U TILISER C AST 3M E. L E F ICHOUX

P RSENTATION ET U TILISATIONDE

C AST 3M

DITION 2011

Ce document a t initialement conu et ralis par Emmanuelle L E F ICHOUX lcole Nationale Suprieure des Techniques Avances (ENSTA).

Documentation Cast3M 2011 http://www-cast3m.cea.fr

Cast3M est un logiciel de calcul par la mthode des lments nis pour la mcanique des structures et des uides. Cast3M est dvelopp au Dpartement de Modlisation des Systmes et Structures (DM2S) de la Direction de lnergie Nuclaire du Commissariat lnergie Atomique et aux nergies Alternatives (CEA). Le dveloppement de Cast3M entre dans le cadre dune activit de recherche dans le domaine de la mcanique dont le but est de dnir un instrument de haut niveau, pouvant servir de support pour la conception, le dimensionnement et lanalyse de structures et de composants. Dans cette optique, Cast3M intgre non seulement les processus de rsolution (solveur) mais galement les fonctions de construction du modle (pr-processeur) et dexploitation des rsultats (post-traitement). Cast3M est un logiciel bote outils qui permet lutilisateur de dvelopper des fonctions rpondant ses propres besoins. Cast3M est notamment utilis dans le secteur de lnergie nuclaire, comme outil de simulation ou comme plateforme de dveloppement dapplications spcialises. En particulier, Cast3M est utilis par lInstitut de Radioprotection et de Sret Nuclaire (IRSN) dans le cadre des analyses de sret des installations nuclaires franaises.

TABLE DES MATIRES

Table des matires1 Prsentation gnrale de Cast3M 1.1 Historique . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Organisation dun calcul . . . . . . . 1.3 Principes de dveloppement de castem 1.4 Mise en uvre . . . . . . . . . . . . . 1.5 Possibilits de castem . . . . . . . . . 7 7 7 8 9 10 11 11 11 12 17 17 19 20 21 24 27 27 28 29 29 31 32 33 34 35 35 36 37 38 41 42 42 42 43 5

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Aspects gnraux dutilisation 2.1 Systme dunits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rgles syntaxiques gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Excution du programme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Les objets 3.1 Classication des objets . . . . . . 3.2 Utilisation des objets lmentaires 3.3 Utilisation des objets de maillage . 3.4 Utilisation des objets de calcul . . 3.5 Objets EVOLUTION et TABLE .

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Procdures 4.1 Dnition dune procdure pendant lexcution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Dnition dune procdure dans un chier externe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maillage 5.1 Cration des points et des lignes . . . . . . . . . . 5.2 Cration de surfaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Oprateurs SURFACE et DALLER . . . . 5.2.2 Oprateur REGLER . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Oprateurs TRANSLATION et ROTATION 5.3 Cration de volumes . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1 Oprateur VOLUME . . . . . . . . . . . . 5.3.2 Oprateur PAVER . . . . . . . . . . . . . 5.4 Rcapitulation des oprateurs de maillage . . . . . 5.5 Exemple : Maillage dun cylindre creux . . . . . . Prparation du modle de calcul 6.1 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Liste des diffrentes formulations 6.2 Matriaux et caractristiques des lments 6.3 Conditions limites et chargement . . . . .

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TABLE DES MATIRES 7 Rsolution dun calcul 7.1 Construction des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Analyse statique linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Analyse modale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traitement des rsultats 8.1 Oprateurs de post traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Graphiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Erreurs classiques 45 45 46 49 53 53 54 59 63 63 63 63 64 66 66 66 67 69 69 69 71 73 73 73 74 75 77 77 77 78 79 79 80 82 85 85 85 87 91

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10 Calculs mcaniques 10.1 Chargement type poids propre 10.1.1 Donnes du problme 10.1.2 Fichier de donnes . . 10.1.3 Commentaires . . . . 10.2 Calcul axisymtrique . . . . . 10.2.1 Donnes du problme 10.2.2 Fichier de donnes . . 10.2.3 Commentaires . . . . 10.3 Calcul dynamique pas pas . . 10.3.1 Donnes du problme 10.3.2 Fichier de donnes . . 10.3.3 Commentaires . . . .

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11 Calculs thermiques 11.1 Calcul du champ de tempratures dun tube pais 11.1.1 Donnes du problme . . . . . . . . . . 11.1.2 Fichier de donnes . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Tube soumis une convection force . . . . . . . 11.2.1 Donnes du problme . . . . . . . . . . 11.2.2 Fichier de donnes . . . . . . . . . . . . 11.2.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Calcul thermo-mcanique . . . . . . . . . . . . . 11.3.1 Donnes du problme . . . . . . . . . . 11.3.2 Fichier de donnes . . . . . . . . . . . . 11.3.3 Commentaires . . . . . . . . . . . . . .

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12 Calculs non linaires 12.0.4 Donnes du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.0.5 Fichier de donnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.0.6 Commentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Index

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Chapitre 1

Prsentation gnrale de Cast3M1.1 HistoriqueLe dveloppement des codes de calcul a volu de pair avec le matriel informatique. Au dpart, les programmes de calcul taient crits pour rsoudre des problmes donns et fonctionnaient gnralement en bote noire. Trois programmes constituant le noyau du systme Cast3M ont t dvelopps au CEA/DMT : il sagissait dun programme de maillage, dun programme de calcul et dun programme de visualisation des rsultats. La multiplicit des problmes a ensuite conduit dvelopper des programmes de calcul distincts capables de communiquer entre eux le cas chant. Les progrs du matriel informatique a alors permis de dvelopper de nombreuses fonctions qui rduisaient les temps de prparation des jeux de donnes. Ainsi, il fallait remettre niveau tous les codes en rpercutant dans chacun les amliorations et corrections effectues dans lun dentre eux. De plus, les jeux de donnes devenaient de plus en plus compliqus et le post-traitement devait tre capable de relire des chiers diffrents selon les codes de calcul utiliss. ces problmes se sont ajouts de nouveaux besoins tels que des structures plus complexes mettant en jeu des phnomnes varis et coupls (couplage mcanique-thermique) ou bien intgration des fonctions de maillage dans le processus de calcul (optimisation de forme). Toutes ces considrations ont conduit repenser la base le problme du calcul numrique de manire dvelopper un code de calcul de nouvelle gnration : Cast3M. Contrairement aux anciens codes de calcul, crits pour rsoudre des problmes donns et auxquels lutilisateur doit se plier, Cast3M peut sadapter aux besoins de lutilisateur pour rsoudre ses problmes. De plus, Cast3M donne lutilisateur la connaissance du problme effectivement pos et des mthodes employes.

1.2 Organisation dun calculUne analyse gnrale effectue laide de la mthode des lments nis peut se dcomposer en quatre grandes tapes : le choix de la gomtrie et du maillage, la dnition du modle mathmatique, la rsolution du problme discrtis, lanalyse et le post-traitement des rsultats. Chacune des tapes peut galement tre dcompose en une srie de processus lmentaires. 1. Choix de la gomtrie et du maillage : Dnition des points, lignes, surfaces et volumes. Discrtisation. 2. Dnition du modle mathmatique : Dnition des donnes caractrisant le modle : 7

CHAPITRE 1. PRSENTATION GNRALE DE CAST3M type danalyse : dformations ou contraintes planes, axisymtrie, sries de Fourier, etc... formulation : mcanique, thermique, uide, etc... comportement du matriau : lastique (isotrope, orthotrope, ...), plastique (isotrope, parfait, ...), etc... type dlments : poutres, barres, coques, etc... Dnition des proprits matrielles (constantes dlasticit, masse volumique, etc...). Dnition des proprits gomtriques (section des poutres, inerties, paisseur des coques, etc...). Dnition des conditions aux limites. Dnition des sollicitations. Conditions initiales. ... 3. Rsolution du problme discrtis : Calcul des matrices de rigidit et de masse de chaque lment ni. Assemblage des matrices de rigidit et de masse de la structure complte. Application des conditions aux limites. Application des chargements. Rsolution du systme dquations. 4. Analyse et post-traitement des rsultats : Quantits locales : dplacements, contraintes, dformations, etc... Quantits globales : dformation maximale, nergie de dformation, etc... Les programmes de calcul par lments nis classiques sont structurs selon cette logique, chaque tape tant associe un module du code : le pr-processeur pour la dnition du maillage et du modle mathmatique, le programme de calcul qui envoie une srie de processus selon la procdure de calcul choisi par lutilisateur, celui-ci ne peut matriser lenchanement des processus. La procdure agit comme une bote noire sur laquelle lutilisateur na aucune possibilit dintervention. le post-processeur qui procde aux traitements ncessaires aprs avoir reu les rsultats des modules prcdents. Il apparat clairement quun code de calcul classique exclut toute intervention de la part de lutilisateur qui dsirerait apporter des modications rpondant ses propres besoins. Or, il peut savrer trs utile de pouvoir dnir pas--pas la squence la mieux adapte parmi les processus lmentaires disponibles pour chaque tape. Ceci est dautant plus valable lorsque lutilisateur doit rsoudre des problmes varis et localiss en diffrents points du processus de rsolution. En effet, outre les trois grandes tapes obligatoires, il faut pouvoir disposer de facilits telles que : la visualisation des informations toutes les tapes de manire contrler les donnes introduites et le droulement du calcul, larchivage et la restauration des informations an dtre capable dinterrompre un calcul et de le continuer ultrieurement, la possibilit ditrer dans les tapes dsires. Chaque tape peut tre dcompose en une srie de processus lmentaires. Chacun de ces processus lmentaires acquiert de linformation existante, la met en forme, la traite et fabrique de nouvelles informations. Faire un calcul revient donc slectionner les processus lmentaires adapts au type du problme et leur fournir les informations ncessaires existantes ou nouvelles. Cest dans cette optique que Cast3M a t dvelopp, an de dpasser les limites dadaptabilit offertes par les codes de calcul conventionnels.

1.3 Principes de dveloppement de castemCast3M est avant tout un outil pour faire des calculs. Il intgre tous les processus utiliss par le pass et doit pouvoir accueillir tous ceux dont on aura besoin dans lavenir pour traiter de nouveaux problmes. Il permet 8

1.4. MISE EN UVRE lutilisateur dadapter ses calculs selon les problmes quil doit rsoudre. Il donne lutilisateur la connaissance du problme pos et des mthodes employes. Ceci a t rendu possible par lapplication : dun principe : la SIMPLICITE, lobservation de quatre rgles : lORTHOGONALITE, la VISIBILITE, la REGULARITE et la DOCUMENTATION, la poursuite dun objectif : la QUALITE. La simplicit Il sagit dun principe de bon sens, mais dont lapplication nest pas si aise. Cest le fondement de la dmarche scientique : il est facile de faire des choses compliques partir de choses simples. Par ailleurs, simple ne signie pas simpliste. Lorthogonalit des processus Cette rgle est base sur deux ides : Les processus sont indpendants entre eux : on peut changer ou modier un processus sans toucher aux autres. Tous les processus peuvent se combiner, cest ce qui fait la puissance du code. Il en rsulte que lon peut tester le fonctionnement des processus de manire indpendante. La visibilit et la localit des processus La visibilit vise supprimer lexistence de donnes caches, en imposant que toutes les donnes soient indiques au processus de manire visible, l o elles sont utilises. La localit permet principalement de dtecter les erreurs de donnes lendroit o elles sont dnies et non pas beaucoup plus loin dans le calcul, ce qui rendrait leur diagnostic malais. Cette double rgle a un corollaire immdiat : linformation cre par le processus doit aussi tre visible. La rgularit des processus Il sagit dune part de la rgularit dans lutilisation des processus et dautre part de la rgularit dans les possibilits dun processus. Rgularit dans lutilisation des processus : il nexiste pas dexception dans la syntaxe des donnes. Ceci permet davoir des syntaxes identiques pour des processus diffrents ayant besoin des mmes donnes. Rgularit dans les possibilits dun processus : il nexiste pas dexception dans les oprations possibles du processus. La documentation des processus La documentation dun processus fait partie du processus et elle doit tre dveloppe simultanment au processus. Cest elle qui permet lutilisateur de connatre la fonction du processus et son utilisation. La rgle est que cest la documentation qui a raison et non pas la programmation du processus.

1.4 Mise en uvreNotion de processus lmentaire Il existe deux types de processus lmentaire : les OPERATEURS et les DIRECTIVES. Les informations sont appeles OBJETS. Les OBJETS sont nomms par lutilisateur. Ils sont typs, ce qui permet aux oprateurs de les exploiter et de vrier la syntaxe des donnes. Les OPERATEURS ont un nom. Ils crent un ou plusieurs objets dont les noms sont choisis par lutilisateur. La seule condition de fonctionnement dun oprateur dpend de lexistence de linformation au moment de son utilisation. Lutilisation dun oprateur scrira : {nom du (des) rsultat(s)} = {nom de loprateur} {nom de(s) linformation(s)} ; Le point-virgule indique la n de linstruction lmentaire. Les DIRECTIVES modient un ou plusieurs objets existants ou produisent une sortie sur une unit logique (cran, imprimante, ...). Elles ne crent pas de nouveaux objets. 9

CHAPITRE 1. PRSENTATION GNRALE DE CAST3M Il ny a aucune distinction entre les oprateurs ou directives de pr-traitement, de calcul et de post-traitement, ils peuvent donc tre utiliss tout moment du programme selon les besoins du problme. Langage GIBIANE An de convertir les noms des objets en entits informatiques utilisables par le programme, il faut disposer dune interface. Cest le langage GIBIANE qui va permettre lutilisateur de communiquer directement avec le programme. Les oprations avec GIBIANE consistent en une manipulation des objets existants dans le but de les modier ou den crer de nouveaux.

1.5 Possibilits de castemTraitement de nouveaux problmes Pour traiter de nouveaux problmes, on peut tre amen dvelopper dans Cast3M de nouveaux oprateurs ou de nouveaux types dobjets. Le dveloppement dun nouvel oprateur est facilit par lorthogonalit des oprateurs entre eux. Par contre, laddition de nouveaux types dobjets est moins frquente puisquelle requiert non seulement laddition de nouveaux oprateurs capables de traiter ce nouveau type dobjet mais aussi la modication de nombreux oprateurs gnraux existants en vertu de la rgle de rgularit. Excutions rptitives et alternatives Certains problmes ncessitent la rptition de quelques oprations lmentaires ou bien lexcution conditionnelle de certaines oprations. Ceci est rendu possible grce certains oprateurs (REPETER, QUITTER, SI, SINON, FINSI, ITER, etc...) . Lutilisateur peut ainsi largir les possibilits du programme en fonction de son type de problme. Utilisation de procdures Une des consquences de larchitecture adopte pour Cast3M est la possibilit de crer des procdures, cest--dire des mta-processus constitus dun ensemble de processus lmentaires. Ces procdures sont cres pour des besoins de nature diverse : certains enchanement de donnes peuvent se retrouver de manire rptitive, les regrouper dans une seule instruction permet damliorer la lisibilit du programme, faciliter lutilisation du programme pour des personnes peu familiarises avec la mthode des lments nis en revenant un principe de bote noire, pour des problmes assez difciles tels que des calculs non linaires, il nest pas raisonnable dobliger lutilisateur dnir explicitement un algorithme de rsolution, linverse, lutilisateur peut vouloir crer de nouveaux oprateurs, modier ou remplacer certains oprateurs selon ses besoins. Les procdures sont crites en langage de donnes et ont les proprits suivantes : elles sont utilisables comme des oprateurs lmentaires, une procdure peut en appeler une autre et peut sappeler elle-mme, on peut surcharger un oprateur ou une procdure existante par une procdure, la squence doprateurs lmentaires contenus dans une procdure est entirement visible. Grce aux procdures, lutilisateur peut programmer lui-mme les processus ncessaires la rsolution de son problme. Il peut encore crire et tester trs rapidement de nouveaux algorithmes sans avoir besoin de modier le logiciel. linverse, les procdures permettent de rendre transparents pour lutilisateur des algorithmes et des mthodes relativement complexes, tels que les algorithmes de calcul en plasticit, en grands dplacements, contacts unilatraux, etc...

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Chapitre 2

Aspects gnraux dutilisation2.1 Systme dunitsCast3M ne dispose daucun systme particulier dunits de mesure. Cest lutilisateur de fournir les donnes dans un systme cohrent vriant la loi fondamentale de la dynamique : F = M.. Une fois que les units de mesure utilises dans les donnes sont dnies, tous les rsultats seront exprims dans ces mmes units. Il existe une exception cette rgle concernant la mesure des angles qui doivent toujours tre exprims en degrs. En revanche, les tempratures et le coefcient de dilatation thermique doivent tre exprims dans des units cohrentes. Le tableau suivant regroupe quelques exemples de systmes dunits de mesure cohrents. Longueur m mm in Masse kg 103 kg lb.sec2 /in Force N N lb Temps sec sec sec Masse volumique kg/m3 12 kg/m3 10 lb.sec2 /in4 Pression Pa(= N/m2 ) MPa(= N/mm2 ) psi(= lb/in2 )

2.2 Rgles syntaxiques gnralesVoici la liste des principales rgles syntaxiques observer lors de lutilisation du langage GIBIANE : Les caractres espace, virgule, gal et deux-points sont des sparateurs. Le point-virgule termine une instruction. Une instruction doit tre crite sur moins de 9 lignes, mais une mme ligne peut contenir plusieurs instructions. Linterprteur GIBIANE ignore toute ligne dont le premier caractre est un astrisque, do la possibilit pour lutilisateur dinsrer des commentaires dans ses jeux de donnes. Les oprateurs et les directives sont dnis par leurs 4 premiers caractres, les caractres suivants ntant pas pris en compte. Linstruction est interprte de gauche droite. Lorsque le programme rencontre le nom dun oprateur, il lui transmet le contrle de lexcution. Seuls les 72 premiers caractres dune ligne sont pris en compte. Une instruction peut contenir des parenthses. Conformment aux rgles de lalgbre, les instructions contenues dans les parenthses les plus internes sont excutes avant celles contenues dans les parenthses les plus externes. Les parenthses sont remplaces par le rsultat de leur contenu avant interprtation des instructions externes. Toutefois, ce rsultat nest plus accessible lutilisateur puisquaucun nom ne lui a t attribu. Le signe = permet lutilisateur de donner un nom au rsultat de linstruction. La longueur du nom attribu un objet ne doit pas dpasser 8 caractres. 11

CHAPITRE 2. ASPECTS GNRAUX DUTILISATION Le programme associe un type chaque chane de caractres rencontre dans une ligne, il lui associe aussi un contenu. Lanalyse dune suite de caractres se fait de la faon suivante : - si elle est encadre par des guillemets, cest une chane de caractres prendre telle quelle. Exemple : AbC3eD - elle peut tre interprte comme une valeur numrique. Exemple : 3.5 - sinon elle est change en majuscule puis on cherche si cest le nom dun objet existant auquel cas on lui affecte son type et sa valeur. Exemple : X = 5 ; Y = x + 3 ; x est traduit en X et vaut 5. - si ce nest pas le nom dun objet, on le cre avec un nom et un contenu identique la suite de caractres en majuscule. Exemple : dFIN est interprt comme un mot DFIN qui contient DFIN. Notons ici que les oprateurs et les mots-cls de Cast3M doivent tre en majuscules, ainsi n ou FIN ou FIN arrtent le code alors que n ne larrte pas. Il est fortement dconseill aux utilisateurs dattribuer un objet le nom dun oprateur existant, car il ne peut plus dans la suite du jeu de donnes tre utilis pour assurer sa fonction initiale. Exemple de jeu de donnes : OPTI DIME 3 ELEM SEG2 MODE TRID ; OPTI ECHO 0 ; *-Definition des pointsOEIL1 = 0. 0. 100. ; P0 = 0. 0. 0. ; P1 = 5. 0. 0. ; P2 = 9. 0.5 0. ; *-Definition des lignesC1 = C 15 P0 P1 P2 ; L1 = D 5 P2 P0 ; TRAC OEIL1 QUAL (C1 ET L1) ; MESS Fin de l exemple ; FIN ;

2.3 Excution du programmeCast3M peut tre utilis en mode batch ou interactif. La session dexcution est dans les deux cas mmorise intgralement dans un chier (fort.98) pouvant tre dit puis soumis au programme Cast3M. Il est possible de procder en plusieurs tapes pour la mise au point dun calcul : pour chaque tape, on effectue plusieurs passages successifs puis on transmet les donnes engendres ltape suivante. Pour cela, il existe des oprateurs qui ralisent la sauvegarde de donnes sur chier et leur rcupration pour les excutions suivantes (cf. 2.3). Dans lexcution de Cast3M, il faut utiliser au moins deux directives : OPTI : cette directive permet de dclarer les principaux paramtres du calcul. Elle se place gnralement en dbut de programme. Elle est suivie dun mot-cl qui spcie loption choisie, en particulier la dimension de lespace, le type dlments utiliss, le type de calcul (contraintes planes, axisymtrique, Fourier, tridimensionnel...), etc... FIN : cette directive indique la n de lexcution du programme qui sinterrompt ds quil la rencontre. Options gnrales de calcul sont : 12 Les valeurs des principaux paramtres de contrle crs par la directive OPTI

2.3. EXCUTION DU PROGRAMME DIME : correspond la dimension de lespace utilis par les oprateurs de maillage et de calcul. Valeurs : 1, 2 ou 3. MODE : correspond au mode de calcul. PLAN CONT : contraintes planes PLAN DEFO : dformations planes PLAN GENE P1 : dformations planes gnralises (P1= point support) AXIS : axisymtrique FOUR NN : analyse en srie de Fourier (NN=numro de lharmonique) TRID : tridimensionnel ECHO : correspond lcho. 0 : les donnes napparaissent pas en sortie 1 : toutes les donnes apparaissent en sortie DONN : correspond lunit logique sur laquelle le programme lit les donnes. 5 : les donnes sont lues au clavier 3 : numro affect par dfaut au chier de donnes Pour interrompre lexcution du programme en mode batch, il faut taper dans le chier de donnes la commande OPTI DONN 5 lendroit o lon souhaite linterruption ; lutilisateur peut alors taper ses instructions au clavier. Sil veut reprendre lexcution du programme en cours, il doit taper OPTI DONN 3. DENS : correspond la densit courante (la valeur entre spcie la longueur de rfrence dun lment). ELEM : correspond au type dlments fabriquer. Exemple : *Dclaration des paramtres OPTI DIME 3 ELEM QUA4 MODE PLAN CONT ; Dans cet exemple, le calcul se fait en 3D et en contraintes planes. Le maillage gnre si possible des quadrilatres 4 nuds et sinon des lments de type linaire. Oprateurs et directives On peut insrer entre les directives OPTI et FIN nimporte quel oprateur ou directive. Un oprateur scrit sous la forme : OBJ1 = NOM_OPERATEUR OBJi ; OBJ1 est lobjet rsultat cr par loprateur. OBJi est lobjet donne ou argument ncessaire loprateur. Le nombre darguments dpend de loprateur choisi. Exemple : LIG1 = DROITE PA PB ; Loprateur DROITE cre un segment dlimit par les points PA et PB. Dans cet exemple, les arguments de loprateur DROITE sont les deux points frontires du segment. Il existe galement des arguments optionnels qui, selon les cas, ne sont pas obligatoires lors de lappel de loprateur. Reprenons lexemple prcdent en y ajoutant un argument optionnel : Exemple : LIG1 = DROITE 10 PA PB ; Largument optionnel concerne le nombre dlments gnrs sur le segment. Si on ne le prcise pas, le programme prend une valeur par dfaut, fonction des densits associes aux points PA et PB. Certains oprateurs font appel des arguments qui doivent tre prcds par des mots-cls an dviter toute confusion entre les divers arguments de loprateur. Toujours sur le mme exemple, on peut spcier les densits associes aux points frontires du segment, pour cela, il faut insrer les mots-cls DINI et DFIN devant les arguments relatif aux densits : 13

CHAPITRE 2. ASPECTS GNRAUX DUTILISATION Exemple : LIG1 = DROITE 10 PA PB DINI 1. DFIN 0.5 ; Une directive scrit sous la forme : NOM_DIRECTIVE OBJi ; OBJi est lobjet donne ou argument ncessaire la directive. Le nombre darguments dpend de la directive choisie. Exemple : TRAC OEIL1 GEO1 ; La directive TRAC permet de dessiner lobjet GEO1 de type MAILLAGE avec un point de vue OEIL1. Si les objets fournis sont incompatibles avec loprateur ou la directive, un message est imprim avertissant lutilisateur de la non obtention du rsultat et donnant une indication sur la nature de lerreur.

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2.3. EXCUTION DU PROGRAMME Exemple : $ * OPTI DIME 3 ELEM SEG2; $ * $ * PA = 10. 10. 0. ; $ * PB = 20. 20. ; ***** ERREUR 37 ***** dans loperateur = Troisieme coordonnee ? La lecture des donnees continue sur le terminal Premiere ligne = donnees : deuxieme ligne = type des donnees. 20. 20. FLOTTANT FLOTTANT $ Les messages derreur les plus courants sont dtaills dans la partie 9. Nous ne saurions trop conseiller de lire attentivement toutes les lignes du message derreur notamment la deuxime et les deux dernires lignes. Lenvironnement dans castem Il existe plusieurs directives denvironnement qui permettent lobtention de laide en ligne (en mode interactif), la saisie de donnes au clavier, larchivage et la restauration dinformations (qui permettent dinterrompre des calculs et de les reprendre ultrieurement), etc... Nous allons prsenter ici les directives les plus usuelles. INFO : fournit la documentation relative loprateur demand et sutilise ainsi : INFO nom de loprateur ; Cette directive permet de produire une notice de lensemble des oprateurs et procdures de Cast3M. AIDE : liste tous les oprateurs utilisant le mot-cl demand et sutilise ainsi : LIS1 = AIDE mot-cl ; Aprs cette instruction, la liste de tous les oprateurs trouvs est imprime. SORTIR : permet de sortir un objet maillage dans le chier dni dans les options par OPTI SORT Nchier (Nchier peut tre un numro dunit logique ou un nom de chier). LIRE : permet de lire un objet maillage dans le chier dni dans les options par OPTI LECT Nchier. SAUVER : permet dcrire un ou plusieurs objets dans le chier dni dans les options par OPTI SAUV Nchier. Cela permet dinterrompre des calculs et de les reprendre ultrieurement. RESTITUER : permet de remettre en mmoire les objets contenus dans le chier dni dans les options par OPTI REST Nchier. OBTENIR : permet de saisir un ou plusieurs objets au clavier. LISTE : permet dafcher toutes les informations relatives un objet. Exemple : OBTE NBRE1*FLOTTANT NBENT2*ENTIER ; LIST NBRE1 ; LIST NBENT2 ; OPTI SORT 7 SAUV resu1.sort ; SORTIR C1 ; SAUV NBRE1 NBENT2 ; Lobjet maillage C1 est enregistr dans le chier dunit logique 7 cest--dire fort.7. Les objets NBRE1 et NBENT2 sont enregistrs dans le chier de nom resu1.sort.

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CHAPITRE 2. ASPECTS GNRAUX DUTILISATION Il est possible dobtenir la notice en anglais (ainsi que tous les messages dexcution) en spciant dans les options : OPTI LANG ANGLAIS.

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3.1. CLASSIFICATION DES OBJETS

Chapitre 3

Les objetsLa structure informatique de Cast3M est base sur le concept dobjets qui sont des donnes relatives chaque processus. Les objets sont classs selon le type dinformations quils renferment et selon la signication que prennent ces informations au cours de lanalyse. Certains types ne reprsentent que des donnes mathmatiques ou informatiques (entier, ottant, liste de mots, liste dentiers, ...). Dautres ont un caractre plus physique et sadaptent une modlisation par lments nis (champs par point, champs par lment, matrices de rigidit, ...). Au cours dune excution de Cast3M, le type des objets peut tre obtenu en listant leur contenu avec la directive LIST.

3.1 Classication des objetsLa liste suivante rpertorie les principaux types dobjet, classs par catgorie : Objets dintrt gnral Type dobjet ENTIER FLOTTANT LISTENTI LISTREEL MOT LISTMOTS LOGIQUE TABLE EVOLUTION Description Objet constitu uniquement dun nombre entier Objet constitu uniquement dun nombre rel Objet constitu dune liste dentiers Objet constitu dune liste de rels Objet constitu dun mot Objet constitu dune liste de mots Objet contenant une variable logique caractrise par VRAI ou FAUX Ensemble dobjets dont le type peut tre quelconque et caractris par un indice de type quelconque Objet dnissant un graphe : reprsentation dune fonction relle par une suite de couples (x, f(x))

Objets de maillage Type dobjet POINT MAILLAGE Description Objet dnissant les coordonnes dun point et la densit associe Objet contenant la topologie du domaine discrtis

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CHAPITRE 3. LES OBJETS Objets de calcul Type dobjet CHPOINT LISTCHPO MMODEL MCHAML Description Objet contenant nimporte quel type de donnes dnies aux nuds du maillage Objet constitu dune liste de CHPOINT Objet associant un domaine physique, un maillage, une formulation lment ni et un comportement de matriau. Objet contenant nimporte quel type de donnes dnies dans les lments du maillage. Les valeurs du champ peuvent tre dnies au centre de gravit de llment, aux nuds de llment ou aux points dintgration de llment Objet contenant les donnes relatives des matrices de rigidit, de masse, de rigidit gomtrique, de conductivit. De manire gnrale, ce sont des matrices couplant des inconnues physiques. Objet contenant la description spatiale et temporelle dun chargement Objet contenant lensemble des valeurs et vecteurs propres associs une analyse modale Objet relatif la description dun champ de discrtisation Objet contenant la description des liaisons entre sous-structures en vue dune analyse dynamique Objet contenant la description des liaisons sexerant sur une structure et la spcication de lensemble des modes et solutions statiques Objet contenant la description des liaisons entre sous-structures en vue dune analyse dynamique Objet permettant dcrire des liaisons entre sous-structures et contenant la description dun lment de structure avec la gomtrie associe Objet relatif la description dune structure et contenant la rigidit et la masse sy rapportant

RIGIDITE

CHARGEMENT SOLUTION CONFIGURATION ATTACHE BASEMODA BLOQSTRU ELEMSTRU STRUCTURE

Objets de post-traitement Type dobjet VECTEUR DEFORME Description Objet relatif la visualisation dun champ par points au moyen de vecteurs Objet relatif la caractrisation dun domaine dform (obtenu en superposant un objet de type MAILLAGE un objet de type CHPOINT

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3.2. UTILISATION DES OBJETS LMENTAIRES

3.2 Utilisation des objets lmentairesObjets de type ENTIER Pour crer un objet de type ENTIER, on utilise le signe =. On peut effectuer des oprations arithmtiques lmentaires sur ces entiers avec les oprateurs +, -, *, /, **. Exemple : I1 = 24 ; I2 = 3 ; I3 = I1 + I2 ; I4 = I3 / 3 ; I5 = I4**2 ; LIST I5 ; I4**2 correspond I42 . La directive LIST permet de lister lcran le contenu et le type de I5. $ * LIST I5 ; Entier valant: 81 Objets de type FLOTTANT Ils sont crs de la mme faon que les entiers mais les nombres doivent contenir un point ou tre exprims en notation puissance. Exemple : F1 = 2.5 ; F2 = 4E-1 ; F3 = F1 + F2 ; MESS Valeur de F3 : F3 ; Loprateur MESS permet dditer sous forme de message les arguments attribus (de type ENTIER, FLOTTANT ou MOTS). Objets de type LOGIQUE Ces objets contiennent une variable logique de valeur VRAI ou FAUX. Pour les crer, on peut leur affecter directement les mots VRAI ou FAUX. On peut aussi les crer avec les oprateurs de comparaison EGA, >EG, 7.52E03 < 2.88E19 A 7.46E03 D 7.11E03 G 6.76E03 J 6.40E03 M 6.05E03 P 5.70E03 S 5.35E03 V 4.99E03 Y 4.64E03 b 4.29E03 e 3.94E03 h 3.58E03 k 3.23E03 n 2.88E03 q 2.53E03 t 2.17E03 w 1.82E03 z 1.47E03 2 1.12E03 5 7.64E04 8 4.11E04 @ 5.88E05

AMPLITUDE 0.00E+00 5.3

ETAT DEFORME

DEPLACEMENT UZ

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CHAPITRE 8. TRAITEMENT DES RSULTATS Commentaires *---TRACE DE L ETAT DEFORME---* ********************************** DEF0= DEFO RES1 S1 0. ; DEF1= DEFO RES1 S1 ROUGE ; OEIL1 = 100. -200. 50. ; TRAC OEIL1 (DEF0 ET DEF1) TITRE ETAT DEFORME ; ZZ1 = EXCO UZ RES1 ; OPTI ISOV LIGNE ; OEIL2 = 0. 0. 100. ; TRAC OEIL2 S1 ZZ1 TITRE DEPLACEMENT UZ ; On peut donner la directive TRAC des arguments de type DEFORME. On peut aussi reprsenter les isovaleurs dun champ par points (ici ZZ1), il faut alors spcier lobjet de type MAILLAGE sur lequel le champ sappuie (ici S1). On spcie la forme des isovaleurs dans la directive OPTI (ici LIGNE). *-----TRACE D ISOVALEURS-----* ********************************** OPTI ISOV SURFACE ; CALSUPX = EXCO SMXX CALSUP ; TRAC OEIL1 MOD1 CALSUPX S1 TITRE SMXX ; CAL1 = CHAN CHPO MOD1 CALSUP ; CALX = EXCO SMXX CAL1 ; TITRE CONTRAINTE DE PEAU SMXX, FACE SUPERIEURE ; TRAC OEIL1 CALX S1 ; CALY = EXCO SMYY CAL1 ; TITRE CONTRAINTE DE PEAU SMYY SUR DEFORME, FACE SUPERIEURE ; TRAC OEIL1 CALY DEF1 S1 ; Les isovaleurs sont dnies par des surfaces. Lobjet CALSUPX est de type MCHAML. On extrait une de ses composantes pour reprsenter ses isovaleurs. Il faut prciser lobjet MMODEL sur lequel sappuie le champ par lments. Lobjet CALX est un CHPOINT, on le trace de la mme manire que ZZ1. On peut aussi tracer un champ sur ltat dform, il faut alors spcier lobjet de type DEFORME (ici DEF1).VAL ISO >1.28E+08 1.28E+08 2.31E18 < 2.13E01 1.66E03 1.16E02 2.16E02 3.16E02 4.16E02 5.15E02 6.15E02 7.15E02 8.14E02 9.14E02 .10 .11 .12 .13 .14 .15 .16 .17 .18 .19 .20 .21

CHAMP DE TEMPERATURES

11.1.3 CommentairesMOD1 = MODE SURF1 THERMIQUE ISOTROPE ; On dnit un objet de type MMODEL qui sappuie sur le maillage SURF1 et suit un comportement thermique isotrope. MAT1 = MATE MOD1 K 130. ; On dnit le champ de caractristiques matrielles du modle MOD1 en prcisant la conductivit K. COND1 = CONDUCTIVITE MOD1 MAT1 ; Loprateur COND(UCTIVITE) construit la matrice de conductivit de lobjet MOD1. Lobjet cr COND1 est de type RIGIDITE. CL1 = BLOQUE T D1 ; DCL1 = DEPI CL1 0. ; Pour xer les conditions limites, on utilise les mmes oprateurs que pour les calculs mcaniques : loprateur BLOQUE permet de xer la temprature T sur une partie du maillage (droite D1) en crant un objet de type RIGIDITE ; loprateur DEPI spcie la valeur du blocage CL1 en crant un objet de type CHPOINT. Lobjet CL1 doit tre ajout la matrice de conductivit et lobjet DCL1 doit tre ajout au chargement. FLU1 = FLUX MOD1 100. D3 ; Loprateur FLUX permet dimposer un ux de valeur 100 sur une partie du contour de la structure dnie dans lobjet MOD1 (droite D3). Lobjet cr FLU1 est de type CHPOINT. CONTOT = COND1 ET CL1 ; FLUTOT = DCL1 ET FLU1 ; 75

CHAPITRE 11. CALCULS THERMIQUES CHTER1 = RESOUDRE CONTOT FLUTOT ; La matrice de conductivit totale est obtenue en ajoutant les blocages CL1 la matrice de conductivit COND1. Le second membre du systme rsoudre est obtenu en rassemblant le ux FLU1 et la temprature impose DCL1. Loprateur RESO(UDRE) permet de rsoudre le systme .{T } = {}. Lobjet cr CHTER1 est de type CHPOINT et contient la valeur des tempratures en chaque point du modle. Le post traitement seffectue de la mme manire que pour les calculs mcaniques.

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11.2. TUBE SOUMIS UNE CONVECTION FORCE

11.2 Tube soumis une convection forceLobjectif de cet exemple est de calculer ltat stabilis dun transfert de chaleur avec convection force. Il sagit dun tube dont la paroi intrieure est soumise une temprature impose et dont la paroi extrieure est soumise une convection force.

11.2.1 Donnes du problmeTi Ri Re

- Ri = 6m - Re = 12m - H = 4m - Ti = 100oC - Ta = 125oC o - H = 5W /m2 - K = 8W /mo

Ta

H

Ta

11.2.2 Fichier de donnesTITRE TUBE SOUMIS A UNE CONVECTION FORCEE ; OPTION DIME 2 ELEM QUA4 MODE AXIS ; OPTION ECHO 0 ; SAUT LIGNE ; * *--- CREATION DE LA GEOMETRIE: * P1 = 6. 0. ; P2 = 16. 0. ; VEC1 = 0. 4. ; * L1 = D 8 P1 P2 ; SURF1 = L1 TRANS 5 VEC1 ; TRAC SURF1 ; * D1 = COTE 4 SURF1 ; D3 = COTE 2 SURF1 ; P3 = SURF1 POIN PROC (16. 4.) ; * *--- DONNEES DU PROBLEME DE THERMIQUE: * *--- MODELISATION: * MOD1 = MODEL SURF1 THERMIQUE ISOTROPE ; MOD2 = MODEL D3 CONVECTION ; * *--- CARACTERISTIQUES DU MATERIAU: * MAT1 = MATER MOD1 K 8. ; MAT2 = MATER MOD2 H 5. ; *

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CHAPITRE 11. CALCULS THERMIQUES*--- MATRICE DE CONDUCTIVITE: * COND1 = CONDUCTIVITE MOD1 MAT1 ; COND2 = CONDUCTIVITE MOD2 MAT2 ; * *--- CONDITIONS AUX LIMITES : TEMPERATURES IMPOSEES * CL1 = BLOQUE T D1 ; DCL1 = DEPI CL1 100. ; * *--- FLUX EQUIVALENTS A LA CONVECTION: * FF1 = CONVECTION MOD2 MAT2 T 125. ; * *--- ASSEMBLAGE DES PREMIER ET SECOND MEMBRES: * CONTOT = COND1 ET COND2 ET CL1 ; FLUTOT = DCL1 ET FF1 ; * *--- RESOLUTION: * CHTER1 = RESOUDRE CONTOT FLUTOT ; * *--- POST TRAITEMENT * TITRE CHAMP DE TEMPERATURES ; TRAC CHTER1 SURF1 ; * TETA3 = EXTR CHTER1 T P3 ; TTHP3 = 122.68 ; MESS TEMPERATURE THEORIQUE EN P2 :TTHP3 ; MESS TEMPERATURE CALCULEE EN P2 :TETA3 ; * *--- FIN DU FICHIER FIN ;

11.2.3 CommentairesMOD1 = MODEL SURF1 THERMIQUE ISOTROPE ; MOD2 = MODEL D3 CONVECTION ; On dnit deux objets de type MMODEL : le premier sappuie sur le maillage SURF1 et suit un comportement thermique isotrope ; le second sappuie sur la ligne D3 et permet de prciser le comportement de convection de ce ct. MAT2 = MATER MOD2 H 5. ; On dnit le champ de caractristiques matrielles du modle de convection MOD2 en prcisant le coefcient dchange H. FF1 = CONVECTION MOD2 MAT2 T 125. ; Pour dnir le ux de convection, on utilise loprateur CONV(ECTION) suivi du modle et des caractristiques de convection, on indique galement la valeur de la temprature ambiante. Les oprations suivantes sont analogues celles du problme prcdent.

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11.3. CALCUL THERMO-MCANIQUE

VAL ISO > 1.00E+02 < 1.23E+02 1.00E+02 1.01E+02 1.02E+02 1.03E+02 1.04E+02 1.05E+02 1.07E+02 1.08E+02 1.09E+02 1.10E+02 1.11E+02 1.12E+02 1.13E+02 1.14E+02 1.15E+02 1.16E+02 1.17E+02 1.18E+02 1.19E+02 1.20E+02 1.21E+02 1.23E+02

CHAMP DE TEMPERATURES

11.3 Calcul thermo-mcaniqueIl peut tre intressant de coupler les effets thermiques aux effets mcaniques. En effet, dans certains problmes les champs de tempratures induisent des contraintes thermiques non ngligeables, ces contraintes doivent donc tre prises en compte en sajoutant aux contraintes mcaniques. La dmarche de ce type de calcul est la suivante : Calcul thermique an dobtenir le champ de tempratures de la structure. Calcul mcanique en appliquant le chargement mcanique et le chargement thermique, ce dernier tant obtenu partir du champ de tempratures. Lexemple suivant va illustrer lenchanement dun calcul thermo-mcanique : il sagit dune structure soumise selon ses cts une temprature impose et une convection force en ce qui concerne le chargement thermique ; une pression et un encastrement constituent le chargement mcanique.

11.3.1 Donnes du problmeChargement thermique : - sur AB : temprature impose Ti = 100oC - sur BC et CE : convection force avec temprature ambiante Ta = 0oC - sur EA : droite isole Chargement mcanique : - sur AB et CE : encastrement - sur EA : pression P = 100MPa

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CHAPITRE 11. CALCULS THERMIQUES

E

C

1m

A 0,6 m

B

Caractristiques matrielles : o - H = 750W /m2 - K = 52W /mo - E = 2.1011 Pa - = 0.3 - = 7800kg/m3 - = 105

11.3.2 Fichier de donnesTITRE CALCUL THERMO-MECANIQUE ; OPTION DIME 2 ELEM QUA8 MODE PLAN CONT ; OPTION ECHO 0 ; SAUT LIGNE ; * *--- CREATION DE LA GEOMETRIE: A = 0. 0. ; B = 0.6 0. ; C = 0.6 1. ; E = 0. 1. ; AB = D 6 A B ; BC = D 10 B C ; CE = D 6 C E ; EA = D 10 E A ; SURF1 = DALL AB BC CE EA PLAN ; TRAC SURF1 ; * *------------------- CALCUL THERMIQUE ---------------------* * *--- MODELISATION: MOD1 = MODE SURF1 THERMIQUE ISOTROPE ; MOD1 = MODE SURF1 THERMIQUE ISOTROPE QUA8 ; MOD2 = MODE (BC ET CE) CONVECTION ; * *--- CARACTERISTIQUES DU MATERIAU: MAT1 = MATE MOD1 K 52. ; MAT2 = MATE MOD2 H 750. ; *

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11.3. CALCUL THERMO-MCANIQUE*--- CONDITIONS AUX LIMITES : TEMPERATURES IMPOSEES CL1 = BLOQUE T AB ; FCL1 = DEPI CL1 100. ; * *--- CHARGEMENT : FLUX DE CONVECTION FLU1 = CONV MOD2 MAT2 T 0. ; * *--- MATRICES DE CONDUCTIVITE: COND1 = COND MOD1 MAT1 ; COND2 = COND MOD2 MAT2 ; CONDTOT = COND1 ET COND2 ET CL1 ; * *--- ASSEMBLAGE DU SECOND MEMBRE: FLUTOT = FCL1 ET FLU1 ; * *--- RESOLUTION: CHTER1 = RESOU CONDTOT FLUTOT ; * *--- POST TRAITEMENT TITRE CHAMP DE TEMPERATURES (MAXI=(MAXI CHTER1)) ; TRAC CHTER1 SURF1 ; * *------------------- CALCUL MECANIQUE ---------------------* * *--- MODELISATION: MOD1 = MODE SURF1 THERMIQUE ISOTROPE ; MOD3 = MODE SURF1 MECANIQUE ELASTIQUE ISOTROPE QUA8 ; * *--- CARACTERISTIQUES DU MATERIAU: MAT3 = MATE MOD3 YOUN 2.E11 NU 0.3 RHO 7800. ALPH 1.e-5 ; * *--- CONDITIONS AUX LIMITES : CL3 = BLOQ DEPL (AB ET CE) ; * *--- CHARGEMENT : THERMIQUE ET PRESSION SIGT3 = THET MOD3 CHTER1 MAT3 ; F3 = BSIG MOD3 SIGT3 ; PRES3 = PRESSION MASS MOD3 100.E6 EA ; CHAR3 = F3 ET PRES3 ; * *--- RESOLUTION: RIG3 = RIGI MOD3 MAT3 ; RIGCL3 = RIG3 ET CL3 ; DEP3 = RESOU RIGCL3 CHAR3 ; * *--- POST TRAITEMENT *DEFORMEE DEF0 = DEFO SURF1 DEP3 0. BLAN ; DEF1 = DEFO SURF1 DEP3 ROUG ; TITR DEFORMEE APRES CHARGEMENT THERMIQUE ET PRESSION ; TRAC (DEF0 ET DEF1) ; * *CALCUL DES CONTRAINTES TOTALES ET MECANIQUES SIGTOT3 = SIGMA MOD3 MAT3 DEP3 ; SIGM3 = SIGTOT3 - SIGT3 ; *

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CHAPITRE 11. CALCULS THERMIQUESS_XX = (EXCO SMXX SIGM3)/1.e6 ; TITR CONTRAINTES S_XX (MAXI= (MAXI S_XX) MPa) ; TRAC MOD3 S_XX ; S_YY = (EXCO SMYY SIGM3)/1.e6 ; TITR CONTRAINTES S_YY (MAXI= (MAXI S_YY) MPa) ; TRAC MOD3 S_YY ; * *--- FIN DU FICHIER FIN ;

11.3.3 CommentairesSIGT3 = THET MOD3 CHTER1 MAT3 ; F3 = BSIG MOD3 SIGT3 ; PRES3 = PRESSION MASS MOD3 100.E6 EA ; CHAR3 = F3 ET PRES3 ; Loprateur THET(A) calcule les contraintes associes un champ de tempratures. On associe donc au modle mcanique (dni par MOD3 et MAT3) le champ de tempratures CHTER1 calcul au cours de la premire tape (avec les modles thermiques MOD1 et MOD2). Loprateur BSIG calcule le champ de forces nodales rsultant de lintgration dun champ de contraintes. Lobjet F3 reprsente donc le champ de forces thermiques. Loprateur PRES(SION) calcule les forces nodales quivalentes une pression. Le mot-cl MASS prcise que la pression est applique sur des lments massifs. SIGTOT3 = SIGMA MOD3 MAT3 DEP3 ; SIGM3 = SIGTOT3 - SIGT3 ; Loprateur SIGM(A) calcule le champ de contraintes partir du champ de dplacements DEP3 rsultant des chargements thermiques et mcaniques. Lobjet SIGTOT3 reprsente donc le champ de contraintes totales. An dobtenir uniquement les contraintes mcaniques (SIGM3), on soustrait les contraintes thermiques (SIGT3) aux contraintes totales. Nous ne reviendrons pas sur le post-traitement o sont traces les isovaleurs des contraintes mcaniques.VAL ISO > 5.54E01 < 1.00E+02 1.3 6.0 11. 15. 20. 25. 29. 34. 39. 43. 48. 53. 57. 62. 67. 71. 76. 81. 85. 90. 95. 99.

CHAMP DE TEMPERATURES (MAXI=

100.00

)

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11.3. CALCUL THERMO-MCANIQUE

AMPLITUDE 0.00E+00 2.39E+02

DEFORMEE APRES CHARGEMENT THERMIQUE ET PRESSION

VAL ISO >3.30E+02 < 4.86E+01 3.27E+02 3.09E+02 2.92E+02 2.74E+02 2.56E+02 2.38E+02 2.21E+02 2.03E+02 1.85E+02 1.67E+02 1.50E+02 1.32E+02 1.14E+02 96. 79. 61. 43. 25. 7.6 10. 28. 46.

CONTRAINTES S_XX (MAXI=

18.635

MPa)

VAL ISO >4.34E+02 < 1.84E+02 4.29E+02 4.00E+02 3.71E+02 3.42E+02 3.13E+02 2.84E+02 2.55E+02 2.26E+02 1.97E+02 1.68E+02 1.39E+02 1.10E+02 81. 52. 23. 5.7 35. 64. 93. 1.22E+02 1.51E+02 1.80E+02

CONTRAINTES S_YY (MAXI=

118.02

MPa)

83

CHAPITRE 11. CALCULS THERMIQUES

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Chapitre 12

Calculs non linairesNous allons prsenter lutilisation de la procdure PASAPAS qui est loprateur principal de calculs non linaires de Cast3M. Cette procdure peut sutiliser pour des calculs non linaires de mcanique ou de thermique ou encore des calculs coupls thermo-mcaniques : - en mcanique elle effectue un calcul non linaire incrmental. La non linarit peut provenir soit du matriau (plasticit), soit des grands dplacements, soit des deux la fois. - en thermique elle effectue un calcul linaire et non linaire en tenant compte de la conduction, de la convection et du rayonnement. Lexemple choisi pour illustrer lutilisation de PASAPAS est le calcul dune poutre en exion en comportement lasto-plastique. La poutre est encastre dun ct et une force chissante sexerce sur lextrmit libre.

12.0.4 Donnes du problmeF(t)

F3

11111111111111111111111 00000000000000000000000 11111111111111111111111 00000000000000000000000

P1 L

111 000 111 000 2h 111 0002b0 3 6 t

P2

- L = 10 - b = 0.05 - h = 0.5 - E = 107 - Et = 0.1 E - e = 104 - Ftot = 10 F(t)

12.0.5 Fichier de donnesOPTION ECHO 0; TITRE POUTRE EN FLEXION ; OPTION DIME 3 ELEM SEG2 ; * *---------------------DEFINITION DE LA GEOMETRIE--------------------* * P1 = 0. 0. 0. ;

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CHAPITRE 12. CALCULS NON LINAIRESP2 = 10. 0. 0. ; L1 = P1 D 1 P2 ; TRACE QUAL L1 ; * *-----------------CHOIX DU COMPORTEMENT ET DU MODELE----------------* * MOD1 = MODEL L1 MECANIQUE ELASTIQUE PLASTIQUE CINEMATIQUE POUT ; MAT1 = MATE MOD1 YOUN 1.E7 NU 0.3 SIGY 1.E4 H (0.1*1.E7) ; CAR1 = CARA MOD1 SECT 0.1 INRY 8.333E-5 INRZ 8.333E-3 TORS 0.0001 VECT (0. 1. 0.) DX 0. DY 0. DZ 0.3333 ; * *------------------FORCES ET CONDITIONS AUX LIMITES-----------------* * AMPFY = -10. ; F1 = FORCE (0. AMPFY 0.) P2 ; CL1 = BLOQ DEPLA ROTA P1 ; * *-----------------------------CHARGEMENT----------------------------* * LI1 = PROG 0. 3. 6. ; LI2 = PROG 0. 3. 0. ; EV = EVOL MANU Temps LI1 F(t) LI2 ; CHA1 = CHAR MECA F1 EV ; DESS EV TITRE Ftot= -10.F(t) ; * *--------------------------CALCUL PAS A PAS-------------------------* * LIS_TPS = PROG 0. PAS 0.05 6. ; TAB1 = TABLE ; TAB1.MODELE = MOD1 ; TAB1.CARACTERISTIQUES = MAT1 ET CAR1 ; TAB1.CHARGEMENT = CHA1 ; TAB1.BLOCAGES_MECANIQUES = CL1 ; TAB1.TEMPS_CALCULES = LIS_TPS ; TAB1.TEMPS_SAUVES = LIS_TPS ; PASAPAS TAB1 ; * *-------------------------POST TRAITEMENT--------------------------* * SI (TAB1.ERREUR) ; MESS Erreur reperee lors de l execution du calcul ; SINON ; MESS Aucune erreur lors de l execution du calcul ; SI TAB1.CONV ; MESS Convergence du calcul ; SINON ; MESS Pas de convergence du calcul pour le nombre diterations demande ; FINSI ; FINSI ; TAB2 = TAB1.DEPLACEMENTS ; NDIM = DIME TAB2 ; IB = 0 ; LIS1 = PROG ; LIS2 = PROG ; REPETER BOUC1 NDIM ; DDD = EXTR (TAB2.IB) P2 UY ;

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LIS1 = PROG 0. PAS 0.5 30. PAS -0.5 0. ; LIS2 = INSER LIS2 &BOUC1 (-1.*DDD) ; IB = IB+1 ; FIN BOUC1 ; TITRE COURBE DEPLACEMENT-FORCE ; EV1 = EVOL MANU LIS2 DEPLACEMENT LIS1 FORCE ; DESS EV1 ; * FMAX = (NDIM/2) ; FFIN = NDIM - 1 ; CHDEPM = TAB2.FMAX ; CHDEPF = TAB2.FFIN ; DEF0 = DEFO L1 CHDEPF 0. BLAN ; DEF1 = DEFO L1 CHDEPM 1. ROUGE ; DEF2 = DEFO L1 CHDEPF 1. VERT ; OEIL = 0. 0. 1000. ; TITRE DEFORMEE DE LA POUTRE APPLICATION FORCE MAXI ; TRAC OEIL (DEF0 ET DEF1) ; TRAC OEIL (DEF0 ET DEF2) TITRE DEFORMEE DE LA POUTRE APRES RELACHE ; * FIN;

12.0.6 CommentairesMOD1 = MODEL L1 MECANIQUE ELASTIQUE PLASTIQUE CINEMATIQUE POUT ; MAT1 = MATE MOD1 YOUN 1.E7 NU 0.3 SIGY 1.E4 H (0.1*1.E7) ; Le modle MOD1 permet de dnir le comportement plastique cinmatique du matriau. Les caractristiques du matriau sont prcises dans le champ MAT1 : on dnit le module de Young (YOUN 1.E7), le coefcient de Poisson (NU 0.3), la limite lastique (SIGY 1.E4), le module dcrouissage (H (0.1*1.E7)). Il est bien vident que les caractristiques matrielles dpendent du modle de plasticit utilis, il nest que trop conseill de se reporter la notice de MATE pour bien vrier les donnes. LI1 = PROG 0. 3. 6. ; LI2 = PROG 0. 3. 0. ; EV = EVOL MANU Temps LI1 F(t) LI2 ; CHA1 = CHAR MECA F1 EV ; DESS EV TITRE Ftot= -10.F(t) ; La liste de rels LI1 correspond une liste de temps, la liste LI2 correspond au facteur multiplicatif de la force en fonction du temps. Ces deux listes sont rassembles dans lvolution EV. Lobjet de chargement mcanique CHA1 permet de dnir le chargement comme tant le produit de la force F1 par un facteur multiplicatif qui varie en fonction du temps selon lvolution EV. LIS_TPS = PROG 0. PAS 0.05 6. ; TAB1 = TABLE ; TAB1.MODELE = MOD1 ; TAB1.CARACTERISTIQUES = MAT1 ET CAR1 ; TAB1.CHARGEMENT = CHA1 ; TAB1.BLOCAGES_MECANIQUES = CL1 ;_ TAB1.TEMPS_CALCULES = LIS_TPS ; TAB1.TEMPS_SAUVES = LIS_TPS ; PASAPAS TAB1 ; La rsolution du calcul non linaire se fait avec la procdure PASAPAS qui utilise un objet de type TABLE dans lequel sont stocks les donnes et les rsultats. Dans un premier temps, lutilisateur doit donc dnir cette 87

CHAPITRE 12. CALCULS NON LINAIRES

F(t) 3.50

3.00

2.50

2.00

1.50

1.00

.50 Temps .00 .00 Ftot= 10.F(t) 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00

table qui est indice par des mots-cls. Dans notre cas, on prcise : - le modle : TAB1.MODELE - les caractristiques matrielles : TAB1.CARACTERISTIQUES - le chargement : TAB1.CHARGEMENT - les conditions aux limites : TAB1.BLOCAGES_MECANIQUES - les incrments temporels du calcul : TAB1.TEMPS_CALCULES. Le calcul va donc raliser 121 itrations temporelles pour chaque pas de pseudo-temps entre 0 et 6. - la liste des temps sauver : TAB1.TEMPS_SAUVES. Ici la liste est identique la liste des temps de calcul, on aurait pu lomettre. Le lancement du calcul se fait par linstruction : PASAPAS TAB1 . Notons que pour un incrment de temps on peut avoir plusieurs itrations qui sont dues des corrections plastiques. On aurait pu spcier le nombre de ces itrations dans TAB1.MAXITERATION. SI (TAB1.ERREUR) ; MESS Erreur reperee lors de l execution du calcul ; SINON ; MESS Aucune erreur lors de l execution du calcul ; SI TAB1.CONV ; MESS Convergence du calcul ; SINON ; MESS Pas de convergence du calcul pour le nombre diterations demande ; FINSI ; FINSI ; On utilise ici des conditions logiques pour vrier si le calcul sest droul correctement : - si le contenu de la variable logique TAB1.ERREUR est VRAI cela indique quil y a eu une erreur au cours de lexcution de la procdure ; - si le contenu de la variable logique TAB1.CONV est VRAI cela indique que le calcul a converg avant ou pour le nombre maximal ditrations autorises. TAB2 NDIM IB = LIS1 LIS2 88 = TAB1.DEPLACEMENTS ; = DIME TAB2 ; 0; = PROG ; = PROG ;

REPETER BOUC1 NDIM ; DDD = EXTR (TAB2.IB) P2 UY ; LIS1 = PROG 0. PAS 0.5 30. PAS -0.5 0. ; LIS2 = INSER LIS2 &BOUC1 (-1.*DDD) ; IB = IB+1 ; FIN BOUC1 ; TITRE COURBE DEPLACEMENT-FORCE ; EV1 = EVOL MANU LIS2 DEPLACEMENT LIS1 FORCE ; DESS EV1 ; TAB1.DEPLACEMENTS est une table contenant les rsultats des dplacements. Les indices de cette table sont des entiers correspondant aux numros des temps de sauvegarde (0, 1 ,... ,NDIM-1 ) ainsi TAB1.DEPLACEMENTS.0 est le champ de dplacements initial. La liste de rels LIS2 contient le dplacement (en valeur absolue) UY du point P2 pour chaque pas de pseudotemps. La liste de rels LIS1 contient la force applique (en valeur absolue) pour chaque pas de pseudo-temps. Les deux listes permettent de crer lobjet EV1 reprsentant lvolution de la force en fonction du dplacement.

FORCE 35.00

30.00

25.00

20.00

15.00

10.00

5.00 DEPLACEMENT .00 .00 .05 .10 .15 .20 .25 .30 .35

COURBE DEPLACEMENTFORCE

FMAX = (NDIM/2) ; FFIN = NDIM - 1 ; CHDEPM = TAB2.FMAX ; CHDEPF = TAB2.FFIN ; DEF0 = DEFO L1 CHDEPF 0. BLAN ; DEF1 = DEFO L1 CHDEPM 1. ROUGE ; DEF2 = DEFO L1 CHDEPF 1. VERT ; OEIL = 0. 0. 1000. ; TITRE DEFORMEE DE LA POUTRE APPLICATION FORCE MAXI ; TRAC OEIL (DEF0 ET DEF1) ; TRAC OEIL (DEF0 ET DEF2) TITRE DEFORMEE DE LA POUTRE APRES RELACHE ; Lobjet CHDEPM contient le champ de dplacements rsultant de leffort maximal (pour le pseudo-temps t=3) ; lobjet CHDEPF contient le champ de dplacement nal (effort nul et pseudo-temps t=6). partir de ces champs de dplacements et de la gomtrie initiale (L1), on cre des objets de type DEFORME. An dobtenir la structure non dforme, on utilise un coefcient damplication nul (cet artice est ncessaire pour la directive TRAC qui ne sapplique qu des objets de mme type). La dforme de la poutre aprs relche montre quil y a bien eu plastication.

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CHAPITRE 12. CALCULS NON LINAIRES

AMPLITUDE 0.00E+00 1.0

DEFORMEE DE LA POUTRE APPLICATION FORCE MAXI

AMPLITUDE 0.00E+00 1.0

DEFORMEE DE LA POUTRE APRES RELACHE

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INDEX

IndexA ABS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 AMOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 ANTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Axisymtrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 EPSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Erreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 EVOL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 87 volution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 EXCO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 23, 48, 53 EXTR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

B F BLOQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 47, 75 Boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 FINP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 BSIG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 FINS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Flottant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 C FLUX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 FORC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 47, 71 CALP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 G CARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42, 47 CER3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Gibiane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 CERC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 29 I Champ par lment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 23 INFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Champ par point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 INTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Champ par point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 INVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 CHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 CHAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71, 87 L COMM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 COND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 LIRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Conditions limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 LIST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 CONV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Liste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 COOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 COUR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 M CUBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 29, 37 CUBT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 MANU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21, 23, 64 D MASS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 64 DALL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 32 MATE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42, 47, 75, 78, 87 DEBP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 MAXI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 53 DEFO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48, 51 MESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 DEPI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 75 MINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 DESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 MODE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 42, 47, 75, 78, 87 Directive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 41 DROI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21, 29 MOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 DYNAMIC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 N NBEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 E ELIM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 NBNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NOMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22 91

INDEX NORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67 Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 THET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 O TRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14, 54 Objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 17 Tracer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 OBTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 TRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 34 Oprateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9, 13, 14 TRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 OPTI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 41 U Options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 UTIL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 P V PARA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 PASAPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85, 87 VECT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 PAVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35, 36 VIBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 49, 50 POIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20, 30 VMIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 VOLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Post-traitement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 PRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67, 82 X PRESS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 XTX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 PRIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Procdure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10, 27 PROG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24, 87 Q QUEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 QUIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 R REAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 57 REDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 REGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 33 RELA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 REPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 RESO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47, 76 REST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 RESU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 RIGI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45, 47 ROTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 34 RTEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 S SAUV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 SIGM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53, 82 SINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 SORT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 SURF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31, 32 Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 SYMT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43, 67 Syntaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 T TABL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 92