1cours Simplification Des Fonctions Logiques

Support de cours TECHNIQUES NUMERIQUES

Prpar par MR M. HALAILI INSFP /SBA - 1 - Fvrier 2012

CHAP03 SIMPLIFICATION DES FONCTIONS LOGIQUES

I. Introduction :

Aprs la recherche de lexpression algbrique de la fonction, ltape suivante consiste

minimiser le nombre de termes (de portes logiques) afin dobtenir une ralisation matrielle

plus simple donc plus facile construire et dpanner, en plus moins coteuse.

Deux mthodes de simplification sont utilises:

1. La mthode algbrique

2. La mthode graphique (diagramme de KARNAUGH).

3. Mac clauskie

II. La mthode algbrique:

Il sagit dappliquer les thormes et les proprits de lalgbre de Boole pour obtenir une

expression plus simple de la fonction.

Exemple 01:Simplifier algbriquement la fonction suivante :

S=A.B.C + A.B.(A.C)

S=A.B.C + A.B. (A+C) [A=A]

S=A.B.C + A.B. (A+C)

S=A.B.C + A.B.A+A.B.C [A.A=A]

S=A.B.C + A.B +A.B.C

S=A.B + A.C.(B+B) [B+B=1]

S=A.B + A.C S=A.(B+C)

Exemple 02 :

F=A.B+A+B = A.B.(A+B) = (A+B).(A+B) = A.A+A.B+B.A+B.B = A.B+A.B

III. La mthode graphique (diagramme de KARNAUGH).

On a pu sapercevoir que la mthode de simplification algbrique devenait vite trs longue et

fastidieuse ds que le nombre de variables devenait important.

La mthode du tableau de KARNAUGH va nous permettre deffectuer des simplifications

beaucoup plus rapidement sans avoir crire de longues quations.

La simplification dune expression logique par le tableau de KARNAUGH est une mthode

dveloppe en 1953 par Maurice KARNAUGH, ingnieur en tlcommunications au

laboratoire Bell.



Le diagramme de Karnaugh est un outil graphique, mthodique. Il permet dobtenir une

solution optimale la simplification logique.

Le diagramme de Karnaugh consiste prsenter les tats dune fonction logique, non pas

sous la forme dune table de vrit, mais en utilisant un tableau double entre.

Chaque case du tableau correspond une combinaison des variables dentres, donc une

ligne de la table de vrit.

Le tableau de Karnaugh aura autant de cases que la table de vrit possde de lignes.

Les lignes et les colonnes du tableau sont numrotes selon le code binaire rflchi (code

de Gray) : chaque passage dune case lautre, une seule variable change dtat (cases

adjacentes).

Le diagramme de Karnaugh est un tableau de 2N cases, N tant le nombre de variables.

III.1.Diagramme de KARNAUGH 2 variables

A. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH



A B S

0 0 0 S0 1 0 1 S1 2 1 0 S2 3 1 1 S3

A B C S

0 0 0 0 S0 1 0 0 1 S1 2 0 1 0 S2 3 0 1 1 S3 4 1 0 0 S4 5 1 0 1 S5 6 1 1 0 S6 7 1 1 1 S7

A.B

A.B

A.B

A.B

S

A.B.C

A.B.C

Code Gray



Remarque : Dans tableau de KARNAUGH deux cases sont dites ADJACENTES si UNE seul variable change dtat dune case lautre.

Exemple : Les cases S0 et S2 sont des cases ADJACENTES (S0=A.B.C et S2=A.B.C une seul variable change dtat cest B)

Autre reprsentation du tableau de KARNAUGH :



A B C D S

0 0 0 0 0 S0 1 0 0 0 1 S1 2 0 0 1 0 S2 3 0 0 1 1 S3 4 0 1 0 0 S4 5 0 1 0 1 S5 6 0 1 1 0 S6 7 0 1 1 1 S7 8 1 0 0 0 S8 9 1 0 0 1 S9

10 1 0 1 0 S10 11 1 0 1 1 S11 12 1 1 0 0 S12 13 1 1 0 1 S13 14 1 1 1 0 S14 15 1 1 1 1 S15

S

A.B.C.D

A.B.C.D



III.4.Simplification on utilisant le tableau de KARNAUGH :

Rgles de simplification :

Constituer des groupe des groupes de 1,2,4,8,16 cases ADJACENTES (2n cases)

(on choisit des cases contenant des 1 ou des 0 pas les deux la fois)

Ces groupes de taille maximale, doivent tre carr ou rectangulaire ;

Ils doivent contenir un nombre de cases gal une puissance de deux ;

Les bords de la table doivent tres adjacent ;

On ne retient que les variables dont ltat logique dentr nest pas modifi lintrieur

du groupement ;

Les mmes termes peuvent participer plusieurs groupements,

On doit avoir le moins de groupes possible , chaque groupe doit contenir le maximum de

terme (1 ou 0)

Les variables dun mme groupement sont lies par une fonction ET(.), les groupements

sont lis par des fonctions OU(+).

Apres avoir fait la somme des fonctions de chaque groupement on obtiendra lquation

finale de S

III.4.1. Simplification dune fonction 2 variables :

Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le tableau de

KARNAUGH (TDK).


S= A.1 + B.1 = A+B

A B S

0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 1 3 1 1 1

0

S

1

1 1

A

1

Parce que A na pas

chang dtat

Parce que B a

chang dtat

B

1




Exemple 01 : Simplifier la fonction de la TDV (Table de vrit) suivante on utilisant le

tableau de KARNAUGH (TDK).


S= A.C + A.B




S= B.C + A.B + B.C

A B C S

0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 0

7 1 1 1 0

A B C S

0 0 0 0 1

1 0 0 1 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 1

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

0 0

0

1

1 1 1

0

C

A

1

A.B






B. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH




A B C D S

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 0

11 1 0 1 1 1

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 1

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 1

A B C D S

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 0

11 1 0 1 1 1

12 1 1 0 0 0

13 1 1 0 1 1

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 1

C

A

D

B

A.B

S= A.D + B.D + A.B.C

CD

C

1

B

S= C.D + B.C

11

10

0



III.5.Fonctions incompltement dfinies : Parfois, la fonction raliser n'est pas

compltement dfinie, c'est dire que pour certaines combinaisons des variables, la

valeur logique que prend la fonction n'est pas connue. Ceci pour plusieurs raisons:

Soit qu'on est indiffrent la valeur qu'elle peut prendre pour certaines combinaisons

des variables.

Soit que ces combinaisons correspondent, dans la pratique, des configurations

impossibles.

Les cases du tableau de KHARNAUGH correspondantes ces combinaisons sont appeles

des cases .

Pour trouver l'expression la plus simple de la fonction logique, on pourra utiliser ces

cases , selon le cas soit comme des cases 1, soit comme des cases 0. Il n'y a pas de rgle

permettant un choix judicieux, mais en gnral on attribuera chaque case la valeur (0

ou 1) qui permet d'obtenir le plus petit nombre de contractions de plus grande taille

possible qui englobe toutes les cases.

Exemple 01 : Simplifier la fonction suivante :

A.D

B.C

G = A.D + B.C



Exemple 02

Une serrure de scurit souvre en fonction de quatre cls A, B, C D. Le fonctionnement

de la serrure est dfinie comme suite :

S (A,B,C,D)= 1 si au moins deux cls sont utilises

S (A,B,C,D)= 0 sinon

Les cls A et D ne peuvent pas tre utilises en mme temps

On remarque que si la cl A et D sont utilises en mme temps ltat du systme nest pas

dtermin. Ces cas sont appels cas impossibles ou interdites.

B. Table de vrit B. Tableau de KARNAUGH

Remarque :

La mthode de simplification de KHARNAUGH, qui est une mthode graphique, devient

pnible utiliser au-del de cinq variables, car le tableau devient de dimensions importantes,

les cases adjacentes moins faciles reprer, cest pour cela quau-del de 5 variables, on

utilise dautre mthode de simplifications comme la mthode de QUINE MAC CLUSKEY.

A B C D S

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 1

6 0 1 1 0 1

7 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1

11 1 0 1 1 12 1 1 0 0 1

13 1 1 0 1 14 1 1 1 0 1

15 1 1 1 1

CD

S= A.B + C.D + B.D + A.C + B.C

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