1Club Cast3M - 20/11/06 Application du couplage mécano-fiabiliste aux structures navales corrodées Mikaël Cazuguel & Jean-Yves Cognard Financement : bourse

1Club Cast3M - 20/11/06

Application du couplage Application du couplage mécano-fiabiliste aux mécano-fiabiliste aux

structures navales structures navales corrodéescorrodées

Application du couplage Application du couplage mécano-fiabiliste aux mécano-fiabiliste aux

structures navales structures navales corrodéescorrodéesMikaël Cazuguel & Jean-Yves Cognard

Financement : bourse DGA-CNRSCollaboration : IFREMER et Université de NantesContact : [email protected]

>

2DGA - 20/11/06 2Club Cast3M -

Plan de la présentation

1 – Problématique et objectifs

2 – Les outils de la fiabilité

3 – Prise en compte des effets de corrosion en

éléments finis non-linéaires 2D

4 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

5 – Conclusions & perspectives

>


1 – Problématique & objectifs

Efficacité et robustesse des

méthodes fiabilistes

Modélisation de structures

complexes par analyse éléments finis

Contexte

Design réaliste : Prise en compte du comportement non-linéaire matériau

Problèmes non-linéaires dépendant du temps coûteux

Adapter l’analyse non-linéaire aux parties les plus sollicitées

>


1 – Problématique & objectifs

Efficacité et robustesse des

méthodes fiabilistes

Modélisation de structures

complexes par analyse éléments finis

Contexte

Etude de la durabilité des structures marines :

Pas de solutions analytiques

=> Analyse éléments finis

non-linéaire requise

Corrosion, soudage, fatigue,… :

phénomènes stochastiques

=> Méthodes de fiabilité fonction

du temps requise

>


1 – Introduction & objectifs

Objectifs de la thèse

Etre capable d’appliquer une approche fiabiliste fonction du temps à des

structures industrielles à comportement non-linéaire, dépendant du temps,

etc… modélisées par éléments finis

But du couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps :

évaluer plus précisément la durabilité d’une structure tout au long de sa

durée de vie, et fournir des méthodes d’optimisation des facteurs de

sécurité

>


2 – Les outils de la fiabilité indépendante du temps

Étapes d’une étude fiabiliste

1 - Définir le modèle mécanique ;

2 - Définir les données probabilistes, ou variables de conception : ),( tX3 - Choisir le scénario de défaillance (dimensionnant pour la structure)

définition de la fonction de performance :

Surface d’état-limite Domaine de sûreté Ds

Domaine de défaillance Df

4 - Effectuer les calculs ;

5 - Analyser les résultats.

0)),(,( ttG X

0)),(,( ttG X0)),(,( ttG X

)0)),(,(()(, TTGprobTP if X

)),(,( ttG X

Failure domain

x2*

x2

x1 x1

*

P*

0)( ixG

0

>



Méthode d’approximation FORM/SORM

Espace physique

Espace normé

Tiso

Domaine de défaillance

x2*

x2

x1 x1

*

P*

0)( ixG

0

Hyperplan tangent


u2*

u2

u1 u1

*

P*

β

0)( iuH

α

0

iji

xGuHHL xTOP

ji

2

0

T

0

* min.min distance uu

>



)(, ifPα : cosinus directeurs

u* : coordonnées du point de conception P*

β : indice de fiabilitéΦ : fonction de répartition de la loi normale centrée réduite


Espace physique

Espace normé

Tiso


x2*

x2

x1 x1

*

P*

0)( ixG

0

Hyperplan tangent


u2*

u2

u1 u1

*

P*

β

0)( iuH

α

0

>


1,E-09

1,E-08

1,E-07

1,E-06

1,E-05

1,E-04

1,E-03

1,E-02

1,E-01

1,E+00

0 1 2 3 4 5 6

indice β

Pro

bab

ilit

é P

f

3103 fP

5,00 fP


)(, ifP


>

10DGA - 20/11/06 10Club Cast3M -

2 – Les outils de la fiabilité fonction du temps

Probabilité de défaillance instantanée et probabilité de défaillance cumulée

0,,Prob 111, ttGtP if X 0),(, que tel,,Prob),( 1010, ttGtttttP cf X

Cas d’égalité entre probabilité de défaillance instantanée et cumulée :

décroissance de la fonction d’état-limite G sur l’intervalle d’étude [0,T]

>

11DGA - 20/11/06 11Club Cast3M -


L’approche par taux de franchissements

G(t,Xi(t,ω1))

G(t,Xi(t,ω2)) G(t,Xi(t,ω3))

G(t,Xi(t,ω))

0 temps

Franchissement sortant

Franchissement rentrant

N+(t1, t2) : nombre de franchissements sortant sur l’intervalle [t1, t2]

1,lim

0

ttNPt

Encadrement de Pf,c [Shinozuka 1964, Bolotin 1981] :

T

ifcfifTt

dttPTPtP0

,,,0

)()0(),0()]([max

>

12DGA - 20/11/06 12Club Cast3M -


Méthodologie de la méthode PHI2 (en utilisant FORM)Approche système (ne nécessite que des outils de calcul de Pf,i) pour

l’évaluation de la probabilité dans la définition du taux de franchissements :

α(t)


u2*(t)

u2

u1 u1

*(t)

P*(t) β(t)

0)),(( tuH i

0

α(t+Δτ)

u2*(t+Δτ)

u2

u1 u1

*(t+Δτ)

P*(t+Δτ)

β(t+Δτ)

0)),(( tuH i

0


)().(),( ttttGG αα

- 1ère analyse

FORM :- 2ème analyse

FORM :

- Corrélation entre A et B:

=> Evaluation au 1er ordre du

taux de franchissements PHI2

[Renaud & Lemaire 2002] :

ttttt GG

PHI

,,,2

2

α(t)


u2*(t)

u2

u1 u1

*(t)

P*(t) β(t)

0)),(( tuH i

0

α(t+Δτ)

u2*(t+Δτ)

u2

u1 u1

*(t+Δτ)

P*(t+Δτ)

β(t+Δτ)

0)),(( tuH i

0


Amélioration [Sudret 2005] : tttttPHI'''new,

2 ..

>

13DGA - 20/11/06 13Club Cast3M -

Dans la littérature (mécano-fiabiliste) : Nombreux modèles de propagation de la corrosion

3 – Prise en compte des effets de corrosion en EF NL 2D

[Paik & Thayamballi 2002]

>

14DGA - 20/11/06 14Club Cast3M -


Peu de modélisations E.F. prenant en compte les effets de corrosion

(perte d’épaisseur en cas de corrosion généralisée, aspérités si piqures…)

[Paik et al. 2004]


>

15DGA - 20/11/06 15Club Cast3M -

Modèles EF difficiles à utiliser dans notre cas : re-maillage de la structure à

chaque pas de temps pour traiter les variations d’épaisseurs =>

approximations numériques dues au transfert d’information entre maillages





>

16DGA - 20/11/06 16Club Cast3M -

Approche proposée en EF 2D à comportement non-linéaire : Modélisation 2D compatible avec de multiples sites de corrosion

Dans un premier temps, utilisation d’un modèle classique d’évolution

temporelle (pas de temps de transition, progression linéaire de la corrosion)

Début de

corrosion

Structure age (years)

Co

rro

sio

n d

ep

th (

mm

)

MgtftMC .,

ans 15 corr. Prof.

corr. Prof.

t

ttf

elliptique champMg

Modèles EF difficiles à utiliser dans notre cas : re-maillage de la structure à

chaque pas de temps pour traiter les variations d’épaisseurs =>

approximations numériques dues au transfert d’information entre maillages





>

17DGA - 20/11/06 17Club Cast3M -

ee

S

tMFptMetMF ,..,,

Approche proposée en EF 2D à comportement non-linéaire : Variation de l’épaisseur par modification de la procédure de résolution Cast3M®

e e

tMFptMF ,.,

e ee

SS

tMFpetMFetMF ,.,.,

0

dSfNdVfNdVB stvti

t Equation d’équilibre (PPV)

=>


>

18DGA - 20/11/06 18Club Cast3M -


0

dSfNdVfNdVB stvti

t

Processus itératif

EF non-linéaire =>

linéaire-nonnt Comporteme

econvergenc deon Accélérati

fuKe

ee

S

tMFptMetMF ,..,,

e e

tMFptMF ,.,

e ee

SS

tMFpetMFetMF ,.,.,

Equation d’équilibre (PPV)

=>


>

19DGA - 20/11/06 19Club Cast3M -


0

dSfNdVfNdVB stvti

t

S

it

it dSeBdVB

ee

S

tMFptMetMF ,..,,

e e

tMFptMF ,.,

e ee

SS

tMFpetMFetMF ,.,.,

Equation d’équilibre (PPV)

=>

Processus itératif

EF non-linéaire =>

linéaire-nonnt Comporteme

econvergenc deon Accélérati

fuKe


>

20DGA - 20/11/06 20Club Cast3M -


Implémentation dans Cast3M® :

Epaisseur à un instant donné Opérateur TIRE

permet de tirer d'un objet de type CHARGEMENT un objet correspondant au chargement à un instant donné

MgtftMC ., Modélisation de la perte d’épaisseur Fonction de l’espace et du temps

Opérateur CHAR utilisation d’un objet de type CHARGEMENT possibilité de superposer plusieurs « couples de fonctions »

Prise en compte de la perte d’épaisseur dans le calcul Procédures PASAPAS & INCREME Sauvegarde des informations dans la TABLE de PASAPAS Forces internes : multiplication du champ de contrainte par l’épaisseur avant l’utilisation de BSIGMA

>

21DGA - 20/11/06 21Club Cast3M -

Modèle mécanique étudié: Géométrie déterministe : L = 5 mm, l = 2 mm,

a = 0.5 mm, b = 2.5 mm, ec = 0,5 mm

Maillage par EF quadrangulaire à 8 noeuds

Chargement P modélisé par un processus

stochastique (EOLE), moy.=400 MPa, e.t.=5%

Loi de comportement matériau simple : élasto-

plastique à écrouissage isotrope linéaire

Evolution spatiale et temporelle de la corrosion :

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 5 10 15

Time (years)

f(t)

f(t)

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0,0% 0,5% 1,0% 1,5% 2,0%

StrainS

tres

s (M

Pa)

MgtftMC .,

ans 15 corr. Prof.

corr. Prof.

t

ttf

elliptique Champ Mg

P

a

b

l

L

ec


>

22DGA - 20/11/06 22Club Cast3M -

Exemple de calcul non-linéaire avec variation de l’épaisseur :


>

23DGA - 20/11/06 23Club Cast3M -

Pourquoi utiliser Cast3M® :

PHIMECA pilote le calcul EF pour un jeu de variables donné

(variables aléatoires et processus stochastiques) Modèle mécanique entièrement paramétré

géométrie, comportement, chargement, maillage…

Analyse des résultats Assurer une discrétisation en espace « constante » dans les zones fortement sollicitées (points de contrôle pour le maillage) Assurer une discrétisation en temps compatible avec l’histoire en temps du chargement (discrétisation en temps « adaptable ») Possibilité de définir facilement des fonctions de performance “complexes”


>

24DGA - 20/11/06 24Club Cast3M -


Schéma d’implémentation du couplage

Variables aléatoires Processus stochastiques

Modèle mécanique

Cosinus directeurs α(t) Indice de fiabilité β(t)

Taux de franchissements υ(t)

PHIMECA® Pilotage A.E.F. & analyse fiabiliste

CASTEM® Analyse elements

finis (A.E.F.)

Tir

Probabilité de défaillance cumulée Pf,c

Qualité du maillage insuffisante

Critères de convergences insuffisants

Données (variables)

Résultats E.F.

>

25DGA - 20/11/06 25Club Cast3M -


Modèle mécanique





finis (A.E.F.)

Tir





Résultats E.F.


Définition du modèle

mécanique E.F. dont la

réponse durant l’analyse

fiabiliste sera évalué par

Cast3M


>

26DGA - 20/11/06 26Club Cast3M -


Modèle mécanique





finis (A.E.F.)

Tir





Résultats E.F.


Définition des variables

aléatoires et processus

stochastiques dans

PHIMECA, qui pilote

l’analyse fiabiliste par

couplage direct avec

Cast3M


>

27DGA - 20/11/06 27Club Cast3M -


Modèle mécanique





finis (A.E.F.)

Tir





Résultats E.F.


Corrélation ρGG inappropriée

=> réévaluation des produits de

l’analyse fiabiliste :

- critères de convergence

plus stricts sur l’algorithme

fiabiliste ?

- meilleur modèle E.F. ?


>

28DGA - 20/11/06 28Club Cast3M -


Modèle mécanique





finis (A.E.F.)

Tir





Résultats E.F.


Evaluation de la fiabilité

fonction du temps effectuée

par la méthode PHI2


>

29DGA - 20/11/06 29Club Cast3M -

),(Sup)(,Plaque

max

MptptM

Fonction de performance Gε associée au scénario :

)()( maxlim tpptG

Conséquence de la décroissance de Gε :

],0[)(),0( ,, TPP ifcf

« la déformation plastique cumulée maximale pmax(t) dépasse

une déformation limite plim=1. 10-2 » avec

Choix d’un scénario de défaillance prenant en compte

le comportement non-linéaire du matériau :


P

a

b

l

L

ec

>

30DGA - 20/11/06 30Club Cast3M -

Paramètres des variables aléatoires (distributions gaussiennes):

Cas du chargement aléatoire : 7 variables aléatoires

=> coût calcul d’une analyse fiabiliste ≈ 3h

Cas du chargement stochastique : 21 variables aléatoires

=> coût calcul d’une analyse fiabiliste ≈ 8h


P

a

b

l

L

ec

Type Variable Moy. E.T. ½ petit axe de l’ellipse a (mm) 0.5

½ grand axe de l’ellipse b (mm) 2.5 Profondeur de corrosion max. ec (mm) 0.5

10% Corrosion

Durabilité de la peinture Tc (years) 5 20% Déf. plastique cumulée limite plim 1.E-2 10% Matériaux Limite élastique initiale σy (MPa) 400 5% Chargement aléatoire P (N) 800 5%

Chargement Chargement stochastique Moy. 800 N, E.T. 5% )( i 0 1

>

31DGA - 20/11/06 31Club Cast3M -

Méthodes et paramètres retenus pour les analyses FORM : Analyses fiabilistes avec l’algorithme d’Abdo-Rackwitz [Abdo & Rackwitz

1990] associée à une méthode “line-search” de 1er ordre Critères de convergence : - fiabilité :

- E.F. : norme des forces résiduelles < 10-5

401 10)(/)(

xGxG k3

1 10 kk


Paramètres des variables aléatoires (distributions gaussiennes):

Type Variable Moy. E.T. ½ petit axe de l’ellipse a (mm) 0.5

½ grand axe de l’ellipse b (mm) 2.5 Profondeur de corrosion max. ec (mm) 0.5

10% Corrosion

Durabilité de la peinture Tc (years) 5 20% Déf. plastique cumulée limite plim 1.E-2 10% Matériaux Limite élastique initiale σy (MPa) 400 5% Chargement aléatoire P (N) 800 5%

Chargement Chargement stochastique Moy. 800 N, E.T. 5% )( i 0 1

>

32DGA - 20/11/06 32Club Cast3M -

Comparaison des chargements aléatoires et stochastiques :

Adéquation des évolutions avec l’intuition physique :

- plus on est proche de la fin de la protection de la peinture, moins la façon de

prendre en compte le chargement a une influence

- Hétérogénéités induites par la corrosion augmentées par les pics de chargement

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

9 11 13 15

Time (years)

Ins

tan

teo

us

pro

ba

bili

ty o

f fa

ilure

Pfi (T stochastic)

Pfi (T random)

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

9 10 11 12 13 14 15

Time (years)

Cu

mu

lati

ve

pro

ba

bili

ty o

f fa

ilure

Pfc (T stochastic)

Pfc (T random)


>

33DGA - 20/11/06 33Club Cast3M -

Sur-évaluation d’environ 40% de Pf,c par rapport à Pf,i: Précision insuffisante

de la méthode ?

1,0E-09

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

1,0E-02

8 9 10 11 12 13 14 15

Time (years)

Pro

bab

ility

of

failu

re

Pfc (T stochastic)

Pfi (T stochastic)


Résultats obtenus avec chargement stochastique :

>

34DGA - 20/11/06 34Club Cast3M -

Problèmes numériques induits par l’élasto-plasticité :

— char. constant 450MPa, — char. constant 400MPa, — trajectoire char. stochastique (moy 400MPa)


>

35DGA - 20/11/06 35Club Cast3M -

5 – Conclusions & perspectives

Mise en oeuvre du couplage facilitée par l’utilisation de Cast3M® Validation d’une nouvelle approche permettant de prendre en compte les

effets en temps et en espace de la corrosion, dans le cadre d’un couplage

entre fiabilité fonction du temps et éléments finis non-linéaires : Re-maillage structure non nécessaire

Influence chargement stochastique / chargement aléatoire

Amélioration de la méthode en cours:

Modélisation stochastique plus réaliste des paramètres d’évolution

de la corrosion

Diminution du coût calcul

=> en adaptant la discrétisation temporelle à l’évolution de la

corrosion

=> en mettant à jour la matrice de rigidité en fonction de l’épaisseur

Prise en compte de multiples sites de corrosion…

>

36DGA - 20/11/06 36Club Cast3M -

A1 – Méthode EOLE

Principe de discrétisation d’un processus stochastique par EOLE

(Expansion Optimal Linear Estimation, [Li & Der Kiureghian 1995] )

Intervalle de temps [0,T] discrétisé en N

points ti,i=1..N

mX: moyenne du processus

σX: écart-type

ξi(ω): variables aléatoires gaussiennes

centrées réduites indépendantes

(λi,Φi): valeurs propres et vecteurs propres

de la matrice de corrélation CCt,ti

(t) = ρXX(t,ti),i=1..N

r: ordre d’expansion (r ≤ N)

r

itt

Ti

i

iXX tCttmtX

i1

, )()(

).()(),(

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 5 10 15

Time (years)

Lo

ad

(N

)

Mean of the process

A possible trajectory

>

37DGA - 20/11/06 37Club Cast3M -

Résultats obtenus avec chargement aléatoire :

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

9 11 13 15

Time (years)

Ou

tcro

ss

ing

ra

te (

ran

do

m lo

ad

)

Nu (Old PHI2)

Nu (New PHI2)

1,0E-08

1,0E-07

1,0E-06

1,0E-05

1,0E-04

1,0E-03

9 11 13 15

Time (years)

Pro

ba

bili

ty o

f fa

ilure

(ra

nd

om

loa

d)

Pfc (Old PHI2)

Pfc (New PHI2)

Pfi

A2 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

>

38DGA - 20/11/06 38Club Cast3M -

Sur-évaluation de la probabilité de défaillance cumulée avec l’ancienne

méthode PHI2

tPtPmoy

tPtPterr

ifcf

ifcfPf

,,

,,

;

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

7 9 11 13 15

Time (years)

Re

lati

ve

err

or

(ra

nd

om

loa

d)

Old PHI2

New PHI2

A2 – Couplage mécano-fiabiliste dépendant du temps

Résultats obtenus avec chargement aléatoire :

>

39DGA - 20/11/06 39Club Cast3M -



>

40DGA - 20/11/06 40Club Cast3M -



>

41DGA - 20/11/06 41Club Cast3M -



>

42DGA - 20/11/06 42Club Cast3M -



>

43DGA - 20/11/06 43Club Cast3M -



>

44DGA - 20/11/06 44Club Cast3M -



>

45DGA - 20/11/06 45Club Cast3M -



>

46DGA - 20/11/06 46Club Cast3M -




>

47DGA - 20/11/06 47Club Cast3M -




>

48DGA - 20/11/06 48Club Cast3M -




>

49DGA - 20/11/06 49Club Cast3M -




>

50DGA - 20/11/06 50Club Cast3M -




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51DGA - 20/11/06 51Club Cast3M -




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