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Calculs asymptotiques
A. Comparaison locale des fonctions.
1. Qu’est-ce qu’une propriété locale ? 2. Relations faibles : domination, similitude. 3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence. 4. Exemples.
B. Développements limités.
1. L’échelle des monômes. 2. L’algèbre des développements limités. 3. Théorème de Taylor-Young.
C. Développements asymptotiques.
1. Echelles de comparaison. 2. Parties principales, développements asymptotiques. 3. Premiers exemples. 4. Bijections réciproques. 5. Sommation et intégration des relations de comparaison. 6. Méthode de Laplace. 7. Fonctions fluctuantes. 8. Calcul numérique et calcul asymptotique. Pierre-Jean Hormière
____________
« Et tu sais sans doute ce que tu veux faire plus tard ? » me demanda-t-il. J’éclatai d’orgueil : «Je veux faire des mathématiques », lui répondis-je. Il sourit sans bonté : « Commence par le calcul », me dit-il. Mon destin était scellé. » Raymond Abellio
« Les mathématiciens purs auraient tort d’ailleurs de mépriser ce côté « terre à terre » du Calcul infinitésimal ; pour acquérir le « sens de l’Analyse » indispen-sable jusque dans les spéculations les plus abstraites, il faut avoir appris à distinguer ce qui est « grand » de ce qui est « petit », ce qui est « prépondérant » et ce qui est « négligeable ». »
Jean Dieudonné Par « calculs asymptotiques », on entend l’ensemble des techniques algébriques permettant de calculer des limites, de « lever » les indéterminations, d’étudier localement les fonctions et les courbes (branches infinies, points litigieux), de comparer les suites au voisinage de l’infini, et les fonctions au voisinage d’un point, etc. Ces techniques permettent d’étudier la nature des séries, et donnent des équivalents de sommes partielles de séries divergentes, ou de restes de séries convergentes. Idem pour les intégrales impropres. Après avoir fait l’objet de polémiques passionnées aux XVIIème et XVIIIème siècles, les infiniment grands et infiniment petits ont été élucidés systématiquement par P. Du Bois-Reymond, dans une série d’articles de 1870-1871, où il mit en évidence la notion d’échelle de comparaison, et étudia l’intégration et la dérivation des relations de comparaison. Un peu plus tard, H. Poincaré dégagea la notion de série asymptotique (nos actuels développements asymptotiques). Ces recherches trouvèrent une forme rigoureuse et définitive chez G. H. Hardy. Sous leur forme actuelle, les calculs asymptotiques apparaissent comme une sorte d’analyse algébrique. Ils jouent un rôle fondamental en mathématiques, du théorème central limite du calcul des probabilités à la théorie des nombres la plus abstraite. Mais ils jouent aussi un grand rôle en physique : le fameux E = mc² de la
relativité restreinte n’est que le premier terme du développement limité de l’énergie E = mc²²²
²1
cmp+ .
2
A. Comparaison locale des fonctions.
1. Qu’est-ce qu’une propriété locale ? Définition : Soit E un ensemble. On appelle filtre sur E un ensemble FFFF de parties de E qui possède les propriétés suivantes : (F I) Toute partie de E contenant un ensemble de FFFF appartient à FFFF ; (F II ) Toute intersection finie d’ensembles de FFFF appartient à FFFF ; (F III ) La partie vide de E n’appartient pas à FFFF. Le couple (E, FFFF) est appelé ensemble filtré. 1
Exemples : 1) Soit (E, d) un espace métrique. L’ensemble VVVVx des voisinages de x est un filtre sur E.
2) Plus généralement, soit (E, d) un espace métrique, A une partie de E, x0 un point adhérent de E à
A. Les traces sur A des voisinages de x0 forment un filtre sur A.
Par exemple, si E = R , A = R, x0 = +∞, les traces sur R des voisinages de +∞ dans R forment un filtre sur R : ce sont les parties de R contenant une demi-droite ]a, +∞[.
De même, si E = R , A = N, x0 = +∞, les traces sur N des voisinages de +∞ dans R forment un filtre sur N : ce sont les parties de N contenant une demi-droite ]a, +∞[, ou encore les complémen-taires des parties finies de N (filtre de Fréchet).
Les filtres considérés dans ce chapitre sont tous de ce type.
Soit (E, FFFF) un ensemble filtré. Une fonction f à valeurs réelles2, définie sur une partie de E, a un domaine de définition noté D(f). Nous nous limitons aux fonctions f telles que D(f) ∈FFFF. Soit HHHH(FFFF, R) leur ensemble.
On dit que les fonctions f et g ∈ HHHH(FFFF, R) ont même germe suivant le filtre FFFF s’il existe un
ensemble A ∈ FFFF tel que A ⊂ D(f) ∩ D(g) et f|A = g|A.
C’est une relation d’équivalence dans l’ensemble HHHH(FFFF, R). La classe de f s’appelle germe de f et se
note f~
.
Si deux fonctions f et g appartiennent à HHHH(FFFF, R), leur somme n’est définie que sur D(f) ∩ D(g). Cette somme est élément de HHHH(FFFF, R). De plus si f’ a même germe que f, et g’ même germe que f suivant le filtre FFFF, f’ + g’ aura même germe que f + g. Le germe de f + g ne dépend que des germes
de f et de g : on l’appelle somme des germes, et on le note f~
+ g~ . On définit de même λ f~
et
f~
. g~ . Il est clair que les germes de fonctions forment une algèbre, notée HHHH∞(FFFF, R).
Une propriété locale de f suivant le filtre FFFF est une propriété qui ne dépend que du germe de f suivant FFFF.
Exemples : 1) Si (E, d) un espace métrique, et si FFFF est le filtre VVVVx des voisinages de x, deux fonc-
tions f et g ayant même germe ont même valeur en x ; cette valeur s’appelle valeur de f~
en x. La
réciproque est fausse en général : si E = R, les fonctions f(x) = x et g(x) = −x ont même valeur en 0, mais ne coïncident pas dans un voisinage de 0. De plus, si f est continue en x, g sera aussi continue : la continuité en un point x est une propriété locale en ce point. Il en est de même de la dérivabilité, si E est un intervalle de R, ou un ouvert de R
n.
1 Les filtres ont été inventés par Henri Cartan en 1937, lors du congrès Bourbaki de Chançay. 2 Dans cet exposé, on se limite aux fonctions à valeurs réelles. L’extension aux fonctions à valeurs complexes ou vectorielles ne pose aucun problème.
3
2) Deux suites (un) et (vn) ont même germe suivant le filtre de Fréchet si elles coïncident à partir d’un certain rang. Si l’une est bornée (resp. convergente, resp. convergente en moyenne de Cesàro) l’autre aussi. De plus, (un) et (vn) ont mêmes valeurs d’adhérence, et notamment mêmes limites inférieure et supérieure. Toutes ces notions sont dites asymptotiques.
3) Soit f une fonction réelle telle que D(f) ∈ FFFF. On dit que f converge vers y selon le filtre FFFF , et on
note limFFFF f = y si ∀V ∈ VVVVy ∃Α ∈ FFFF A ⊂ D(f) et f(A) ⊂ V.
Cette propriété ne dépend que du germe de f selon le filtre FFFF.
Si f a une limite selon le filtre FFFF, il importe de connaître la « manière » dont elle tend vers cette limite. Et si elle est sans limite, il importe de savoir de quelle manière elle diverge. Bref, nous allons chercher à classifier les éléments de HHHH(FFFF, R) selon leur comportement.
2. Relations faibles : domination, similitude. 2.1. Domination.
Définition 1 : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH(FFFF, R). On dit que f est dominée par g suivant FFFF, s’il existe X ∈ FFFF et un réel β > 0 tels que :
X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ β | g(x) |.
Relation notée f ∈ O(g), f = O(g) (notations de Bachmann-Landau 3), ou f p g (notations de Hardy). La notation f = O(g) est un abus de langage : si f = O(g) et h = O(g), f et h ne sont pas égales !
Exemples :
1) f = O(1) signifie que f est bornée dans un ensemble de FFFF. Par exemple sinx1 = O(1) au V(0).
2) Lorsque x tend vers +∞, sin2
x = O(sin x).
3) La suite Sn = ∑=
n
k
k1
² vérifie Sn = 6
)12)(1( ++ nnn =
3
3n +
2
2n +
6n .
Il en résulte que Sn = O(n3), et Sn =
3
3n + O(n
2).
4) La suite harmonique Hn = ∑=
n
k k1
1 vérifie Hn = ln n + γ + O(n1 ).
5) Lorsque (x, y) tend vers (0, 0), x.y = O(x2 + y
2). Cela découle de | x.y | ≤
21 ( x
2 + y
2 ).
Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH(FFFF, R). Pour que f soit dominée par g, il faut et il suffit qu’il existe une fonction b appartenant à HHHH(FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF, telle que l’on ait : (∀x ∈ B) f(x) = g(x).b(x) .
Preuve : i) Supposons f = O(g). Il existe X ∈ FFFF et β > 0 tels que :
X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ β.| g(x) |.
Alors (∀x ∈ X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0. Définissons la fonction b : X → R par b(x) = )()(
xgxf
si g(x) ≠ 0,
b(x) = 0 si g(x) = 0. On a (∀x ∈ X) | b(x) | ≤ β et (∀x ∈ X) f(x) = g(x).b(x) .
ii) Supposons qu’existe une fonction b appartenant à HHHH(FFFF, R), bornée dans un ensemble B de FFFF, telle que l’on ait (∀x ∈ B) f(x) = g(x).b(x). Alors si (∀x ∈ B) |b(x)| ≤ β, (∀x∈ B) | f(x) | ≤ β.| g(x) |.
Propriétés de la domination :
3 La notation O fut introduite par P. Bachmann dans son livre Analytische Zahlentheorie, en 1892, et reprise par E. Landau.
4
a) La domination est une propriété locale.
b) La relation f = O(g) est réflexive et transitive (préordre). On a λ.f = O(f) pour tout λ.
c) Linéarité : f1 = O(g) et f2 = O(g) ⇒ f1 + f2 = O(g) et λ.f1 = O(g).
d) f1 = O(g1) et f2 = O(g2) ⇒ f1.f2 = O(g1.g2). 2.2. Similitude.
Définition 2 : Deux fonctions f et g appartenant à HHHH(FFFF, R) sont dites semblables suivant F, si f = O(g) et g = O(f) , i.e. s’il existe X ∈ FFFF et deux réels α et β > 0 tels que :
X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) α.| g(x) | ≤ |f(x)| ≤ β.| g(x) |.
Cette relation se note (ici) f ÷ g.
Exemples :
1) Les fonctions x et ax (a ≠ 0) sont semblables au V(0) et au V(±∞).
2) Un polynôme P(x) = a0 + a1.x + … + an.xn de degré n est semblable à x
n au V(±∞).
Propriétés de la similitude.
a) La similitude est une propriété locale.
b) La similitude est une relation d’équivalence.
c) La similitude est compatible avec la multiplication : f1 ÷ g1 et f2 ÷ g2 ⇒ f1.f2 ÷ g1.g2.
Remarque : La similitude n’est pas compatible avec l’addition :
f1 ÷ g1 et f2 ÷ g2 n’impliquent pas f1 + f2 ÷ g1 + g2 .
En effet au V(0), −x ÷ −x et x ÷ 2x , mais 0 n’est pas semblable à x. 2.3. Application des relations faibles à la complexité algorithmique.
La complexité est un concept moderne et important, qui traverse toutes les sciences 4. Evaluer la complexité d’un algorithme, c’est trouver un équivalent ou une suite semblable au nombre d’opérations qu’il nécessite. Encore faudrait-il distinguer la complexité maximale de la complexité moyenne, qui est de nature probabiliste.
1) Décomposition d’un entier n en base b : algorithme nécessitant [ logb n ] opérations.
2) Algorithme d’Euclide.
Exercice : Si a et b sont deux naturels, soit L(a, b) la longueur de l’algorithme d’Euclide de calcul de leur pgcd. 1) Montrer que la fonction L(a, b) satisfait aux lois récursives : ∀a ∈ N L(a, 0) = 0 ∀(a, b) ∈ N×N* L(a, b) = L(b, r) + 1, où r = rem(a, b)
2) Si (fn) est la suite de Fibonacci, montrer que L(fk+1, fk) = k − 1.
3) Pour tout p ≥ 2, soit k(p) l’unique entier k tel que fk ≤ p < fk+1. Montrer que si a < b, L(a, b) ≤ min(k(b) – 1 , k(a)).
3) Multiplication de deux polynômes.
Soit A(x) un polynôme de degré n, B(x) un polynôme de degré n. Par la méthode habituelle, le calcul de A(x).B(x) nécessite (n+1)(p+1) additions et (n+1)(p+1) multiplications, soit O(N
2) opérations, où
N = max(n, p). Par la transformation de Fourier rapide, il nécessite O(N.ln N) opérations.
4 Cf. Pour la science lui a consacré un dossier en décembre 2003.
5
4) Méthode du pivot. Soit A ∈ MK(n, p) une matrice à coefficients dans un corps commutatif K . L’algorithme du pivot, qui détermine deux matrices inversibles P et Q et un entier r (le rang de A)
tels que Q.A.P =
OOOJr , nécessite un nombre d’opérations O(N
3), où N = max(n, p).
On ne peut que majorer ce nombre, car cet algorithme est plus ou moins long selon la matrice. De plus, lorsque K = Z/2Z, cet algorithme est plus court, car on ne fait que des additions.
3. Relations fortes : négligeabilité, équivalence. 3.1. Prépondérance et négligeabilité.
Définition 1 : Soient f et g deux fonctions numériques appartenant à HHHH(FFFF, R). On dit que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante sur f suivant FFFF, si, pour tout ε > 0, il existe X ∈ FFFF tel que : X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ ε.| g(x) |.
Cette relation se note f ∈ o(g), f = o(g) (notations de Landau) ou f pp g (notations de Hardy).
La notation f = o(g) est un abus de langage : si f = o(g) et h = o(g), f et h ne sont pas égales.
Exemples : 1) f = o(1) signifie que f tend vers 0 suivant le filtre F.
2) Logarithmes, puissances, exponentielles. Soit ϕγ,α,β(x) = eγx
.xα.( ln x )
β , (γ, α, β) ∈ R
3.
On a ϕγ,α,β = o(ϕγ’,α’,β’) au V(+∞) ⇔ (γ < γ’) ou (γ = γ’ et α < α’) ou (γ < γ’ et α = α’ et β < β’).
Théorème : Soient f et g deux fonctions appartenant à HHHH(FFFF, R). Pour que f soit négligeable devant g, il faut et il suffit qu’il existe une fonction ε appartenant à HHHH(FFFF, R), tendant vers 0 selon le filtre FFFF, telle que l’on ait : (∀x ∈ D) f(x) = g(x).ε(x) .
Preuve : i) Supposons f = o(g). Prenant d’abord ε = 1, il existe X ∈ FFFF tel que :
X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) | f(x) | ≤ | g(x) |. Alors (∀x ∈ X) g(x) = 0 ⇒ f(x) = 0.
Définissons la fonction ε : X → R par ε(x) = )()(
xgxf
si g(x) ≠ 0 , ε(x) = 0 si g(x) = 0.
On a (∀x ∈ X) f(x) = g(x).ε(x). De plus, ∀ε > 0 ∃X(ε) ∈ FFFF X(ε) ⊂ D(f) ∩ D(g) et ∀x ∈ X(ε) | f(x) | ≤ ε.| g(x) |. Alors (∀x ∈ X ∩ X(ε)) | ε(x) | ≤ ε , donc la fonction ε tend vers 0 selon le filtre FFFF. La réciproque, facile, est laissée au lecteur.
Propriétés de la négligeabilité :
a) C’est une propriété locale.
b) La relation f = g ou f = o(g) est réflexive et transitive (préordre).
c) Linéarité : f1 = o(g) et f2 = o(g) ⇒ f1 + f2 = o(g) et λ.f1 = o(g).
d) f1 = O(g1) et f2 = o(g2) ⇒ f1.f2 = o(g1.g2). A fortiori f1 = o(g1) et f2 = o(g2) ⇒ f1.f2 = o(g1.g2). 3.2. Equivalence.
Théorème et définition 2 : Soient f et g deux éléments de H(F, R). Les propriétés équivalentes suivantes : (EI) f − g = o(g) .
(EII) Pour tout ε > 0, il existe X ∈F tel que X ⊂ D(f) ∩ D(g) et (∀x ∈ X) |f(x) − g(x)| ≤ ε.|g(x)| .
(EIII) Il existe un ensemble Y ∈ F et une fonction η : Y → R tels que :
Y ⊂ D(f) ∩ D(g) , (∀x ∈ Y) f(x) = g(x).( 1 + η(x) ) et limF η(x) = 0 .
(EIV) Il existe un ensemble Y ∈ F et une fonction υ : Y → R tels que :
6
Y ⊂ D(f) ∩ D(g) , (∀x ∈ Y) f(x) = g(x).υ(x) et limF υ(x) = 1 .
Si la fonction g ne s’annule pas dans un ensemble Y ∈ F, cela équivaut encore à :
(EIV) limF )()(
xgxf
= 1 .
Si ces propriétés sont satisfaites, on dit que f et g sont équivalentes suivant F, et on note f ∼ g.
Propriétés de l’équivalence.
a) L’équivalence est une propriété locale.
b) L’équivalence est une relation d’équivalence.
c) La similitude est compatible avec la multiplication : f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 ⇒ f1.f2 ∼ g1.g2.
d) L’équivalence implique la similitude : f ∼ g ⇒ f ÷ g . La réciproque est fausse : x est semblable à 2x au V(0), mais pas équivalente.
e) « Deux équivalents sont de même signe ».
En effet, il découle de (EIII) ou (EIV) que l’on a 2
)(xg ≤ f(x) ≤ 2
)(3 xg dans Y∈F.
f(x) et g(x) ont même signe dans l’ensemble Y. Ceci sert à étudier la position d’une courbe par
rapport à son asymptote au V(± ∞), etc. Par exemple si f(x) = 3x – 2 + x5 + o(
x1 ) au V(± ∞), f a pour
asymptote la droite y = 3x – 2, et est localement au-dessus au V(+∞), au-dessous au V(− ∞).
Attention ! La notion d’équivalent possède peu de propriétés.
a) f ∼ g n’implique pas limF (f – g) = 0.
Par exemple, x2 + x ∼ x
2 au V(+∞), mais la différence tend vers l’infini.
b) Limites et équivalents.
f ∼ a (a ≠ 0) équivaut à limF f = a ; limF f = 0 n’équivaut pas à f ∼ 0.
f ∼ 0 signifie que f est nulle identiquement dans un ensemble A ∈ F .
En revanche limF f = a équivaut à f(x) = a + o(1).
c) On n’additionne pas des équivalents : f1 ∼ g1 et f2 ∼ g2 n’impliquent pas f1 + f2 ∼ g1 + g2.
Au V(0), on a 1 ∼ 1 + x et −1 ∼ −1… mais 0 n’est pas équivalent à x.
Au V(0), on a f1 = x3 ∼ g1 = x
3 , f2 =
xx−1
∼ g2 = x et f3 = ²1 x
x−− ∼ g3 = −x
Mais f1 + f2 + f3 = x3 +
²1²x
x− ∼ x
2 n’est pas équivalent à g1 + g2 + g3 = x
3 .
Au V(+∞), on a x ∼ x + x et −x − x ∼ −x… mais x n’est pas équivalent à x .
Remarque : On n’a pas le droit d’additionner des équivalents… mais on passe son temps à le faire ! Il faut le justifier avec soin, c’est tout.
Par exemple, si f1 ∼ αg , f2 ∼ βg et α + β ≠ 0, alors f1 + f2 ∼ (α + β)g .
En effet f1 + f2 = (α + β).g + o(g) , d’où le résultat. Les théorèmes de sommation de relations de comparaison, que nous verrons plus tard, autorisent, sous certaines hypothèses, à additionner les équivalents en nombre infini
d) On ne compose pas des équivalents : f ∼ g n’implique pas ϕ o f ∼ ϕ o g.
Par exemple x2 + x , x
2 + c et x
2 − x au V(+∞), mais exp(x
2 + x), exp(x
2 + c) et exp(x
2 − x) ne sont
pas équivalents au V(+∞).
Autre exemple : ( 1 + x1 )x
∼ e en +∞, mais ( 1 + x1 )x²
et ex ne sont pas équivalents
7
Cependant, on a le très-utile résultat :
Proposition : Des infiniment grands équivalents ont des logarithmes équivalents.
Preuve : Soient f(x) = (1 + ε(x)).g(x) des infiniment grands équivalents. Passons au log ; il vient :
ln f(x) = ln g(x) + ln(1 + ε(x)) = ln g(x) + ε(x) = ln g(x).( 1 + )(ln
)(xg
xε ) = ln g(x).(1 + ε(x)) cqfd.
Exemple : au V(+∞), par applications répétées de cette règle, on a les équivalents : ln(x + 1) ∼ ln x , ln ln(x + 1) ∼ ln ln x , ln ln ln(x + 1) ∼ ln ln ln x , etc.
d) On ne dérive pas des équivalents.
Au V(0), on a 1 ∼ 1 + x mais les dérivées ne sont pas équivalentes.
e) Si deux bijections sont équivalentes, les bijections réciproques ne le sont pas toujours. Ainsi, au V(+∞), on a ln x ∼ ln x + 1, mais exp(y) n’est pas équivalente à exp(y − 1).
4. Exemples. Voici quelques premières méthodes permettant d’obtenir un équivalent.
4.1. Mise en facteur du terme prépondérant.
1) Polynômes. Soit P(x) = a0 + a1.x1 + … + an.x
n un polynôme de degré n (an ≠ 0).
Au V(±∞), P(x) = an.xn.(1 +
n
n
aa 1− .x
−1 +
n
n
aa 2− .x
−2 + … +
naa0 .x
−n) = an.x
n.(1 + ε(x)) ∼ an.x
n.
Au V(0), si k est la valuation de P :
P(x) = ak.xk ( 1 +
k
k
aa 1+ .x +
k
k
aa 2+ .x
2 + … +
k
n
aa .x
n−k ) = ak.xk.(1 + ε(x)) ∼ ak.x
k .
Au V(x0), considérer P(x0 + h), et se ramener au cas précédent.
2) Fractions rationnelles. Une fraction rationnelle non nulle F(x) = )()(
xQxP
est équivalente en ±∞
au quotient de ses termes de plus haut degré.
3) Sommes d’exponentielles.
Exercice 1 : Soient a1, … , an des réels > 0. Trouver limp→+∞ p pn
p aa )(...)( 1 ++ .
4.2. Développements limités et asymptotiques.
Si une fonction admet un développement limité ou asymptotique non nul en x0, elle est équivalente en ce point au premier terme non nul de ce développement. Nous reviendrons sur ceci en B) et C)
Exemples :
1) en 0, cos x ∼ 1 , ex ∼ 1 , ch x ∼ 1. Plus généralement si f(x) → f(x0) ≠ 0 alors f(x) ∼ f(x0).
2) en 0, sin x ∼ x , ex − 1 ∼ x , ln(1 + x) ∼ x , sh x ∼ x , Arctan x ∼ x , tan x ∼ x , th x ∼ x.
Plus généralement si f est dérivable en x0 et si f’(x0) ≠ 0, alors f(x) − f(x0) ∼ f’(x0).(x – x0).
3) en 0, tan x ∼ x , th x ∼ x , cotan x ∼x1 , coth x ∼ x.
4) en 0 toujours, ex − 1 − x ∼
2
2x , sin x − x ∼ −
6
3x, etc.
4.3. Encadrement intégral.
L’encadrement intégral est une importante méthode de calcul de limites et d’équivalents.
8
• Si f : [1, n] → R est décroissante, ∫n
dttf1
).( + f(n) ≤ ∑=
n
k
kf1
)( ≤ ∫n
dttf1
).( + f(1) .
• Si f : [1, n] → R est croissante, on a ∫n
dttf1
).( + f(1) ≤ ∑=
n
k
kf1
)( ≤ ∫n
dttf1
).( + f(n) .
Historiquement, ces encadrements ont permis de calculer des intégrales via les sommes de Riemann et les procédés sommatoires. Depuis Newton-Leibniz, ils fonctionnent plutôt dans l’autre sens, donnant des limites et équivalents de sommes finies ou de restes à l’aide d’intégrales.
Exercice 2 : Equivalents des suites Sn = ∑=
n
k
k1
et Tn = ∑=
n
k
kE1
)( .
Exercice 3 : Equivalents des suites Sn = ∑=
n
k
k1
α et Tn = ∑=
n
k
kE1
)( α (α > 0).
Proposition ( formule de Stirling, 1730 ) : n! ~ nen n π2.)( .
Preuve : Nous montrerons cette formule une première fois dans le chapitre sur les séries et une seconde fois dans celui sur la méthode de Laplace. Indiquons ici le point de départ de la preuve.
Etudions Sn = ln n! = ∑=
n
k
k1
ln , au moyen d’encadrements intégraux.
> with(plots): > p:=plot(ln(x),x=0..8,0..2.5):q:=plot(ln(floor(x)),x=1..8,color=blue): r:=plot(ln(ceil(x)),x=1..7,color=green):display({p,q,r},thickness=2);
La croissance de t → ln t fournit aussitôt l’encadrement ln k ≤ ∫+1
.lnk
kdtt ≤ ln(k + 1) qui, sommé de
manières légèrement différentes, donne : ∫n
dtt1
.ln ≤ Sn ≤ tdtn
∫+1
1.ln (1)
∫n
dtt1
.ln ≤ Sn ≤ ∫n
dtt1
.ln + ln n (2)
Comme ∫n
dtt1
.ln = n.ln n − n + 1 , on déduit de (2) que :
n.ln n − n + 1 ≤ Sn ≤ n.ln n − n + ln n + 1 (3)
qui donne : (en )n
e ≤ n ! ≤ (en )n e n (4)
et aussi : Sn = n.ln n − n + O(ln n) (5)
Nous ne sommes pas loin du but...
Exercice 4 : On rappelle l’équivalent de Stirling : n! ~ nen n π2.)( .
On pose ak(m) = kmmm C +
22 .21 pour −m ≤ k ≤ m. Equivalents des suites (a0(m))m et (ak(m))m (k fixé) ?
Soient a et b des entiers tels que a > 1. Equivalents des suites (nanC )n et ( nbanC + )n .
9
4.4. Sommation et intégration d’équivalents.
Les exercices suivants montrent que, s’il est interdit en général de sommer ou d’intégrer des équivalents, en revanche on peut le faire… à condition de le justifier ! Nous verrons plus tard des théorèmes autorisant ce genre de choses.
Exercice 5 : 1) Equivalent, lorsque n → +∞, de la suite Sn = ∑+= ++
n
nk kk
2
14 1²
1 .
2) Equivalent, lorsque x → +∞, de la fonction F(x) = ∫ ++x
x ttdt2
4 1² .
Exercice 6 : 1) Equivalent, lorsque n → +∞, de la suite Sn = ∑+=
n
nk k
2
1
1sin .
2) Soit f dérivable en 0, telle que f(0) = 0 et f’(0) ≠ 0, de la suite Sn = ∑+=
n
nk kf
2
1
)1( .
Exercice 7 : Soit f : ]0, +∞[ → R telle que limx→0+ f(x) = 0 et limx→0+ x
axfxf )()( − = 1 pour un a ∈
]0, 1[. Trouver un équivalent simple de f en 0+.
Exercice 8 : On se propose d’étudier la suite Z(n) = 1n + 2
n + … + n
n.
1) Vérifier que nnnZ )(
= 1n + ( 1 − )1
nn + ( 1 − )2
nn … + ( 1 − )
nn n
.
Deviner un équivalent de nnnZ )(
, puis de Z(n).
2) [Pour les plus forts]. Justifier l’équivalent trouvé ci-dessus.
3) [Pour les autres]. Montrer l’encadrement ∀x ∈ [0, 1[ − x − )1(2
²x
x− ≤ ln(1 − x) ≤ − x.
En déduire que, si N < n, exp )(2
²Nn
N−
− .∑=
−N
k
ke0
≤ nnnZ )(
≤ ∑+∞
=
−
0k
ke .
Par un choix convenable de N, trouver l’équivalent de nnnZ )(
.
4) Résoudre dans N l’équation en n : ( n + 3 )n = ∑
+
=
2
3
n
k
nk . (Concours général 1999)
_________ Une preuve asymptotique du théorème de Pythagore
Soit ABC un triangle rectangle en A, de côtés b = AC, c = AB, a = BC. Supposons b ≥ c, et traçons un pavage du plan par des carrés de côté b (les carrés bleus sur la figure ci-contre), déduits les uns des autres par des translations obliques de façon à laisser comme interstices des carrés de côté c. Considérons, une surface T de n
2 carrés
penchés (contour rouge). Elle a pour aire n2a2. Si l’on
encadre cette aire au moyen de carrés blancs et bleus, il
vient (n − 1)2.b
2 + n(n − 1).c
2 ≤ n
2.a
2 ≤ n(n + 1).(b
2 + c
2)
Divisons par n2 et faisons tendre n vers l’infini, on obtient
a2 = b
2 + c
2.
(d’après Pour la science, oct. 2003, p. 80)
10
B. Développements limités. Clivages pédagogiques... Il y a deux sortes de professeurs de mathématiques : ceux qui trouvent ce chapitre ennuyeux et facile, et ceux qui le trouvent fondamental et difficile. Les premiers trouvent les calculs de développements limités sans intérêt. Lorsque tel collègue disait d’un élève : « Il sait faire un développement limité ! », c’était une façon de dire : « Cet élève est un con, il est tout juste bon à… ». D’ailleurs, à quoi bon apprendre aux élèves à calculer un développement limité puisqu’un ordinateur « sait » le calculer ? Je me range résolument dans le camp opposé. Pour moi les développements limités, et a fortiori les développements asymptotiques, sont des objets abstraits et étranges, faisant un pont entre l’algèbre et l’analyse, une algèbre d’ailleurs pas tout à fait commutative, puisque les calculs doivent être disposés et présentés dans un certain ordre. Ainsi la fonction f(x) = 1/(1 + x) s’écrit
f(x) = 1 − x + x2 − x
3 + O(x
4) au V(0) et f(x) = 1/x − 1/x
2 + 1/x
3 − 1/x
4 + O(1/x
5) au V(±∞).
Aussi, lorsque je disais d’un élève : « Il sait calculer un développement limité », c’était un beau compliment. Quant à l’argument de l’ordinateur, il ne vaut pas tripette. D’abord parce que la plupart des calculs mathématiques, même les plus abstraits, peuvent maintenant être conduits par ordinateur : est-ce une raison pour les éluder ? Autant renoncer à enseigner les mathématiques, ou toute autre matière d’ailleurs, puisque « l’ordinateur les connaît ». Et puis, les logiciels de calcul formel ne savent pas si bien que ça calculer les développements limités, car ils nécessitent beaucoup de matière grise.
1. Développements limités.
Définition : Soit f une fonction réelle de variable définie au voisinage de x0.
− On dit que f admet un développement limité faible à l’ordre n en x0 s’il existe une fonction poly-
nomiale A(h) = a0 + a1.h + … + an.hn de degré ≤ n telle que :
f(x) = A(x − x0) + o((x − x0)n) au V(x0) ,
autrement dit telle que f(x0 + h) = a0 + a1.h + … + an.hn + o(h
n) au V(0).
− On dit que f admet un développement limité fort à l’ordre n en x0 s’il existe une fonction poly-
nomiale A(h) = a0 + a1.h + … + an.hn de degré ≤ n telle que :
f(x) = A(x − x0) + O((x − x0)n+1
) au V(x0) ,
autrement dit telle que f(x0 + h) = a0 + a1.h + … + an.hn + O(h
n+1) au V(0).
Remarque : Ces définitions s’étendent sans peine à des fonctions vectorielles de variable réelle. Les coefficients ak du polynôme A sont des vecteurs, voilà tout.
Propriétés :
1) Unicité : Si f admet un DL(n) faible ou fort en x0 ; il est unique.
2) Troncature : Si f admet un DL(n) faible en x0, il admet un DL(p) faible en x0 pour tout p ≤ n, obtenu par troncature. Idem pour les DL forts.
3) Enlacement : f a un DL(n) fort en x0 ⇒ f a un DL(n) faible en x0 ⇒ f a un DL(n−1) fort en x0.
4) Lien avec les équivalents : Si f admet un DL(n) faible et non nul en x0 ,
f(x0 + h) = a0 + ak.hk + … + an.h
n + o(h
n) au V(0) , (ak ≠ 0) ,
on a les équivalents : f(x0 + h) − a0 ∼ ak.hk au V(0), i.e. f(x) − a0 ∼ ak.((x − x0)
k) au V(x0).
Remarque : Si le DL(n) est nul, on ne peut en déduire que f est équivalente à 0, même si le DL est
nul à tous ordres : penser à la fonction exp(−1/x2).
11
Exemples :
1) Dire que f a un DL(0) faible en x0 f(x0 + h) = a0 + o(1) signifie que f a une limite quand x → x0.
Cette limite est f(x0) = x0, donc f est continue en x0.
2) Dire que f a un DL(1) faible en x0 : f(x0 + h) = a0 + a1.h + o(h) signifie que f est continue et
dérivable en x0, de dérivée a1.
2. L’algèbre des développements limités.
Dans les propositions 1 et 2, f et g sont définies dans un intervalle I non trivial contenant x0.
Proposition 1 : Linéarité, produit .
Si f et g admettent des DL(n) faibles ou forts au V(x0), λ.f + g et f.g aussi, qui s’obtiennent par linéarité ou par produit. Plus précisément, si :
f(x0 + h) = A(h) + o(hn) ou O(h
n+1) , où A(h) = a0 + a1.h + … + an.h
n
g(x0 + h) = B(h) + o(hn) ou O(h
n+1) , où B(h) = b0 + b1.h + … + bn.h
n , alors :
(λ.f + g)(x0 + h) = λA(h) + B(h) + o(hn) ou O(h
n+1)
( f.g )(x0 + h) = Pn(A.B)(h) + o(hn) ou O(h
n+1) ,
où Pn(A.B) est le projecteur canonique de R[X] sur Rn[X].
Remarque : Ceci s’étend sans peine à des fonctions à valeurs vectorielles, le « produit » étant alors remplacé par une fonction bilinéaire continue quelconque entre espaces normés. Par exemple, si les
fonctions à valeurs dans un espace euclidien orienté de dimension 3 x → OM (x) et x → OP (x) ont
un DL(n), leur produit vectoriel x → OM (x) ∧OP (x) aussi.
Corollaire : Si I est un intervalle de centre 0 et si f a un DL(n) faible ou fort en 0,
f(h) = A(h) + o(hn) ou O(h
n+1), alors f paire ⇒ A pair , f impair ⇒ A impair.
Proposition 2 : Division des développements limités.
Si f et g admettent des DL(n) faibles ou forts au V(x0), et si g(x0) ≠ 0, alors f/g est définie au V(x0) et
admet au V(x0) un DL(n) faible ou fort, qui s’obtient par division selon les puissances croissantes.
Preuve : On a f(x0 + h) = A(h) + o(hn) ou O(h
n+1) , où A(h) = a0 + a1.h + … + an.h
n
g(x0 + h) = B(h) + o(hn) ou O(h
n+1) , où B(h) = b0 + b1.h + … + bn.h
n .
Par division selon les puissances croissantes, ∃Q ∈ Rn[X] ∃S ∈ R[X] A( h) = B(h).Q(h) + hn+1
.S(h).
f(x0 + h) = A(h) + o(hn) = B(h).Q(h) + h
n+1.S(h) + o(h
n) = B(h).Q(h) + o(h
n)
= [ g(x0 + h) − o(hn) ].Q(h) + o(h
n) = g(x0 + h).Q(h) + o(h
n).
D’où )()(
0
0
hxghxf
++
= Q(h) + o(hn), car 1/g converge, donc est localement bornée en x0. Idem avec les O.
Proposition 3 : Composition des développements limités.
Soient I et J des intervalles non réduits à un point, f : I → J, et g : J → R, x0 ∈ I.
Si f admet un DL(n) faible ou fort en x0 et si g admet un DL(n) faible ou fort en y0 = f(x0), g o f
admet en x0 un DL(n) faible ou fort qui s’obtient en prenant la partie de degré ≤ n du polynôme
composé : ( g o f )(x0 + h) = Pn(B o A)(h) + o(hn) ou O(h
n+1) .
Proposition 4 : Réversion des développements limités. Soient I un intervalle contenant 0, f une fonction strictement monotone sur I, ayant un DL(n) faible
ou fort (n > 0) du type y = f(x) = a1.x + … + an.xn + o(x
n) ou O(x
n+1) , a1 ≠ 0.
Alors la bijection réciproque g = f−1
admet en 0 un DL(n) faible ou fort
12
x = g(y) = b1.y + … + bn.yn + o(y
n) ou O(y
n+1) ,
dont les coefficients s’obtiennent en écrivant que (g o f)(x) = x et en identifiant les DL(n) des deux membres.
Preuve : D’abord f(x) ∼ a1.x. Posant y = f(x), il vient y ∼ a1.g(y), i.e. g(y) ∼ b1.g(y), où b1 = 1/a1.
Cherchons des coefficients b1, …, bn tels que :
g(y) − b1.y − … − bn.yn = o(y
n) ou O(y
n+1).
Posant y = f(x), cela revient à dire :
x − b1.f(x) − … − bn.f(x)n = o(x
n) ou O(x
n+1) , car x et y sont semblables.
x − b1.(a1x + … + anxn) − b2.(a1x + … + anx
n)2 − … − bn.(a1x + … + anx
n)n = o(x
n) ou O(x
n+1).
En identifiant, on tombe sur un système de la forme :
a1.b1 = 1
a2.b1 + (a1)2.b2 = 0
a3.b1 + 2a1a2.b2 + (a1)3.b3 = 0
etc.
Ce système n’est pas linéaire en les ai, mais il est linéaire en les inconnues bi ; il est trigonal inférieur cramérien, et se résout par descente. Il reste à poser y = f(x).
Exercices : DL(4) en 0 des fonctions réciproques de :
f(x) = x – x2 + x
5 , f(x) = x + x
2 + x
3 , f(x) = x + ln
3(1 + x) , f(x) = e
x.sin x.
Structure algébrique
Soient E l’algèbre des (germes de) fonctions réelles de variable réelle, définies au voisinage de 0,
E(n)
l’ensemble des (germes de) fonctions ayant un développement limité faible à l’ordre n en 0.
E(n)
est un sous-espace vectoriel de E, somme directe de Rn[X] et de o(xn).
E(n)
est une sous-algèbre de E, et o(xn) est un idéal de cette algèbre.
L’algèbre quotient E(n)
/o(xn) est isomorphe à Rn[X].
3. Théorème de Taylor-Young.
3.1. Primitivation, intégration des développements limités.
Proposition 1 : Primitivation des développements limités. Soient I un intervalle de R, f une fonction dérivable de I dans R. Si f’ admet un DL(n) faible ou fort en x0 ∈ I, f admet en ce point un DL(n+1) faible ou fort qui s’obtient en primitivant terme à terme celui de f’.
Si f’ (x) = a0 + a1.(x − x0) + … + an.(x − x0)n + o((x − x0)
n) ou O((x − x0)
n+1) au V(x0) , alors :
f(x) = f(x0) + a0.(x − x0) + 21a
.(x − x0)2 + … +
11
++
nan .(x − x0)
n+1 + o((x − x0)
n+1) ou O((x − x0)
n+2)
Preuve : Par soustraction et linéarité de la dérivation, tout revient à montrer que
f’ (x) = o((x − x0)n) ou O((x − x0)
n+1) implique f(x) − f(x0) = o((x − x0)
n+1) ou O((x − x0)
n+2).
Plaçons-nous dans la première hypothèse. ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α] | f’(x) | ≤ ε.| x − x0 |
n .
Soit x ∈ I ∩ [x0 − α, x0 + α]. En vertu du théorème des accroissements finis appliqué à f sur le
segment [x0, x] ou le segment [x, x0], il vient | f(x) − f(x0) | ≤ ε.| x − x0 |n+1
. cqfd. Idem pour le 2ème cas. Proposition 2 : Intégration des développements limités.
13
Soient I un intervalle de R, g une fonction réglée sur I, à valeurs réelles. Si g admet un DL(n) faible
ou fort en x0 ∈ I, la fonction f(x) = ∫x
xdttg
0
).( admet en ce point un DL(n+1) faible ou fort qui
s’obtient en intégrant terme à terme celui de g.
Si g(x) = a0 + a1.(x − x0) + … + an.(x − x0)n + o((x − x0)
n) ou O((x − x0)
n+1) au V(x0) , alors :
∫x
xdttg
0
).( = a0.(x − x0) + 21a
.(x − x0)2 + … +
11
++
nan .(x − x0)
n+1 + o((x − x0)
n+1) ou O((x − x0)
n+2)
Preuve : Par soustraction, tout revient à montrer que g(x) = o((x − x0)n) ou O((x − x0)
n+1) implique :
∫x
xdttg
0
).( = o((x − x0)n+1
) ou O((x − x0)n+2
). Il suffit de revenir à la définition et intégrer.
3.2. Théorème de Taylor-Young.
Rappelons qu’une fonction est n fois dérivable en x0 si sa dérivée (n-1)-ème est dérivable. Cela
signifie que le taux d’accroissement de la dérivée (n−1)-ème a une limite en x0 ; en d’autres termes, f
est (n−1) fois dérivable dans un voisinage de x0, autrement dit f, f’, f’’, …, f(n−1)
sont définies dans
un intervalle I contenant x0, et de plus f(n−1)
est dérivable en x0.
Théorème : Soit f une fonction n fois dérivable en x0. Alors f admet un DL(n) en x0 qui est donné par son polynôme de Taylor :
f(x) = f(x0) + !1
)'( 0xf.(x − x0) +
!2)''( 0xf
.(x − x0)2 + … +
!)( 0
)(
nxf n
.(x − x0)n + o((x − x0)
n)
f(x0 + h) = f(x0) + !1
)'( 0xf.h +
!2)''( 0xf
.h2 + … +
!)( 0
)(
nxf n
.hn + o(h
n)
Preuve : par récurrence sur n à partir de la prop. précédente.
Corollaire : Soit f une fonction indéfiniment dérivable en x0. Alors f admet un DL à tous ordres en
x0 qui taylorien.
Remarque 1 : La plupart des fonctions usuelles ont un développement limité à tous ordres en 0 parce qu’elles sont indéfiniment dérivables. Et elles sont indéfiniment dérivables parce qu’elle sont développables en série entière au V(0). Cependant, il faut insister sur le fait que ce sont seulement des implications, des conditions suffisantes.
La fonction de Cauchy f(x) = exp²1
x− a un DL(n) à tous ordres en 0, qui est f(x) = o(x
n). On montre à
l’aide du théorème de la limite de la dérivée qu’elle est C∞
sur R, toutes ses dérivées en 0 étant nulles, mais elle n’est pas développable en série entière au V(0).
Remarque 2 : Le fait d’être n fois dérivable en x0 n’est qu’une condition suffisante d’existence d’un DL(n) au voisinage de ce point. Plus précisément, c’est une cns si n = 1, mais seulement une cs pour n > 1, comme le montrent les exemples ci-dessous :
Exemple 1 : Considérons la fonction f(x) = x +2²x + x
3.sin
x1 pour x ≠ 0.
f(x) tend vers 0 en 0. Ainsi prolongée par continuité, elle est une fois dérivable en 0, avec f’(0) = 1, mais elle n’est pas deux fois dérivable en 0.
Exemple 2 : Considérons la fonction f(x) = a0 + a1.x + … + an.xn + x
n+1.1Q(x).
où 1Q(x) est la fonction indicatrice de Q. f a un DL(n) fort, donc faible en 0.
Si n ≥ 1, f est continue et dérivable en 0 : f(0) = a0 et f’(0) = a1. Mais f est discontinue en tout autre point de R, et a fortiori non dérivable.
14
f ne saurait être deux fois dérivable en 0 puisqu’on ne peut même pas former le taux d’accroissement de la dérivée première !
Exemple 3 : La fonction f(x) = exp²1
x− .1Q(x) a un DL(n) à tous ordres en 0, qui est g(x) = o(x
n).
Elle est continue et dérivable en 0 : f(0) = f’(0) = 0. Mais elle est discontinue en tout autre point, et a fortiori non dérivable. Comme ci-dessus, elle ne peut être deux fois dérivable en 0.
Exercice : Soit f : [−1, 1] → R paire, et telle que f(x) = 11
+pk si
11+k
< x ≤ k1 ( p ∈ N fixé ).
f est-elle dérivable en 0 ? f a-t-elle un DL(n) en 0 ?
Remarque 3 : Le théorème de Taylor-Young est un résultat de primitivation de développements limités, non de dérivation. Si f a un DL(n) en un point, rien ne dit que f’ a un DL(n−1) en ce point.
Cependant, si f est n fois dérivable en x0, f a un DL(n) en x0, et f’ est n−1 fois dérivable, donc elle a un DL(n−1) qui s’obtient par dérivation terme à terme du DL(n) de f, puisque le polynôme de Taylor de la dérivée est la dérivée du polynôme de Taylor. A quoi sert le théorème de Taylor-Young ? 1) Il fournit les développements limités usuels de toutes les fonctions classiques de l’analyse. On en
trouvera le tableau ci-dessous. Ces fonctions ont un DL à tous ordres car elles sont C∞
au voisinage de 0, et même développables en série entière au voisinage de 0.
2) Cela dit, si l’on a à calculer un développement limité usuel d’une fonction ne figurant pas dans cette liste, mais composée de telles fonctions (somme, produit, quotient, primitivation, etc.) on n’utilise jamais le théorème de Taylor Young : on compose les développements limités.
3) Le théorème de Taylor-Young permet d’étudier localement les fonctions, les arcs paramétrés au voisinage de leurs points critiques. Développements limités usuels en 0
exp x = ∑=
n
k
k
kx
0 ! + O(x
n+1) ch x = ∑
=
n
k
k
kx
0
2
)!2( + O(x
2n+2) sh x = ∑
=
+
+n
k
k
kx
0
12
)!12( + O(x
2n+3)
cos x = ∑=
−n
k
kk
kx
0
2
)!2(.)1( + O(x
2n+2) sin x = ∑
=
+
+−n
k
kk
kx
0
12
)!12(.)1( + O(x
2n+3)
x−11 = ∑
=
n
k
kx0
+ O(xn+1
) x+1
1 = ∑=
−n
k
kk x0
.)1( + O(xn+1
)
(1 + x)a = 1 + k
n
k
xk
kaaa.
!)1)...(1(
1∑
=
+−− + O(x
n+1)
ln(1 + x) = ∑=
−−n
k
kk
kx
1
1.)1( + O(xn+1
)
Arctan x = ∑=
+
+−n
k
kk
kx
0
12
12.)1( + O(x
2n+3)
Argth x = 21 .ln(
xx
−+
11 ) = ∑
=
+
+n
k
k
kx
0
12
12 + O(x
2n+3)
Arcsin x = x + 12
.)2...(6.4.2)12...(5.3.1 12
1 +− +
=∑ k
xk
k kn
k
+ O(x2n+3
)
15
Argsh x = ln(x + 1²+x ) = x + 12
.)2...(6.4.2)12...(5.3.1
.)1(12
1 +−−
+
=∑ k
xk
k kn
k
k + O(x2n+3
)
Application : Calculer par cinq méthodes le dl(7) en 0 de la tangente.
tan x = x + 3
3x +
15.2 5x
+ 315
.17 7x + O(x
9).
1ère méthode : tan x = xx
cossin .
Une division selon les puissances croissantes donne :
x − 6
3x +
120
5x −
5040
7x = (1 −
2
2x +
24
4x −
720
6x)(x +
3
3x +
15.2 5x
+ 315
.17 7x) + O(x9).
2ème méthode : tan est la fonction réciproque de l’arctangente.
y = Arctan x = x − 3
3x +
5
5x −
7
7x + O(x9). x = tan y = y + a.y
3 + b.y
5 + c.y
7 + O(y
9).
x = tan Arctan x = x − 3
3x +
5
5x −
7
7x + a.(x
3 − x
5 +
1514x
7) + b.(x
5 −
35 x
7) + c.x
7 + O(x9).
En identifiant, il vient : −31 + a = 0 ,
51 − a + b = 0 , −
71 +
1514a −
35b + c = 0 , etc.
3ème méthode : tan est solution de l’équation différentielle y’= 1 + y2.
Si tan x = x + a.x3 + b.x
5 + c.x
7 + O(x
9) , il vient :
1 + 3a.x2 + 5b.x
4 + 7c.x
6 + O(x
8) = 1 + x
2 + 2ax
4 + (a
2 + 2b).x
6 + O(x
8).
Il reste à identifier…
4ème méthode : tan’x = x²cos
1 = x²sin1
1− = 1 + sin
2x + sin
4x + sin
6x + O(x
8).
Ceci vaut 1 + x2 +
3.2 4x
+ 45.17 6x
+ O(x8). Il reste à primitiver…
5ème méthode : tan x = −dxd ln(cos x)
ln(cosx) = ln(1 − 2
2x +
24
4x −
720
6x + O(x8)) = … = −
2
2x −
12
4x −
45
6x + O(x8).
Il reste à dériver terme à terme (cf. remarque 3 ci-dessus)
Exercice : 1) Montrer qu’il existe des polynômes Ar et Br à coefficients dans N* tels que :
D2r
(tan x) = tan x.Ar(tan2
x) et D2r+1
(tan x) = Br(tan2
x) , deg Ar = r , deg Br = r + 1.
2) En déduire que tanx a un dl(2n+1) en 0 de la forme :
tan x = a0.x + a1.x3 + … + an.x
2n+1 + O(x
2n+3) , où tous les ak∈Q*+ .
Remarques : 1) Le développement du th se déduit de celui de la tangente.
th x = x − 3
3x +
15.2 5x
− 315
.17 7x + O(x
9)
2) En réalité, la tangente est développable en série entière en 0. 3) Son développement s’exprime à l’aide des nombres de Bernoulli. Développements limités à tous ordres et séries entières formelles.
Soient E l’espace vectoriel des (germes de) fonctions de variable réelle, définies au voisinage de 0,
à valeurs complexes, E∞
le sous-espace de E formé des (germes de) fonctions ayant un développe-ment limité à tous ordres en 0.
Si f ∈ E∞
, f(x) = a0 + a1x +... + anxn + o(x
n) au V(0), où a0 , a1 , ... , an sont parfaitement définis.
D’après la propriété de troncature des dl, le dln+1(0) de f s’obtient en remplaçant o(xn) par :
16
an+1.xn+1
+ o(xn+1
), de sorte qu’à f ∈ E∞
on peut associer la série formelle A = ∑+∞
=0
.n
nn Xa donnant les
coefficients an. On écrira f(x) ↔ ∑+∞
=0
.n
nn xa pour signifier que f(x) a un développement limité à tous
ordres en 0 obtenu en tronquant à volonté la série précédente. Attention ! cette série peut fort bien avoir un rayon de convergence nul, et même si elle a un rayon
> 0, rien ne permet d’affirmer que f(x) = ∑+∞
=0
.n
nn xa au voisinage de 0. On sait seulement que :
• Si f est dse au voisinage de 0, f(x) = ∑+∞
=0
.n
nn xa , f est C
∞ au V(0) et a un dl à tous ordres obtenu par
troncature : f(x) = a0 + a1.x + ... + an.xn + O(x
n+1).
• Si f est C∞
au voisinage de 0 , elle a un développement limité à tous ordres en 0 qui est taylorien
f(x) = a0 + a1.x + ... + an.xn + O(x
n+1) , où an =
!)0()(
nf n
, ce qu’on peut représenter par :
f(x) ↔ ∑+∞
=0
)(
.!
)0(
n
n
n
xn
f.
Cela dit, la théorie des dl dit que :
L’application DL(∞) : f → ∑+∞
=0
.n
nn xa de E
∞ dans C[[X]] est un morphisme d’algèbres,
Le DL(∞) d’un quotient g/f (où f(0) ≠ 0) est le quotient des séries associées, Le DL(∞) d’une fonction composée g o f (où f(0) = 0) s’obtient par composition des séries formelles associées. Le DL(∞) de la bijection réciproque de f (supposée continue strictement monotone au V(0)) s’obtient par réversion de la série DL(∞) .
Si f est C∞
au V(0), le DL(∞) de sa dérivée est la dérivée de son DL(∞), les DL(∞) de ses primitives sont les primitives de son DL(∞).
L’application DL(∞) est non injective (les fonctions e ²x− et 1Q(x).e ²x− ont le même dl nul au
V(0)), mais surjective, en vertu du :
Théorème de réalisation de Borel (1905) : Pour toute suite (an) de nombres complexes, il existe au
moins une fonction f ∈ CCCC∞
(R, C) telle que (∀n ∈ N) !
)0()(
nf n
= an .
Autrement dit, toute série formelle est la série de Taylor d’une fonction C∞
. Exercices Exercice : Trouver les limites quand x → 0 des fonctions suivantes :
xx
xx3)3tan(
sin−
− , 11
)sinsin(3 −+−
x
xx ,
)2sin()2(sin)2cos(.
xxshxxx
−−
, 216327
4
3
−+−+
xx ,
)cos1.(cos.sin
xxxxx
−− ,
x
x
x
x
)( ,
xxxx cba/1
3
++ ( a, b, c > 0 ) ,
41x
.lnshxx
xchx.sincos− ,
)cos
1.(
.0
²
chxx
x
thxdtex
t
−
−∫ −
, 55
43
sin²1.sin).cos1(2
xxxxxx
−−−−
.
Exercice : Trouver les limites quand x → +∞ des fonctions suivantes :
17
( ) x
xx /1ln ,
xx
xx
ln.
ln)1ln(
+,
x
x
x
x
)( , xx ln)1ln( −+ , n
naxaxax ))...()(( 21 +++ − x ,
x2
expx1 − 3 456 .4.3 xxx ++ ,
)2exp()1(
x
thxxth
+ ,
²
)tan()1tan(
x
xArcxArc
+,
xx
xxxxxx
xx
−−+
/1
)²ln]()1[( /1/1
,
xxxx +++ − x , ( ch 1+x − ch x )1/ x , x
2 ( 1 + x
x)1 − e.x
3 ln(1 +
x1 ) ,
x.( ln x )2 [ sin
xln1 − sin
)1ln(1+x
] .
Exercice : Trouver les limites quand n → +∞ , des suites suivantes :
n.sin(2π 1² ++nn ) , ( )nnn
nn
132cos
16sin −−+
ππ .
Exercice : Trouver les développements limités en 0 des fonctions suivants à l’ordre indiqué, après les avoir éventuellement prolongées par continuité :
tan x (5) , th x (5) , x
xsin
(4) , xcos
1 (4) , x
x²sin² (4) ,
xx
++
1)1ln(
(4) , ²1
sinx
xArc−
(5)
lnx
xsin (4) , lnx
shx (4) , lnx
xtan (4) , lnxcos
1 (8) , ln(1 − x + x2) (6) , exp(cos x) (6) ,
xsin1+ (4) , xx −++ 11 (5) , (sin x).ln(1 + x) (6) , (Arcsin x).ln(1 + x) (6) , (sin x).(exp x) (5)
1+++ xxx (3) , 3 sin xxArc − (5) , cos(ch x) (7) , ch(cos x) (7) , expx
x)1ln( + (3) ,
tan(ln(1 + Arcsin x)) (5) , Arcsin(ln(1 + tan x))) (5) , )2.(sin xshxxx −+ (11)
Arccos(ln(ch x)) (6) , xxxx
−−
tansin (2) , Arctan
xx
4122
+− (3) ,
Exercice : Trouver les développements limités des fcts suivantes aux points et aux ordres indiqués :
cos x (4π , 5) , sin x (
4π , 5) , tan x (
4π , 5) ,
1ln −−x
ex (e, 3) , xx
xxx
ln1 +−−
(1, 2) ,
Arctan x (a, 3) , Arcsin x (a, 3).
Exercice : On considère la fonction f(x) = cos x− si x ≤ 0 , f(x) = ch x si x ≥ 0. 1) Montrer que f a un développement limité en 0.
2) Peut-on en déduire que f est C∞
en 0 ?
3) Démontrer que f est C∞
sur R.
Exercice : Même question pour la fonction f(x) = x
xArgth si x > 0 , f(x) =
xxArc
−−tan si x < 0
Exercice : Trouver le dln+1(0) de ln(∑=
n
k
k
kx
0 !) , le dl2n+3(0) de tan(x −
3
3x+
5
5x+ … + (−1)
n.
12
12
++
nx n
) .
Exercice : Approximation de Padé de exp x.
1) On cherche une fraction rationnelle F(x) = )()(
xQxP
= ²..²..
210
210
xqxqqxpxpp
++++
, où q0 ≠ 0, telle qu’au
voisinage de 0 la fonction ex −
)()(
xQxP
soit un infiniment petit d’ordre le plus élevé possible.
a) Montrer que cela revient à chercher P et Q tels que ex.Q(x) − P(x) soit un infiniment petit
d’ordre le plus élevé possible.
18
b) En déduire le couple (P, Q) cherché (on pourra prendre q0 = 1). Quelle est la partie principale
de ex.Q(x) − P(x) ?
2) a) Montrer que ex =
)()(
xQxP
+ )(
1xQ ∑
+∞
=5
.k
kk xc , où ck =
!.12)4).(3(
kkk −−
.
b) Montrer que | x | ≤ 0,1 ⇒ | ex −
)()(
xQxP
| ≤ 1,6.10−8
.
___________ C. Développements asymptotiques. Nous nous proposons ici de généraliser la théorie des développements limités. Cette généralisation est nécessaire, car les fonctions ayant un développement limité sont celles qui sont comparables à des polynômes : ce n’est pas le cas des puissances non entières, des exponentielles ou des logarithmes, etc. En termes imagés, il « manque des barreaux » à l’échelle de comparaison ; nous nous proposons ici d’enrichir l’algèbre des développements limités, de l’inclure dans des algèbres plus vastes, non archimédiennes, de façon à pouvoir étudier des classes plus vastes de fonctions ou de suites. Cependant, qu’on ne s’attende pas ici à trouver une Théorie du Grand Tout. Il y a des fonctions, et des suites, qui défient toute comparaison. La plus simple d’entre elles est sans doute la suite d’entiers définie par :
a0 = 0 , an+1 = na2 .
Elle donne les cardinaux respectifs de :
∅ , PPPP(∅) , P P P P(PPPP(∅)) , PPPP(PPPP(PPPP(∅))) , etc
Anodinement répertoriée sous le numéro A014221 dans l’Encyclopédie en ligne des suites d’entiers (OEIS) de Neil Sloane, elle a pour premiers termes : 0 , 1 , 2 , 4 , 16 , 65536 , … et ensuite, ensuite, eh bien, ensuite, … disons qu’on ne voit pas bien ce qu’elle peut faire dans un chapitre intitulé « calcul ».
1. Echelles de comparaison. Définition : Soit (E, FFFF) un ensemble filtré. Une partie EEEE de HHHH(FFFF, R) est appelée une échelle de com-paraison si elle vérifie les axiomes : (E I) Aucune fonction de EEEE n’est équivalente à 0 (c’est-à-dire que, dans tout ensemble de FFFF, il existe un point au moins où la fonction ne s’annule pas) ; (E II) La fonction constante égale à 1 appartient à EEEE ; (E III) EEEE est totalement ordonné pour la relation ϕ = o(ψ) ou ϕ = ψ, autrement dit, pour tout couple
(ϕ, ψ) ∈ EEEE2 on a, soit ϕ = o(ψ), soit ϕ = ψ, soit ψ = o(ϕ).
Remarque : Des définitions plus restrictives requièrent que ϕ ∈ EEEE ne s’annule nulle part dans un ensemble de F, et que EEEE soit stable pour la multiplication : ∀(ϕ, ψ) ∈ EEEE ϕ.ψ ∈ EEEE .
Voici une liste d’échelles de comparaison classiques, appelées dans la suite « échelles standard ».
Exemples :
1) Echelles de comparaison au voisinage de +∞.
i) L’échelle des monômes : ϕn(x) = xn (n ∈ N). On a aussitôt : ϕm = o(ϕn) ⇔ m < n.
Outre la fonction 1, cette échelle ne contient que des infiniment grands.
19
ii) L’échelle des puissances entières : ϕn(x) = xn (n ∈ Z). On a : ϕm = o(ϕn) ⇔ m < n.
Cette échelle contient la précédente, et lui adjoint des infiniment petits.
iii) L’échelle des puissances réelles : ϕα(x) = xα (α ∈ R). On a : ϕα = o(ϕβ) ⇔ α < β.
iv) L’échelle des puissances-logarithmes : ϕα,β(x) = xα.( ln x )
β , où (α, β) ∈ R
2.
On a ϕα,β = o(ϕα’,β’) ⇔ α < α’ ou ( α = α’ et β < β’ ).
Cet ordre est bien total puisque l’on reconnaît l’ordre lexicographique sur R2.
v) L’échelle des exponentielles-puissances-logarithmes ϕγ,α,β(x) = eγx
.xα.(ln x)
β, (γ, α, β) ∈ R
3
On a ϕγ,α,β = o(ϕγ’,α’,β’) ⇔ ( γ < γ’ ) ou ( γ = γ’ et α < α’ ) ou ( γ < γ’ et α = α’ et β < β’ ).
On reconnaît ici l’ordre lexicographique sur R3.
Chacune de ces échelles contient la précédente. Mais on peut aussi en imaginer d’autres :
vi) L’échelle des puissances-logarithmes itérés ϕα,β,γ(x) = xα.(ln x)
β.(ln ln x)
γ , (γ, α, β) ∈ R
3.
On a : ϕα,β,γ = o(ϕα’,β’,γ’) ⇔ ( α < α’ ) ou ( α = α’ et β < β’ ) ou ( α = α’ et β = β’ et γ < γ’ ). On peut lui adjoindre les log itérés trois fois, etc.,
vii) L’échelle des exponentielles itérées ϕα,β,γ(x) = exp(α.ex).exp(βx).x
γ , (γ, α, β) ∈ R
3.
Ici encore : ϕα,β,γ = o(ϕα’,β’,γ’) ⇔ (α < α’) ou (α = α’ et β < β’) ou (α = α’ et β = β’ et γ < γ’). On laisse au lecteur le soin de concevoir des échelles contenant toutes les précédentes.
2) Echelles de comparaison au voisinage de 0 ou 0+.
i) L’échelle des monômes : ϕn(x) = xn (n ∈ N). On a aussitôt : ϕm = o(ϕn) ⇔ n < m.
Outre la fonction 1, cette échelle ne contient que des infiniment petits.
ii) L’échelle des puissances entières : ϕn(x) = xn (n ∈ Z). On a : ϕm = o(ϕn) ⇔ n < m.
Ici, on se place sur R*. Cette échelle contient la précédente, et lui adjoint des infiniment grands.
iii) L’échelle des puissances réelles : ϕα(x) = |x|α (α ∈ R).
Ici, on se place sur R*. On a : ϕα = o(ϕβ) ⇔ α > β.
iv) L’échelle des puissances-logarithmes : ϕα,β(x) = |x|α.| ln x |
β , où (α, β) ∈ R
2.
On a ϕα,β = o(ϕα’,β’) ⇔ α > α’ ou (α = α’ et β < β’).
Cet ordre est bien total puisque l’on reconnaît l’ordre lexicographique sur R2.
On peut fabriquer bien d’autres échelles de comparaison au voisinage de 0+ : il suffit de transformer les échelles du 1) par le changement de variable x → 1/x.
3) Echelles de comparaison au voisinage de x0 : remplacer x par x − x0 dans les exemples du 2). Propriétés des échelles de comparaison.
1) Dans E , on a ϕ = O(ψ) ⇔ [ ϕ = ψ ou ϕ = o(ψ) ]. Autrement dit l’ordre total est déjà induit par la relation de domination.
2) Une échelle de comparaison est une famille libre.
Exemple : les fonctions x, x , 1, ln x, ln ln x sont libres dans FFFF(]1, +∞[, R).
3) « Aucune échelle ne monte jusqu’au ciel ». Cela signifie qu’aucune échelle de comparaison ne contient toutes les autres. En particulier, si EEEE est une échelle de comparaison, il existe une fonction ψ telle que, pour toute ϕ ∈ EEEE, on ait ϕ = o(ψ). L’exercice que voici illustre bien cette idée :
20
Problème : Fonctions de Du Bois Reymond 5.
On définit la suite des exponentielles itérées par
e0(x) = x , en+1(x) = exp(en(x)).
On se propose de construire diverses fonctions f(x) telles que
(∀n) en(x) = o( f(x) ) au V(+∞) (*).
1) Soit f : R+ → R définie par f(x) = en(x) si n ≤ x < n+1. Montrer que f vérifie (*).
2) a) Montrer que la série ∑+∞
=1 )()(
n n
n
nexe
converge simplement sur R et uniformément sur tout segment.
b) Montrer que la somme g(x) de cette série est continue et que (∀n) en(x) = o(g(x)) au V(+∞).
3) Construire une fonction h : [1, +∞[ → R, continue et croissante, telle que :
∀x ≥ 1 h(e.x) = exp(h(x)).
Montrer que (∀n) en(x) = o(h(x)) au V(+∞).
4) On définit la suite des logarithmes itérés par L0(x) = x , Ln+1(x) = ln(Ln(x)).
Montrer qu’existe une fonction f(x) tendant vers +∞ en +∞, et telle que (∀n) f(x) = o(Ln) au V(+∞).
2. Parties principales, développements asymptotiques.
2.1. Parties principales et équivalents.
Définition : Soient EEEE une échelle de comparaison, f une fonction de HHHH(FFFF, R). S’il existe un couple
(a, ϕ) ∈ R*×EEEE tel que f ∼ a.ϕ, ce couple est appelé partie principale de f relative à l’échelle EEEE.
Propriétés des parties principales :
1) Unicité de la partie principale.
2) Si f admet une partie principale relative à EEEE, elle admet la même partie principale relative à toute
échelle E’E’E’E’ ⊃ EEEE.
Exercice : Trouver des parties principales des fonctions suivantes au V(+∞). f(x) = ln ln (x + 1) – ln ln x f(x) = Arctan(x + 1) − Arctan x
5 Paul DU BOIS-REYMOND (Berlin 1831 - Fribourg en Brisgau 1889) faisait partie d’une grande famille, riche et reçue chez le Kaiser. Son frère aîné Emil créa la physiologie expérimentale, puis se tourna vers la philosophie de la nature ; sa formule désabusée "Ignoramus et ignorabimus" (Nous ignorons et nous resterons ignorants) suscita des controverses chez les étudiants, et fut vivement contestée par Hilbert, qui déclara "Wir müssen wissen. Wir werden wissen." (Nous devons savoir. Nous saurons). Paul fit des études de médecine à l’université de Zürich, puis de physique mathématique à l’université de Königsberg, sous Franz Neumann. Il soutint une thèse en 1859, enseigna dans une école secondaire à Berlin, aux universités de Berlin, Heidelberg, Fribourg, Tübingen, et finalement dans un collège technique de Berlin. Ses premiers travaux en physique mathématique (équilibre des fluides) l’amènent à s’intéresser aux séries de Fourier, aux équations différentielles et aux dérivées partielles. Depuis Dirichlet on pensait que la série de Fourier d’une fonction continue convergeait vers cette fonction ; Du Bois-Reymond est le premier à donner en 1873 un exemple de fonction continue dont la série de Fourier ne converge pas en un point. Plus tard il construit un exemple où la divergence a lieu sur un ensemble dense. Il prouve en 1875 que si une série trigonométrique converge vers une fonction continue f et si f est intégrable, alors cette série est la série de Fourier de sa somme. Il montre en 1883 que la série de Fourier d’une fonction intégrable au sens de Riemann peut être intégrée terme à terme. En 1889 il classifie et étudie les équations aux dérivées partielles du second ordre, et reformule le théorème de Green. Il est, avant Hardy, l’un des initiateurs de la théorie des développe-ments asymptotiques, et donne des exemples de fonctions tendant vers l’infini plus vite que l’exponentielle et toutes ses itérées (mémoires de 1871 et 1875). Il se montre très hostile aux développements nouveaux de l’analyse : théorie des ensembles, axiomatique et construction des nombres réels.
21
f(x) = th(x + 1) − th x f(x) = chxln − shxln .
De la conjecture de Gauss à celle de Riemann.
La répartition chaotique des nombres premiers fascine les mathématiciens depuis des siècles. Si l’on note π(x) le nombre des nombres premiers ≤ x, Gauss a conjecturé en 1792, à l’âge de quinze
ans, que π(x) ∼ ∫x
tdt
2 ln ∼
xx
ln. C’est le fameux « théorème des nombres premiers ».
Tchebychev a démontré en 1852 que π(x) et x
xln
sont semblables. Hadamard et La Vallée Poussin
ont démontré en 1896 qu’elles sont équivalentes. En 1949, Selberg et Erdös ont donné une preuve « élémentaire » de ce résultat.
Les tables montrent que l’approximation π(x) ∼ Li(x) est bien meilleure que π(x) ∼ x
xln
.
Littlewood a montré que π(x) − Li(x) change une infinité de fois de signe, mais ces changements de signe ont lieu pour de très grandes valeurs de x. En 1901, Von Koch a démontré que l’hypothèse de Riemann (selon laquelle les zéros non triviaux de la fonction ζ sont tous situés sur la demi-droite Re s = ½) est équivalente à l’estimation :
π(x) = Li(x) + O( x1/2
.ln x ) .
L’hypothèse de Riemann est donc liée à la raréfaction des nombres premiers. Elle est indémontrée à ce jour, et constitue l’un des grands défis de la recherche mathématique. 2.2. Développements asymptotiques.
Définition : Soient EEEE une échelle de comparaison, f une fonction de HHHH(FFFF, R), ψ un élément de EEEE. On dit que f admet un développement asymptotique (ou développement limité généralisé) à la
précision ψ relative à l’échelle EEEE s’il existe n fonctions ϕ1, ϕ2, …, ϕn = ψ de EEEE et n constantes a1,
a2 ,…, an telles que :
f = a1.ϕ 1 + a2.ϕ 2 + … + an.ϕn + o(ψ) , où ϕ2 = o(ϕ1) , ϕ3 = o(ϕ2), … , ϕn = o(ϕn−1).
Propriétés des développements asymptotiques :
1) Si f admet un da à la précision ψ, il est unique.
2) Si f et g admettent un da à la précision ψ, il en est de même de λf + µg.
3) Si f et g admettent un da dans l’échelle EEEE, il en est de même de leur produit f.g à une précision bien déterminée par le calcul.
4) Composition des da : si la fonction f a un da à la précision ψ relativement à l’échelle EEEE, et si elle a pour limite 0 suivant le filtre FFFF, et si h est n fois dérivable en 0, h a un dl(n) en 0 taylorien :
h(y) = a0 + a1 y + ... + an
yn + o(y
n)
Alors h o f = a0 + a1f + ... + an f n + o(f
n) et d’après 3), h o f aura un da à une précision bien déter-
minée par le calcul.
Des exemples de calculs valent mieux que de longs discours :
Exemple 1 : développement asymptotique de f(x) = xsinx
au V(0+).
f(x) = xsinx
= exp( lnx.sinx ) = exp( x.lnx − xx
ln.6
3
+ xx
ln.120
5
+ O( x7.lnx ) )
= exp u = 1 + u + 2²u +
6
3u +
24
4u + O(u
5)
= 1 + ( x nx − xx
ln.6
3
+ xx
ln.120
5
) + 21 ( x2
ln2x − x
x²ln.
3
4
)
22
+ 61 ( x3
ln3x − x
x3
5
ln.2
) + 241 ( x4
.ln4x − x
x4
5
ln.3
2) +
120
5x.ln
5x + O(x
6.ln
4x)
= 1 + x.lnx + 2
2x ln
2x +
61 ( ln3
x − ln x ).x3 + O( x
4.ln
4x )
Avec Maple : > f:=x->x^(sin(x));
:= f → x x( )sin x
> series(f(x),x);
1 ( )ln x x12
( )ln x 2 x2
− +
16
( )ln x16
( )ln x 3 x3
− +
16
( )ln x 2 124
( )ln x 4 x4 + + + + +
− +
1120
( )ln x112
( )ln x 3 1120
( )ln x 5 x5 ( )O x6 +
Les termes du développement ne sont pas rangés dans le bon ordre. De plus, le O(x6) n’est pas un
O(x6), mais un O(x
6.ln
4x), comme on le montrerait en augmentant la précision du calcul.
Exemple 2 : développement asymptotique de f(x) = xx
x/1
à la précision O(4
10lnx
x) en +∞.
f(x) = exp(lnx.expxxln ) = exp [ lnx.(1 +
xxln +
²2²lnxx + 3
3
6ln
xx
+ 4
4
24ln
xx
+ O( 5
5lnx
x))].
= x.exp [xx²ln +
²2ln3
xx
+ 3
4
6ln
xx
+ 4
5
24ln
xx
+ O( 5
6lnx
x)]
= x.exp u = x.[1 + u + 2²u +
6
3u +
24
4u + O(u
5)]
= x.{ 1+ xx²ln +
²2ln3
xx
+ 3
4
6ln
xx
+ 4
5
24ln
xx
+ 21 [
²ln4
xx
+ 3
5lnx
x +
4
6
12ln7
xx
]
+ 61 [ 3
6lnx
x +
4
7
2ln.3x
x] +
241
4
8lnx
x + O( 5
10lnx
x)} .
= x.{ 1 + xx²ln +
²2ln4
xx
+²2
ln3
xx
+ 3
6
6ln
xx
+ 3
5
2ln
xx
+ 3
4
6ln
xx
+ 4
8
24ln
xx
+4
7
4ln
xx
+4
6
24ln7
xx
+4
5
24ln
xx
+ O( 5
10lnx
x)}
= x + ln2x +
xx
2ln4
+x
x
2
ln 3
+ 2
6
6ln
xx
+2
5
2ln
xx
+2
4
6ln
xx
+ 3
8
24ln
xx
+ 3
7
4ln
xx
+ 3
6
24ln7
xx
+ 3
5
24ln
xx
+ O(4
10lnx
x)
C’est un développement asymptotique dans l’échelle des puissances-log, que l’on peut poursuivre à tous ordres. Il est de la forme :
f(x) = x + ln2x +
xxP
!.2)(ln1 +
22
!.3)(ln
xxP
+ 33
!.4)(ln
xxP
+ etc.
où les Pk sont des polynômes en log x.
Avec Maple : > asympt(f(x),x,6);
23
x ( )ln x 2 +
12
( )ln x 3 12
( )ln x 4
x
+ + 12
( )ln x 5 16
( )ln x 6 16
( )ln x 4
x2 + + +
+ + + 14
( )ln x 7 124
( )ln x 5 124
( )ln x 8 724
( )ln x 6
x3 +
+ + + + 112
( )ln x 9 524
( )ln x 8 18
( )ln x 7 1120
( )ln x 6 1120
( )ln x 10
x4 +
+ O( 51x
) . Maple note ce reste O(51x
) : c’est en réalité un O( 5
ln
x
xm
).
Remarque érudite : On trouve dans Comtet (Analyse combinatoire, t. 2, p. 40) la fonction génératrice
double : exp(u.(et – 1)) = 1 + ∑
+∞
=1 !n
n
nt∑
=
n
k
kuknS1
).,( , où les S(n, k) sont les nombres de Stirling de
seconde espèce. Du coup, formellement :
f(x) = x.exp( lnx.(expxxln – 1) ) = x.{ 1 + ∑
+∞
=1 !.ln
nn
n
xnx∑
=
n
k
k xknS1
ln).,( } .
Exercice : Soit f(x) = xsin
1 − x1 .
1) Montrer que f est prolongeable par continuité en 0. Montrer que f a un DL(5) en 0.
2) Montrer que f est de classe C1 sur ]−π, π[, et deux fois dérivable en 0.
3) ¶ Montrer que f est de classe C∞
sur ]−π, π[.
Exercice : Soit f(x) = cotan x − x1 . Mêmes questions.
Applications : 1) Trouver un da de tan x au V(2π ).
2) Trouver une cns pour que g(x) = ∑=
p
kk kxana
1
)(cot. soit o(1), o(x²) au V(0).
Exercice : Soit f(x) = Arctan x. DL en 0 à tout ordre. DL en x0 à l’ordre 3. DA en +∞ à tout ordre.
Exercice : Soit f(x) = Arcsin x. DL en 0 à tout ordre. DL en x0 à l’ordre 3. DA en 1.
Exercice : Soit f(x) = th x. DL en 0 à l’ordre 3. DL en x0 à l’ordre 3. DA en +∞.
Exercice : Parties principales au V(0+) des fonctions suivantes : f(x) = xx xx )(sin− , g(x) = xx xx )(sinsin − , h(x) = xx xx sin)(sin− .
Exercice : Développement asymptotique à trois termes de la suite un = n.( n n − 1 ).
Exercice : Limite et équivalent en +∞ de f(x) = (ch x)shx
− (sh x)chx
.
Exercice : Développements asymptotiques de :
( ) xxx
/11²++ et ( ) xx
xx
/1
²111 ++ en +∞ à la précision 3
1x
.
Exercice : Développement asymptotique à tous ordres au V(+∞) de f(x) = )ln(shx .
Qu’a-t-il de particulier ? Equivalent en +∞ de f(x) = )ln(chx − )ln(shx .
24
Exercice : Equivalent, développement asymptotique à trois termes au V(+∞) de :
f(x) = ln ln ln(x + 1) − ln ln ln x.
Exercice : Branches infinies des courbes suivantes, et position par rapport aux asymptotes :
y = ( x − 1 ). 65² +− xx , y = x.11
+−
xx , y = x
2.Arctan
11+x
y = 21²
−+
xx .Arctan x , y = (exp
11+x
). )2)(1( −+ xx , y = ( x − 1 ).exp23²
1+− xx
.
Exercice : Trouver des constantes a, b et c telles que f(x) = x.e1/x
− 3 3 ² cbxaxx +++
soit un infiniment petit d’ordre le plus élevé possible au V(+∞). Equivalent de f(x) ?
3. Premiers exemples. Problème
1) Dans cette question, on se propose d’étudier la suite Sn = ∑=
n
k
k0
! .
a) Au moyen d’encadrements simples, montrer que Sn ∼ n! quand n → +∞.
b) En déduire que, pour tout q , Sn = n! + (n−1) ! + … + (n−q) ! + o((n−q)!) quand n → +∞.
c) En déduire que, pour tout q, (Sn) a un d. a. de la forme :
Sn = n!.[1 + na1 +
²2
na
na + o( qn
1 )] .
d) En écrivant que Sn = n! + Sn−1 , montrer que les coefficients (aq) satisfont à la relation de
récurrence : a1 = 1 , aq+1 = ∑=
−−
q
kk
kq aC
1
11. .
2) Dans cette question, on considère la suite récurrente u0 = 1 , un+1 = 1 + 1+n
un .
Montrer successivement que (un) est bornée, convergente, et admet un développement asympto-tique à tous ordres dans l’échelle des puissances.
3) Quel lien y-a-t-il entre les suites (un) et (Sn) ?
4) Montrer que ∑+∞
=−−
1
)11(n
nn
u = ∑+∞
=1 !.1
k kk = ∫
−1
0.
1dx
xex
.
5) Soit Sn le groupe des permutations de l’ensemble {1, 2, …, n}. Une permutation est appelée cycle si elle admet une seule orbite de longueur k ≥ 2.
On note cn le nombre total de cycles de Sn, et knd le nombre de cycles de longueur k , 2 ≤ k ≤ n.
a) Montrer que, pour 2 ≤ k ≤ n, knd = (k − 1)!. k
nC = )!(
!.1kn
nk − .
b) Montrer que les knd obéissent aux relations triangulaires :
knd = (k − 1). 1
1−−
knd + k
nd 1− pour 3 ≤ k ≤ n−1 , 2nd = 2
)1( −nn , n
nd = (n − 1)!
c) Montrer que c2 = 1 et, pour n ≥ 3, cn = cn−1 + (n − 1)!.∑−
=
2
0 !1
n
p p .
d) En déduire l’équivalent : !n
cn ∼ ne .
25
e) Quel est le rayon de convergence de la série entière ∑+∞
=2
.!n
nn xnc ? On note f(x) sa somme.
Montrer que ∀x ∈ ]−1, +1[ f(x) = ( − ln(1−x) − x ).exp(x).
f) Montrer que cn = e.Sn−1 + O(n) quand n → +∞.
En déduire un développement asymptotique à tous ordres de la suite (cn).
Exercice : inverses des binomiaux.
Soit Sn =∑=
n
kknC0
1 . Au moyen d’encadrements de plus en plus fins, montrer que (Sn) est bornée, puis
convergente ; limite, développement asymptotique ?
Exercice : Limite, équivalent, développement asymptotique de la suite un = sin(n!.e.π).
Exercice : Soit Sn = ∑=
−−n
k
k
kn
1
1 ].[)1( . Trouver un équivalent de (Sn). [Oral X, ENS]
Exercice : Soit (un) une suite définie par u1 ∈ R et ∀n ≥ 1 un+1 = n
un)exp(−.
Limite, équivalent, développement asymptotique à trois termes de cette suite.
Natures des séries ∑ nu et ∑ − nn u.)1( ?
Exercice : On considère la suite un = 1...1 ++−+ nn (n radicaux superposés).
1) Trouver une relation de récurrence liant un et un−1 pour n ≥ 2. Limite et monotonie de (un) ?
2) Montrer ∃ a, b > 0 ∀n a n ≤ un ≤ b n .
3) Montrer que un ∼ n ; déterminer limn→+∞ un − n = a0 .
4) Mq (un) a un développement asymptotique de la forme un = n + a0 +n
a1 + o( )1n
; trouver a1.
5) Montrer plus généralement que (un) a un d.a. un = n + a0 + n
a1 + … + 2/kk
na
+ o( 2/1kn
) à
tous ordres, et indiquer une méthode permettant de le calculer (raisonner par récurrence sur k).
4. Bijections réciproques.
Soit y = f(x) une bijection continue « usuelle ». Lorsque x tend vers x0 dans R , y tend vers y0, et l’on peut obtenir en général un développement asymptotique de y. La bijection réciproque x = g(y) est très souvent implicite, en ce sens que x ne se calcule pas comme fonction élémentaire de y. On
peut néanmoins obtenir un développement asymptotique de cette bijection quand y tend vers y0. La méthode consiste à obtenir d’abord une évaluation très grossière de l’ordre de grandeur de x en fonction de y, puis à porter ce résultat dans y = f(x) pour en déduire une seconde évaluation plus préciser, puis à porter ce second résultat dans y = f(x) pour en déduire une troisième évaluation plus précise, et ainsi de suite. Les calculs sont explicites en x, et l’on revient à y en fin d’évaluation. On obtient ainsi le développement de x = g(y) par « approximations successives ». Il existe, certes, des théorèmes généraux (on en trouvera un en fin de §), mais mieux vaut se livrer dans un premier temps à des calculs pratiques. Exercice 1 : Développements asymptotiques à trois termes des bijections réciproques des fonctions : f(x) = x − x
2/3 au V(+∞) et au V(0) f(x) = x
3/2 + x
5/2 au V(+∞) et au V(0+)
f(x) = x + x5 au V(+∞) et au V(0) f(x) = x − x
3/2 au V(+∞) et au V(0+)
26
f(x) = x2/3
+ x3/2
au V(+∞) et au V(0+).
Exercice 2 : Développements asymptotiques à 4 termes des bijections réciproques de :
f(x) = x − ln x au V(+∞) et au V(0+) f(x) = x1 + ln x au V(+∞) et au V(0+).
f(x) = x1 + ln ln x au V(+∞) et au V(1+).
Exercice 3 : Donner des développements asymptotiques des diverses « branches » y(x) de fonctions
définies par l’équation x.[ y(x) ]5 = y(x) + 1 = 0 au voisinage de x = 0, de x = +∞ et de x = −∞.
Exercice 4 : Soit P un polynôme unitaire de degré p : P(x) = xp + a1.x
p−1 + … + ap.
1) Montrer que, pour n entier assez grand, l’équation P(x) = n a une unique racine xn > 0.
2) Equivalent, développement asymptotique à trois termes de la suite (xn).
Exercice 5 : 1) Montrer que, pour n ≥ 2, l’équation xn = x + 1 a une unique racine xn dans ]0, +∞ [.
2) Montrer que (xn) tend vers une limite a à déterminer.
3) Montrer que (xn) a un développement asymptotique à tous ordres ; donner les 3 premiers termes.
Exercice 6 : Soit P ∈ R[X] tel que P(1) > 1. On pose Pn(X) = Xn − P(X).
1) Montrer que, pour n suffisamment grand, Pn possède une seule racine xn dans ]1, +∞ [.
2) Montrer que (xn) tend vers une limite a à déterminer.
3) Donner un développement asymptotique à deux termes de (xn).
Exercice 7 : Montrer que pour tout entier n l’équation x5 + n.x − 1 = 0 a une unique solution un.
Développement asymptotique à 3 termes de la suite (un).
Exercice 8 : Montrer que pour tout entier n ≥ 3, l’équation ex = x
n a deux solutions > 0.
Développement asymptotique à 3 termes de la plus petite solution, de la plus grande solution.
Exercice 9 : Soit a > 0. Montrer que pour tout entier n ≥ 1, l’équation xn = a.(1 − x) a une unique
solution un ∈ ]0, 1[. Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 3 termes.
Exercice 10 : Soit Pn(x) = xn − n x + 1.
1) Montrer l’existence d’une plus grande racine réelle un. Développement à 3 termes de la suite (un).
2) Montrer pour n ≥ 3, l’existence d’une unique racine vn ∈ ]0, 1[. Limite, équivalent, dévelop-
pement à 2 termes de vn.
Exercice 11 : Soit Pn(x) = xn + x
n−1 + … + x − 1 (n ≥ 2). Montrer qu’existe une unique racine > 0,
un. Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes de cette suite.
Exercice 12 : On considère la suite (fn) de fonctions définies par fn(x) = x − n.ln( 1 + 1+n
x ).
1) Montrer qu’il existe un unique réel un non nul tel que fn(un) = 0.
2) En considérant fn(−2)/n, montrer que un ∈ [−2, −1].
3) Montrer que la suite (un) converge.
4) Développement asymptotique de la suite (un) ?
Exercice 13 : Soit (Pn) la suite de polynômes réels définie par :
P0(x) = 1 et Pn(x) = 1 + x + x2 + … + x
2n−1 + x
2n ( n ≥ 1 ).
1) Quelles sont les racines réelles de Pn ?
27
2) Etudier les variations de Pn, ainsi que les positions mutuelles de f(x) = x−1
1 , Pn(x) et Pn+1(x)
pour x < 1. Préciser les valeurs de Pn(1), Pn(−1), P’n(1), P’n(−1). Représentations sur un même graphique, f étant tracée en pointillé.
3) Quel est l’ensemble E des réels x pour lesquels la suite (Pn(x)) est convergente ? Domaines de E sur lesquels la convergence est uniforme ? 4) Pour tout n ≥ 0, soit bn = infR Pn(x). Montrer que bn > 0 et (∀n > 0) ∃!an ∈ R bn = P(an).
On posera a0 = 0.
5) a) Montrer que la suite (an) ainsi définie a une limite α que l’on déterminera.
b) Equivalent simple de an − α quand n → +∞. Développement asymptotique ?
c) La suite (an) est-elle monotone ?
d) Résoudre pour la suite (bn) des questions analogues à a, b) et c).
Exercice 14 : Soit Pn(x) = x2n+1
− xn+1
− 1. Montrer l’existence d’une unique racine un. Convergence
et limite de la suite (un). Etudier les suites (nnu ) et (n.(un − 1)) ; d. a. à 2 termes de (un).
Exercice 15 : Soit Pn(x) = xn + x − 1. Montrer que Pn a une unique racine un ≥ 0. Limite de la suite
(un). Développement asymptotique à 3 termes.
Exercice 16 : Nombres de Pisot. Montrer que pour n ≥ 2, Pn(x) = xn+2
− xn+1
− xn + 1 a une unique
racine un > 1. Convergence, limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes.
Exercice 17 : Montrer que pour n ≥ 2, l’équation Pn(x) = xn − x − n a une unique racine un > 0.
Convergence et limite de la suite (un). Développement asymptotique à 2 termes.
Exercice 18 : On considère l’équation tan x = x.
1) Montrer qu’elle a une unique racine xn dans chaque intervalle ]nπ − 2π , nπ +
2π [ , n ∈ Z.
2) Etablir que xn = nπ + 2π − εn , où εn → 0 quand n → +∞. Equivalent de (εn) ?
3) a) Montrer que xn est caractérisé par f(xn) = nπ , où f(x) = x − Arctan x. b) Etudier les variations de f. On note g la bijection réciproque : y = f(x) ⇔ x = y + Arctan g(y).
c) On introduit la suite de fonctions g0(y) = y , gk+1(y) = y + Arctan gk(y).
Montrer que gk(y) − g(y) = O( ky21 ) au voisinage de +∞, par récurrence sur k.
d) En déduire que g a un d. a. à tous ordres au V(+∞). Indiquer une méthode pour l’obtenir. Conclusion pour la suite (xn) ?
4) Etudier les variations de la fonction x
xsin . Graphe.
Exercice 19 : On considère l’équation tan x = th x.
1) Montrer qu’elle a une unique racine xn dans chaque intervalle ] nπ − 2π , nπ +
2π [ , n ∈ Z.
2) Etablir que xn = nπ + 4π − εn , où εn → 0 quand n → +∞.
3) Equivalent de (εn), développement asymptotique de (xn) ?
Exercice 20 : 1) Montrer que l’équation sin x = x1 a une unique racine xn dans chaque intervalle
]n.π−2π , n.π+
2π [ , n ∈ Z.
2) Etablir que xn = nπ + εn , où εn → 0 quand n → +∞.
28
3) Equivalent de (εn), développement asymptotique à trois termes de (xn) ?
Exercice 21 : Mêmes questions pour les solutions de l’équation sin x = xln
1 .
Exercice 22 : Etudier les solutions de l’équation cos x.ch x = 1. Développement asymptotique de la suite des solutions. 6
Exercice 23 : Equation de Kepler.
Soit a un réel fixé. Montrer que pour tout 0 < y < 1, l’équation x = a + y.sin x a une unique solution x = g(y). Limite de x quand y → 0 ? Trouver le développement asymptotique à trois termes de x en fonction de y, et vérifier qu’il s’écrit :
x = a + !1y
.sin a + !2²y
.(sin2
a)’ + !3
3y.(sin
3 a)’’ + O(y
4).
NB : La formule générale, que l’on devine, fut trouvée par Laplace et généralisée par Lagrange.
Exercice 24 : 1) Soit α un réel > 0. Montrer que l’équation :
Φn(x) ≡ x1 +
11−x
+ 2
1−x
+ … + nx−
1 = α possède une racine unique xn ∈ ] n, +∞ [.
2) Montrer que xn ∼ )exp(1 α−−
n [ Ind. : pour 0 < λ < 1, on pourra chercher limn→+∞ Φn( λn ). ]
3) Montrer que xn = )exp(1 α−−
n + ))exp(1(2
)exp(1α
α−−
−++ o(1).
Compléments : fonction W de Lambert, développement asymptotique de bijections réciproques.
5. Sommation et intégration des relations de comparaison. Le théorème suivant permet d’obtenir des équivalents et développements asymptotiques de restes de séries convergentes, et de sommes partielles de séries divergentes, dont le terme général est positif (ou se compare à celui de séries à termes positifs). Il est utile dans l’étude des suites, car une suite tendant vers 0 est la suite des restes d’une série convergente, et une suite tendant en croissant vers l’infini est la suite des sommes partielles d’une série divergente.
Il existe d’autres méthodes générales pour obtenir des équivalents de restes de séries convergentes, et de sommes partielles de séries divergentes : les encadrements, notamment intégraux. En pratique, on combinera ces deux méthodes.
Théorème de sommation de relations de comparaison.
Soit ∑+∞
=0n
nv une série à termes positifs, ∑+∞
=0n
nu une série à éléments dans un Banach.
(I) Supposons que ∑+∞
=0n
nv converge :
i) Si un = O(vn) , alors ∑+∞
=0n
nu converge , et ∑+∞
+= 1nkku = O( ∑
+∞
+= 1nkkv ) ;
ii) Si un = o(vn) , alors ∑+∞
=0n
nu converge , et ∑+∞
+= 1nkku = o( ∑
+∞
+= 1nkkv ) ;
iii) Si un ∼ cvn (c≠ 0) , alors ∑+∞
=0n
nu converge, et ∑+∞
+= 1nkku ∼ c ∑
+∞
+= 1nkkv .
6 Cette suite a été rencontrée par Sandra Tardy dans son TIPE sur les vibrations des xylophones.
29
(II) Supposons que ∑+∞
=0n
nv diverge :
i) Si un = O(vn) , alors ∑=
n
kku
0
= O(∑=
n
kkv
0
) ;
ii) Si un = o(vn) , alors ∑=
n
kku
0
= o(∑=
n
kkv
0
) ;
iii) Si un ∼ cvn (c≠ 0) , alors ∑+∞
=0n
nu diverge, et ∑=
n
kku
0
∼ c∑=
n
kkv
0
.
Le théorème d’intégration des relations de comparaison est l’analogue intégral du théorème de sommation des relations de comparaison relatif aux séries. Soit f : [a, b[ → E une fonction réglée à valeurs vectorielles. On se propose d’étudier :
• la fonction F(x) = ∫x
adttf .)( au voisinage de b−0 si f est non intégrable,
• le reste R(x) = ∫b
xdttf .)( au voisinage de b−0 si f est intégrable.
Pour cela, introduisons une fonction g : [a, b[ → R réglée à valeurs positives.
Théorème d'intégration de relations de comparaison :
(I) Supposons g intégrable.
a) Si f = O(g) au V(b−) , alors f est intégrable et ∫b
xdttf .)( = O(∫
b
xdttg ).( ) quand x → b−.
b) Si f = o(g) au V(b−) , alors f est intégrable et ∫b
xdttf .)( = o(∫
b
xdttg ).( ) quand x → b−.
c) Si f ∼ cg au V(b−) , où c ≠ 0 , alors f est intégrable et :
∫b
xdttf .)( ∼ c ∫
b
xdttg ).( quand x → b− .
(II) Supposons g non intégrable.
a) Si f = O(g) au V(b−) , alors ∫x
adttf .)( = O(∫
x
adttg ).( ) quand x → b− .
b) Si f = o(g) au V(b−) , alors ∫x
adttf .)( = o(∫
x
adttg ).( ) quand x → b− .
c) Si f ∼ cg au V(b−) , où c ≠ 0 , alors f est non intégrable et :
∫x
adttf .)( ∼∼∼∼ c ∫
x
adttg ).( quand x → b− .
Exercice 1 : Soient p et q réels. Montrer qu’au V(+∞) : ∫x
tp dtet1
. ∼ xp e
x et ∫
+∞−
x
tq dtet . ∼ xp e
−x .
Exercice 2 : Soient p > 0, q réel. Montrer que :
∫ −xqp dttt
2
1 .ln ∼ pxp
lnq x quand x → +∞ ; ∫ −x
qp dttt0
1 .ln ∼ pxp
| ln x |q quand x → 0+ .
Exercice 3 : Soit a ≠ 0. Equivalent de ∫ −x
atdt
01 et de ∫ +−
π
0 ²cos.21 xtxdt quand x → 1−0.
Exercice 4 : On pose C(x) = ∫+1
²).cos(x
xdtt et S(x) = ∫
+1²).sin(
x
xdtt . Prouver que :
a) )²()²( xSxC + ≤ x1 pour tout x > 0 .
30
b) )²()²( xSxC + = x1 | sin( x +
21 ) | + O(
²1x
) lorsque x → +∞.
Exercice 5 : Soient a > 1, p réel. Montrer que quand n → +∞ :
∑≤≤ nk
kpak1
∼ 1−a
a np a
n ∑
≥
−
nk
kpak ∼ 1−a
a np a
−n .
6. Méthode de Laplace.
Cette méthode met en lumière le rôle joué par les fonctions
gaussiennes f(x) = e−αx²
en calcul asymptotique. Elle est fonda-mentale en théorie des probabilités dans la démonstration du théorème de la limite centrale. Elle permet notamment d’obtenir la formule de Stirling. Son point de départ est simple : il consiste à mettre systématiquement sous forme intégrale la suite, ou la fonction, à étudier. On obtient l’équivalent cherché par concentration de masse. Voici un problème illustrant un des volets de cette méthode : le passage du discret au continu. Les autres aspects seront abordés dans le chapitre sur les intégrales impropres. Problème Le but du problème est de déterminer un équivalent de la suite définie par :
(∀n ∈ N) un(α) = α)(12nnC ∑
=
n
k
knC
2
02 )( α , où α > 0.
On rappelle que dxe x .0
²∫+∞
− = 2π . On pose ∀n ∈ N* vn(α) = ∑
=
−n
k
nke1
/²α .
Dans tout le problème, r est un réel tel que ½ < r < 1.
1) a) Montrer que ∀n ∈ N* dxen
nx .1
1
/²∫+
−α ≤ vn(α) ≤ dxen
nx .0
/²∫ −α .
b) En déduire que vn(α) ∼ 21
απn quand n → +∞.
2) a) Montrer que ∑≤<
−
nkn
nk
r
e /²α ≤ n.exp(−α.n2r−1
)
b) En déduire que ∑≤≤
−
rnk
nke1
/²α ∼ vn(α).
On notera désormais ∀n ∈ N* ∀k ∈ [2, n] ∩ N pn(k) =
∏
∏
=
−
=
+
−
k
j
k
j
nj
nj
1
1
1
)1(
)1( , pn(1) =
n11
1+
.
3) a) Montrer que un(α) = α)(22nnC
.[∑=
+n
k
knnC
12 )( α ] + 1.
b) Etablir que ∀k ∈ [1, n] ∩ N knnC +
2 = nnC2 .pn(k).
4) a) Soit t ∈ [0, 1[. Etablir que ∀x ∈ [0, t [ 2x ≤ ln(1 + x) − ln(1 − x) ≤ ²1
2tx
− (1)
x − 2²x ≤ ln(1 + x) ≤ x (2)
31
b) En déduire que [pn(k)]α.e
αk²/n ≤ exp
²2²
nkα .
c) Montrer en utilisant b) que ∑≤< nkn
nr
kp α)]([ est négligeable devant vn(α) quand n → +∞.
5) a) Montrer que l’on a un(α) − 2.vn(α) = 2. ∑≤≤
−
rnk
nke1
/²α ( [pn(k)]α.e
αk²/n – 1 ) + o(vn(α)),
où o(vn(α)) est une suite négligeable devant vn(α) quand n tend vers +∞.
b) En utilisant (1) et (2), établir l’inégalité
∀k ∈ [1, nr] ∩ N [pn(k)]
α.e
αk²/n ≥ exp(− )
)1( 2243 −− − rr nnα .
c) En choisissant r convenablement, en déduire que 2∑≤≤
−
rnk
nke1
/²α ( [pn(k)]α
eαk²/n
– 1 )
est négligeable devant vn(α) quand n tend vers +∞.
d) En déduire finalement que un(α) ∼ απn quand n → +∞.
e) Cas particulier : donner un équivalent de (nnC2 ).
7. Fonctions fluctuantes. Certaines fonctions arithmétiques f : N → R n’ont pas d’équivalent simple en +∞ car elles ont un comportement irrégulier et fluctuant. Pour obtenir malgré tout un renseignement asymptotique, il est nécessaire de considérer les sommes cumulées F(n) = f(1) + f(2) + … + f(n). Ces sommes cumulées oscillent beaucoup moins et ont un comportement plus régulier, de sorte qu’on peut parfois en obtenir un équivalent. Nous dirons que les fonctions f(n) et g(n) ont même ordre moyen7 si :
f(1) + f(2) + … + f(n) ∼ g(1) + g(2) + … + g(n). Exercice : Fonctions liées au développement binaire.
Pour tout entier n ∈ N, on note resp. b(n) et s(n) le nombre, et la somme des chiffres de son développement binaire. Enfin, on pose : S(n) = s(0) + s(1) + … + s(n−1).
1) Etablir les formules récursives : a) b(0) = 1 , b(2n) = b(2n + 1) = b(n) + 1 b) s(0) = 0 , s(2n) = s(n) , s(2n + 1) = s(n) + 1 c) S(0) = 0 , S(2n) = 2.S(n) + n , S(2n + 1) = 2.S(n) + n + s(n) d) Calculer b(53) , s(53) , S(53).
2) a) Montrer que s(n) n’a pas d’équivalent simple en +∞. b) Donner une expression explicite de S(2
m) ; en déduire une suite semblable à S(n).
3) Soit ϕ la fonction paire et 1-périodique telle que ϕ(x) = −x pour 0 ≤ x ≤ ½.
a) Montrer que la fonction f(x) = ).2(.21
1
1 xj
jj∑
+∞
=
−ϕ est définie sur R. Propriétés ?.
b) Montrer que : S(n) = 2
)(. nbn + 2
b(n).f( )(2 nb
n ).
c) En déduire que : S(n) = 2n .log2 n + O(n).
7 Hardy-Wright, An introduction to the theory of numbers, p. 263.
32
Exercice : 1) Soit Sn = ∑=
n
k kn
1
][ . Equivalent de (Sn) ? Montrer que Sn = n.ln n + (2γ − 1).n + O( n ).
[Indication : Noter que Sn = ∑≤nqp.
1 = ∑≤≤ nqpnp .;
1 + ∑≤≤ nqpnq .;
1 − ∑≤ nqp&
1 .]
2) Soit τ(n) le nombre de diviseurs > 0 de n. Comparer Sn et T(n) = ∑=
n
k
k1
)(τ . Conclusion ?
Exercice : 1) Trouver un équivalent de la suite un = 21 ∑
=+
n
k kn
kn
1
)1]].([[ .
2) Soit σ(n) la somme des diviseurs > 0 de n. Calculer σ(n), et expliquer pourquoi σ(n) n’a pas d’équivalent simple en +∞.
3) Comparer S(n) = ∑=
n
k
k1
)(σ et un. En déduire un équivalent de S(n).
Exercice : Pour tout n ∈ N, soit r(n) = card { (x, y) ∈ Z2 ; x
2 + y
2 = n }.
Montrer que : r(1) + r(2) + … + r(n ) ∼∼∼∼ n π.
[ Indication : on pourra associer à chaque point (x, y) ∈ Z2 tel que x
2 + y
2 ≤ n le carré dont il est le
coin sud-est, et encadrer l’aire du domaine ainsi délimité. ]
8. Calcul numérique et calcul asymptotique. 8.1. Accélération de convergence.
Soit (un) une suite convergeant vers a. Accélérer la convergence de (un) vers a, c’est trouver une
suite (vn) déduite de (un) et convergeant vers a "plus vite" que (un), c’est-à-dire vn − a = o(un − a).
On se propose de présenter ici plusieurs procédés d’accélération de convergence d’une suite.
Méthode du développement asymptotique.
Les développements asymptotiques permettent d’accélérer la convergence d’une suite.
Par exemple, si on sait que Hn = ∑=
n
k k1
1 = ln n + γ + n21 −
²121n
+ 41201n
+ o(4
1n
) .
La suite un = Hn − ln n converge vers γ lentement.
La suite vn = Hn − ln n − n21 converge vers γ plus vite.
La suite wn = Hn − ln n − n21 +
²121n
converge vers γ plus vite que la précédente.
La suite xn = Hn − ln n −n21 +
²121n
− 41201n
converge vers γ plus vite que la précédente.
Exercice : (avec Maple) Calculer un , vn , wn et xn pour 1 ≤ n ≤ 20. Que constate-t-on ?
Ainsi, l’accélération de convergence est effective dès les premières valeurs de n, même si un développement asymptotique ne donne aucun renseignement sur ce qui se passe pour les premières valeurs d’une suite. Pour expliquer ce phénomène, il faudrait disposer de majorations globales et effectives de l’écart, c’est-à-dire de renseignements plus précis que de simples développements asymptotiques. En l’absence de tels renseignements, la méthode du développement asymptotique est heuristique.
Méthode de Richardson (1911).
On dit que la suite (un) converge linéairement vers a si :
(∃ k > 0) 0 < |k| < 1 , un+1 − a ∼ k.( un − a ) (*)
33
k est appelé coefficient de convergence.
Exemples :
a) Si un − a ∼ C.kn ( C ≠ 0 ), il y a convergence linéaire.
b) La réciproque est fausse : si un − a ∼ C nαkn ( C ≠ 0 ), il y a aussi convergence linéaire.
c) Soit f une fonction réelle de classe C1, définie dans un intervalle I contenant a, et telle que f(a) =
a et |f’(a)| < 1. Je dis que si u0 est suffisamment proche de a, la suite (un) définie par un+1 = f(un) est définie et converge linéairement vers a, avec k = f’(a).
Proposition : Sous l’hypothèse (*), la suite vn = k
uku nn
−−+
1.1 accélère la convergence vers a.
Exercice : Opérateurs de Richardson.
Pour tout k tel que |k| < 1, soit Rk l’opérateur qui à la suite u = (un) associe la suite v = (vn) définie
par vn = k
uku nn
−−+
1.1 . Etudier l’opérateur Rk : linéarité, image, noyau. Noyau de Rk1 o…o Rkp .
Exemple 1 : Calcul de 3 x à l’aide de la touche .
Soit x > 0. On observe que y = 3 x ⇔ y = xy , et on définit la suite u0 > 0 , un+1 = nux. .
Calculer un en fonction de n, x et u0. Montrer que (un) converge linéairement vers ; quel est le coefficient k ? Accélérer la convergence à l’aide du procédé de Richardson. Application : soit x = 10, u0 = 2 ; calculer un pour 1 ≤ n ≤ 15 et vn pour 1 ≤ n ≤ 5. Conclusion ?
Exemple 2 : Calcul de ln x à l’aide de la touche .
Soit x > 0. Montrer que la suite un = 2n (
n
x2
− 1 ) converge vers ln x.
1) Programmer le calcul de un.
2) Montrer que si x = 2, la suite un s’approche de ln 2, puis s’en éloigne. 3) Accélérer sa convergence. Méthode de Richardson itérée.
Le procédé de Richardson peut être itéré si la suite (un) a un développement asymptotique dans l’échelle des puissances.
Exercice : Montrer que si un = a + α1.(k1)n + α2.(k2)
n + … + αp.(kp)
n + o(kp+1
n) ,
où 0 < |kp+1| < |kp| < … < |k1| < 1 , alors la suite vn = 1+pk
R o pk
R o … o 1k
R (un)
vérifie : vn = a + o(kp+1n).
La méthode de Romberg (1955) n’est que l’application du schéma de Richardson à l’approximation d’une intégrale par la formule des trapèzes. Méthode de Aitken.
La méthode de Richardson suppose connu le coefficient k. Si ce n’est pas le cas, on peut néanmoins accélérer la convergence, grâce à un schéma dû à Aitken. Supposons un = a + C.k
n + O(k’n) 0 < |k’| < |k| < 1 ( C ≠ 0 ). Alors, si l’on pose
yn = 1
1
−
+
−−
nn
nn
uuuu
= 1−∆
∆n
n
uu puis zn =
n
nnn
yuyu
−−+
1.1 , on a : yn = k + o(( ))' n
kk et zn = a + o(k’n) .
34
Méthode de Bernoulli.
Elle fournit des valeurs approchées de racines de polynômes, ou de valeurs propres de matrices. La voici exposée sur un exemple.
Exercice : 1) Montrer que l’équation x3 – 3.x + 1 = 0 admet trois racines réelles λ1, λ2 et λ3. On les
range de façon que |λ1| > |λ2| > |λ3|. Encadrer simplement λ1, λ2 et λ3.
On se propose de donner une valeur approchée de λ1 par une méthode générale due à Bernoulli.
2) Soit (xn) la suite définie par x0 = x1 = 0, x2 = 1, xn+3 – 3.xn + 1 = 0 .
a) Comment s’exprime (xn) en fonction des suites ()niλ ?
b) Montrer que la suite un = n
n
xx 1+ est définie pour n assez grand, et converge vers λ1.
c) Montrer que la convergence est linéaire. Quel est le coefficient de convergence ?
d) Accélérer la convergence à l’aide de la méthode de Aitken. En déduire une valeur approchée de λ1. 8.2. Calcul numérique et calcul asymptotique.
Le petit dialogue reproduit ci-dessous illustre bien le malentendu entre les deux calculs.
Calcul asymptotique et analyse numérique Même si le résultat asymptotique est présenté sous sa meilleure forme possible, il n'est pas satisfaisant du point de vue numérique. Le dialogue suivant entre Miss N.A., Analyste numérique, et le Dr A.A., Analyste asymptotique, est très éclairant :
N.A. : Je veux évaluer ma fonction f(x) pour de grandes valeurs de x, avec une erreur relative d'au plus 1%.
A.A. : f(x) = x−1 + O(x−2) (x → ∞). N.A. : Je suis désolée, mais je ne comprends pas.
A.A. : | f(x) − x−1| < 8.x−2 (x > 104). N.A. : Mais mon x vaut seulement 100. A.A. : Pourquoi ne l'avez-vous pas dit ? Mes évaluations donnent
| f(x) − x−1| < 57000.x−2 (x ≥ 100). N.A. : Cela ne m'apprend rien. Je sais déjà que 0 < f(100) < 1. A.A. : Je peux un peu améliorer mes estimations. Je trouve maintenant que :
| f(x) − x−1| < 20.x−2 (x ≥ 100). N.A. : Je demandais du 1%, pas du 20%. A.A. : C'est presque la meilleure chose que je peux obtenir. Pourquoi ne prenez-vous pas de plus grandes valeurs de x ? N.A. : !!! Je pense qu'il vaut mieux que je demande à ma machine à calculer électronique. La machine : f(100) = 0.01137 42259 34008 67153. A.A. : Ne vous l'avais-je pas dit ? Mon estimation de 20% n'était pas loin des 14% d'erreur réelle. N.A. : !!! ...!. Quelques jours plus tard, Miss N.A. veut connaître la valeur de f(1000). Elle interroge d'abord sa machine, mais remarque que le calcul va demander un mois, en travaillant à vitesse maximum. Aussi se tourne-t-elle vers son Collègue asymptotique, et obtient une réponse pleinement satis-faisante. N.G. De Bruijn, Asymptotic methods in Analysis, p.19
35
Donnons un exemple, sur lequel nous reviendrons plus tard 8 :
On sait que exp x = ∑+∞
=0 !n
n
nx
, et que la série converge « vite » vers 0, puisque, x étant fixé, le reste
∑+∞
+= 1 !nk
k
kx
est équivalent à )!1(
1
++
nxn
lorsque n tend vers l’infini.
On sait que exp(−10) ≈ 0 ; en fait exp(−10) ≈ 0, 00004539992976 . Si l’on veut calculer exp(−10) au moyen de cette série, on constate que les sommes partielles de la série commencent par s’éloigner de exp(−10) :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Sn 1 -9 41 -125 291 -542 846 -1137 1342 -1413 1342 -1162 925
La convergence, rapide pour l’analyste asymptotique, est très lente pour l’analyste numérique !
Plus généralement, l’analyste numérique est ravi de savoir que deux suites (un) et (vn) sont
équivalentes, c’est-à-dire que ∀ε > 0 ∃n0 ∀n ≥ n0 | un − vn | ≤ ε.|vn| , mais peut lui chaut qu’ε soit
aussi petit qu’on veut ; il préfère disposer d’un n0 aussi petit que possible, afin d’avoir le moins de
calculs à faire. Autrement dit, il préfère disposer d’un α explicite, même grand, et d’un n0 explicite,
le plus petit possible, tels que ∀n ≥ n0 | un − vn | ≤ α.| vn | .
Exercice : 1) Déterminer, pour n entier positif, le signe de n6 + 5n
5 sin n + 1.
2) Pour quels entiers positifs n l’inégalité 1sin51cos5²
56 ++++
nnnnnn ≥ 10
−4 est-elle vérifiée ?
( Concours général 1988 ) ___________ Bibliographie
P. S. Laplace : Théorie générale des probabilités (éd. 1847) G. H. Hardy, E. Wright : Introduction to the theory of numbers N. Bourbaki : Fonctions d’une variable réelle, chap. 5 (Hermann) J. Dieudonné : Calcul infinitésimal (Hermann) R. Godement : Cours d’analyse (Springer) L. Comtet : Analyse combinatoire (Puf) A. Erdelyi : Asymptotic expansions (Dover) N. G. De Bruijn : Asymptotic methods in analysis (Dover) D. Knuth : Fundamental algorithms, vol. 1 (Addison-Wesley) J.-L. Ovaert et J.-L. Verley : Calculs asymptotiques (Encyclopedia universalis) B.M. Makarov, M.G. Goluzina, A.A. Lodkin, A.N. Podkorytov :
Problèmes d’analyse réelle (Cassini), chap. VI Pour la science : Dossier sur la complexité ____________
8 Cf. chapitres sur l’exponentielle et sur les séries divergentes.
![-3 - Comportements asymptotiques : stabilité, attractivité · xe àc ∈EV Aõ[]=0 ... aii ||aij ||aji ajj](https://img.pdfslide.fr/doc/110x75/5bf841a409d3f209398c08b0/-3-comportements-asymptotiques-stabilite-attractivite-xe-ac-ev-ao0.jpg)
