Académie Militaire de Cherchell Année Universitaire:

Département des Sciences et Technologie

Filière: Electr.—Méc. Energ.

Chaire de Mathématiques

—Mathématiques I

Analyse I : (10 pts)

Exercice n°01 : (03 pts)

Soit la suite �� définie par : �����

Montrer que : ∀� ∈ , 3�� � 10���Faisons un raisonnement par récurrence

Etape n°01—Initialisation : [01 pt]

Vérifions au départ que la propriété

3�� → 3�� → 3 � 1 � 3

10��� � 7 → 10��� � 7 → 10 � 7 Alors ���� est vraie pour � � 0.

Etape n°02—Hérédité : [02 pt]

Démontrons que ∀� ∈ l’implication

Supposons que ���� est vraie à un certain rang

Et montrons qu’elle reste vraie au rang

On a : ���� � 10 �� � 21 ⇔ 3��� ⇔ 3��� ⇔ 3��� ⇔ 3��� ⇔ 3��� ⇔ ����Et cela montre que ��� � 1� est vraie, donc

Etape n°03—Conclusion :

Selon le principe (théorème) de raisonnement par récurrence la propriété

naturel � ∈ , alors ∀� ∈ , 3�� �

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∗∗∗∗∗EXAMEN FINAL ∗∗∗∗∗ Mathématiques I : Algèbre et Analyse—

� 10 �� � 21��� � 1 � � 7 → ∀� ∈ , ����

Faisons un raisonnement par récurrence :

[01 pt]

Vérifions au départ que la propriété ���� est vraie pour � � 0

� 3

l’implication ���� ⇒ ��� � 1� est vraie :

est vraie à un certain rang �, c—à—d : 3�� � 10��� � 7.

Et montrons qu’elle reste vraie au rang �� � 1�, c—à—d : 3���� � 10��" � 7.

�� � 3�10 �� � 21� �� � 30 �� � 63

�� � 10�3��� � 63

�� � 10�10��� � 7� � 63

�� � 10 � 10��� � 70 � 63

�$ � $%��& � '

est vraie, donc ���� ⇒ ��� � 1�est vraie.

Selon le principe (théorème) de raisonnement par récurrence la propriété ���� est vraie pout tout entier � 10��� � 7.

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est vraie pout tout entier

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Exercice n°02 : (04 pts)

∀ �(, )�, �*, +� ∈ ,", �(, )�-�*, +� ⇔1. Montrer que - est une relation d’équivalence.

Pour que - soit une relation d’équivalence, elle doit être

a/ Réflexivité : [01 pt]

∀ �(, )� ∈ ,", �(, )�-�(, )� ⇔ ( �b/ Symétrie : [01 pt]

∀ �(, )�, �*, +� ∈ ,", �(, )�-�*, +� ⇒�(, )�-�*, +� ⇔ ( � 5+ � * � 5)

⇒ * � 5) � ( � 5+

⇒ �*, +�-�(, )�

Alors la relation - est symétrique.

c/ Transitivité : [01 pt] ∀ �(, )�, �*, +�, �/, 0� ∈ ,", �(, )�-��(, )�-�*, +�/1�*, +�-�/, 0� ⇒ �( � 5+ � * � 5)/1* � 50 � / � 5+Par addition on aura : �( � 5+� � �*Alors la relation - est transitive.

Et donc la relation - est une relation d’équivalence.

2. Déterminer *2�0,0� : [01 pt]

*2�0,0� � 3�(, )� ∈ ,"/�(, )�-�0, 0 � 3�(, )� ∈ ,"/( � 5 � 0 � � 3�(, )� ∈ ,"/( � �5)5 �Exercice n°03 : (03 pts)

Calculer les limites suivantes :

1. lim9→�: ;<=>�9 ?<=>?99 @ � �A?A�: (cas indéfini)

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� ⇔ ( � 5+ � * � 5)

est une relation d’équivalence.

soit une relation d’équivalence, elle doit être réflexive, symétrique et transitive

� 5) � ( � 5), donc vraie. Alors la relation - est

� ⇒ �*, +�-�(, )�

� �*, +�/1�*, +�-�/, 0� ⇒ �(, )�-�/, 0� )+ �* � 50� � �* � 5)� � �/ � 5+� ⇔ ( � 50 � / �

est une relation d’équivalence.

0�5 � 0 � 5)5

5 � 3��5), )�/) ∈ ,5

(cas indéfini)

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transitive.

est réflexive.

� 5) ⇒ �(, )�-�/, 0�

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lim9→�: ;<=>�9 ?<=>?99 @ � lim9→�:

� lim9→�: ;2. lim9→� B CDEF�G9�9 CDEH�"9�I � �� (cas indéfini)

lim9→� B CDEF�G9�9 CDEH�"9�I � lim9→� J BKLM �F>9 BKLM

� lim9→� B"N9FO9F I

Algèbre I : (10 pts)

Exercice n°01 : (06 pts)

Soient P, Q, R trois ensembles. Montrer que :

1. �P ∪ Q� ∩ �Q ∪ R � ∩ �R ∪ P�En utilisant la propriété de distribution, on obtient

�P ∪ Q� ∩ �Q ∪ R � � �P ∩ Q� ∪ � �P ∩ R� ∪�P ∪ Q� ∩ �Q ∪ R � ∩ �R ∪ P� ��Q ∩ R� ∪ �Q ∩ P� � �P ∩ R� ∪ �PAlors : �U ∪ V� ∩ �V ∪ W � ∩ �W 2. �P X Q � P ∩ Q� ⇔ �P � Q � ∅Note: �Z ⇔ [� \](^/, * � à � +: �Z⇐ : si �P � Q � ∅� ⇒ �P ∩ Q� � ∅⇒ : P X Q � �P ∪ Q� � �P ∩ Q� ⇒Alors : �U X V � U ∩ V� ⇔ �U � V3. P X Q � ∅ ⇔ P � Q

⇐ : si P � Q ⇒ �P � Q� � ∅ /1 �Q⇒ : P X Q � �P � Q� ∪ �Q � P� �

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;b<=>�9 ?<=>?9cb<=>�9�<=>?9c9b<=>�9�<=>?9c @ � lim9→�: ; B=>�9

9b<=>�

; "99b<=>�9�<=>?9c@ � lim9→�: ; "

b<=>�9�<=>?9c@ � �(cas indéfini)

J �F>�> IF."N9FBKLM �H>�H> IH.O9He, Où lim9→� CDE �9�f � 1

I � "NO [01.5 pts]

trois ensembles. Montrer que :

� � �P ∩ Q� ∪ �Q ∩ R � ∪ �R ∩ P�

de distribution, on obtient :

� �P ∩ R� ∪ �Q ∩ Q� ∪ �Q ∩ R� � �P ∩ Q� ∪ �P ∩� ∪ Q, Où Q ∩ Q � Q, P ∩ Q ⊂ Q /1 Q ∩ R ⊂ Q � � h�P ∩ R� ∪ Qi ∩ �R ∪ P� � h�P ∩ R� ∩ Ri ∪� ∩ R� ∪ �Q ∩ R� ∪ �Q ∩ P� � �P ∩ R� ∪ �Q ∩ R�

∪ U� � �U ∩ V� ∪ �V ∩ W � ∪ �W ∩ U� [01.5 pts]

∅�

�Z ⇒ [� \](^/ /1 �[ ⇒ Z� \](^/ . ∅ et �P ∪ Q� � ∅, alors P X Q � ∅, donc P X Q �

� ⇒ �P ∪ Q� � ∅ � �P ∩ Q�, donc P � Q � ∅.

V � ∅� [01.5 pts]

�Q � P� � ∅ ⇒ P X Q � �P � Q� ∪ �Q � P� � ∅

� � ∅ ⇒ �P � Q� � ∅ /1 �Q � P� � ∅ ⇒ P � Q /1

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9I?B=>?9I< �9�<=>?9c@

@ "�A � 0 [01.5 pts]

� ∩ R� ∪ Q ∪ �Q ∩ R�

i ∪ h�P ∩ R� ∩ Pi ∪� ∪ �Q ∩ P�

[01.5 pts]

� P ∩ Q.

Q � P, donc P � Q.

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Alors : U X V � ∅ ⇔ U � V [01.5 pts]

4. �P X R � Q X R� ⇔ P � Q

P X R � �P � R� ∪ �R � P�

⇐ : si P � Q ⇒ P X R � �P � R� ∪⇒ : soit j un élément de P, j ∈ P.

Si j ∉ R alors j ∈ P X R � Q X R et donc

Si j ∈ R alors j ∉ P X R � Q X R . Puis

Dans tous les cas j ∈ Q. Tout élément de

En échangeant les rôles de P et Q on obtient aussi

Alors : �U X W � V X W� ⇔ U � V

Exercice n°02 : (04 pts)

Dans , on définie la loi de composition interne

Donner les conditions sur ( et ) pour que

∗ est commutative ⇔ ∀ �j, l� ∈ ," ⇔ ∀ �j, l� ∈ ," ⇔ ∀ �j, l� ∈ ," ⇔ ∀ �j, l� ∈ ," ⇔ ( � ) [0.50

∗ est associative ⇔ ∀ �j, l, m� ∈ ,G ⇔ ∀ �j, l� ∈ ,G, j ⇔ ∀ �j, l� ∈ ,G, (j ⇔ ∀ �j, l� ∈ ,G, (j ⇔ ∀ �j, l� ∈ ,G, (j ⇔ ( � (" et ) � ) ⇔ ( � 0 ou ( � 1∗ possède un élément neutre ⇔ ∀ j ⇔ ∀ j ⇔ ( �

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[01.5 pts]

� ∪ �R � P� � �Q � R� ∪ �R � Q� � Q X R

et donc j ∈ Q car j ∉ R.

. Puis j ∉ Q X R et j ∈ R et donc j ∈ Q. . Tout élément de P (j ∈ P) est dans Q (j ∈ Q), donc P ⊂ Q

on obtient aussi Q ⊂ P. Et finalement, P � Q.

[01.5 pts]

on définie la loi de composition interne ∗ par : ∀�j, l� ∈ ,", j ∗ l � (j � )lpour que ∗ soit commutative, associative, possède un élément neutre.

", j ∗ l � l ∗ j [0.25 pts] ", (j � )l � (l � )j

", (j � )j � )l � (l � 0

", �( � )�j � �) � (�l � 0

pts]

G, j ∗ �l ∗ m� � �j ∗ l� ∗ m [0.25 pts] j ∗ �(l � )m� � �(j � )l� ∗ m (j � )�(l � )m� � (�(j � )l� � )m (j � ()l � )"m � ("j � ()l � )m (j � )"m � ("j � )m )" 1 [0.75 pts] et ) � 0 ou ) � 1 [0.75 pts]

∈ ,, j ∗ / � / ∗ j � j [0.50 pts] ∈ ,, (j � )/ � (/ � )j � j � ) � 1 [0.50 pts] et / � 0 [0.50 pts]

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Q.

)l

soit commutative, associative, possède un élément neutre.