19743921 Cours Mecanique RDM BTS

7/29/2019 19743921 Cours Mecanique RDM BTS

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B.T.S. RESISTANCE des MATERIAUX Cours_Rdm.d

Maintenance Industrielle cours 1 / 29

I. INTRODUCTION ET HYPOTHESES

1. Buts de la rsistance des matriaux

La rsistance des matriaux a trois objectifs principaux :

la connaissance des caractristiques mcaniques des matriaux.(comportement sous leffet dune action mcanique)

l'tude de la rsistance des pices mcaniques.(rsistance ou rupture)

l'tude de la dformation des pices mcaniques.

Ces tudes permettent de choisir le matriau et les dimensions d'une pice mcanique

en fonction des conditions de dformation et de rsistance requises.

2. Hypothses

2.1. Le matriau

Continuit : la matire est suppose continue car son aspect molculaire est

trop "fin" pour l'tude qui nous intresse.

Homognit : on supposera que tous les lments de la matire, aussi petits

soient ils, sont identiques.

(hypothse non applicable pour le bton ou le bois)

Isotropie : on supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la

matire a les mmes proprits mcaniques.

(hypothse non applicable pour le bois ou les matriaux composites)

2.2. La disposition de la matire

La RDM tudie des pices dont les formes sont relativement simples. Ces

pices sont dsignes sous le terme de poutres .

Poutre : on appellepoutre (voir fig.) un solide engendr par une surface

plane (S) dont le centre de surface G dcrit une courbe plane (C) appele

ligne moyenne.


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Les caractristiques de la poutre sont :

ligne moyenne droite ou grand rayon de courbure. section droite (S) constante ou variant progressivement.

grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

existence d'un plan de symtrie.

G

G

G

(C) Ligne moyenne

(S)

2.3. Les forces extrieures

Plan de symtrie : les forces extrieures seront situes dans le plan de

symtrie de la poutre ou alors disposes symtriquement par rapport ce

plan.

Types d'actions mcaniques extrieures : deux types d'actions mcaniques

peuvent s'exercer sur la poutre (voir fig.) :

charges concentres (

F1 ou moment

MC )

charges rparties p sur DE. (exprimes en N/m).

F1Mc

CA B

D E

p


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Les dformations tant petites devant les dimensions de la poutre, les actions s'exerant sur

celle-ci seront calcules partir du principe fondamentalde la statique.

Les supports des forces seront eux considrs comme

constants.

2.4. Les dformations

Navier & Bernoulli : Les sectionsplanes normales aux

fibres avant dformation demeurentplanes et normales

aux fibres aprs dformation.

Barr de St Venan : Les rsultats obtenus par la RDM

ne s'appliquent valablement qu' une distance

suffisamment loigne de la rgion d'application des

efforts concentrs.

II. TORSEUR DES EFFORTS DE COHESION

1. Dfinition

Soit une poutre (E) en quilibre sous l'action de n actions extrieures. On associe

cette poutre un repre R (x,y,z) dont l'axe x concide avec la ligne moyenne de la

poutre.

Coupons la poutre (E) par un plan (P) orthogonal sa ligne moyenne, situ

l'abscisse x. On dfinit ainsi deux portions de poutre (E1) et (E2).

X

Y

Z

G

x

E1 E2

O A

A'

F

O A

fig.4


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(E) tant en quilibre, on peut crire : { } { }E E = 0

(E1) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { }E E E E + =1 2 1 0

(E2) tant en quilibre, on peut crire : { } { } { }E E E E + =2 1 2 0

On en dduit :

{ } { } { }E E E E E E2 1 1 2 = =

{ }E E2 1 est le torseur qui traduit l'action de contact de (E2) sur (E1).

Cette action est due aux efforts de cohsion qui permettent la poutre de ne pas se

"disloquer" sous l'effet d'actions extrieures.

La RDM vise en particulier vrifier qu'en aucun point de la poutre les efforts de

cohsion "transmettre" ne soient suprieurs aux capacits du matriau.

On note :

{ } { } { }Cohsion E E E E = = 2 1

2. Composantes du torseur de cohsion

Dans le torseur de cohsion, on peut faire apparatre la rsultante et le moment qui

dpendent de la position de la section (x).

{ }CohsionR x

M xG G

=

( )

( )

2.1. La rsultante

R

N

Ty

TzR

N : effort normal, projection de R sur la normale extrieure (x). Ty et Tz : efforts tranchants, projections de R sur le plan de section droite.

G N

T

Tz

R


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2.2. Le moment rsultant

De la mme manire, on retrouve pour les moments, 3 composantes :

MT : moment de torsion, projection du moment sur la normale extrieure. Mfy et Mfz : moments de flexion, projection du moment sur le plan de

section droite.

soit :

M

Mt

Mfy

Mfz

G

R

Toutes ces composantes N, Ty, Tz, MT, Mfy et Mfz dpendent de la position de la

section droite (x).

On peut donc reprsenter leurs volutions laide de diagrammes.

2.3. Les sollicitations

Suivant les lments de rduction non-nuls du torseur de cohsion (N, Ty, Tz, MT,

Mfy et Mfz ) on peut alors identifier le type de sollicitation que subit la poutre, savoir :

Composantes Sollicitation

N > 0 Extension (traction)

< 0 Compression

Ty Cisaillement

Tz

Mt Torsion

Mfy Flexion

Mfz

Lorsque lon a une seule de ces sollicitations on parle de sollicitation simple, sinon

on a un problme de sollicitations composes.


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III. EXTENSION - COMPRESSION

3.1. Extension

3.1.1 Dfinition

Une poutre est sollicite l'extension simple lorsqu'elle est soumise deux

forces directement opposes, appliques au centre de surface des sections

extrmes et qui tendent l'allonger.

BBAA

G

RAA

(S)

x

y

z

R

Les lments de rduction en G du torseur des efforts de cohsion s'expriment par :

{ }Cohsion

N

G x y z

=

0

0 0

0 0( , , )

avec N > 0

3.1.2 Essai d'extension

Une prouvette en acier est sollicite l'extension par une machine d'essai, qui

permet de dterminer l'allongement de l'prouvette en fonction de l'effort qui

lui est appliqu.

A B

l

A' B'l + l

F F

0

0


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On obtient alors la courbe dessai ci-dessous

F(N)

l (mm)O

AB

C

D

Analyse de la courbe obtenue

Zone OA : c'est la zone des dformations lastiques. Si l'on rduit la valeur de F

jusqu' une valeur nulle, l'prouvette retrouve sa longueur initiale.

Dans cette zone, l'allongement est proportionnel l'effort d'extension.

Des essais effectus avec des prouvettes de dimensions diffrentes permettent de

constater que pour un mme matriau, l'allongement unitaire( l / l0) est

proportionnel l'effort unitaire (F / S0).Les sections droites et planes de l'prouvette restent droites et planes pendant

l'essai.

Zone ABCD : c'est la zone des dformations permanentes. Si l'on rduit la valeur

de F jusqu' une valeur nulle, l'prouvette ne retrouve pas sa longueur initiale.

On ne s'intressera (pour linstant) qu' la zone des dformations lastiques.

3.1.3 Dformations lastiques

Laproprit constate ci-dessus a permis pour diffrents matriaux d'tablir la

relation :

N

SE

l

l=

Units : F en Newton

S en mm2

E en MPa (N/mm2)

l et l en mm.


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E est une caractristique du matriau appele module d'lasticit longitudinal ou

module de Young.

Matriau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstne

E (MPa) 60000160000 200000 120000 70000 400000

Lors de cet essai, on met aussi en vidence une autre caractristique de llasticit ; il

existe un rapport constant entre la contraction relative transversale (d / d) et

l'allongement relatif longitudinal (l / l).On peut crire :

d

d

l

l= Units : sans unit

et l en mm.

est aussi une caractristique du matriau (coefficient de Poisson), il est de l'ordre de0,3 pour les mtaux.

3.1.4 Contraintes

Soit (E1) le tronon de la poutre (E) issu de sa coupure par un plan orthogonal

sa ligne moyenne .

F

E1

x

y

z

G

(S)

R

R=N.x

fig.8

Le tronon (E1) est en quilibre sous l'action de F et des efforts de cohsion

dans la section droite (S).

Soit S l'aire de la section droite (S). On dfinit la contrainte dans la sectiondroite (S) par la relation :

=N

S

avec : contrainte normale d'extension (> 0) en MPa.

N : effort normal d'extension en Newton.S : aire de la section droite (S) en mm2.


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La contrainte permet de "neutraliser" la surface et par consquent de comparer

des prouvettes de sections diffrentes.

3.1.5 Loi de HOOKE

Nous avons dj vu que =N

Set que

F

SE

l

l=

, on peut en dduire que :

= =El

lE

.

l

lest l'allongement lastique unitaire suivant x, il gnralement not

Units : en MpaE en Mpa

sans unit

3.1.6 Caractristiques mcaniques d'un matriau

Contrainte limite lastique en extension e

C'est la valeur limite de la contrainte dans le domaine lastique, appeleaussi limite d'lasticit Re.

Pour l'acier, cette valeur est voisine de 300 MPa.

Contrainte limite de rupture en extension rC'est la valeur limite de la contrainte avant rupture de l'prouvette, appele

aussi nomme rsistance la traction R.

Pour l'acier, cette valeur est voisine de 480 MPa.

Allongement A%

A l ll

% *= 00

100

avec :

l0

: longueur initiale de l'prouvette.

l : longueur de l'prouvette sa rupture.

Pour l'acier, on constate des valeurs de A% voisines de 20%.

loi de Hooke


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3.1.7 Condition de rsistance

Pour des raisons de scurit, la contrainte normale doit rester infrieure une valeur limite appele contrainte pratique l'extension pe.

On a :

pe

e

s=

s est un coefficient de scurit qui varie de 1,1 10 selon les domaines

d'application.

La condition de rsistance traduit simplement le fait que la contrainte relle ne

doit pas dpasser le seuil prcdent, soit :

relle peN

S=

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