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ACT2025 - Cours 3
MATHÉMATIQUESFINANCIÈRES I
Troisième cours
ACT2025 - Cours 3
Rappel:
• Valeur actuelle d’un capital
ACT2025 - Cours 3
Rappel:
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation
ACT2025 - Cours 3
Rappel:
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte
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ACT2025 - Cours 3
Rappel:
• Valeur actuelle d’un capital• Fonction d’actualisation• Taux effectif d’escompte• Équivalence de taux
ACT2025 - Cours 3
Sur ce dernier point, nous avons vu que
Rappel:
où i et d sont deux taux équivalents, i désigne un taux effectifd’intérêt et d, un taux effectif d’escompte.
ACT2025 - Cours 3
Exemple 1:
Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montanttotal de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deuxoffres:
1) soit qu’il paie 2400$ dans un an
2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.
ACT2025 - Cours 3
Exemple 1 (suite):
Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deuxoptions est la plus avantageuse pour Alex?
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ACT2025 - Cours 3
Exemple 1 (suite):
Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deuxoptions est la plus avantageuse pour Alex?
À quel taux d’escompte, les deux options sont équivalentes?
ACT2025 - Cours 3
Solution pour la première question:
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payabledans un an est
ACT2025 - Cours 3
Solution pour la première question:
Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est
Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payabledans un an est
ACT2025 - Cours 3
Solution de la première question (suite):
Nous pouvons conclure que la deuxième option est la plusavantageuse pour Alex.
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ACT2025 - Cours 3
Solution pour la deuxième question:
Notons par d le taux d’escompte pour lequel les deux optionssont équivalentes. Alors nous avons
ACT2025 - Cours 3
Donc d = 9.9099099%.
Ceci est tout simplement la formule d’équivalence:
Solution pour la deuxième question:
ACT2025 - Cours 3
Cette dernière formule peut être interprétée de la façonsuivante:
Autres formules d’équivalence:
Nous avons
ACT2025 - Cours 3
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période.Dans ce cas, sa valeur actuelle est
Explication de la formule:
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ACT2025 - Cours 3
Autres formules d’équivalence:
Cette dernière formule peut être interprétée de la façonsuivante:
Nous avons vu que
ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule:
Considérons un capital de 1 dollar à la fin de la période. Dansce cas, sa valeur actuelle est
ACT2025 - Cours 3
Nous avons
Capital investi au début de la période:
Explication de la formule: (suite)
ACT2025 - Cours 3
Nous avons
Capital investi au début de la période:
Capital accumulé à la fin de la période:
Explication de la formule: (suite)
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ACT2025 - Cours 3
Nous avons
Capital investi au début de la période:
Capital accumulé à la fin de la période:
Intérêt:
Explication de la formule: (suite)
ACT2025 - Cours 3
Autres formules d’équivalence:
Cette dernière formule peut être interprétée de la façonsuivante:
Nous avons que
ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule:
Considérons deux prêts.
Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par leversement de (1 + i) dollar dans un an.
ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule:
Considérons deux prêts.
Le premier prêt est de 1 dollar et sera remboursé par leversement de (1 + i) dollar dans un an.
Le second prêt sera remboursé par le versement de 1 dollardans un an et l’emprunteur recoit initialement (1 - d) dollar.
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ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d
ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d
L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id
ACT2025 - Cours 3
Explication de la formule: (suite)
La différence des montants prêtés est d
L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est id
Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêtdes deux prêts: i - d
ACT2025 - Cours 3
Il y a ainsi quatre formules à retenir:
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ACT2025 - Cours 3
Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT2025 - Cours 3
Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT2025 - Cours 3
Il y a ainsi quatre formules à retenir:
ACT2025 - Cours 3
Escompte composé: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le taux effectifd’escompte est le même pour chaque période. Si nous notonsle taux d’escompte composé par d, alors nous pouvonscalculer la fonction d’actualisation
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ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2
ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - d)2
En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, ilfaut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - d)2
dollars au début de la 1ère période.
ACT2025 - Cours 3
Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans une situation d’escompte composé:
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ACT2025 - Cours 3
Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans une situation d’escompte composé:
et nous sommes en mesure de calculer la fonction decapitalisation:
ACT2025 - Cours 3
L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé.L’équivalence est obtenue par la formule:
ACT2025 - Cours 3
Escompte simple: (Description)
Dans cette situation, nous supposons que le montantd’escompte est le même pour chaque période. Si nous notonsle taux d’escompte simple par d, alors nous pouvons calculerla fonction d’actualisation.
ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
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ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)
ACT2025 - Cours 3
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 1ère période est (1 - d)
Principal investi au début de la 1ère période pouravoir 1 dollar à la fin de la 2e période est (1 - 2d)
En effet, pour obtenir 1 dollar à la fin de la 2e période, ilfaut (1 - d) dollars à la fin de la 1ère période et (1 - 2d)dollars au début de la 1ère période.
ACT2025 - Cours 3
Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonctiond’actualisation dans l’escompte simple:
Noter que nous devons supposer
ACT2025 - Cours 3
Nous sommes aussi en mesure de calculer la fonction decapitalisation:
L’escompte simple n’est pas équivalentà l’intérêt simple!
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ACT2025 - Cours 3
En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt i telque
Le terme de droite de l’équation ci-dessus est une fonctionlinéaire, alors que le terme de gauche ne l’est pas.
ACT2025 - Cours 3
Exemple 2:
Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est4.75% par année.
Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des5 ans?
ACT2025 - Cours 3
Exemple 2: (suite)
Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payabledans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nousobtenons
4000(1 - 0.0475)5 = 3136.06 $
ACT2025 - Cours 3
Exemple 2: (suite)
c’est-à-dire que le taux d’intérêt équivalent est4.9868766%. Nous obtenons alors une autre approche.
Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composééquivalent au taux d’escompte 4.75% par année
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ACT2025 - Cours 3
Exemple 2: (suite)
Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans5 ans au taux d’intérêt composé de 4.9868766% par année.Nous obtenons que Alex reçoit
ACT2025 - Cours 3
Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Ellerecoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt enversant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple dece prêt est 5% par année.
Quel est le montant remboursé L?
Exemple 3:
ACT2025 - Cours 3
Exemple 3: (suite)
Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeurest
ACT2025 - Cours 3
Comparaison:
Si nous comparons les fonctions d’actualisation dans les casde l’escompte simple et de l’escompte composé pour lemême taux d, nous obtenons le graphique suivant:
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ACT2025 - Cours 3 ACT2025 - Cours 3
Nous avons que
et
ACT2025 - Cours 3 ACT2025 - Cours 3
Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’uneseule fois par période. Il existe un autre type de
taux tant pour l’intérêt que l’escompte:le taux nominal
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ACT2025 - Cours 3
Exemple 4:
Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il estindiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances):18.50% par année et 0.05068% par jour.
Comment interpréter ce taux de 18.50% par année?
ACT2025 - Cours 3
Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons lemontant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année,nous aurons
(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 3
Si nous considérons le taux 0.05068% par jour et calculons lemontant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année,nous aurons
(1 + 0.0005068)365 - 1 = 1.203140402 - 1 = 0.203140402
Ce taux quotidien de 0.05068% correspond à un taux annuelde 20.3140402% par année et non au taux de 18.50% parannée.
Exemple 4: (suite)
ACT2025 - Cours 3
La raison est que le 18.50% est un taux nominal d’intérêt.Nous avons ici que
Exemple 4: (suite)
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ACT2025 - Cours 3
Taux nominal d’intérêt:
Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) etque le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de périodeest
alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est i(m)
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Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période decapitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.
ACT2025 - Cours 3
Exemple 5:
Un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8%par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire i(4) = 8%par année.
Si Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montantdoit-il investir?
ACT2025 - Cours 3
Le taux d’intérêt par trimestre (i.e. par trois mois) est de
Pendant 5 ans, il y a 5 x 4 = 20 trimestres et l’intérêt seracapitalisé 20 fois
Exemple 5: (solution)
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ACT2025 - Cours 3
Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payableaprès 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt estde 2%:
10000(1 + 0.02)-20 = 6729.71 $
Exemple 5: (solution)
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Équivalence de taux:
Si nous considérons 1 dollar investi et calculons la valeuraccumulée au taux nominal d’intérêt i(m) par annéecapitalisé m fois par année, nous obtenons
ACT2025 - Cours 3
L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au tauxd’intérêt par m-ième de période égal à
Équivalence de taux: (suite)
et la valeur accumulée est
ACT2025 - Cours 3
Si le taux effectif d’intérêt i est équivalent au taux nominald’intérêt i(m), alors
Équivalence de taux: (suite)
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ACT2025 - Cours 3
Donc
et
Équivalence de taux: (suite)
ACT2025 - Cours 3
Exemple 6:
Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré autaux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisémensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la finde la 2e année?
ACT2025 - Cours 3
Exemple 6: (suite)
Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominali(12) = 9%, i.e. que le taux d’intérêt par mois est
ACT2025 - Cours 3
Exemple 6: (suite)
Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisationest
24 = 12 x 2parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital estinvesti pour 2 années.
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ACT2025 - Cours 3
Exemple 6: (suite)
Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisationest
24 = 12 x 2parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital estinvesti pour 2 années.
La valeur accumulée sera 2500(1 + 0.0075)24 = 2991.03 $
ACT2025 - Cours 3
Taux nominal d’escompte:
Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) etque le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes depériode est
alors nous disons que le taux nominal d’escompte est d(m)
ACT2025 - Cours 3
Si nous calculons la valeur actuelle de 1 dollar payable dansun an au taux nominal d’escompte d(m), alors nous obtenons
ACT2025 - Cours 3
Équivalence de taux:
Supposons que les taux suivants sont équivalents
Taux effectif d’intérêt: i
Taux nominal d’intérêt: i(m)
Taux effectif d’escompte: d
Taux nominal d’escompte: d(p)
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ACT2025 - Cours 3
En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin del’année, nous obtenons
ACT2025 - Cours 3
En calculant la valeur actuelle de 1 dollar payable à la fin del’année, nous obtenons
En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$pendant une année, nous obtenons
ACT2025 - Cours 3
L’équivalence de taux est obtenue par les formuleséquivalentes
et