Chapitre 17 : Intgrale double
Chapitre 17 : Intgrale doubleIci, est muni de sa structure
euclidienne naturelle.
I Sous-ensemble quarrable de , aire
A) Aire dun pav born de .
Soit P un pav born de , o et sont des intervalles borns de R,
dextrmits respectives et (avec et )
Laire de P est par dfinition .Lintrieur de P est .B) Partie
pavable
Soit . On dit que X est pavable lorsque X est une runion finie
de pavs borns.
On peut dmontrer, et cest intuitivement clair, que si est
pavable, alors X peut scrire , o I est fini, o chaque est un pav
born, et o les sont disjoints deux deux, et que le rel ne dpend que
de X. Ce rel est appel laire de X, et est not .C) Partie
quarrable
Dfinition:
Soit A une partie borne de .Soit la borne infrieure des aires
des ensembles pavables contenant A.
Soit la borne suprieure des aires des ensembles pavables
contenus dans A.
On dit que A est quarrable lorsque .
Laire de A est alors, par dfinition, .
(Cette dfinition a bien un sens, car on vrifie immdiatement que
les bornes en questions existent bien)Proprits (admises):
Si A et B sont quarrables, alors sont quarrables, et:
Si A et B sont disjoints,
Et dans tous les cas m est invariant par isomtrie Une partie
borne du plan dont la frontire (c'est--dire ) est le support dun
arc paramtr continu et de classe par morceaux est quarrable.
II Dfinition de lintgrale double dune fonction continue et
borne
A) Subdivision dune partie quarrable
Soit D une partie quarrable de .
Une subdivision de D est une famille finie de parties quarrables
telle que , les tant non vides et disjoints deux deux.Le pas de
cette subdivision est le maximum des diamtres des
(Le diamtre de est )
B) Dfinition
Soit D une partie quarrable de , soit .
On dit que f est en escalier sur D lorsquil existe une
subdivision de D telle que f soit constante sur chaque .
Dfinition:
Soit D une partie quarrable de , soit en escalier.
On peut dfinir lintgrale (double) de f sur D par:
, o est une subdivision de D telle que sur chaque (la dfinition
est indpendante du choix dune telle subdivision)
Thorme, dfinition (admis):
Soit D une partie quarrable de , et soit continue et borne.
On peut dfinir
Et
Alors , et ce rel est appel lintgrale (double) de f sur D et est
not ou .
III Premires proprits de lintgrale double
Dans ce paragraphe, les domaines sont supposs quarrables, et les
fonctions continues et bornes.
A) Additivit par rapport au domaine dintgration
Si , alors .B) Proprits relatives la fonction
Linarit: lapplication est linaire.
Croissance: si , alors:
Si D est ouvert, et si f est positive,
Attention, cest vrai parfois quand D nest pas ouvert, mais le
rsultat est faux en gnral. Par exemple, mais on peut trs bien avoir
.IV Formules de Fubini (admises)
f dsigne une fonctions continue et borne sur un domaine D.
(1) cas o (avec ) D est alors quarrable.
Alors:
Cas particulier:
Si et sont deux fonctions continues, alors:
(2) Cas o il existe deux fonctions continues de dans R telles
que:
et (Ainsi, D est quarrable)Alors
Cas particulier o : on retrouve laire de D:
(3) Rsultat analogue en changeant les rles:Sil existe deux
fonctions continues dfinies sur telles que et , alors D est
quarrable, et:
.Remarque: en gnral, on a le choix entre lapplication du (2) et
du (3), et lun peut tre plus judicieux quun autre (il vaut mieux
commencer par exemple par lintgrale la plus simple).
Exemple:
Si D est le quart de cercle de centre O, de rayon 1:
On veut calculer .
Comme , on a:
.On pose .
En faisant le changement de variable , on obtient
Soit .
Donc
Et, aprs calcul et simplification, .V Changement de variable
(admis)
A) Prliminaire
Soient U et V deux ouverts de .
Un diffomorphisme de U sur V est une application de U sur V,
bijective et de classe , dont la rciproque est aussi de classe
.Etant donne une application de classe , pour que soit un
diffomorphisme de U sur son image , il faut et il suffit que soit
injective et que le jacobien de ne sannule pas sur U.O, par
dfinition, le jacobien de en est:
o .
B) Thorme
Soit K un compact quarrable de .
(Ne pas chercher savoir ce que signifie compact de , savoir
seulement que les domaines dfinis dans les hypothses de Fubini tels
que dfinis au paragraphe prcdent sont des compacts quarrables, et
que pour de tels domaines K, lintrieur de K est le domaine
admettant la mme dfinition mais avec des ingalits strictes)
Soit une application dfinie sur un ouvert U contenant K, valeurs
dans , de classe , telle que dfinisse un diffomorphisme de sur son
image.Alors est un compact quarrable de , et pour toute fonction f
continue sur , on a:
Remarque:
Selon le prliminaire, pour vrifier que dfinit un diffomorphisme
sur son image, il suffit de vrifier que est injective et que ne
sannule pas sur .Remarque 2:Toute fonction continue sur un compact
de valeurs dans R est borne.
C) Exemple important: changement de variable affine
(1) On suppose ici que est une application affine de dans
bijective.Soit alors la matrice, dans la base canonique de , de la
partie linaire de (A est inversible car , et donc sa partie
linaire, est bijective).Soient les applications composantes de
(c'est--dire dfinies par ).Alors, pour tout , on a:
, o on a not .
Alors on voit immdiatement que, pour tout :
, donc
Et la restriction de nimporte quel ouvert de dfinit un
diffomorphisme de cet ouvert sur son image (daprs le
prliminaire)
Ainsi, pour tout compact quarrable K de et toute application
continue f de dans R, on a:
(2) Applications: Si est une isomtrie, on a , et on obtient
alors:
Cela permet dutiliser les symtries:
Si par exemple et
Alors o
En effet, avec le changement de variable correspondant (symtrie
orthogonale par rapport ), on voit que (o )De mme pour dautres
symtries. Calcul de laire dlimite par lellipse .Soit lapplication
affine laissant invariant, transformant en et en .
Le jacobien de est , et transforme le cercle C dquation en
lellipse E, et bien sr la surface dlimite par C en la surface
dlimite par E.Donc, en notant K le disque dlimit par C, laire
dlimite par lellipse est:
(Car , connu et montr dans la suite)D) Autre exemple important:
passage en coordonnes polaires
Soit .Alors est de classe sur , et en tout , le jacobien de
vaut:
.
1) Premier casSoit K dfini par , o sont tels que et .
On voit que lintrieur de K est .
On vrifie immdiatement que est injective.(Car, pour , on a et ,
ce qui vite que deux lments distincts de aient la mme image par )De
plus, le jacobien de sur ne sannule pas.(Car )
Donc le thorme de changement de variables sapplique et donne,
pour toute fonction continue f sur :
En particulier, en prenant , laire de est:
En prenant , laire du disque de rayon r est .
2) Deuxime cas, plus gnral
K est dfini par
O et sont tels que et o et sont deux fonctions continues sur
telles que . Voici alors lallure de :
Le mme raisonnement que prcdemment donne alors:
Cas particulier:
Aire dun secteur dlimit par une courbe dquation polaire :On
suppose ici que f est continue sur un intervalle avec . Soit D le
domaine dfini par:
D est dlimit par la courbe C dquation polaire et par les rayons
dangles polaires et .
Alors laire de D est:
VI Extension aux intgrales triples
Toutes les notions et thormes vus pour les intgrales doubles
sont adaptables aux intgrales triples (quon note ), voire
multiplesPour adapter la dfinition du jacobien:
Soit une partie de , soit de classe , et soit .La matrice
jacobienne de f en A, cest la matrice de la diffrentielle de f en A
(c'est--dire de , qui est linaire) dans les bases canoniques de et
.(Et le jacobien est le dterminant de cette matrice)VII Intgrale de
surface
Lintgrale de surface est aux nappes paramtres ce que lintgrale
curviligne est aux arcs paramtrs.Tout est admis dans ce
paragraphe.
Soit S une nappe paramtre simple, rgulire (c'est--dire que ne
sannule pas) de classe dfinie par une paramtrisation:
O est une partie quarrable de .Lapplication est alors continue,
et on suppose de plus quelle est borne sur .
Alors laire de S est
Trs intuitivement, le plan tangent au point de S est dirig par
et , laire lmentaire est , not
A rapprocher du fait que laire du paralllogramme est .Si est une
fonction numrique dfinie et continue sur le support de la nappe S,
lintgrale de sur S est lintgrale (dite intgrale de surface):
Intrt: si reprsente par exemple la densit surfacique, cette
intgrale donne la masse de la nappe.
VIII Masses, centres et moments dinertie
A) Pour un arc dans le plan ou lespace
Soit un arc de classe et de support C.
Soit , continue (densit linique)
(Le cas des arcs plans est bien entendu un cas particulier: avec
la troisime composante nulle).
La masse de C est
Le centre de gravit est tel que
C'est--dire que o
tant un point ou une droite, le moment dinertie de C par rapport
est:
(o est la distance de M )
B) Pour une surface dans le plan .Avec des notations
videntes:
Masse:
Centre de gravit G tel que
Moment dinertie par rapport :
C) Pour une surface dans lespace .
Mme chose, mais avec des intgrales de surface:
Masse:
Centre de gravit G tel que
Moment dinertie par rapport :
D) Pour un volume dans .
Comme pour une surface dans avec des intgrales triples:
Masse:
Centre de gravit G tel que
Moment dinertie par rapport : .
IX Formule de GreenRiemann (admise)
A) Compact lmentaire, compact simple
Soit K un sous-ensemble de . On dit que K est un compact
lmentaire lorsquil vrifie les hypothses du thorme de Fubini par
rapport aux deux axes, c'est--dire:
K peut tre dfini par (o sont continues sur )
Et aussi par (o sont continues sur . Un sous-ensemble K de est
un compact simple lorsquil se dcoupe, en traant des parallles aux
axes, en un nombre fini de compacts lmentaires.On admet que la
frontire dun compact simple constitue un arc ferm simple, de classe
par morceaux, et que lon peut orienter positivement (dans le sens
trigonomtrique direct)
Exemples:
Est un compact lmentaire (donc aussi simple)
Est un compact simple, mais non lmentaire (dcoup ici en 6
compacts lmentaires). On a pu ici orienter sa frontire dans le sens
direct (trigonomtrique direct)B) Thorme (GreenRiemann)
Soit K un compact simple, dont la frontire est oriente
positivement.Soit une forme diffrentielle de classe sur un ouvert
contenant K.
Alors
C) Application aux calculs daires
Soit un arc ferm simple de classe par morceaux, dfinissant la
frontire, oriente positivement, dun compact simple K:
Laire de K est donc
En particulier, si K peut tre dfini par , , on retrouve:
En effet,
Dans tous les cas, laire de K est aussi donne par .Dans le cas o
est donne par une quation polaire , , on a donc, sur :
Do
Donc et donc (formule dj vue)Ainsi, avec les hypothses vues plus
haut:
Chapitre 17 : Intgrale doubleAnalyse
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a
b
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B
B
A
A
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b
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C
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O
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