8/9/2019 16 Sujet d'examen
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CorrigPartie 1
1. T=
1
8,179A
X=XA179,8 suit la loi N(0 ;1).
P( 178 XA 182) = P( -1,8 XA179,8 2,2) = (2,2)(-1,8) o (-1,8) =
1(1,8)
alors P( 178 XA 182) = (2,2) + (1,8)1.
Avec les tableaux de valeurs on prend : (2,2) = 0,9861et
(1,8)=0,9641 et on arrondit au
centime prs : P( 178 XA 182) = 0,95 .
2. U=B
BX
180suit la loi N(0 ;1).
On a P (178 XB 182) = P(-2 XA180 2) = P( - )21802
BB
A
B
UX
do P (178 XB 182) = 2 (B
2)1.
0,98 = P (178 XB 182) 0,98 = 2 (B
2)1 1,98 = 2 (
B
2) 0,99 = (
B
2).
Au vu du tableau de valeurs concernant la loi N(0 ;1), pour que
0,98 = P (178 XB 182),
on fait des approximations et on prendB
2= 2,33 soit
33,2
2. Soit en arrondissant au
centime prs,
Partie 2
Soit A lvnement lobjet prlev provient de la machineMA , soit B
lvnement
lobjet prlev provient de la machineMB, soit C lvnement lobjet
prlev est
conforme et soit D lvnement lobjet prlev nest pas conforme .
Daprs lnonc : P(A) = 0,4 ; P(B)= 0,6 ; P(D/A)= 0,05 et P(D/B) =
0,02.
1. P(A D) = P(D/A) P(A) = 0,050,4 = 0,02.
P(B D) = P(D/B) P(B) = 0,020,6 = 0,012.
D est la runion des vnements incompatibles A D et B D do
P(D) = P(A D) + P(B D) = 0,02 + 0,012 soit P(D) = 0,032 .
C tant lvnement contraire de D, P(C) = 1P(D) soit P(C) = 0,968
.
2. Les vnements A D et A C sont incompatibles et ont pour runion
A alors
P(A) = P(A D) + P(A C) do P(A C) = P(A)P(A D) = 0,40,02 =
0,38.
P(A/C) = P(C A) / P(C) = 0,38 / 0,968 soit P(C/A) 0,393 .
Partie 3
1. La production tant trs grande, une bote de vingt est assimil
un chantillon alatoire
non exhaustif de taille 20, et on considre que Ydonne dans cet
chantillon le nombre
dobjets conformes.
p= 0, 968 est la probabilit pour quun objet tir au hasard de la
production soit conforme.1p = 0,032.
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Ysuit la loi binomiale(20, 0,968) ; Yne peut prendre que des
valeurs entires entre 0 et
20 avec, pour kentier compris entre 0 et 20 : P(Y=k) =
.032,0.968,0.20
20kkk
C
2. Il sagit de calculer P( Y= 20 ) et P(18Y).
P( Y= 20 ) =02020
20 032,0.968,0.C = 0,96820
do P( Y= 20 ) 0,522 . Lvnement (18Y) est la runion des 3
vnements incompatibles (Y= 18), (Y= 19)
et (Y= 20 ) do P(18Y) = P( Y= 18) + P( Y= 19) + P( Y= 20).
P(18Y) = 032,0.968,0.032,0.968,0.1919
2021818
20 CC 0,96820
.
On obtient P(18Y) 0,975 .
Partie 4
La variable alatoire T =092,0
mX suitla loi normale N(0 ;1).
Avec 0t, soit c(t)= P( - t Tt) = 2(t)1 : 2(t) = 1 + c(t) et (t)
=2
)(1 tc
On a ainsi c(t) = 0,9 pour (t) = 0,95.
Au vu des tables numriques, on considre que c(t) = 0,9 pour t=
1,645 .
Dsormais on travaille avec cette valeur de t.
0,9 = P( - t092,0
mX t) = P( -0,092 t X m 0,0092t) = P( -0,092 tm X 0,0092t)
do 0, 9 = P( X0,092 tm X + 0,0092 t) avec t= 1,645 .
On a fait un prlvement et on a obtenu x = 179,93 pour la valeur
prise par X , avec le
coefficient de confiance 0,90 , lintervalle de confiance de la
valeur de m est [a ; b] avec
a= x 0,092 tet b= x + 0,092 t.
Avec les valeurs approches prcdentes et en arrondissant, on
prend :
a = 179,78 et b = 180,08.
Au seuil de risque de 0,10 lintervalle de confiance de la valeur
de m est [179,78 ; 180,08] .
