42
=23
2.6 Ă 1012 Ă 35 Ă 104
14 Ă 103 =210 Ă 1016
14 Ă 103 = 15 Ă 1013 = 1, 5 Ă 101 Ă 1013 = 1, 5 Ă 1014
3.â
20 + 5â
125 + 2â
45 =â
4 Ă 5 + 5â
25 Ă 5 + 2â
9 Ă 5
= 2â
5 + 5 Ă 4â
5 + 2 Ă 3â
5 = 2â
5 + 20â
5 + 6â
5 = 28â
5
4. Posons x le nombre de cartouches dâencre pour lesquels les deux tarifs sont identiques, on a :
17, 30x = 15 + 14, 80x
17, 30x â 14, 80x = 15
2, 50x = 15
x =15
2, 50x = 8
5. (2x â 3)2 = 4x2 â 12x + 9
6.â
5 + 6â
11 â 121, 6
7. (7x â 2)2 â 25 = [(7x â 2) + 5] [(7x â 2)â 5] = (7x â 2 + 5)(7x â 2 â 5) = (7x + 3)(7x â 7)
ProblĂšme
Partie 1
1. A vous de la faire !
2. Aire(BLA) =BL Ă LA
2=
4, 8 cm Ă 6 cm2
= 14, 4 cm2
3.a Si un quadrilatére est un rectangle alors ses cÎtés opposés sont parallÚles deux à deux.
4. Dans le triangle ALB. (HK) est parallĂšles Ă (BL).H â [AB] et K â [AL]DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs on a :
AHAB
=AKAL
=HKBL
1 cm6 cm
=HK
4, 8 cm
Donc HK =4, 8 cm Ă 1 cm
6 cm= 0, 8 cm
Partie 2
1. KL = AL â x = 6 â x
2.a Pour x = 4, 5 cm, KL = 1, 5 cm et HG = 10, 5 cm
2.b Pour x = 1, 8 cm on a KL = HG = 4, 2 cmDans ce cas EFGH est un carré.
9 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).Pour chaque ligne du tableau, trois réponses sontproposées, mais une seule est exacte. Indiquer sur votrecopie le numéro de la question et, sans justifier, recopier laréponse exacte.
Lâexpression dĂ©veloppĂ©e 49x2 + 25 49x2 â 70x + 25 49x2 â 25de (7x â 5)2 est
Lâimage de â5 par la fonction â13 â17 17f (x) = â3x + 2 est :
LâĂ©criture scientifique de 0, 000 000 000 0057 57 Ă 10â11 5, 7 Ă 10â10
0, 000 57 Ă 10â6 est :
Le nombre57+
17Ă 4
3est Ă©gal Ă :
2421
1921
87
Un antĂ©cĂ©dent de 7 par â31 323
la fonction f (x) = 11 â 6x est :
François ViÚte1540 - 1603
France
PROBLĂME
ThalĂšs de Millet (624 - 547 av JC) se rendit cĂ©lĂ©bre en don-nant la hauteur de la plus grande pyramide dâEgypte. Nousallons utiliser son thĂ©orĂšme pour calculer la hauteur de cettepyramide reprĂšsentĂ©e ci-contre.KEOP est un carrĂ© de centre H et de cĂŽtĂ© 230 m.[SH] est la hauteur de cette pyramide
1. Soit I le milieu de [OE]. Calculer HI.2. On se place Ă lâextĂ©rieur de la pyramide et on plante verti-calement un bĂąton reprĂšsentĂ© par le segment [AB] de 2 m defaçon Ă ce que les points M, B, S et M, A, H soient alignĂ©s.On sait que MA = 2, 4 m et MH = 165 m
a. Justifier que (HS) et (AB) sont parallÚles.b. En déduire que la hauteur SH de la pyramide mesure 137, 5 m.
3. Calculer le volume de cette pyramide. Arrondir le résultat au m3.
4. La pyramide du Louvre, de lâartiste sino-amĂ©ricain Leo Ming Pei, a Ă©tĂ© inaugurĂ©e le 1er avril 1989 par François Mitterrand.InstallĂ©e dans la cour NapolĂ©on du palais du Louvre, cette pyramide est une rĂ©plique de la pyramide de KhĂ©ops. Sa hauteurest 21, 64 m.Calculer le volume de la pyramide du musĂ©e du Louvre et dire « combien de pyramides du Louvre tiendraient Ă lâintĂ©rieurde la pyramide de KhĂ©ops. »
9 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Identités remarquables ;⹠Fonctions ;⹠écriture scientifique ;⹠Fractions ;
⹠ThéorÚme de ThalÚs ;
âą Pyramide ;
⹠Agrandissement réduction.
Exercice
1. (7x â 5)2 = 9x2 â 70x + 25
2. f (â5) = â3 Ă (â5) + 2 = 15 + 2 = 17
3. 0, 000 57 Ă 10â6 = 5, 7 Ă 10â4 Ă 10â6 = 5, 7 Ă 10â10
4.57+
17Ă 4
3=
57+
421
=1521
+421
=1921
5. f (7) = 11 â 6 Ă 7 = 11 â 42 = â31
ProblĂšme
1. Sur la face (POEK), dans le triangle PEO, I est le milieu de [OE] et H est le milieu de [PE] car Hest le centre du carré POEK
On sait que si dans un triangle une droite passe par le milieu de deux cÎtés alors cette droites estparallÚles au troisiÚme cÎté et la distance entre les deux milieux est la moitié de la longueur dutroisiÚme cÎté. ( ThéorÚme de la droite des milieux )
Donc HI =PO2
=230 m
2= 115 m
2.a (HS) et (AB) sont supposĂ©es verticales, ces deux droites sont donc perpendiculaires au sol,câest Ă dire Ă (HM)
On sait que si deux droites sont perpendiculaires Ă une mĂȘme droite alors elles sont parallĂšlesentre elles.
Donc (HS)//(AB)
2.b Dans le triangle SHM. B â [SM] et A â [MH].Les droites (HS) et (AB) sont parallĂšles.DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de ThalĂšs on a :
MAMH
=MBMS
=ABSH
2, 4 m165 m
=2 mSH
Ainsi SH =2 m Ă 165 m
2, 4 m= 137, 5 m
3. Le volume de la pyramide est : VKheops =13Ă (230 m)2 Ă 137, 5 â 2 424 583 m3 Ă 1 m3 prĂšs
4. La pyramide du Louvre est une réduction de la pyramide de Khéops. La pyramide du Louvre aune hauteur de 21, 64 m et celle de Khéops de 137, 5 m
Le coefficient de réduction est donc21, 64 m137, 5 m
â 0, 16
On sait que si les longueurs dâun solide sont multipliĂ©es par k alors son volume est multipliĂ©par k3
Donc VLouvre = 0, 163 Ă VKheops â 9931 m3
Pour déterminer combien de pyramide du Louvre tiendraient dans la pyramide de Khéops il suffit
de calculerVKheops
VLouvre=
10, 163 â 244
8 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1 Centres Ătrangers - Juin 2012
1. Calculer14+
23Ă 3
4
2. Au goûter, Lise mange14
du paquet de gĂąteaux quâelle
vient dâouvrir.De retour du collĂšge, sa soeur Agathe mange les
23
des
gùteaux restants dans le paquet entamé par Lise.Il reste alors 5 gùteaux.Quel était le nombre initial de gùteaux dans le paquet ?
ThalĂšs de Milet625 av JC - 547 av JC
GrĂšce
Si le travail nâest pas terminĂ©, laisser tout de mĂȘme une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.
EXERCICE 2 AmĂ©rique du Nord - Juin 2012On considĂšre un sablier composĂ© de deux cĂŽnes identiques de mĂȘme sommet C et dont le rayon de la base est AK = 1, 5 cm.Pour le protĂ©ger, il est enfermĂ© dans un cylindre de hauteur 6 cm et de mĂȘme base que les deux cĂŽnes.
1. On note V le volume du cylindre et V1 le volume du sa-blier.
Tous les volumes seront exprimés en cm3.
a. Montrer que la valeur exacte du volume V du cylindre est13, 5Ï.
b. Montrer que la valeur exacte de V1 est 4, 5Ï.
c. Quelle fraction du volume du cylindre, le volume du sa-blier occupe-t-il ?
(On donnera le rĂ©sultat sous la forme dâune fraction irrĂ©duc-tible)
2. On a mis 27 cm3 de sable dans le sablier.
Sachant que le sable va sâĂ©couler dâun cĂŽne Ă lâautre avec undĂ©bit de 540 cm3/h, quel temps sera mesurĂ© par ce sablier ?
EXERCICE 3 Nouvelle Calédonie - Décembre 2012
Un concours de pĂȘche est organisĂ© avec 8 bateaux participants. Les organisateurs souhaitent former au hasard 4 Ă©quipes de2 bateaux. Pour cela, un tirage au sort est organisĂ©.Dans une urne se trouvent 8 fanions indiscernables au toucher : 2 rouges, 2 oranges, 2 violets et 2 verts.Les bateaux ayant un fanion de mĂȘme couleur seront dans la mĂȘme Ă©quipe.
1. Quelle est la probabilité de sortir un fanion rouge au premier tirage ?
2. Aux deux premiers tirages, un fanion vert et un fanion orange ont Ă©tĂ© sortis.a. Quels fanions se trouvent encore dans lâurne avant le troisiĂšme tirage ?b. Combien y a-t-il de fanions dans lâurne avant le troisiĂšme tirage ?c. Calculer la probabilitĂ© de lâĂ©vĂ©nement A : « un fanion dâune autre couleur que le vert ou le orange est tirĂ© ».
EXERCICE 4
On cherche Ă rĂ©soudree lâĂ©quation (4x â 3)2 â 9 = 0
1. Le nombre34
est-il solution de cette Ă©quation Ă
2. Le nombre 0 est-il solution de cette Ă©quation ?
3. Montrer que (4x â 3)2 â 9 = 4x(4x â 6)
4. En dĂ©duire les solutions de lâĂ©quation (4x â 3)2 â 9 = 0
8 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą Calcul sur les fractions ;âą Cylindre ;âą CĂŽne ;âą Volume ;
⹠Grandeurs composées ;⹠Probabilités ;⹠Identités remarquables ;⹠Equation produit.
Exercice 1
1.14+
23Ă 3
4=
14+
2 Ă 33 Ă 4
=14+
24=
34
2. Au goûter, Lise mange14
du paquet, donc il reste34
du paquet.
Sa soeur mange les23
restants. Il a donc été mangé :14+
23Ă 3
4. Câest Ă dire
34
du paquet. Il reste
donc14
qui correspond Ă 5 gateaux.
Il y avait donc 20 gateaux dans le paquets.
Lise en a mangé 5, il en restait 15. Sa soeur en a mangé 10.
Exercice 2
1.a La volume du cylindre est donné par la formule : (aire de la base)à hauteur
V = Ï Ă (1, 5 cm)2 Ă 6 cm = 13, 5Ï cm3
1.b Le volume du cÎne est donné par la formule :(aire de la base)à hauteur
3
V1 = 2 Ă Ï Ă (1, 5 cm)2 Ă 3 cm3
= 2 Ă 2, 25Ï cm3 = 4, 5Ï cm3
1.c Le sablier occupe4, 5Ï cm3
13, 5Ï cm3 =13
du cylindre.
2. Le sable sâĂ©coule au dĂ©bit de 540 cm3hâ1, câest Ă dire 540 cm3 en 60 min
27 cm3 vont sâĂ©couler en27 cm3 Ă 60 min
540 cm3 = 3 min
( Proportionnalité du volume écoulé et du temps )
Ou encore 540 cm3 = 20 Ă 27 cm3 et comme 60 min = 20 Ă 3 min...
Exercice 3
On est dans une situation dâĂ©quiprobabilitĂ© car les fanions sont indiscernables au toucher.
1. Il y a 2 fanions rouges et 8 fanions en tout.
La probabilité de sortir un fanion rouge au premier tirage est donc28=
14= 0, 25
2.a Il reste 2 fanions rouges, 2 fanions violets, 1 vert et 1 orange.
2.b Il y 6 fanions dans lâurne.
2.c La probabilitĂ© de lâĂ©vĂ©nement un fanion dâune autre couleur que le vert ou le orange est tirĂ© est46=
23â 0, 33 ?
Exercice 4
1.(
4 Ă 34â 3
)2â 9 = (3 â 3)2 â 9 = â9
34
nâest pas une solution de lâĂ©quation.
2. (4 Ă 0 â 3)2 â 9 = (â3)2 â 9 = 9 â 9 = 00 est une solution de lâĂ©quation.
3. (4x â 3)2 â 9 = [(4x â 3) + 3] [(4x â 3)â 3] = 4x(4x â 6)
4. (4x â 3)2 â 9 = 0 est Ă©quivalente Ă 4x(4x â 6) = 0On sait que si un produit de facteurs est nul alors un des facteurs est nul.
4x = 0
x = 0
4x â 6 = 0
4x = 6
x =64
x = 1, 5
Il y a deux solutions : 1, 5 et 0.
7 SEMAINES AVANT LE BREVET
EXERCICE Polynésie - Juin 2012
Pour chaque ligne du tableau suivant indiquer quelleréponse est vraie en justifiant votre réponse :
Lâinverse de 1 est â1 1 2
2 + 34 Ă 7
(2 + 3)Ă· (4 Ă 7) 2 + 3 Ă· (4 Ă 7) (2 + 3)Ă· 4 Ă 7
2 +23Ă 1
4est Ă©gal ?
136
412
57
Si x = â4 alors x + 4 + (x + 4)(2x â 5) â4 â1 0est Ă©gal Ă
Al-Khawarizmi783 - 850
Irak
PROBLĂME Asie - Juin 2012
Le parc dâAni-Math-Ion vous acceuille dans une entrĂ©e billetterie : câest un pavĂ© droit Ă base carrĂ©e surmontĂ© dâune coupolesemi-sphĂ©rique, reprĂšsentĂ© ci-contre.Les deux parties de ce problĂšme sont indĂ©pendantes et peuvent ĂȘtre traitĂ©es sĂ©parĂ©ment.
Partie 1
Ouvert depuis quelques annĂ©es, abĂźmĂ© par les intempĂ©ries,ce bĂątiment doit ĂȘtre repeint.
Toutes les surfaces extĂ©rieures sont repeintes, câest-Ă -dire :
- les 4 faces latérales du pavé droit ;
- la partie plane du toit (parties grisées sur la figure) ;
- la coupole semi-sphérique.
1. Sachant que les ouvertures (portes et fenĂȘtres, non reprĂ©-sentĂ©es sur la figure) occupent une surface de 18m2 ,montrerque lâaire totale des surfaces Ă peindre est dâenviron 168 m2.
2. ComplĂ©ter la facture ci-aprĂšs Ă lâaide des informationsfournies ci-dessous :
- Un pot de 10 L de peinture couvre une surface de 40 m2 ;
- Le coĂ»t dâun pot de 10 L de peinture est de 400e ;
- Un ouvrier peint une surface de 42 m2 Ă lâheure.
QuantitĂ© DĂ©signation Prix unitaire Prix total5 Pots dâantirouille 500, 00e 2 500e
Pots de peinture 400, 00eHeures (Main dâoeuvre) 35e
Total Hors TaxeMontant de la T.V.A Ă 19, 6%Total T.T.C ( Toutes Taxes Comprises )
Partie 2Ă lâentrĂ©e du parc dâAni-Math-Ion figurent les informations suivantes :
1.a Est-il intĂ©ressant pour un couple et leur enfant de 8 ansde prendre le forfait famille ?1.b Ă partir de quel nombre dâenfants, un couple a-t-il intĂ©rĂȘtĂ choisir le forfait famille ?
Tarifs HorairesEntrée adulte : 12e Ouvert de 9h à 18hEntrée enfant : 7e DerniÚres entrées à 17h
Forfait famille : 35e Fermé le lundi
2. Au cours dâune journĂ©e, 89 forfaits famille ont Ă©tĂ© vendus pour 510 personnes.2.a DĂ©terminer la recette correspondante.2.b Quel est le prix moyen par personne ?
3. Au cours de cette mĂȘme journĂ©e, 380 personnes nâont pas utilisĂ© le forfait famille pour une recette correspondante de3 660e . DĂ©terminer le nombre dâentrĂ©es adultes et le nombre dâentrĂ©es enfants vendues lors de cette journĂ©e.
7 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Calcul sur les fractions ;⹠Substitution ;⹠SphÚre ;⹠Pavé droit ;
âą Volume ;
âą Pourcentage ;
âą Aire ;
Exercice
1. Lâinverse de 1 est11= 1
2.2 + 34 Ă 7
= (2 + 3)Ă· (4 Ă 7)
3. 2 +23Ă 1
4= 2 +
2 Ă 13 Ă 4
= 2 +16=
126
+16=
136
4.Pour x = â4 on a : â4 + 4 + (â4 + 4)(2 Ă (â4)â 5) = 0 Ă (â8 â 5) = 0
ProblĂšme
Partie 1
1. Notons ALaterale lâaire des 4 faces latĂ©rales, AToit lâaire plane du toit et ACoupole lâaire de la coupolesemi-sphĂ©rique.ALaterale = 4 Ă 3, 5 m Ă 7 m = 98 m2
AToit = (7 m)2 â Ï Ă (3, 5 m)2 = 49 m2 â 12, 25Ï m2 â 10, 54 m2
ACoupole =12Ă 4 Ă Ï Ă (3, 5 m)2 â 76, 93 m2
ATotale â 98 m2 + 10, 54 m2 + 76, 93 m2 â 18 m2 â 167, 47 m2
La surface totale Ă peindre mesure environ 168 m2
2. Il faut un pot de peinture pour 40 m2, 168 m2 Ă· 40 m2 = 4, 2Il faut donc 5 pots de peinture.5 Ă 400e = 2 000e
Un ouvrier peint 42 m2 en 1 h, 168 m2 Ă· 42 = 4Il faut donc 4 h pour peindre le batiment.4 Ă 35e = 140e
2 500 + 2 000 + 140 = 4 640
4 640 Ă 19, 6100
= 909, 44
4 640 + 909, 44 = 5 549, 44DâoĂč la facture suivante :
QuantitĂ© DĂ©signation Prix unitaire Prix total5 Pots dâantirouille 500, 00e 2 500e5 Pots de peinture 400, 00e 2 000e4 Heures (Main dâoeuvre) 35e 140e
Total Hors Taxe 4 640eMontant de la T.V.A Ă 19, 6% 909, 44eTotal T.T.C ( Toutes Taxes Comprises ) 5 549, 44e
Partie 2
1.a Sans prendre le forfait famille, un couple avec un enfant de 8 ans va payer : 2Ă 12e +7e = 24e+7e = 31e .Le forfait famille a 35e nâest donc pas intĂ©ressant dans ce cas.
1.b Le calcul précédent avec 2 enfants donne : 2 à 12e +2 à 7e = 24e +14e = 38eLe forfait famille est rentable à partir de deux enfants.
2.a 89 Ă 35e = 3 165e
2.b Il faut calculer 3 165e Ă·510 â 6, 11e
3. Si on pose x le nombre dâadultes et y le nombre dâenfants on obtient le systĂšme suivant :{
x + y = 380 (1)12x + 7y = 3 660 (2)
LâĂ©quation (1) donne x = 380 â yEn substituant cette expression dans lâĂ©quation (2) on a :
12(380 â y) + 7y = 3 660
4 560 â 12y + 7y = 3 660
4 560 â 3 660 = 12y â 7y
5y = 900
y =9005
y = 180
Donc x = 380 â 180 = 200VĂ©rifions : 200 + 180 = 380.200 Ă 12e = 2 400e et 180 Ă 7e = 1 260e .2 400e +1 260e = 3 660eLors de cette journĂ©e 200 adultes et 180 enfants ont visitĂ©s le parc.
6 SEMAINES AVANT LE BREVET
Exercice 1
Quatre affirmations sont données ci-dessous :Pour chacune des affirmations indiquez si elle est vraie oufausse en argumentant votre réponse.
Affirmation 1 :(â
5 â 1) (â
5 + 1)
est un nombre entier.Affirmation 2 : 4 nâadmet que deux diviseurs.Affirmation 3 : Un cube, une pyramide Ă base carrĂ©e et unpavĂ© droit totalisent 17 faces.Affirmation 4 : Les droites (AB) et (CD) sont parallĂšles.
EXERCICE 2
Le poids dâun corps sur un astre dĂ©pend de la masse et delâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur.On peut montrer que la relation est P = mg.P est le poids ( en Newton ) dâun corps sur un astre, câest Ă dire la force que lâastre exerce sur le corps,m est la masse ( en kg ) de ce corps,g est lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur de cet astre.
CĂ©dric Villani1973 -France
MĂ©daille Fields en 2010
O
2,8 cm2 cm
5 cm3,5 cm
D
A B
C
1. Sur la terre, lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur de la Terre gT est environ 9, 8.Calculer le poids en Newton sur Terre dâun homme ayant une masse de 70 kg.
2. Sur la Lune, la relation P = mg reste valable.On donne le tableau ci-dessous de correspondance entre lepoids et la masse sur la Lune :
2.a Est-ce que le tableau ci-dessus est un tableau de propor-tionnalité ?
2.b Calculer lâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur sur la Lune notĂ©egL
2.c Est-il vrai que lâon pĂšse environ 6 fois moins lourd sur laLune que sur la Terre ?
Masse (kg) 3 10 25 40 55Poids (N) 5,1 17 42,5 68 93,5
Rayons solaires
4,3o
29 km
C
A
D
B
3. Le dessin ci-dessous reprĂšsente un cratĂšre de la Lune. BCDest un triangle rectangle en D
3.a Calculer la profondeur BD du cratĂšre. Arrondir audixiĂšme de km prĂšs.
3.b On considĂšre que la longueur CD reprĂšsente 20% du dia-mĂštre du cratĂšre. Calculer la longueur AB du diamĂȘtre ducratĂšre.
EXERCICE 3LancĂ© le 26 novembre 2011, le Rover Curiosity de la NASA est chargĂ© dâanalyser la planĂ©te Mars, appelĂ©e aussi planĂ©terouge. Il a atterri sur la planĂ©te rouge le 6 aoĂ»t 2012, parcourant ainsi une distance dâenviron 560 millions de km en 255jours.
1. Quelle a Ă©tĂ© la durĂ©e en heures du vol Ă
2. Calculer la vitesse moyenne du Rover en km/h. Arrondir Ă la centaine prĂšs.
3. Pour cette question toute trace de recherche, mĂȘme incomplĂšte, sera prise en compte dans lâĂ©valuation Via le satelliteMars Odyssey, des images prises et envoyĂ©es par le Rover ont Ă©tĂ© retransmises au centre de la NASA. Les premiĂšres imagesont Ă©tĂ© Ă©mises de Mars Ă 7 h 48 min le 6 aoĂ»t 2012. La distance parcourue par le signal a Ă©tĂ© de 248 Ă 106km Ă une vitessemoyenne de 300 000 km/s environ (vitesse de la lumiĂšre).
Ă quelle heure ces premiĂšres images sont-elles parvenues au centre de la NASA Ă (On donnera lâarrondi Ă la minute prĂšs).
6 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą Racines carrĂ©es ;âą ArithmĂ©tique ;âą Ăcriture scientifique ;âą Racine carrĂ©e ;
⹠Identités remarquables ;
âą Pourcentage ;
âą Fonctions affines ;
Exercice 1
Affirmation 1(â
5 â 1) (â
5 + 1)
=(â
5)2
â 12 = 5 â 1 = 4. Donc Vraie.Affirmation 2 Les diviseurs de 4 sont 1, 2 et 4. Donc Faux.Affirmation 3 Un cube a 6 faces, une pyramide Ă base carrĂ©e 5 faces, et un pavĂ© 6 faces. 17 faces.Vraie.
Affirmation 4 ComparonsOBOD
et2
3, 5et
2, 85
Or2
3, 5â 0, 57 et
2, 85
= 0, 56
DâaprĂšs la contraposĂ©e du thĂ©orĂšme de ThalĂšs, les droites ne sont pas parallĂšles.
Exercice 2
1. Le poids dâun homme de 70 Kg est : 70 Ă 9, 8 = 686
2.a5, 13
= 1, 7,1710
= 1, 7,42, 525
= 1, 7,6840
= 1, 7 et93, 555
= 1, 7
Il y a donc un coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la premiÚre ligne à ladeuxiÚme.Ce tableau décrit une situation de proportionnalité.
2.b LâaccĂ©lĂ©ration de la pesanteur est 1, 7.
2.c9, 81, 7
â 5, 8
Il est vrai que lâon pĂšse environ 6 fois moins lourd sur la lune que sur la terre.
3.a Dans le triangle CDB rectangle en D.
tanBCD =BDCD
tan4, 3⊠=BD
29 kmDonc BD = 29 km Ă tan4, 3⊠â 2, 2 km Ă 0, 1 km prĂšs.
3.b Si CD représente 20% du cratÚre, le cratÚre entier mesure 29 km à 5 = 145 km car 20% à 5 =100%
Exercice 3
1. 255 à 24 = 6 120Le voyage a duré 6 120 h
2.560 000 000
6 120â 91 503
La vitesse du Rover est dâenviron 91 500 kmhâ1
3. Pour parcourir 248 Ă 106 km Ă 300 000 kmsâ1 il faut :248 Ă 106
300 000=
248 Ă 106
3 Ă 105 =2483
Ă 101 â 827
Il faut donc 827 s = 13 min 47 s
5 SEMAINES AVANT LE BREVET
EXERCICE 1 Pondichery - Avril 2013
Un professeur de SVT demande aux 29 Ă©lĂšves dâune classede sixiĂšme de faire germer des graines de blĂ© chez eux. Leprofesseur donne un protocole expĂ©rimental Ă suivre :
- mettre en culture sur du coton dans une boite placĂ©e dansune piĂšce Ă©clairĂ©e, de tempĂ©rature entre 20ËC et 25ËC- arroser une fois par jour ;- il est possible de couvrir les graines avec un filmtransparent pour Ă©viter lâĂ©vaporation de lâeau.
Le tableau ci-dessous donne les tailles des plantules (petitesplantes) des 29 Ă©lĂšves Ă 10 jours aprĂšs la mise engermination.
Alan Turing1912 - 1954
Grande-Bretagne
Taille 0 8 12 14 16 17 18 19 20 21 22en cm
Effectif 1 2 2 4 2 2 3 3 4 4 2
1. Combien de plantules ont une taille qui mesure au plus 12 cm ?2. Donner lâĂ©tendue de cette sĂ©rie.3. Calculer la moyenne de cette sĂ©rie. Arrondir au dixiĂšme prĂšs.4. DĂ©terminer la mĂ©diane de cette sĂ©rie et interprĂȘter le rĂ©sultat.5. On considĂ©re quâun Ă©lĂšve a bien respectĂ© le protocole si la taille de la plantule Ă 10 jours est supĂ©rieure ou Ă©gale Ă 14 cm.Quel pourcentage des Ă©lĂšves de la classe a bien respectĂ© le protocole ?6. Le professeur a fait lui-mĂȘme la mĂȘme expĂ©rience en suivant le mĂȘme protocole. Il a relevĂ© la taille obtenue Ă 10 jours degermination. Prouver que, si on ajoute la donnĂ©e du professeur Ă cette sĂ©rie, la mĂ©diane ne changera pas.
PROBLĂME Pondichery - Avril 2013
Une pyramide rĂ©guliĂšre de sommet S a pour base le carrĂ©ABCD telle que son volume V est Ă©gal Ă 108 cm3. Sa hauteur[SH] mesure 9 cm.1. VĂ©rifier que lâaire de ABCD est bien 36 cm2.En dĂ©duire la valeur de AB.Montrer que le pĂ©rimĂštre du triangle ABC est Ă©gal Ă 12 + 6
â2 cm.
2. SMNOP est une rĂ©duction de la pyramide SABCD. Onobtient alors la pyramide MNOPS telle que lâaire du carrĂ©MNOP soit Ă©gale Ă 4 cm2.2.a Calculer le volume de la pyramide SMNOP.2.b Pour cette question toute trace de recherche, mĂȘme in-complĂšte, sera prise en compte dans lâĂ©valuation.Elise pense que pour obtenir le pĂ©rimĂštre du triangle MNO,il suffit de diviser le pĂ©rimĂštre du triangle ABC par 3.Ătes-vous dâaccord avec elle ?
EXERCICE 2
Résoudree les inéquations suivantes et reprÚsenter les solu-tions sur une droite graduée :
7x â 4 6 9x + 4
11 â 5x > â8x + 5
6(3x + 2)â 7(2x â 3) > 3
(2x â 4)(5x + 4) < 10x2 + 1
5 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Statistiques ;⹠PGCD ;⹠écriture scientifique ;⹠Racine carrée ;
⹠Identités remarquables ;
âą Pourcentage ;
âą Fonctions affines ;
Exercice 1
1. Il faut ajouter les effectifs des 3 premiĂšres colonnes du tableau. Il y a 5 plantules qui mesurent auplus 12 cm
2. La valeur maximale du caractĂšre est 22 cm, la valeur minimale est 0 cm. LâĂ©tendue de cette sĂ©riestatistique est : 22 ccm â 0 cm = 22 cm
3. Il faut calculer la moyenne des tailles en cm pondérÚes par les effectifs.
m =0 cm Ă 1 + 8 cm Ă 2 + 12 cm Ă 2 + 14 cm Ă 4 + 16 cm Ă 2 + 17 cm Ă 2 + 18 cm Ă 3 + 19 cm Ă 3 + 20 cm Ă 4 + 21 cm Ă 4 + 22 cm Ă 2
29=
481 cm29
â 16, 6 cm
4. Lâeffectif total est de 29. La mĂ©diane de cette sĂ©rie est donc la 15evaleur.On peut construire le tableau des effectifs cumulĂ©s :
Tailles 0 8 12 14 16 17 18 19 20 21 22en cm
Effectifs 1 2 2 4 2 2 3 3 4 4 2
Effectifs cumulés 1 3 5 9 11 13 16 19 23 27 29
On constate alors que la 15evaleur est 18 cm. La médiane de cette série statistique est 18 cmCela signifie que la moitié des plantules a une taille inférieure ou égale à 18 cm
5. Il y a 4 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 2 = 24 plantules de taille supérieure ou égale à 14 cm2429
â 0, 83. Environ 83% des Ă©lĂšves a bien respectĂ© le protocole.
6. Avec la mesure du professeur, lâeffectif passe Ă 30. La mĂ©diane de la nouvelle sĂ©rie statistique estdonc une valeur comprise entre la 15eet la 16evaleur du caractĂšre.DâaprĂšs le tableau des effectifs cumulĂ©s ci-dessus, avant la mesure du professeur, la 14e, 15eet16evaleurs Ă©taient 18 cm.Si le professeur a une mesure infĂ©rieure Ă 18 cm alors la 15evaleur de la sĂ©rie sera encore 18 cm. Sila mesure est supĂ©rieure ou Ă©gale Ă 18 cm la 15evaleur ne sera pas modifiĂ©e.Quelque soit la valeur mesurĂ©e par le professeur, les 15eset 16esvaleurs restent 18 cm.La mĂ©diane de cette nouvelle sĂ©rie est donc 18 cm.
ProblĂšme
1. Notons a lâaire de la base. On a13Ă a Ă 9 cm = 108 cm3
Donc a = 108 cm3 Ă 3 Ă· 9 cm = 36 cm2
ABCD est un carrĂ© dâaire 36 cm2. Commeâ
36 = 6, AB = 6 cmABC est un triangle rectangle en B.DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore on a :
BA2 + BC2 = AC2
62 + 62 = AC2
Donc AC2 = 72 et AC =â
72 =â
2 Ă 36 = 6â
2Le périmÚtre du triangle ABC est donc 6 cm + 6 cm + 6
â2 cm = 12 + 6
â2 cm
2.a La pyramide MNOPS est une réduction de la pyramide ABCDS. Notons k le coefficient deréduction. On a 36 cm2 à k2 = 4 cm2.
Donc k2 =4 cm2
36 cm2 =19
. Ainsi k =
â
19=
13
Ou encore on pouvait raisonner sur la longueur du cÎté du carré. En effet si son aire est 4 cm2 alors
son cÎté mesure 2 cm. Le coefficient de réduction est donc2 cm6 cm
=13
Si on multiplie les longueurs dâun solide par k alors le volume du solide est multipliĂ© par k3.
Ainsi la pyramide SMNOP Ă un volume de 108 cm3 Ă(
13
)3= 108 cm3 Ă 1
27= 4 cm3
2. Le coefficient de réduction est13
cela signifie que les longueurs du triangle MNO sont trois fois
plus petites que celle du triangle ABC. Elise a donc raison, il suffit de diviser le périmÚtre de ABCpar 3 pour obtenir le périmÚtre de MNO
Exercice 2
7x â 4 6 9x + 4
7x â 9x 6 4 + 4
â2x 6 8
x >8â2
x > â4
-4
11 â 5x > â8x + 5
â5x + 8x > 5 â 11
3x > â6
x >â63
x > â2
-2
6(3x + 2)â 7(2x â 3) > 3
18x + 12 â 14x + 21 > 3
4x + 33 > 3
4x > 3 â 33
x > â30
-30
(2x â 4)(5x + 4) < 10x2 + 1
10x2 + 8x â 20x â 16 < 10x2 + 1
â12x â 16 < 1
â12x < 1 + 16
â12x < 17
x > â1712
â1712
4 SEMAINES AVANT LE BREVET
EXERCICE 1 Amérique du Nord - Juin 2012
Deux classes du collége ont répondu à la question suivante :« Combien de livres avez-vous empruntés durant les 12 derniers mois à »Les deux classes ont communiqué les réponses de deux façons différentes :
Classe no 1 : 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 7 ; 7
Classe no 2 : Effectif total : 25 ; Moyenne : 4 ; Ătendue : 8 ; MĂ©diane : 5
Sophie Germain1776 - 1831
France
1. Comparer les nombres moyens de livres empruntĂ©s dans chaque classe.2. Un « grand lecteur »est un Ă©lĂšve qui a empruntĂ© 5 livres ou plus. Quelle classe a le plus de « grands lecteurs » ?3. Dans quelle classe se trouve lâĂ©lĂšve ayant empruntĂ© le plus de livres ?
EXERCICE 2 Pondichery - Avril 2013
On donne la feuille de calcul ci-contre.La colonne B donne les valeurs de lâexpression 2x2 â 3x â 9 pour quelques valeursde x de la colonne A.1. Si on tape le nombre 6 dans la cellule A17, quelle valeur va-t-on obtenir dans lacellule B17 ?2. Quelle expression a-t-il fallu Ă©crire dans la cellule B1 pour obtenir automatique-ment le rĂ©sultat correspondant Ă la cellule A1 ?3. Ă lâaide du tableur, trouver 2 solutions de lâĂ©quation : 2x2 â 3x â 9 = 04. LâunitĂ© de longueur est le cm.Donner une valeur de x pour laquelle lâaire du rectangle ci-dessous est Ă©gale Ă 5 cm2.Justifier.
EXERCICE 3Jâoffre rĂ©guliĂ©rement des cannelĂ©s et des macarons Ă mes amis.Aujourdâhui jâai achetĂ© 8 cannelĂ©s et 5 macarons et jâai payĂ© 12, 09e .Câest Ă©tonnant ! La semaine derniĂšre jâavais achetĂ© 5 cannelĂ©s et 7 macarons et je mesouviens avoir payĂ© la mĂȘme somme !Expliquez !
EXERCICE 4 Polynésie - Septembre 2012
Un bijoutier achĂšte un lot de 220 perles de Tahiti.Un contrĂŽleur de qualitĂ© sâintĂ©resse Ă leurs formes (ronde oubaroque) et Ă leurs couleurs (grise ou verte).âą 35% des perles sont de couleur verte, et parmi celles-ci 13sont de forme rond ;âą il y a 176 perles de forme baroque.Il note les rĂ©sultats dans la feuille de calcul ci-aprĂšs :
A B C D1 Rondes Baroques Total2 Grises3 Vertes4 Total 220
1. Pour obtenir le nombre de perles vertes à partir des informations données, quelle formule doit-il saisir en D3 ?
2. ComplĂšter le tableau ci-dessus.
3. On choisit au hasard une perle de ce lot.3.a Quelle est la probabilité pour que cette perle soit de forme baroque ?3.b Quelle est la probabilité de tirer une perle baroque verte ?
4 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą Statistiques ;âą Feuille de calculs ;
âą SystĂšme ;
Exercice 1
1. Il faut calculer 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 7 + 7 + 721
=8421
= 4
Le deux sĂ©ries ont la mĂȘme moyenne.
2. Lâeffectif de la premiĂšre sĂ©rie est 21 donc la mĂ©diane de cette sĂ©rie est la 11evaleur.Câest Ă dire 3. Donc la moitiĂ© des Ă©lĂšves de la classe no 1 a lu au moins 3 livres.
La médiane de la seconde série est 5. Donc la moitié des élÚves de la classe no 2 a lu au moins 5livres.Il y a donc plus de grands lecteurs dans la classe no 2.
3. LâĂ©tendue de la seconde sĂ©rie est 8. Or la valeur minimale de la sĂ©rie est au minimum 0. Donc lavaleur maximale et au minimum 8. Or le maximum de la premiĂšre classe est 7.Câest donc dans la classe no 2 que se trouve celui qui a empruntĂ© le plus de livre.
Exercice 2
1. 2 Ă 62 â 3 Ă 6 â 9 = 2 Ă 36 â 18 â 9 = 72 â 27 = 45
2. 2 â A12 â 3 â A1 â 9
3. Dans le tableau on lit : x = â1, 5 et x = 3
4. Lâaire du rectangle est :(2x + 3)(x â 3) = 2x2 â 6x + 3x â 9 = 2x2 â 3x â 9Donc le tableau correspond au problĂšme dâaire.Dans le tableau on constate que x = â2 ou x = 3, 5Or si x = â2, x â 3 = â5, donc la valeur x = â2 ne rĂ©pond pas au problĂšme.Pour x = 3, 5, x â 3 = 0, 5 et 2x + 3 = 103, 5 est la seule solution.
Exercice 3
Posons x le prix dâun cannelĂ©s et y le prix dâun macaronOn obtient le systĂ©me suivant :{
8x + 5y = 12, 09 (1)5x + 7y = 12, 09 (2)
On utilise la mĂ©thode de combinaisons :On multiplie lâĂ©quation (1) par 5 et lâĂ©quation (2) par 8{
40x + 25y = 60, 45 (1)40x + 56y = 96, 72 (2)
On soustrait la deuxiĂšme Ă la premiĂšre et on obtient :
56y â 25y = 96, 72 â 60, 45
31y = 36, 27
y =36, 27
31y = 1, 17
On multiplie maintenant lâĂ©quation (1) par 7 et lâĂ©quation (2) par 5.{
56x + 35y = 84, 63 (1)25x + 35y = 60, 45 (2)
On soustrait la premiĂšre ligne Ă la deuxiĂšme ligne et on obtient :
56x â 25x = 84, 63 â 60, 45
31x = 24, 18
x =24, 18
31x = 0, 78
Donc un cannelé coûte 0, 78e et un macaron 1, 17e .
VĂ©rifions :8 Ă 0, 78 + 5 Ă 1, 17 = 12, 09 et 5 Ă 0, 78 + 7 Ă 1, 17 = 12, 09
Exercice 4
1. Dans la case D3 il faut calculer les 35% de 220.
Cela revient Ă calculer35100
Ă 220 = 77 avec la valeur 220 qui est en D4
La formule Ă placer dans la case D3 est 35 â D4/100
2.
A B C D1 Rondes Baroques Total2 Grises 31 112 1433 Vertes 13 64 774 Total 44 176 220
3.a On suppose que les perles sont indiscernables. Nous sommes dans une situation dâĂ©quiproba-bilitĂ©.Il y a 176 perles baroques dans le lot.
La probabilité de choisir une perle baroque est donc176220
= 0, 8
3.b Il y a 64 perles baroques vertes dans le lot.
La probabilité de choisir une perle baroque verte est donc64220
â 0, 3
3 SEMAINES AVANT LE BREVET
EXERCICE 1 France MĂ©tropolitaine - Septembre 2011
Dans une salle de cinéma les enfants paient demi-tarif et les adultes paient plein tarif. Deuxadultes et cinq enfants ont payé au total 31, 50e1. Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants ?2. Quel est le prix payé par un adulte ?
Ăvariste Galois1811 - 1832
France
EXERCICE 2 Asie - Juin 2009
Un train est constituĂ©, Ă lâaller, de deux locomotive identiques et de dix wagons-citernes du mĂȘme modĂšle.Ce train mesure 152 m.AprĂšs avoir vidĂ© le contenu de tous les wagons-citernes, on dĂ©croche une locomotive et on ajoute deux wagons-citernesvides. AprĂšs ces changements, le train ainsi constituĂ© mesure 160 m de long.Calculer la longueur en mĂštre dâune locomotive et celle dâun wagon-citerne.
PROBLĂME Pondichery - Avril 2012
RĂ©my dispose de 96 m de grillage avec lesquels il souhaite construire un enclos pour son poney. Il cherche quelle formedonner Ă son enclos pour que celui-ci ait la plus grande surface possible.Partie 1Sa premiĂšre idĂ©e est de rĂ©aliser un rectangle avec les 96 m de grillage.Calculer la longueur et la largeur de ce rectangle sachant que la longueur est le double de la largeur.Calculer lâaire de ce rectangle de 96 m de pĂ©rimĂštre.
Partie 2Sa deuxiĂšme idĂ©e est de rĂ©aliser un carrĂ©.Calculer lâaire dâun carrĂ© de 96 m de pĂ©rimĂštre.
Partie 3
Sa troisiĂšme idĂ©e est de rĂ©aliser un hexagone rĂ©gulier.Le schĂ©ma ci-contre reprĂ©sente un hexagone rĂ©gulier ABCDEF de 96 m de pĂ©rimĂštre.Il est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 16 m.Le segment [OH] est une hauteur du triangle Ă©quilatĂ©ral OBA.1. Calculer la longueur OH, exprimĂ©e en m. En donner lâarrondi au centimĂštre prĂšs.
2. Calculer lâaire du triangle OBA, exprimĂ©e en m2 et arrondi au1
10.
3. En dĂ©duire lâarrondi Ă lâunitĂ© de lâaire de cet hexgone rĂ©gulier.
Partie 4
Sa quatriÚme idée est de réaliser un octogone régulier de 96 m de périmÚtre.Cet octogone est inscrit dans un cercle de centre I. Le segment [IK] est une hauteurdu triangle isocÚle IMN.
1. VĂ©rifier que MN = 12 m dans la rĂ©alitĂ©.2. En prenant pour Ă©chelle 1 cm pour 3 m reprĂ©senter le triangle IMN, puis le pointK.Laisser apparents tous les traits de construction.3. Mesurer sur votre plan la longueur IK. Combien de mĂštres cela reprĂ©sente-t-ildans la rĂ©alitĂ© ?4. En dĂ©duire lâaire du triangle MIN, puis calculer lâaire dâun octogone rĂ©gulier de96 m de pĂ©rimĂštre.
Partie 5
Les recherches ont permis Ă RĂ©my de remarquer que lâaire dâun polygone rĂ©gulier de 96 m de pĂ©rimĂštre semble augmenterquand on augmente le nombre de ses cĂŽtĂ©s. Il imagine quâun enclos circulaire aurait peut-ĂȘtre une surface encore plusgrande.
1. Quel rayon faut-il prendre pour avoir un disque de pĂ©rimĂštre 96 m ?2. En dĂ©duire lâaire dâun disque ayant pour pĂ©rimĂštre 96 m.
3 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą Statistiques ;âą Feuille de calculs ;
âą SystĂšme ;
Exercice 1
1. Un groupe de quatre adultes et dix enfants paiera deux fois plus cher quâun groupe de deuxadultes et cinq enfants.31, 50 Ă 2 = 63e
2. Notons x le prix payé par un adulte.
Le prix pour les enfants est doncx2= 0, 5x
On obtient ainsi :
4x + 10 Ă 0, 5x = 63
4x + 5x = 63
9x = 63
x = 7
Le prix payé par un adulte est 7e et pour un enfant 3, 50e .
VĂ©rifions : 2 Ă 7e +5 Ă 3, 50e = 14e +17, 50e = 31, 50e . Câest bon !
Exercice 2
Notons x la longueur en mĂštre dâun wagon citerne et y la longueur dâune locomotive.On obtient le systĂšme suivant{
10x + 2y = 152 (1)12x + y = 160 (2)
Utilisons la mĂ©thode par substitution :Dans lâĂ©quation (2) on a : y = 160 â 12xEn substituant dans (1) on trouve :
10x + 2(160 â 12x) = 152
10x + 320 â 24x = 152
320 â 152 = 24x â 10x
168 = 14x
x =16814
= 12
Ainsi y = 160 â 12 Ă 12 = 160 â 144 = 16VĂ©rifions :10 Ă 12 m + 2 Ă 16 m = 120 m + 32 m = 152 m et 12 Ă 12 m + 16 m = 144 m + 16 m = 160 mUn wagon citerne mesure 12 m et une locomotive 16 m
Exercice 3
PremiĂšre partie
Si on note x la largeur en mÚtre du rectangle, la longueur est donc 2x.Le périmÚtre est 2 à (x + 2x) = 6x
Ainsi 6x = 96 et x =966
= 16
Câest un rectangle de 32 m de long sur 16 m de large et on a bien 2 Ă (32 m + 16 m) = 2 Ă 48 m =96 mSon aire est 32 m Ă 16 m = 512 m2
Seconde partie
Notons x le cĂŽtĂ© du carrĂ© et on a : 4x = 96 d âoĂč x =964
= 24
Le carré a un cÎté de 24 mSon aire est 24 m à 24 m = 576 m2
TroisiĂšme partie
1. ABCDEF est un hexagone rĂ©gulier. Ainsi AOB =360âŠ
6= 60âŠ
Le triangle AOB est donc isocĂšle avec un angle Ă 60⊠: câest un triangle Ă©quilatĂ©ral de cĂŽtĂ© 16 m. Ona bien 16 m Ă 6 = 96 mLa hauteur [OH] coupe donc le segment [AB] en deux parties Ă©gales.Dans le triangle AOH rectangle en H, dâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore :
HA2 + HO2 = AO2
82 + HO2 = 162
64 + HO2 = 256
HO2 = 192
HO =â
192 =â
64 Ă 3 = 8â
3 â 13, 86 m
HO â 13, 86 m au centimĂštre prĂšs
2. Lâaire dâun triangle sâobtient par la formulebase Ă hauteur
2
Lâaire de OBA :16 m Ă
â192 m
2â 110, 9 m2
3. Lâaire de lâhexagone est : 6 Ă 110, 9 m2 = 665, 4 m2
Partie 4
1. MN =96 m
8= 12 m
2. On sait que le triangle IMN est isocĂšle en I
On sait aussi que lâangle MIN =360âŠ
8= 45âŠ
Le cĂŽtĂ© [MN] mesure 12 m dans la rĂ©alitĂ© câest Ă dire 4 cm sur la copie.
Il reste Ă tracer ce triangle.
M N
I
45o
3. Quand on mesure la hauteur IK on trouve IK â 4, 8 cm câest Ă dire 14, 4 m dans la rĂ©alitĂ©.
4. Lâaire du triangle MIN est donc12 m Ă 14, 4 m
2= 86, 4 m2
Lâoctogone Ă une aire de 8 Ă 86, 4 m2 = 691, 2 m2
Partie 5
1. Notons r le rayon dâun disque de pĂ©rimĂštre 96 m. On a :
2Ïr = 96 m et donc r =96 m2Ï
â 15, 29 m au centimĂštre prĂšs.
2. Lâaire du disque est Ï Ă (15, 29 m)2 = 734 m2
On sait que le disque est bien la figure qui maximise lâaire pour un pĂ©rimĂštre donnĂ©. Ce rĂ©sultatsâappelle le thĂ©orĂšme isopĂ©rimĂ©trique.
2 SEMAINES AVANT LE BREVET
EXERCICE 1
1. DĂ©velopper f (x) = (4x â 3)2 â (7 â 3x)2
2. DĂ©velopper g(x) = (5x â 2)2 â (6x â 1)(1 â 3x)3. Factoriser h(x) = (6x â 3)2 â (4x â 1)(6x â 3)4. Factoriser k(x) = (4x + 1)2 â 165. RĂ©soudre (1 â 5x)(6x â 7) = 06. RĂ©soudre (5x â 1)2 = 25
TĂ©rence Tao1975-
Ătats-Unis
EXERCICE 2 Pondichéry - Mars 2011
On considĂšre la figure ci-dessous qui nâest pas en vraie grandeur.On ne demande pas de refaire la figure.- ABD est un triangle isocĂšle en A tel que ABD = 75Ë ;- C est le cercle circonscrit au triangle ABD ;- O est le centre du cercle C ;- [BM] est un diamĂštre du cercle C .
1. Quelle est la nature du triangle BMD Ă Justifier la rĂ©ponse2.a Calculer la mesure de lâangle BAD.2.b Citer un angle inscrit qui intercepte le mĂȘme arc que lâangle BMD.2.c Justifier que lâangle BMD mesure 30Ë.3. On donne : BD = 5, 6 cm et BM = 11, 2 cm.Calculer DM .On arrondira le rĂ©sultat au dixiĂšme prĂšs.
PROBLĂME Nouvelle-CalĂ©donie - Mars 2011
Les Ă©nergies renouvelables
Certaines sources dâĂ©nergie (hydrocarbures, nuclĂ©aires, charbon, . . . ) posent des problĂšmes aux gouvernements des pays :effet de serre, stockage des dĂ©chets radioactifs...Pour cette raison, les sources dâĂ©nergie renouvelables, ou Ă©nergies « bio »(Ă©nergie Ă©olienne, Ă©nergie hydraulique, Ă©nergiesolaire, gĂ©othermie...) se dĂ©veloppent. Elles sont en effet inĂ©puisables, propres et immĂ©diatement disponibles.Certains fournisseurs proposent de lâĂ©lectricitĂ© « bio ».Une famille Ă©tudie deux tarifs dâĂ©lectricitĂ© « bio »qui lui sont proposĂ©s.CFP : Franc Pacifique anciennement Franc des colonies françaises du pacifique
Tarif 1 Tarif 2Abonnement mensuel en (CFP) 0 3 600Prix par Kwh distribué en (CFP) 24 14
PremiĂšre partie
1. Si la famille consomme 300 Kwh en un mois, calculer le coĂ»t pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2.2. Si la famille consomme 450 Kwh en un mois, calculer le coĂ»t pour le tarif 1, puis celui pour le tarif 2.3. Sachant que la famille a payĂ© 11 280 CFP pour le tarif 1 pour un mois, quelle est sa consommation en Kwh ?4. On note x le nombre de Kwh dâĂ©lectricitĂ© « bio »consommĂ©.On note T1(x) le coĂ»t de lâĂ©lectricitĂ© consommĂ©e en un mois pour le tarif 1.On note T2(x) le coĂ»t de lâĂ©lectricitĂ© consommĂ©e en un mois pour le tarif 2.On admet que T1(x) = 24x et que T2(x) = 3600 + 14x.Trouver pour quelle valeur de x, T1(x) = T2(x).
DeuxiĂšme partie
1.a Sur une feuille de papier millimĂ©trĂ©, en plaçant lâorigine en bas Ă gauche de la page, tracer un repĂšre orthogonal.Sur lâaxe des abscisses, porter le nombre de Kwh consommĂ©s : 1 cm reprĂšsente 50 Kwh.Sur lâaxe des ordonnĂ©es, porter le coĂ»t en CFP : 1 cm reprĂšsente 500 CFP.1.b Dans le repĂšre prĂ©cĂ©dent, tracer la droite (d1), reprĂšsentation graphique de la fonction T1.1.c Dans le mĂȘme repĂšre, tracer la droite (d2), reprĂšsentation graphique de la fonction T2.2.a Graphiquement, dĂ©terminer le coĂ»t pour 400 Kwh consommĂ©s, pour le tarif 1.2.b Graphiquement, dĂ©terminer le nombre de Kwh consommĂ©s pour un coĂ»t de 10 600 CFP, pour le tarif 2.3. Graphiquement, trouver en fonction de sa consommation, le tarif le plus avantageux pour cette famille.
2 SEMAINES AVANT LE BREVET
âą DĂ©velopper ;âą Factoriser ;âą Ăquation produit.
âą Angle au centre et inscrit ;
âą Fonctions affines.
Exercice 1
1. f (x) = (4x â 3)2 â (7 â 3x)2 = (16x2 â 24x + 9)â (49 â 42x + 9x2)
f (x) == 16x2 â 24x + 9 â 49 + 42x â 9x2 = 7x2 + 18x â 40
2. g(x) = (5x â 2)2 â (6x â 1)(1 â 3x) = (25x2 â 20x + 4)â (6x â 18x2 â 1 + 3x)
g(x) = 25x2 â 20x + 4 â 6x + 18x2 + 1 â 3x = 43x2 â 29x + 5
3. h(x) = (6x â 3)2 â (4x â 1)(6x â 3) = (6x â 3) [(6x â 3)â (4x â 1)]
h(x) = (6x â 3)(6x â 3 â 4x + 1) = (6x â 3)(2x â 2)
4. k(x) = (4x + 1)2 â 16 = (4x + 1)2 â 42 = [(4x + 1)â 2] [(4x + 1) + 2]
k(x) = (4x + 1 â 2)(4x + 1 + 2) = (4x â 1)(4x + 3)
5.
(1 â 5x)(6x â 7) = 0
Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
1 â 5x = 0
5x = â1
x = â15
6x â 7 = 0
6x = 7
x =76
Il y a deux solutions â15
et76
6.
(5x â 1)2 = 25
On sait que les solutions de X2 = 25 sontâ
25 = 5 et ââ
25 = â5Il y a deux solutions :
5x â 1 = 5
5x = 6
x =65
5x â 1 = â5
5x = â4
x = â45
Il y a deux solutions65
et â45
Exercice 2
1. On sait que si le cercle circonscrit dâun triangle admet pour diamĂštre un de ses cĂŽtĂ©s alors cetriangles est rectangleLe cercle circonscrit du triangle BMD a pour diamĂštre le cĂŽtĂ© [BM], donc BMD est rectangle en D.
2.a BAD est un triangle isocĂšle dont un des angles Ă la base mesure 75âŠ.On sait que la somme des angles dans un triangle vaut 180âŠ
Ainsi BAD = 180⊠â 2 Ă 75⊠= 180⊠â 150⊠= 30âŠ
2.b BMD et BAD intercepte le mĂȘme arc âą BD.
2.c On sait que Si dans un cercle deux angles inscrits interceptent le mĂȘme arc alors ils ont Ă©gaux.Ainsi BMD = BAD = 30âŠ
3. Le triangle BMD est rectangle en D. DâaprĂšs le thĂ©orĂšme de Pythagore on a :
DB2 + DM2 = BM2
5, 62 + DM2 = 11, 22
31, 36 + DM2 = 125, 44DM2 = 94, 08
DM =â
94, 08 â 9, 7 cm
ProblĂšme
PremiĂšre partie
1. Pour le Tarif 1 : 0 + 24 à 300 = 7 200. Le coût est 7 200 CFP.Pour le Tarif 2 : 3 600 + 14 à 300 = 3 600 + 4 200 = 7 800 CFP.
2. Pour le Tarif 1 : 0 + 24 à 450 = 10 800. Le coût est 10 800 CFP.Pour le Tarif 2 : 3 600 + 14 à 450 = 3 600 + 6 300 = 9 900 CFP.
3. Si on note x la consommation de la famille on obtient :
24x = 11 280
x =11 280
24= 470
La famille a consommé 470 kwH
4. RĂ©solvons :
T1(x) = T2(x)
24x = 3 600 + 14x
24x â 14x = 3 600
10x = 3 600
x = 360
Pour x = 360 T1(x) = T2(x)
Partie 2
1.a
1 SEMAINE AVANT LE BREVET
EXERCICE 1 Centres Ă©trangers - Juin 2013
On considĂšre la sĂ©rie statistique donnant le SMIC horairebrut en euros de 2001 Ă 2011 (source : INSEE)1. Quelle est lâĂ©tendue de cette sĂ©rie ? InterprĂ©ter ce rĂ©sultat.2. Quelle est la mĂ©diane ?3. Paul remarque quâentre 2001 et 2002, lâaugmentation duSMIC horaire brut est de 16 centimes alors quâentre 2007 et2008, elle est de 19 centimes. Il affirme que « le pourcentagedâaugmentation en 2011 est supĂ©rieur Ă celui pratiquĂ© entre2001 et 2002 ». A-t-il raison ?SMIC : salaire minimum interprofessionnel de croissance
2011 9,402010 9,002009 8,822008 8,632007 8,442006 8,272005 8,032004 7,612003 7,192002 6,832001 6,67
Kurt Gödel1906-1978
Autriche - Ătats-Unis
EXERCICE 2 Centre Ă©trangers - Juin 2013
On considĂšre lâexpĂ©rience alĂ©atoire suivante : on tire au hasard une carte dans un jeu bien mĂ©langĂ© de 32 cartes (il y a 4« familles » : coeur, trĂšfle, carreau et pique et on a 8 coeurs, 8 trĂšfles, 8 carreaux et 8 piques). On relĂšve pour la carte tirĂ©ela « famille »(trĂšfle, carreau, coeur ou pique) puis on remet la carte dans le jeu et on mĂ©lange. On note A lâĂ©vĂšnement : « lacarte tirĂ©e est un trĂšfle ».
1. Quelle est la probabilitĂ© de lâĂ©vĂšnement A ?2. On rĂ©pĂšte 24 fois lâexpĂ©rience alĂ©atoire ci-dessus. La reprĂ©sentation graphiqueci-contre donne la rĂ©partition des couleurs obtenues lors des vingt-quatre pre-miers tirages. Calculer la frĂ©quence dâune carte de la « famille »coeur et dâunecarte de la « famille »trĂšfle.
3. On reproduit la mĂȘme expĂ©rience quâĂ la question 2. Arthur mise sur une cartede la « famille »coeur et Julie mise sur dâune carte de la « famille »trĂšfle. Est-ceque lâun dâentre eux a plus de chance que lâautre de gagner ?
EXERCICE 3 Centre Ă©trangers - Juin 2013
On considĂšre un triangle ABC isocĂšle en A tel que lâangle BAC mesure 50⊠et AB est Ă©gal Ă 5 cm.On note O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. La droite (OA) coupe ce cercle,notĂ© C, en un autre point M.1. Quelle est la mesure de lâangle BAM ?2. Quelle est la nature du triangle BAM ?3. Calculer la longueur AM et en donner un arrondi au dixiĂšme de centimĂštre prĂšs.4. La droite (BO) coupe le cercle C en un autre point K.Quelle est la mesure de lâangle BKC ?
EXERCICE 4 Centre Ă©trangers - Juin 2013
On peut lire au sujet dâun mĂ©dicament :« Chez les enfants (12 mois Ă 17 ans), la posologie doit ĂȘtre Ă©tablie en fonction de la surface corporelle du patient en utilisantla formule de Mosteller. Une dose de charge unique de 70 mg par mĂštre carrĂ© (sans dĂ©passer 70 mg par jour) devra ĂȘtreadministrĂ©e »Pour calculer la surface corporelle en m2 on utilise la formule suivante :
Formule de Mosteller : Surface corporelle en m2 =
â
taille(encm)Ă masse(enkg)3 600
1. La posologie a-t-elle été respectée pour Joé ? Justifier la réponse.2. La posologie a-t-elle été respectée pour Lou ? Justifier la réponse
Patient Ăge Taille Masse DoseLou 5 ans 1, 05 m 17, 5 Kg 50 mgJoĂ© 15 ans 1, 50 m 50 Kg 100 mg
1 SEMAINES AVANT LE BREVET
⹠Statistiques ;⹠Probabilités ;⹠Inscription du triangle.
⹠Angle au centre et inscrit ;⹠Trigonométrie ;⹠Usage de formule.
Exercice 1
1. La valeur maximale de cette sĂ©rie est 9, 40e . La valeur minimale et 6, 67e .LâĂ©tendue de cette sĂ©rie est : 9, 40e â6, 67e = 2, 73e .En 10 ans le SMIC a augmentĂ© de 2, 73e .
2. Cette série est constituée de 11 valeurs, la médiane est donc la sixiÚme valeur.La médiane de cette série est : 8, 27e .
3. En 2010 le SMIC Ă©tait Ă 9e . En 2011 il est Ă 9, 40e .Si on note k le coefficient dâaugmentation, on a 9e Ăk = 9, 40e .
k =9, 40
9â 1, 044
Lâaugmentation est donc de 4, 4% entre 2010 et 2011.
Le mĂȘme raisonnement entre 2001 et 2002 donne6, 836, 67
â 1, 023
Lâaugmentation est donc de 2, 3% entre 2001 et 2002Paul a donc raison.
Exercice 2
1. Nous sommes dans une situation dâĂ©quiprobabilitĂ©.
Il y a 8 trÚfles dans un jeu de 32 cartes. La probabilité de choisir un trÚfle est donc832
=14= 0, 25
câest Ă dire 25%.
2. DâaprĂšs le diagramme en barre, la frĂ©quence de sortie dâun coeur est624
=14
et la fréquence de
sortie dâun trĂšfle est824
=13â 0, 33.
3. Les 24 tirages de la question 2 nâont aucune influence sur les tirages suivants, le hasard nâa pasde mĂ©moire.
La probabilité de tirer un coeur ou un trÚfle est donc identique et égale à 14
comme dans la question
1.
Arthur et Julie ont la mĂȘme chance de gagner.
Exercice 3
1. BAC est un triangle isocĂšle en A. Donc la hauteur, la mĂ©diatrice et la bissectrice issues de A sontsuperposĂ©es.La droite (OA) passe par le centre du cercle circonscrit et par le sommet A du triangle isocĂšle. Donc(OA) est la mĂ©diatrice du segment [BC], il sâagit donc aussi de la bissectrice de lâangle BAC
Ainsi BAM =BAC
2=
50âŠ
2= 25âŠ
2. BAM est inscrit dans le cercle C. De plus [AM] est le diamĂštre de ce cercle.Si le cercle circonscrit Ă un triangle admet pour diamĂštre lâun de ses cĂŽtĂ©s alors ce triangle estrectangle.Donc BAM est rectangle en M.
3. Dans le triangle BAM rectangle en M.
cos25⊠=5
AM
AM =5
cos25âŠâ 5, 5 cm Ă 0, 1 cm prĂšs.
4. Lâangle BKC et lâangle BAC interceptent le mĂȘme arc du cercle CSi dans un cercle deux angles inscrits interceptent le mĂȘme arc alors ces angles sont Ă©gaux.
Donc BKC = BAC = 50âŠ
Exercice 4
1. Il faut calculer la surface corporelle de Joé.
Sa surface corporelle est
â
105 cm Ă 17, 5 Kg3 600
â 0, 71 m2
Il ne faut pas dĂ©passer 70 mg par m2 donc 0, 71 Ă 70 â 50 mgLa dose donnĂ©e Ă JoĂ© est donc conforme Ă la posologie recommandĂ©e.
2. La surface corporelle de Lou est
â
150 cm Ă 50 kg3 600
â 1, 44
La dose Ă ne pas dĂ©passer est 70 mg Ă 1, 44 â 101 mgOui la dose est respectĂ©e !
UN PEU DâALGĂBRE AVANT LE BREVETEXERCICE 1
Ăcrire les expressions suivantes sous la forme a + bâ
c
A = 5â
3 â 3â
12 + 4â
75 â 5â
27
B = â4â
20 â 6â
125 + 3â
80 + 2â
5
C =(
2â
3 â 3â
2) (
3â
2 + 5â
3)
D =(
3â
5 â 4)2
Nicolas BourbakiFrance1935-
E =(
5â
5 + 4â
3) (
5â
5 â 4â
3)
F =(
4â
12 â 3â
8)2
â(
2â
3 + 1) (
1 â 3â
2)
EXERCICE 2
DĂ©velopper chacune des expressions suivantes :
G = (3x â 2)2 + (5x â 1)(4x â 1)H = (5x + 2)2 â (4x + 1)(1 â 5x)I = (7x â 4)2 â (3x â 8)2
J = (3x â 2)(3x + 2)â (5x â 7)(5x + 7)K = (4x â 9)2 â (5x + 6)2 â (4x â 1)(5x + 4)
EXERCICE 3
Factoriser chacune des expressions suivantes :
L = (4x â 1)(6x + 3) + (6x + 2)(4x â 1)M = (5x â 7)2 â (5x â 7)(3x + 1)O = (3x â 5)2 â (4x â 3)2
P = (4x â 7)2 â 25Q = (4x â 3)2 â (4x â 3)(5x + 1) + 16x2 â 9
EXERCICE 4
On pose f (x) = (2x â 3)(5x + 7)
1. Calculer les images de 2, 0, â3 et23
par f
2. Calculer les antécédents de 0 par f .
EXERCICE 5
On pose g(x) = x2 â 8
1. Calculer g(â3), g(â1), et g(2)2. Calculer les antĂ©cĂ©dents de 1, puis les antĂ©cĂ©dents de 0.
EXERCICE 6
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
R =34â 3
4Ă 7
5
S =
(
1 +35
)(
4 â 34
)
T =27Ă 14
5â 8
5Ă 7
4
U =
13â 2
557â 3
2
EXERCICE 7
Donner lâĂ©criture scientifique :
V =0, 000 064 Ă 2 000 000 000
128 Ă 107
W =0, 027 Ă 10â5 Ă 900 Ă 103
8 100 000 Ă (10â4)3
EXERCICE 8
1. Calculer PGCD(6 097; 11 557) puis simplifier11 5576 097
2. Calculer PGCD(7 371; 7 813) puis simplifier7 3717 813
3. Prouver que 945 et 1 144 sont premiers entre eux.
EXERCICE 9
RĂ©soudree les systĂšmes suivants :
{
3x + 4y = â1â4x + 3y = â7
{
âx + y = 52x â 5y = â3
{
5x â 6y = 10â7x + 4y = 0
EXERCICE 10
Résoudree les inéquations suivantes :
7x â 4 > 4x â 3
â6x + 5 6 5x â 7
7(3x â 1) > 4(2 â 5x)
5(2x + 5)â 2x + 1 < 0
EXERCICE 11
1. DĂ©terminer la fonction linĂ©aire f telle que f (2) = â5
2. DĂ©terminer la fonction affine g telle queg(â1) = 7 et g(3) = â5
3. DĂ©terminer la fonction affine h telle queh(2) = 1 et h(1) = 2
UN PEU DâALGĂBRE AVANT LE BREVET
⹠Racines carrées ;⹠PGCD ;⹠écriture scientifique ;⹠Factoriser ;
⹠Identités remarquables ;⹠Développer ;⹠Fonctions affines ;⹠Fonctions linéaires.
EXERCICE 1
Ăcrire les expressions suivantes sous la forme a + bâ
c
A = 5â
3 â 3â
12 + 4â
75 â 5â
27 = 5â
3 â 3â
4 Ă 3 + 4â
25 Ă 3 â 5â
9 Ă 3
A = 5â
3 â 3 Ă 2â
3 + 4 Ă 5â
3 â 5 Ă 3â
3 = 5â
3 â 6â
3 + 20â
3 â 15â
3 = 4â
3
B = â4â
20 â 6â
125 + 3â
80 + 2â
5 = â4â
4 Ă 5 â 6â
25 Ă 5 + 3â
16 Ă 5 + 2â
5
B = â4 Ă 2â
5 â 6 Ă 5â
5 + 3 Ă 4â
5 + 2â
5 = â8â
5 â 30â
5 + 12â
5 + 2â
5 = â24â
5
C =(
2â
3 â 3â
2) (
3â
2 + 5â
3)
= 2â
3 Ă 3â
2 + 2â
3 Ă 5â
3 â 3â
2 Ă 3â
2 â 3â
2 Ă 5â
3
C = 6â
6 + 10 Ă 3 â 9 Ă 2 â 15â
6 = â9â
6 + 30 â 18 = 12 â 9â
6
D =(
3â
5 â 4)2
=(
3â
5)2
â 2 Ă 3â
5 Ă 4 + 42 = 9 Ă 5 â 24â
5 + 16 = 61 â 24â
5
E =(
5â
5 + 4â
3) (
5â
5 â 4â
3)
=(
5â
5)2
â(
4â
3)2
= 25 Ă 5 â 16 Ă 3 = 125 â 48 = 77
F =(
4â
12 â 3â
8)2
â(
2â
3 + 1) (
1 â 3â
2)
F =(
4â
12)2
â 2 Ă 4â
12 Ă 3â
8 +(
3â
8)2
â(
2â
3 Ă 1 â 2â
3 Ă 3â
2 + 1 â 3â
2)
F = 16 Ă 12 â 24â
96 + 9 Ă 8 â(
2â
3 â 6â
6 + 1 â 3â
2)
F = 192 â 24â
96 + 72 â 2â
3 + 6â
6 â 1 + 3â
2 = 263 â 24â
16 Ă 6 â 2â
3 + 6â
6 + 3â
2
F = 263 â 24 Ă 4â
6 â 2â
3 + 6â
6 + 3â
2 = 263 â 90â
6 â 2â
3 + 3â
2
EXERCICE 2
DĂ©velopper chacune des expressions suivantes :
G = (3x â 2)2 + (5x â 1)(4x â 1) = (9x2 â 12x + 4)â (20x2 â 5x â 4x + 1) = â11x2 â 3x + 3
H = (5x + 2)2 â (4x + 1)(1 â 5x) = (25x2 + 20x + 4)â (4x â 20x2 + 1 â 5x) = 45x2 + 21x + 3
I = (7x â 4)2 â (3x â 8)2 = (49x2 â 56x + 16)â (9x2 â 48x + 64) = 40x2 â 8x â 48
J = (3x â 2)(3x + 2)â (5x â 7)(5x + 7) = (9x2 â 4)â (25x2 â 49) = â16x2 + 45K = (4x â 9)2 â (5x + 6)2 â (4x â 1)(5x + 4)
K = (16x2 â 72x + 81)â (25x2 + 60x + 36)â (20x2 + 16x â 5x â 4) = â29x2 â 143x + 49
EXERCICE 3
Factoriser chacune des expressions suivantes :
L = (4x â 1)(6x + 3) + (6x + 2)(4x â 1) = (4x â 1) [(6x + 3) + (6x + 2)]
L = (4x â 1)(6x + 3 + 6x + 2) = (4x â 1)(12x + 5)
M = (5x â 7)2 â (5x â 7)(3x + 1) = (5x â 7) [(5x â 7)â (3x + 1)]
M = (5x â 7)(5x â 7 â 3x â 1) = (5x â 7)(2x â 8)
O = (3x â 5)2 â (4x â 3)2 = [(3x â 5) + (4x â 3)] [(3x â 5)â (4x â 3)]
Q = (3x â 5 + 4x â 3)(3x â 5 â 4x + 3) = (7x â 8)(âx â 2)
P = (4x â 7)2 â 25 = (4x â 7)2 â 52 = [(4x â 7) + 5] [(4x â 7)â 5]
P = (4x â 7 + 5)(4x â 7 â 5) = (4x â 2)(4x â 12)
Q = (4x â 3)2 â (4x â 3)(5x + 1) + 16x2 â 9 = (4x â 3) [(4x â 3)â (5x + 1)] + (4x)2 â 32
Q = (4x â 3)(4x â 3 â 5x â 1) + (4x + 3)(4x â 3) = (4x â 3)(âx â 4) + (4x + 3)(4x â 3)
Q = (4x â 3) [(âx â 4) + (4x + 3)] = (4x â 3)(âx â 4 + 4x + 3) = (4x â 3)(3x â 1)
EXERCICE 4
On pose f (x) = (2x â 3)(5x + 7)
1. Calculer les images de 2, 0, â3 et23
par f
f (2) = (2 Ă 2 â 3)(5 Ă 2 + 7) = (4 â 3)(10 + 7) = 17
f (0) = (2 Ă 0 â 3)(5 Ă 0 + 7) = â3 Ă 7 = â21
f (â3) = (2 Ă (â3)â 3)(5 Ă (â3) + 7) = (â6 â 3)(â15 + 7) = â9 Ăâ8 = 72
f(
23
)
=
(
2 Ă 23â 3
)(
5 Ă 23+ 7
)
=
(
43â 9
3
)(
103
+213
)
= â53Ă 31
3= â155
9
2. Calculer les antécédents de 0 par f .
Il faut rĂ©soudree f (x) = 0 câest Ă dire (2x â 3)(5x + 7) = 0Un produit de facteurs est nul si et seulement si un des facteurs est nul.
2x â 3 = 0
2x = 3
x =32
5x + 7 = 0
5x = â7
x = â75
EXERCICE 5
On pose g(x) = x2 â 8
1. Calculer g(â3), g(â1), et g(2)g(â3) = (â3)2 â 8 = 9 â 8 = 1
g(â1) = (â1)2 â 8 = 1 â 8 = â7
g(2) = 22 â 8 = 4 â 8 = â4
2. Calculer les antĂ©cĂ©dents de 1, puis les antĂ©cĂ©dents de 0.Il faut rĂ©soudree g(x) = 1 câest Ă dire x2 â 8 = 1
x2 = 1 + 8
x2 = 9
Il y a deux solutions Ă cette Ă©quation x = 3 et x = â3
Les antĂ©cĂ©dents de 1 par g sont 3 et â3
Il faut rĂ©soudree g(x) = 0 câest Ă dire x2 â 8 = 0
x2 = 8
Il y a deux solutions Ă cette Ă©quation x =â
8 et x = ââ
8
Les antĂ©cĂ©dents de 0 par g sontâ
8 et ââ
8
EXERCICE 6
Simplifier au maximum les expressions suivantes :
R =34â 3
4Ă 7
5=
34â 21
20
R =1520
â 2120
= â 620
= â 310
S =
(
1 +35
)(
4 â 34
)
=
(
55+
35
)(
164
â 34
)
S =85Ă 13
4=
4 Ă 2 Ă 135 Ă 4
=265
T =27Ă 14
5â 8
5Ă 7
4=
2 Ă 7 Ă 27 Ă 5
â 4 Ă 2 Ă 75 Ă 4
T =45â 14
5= â10
5= â2
U =
13â 2
557â 3
2
=
515
â 615
1014
â 2114
= â 115
Ă·â1114
U =115
Ă 1411
=14165
EXERCICE 7
Donner lâĂ©criture scientifique :
V =0, 000 064 Ă 2 000 000 000
128 Ă 107 =6, 4 Ă 10â5 Ă 2 Ă 109
1, 28 Ă 102 Ă 107 =6, 41, 28
Ă 104
109 = 5 Ă 10â5
W =0, 027 Ă 10â5 Ă 900 Ă 103
8 100 000 Ă(
10â4)3 =
2, 7 Ă 10â2 Ă 10â5 Ă 9 Ă 102 Ă 103
8, 1 Ă 106 Ă 10â12 =24, 38, 1
Ă 10â2
10â6 = 3 Ă 104
EXERCICE 8
1. Calculer PGCD(6 097; 11 557) puis simplifier11 5576 097
Utilisons lâalgorithme dâEuclide :
11 557 = 1 Ă 6 097 + 5 460
6 097 = 1 Ă 5 460 + 637
5 460 = 8 Ă 637 + 364
637 = 1 Ă 364 + 273
364 = 1 Ă 273 + 91
273 = 3 Ă 91 + 0
Donc PGCD(6 097; 11 557) = 91
11 5576 097
=91 Ă 12791 Ă 67
=12767
2. Calculer PGCD(7 371; 7 813) puis simplifier7 3717 813
Utilisons lâalgorithme dâEuclide :
7 813 = 1 Ă 7 371 + 442
7 371 = 16 Ă 442 + 299
442 = 1 Ă 299 + 143
299 = 2 Ă 143 + 13
143 = 11 Ă 13 + 0
Donc PGCD(7 813; 7 371) = 13
7 3717 813
=13 Ă 56713 Ă 601
=567601
3. Prouver que 945 et 1 144 sont premiers entre eux.
Calculons le PGCD(1 144; 945)
Utilisons lâalgorithme dâEuclide :
1 144 = 1 Ă 945 + 199
945 = 4 Ă 199 + 149
199 = 1 Ă 149 + 50
149 = 2 Ă 50 + 49
50 = 1 Ă 49 + 1
49 = 1 Ă 49 + 0
Comme PGCD(1 144; 945) = 1 les nombres 1 144 et 945 sont premiers entre eux.
EXERCICE 9
RĂ©soudree les systĂšmes suivants :
{
3x + 4y = â1 (1)â4x + 3y = â7 (2)
On utilise la mĂ©thode de combinaisons linĂ©aires.Multiplions lâĂ©quation (1) par 4 et lâĂ©quation (2) par 3
{
12x + 16y = â4 (1)â12x + 9y = â21 (2)
On ajoute les deux Ă©quations :
16y + 9y = â4 + (â21)
25y = â25
y = â1
Multiplions maintenant lâĂ©quation (1) par 3 et lâĂ©quation (2) par 4
{
9x + 12y = â3 (1)â16x + 12y = â28 (2)
On soustrait les deux Ă©quations :
9x â (â16x) = â3 â (â28)
25x = 25
x = 1
Le couple (1;â1) est la solution du systĂšme.
{
âx + y = 5 (1)2x â 5y = â3 (2)
Utilisons la mĂ©thode de substitution.Dans lâĂ©quation (1) on arrive Ă y = 5 + xDans lâĂ©quation (2) en substituant on trouve
2x â 5(5 + x) = â3
2x â 25 â 5x = â3
â3x = â3 + 25
â3x = 22
x = â223
Puis dans lâĂ©quation (1) on a :
y = 5 â 223
=153
â 223
y = â73
Le couple(
â223
;â73
)
et la solution du systĂšme.
{
5x â 6y = 10 (1)â7x + 4y = 0 (2)
On utilise la mĂ©thode de combinaisons linĂ©aires.Multiplions lâĂ©quation (1) par 7 et lâĂ©quation (2) par 5
{
35x â 42y = 70 (1)â35x + 20y = 0 (2)
On ajoute les deux Ă©quations :
â42y + 20y = 70
â22y = 70
y = â7022
Multiplions lâĂ©quation (1) par 2 et lâĂ©quation (2) par 3
{
10x â 12y = 20 (1)â21x + 12y = 0 (2)
On ajoute les deux Ă©quations :
10x â 21x = 20
â11x = 20
x = â2011
Le couple(
â2011
;â7022
)
est la solution du systĂšme.
EXERCICE 10
Résoudree les inéquations suivantes :
7x â 4 > 4x â 3
7x â 4x > â3 + 4
3x > 1
x >13
13
â6x + 5 6 5x â 7
â6x â 5x 6 â7 â 5
â11x 6 â12
x >â12â11
x >1211
â1211
7(3x â 1) > 4(2 â 5x)
21x â 7 > 8 â 20x
21x + 20x > 8 + 7
41x > 15
x >1541
â1541
5(2x + 5)â 2x + 1 < 0
10x + 25 â 2x + 1 < 0
8x + 26 < 0
8x < â26
x <268
x <134
â134
EXERCICE 11
1. DĂ©terminer la fonction linĂ©aire f telle que f (2) = â5
f est de la forme f (x) = ax il faut trouver le coefficient de proportionnalité a
Comme f (2) = â5 on a 2a = â5 et donc a = â52
La fonction f est f (x) = â52
x
2. DĂ©terminer la fonction affine g telle queg(â1) = 7 et g(3) = â5
g est de la forme g(x) = ax + b
On sait que le coefficient directeur a =g(â1)â g(3)
â1 â 3=
7 â (â5)â4
=12â4
= â3
Donc g(x) = â3x + b, reste Ă trouver lâordonnĂ©e Ă lâorigine b.Or g(â1) = 7 donc â3 Ă (â1) + b = 7 dâoĂč 3 + b = 7 et b = 4
La fonction g a pour expression g(x) = â3x + 4
3. DĂ©terminer la fonction affine h telle queh(2) = 1 et h(1) = 2
h est de la forme h(x) = ax + b
On sait que le coefficient directeur a =h(2)â h(1)
2 â 1=
1 â 21
= â1
Donc h(x) = âx + b, reste Ă trouver lâordonnĂ©e Ă lâorigine b.Or h(2) = 1 donc â2 + b = 1 dâoĂč b = 3
La fonction h et h(x) = âx + 3
UN PEU DE GĂOMĂTRIE AVANT LE BREVETEXERCICE 1
ABCD est un parallélogramme.E est le symétrique de C par rapport à D.Les droites (AE) et (BC) se coupent en F.1. Faire une figure.2. Pourquoi les droites (AE) et (CF) sont-elles parallÚles ?3. En déduire que A est le milieu de [EF].4. Démontrer alors que B est le milieu de [CF].
NikolaĂŻ LobatchevskyRussie
1792-1856-
EXERCICE 2
A R
S
TE
On a :AR = 143RT = 39ST = 15ET = 8AE = 144
DĂ©montrer que les droites (AE) et (ES) sont perpendicu-laires.
EXERCICE 3
La figure ci-contre nâest pas en vraies grandeursLes droites (EF) et (GH) sont parallĂšles.E â [AG] et F â [AH]AG = 35 mm, AF = 6 mm, AH = 28 mm et EF = 4, 5 mmCalculer AE et GH
A
F
H
G
E
EXERCICE 4
L
J
H
I
K
La figure ci-contre nâest pas envraies grandeurs
Les droites (I J) et (KL) sontparallĂšles.
I â [HK] et J â [LH]
IK = 10 cm, HJ = 13 cm etJL = 26 cm
Calculer HK.
EXERCICE 5
A
B
C
D
La figure ci-aprĂ©s nâest pas en vraie grandeur.
On a : AB = 3 cm, AD = 5 cm et DC = 7 cm
1. Calculer BD puis BC. Donner la valeur exacte puis unevaleur approchĂ©e Ă 0, 01 prĂšs.2. Calculer Ă 1ËprĂšs la mesure des angles BAD et BDC
EXERCICE 6
On sait que :
BC = 2 cm, CD = 3 cm,AB = 5 cm et CE = 7 cm
Calculer DE et AC
A
B
C
D
E
EXERCICE 7
On sait que les points A, B,C et D sont sur le cercle decentre O.
ODC = 24âŠ
Calculer la mesure desangles COD, CBD et CAD
O
B A
D
C
UN PEU DE GĂOMĂTRIE AVANT LE BREVET âą Racines carrĂ©es ;
âą PGCD ;
âą Factoriser ;
⹠Identités remarquables ;⹠Développer ;⹠Fonctions affines ;⹠Fonctions linéaires.
EXERCICE 1
Index?criture scientifique, 5, 13, 32?quation, 13?quation carr ?, 32?quation produit, 17, 32
Agrandissement - R ?duction, 23Agrandissement - RĂ©duction, 15Aire, 19Andrew Wiles, 10Angle au centre, angle inscrit, 30, 37Arithm ?tique, 7, 21Arrondi, 5Arrondir, 13
Brevet Asie Juin 2012, 19
C ?dric Villani, 21C ?ne, 17Cube, 21
D ?velopper, 1, 10, 13, 32, 37
Ecriture scientifique, 15
Factoriser, 1, 10, 13, 17, 32, 37Feuille de calculs, 26Fonction, 32
ant ?c ?dent, 1fonction affine, 5fonction lin ?aire, 5image, 1
Fonction affine, 32Fonction lin ?aire, 32Fonctions, 15
image, 10Fonctions affines, 30Fraction, 1, 5, 7, 15, 17, 32Fractions, 19
Grandeurs compos ?es, 21
Identit ?s remarquables, 32, 37In ?quation, 23, 32
Les nombres, 7
Math ?maticienCarl Friedrich Gauss, 1L ?onhard Euler, 3
Math ?maticiens?variste Galois, 28Francois Viete, 15
Math ?maticiens : :Alan Turing, 23Math ?maticiens : :Sophie Germain, 26Math ?maticiens : :T ?rence Tao, 30
Pav ? droit, 19, 21PGCD, 5, 13, 32Pierre de Fermat, 7Pourcentage, 3, 5, 21Priorit ? des calculs, 5Probabilit ?s, 3, 17, 26Produit nul, 10Programme de calcul, 3Proportionnalit ?, 21
Pyramide, 1, 15, 21, 23Pythagore, 13
R ?ciproque du théoréme de Thal ?s, 10Racine carr ?e, 5, 13, 21, 32Relatifs, 19
SessionAix Marseille - Juin 2006, 5Am ?rique du Nord - Juin 2012, 17, 26Centres ?trangers - Juin 2012, 3, 17France M ?tropolitaine - Septembre 2011, 28M ?tropole - Septembre 2012, 1Nouvelle Cal ?donie - D ?cembre 2012, 17Polyn ?sie - Juin 2012, 19Polyn ?sie - Septembre 2012, 26Pondich ?ry - Mars 2011, 30Pondichery - Avril 2012, 1, 28Pondichery - Avril 2013, 23, 26
Sph ?re, 19Srinivasa Ramanujan, 5Statistiques, 23, 26Syst ?me, 26Syst ?me de deux ?quations, 19, 28, 32
Th[Pleaseinsertintopreamble]or[Pleaseinsertintopreamble]mede Thal ?s
triangle, 1Théoréme de la droite des milieux, 37Théoréme de Pythagore, 37Théoréme de Thal ?s, 21Théoréme de Thalés, 37Trigonom ?trie, 10, 21Trigonomtrie, 37
Vitesse, 17, 21Volume, 15, 19
cylindre, 1
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