THÈSETHÈSEEn vue de l’obtention du

DOCTORAT DE L’UNIVERSITÉ DE TOULOUSE

Délivré par : l’Université Toulouse 3 Paul Sabatier (UT3 Paul Sabatier)

Présentée et soutenue le 13 Juin 2018 par :Hugo Bringuier

Marches quantiques ouvertes

JURYStéphane Attal Université Lyon 1 ExaminateurDenis Bernard École Normale Supérieure RapporteurLaurent Bruneau Université Cergy-Pontoise RapporteurPatrick Cattiaux Université Toulouse 3 Directeur de thèseLaure Coutin Université Toulouse 3 ExaminatriceYan Pautrat Université Paris-Sud ExaminateurClément Pellegrini Université Toulouse 3 Directeur de thèse

École doctorale et spécialité :MITT : Domaine Mathématiques : Mathématiques appliquées

Unité de Recherche :Institut de Mathématiques de Toulouse (UMR 5219)

Directeurs de Thèse :Patrick Cattiaux et Clément Pellegrini

Rapporteurs :Denis Bernard et Laurent Bruneau

À la santé de tout le monde,

Le Mushu de Shrödinger par Roman Bringuier

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Remerciements

Comme il se doit, je commence ce manuscrit par quelques lignes 1 visant à remercierceux qui m’ont entouré pendant ces trois années de thèse.

Je souhaite en premier lieu exprimer ma sincère reconnaissance envers mes encadrantsClément Pellegrini et Patrick Cattiaux. Après m’avoir enseigné les mathématiques à l’uni-versité, ils m’ont fait partager leur passion pour le domaine des probabilités et fait découvrirle monde de la recherche. Merci à Clément pour son investissement, sa patience, ainsi quetoutes les qualités qui font de lui un excellent directeur de thèse ; merci à Patrick, que j’aimoins sollicité, pour sa bienveillance et ses remarques pertinentes.

Je tiens à remercier Denis Bernard et Laurent Bruneau d’avoir accepté de rapporter cemanuscrit. La qualité et la rigueur de leur travail m’ont beaucoup aidé pour en achever larédaction. Je tiens aussi à remercier les autres membres du jury pour l’intérêt qu’ils ontprêté à mes travaux de recherche. Merci à Stéphane Attal pour l’organisation de multiplesrencontres scientifiques, merci à Laure Coutin pour son investissement dans ma formationet merci à Yan Pautrat d’avoir joué le rôle de directeur de thèse parisien.

Je remercie également tous les membres de l’Institut de Mathématiques de Toulousequi ont participé de près ou de loin au bon déroulement de cette thèse, et notamment lepôle administratif.

Je suis heureux (et chanceux) d’avoir pris part au programme ANR StoQ, celui-ci m’apermis de participer aux conférences tenues à Toulouse, Paris, Lyon, Autrans, Cargèse etDurban. Je garde de très bons souvenirs de ces rencontres, ainsi qu’une jolie cicatrice. Jeremercie les fondateurs de ce projet ainsi que toutes les personnes liées à cette grandefamille scientifique. Outre les personnes déjà citées, une pensée particulière pour Tristanle matelot méditerranéen qui m’a apporté une aide quasi quotidienne, pour Ivan un avey-ronnais de souche détenteur du théorème des lumières ainsi que pour Ion, Simon, Cécilia,Antoine, Cambyse et tous les autres.

Je souhaiterais remonter un peu dans le temps pour remercier mes professeurs pourleurs enseignements et l’envie qu’ils m’ont transmise de continuer dans cette voie, plusparticulièrement je remercie Patricia Geniez, Jean-Christophe Feauveau et Katy Paroux.Durant ces années studieuses, j’ai rencontré des camarades fabuleux, pour en citer quelques-uns : Brevier, Marine, Sylvain, Maxou, Damien, JP, Lacaze, Théo et Elsa.

Je voudrais également remercier chaleureusement les exilés du bureau 105. Il y a ceuxqui ont fait un passage éclair, Andressa, Pascal, Maël et Mickael 2, puis ceux qui ont faitplusieurs passages éclairs : Guillaume et Laure. Le premier est un escrimeur, démineur,toulousain, roumanophile, défenseur des orangs-outans et compagnon de débat, tandis que

1. Les allergiques aux mathématiques peuvent lire sereinement cette partie, il leur est néanmoins décon-seillé de continuer la lecture car les équations sont parfois "undrinkeable".

2. Meilleur organisateur d’événements pour les doctorants ESP : # TEAMKIKI.

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la deuxième est une basketteuse, relectrice de talent, gersoise (mais aveyronnaise aussi),dont le sourire platypussien a égayé le bureau toutes ces années.

Je remercie tous mes autres collègues doctorants, et notamment la "team coinche" del’Upsidum. Merci à Ioana pour avoir supporté Guillaume et mon poisson rouge, Antoinepour sa transformation végano-provinciale, Pierre pour sa présence matinale lors de mul-tiples formations, Valentin pour son amour des toboggans et de la Fraboise, Maylis pourson lancer de Pouetpouet, Wuilliam pour ces punchlines Valdesques, Fabien pour son petitpain, Eva pour sa convexité et merci à tous ceux qui ont su créer une ambiance chaleu-reuse au second étage du 1R1 : Sylvain, Malika, Claire, Fanny, Kevin T., Magali, Camille,Valentin le Stagiaire, etc. Je remercie également les doctorants des autres équipes avec quij’ai passé de bons moments : Anton, Silvère, Baptiste, Anne, Laura, Ibrahim, Jules, Jbar,Kévin F., Julie, Hang, Dat, Maria, Alexis, Florian, Jean-Marc, Elena et ceux que j’oubliehonteusement.

Il est venu le temps de remercier les amis en dehors des mathématiques. Merci à Cas-parou 3 et Mélissa pour les pizzas choucroutes accompagnées d’une Ethik’être. Merci augang de Saint Michel (anciennement appelé "Bellevue’s ***holes") pour la vie saine quel’on mène depuis 9 ans ; pour citer quelques-uns de ses membres : el Pinos ("elles partagentles goûts"), Petdouch ("la daurade c’est pour tout le monde"), Alex ("ayoooooo") et Olivier(le frère de Natacha, soi-disant anglais 4).

Je vais à présent remercier ma principale source de motivation : la famille. Merci à lafamille artiguoise au grand complet, vivement le baptême de la petite Lily. Merci à mesgrands-parents de m’avoir donné tout leur amour, c’est grâce à eux que je parle avec fiertéde mes racines aveyronnaises. Merci à mes parents, principaux responsables de ma réussite,pour leur soutien inconditionnel. Merci à mon frère et à sa future femme, pour leur choixde témoin et pour m’avoir supporté toutes ces années. Et enfin, merci à celle pour quiaucun mot ne peut exprimer ma gratitude et mon amour, je veux juste lui dire...

bizbiz !

3. OufOuf.4. 12 en anglais au baccalauréat.

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Avant-propos

Cette thèse est consacrée à l’étude de modèles stochastiques issus de la mécanique quan-tique, et plus particulièrement à l’analyse des marches quantiques ouvertes. L’objectif decette thèse est d’étudier ces marches en tant qu’extensions de marches aléatoires classiques.En effet, elles apparaissent comme des analogues quantiques de ces dernières.

Les marches aléatoires sont des objets mathématiques qui forment un champ d’investi-gation théorique ouvrant de nombreuses pistes de recherche. Le modèle de base correspondà la marche aléatoire simple, introduite pour la première fois par G. Pólya en 1921 ([Pól21]).Dans celui-ci, un marcheur évolue sur un réseau en sautant à intervalles réguliers vers un deses plus proches voisins, de manière équiprobable et indépendamment des pas précédents.Au-delà de cette première modélisation, il peut être pertinent d’introduire des règles pluscomplexes que les simples sauts réguliers vers les plus proches voisins pour régir les pasdu marcheur. Il est donc judicieux d’étudier des modèles spécifiques de marches aléatoires,et plus précisément des modèles introduisant des phénomènes de mémoire. Les marchesquantiques s’inscrivent dans cette réflexion.

Les marches quantiques décrivent l’évolution d’une particule sur un réseau dont lestransitions sont sujettes à des phénomènes quantiques. Ces phénomènes sont régis par unparamètre que l’on nomme le degré interne de la particule. Les sauts successifs de siteen site sont décrits par un processus de Markov appelé trajectoire quantique. Plus pré-cisément, une trajectoire quantique est la donnée de deux processus : le premier donnela position du marcheur (position de la particule) et le deuxième représente le paramètrequantique (évolution interne de la particule). Il est alors naturel de s’intéresser aux pro-priétés usuelles permettant d’analyser la position du marcheur : irréductibilité, ergodicité,etc. Néanmoins, contrairement aux marches aléatoires classiques, la composante quantiqueintroduit un effet de mémoire. Le processus représentant la position du marcheur n’estalors pas nécessairement markovien. Les résultats sur les processus de Markov classiquesne se transposent donc pas aux marches quantiques ; c’est pourquoi les propriétés fines surces modèles nécessitent des études spécifiques.

Il existe différentes extensions de marches aléatoires dans le cadre quantique, dontl’une des premières fut introduite dans [ADZ93]. Les modèles les plus étudiés sont lesmarches quantiques unitaires. Ce type d’évolutions inspire de nombreuses études théo-riques ([Kem03, Kon02, Joy11, Joy12]) et trouve de multiples applications en informationquantique ([AAKV01, NC10]). Ces marches adoptent un comportement non standard àl’infini. En effet, elles satisfont un théorème central limite mais la convergence est en "n"au lieu d’être en "

√n". De plus la distribution limite n’est pas gaussienne mais a une allure

de courbe en "baignoire" ([Kon02]).

Les marches quantiques autour desquelles s’articule cette thèse sont les marches quan-tiques ouvertes.

Ces marches quantiques sont dites ouvertes car elles s’inscrivent dans l’étude de la

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dynamique des systèmes quantiques ouverts ([Att17, AJP06, BP02, Dav76]). Un systèmequantique est qualifié d’ouvert s’il interagit avec un environnement extérieur (bain de cha-leur, laser, ...). Les dynamiques qui découlent des systèmes ouverts sont modélisées pardes évolutions hamiltoniennes et markoviennes ([BR12]). Les évolutions hamiltoniennesdécrivent le système de façon globale, c’est-à-dire le système d’étude couplé avec son en-vironnement. Malheureusement, la complexité de l’environnement ne permet pas d’avoirsystématiquement accès à toutes les données du système global. Dans ce cas, l’environ-nement est délaissé et les dynamiques du système d’étude sont régies par des évolutionsmarkoviennes. L’ensemble de mes travaux s’inscrit dans l’approche markovienne dans la-quelle deux types d’évolutions se distinguent : celles à temps discret dirigées par des canauxquantiques ([NC10, BŻ17, Wol12]) et celles à temps continu guidées par des opérateurs deLindblad ([Lin76, GKS76]).

Les marches quantiques ouvertes à temps discret ont été introduites en 2012 par S.Attal, F. Petruccione, C. Sabot et I. Sinayskiy ([APSS12]). Ces marches ont donné lieu àdiverses études théoriques décrivant la position du marcheur dans lesquelles un théorèmecentral limite et un principe de grandes déviations ont été prouvés ([AGPS15, CP15]). Lesmarches quantiques ouvertes étant des généralisations de marches aléatoires classiques, desnotions telles que l’irréductibilité et la périodicité ont été introduites ([CP16b]). Toujoursdans l’optique d’étudier les marches quantiques ouvertes à travers cette analogie, les tempsde sortie et d’atteinte ainsi que les problèmes de Dirichlet ont été étudiés dans [BBP17].

Ces marches ont également inspiré des modèles à temps continu : les marches quan-tiques ouvertes à temps continu définies par C. Pellegrini. Ces modèles, décrivant la dyna-mique continue d’une particule sur un graphe, apparaissent naturellement comme limitescontinues en temps de marches quantiques ouvertes discrètes ([Pel14]). Les trajectoiresquantiques associées sont régies par des équations différentielles stochastiques avec sauts.Contrairement au cas discret, le paramètre interne évolue au cours du temps même si lemarcheur reste immobile ; l’évolution est alors donnée par une équation différentielle déter-ministe. Les temps de saut sont quant à eux aléatoires et dépendent de la position ainsi quedu paramètre quantique. Les trajectoires quantiques sont donc des processus markoviensdéterministes par morceaux ([Dav84]).

D’autres modèles de limites continues ont été développés dans [BBT14], où des limitesen temps et en espace ont été considérées. Dans cet article, les auteurs ont introduit lanotion de mouvement brownien quantique ouvert qui, comme son nom l’indique, est uneextension quantique du mouvement brownien.

L’objet de mes travaux de recherche est l’étude des marches quantiques ouvertes àtemps continu (introduites dans [Pel14]). Nous étudions les propriétés classiques associéesaux chaînes de Markov et les théorèmes asymptotiques pour ce type de marches. J’ai no-tamment démontré un théorème central limite et un principe de grandes déviations pourla position du marcheur ([Bri17]). Parmi les outils probabilistes employés pour prouver cesrésultats, on retrouve entre autres l’équation de Poisson ([MS02]), le problème de mar-tingale ([EK86]), le théorème central limite pour les martingales ([CP05]) et le théorèmede Gärtner-Ellis ([DZ10]). Nous avons également étudié les propriétés de récurrence et detransience ([BBPP18]). Les objets manipulés dans ces articles sont des opérateurs à trace,des semi-groupes de Markov quantiques et des équations différentielles stochastiques avecsauts. Mes travaux actuels portent sur la théorie du potentiel associée à ces marches.

Nous proposons ci-dessous de décrire l’organisation du manuscrit de thèse. Il est consti-tué de deux parties : la première est une présentation générale des marches quantiquesouvertes alors que la seconde rassemble les articles rédigés au cours de cette thèse.

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Détaillons brièvement le contenu de la première partie.— Le premier chapitre donne une vue d’ensemble de la théorie des systèmes quantiques

ouverts et justifie l’intérêt des modèles décrits dans les autres chapitres. Le lecteurpourra y trouver le bagage nécessaire afin de comprendre les axiomes mathéma-tiques de la mécanique quantique. Plus particulièrement, les dynamiques discrètes etcontinues des systèmes quantiques ouverts sont exposées ; elles sont respectivementdirigées par des canaux quantiques et des opérateurs de Lindblad. Ces opérateurssont fondamentaux dans la définition des marches quantiques ouvertes.

— Le deuxième chapitre rassemble les différents résultats sur les marches quantiquesouvertes à temps discret ([APSS12]) : théorème central limite [AGPS15], principede grandes déviations [CP15], irréductibilité [CP16b], temps d’atteinte [BBP17],etc. Nous étudions particulièrement le lien avec les modèles classiques ; plus précisé-ment, nous montrons que les marches quantiques ouvertes sont des généralisations demarches aléatoires classiques. Nous illustrons les notions étudiées à l’aide d’exempleset nous donnons quelques idées de preuves qui sont réemployées pour les modèlescontinus.

— Le troisième chapitre est consacré à l’étude des marches quantiques ouvertes à tempscontinu ([Pel14]). Nous présentons les résultats établis dans cette thèse ([Bri17,BBPP18]) en illustrant notre propos avec des exemples et en faisant le lien avec lemodèle discret, ainsi qu’en exposant les différences qui peuvent survenir. Nous étu-dions également le lien avec les marches aléatoires classiques. Très peu d’élémentsde preuves sont présents dans ce chapitre, nous exposons uniquement les outils pro-babilistes utilisés dans les démonstrations.

— Le quatrième chapitre rassemble quelques perspectives qui font suite à cette thèse.Une première piste de recherche consiste à s’intéresser au problème de Dirichletpour les marches quantiques ouvertes à temps continu. La solution de ce problèmepermet notamment de calculer la loi du temps d’atteinte d’un certain domaine pourle marcheur. La seconde piste, moins corrélée avec les travaux précédents, consisteà établir des tests d’hypothèses à partir de résultats asymptotiques sur les mesuresrépétées non destructives.

La seconde partie regroupe les articles rédigés durant cette thèse.— Le cinquième chapitre est dédié à la présentation de l’article "Central limit theo-

rem and large deviation principle for continuous time open quantum walks" acceptéaux Annales Henri Poincaré ([Bri17]). Il s’articule autour d’un théorème central li-mite et d’un principe de grandes déviations pour les marches quantiques ouvertescontinues. Les résultats sont exposés dans leur intégralité et sont illustrés par demultiples exemples.

— Le sixième chapitre est consacré à la présentation de l’article "Recurrence and tran-sience of continuous time open quantum walks" qui est soumis aux Annales HenriPoincaré et qui a été rédigé en collaboration avec I. Bardet, Y. Pautrat et C. Pel-legrini [BBPP18]. Cet article aborde les questions d’irréductibilité, de transienceet de récurrence pour les marches quantiques ouvertes à temps continu. La dualitérécurrence-transience du cadre classique n’est plus vérifiée, néanmoins trois situa-tions distinctes apparaissent dans le cadre des marches quantiques ouvertes.

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Table des matières

I Introduction et présentation des résultats 1

1 Système quantique ouvert 31.1 Les axiomes de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 1er axiome : les états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 2e axiome : mesure des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3 3e axiome : réduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 4e axiome : évolution temporelle du système . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Système quantique ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.1 Système couplé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Trace partielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Matrices densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 1er axiome étendu : les états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.5 2e axiome étendu : mesure des observables . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.6 3e axiome étendu : réduction du paquet d’onde . . . . . . . . . . . . 91.2.7 4e axiome étendu : évolution temporelle du système . . . . . . . . . 9

1.3 Interaction et évolution : cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.1 Canal quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.2 Représentation de Kraus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3.3 Applications complètement positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Mesures quantiques répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1 Effet Zénon quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.2 Trajectoires quantiques discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Interaction et évolution : cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6 Trajectoires quantiques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.1 Mesure sur les trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.6.2 Équation de Schrödinger stochastique avec processus de saut . . . . 20

1.7 Trajectoires quantiques : du discret au continu . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Marches quantiques ouvertes à temps discret 252.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Lien avec les chaînes de Markov classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.5.1 Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.5.2 Transience et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.6 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiques ouvertes homogènessur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.6.1 Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.6.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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2.6.3 Principe de grandes déviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Marches quantiques ouvertes à temps continu 473.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Lien avec les chaînes de Markov à temps continu . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4 Développement de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 Mesure sur les trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.5.2 Équation maîtresse stochastique pour les marches quantiques ouvertes 553.5.3 Exemple et cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.5.4 Lien avec les marches quantiques ouvertes . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.6 Des marches quantiques ouvertes discrètes vers celles continues . . . . . . . 593.7 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.7.1 Irréductibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.2 Transience et récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.8 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiques ouvertes sur Zd . . . 663.8.1 Théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.8.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.8.3 Principe de grandes déviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4 Perspectives 754.1 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Mesures quantiques non destructives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.2.1 Modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.2 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.3 Théorème central limite et théorème de Berry-Esseen . . . . . . . . 824.2.4 Tests d’hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Bibliographie. 86

II Présentation des articles 93

5 Central limit theorem and large deviation principle for continuous timeopen quantum walks 955.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2 Continuous Time Open Quantum Walks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.2.1 Main setup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.2.2 Quantum trajectories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Large Deviation Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6 Recurrence and transience of continuous time open quantum walks 1216.1 Continuous time open quantum walks and their associated classical processes123

6.1.1 Definition of continuous-time open quantum walks . . . . . . . . . . 1236.1.2 Dyson expansion and associated probability space . . . . . . . . . . 1246.1.3 Quantum trajectories associated to CTOQW . . . . . . . . . . . . . 1266.1.4 Connection between Dyson expansion and quantum trajectories . . . 128

6.2 Irreducibility of quantum Markov semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

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6.3 Transience and recurrence of irreducible CTOQW . . . . . . . . . . . . . . 1326.3.1 Definition of recurrence and transience . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.3.2 Technical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1346.3.3 Proof of Theorem 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

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xiv

Première partie

Introduction et présentation desrésultats

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Chapitre 1

Système quantique ouvert

Sommaire1.1 Les axiomes de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Système quantique ouvert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Interaction et évolution : cas discret . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Mesures quantiques répétées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 Interaction et évolution : cas continu . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6 Trajectoires quantiques continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7 Trajectoires quantiques : du discret au continu . . . . . . . . . 21

L’objectif de ce chapitre est de présenter le cadre mathématique permettant d’étudierles systèmes quantiques ouverts ([BP02]).

Afin d’étudier un système quantique, on réalise des mesures de la quantité physique(position, vitesse, énergie, ...) à laquelle on s’intéresse. Contrairement au cadre de la phy-sique classique, le résultat d’une mesure est aléatoire et affecte définitivement le systèmequantique étudié. On peut toutefois prédire les probabilités des résultats selon l’état dusystème. Ces différentes propriétés sont décrites par les axiomes fondamentaux de la mé-canique quantique (axiome de la mesure, réduction du paquet d’onde, ...). Néanmoins, lesmesures effectuées directement sur le système présentent un inconvénient. En effet, unesuccession de mesures trop rapprochées fige le système, ce phénomène est appelé l’effetZénon quantique. C’est pourquoi, afin d’observer une dynamique significative, on couple lesystème d’étude à un système auxiliaire sur lequel on effectue une mesure après avoir laisséinteragir les deux systèmes. En répétant cette procédure (couplage, interaction et mesure),on obtient une suite de résultats de mesures tout en ne dégradant pas totalement le sys-tème d’étude. De plus, grâce au phénomène d’intrication, on peut récolter une informationpartielle sur le système étudié.

Le principe d’interactions répétées ([AP06]) est présent dans de nombreux domainesde recherche ([BJM06, BJM10b, BJM14, BJM10a, ADP14, AJ07b, AJ07a]) notammenten optique quantique ([Bar06, Har03]), en information quantique ([GP01]) ou encore enthermodynamique quantique ([SSBE17]). Dans ce chapitre, nous présentons un cadre ma-thématique permettant de décrire le principe de mesures indirectes répétées en mécaniquequantique. Celui-ci est au cœur de nombreux travaux de recherche en physique théoriqueet en mathématiques ([ADP14, BBB13, BBB12, Bel99, BJPP18, HJPR17, TBB15, PP09,Pel08]).

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1.1 Les axiomes de la mécanique quantiqueDans cette partie, nous introduisons les bases de mécanique quantique permettant

l’étude des systèmes quantiques ouverts. Nous énonçons les quatre axiomes principauxde la mécanique quantique.

1.1.1 1er axiome : les étatsL’espace de tous les états possibles d’un système quantique est un espace de Hilbert

complexe séparable que l’on notera H.Les états possibles sont appelés les fonctions d’onde de H. Une fonction d’onde est une

classe d’équivalence de vecteurs de H. Deux vecteurs sont dans la même classe d’équivalencesi l’un est le multiple de l’autre par un scalaire non nul. On choisit ψ un représentant denorme 1 pour chaque fonction d’onde. Notons que pour tout θ ∈ R, ψ et eiθψ représententle même état. La fonction d’onde contient toute l’information sur le système en question.

Avant de présenter les autres axiomes, on rappelle la notation des Bras et des Ketsutilisée en physique.

Soit ψ un vecteur de H, on définit le Ket |ψ� comme l’application linéaire :

|ψ� : C → Hλ �→ λψ .

Dans la suite, on identifie un vecteur ψ de H avec le Ket |ψ� sans faire référence à l’appli-cation linéaire correspondante.

On appelle Bra �ψ| la forme linéaire suivante :

�ψ| : H → Cy �→ �ψ, y� .

Ci-dessous quelques propriétés élémentaires sur les Bras et les Kets :1. Les Bras �ψ| agissent sur les Kets |y� :

�ψ||y� = �ψ, y� .

2. Étant donnés u, v ∈ H, un opérateur de la forme |u��v| agit sur les Kets |y� de lafaçon suivante :

|u��v||y� = |u��v, y� = �v, y�u .

3. En particulier, si �u� = 1 alors |u��u| est le projecteur orthogonal sur V ect(u).

1.1.2 2e axiome : mesure des observablesToute quantité physique du système quantique qui peut être mesurée (par exemple : la

position, la vitesse, l’énergie, ...) est représentée par un opérateur auto-adjoint sur H. Cesopérateurs sont appelés observables du système.

Nous considérerons uniquement les observables X de spectre fini σ(X) = {λ1, ..., λq}où q ∈ N∗. L’étude des observables de spectre plus général est effectuée dans [CTDLC79,Att17]. On note Pi les projecteurs orthogonaux sur les sous espaces propres de l’observableX, on a alors

X =q�

i=1λiPi .

4

Le résultat d’une mesure d’une observable X est un résultat aléatoire à valeurs dans σ(X).Plus précisément, lorsque l’état du système est |ψ�, le résultat de la mesure de X prend lavaleur λi ∈ σ(X) avec probabilité �ψ, Piψ� = �Piψ�2. On notera

P(observer λi) = �Piψ�2 .

1.1.3 3e axiome : réduction du paquet d’ondeLa mesure d’une observable transforme l’état du système. Si l’on effectue une mesure

de X quand l’état du système est |ψ�, et que cette mesure vaut λi alors l’état du systèmedevient

|ψ�� = Pi|ψ��Piψ� .

Remarque. Supposons que λi soit le résultat d’une première mesure de X, l’état du systèmedevient alors |ψ�� = Pi|ψ�

�Piψ� . Comme PiPj = δijPi, une deuxième mesure de X renvoie λi

avec probabilité 1. De plus, l’état du système reste inchangé suite à cette mesure.Exemple 1.1. Dans l’exemple suivant, nous illustrons le fait que l’ordre dans lequel lesmesures sont effectuées est important. Soit H = C2 muni de la base canonique (e1, e2).Supposons que l’état du système est |ψ� = e1 et considérons les observables

X = |e1��e1| + 2|e2��e2| = P1 + 2P2

et

Y = |e1��e2| + |e2��e1| =����e1 + e2

2

��e1 + e2

2

���� −����e1 − e2

2

��e1 − e2

2

���� = Q1 − Q2 .

On réalise deux expériences : dans la première on effectue une mesure de X puis unemesure de Y ; dans la deuxième l’ordre des mesures est inversé.

1. Si on obtient 1 lors d’une mesure de X et si ensuite on obtient 1 lors d’une mesurede Y , alors le système devient

|ψ�� = Q1P1|ψ��Q1P1ψ� =

����1√2

(e1 + e2)�

.

2. Si on obtient 1 lors d’une mesure de Y et si ensuite on obtient 1 lors d’une mesurede X, alors le système devient

|ψ�� = P1Q1|ψ��P1Q1ψ� = |e1� .

On vient d’illustrer le fait suivant : lorsque l’on effectue une mesure de X et une mesurede Y alors l’ordre dans lequel les mesures sont effectuées est important. Ce phénomène peutêtre observé dès lors que les projecteurs spectraux des observables X et Y ne commutentpas.

1.1.4 4e axiome : évolution temporelle du systèmeSoit H l’observable qui représente l’énergie totale du système. Cette observable est

communément appelée hamiltonien et contrôle la façon dont le système évolue en fonctiondu temps. La dynamique de l’état du système à l’instant t est régie par

d|ψt� = −iH|ψt�dt .

5

L’équation ci-dessus est appelée l’équation de Schrödinger. On pose Ut = e−itH pour tout tpositif. Notons que (Ut)t∈R forme un groupe d’opérateurs unitaires sur H. Si l’état initialdu système est |ψ0�, alors l’état du système à l’instant t est

|ψt� = Ut|ψ0� .

Cette formulation concerne l’évolution des états du système H, elle est appelée représen-tation de Schrödinger.

Il existe une autre approche pour la dynamique : la représentation d’Heisenberg. Danscette représentation équivalente, ce sont les observables qui évoluent dans le temps et nonl’état du système. Si X désigne une observable, son évolution au cours du temps est donnéepar

Xt = U∗t XUt .

Toutefois, nous utiliserons uniquement par la suite la représentation de Schrödinger. Nousavons décrit les axiomes de la mécanique quantique pour des systèmes fermés. Dans lasection suivante, nous généralisons ces axiomes dans le cadre des systèmes ouverts.

1.2 Système quantique ouvertLes modèles de cette thèse sont motivés par des situations physiques dans lesquelles

un système quantique est en interaction avec un environnement extérieur (bain de chaleur,laser, ...). La complexité de l’environnement ne permet pas d’avoir accès à toutes les donnéesdu système global. On dit qu’un système est ouvert lorsqu’il subit une influence d’unsystème quantique extérieur et fermé dans le cas contraire. Le lecteur pourra consulter lesouvrages [AJP06, BP02, Dav76] pour obtenir plus de détails sur les systèmes quantiquesouverts.

1.2.1 Système coupléDans la suite, nous allons considérer un système quantique constitué de deux sous-

systèmes quantiques. Pour cela, nous aurons besoin de la notion de produit tensoriel.

Définition - Proposition 1.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert séparables. Soientφ ∈ H1 et ψ ∈ H2. On note φ ⊗ ψ la forme biantilinéaire sur H1 × H2 donnée par

φ ⊗ ψ (φ�, ψ�) = �φ�, φ� × �ψ�, ψ� .

On note E l’ensemble des combinaisons linéaires finies de formes biantilinéaires de lasorte. Si on considère E muni de la forme sesquilinéaire suivante :

�φ ⊗ ψ, φ� ⊗ ψ��E = �φ, φ�� × �ψ, ψ�� ,

alors (E, �., .�E) est un espace préhilbertien. On note H1 ⊗H2 son complété que l’on appelleproduit tensoriel de H1 et de H2.

Si les espaces d’états sont respectivement H et K, alors l’espace d’états du systèmequantique bipartite est le produit tensoriel :

H ⊗ K .

Définition 1.1. On dit qu’un état |Ψ� du système de H ⊗ K est :� séparable s’il existe |φ� et |ψ� états de H et K respectivement, tels que |Ψ� = |φ�⊗|ψ�.� intriqué sinon.

6

Remarque. Si l’état du système H⊗K est séparable alors une mesure sur le second systèmen’altère pas l’état du premier système. Pour un système dans un état intriqué, ce n’est plusle cas. On illustre ce fait dans l’exemple suivant.Exemple 1.2. Soient H et K deux espaces de Hilbert tels que H = K = C2 et soit (e1, e2)une base orthonormale de C2. Alors

1√2

|e1� ⊗ |e1� + 1√2

|e2� ⊗ |e2�

est un état intriqué de H ⊗ K. La mesure de l’observable

X = I ⊗ (|e1��e1| + 2|e2��e2|)

renvoie 1 (resp. 2) avec probabilité 12 et l’état du système devient |e1�⊗|e1� (resp. |e2�⊗|e2�).

La mesure effectuée sur K affecte l’état sur le système H.

Nous pouvons à présent considérer les systèmes bipartites, ces systèmes sont fondamen-taux dans la description des systèmes quantiques ouverts.

1.2.2 Trace partielleNotre but est d’introduire le moyen de décrire un système quantique H à partir de la

description du système H⊗K. Pour cela nous aurons besoin de la notion de trace partielle.Pour un espace de Hilbert séparable H, on note I1(H) l’espace vectoriel normé des

opérateurs à trace sur H muni de la norme �.�1 où �.�1 = Tr(|.|). Pour tout g dans unespace de Hilbert séparable K, on définit l’opérateur borné

|g�K : H → H ⊗ Kf �→ f ⊗ g .

Cet opérateur admet pour adjoint K�g| qui est l’unique opérateur borné sur H⊗K à valeursdans H tel que

K�g|(u ⊗ v) = �g, v�u ,

pour tout u ∈ H et v ∈ K.

Définition - Proposition 1.2. Soient H et K deux espaces de Hilbert séparables et T ∈I1(H ⊗ K). Alors pour toute base orthonormale (gn)n de K, la série

�

nK�gn| T |gn�K

est �.�1-convergente et ne dépend pas de la base choisie. On définit ainsi l’opérateur

TrK : I1(H ⊗ K) → I1(H)T �→

�

nK�gn| T |gn�K .

Pour T ∈ I1(H ⊗ K), il s’avère que TrK(T ) est l’unique opérateur à trace sur H qui vérifie

Tr(TrK(T )X) = Tr(T (X ⊗ I)) ,

pour tout X ∈ B(H).

Énonçons maintenant quelques propriétés de la trace partielle.

Proposition 1.1. Les propriétés suivantes sont vérifiées.

7

1. L’application T �→ TrK(T ) est une application linéaire de I1(H ⊗ K) dans I1(H).2. Si T = X ⊗ Y , avec X ∈ I1(H) et Y ∈ I1(K) alors

TrK(T ) = Tr(Y )X .

3. Pour tout T ∈ I1(H ⊗ K),Tr(TrK(T )) = Tr(T ) .

4. Pour tout T ∈ I1(H ⊗ K) et tout X ∈ B(H),Tr(T (X ⊗ I)) = TrK(T )X .

La section suivante permet, grâce à la trace partielle, de décrire H à partir de la des-cription du système H ⊗ K.

1.2.3 Matrices densitéConsidérons un système quantique bipartite H⊗K où H est le système d’étude et K est

l’environnement extérieur. Malheureusement, l’état |Ψ� du système global H⊗K n’est sou-vent pas accessible car l’environnement est par exemple trop complexe. Néanmoins, nousallons définir un opérateur ρ sur H permettant d’obtenir toutes les données souhaitées surle système étudié H.

Afin d’effectuer une mesure d’une observable X de H, nous devons considérer l’obser-vable X ⊗ I de H ⊗ K. On notera à nouveau Pi les projecteurs orthogonaux sur les sousespaces propres de X. Si |Ψ� est l’état du système de H ⊗ K, alors

P(observer λi) = �Ψ, (Pi ⊗ I)Ψ�= Tr(|Ψ��Ψ|(Pi ⊗ I))= Tr(TrK(|Ψ��Ψ|)Pi)= Tr(ρPi) avec ρ = TrK(|Ψ��Ψ|) .

La connaissance complète de |Ψ� n’est pas nécessaire : la connaissance de ρ est suffisante.En effet, si ρ est connu, on peut calculer toutes les probabilités associées à la mesure d’uneobservable X de H.

On souhaite maintenant caractériser les opérateurs ρ construits comme ci-dessus. Lelecteur trouvera la démonstration du théorème suivant dans [CTDLC79, Att17].Théorème 1.1. Soit ρ un opérateur sur un espace de Hilbert séparable H. Les propositionssuivantes sont équivalentes :

1. Il existe un espace de Hilbert séparable K et un vecteur unitaire Ψ ∈ H ⊗ K tels queρ = TrK(|Ψ��Ψ|).

2. L’opérateur ρ est autoadjoint, positif et de trace égale à 1.Dans ce cas là, l’opérateur ρ est appelé matrice densité.

Le théorème ci-dessus permet de généraliser les axiomes de base au cas des systèmesquantiques ouverts. On explicite cette généralisation dans ce qui suit.

1.2.4 1er axiome étendu : les étatsUn état quantique sur un espace de Hilbert séparable H est un opérateur ρ auto-adjoint

positif de trace 1. De tels opérateurs sont appelés matrices densité. Il existe alors une basehilbertienne (ei)i de H telle que ρ = �

i λi|ei��ei| avec λi ≥ 0 et �i λi = 1. L’ensemble de

toutes les matrices densité de H est noté S(H).Le cas où ρ = |Ψ��Ψ|, avec Ψ ∈ H de norme 1, correspond au cas où H est un système

quantique isolé. Dans ce cas là, on dira que ρ est un état pur.Par ailleurs, on dit qu’un état strictement positif est fidèle.

8

1.2.5 2e axiome étendu : mesure des observablesSoient H un système quantique dans l’état ρ et X une observable de H telle que

X =q�

i=1λiPi ,

où Pi sont les projecteurs orthogonaux sur les sous espaces propres. Alors si le système estdans l’état ρ, la mesure de X prend la valeur λi avec probabilité Tr(ρPi). On notera

P(observer λi) = Tr(ρPi) .

1.2.6 3e axiome étendu : réduction du paquet d’ondeVoyons comment le postulat de la réduction du paquet d’onde est modifié lorsque l’on

considère les systèmes quantiques ouverts.3e axiome étendu. Soient H un système quantique et X une observable de H telle que

X =q�

i=1λiPi avec Pi les projecteurs orthogonaux sur les sous espaces propres.

Si on effectue une mesure de X et que cette mesure vaut λi alors l’état du système devient

ρ� = PiρPi

Tr(ρPi).

1.2.7 4e axiome étendu : évolution temporelle du systèmeLe postulat de l’évolution temporelle du système est lui aussi modifié lorsqu’on considère

les systèmes quantiques ouverts.4e axiome étendu. Si un système quantique H est dans un état initial ρ0 et si l’on noteH l’hamiltonien du système, alors l’état du système vérifie l’équation différentielle suivantedite de Liouville :

dρt = −i [H, ρt] dt .

L’évolution du système est donc de la forme :ρt = Utρ0U∗

t ,

où Ut = e−itH pour tout t positif.Remarque. On considère un modèle complet d’interaction en introduisant l’hamiltonien HI

qui agit sur le produit tensoriel ; l’hamiltonien total d’interaction HH⊗K est décrit parHH⊗K = HH ⊗ I + I ⊗ HK + HI ,

où HH et HK sont les hamiltoniens respectifs de H et K. Définissons alors une familled’opérateurs unitaires (Ut)t≥0 par Ut = e−itHH⊗K . L’évolution des états du produit tensorielH ⊗ K est donc donnée par

ρt = Utρ0Ut .

La description de l’évolution sur H est obtenue à l’aide de la trace partielleρt = TrK(ρt) .

Le processus (ρt)t≥0 construit ci-dessus ne vérifie pas une équation différentielle de Liouvillecontrairement au processus (ρt≥0).

Finalement, comme un système quantique n’est jamais isolé, nous adopterons la descrip-tion suivante d’un système quantique (ouvert ou non) : un système quantique est modélisépar un espace de Hilbert séparable H tel que les différents états du système sont représentéspar des matrices densité.

9

1.3 Interaction et évolution : cas discretDans cette section, nous définissons un cadre suffisamment général permettant de dé-

crire l’évolution d’un système quantique ouvert durant un laps de temps τ . Ce type d’évo-lution modélise de nombreuses situations physiques dans lesquelles le système que l’oncherche à étudier est en interaction avec un environnement extérieur. On verra que lesapplications permettant de décrire l’évolution des systèmes quantiques ouverts durant uncertain laps de temps admettent une écriture spécifique due à Kraus [Kra83]. Le Chapitre2 sur les marches quantiques ouvertes discrètes s’inspire des modèles présentés ci-dessous.

1.3.1 Canal quantiqueRappelons le cadre des systèmes quantiques ouverts. On étudie deux systèmes quan-

tiques interagissant entre eux, que l’on note H et K respectivement. L’analyse présentéedans cette section se limitera au cas discret. On s’intéresse à l’évolution de ces deux sys-tèmes durant un laps de temps τ . Ainsi, si l’hamiltonien du système couplé H ⊗ K est notéHH⊗K alors l’évolution du système est donnée par l’opérateur unitaire

U = e−iτHH⊗K .

Par ailleurs, tout unitaire de H ⊗ K peut s’écrire sous la forme ci-dessus pour un certainhamiltonien de H ⊗ K.

Toute transformation de l’état d’un système quantique H est obtenue comme suit.— Le système quantique H, d’état initial ρ, est couplé à un autre système quantique

K d’état ω. L’état du système global H ⊗ K est donc ρ ⊗ ω.— Les deux systèmes quantiques interagissent pendant un laps de temps τ via l’opéra-

teur unitaire d’évolution U. Après l’interaction, l’état du système sur H⊗K devientU(ρ ⊗ ω)U∗.

— Le système K est délaissé, l’état du système sur H est alors donné par

TrK(U(ρ ⊗ ω)U∗) .

En raison de ces différents éléments, nous nous intéresserons aux canaux quantiquesdéfinis ci-dessous.

Définition 1.2. Soit H un espace de Hilbert séparable. On appelle canal quantique touteapplication linéaire T de la forme :

T : I1(H) −→ I1(H)ρ �−→ TrK(U(ρ ⊗ ω)U∗) ,

où I1(H) est l’ensemble des opérateurs à trace sur H, K un espace de Hilbert séparable, ωun état sur K et U un opérateur unitaire sur H ⊗ K.

Un canal quantique représente l’archétype d’une évolution discrète d’un système quan-tique bipartite. La section suivante expose une autre écriture possible pour un canal quan-tique.

1.3.2 Représentation de KrausNous allons voir dans cette partie que les canaux quantiques admettent une écriture

spécifique qui fait intervenir uniquement des opérateurs sur H. Cette écriture présentel’avantage de ne plus expliciter le système quantique auxiliaire K.

10

Théorème 1.2 (Représentation de Kraus [Kra83]). Soient H et K deux espaces de Hilbertséparables. Soient U un opérateur unitaire sur H ⊗ K et ω un état sur K. Soit T le canalquantique tel que

T (X) = TrK(U(X ⊗ ω)U∗)

pour tout X ∈ I1(H). Alors il existe une famille dénombrable (Mi)i∈I d’opérateurs bornéssur H vérifiant �

i∈I

M∗i Mi = I

où la série ci-dessus est �.�∞-convergente, telle que

T (X) =�

i∈I

MiXM∗i (1.1)

pour tout X ∈ I1(H), où la série ci-dessus est �.�1-convergente.

Le théorème ci-dessus nous permet d’obtenir la définition suivante.

Définition 1.3. La décomposition (1.1) d’un canal quantique T est appelée décompositionde Kraus du canal quantique.

Il existe également une réciproque du Théorème 1.2, que l’on énonce dans le théorèmeci-dessous.

Théorème 1.3 (Stinespring [Sti55]). Soit H un espace de Hilbert séparable. Soit T uneapplication linéaire sur I1(H) de la forme

T (.) =�

i∈I

Mi . M∗i

où Mi sont des opérateurs bornés sur H qui vérifient�

i∈I

M∗i Mi = I ,

au sens de la convergence forte. Alors il existe un espace de Hilbert séparable K, unefonction d’onde ψ sur K et un opérateur unitaire U sur H ⊗ K tels que

T (X) = TrK(U(X ⊗ |ψ��ψ|)U∗)

pour tout X ∈ I1(H).

Toute application de la forme (1.1) est alors un canal quantique. Illustrons sur unexemple comment obtenir la décomposition de Kraus pour un canal quantique spécifique.Exemple 1.3. On exhibe ici un exemple pour lequel on trouve facilement une décompositionde Kraus d’un canal quantique. Posons H un espace de Hilbert séparable, K = Cp, |ψ� unefonction d’onde de K et U unitaire sur H ⊗ K. Considérons le canal quantique suivant

T : I1(H) −→ I1(H)X �−→ TrK(U(X ⊗ |ψ��ψ|)U∗) .

On pose BK = (f1, f2, ..., fp) base orthonormale de K telle que f1 = ψ. L’opérateur unitaireU de H ⊗ K peut s’écrire par blocs

U =p�

i,j=1Uij ⊗ |fi��fj |

11

où Uij ∈ B(H) pour tout 1 ≤ i, j ≤ p. On obtient alors directement

T (X) = TrK(U(X ⊗ |ψ��ψ|)U∗)

= TrK

p�

i,j=1Uij ⊗ |fi��fj |

(X ⊗ |ψ��ψ|)

p�

k,l=1U∗

kl ⊗ |fl��fk|

= TrK

p�

i,k=1Ui1XU∗

k1 ⊗ |fi��fk|

=p�

i=1Ui1XU∗

i1

pour tout X ∈ I1(H). Le fait que U soit un opérateur unitaire entraîne quep�

i=1U∗

i1Ui1 = I .

On a donc une formule explicite pour la décomposition de Kraus de notre canal quantique.La décomposition de Kraus existe pour des applications plus générales, plus parti-

culièrement pour les applications complètement positives. Définissons à présent ce typed’applications.

1.3.3 Applications complètement positivesNotre but est de caractériser mathématiquement la transformation la plus générale que

puisse subir un état quantique d’un système quantique H. Une transformation T de la sortedoit impérativement respecter les propriétés suivantes :

1. T est linéaire de I1(H) dans I1(H) .2. T préserve la positivité.3. T préserve la trace.

De plus, la deuxième propriété peut être renforcée. En effet, si l’on considère un systèmeauxiliaire K qui n’interagit pas avec H, on souhaite que l’application T = T ⊗ I, qui estl’extension naturelle de T sur H ⊗ K, soit toujours une transformation d’états quantiques.Les première et troisième propriétés vérifiées par T sont aussi verifiées pour T . Cependant,le fait que T préserve la positivité n’implique pas que T la préserve (voir Contre-exemple1.1). Pour cela, il faut supposer que T est complètement positive, on définit donc cettenotion ci-dessous.

Définition 1.4. Soit T un opérateur sur I1(H) où H est un espace de Hilbert séparable.Soit n ∈ N∗, l’opérateur T (n) = T ⊗ In sur I1(H) ⊗ Mn(C) est défini par

T (n)

n�

i,j=1Aij ⊗ |ei��ej |

=

n�

i,j=1T (Aij) ⊗ |ei��ej | ,

où (ei)i=1,...,n est la base canonique de Cn et Ai,j ∈ I1(H) pour tout 1 ≤ i, j ≤ n.

Un opérateur T est dit :� n-positif si l’opérateur T (n) est positif.� complètement positif si l’opérateur T est n-positif pour tout n ∈ N∗.

12

On s’intéressera donc aux applications T : I1(H) → I1(H) qui sont linéaires, com-plètement positives et qui préservent la trace. Ces applications sont dites CPTP pour"Completely Positive and Trace Preserving". Une telle application est l’archétype de latransformation que peut subir un état quantique.

Dans l’exemple qui suit, nous donnons une application positive qui n’est pas complète-ment positive.Contre-exemple 1.1. Soit H = C2 muni de la base canonique (e1, e2). L’application

T : M2(C) → M2(C)

qui à tout opérateur associe sa transposée est clairement 1-positive (c’est-à-dire positive)mais n’est pas 2-positive. En effet,

A = |e1��e1| ⊗ |e1��e1| + |e1��e2| ⊗ |e1��e2| + |e2��e1| ⊗ |e2��e1| + |e2��e2| ⊗ |e2��e2|= |e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2��e1 ⊗ e1 + e2 ⊗ e2|

est un opérateur positif. Cependant, son image par T (2) = T ⊗ I2 ci-dessous

T (2)(A) = |e1��e1| ⊗ |e1��e1| + |e2��e1| ⊗ |e1��e2| + |e1��e2| ⊗ |e2��e1| + |e2��e2| ⊗ |e2��e2|= |e1 ⊗ e1��e1 ⊗ e1| + |e2 ⊗ e1��e1 ⊗ e2| + |e1 ⊗ e2��e2 ⊗ e1| + |e2 ⊗ e2��e2 ⊗ e2|

n’est pas positive car si on pose x = 1√2 (e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1), alors

�x|T (2)(A)|x� = −1 .

On énonce maintenant le théorème de Kraus qui lie les canaux quantiques et les appli-cations complètement positives qui préservent la trace. Le théorème de Kraus résulte duthéorème de Stinespring ([Sti55]).

Théorème 1.4 (Théorème de Kraus [Kra83]). Soient H un espace de Hilbert séparable etT une application linéaire de I1(H) dans I1(H) telle que T ∗ soit σ-faiblement continue.Alors T est complètement positive et préserve la trace si et seulement si T est de la forme

T (.) =�

i∈I

Mi . M∗i

où Mi sont des opérateurs bornés sur H qui vérifient�

i∈I

M∗i Mi = I ,

au sens de la convergence forte.

Nous avons à présent défini les objets nécessaires pour expliquer le principe de mesuresquantiques répétées.

1.4 Mesures quantiques répétéesDans ce modèle, l’environnement qui interagit avec le système H est constitué d’une

chaîne infinie de systèmes quantiques. On suppose que ces systèmes quantiques sont descopies indépendantes d’un système K.

Chaque copie interagit avec H pendant un intervalle de temps. Lorsqu’une copie aterminé son interaction, on effectue une mesure sur cette copie. On la considère ensuiteisolée de l’expérience, et la copie suivante vient interagir avec H et ainsi de suite.

Avant d’étudier le cadre général des mesures quantiques répétées, nous verrons pourquoila mesure est effectuée sur un système auxiliaire et non sur le système H directement.

13

1.4.1 Effet Zénon quantiqueDans cette section, nous montrerons l’intérêt d’un principe d’interactions pour étudier

l’évolution d’un système quantique. On va montrer qu’un système quantique soumis à unesuccession de mesures très rapprochées n’évolue pas dans le temps. Le système est alorsfigé, on parle dans ce cas d’effet Zénon quantique. Nous illustrons ici l’effet Zénon quan-tique 1 à l’aide d’un exemple simple.

Soit H = C2 un système quantique dans l’état

ρ0 =�

1 00 0

�.

On suppose que l’hamiltonien du système est

H = 12

�1 11 1

�.

On réalise une expérience qui consiste, durant un laps de temps T , à effectuer n mesuresà intervalles réguliers de l’observable

X =�

1 00 2

�.

On note P1 et P2 les projecteurs spectraux de X,

P1 =�

1 00 0

�et P2 =

�0 00 1

�.

L’état du système à l’instant Tn est égal à

ρ Tn

= e−i Tn

Hρ0 ei Tn

H =�

1 00 0

�+ i T

2n

�0 1

−1 0

�+ T 2

4n2

�−1 00 1

�+ ◦

� 1n2

�.

La mesure à l’instant Tn renvoie donc 1 avec probabilité

Tr�P1 ρ T

nP1

�= 1 − T 2

4n2 + ◦� 1

n2

�

et dans ce cas là, l’état du système devient�

1 00 0

�.

Dans le cas où la mesure renvoie effectivement 1, le système est alors dans l’état d’origine.

Le même raisonnement nous permet d’obtenir la probabilité que les n mesures auxinstants T

n , 2Tn , ..., (n−1)T

n et T renvoient toutes 1. Cette probabilité est égale à�

1 − T 2

4n2 + ◦� 1

n2

��n

= e− T 24n

+◦( 1n ) .

Quand le nombre de mesures tend vers l’infini, la probabilité que toutes les mesures ren-voient 1 tend vers 1. De plus, la probabilité que l’état du système à l’instant T soit égal

1. Voir [Kra81, IHBW90, BS92].

14

à ρ0 tend vers 1. Si on effectue un "grand" nombre de mesures, alors l’état du système estfigé. C’est ce qu’on appelle l’effet Zénon quantique.

En conséquence, pour pouvoir étudier une dynamique significative, on fait interagirle système H que l’on veut étudier avec un autre système K. On effectue ensuite unemesure sur K afin d’extraire de l’information sur H. La section suivante sur les trajectoiresquantiques s’inspire de cette manipulation.

1.4.2 Trajectoires quantiques discrètes

Cette partie est dédiée à la description du principe de mesures quantiques répétées.Ces mesures successives donnent lieu à des processus que l’on appellera "trajectoires quan-tiques". Dans la Section 2.4, nous étudions spécifiquement les trajectoires quantiques asso-ciées aux marches quantiques ouvertes.

Exposons très succinctement l’expérience effectuée. On couple notre système d’étudeH avec K1 une copie d’un système K. Ces deux systèmes interagissent puis on mesure lesystème K1, la réduction du paquet d’onde donne un nouvel état de H ⊗ K1. Ensuite, onconsidère le système K1 isolé de l’expérience, on récupère uniquement l’état sur H. Cenouvel état de H est alors couplé avec une nouvelle copie de K, et ainsi de suite.

On étudie maintenant ce procédé plus en détail. On considère une interaction entreun système quantique H et une chaîne infinie de copies d’un système quantique K dedimension finie. On note (fi)i∈{1,...,p} une base orthonormale de K. Pour tout n ∈ N∗,Kn � K correspond à la n-ième copie de K. On pose U l’opérateur unitaire qui décritl’interaction entre H et Kn. On peut écrire U par blocs :

U =p�

i,j=1Uij ⊗ |fi��fj |

où Uij ∈ B(H) pour tout 1 ≤ i, j ≤ p.

Hypothèses :On suppose, que chaque système quantique Kn est dans l’état |f1��f1| et que l’observableX de Kn est diagonale dans la base (fi)i∈{1,...,p}, donc de la forme

X =p�

i=1λiPi

où λi est une valeur propre de projecteur spectral Pi = |fi��fi| pour tout i dans {1, ..., p}.Remarque. Ces hypothèses peuvent être relaxées (voir [BJPP18]), néanmoins ce cas spé-cifique présente l’avantage d’obtenir des écritures plus simples et de motiver les modèlesprésentés dans la Section 2.4 sur les marches quantiques ouvertes.

On note ρ l’état initial de H,

Interaction :Le système H interagit avec le système K1. L’état du système H ⊗ K1 après l’interactionest donc

U(ρ ⊗ |f1��f1|)U∗ =p�

i=1Ui1ρU∗

i1 ⊗ |fi��fi| .

15

Mesure :On mesure l’observable

I ⊗ X =p�

i=1λi(I ⊗ Pi) .

La mesure renvoie λi avec probabilité

Tr((I ⊗ Pi)U(ρ ⊗ |f1��f1|)U∗) = Tr(Ui1ρU∗i1) .

Notons que la somme des probabilités ci-dessus vaut bien 1 grâce à la relation suivante :p�

i=1U∗

i1Ui1 = I .

Après l’observation de λi, l’état de H ⊗ K1 est modifié et devient

ρ1(i) = (I ⊗ Pi)U(ρ ⊗ |f1��f1|)U∗(I ⊗ Pi)Tr((I ⊗ Pi)U(ρ ⊗ |f1��f1|)U∗) = Ui1ρU∗

i1Tr (Ui1ρU∗

i1) ⊗ |fi��fi| .

Récupération de l’état sur H :On récupère l’état ρ1(i) du système H par l’intermédiaire de la trace partielle :

ρ1(i) = TrK1(ρ1(i)) = Ui1ρU∗i1

Tr (Ui1ρU∗i1) .

On répète ensuite cette manipulation (interaction-mesure-récupération) avec la copieK2 et ainsi de suite.

Après chaque interaction, le résultat de la mesure de la copie Kn entraîne une modi-fication aléatoire de H. Cet aléa est régi par les mesures de probabilité Pn

ρ où ρ est l’étatinitial du système. Plus particulièrement, on définit Pn

ρ sur P({1, ..., p}n) telle que

Pnρ ((i1, ..., in)) = Tr(Uin1 ... Ui11 ρ U∗

i11 ... U∗in1)

pour tout n ∈ N et (i1, ..., in) ∈ {1, ..., p}n. Notons que la famille des mesures de probabilité�Pn

ρ

�n≥0

est consistante. En effet, grâce à la relationp�

i=1U∗

i1Ui1 = I, on a Pn+1ρ (E) = Pn

ρ (E)

pour tout n ∈ N et E ∈ P({1, ..., p}n). Alors le théorème de consistance de Kolmogorov(voir [Øks03] pour une preuve) nous permet d’étendre

�Pn

ρ

�n≥0

à une unique mesure deprobabilité Pρ sur ({1, ..., p}N, P({1, ..., p}N)).

L’espace probabilisé ({1, ..., p}N, P({1, ..., p}N),Pρ) représente l’ensemble des résultatsde mesures effectuées sur les systèmes auxiliaires. A chaque suite de résultats de mesures,on associe une trajectoire quantique discrète qui est la suite des états successifs de H. Onpeut maintenant énoncer la proposition qui définit les trajectoires quantiques.

Proposition 1.2. Soit H un système quantique d’état initial ρ et K un système quantiquede dimension p ∈ N∗. La trajectoire quantique discrète (ρn)n∈N est l’ensemble des variablesaléatoires définies sur ({1, ..., p}N, P({1, ..., p}N),Pρ) à valeurs dans les états de H telles que

ρn(i1, ..., in) =Uin1 ... Ui11 ρ U∗

i11 ... U∗in1

Tr(Uin1 ... Ui11 ρ U∗i11 ... U∗

in1)

pour tout n ∈ N, (i1, ..., in) ∈ {1, ..., p}n et Ui1 ∈ B(H) pour tout i ∈ {1, ..., p} tels quep�

i=1U∗

i1Ui1 = I .

16

La trajectoire quantique (ρn)n∈N est une chaîne de Markov telle que

Pρ

�ρn+1 = Ui1θU∗

i1Tr (Ui1θU∗

i1)

����� ρn = θ

�= Tr(Ui1θU∗

i1) ,

pour tout n ∈ N et i ∈ {1, ..., p} .

Remarque. Si ρ0 est un état pur alors ρn est un état pur pour tout n ∈ N.Après avoir présenté le modèle discret, détaillons le modèle continu.

1.5 Interaction et évolution : cas continuNous avons vu dans la Section 1.3 que la transformation la plus générale d’un système

quantique ouvert est donnée par une application complètement positive. Dans cette section,on va s’intéresser aux semi-groupes d’applications complètement positives qui représententles transformations communes que subit un état quantique au cours du temps. Cela per-mettra de dresser le cadre décrivant l’évolution continue d’un système quantique ouvert Het de motiver le Chapitre 3 sur les marches quantiques ouvertes à temps continu.

Le théorème suivant décrit entièrement les semi-groupes d’évolution d’un système quan-tique ouvert.

Théorème 1.5 (Lindblad [GKS76, Lin76, Reb96]). Soient H un espace de Hilbert séparableet (Tt)t≥0 un semi-groupe d’opérateurs sur I1(H). On suppose que :

1. Pour tout t positif, Tt est complètement positif et Tt est faiblement continu.2. L’opérateur T0 = I et Tt préserve la trace pour tout t positif.3. L’application t �→ T ∗

t est fortement continue si l’on munit B(H) de la norme d’opé-rateurs.

Il existe alors un opérateur auto-adjoint borné H et une famille d’opérateurs bornés(Li)i∈I tels que la famille (Tt)t≥0 admet un générateur L de la forme

L(X) = −i[H, X] +�

i∈I

LiXL∗i − 1

2{L∗i Li, X} (1.2)

pour tout X ∈ I1(H) (la série ci-dessus est fortement convergente). On note les opérateurs[X, Y ] = XY − Y X et {X, Y } = XY + Y X pour tout X et Y dans B(H), ces opérateurssont appelés respectivement commutateur et anti-commutateur.

L’évolution d’un système quantique ouvert, traduite par l’évolution de ses états, estdonc donnée par un semi-groupe (Tt)t≥0 qui satisfait Tt = etL. Ainsi, si l’on note ρt l’étatdu système à l’instant t, alors la famille (ρt)t≥0 vérifie l’équation différentielle

dρt

dt= L(ρt) . (1.3)

La formulation de cette équation est due à Gorini, Kossakowski, Sudarshan [GKS76] etLindblad [Lin76]. On l’appelle équation maîtresse ou équation GKSL. L’opérateur L quiagit sur les états s’appelle le lindbladien du système.Remarque. Le lindbladien admet une autre écriture qui nous sera utile par la suite. En effet,cette écriture nous permet d’utiliser le développement de Dyson dans la Section 1.6.1. Sil’on pose

L0 = −iH − 12�

i∈I

L∗i Li

17

(où la série est fortement convergente), alors le lindbladien L défini via l’équation (1.2)peut s’écrire

L(X) = L0X + XL∗0 +

�

i∈I

LiXL∗i pour tout X ∈ I1(H) . (1.4)

On notera K(.) = L0 . + . L∗0 et Φ(.) =

�

i∈I

Li . L∗i de sorte que

L(X) = K(X) + Φ(X) pour tout X ∈ I1(H) . (1.5)

On s’intéresse dorénavant au lien entre les dynamiques discrètes et continues d’un sys-tème quantique ouvert. Plus précisément, le modèle continu est justifié car il peut êtreperçu comme limite du modèle discret ([AP06]). Le prochain théorème stipule que, souscertaines conditions, le générateur discret associé à la dynamique discrète converge vers lelindbladien de la dynamique continue.

Théorème 1.6. Soit n ∈ N∗ le paramètre temporel de l’interaction, on note

T (n)(.) =�

i∈I�0Mi(n) . Mi(n)∗

le canal quantique associé à l’évolution discrète d’un système quantique H. On suppose quela série

�

i∈I�0Mi(n)∗Mi(n) est fortement convergente pour tout n ∈ N∗.

Supposons qu’il existe un opérateur auto-adjoint borné H et une famille d’opérateursbornés (Li)i∈I tels que

�

i∈I

L∗i Li converge fortement et tels que

1. M0(n) = I − 1n(iH + 1

2�

i∈I

L∗i Li) + ◦

� 1n

�,

2. limn→+∞

�

i∈I

�√nMi(n) − Li�2

∞ = 0.

Alors, pour tout X ∈ I1(H),

limn→+∞

���n�T (n)(X) − X

�− L(X)

���1

= 0

oùL(X) = −i[H, X] +

�

i∈I

LiXL∗i − 1

2{L∗i Li, X} .

Après avoir défini la dynamique d’un état soumis à des interactions répétées continues,on s’intéresse à l’évolution de l’état lorsque des mesures sont effectuées de façon continue surle système auxiliaire. Ces évolutions sont données par les trajectoires quantiques continuesqui sont explicitées dans la section suivante.

1.6 Trajectoires quantiques continuesNous allons à présent considérer un système couplé H⊗K où le système auxiliaire K est

soumis à une mesure continue. Dans ce cas, l’évolution aléatoire du système H est décritepar des équations différentielles stochastiques. Ces équations portent le nom d’équationsde Schrödinger stochastiques, équations maîtresses stochastiques ou encore équations deBelavkin ([BPZ98]). Les solutions de ces équations sont appelées trajectoires quantiquescontinues ; elles décrivent l’évolution de l’état du système H.

18

Les trajectoires quantiques ont été originellement introduites par Davies ([Dav76]). Il anotamment décrit l’évolution d’un atome en présence d’un compteur de photons grâce à deséquations différentielles stochastiques obtenues de façon informelle. Plus tard, ces équationsseront justifiées grâce à la théorie du filtrage quantique ([Bar06, BL05, BGM04, BVHJ07]).Néanmoins les outils employés dans ces articles sont complexes : algèbre de Von Neumann,espace de Fock, probabilité quantique, etc. C’est pourquoi, plus récemment, une approcheplus intuitive mais tout aussi rigoureuse a été exploitée. Cette approche consiste à décrireles modèles continus à partir de limites de modèles concrets basés sur des approximationsdiscrètes ([AP06, BBB13, BBB12, Pel10a, Pel10b]).

Dans cette section, nous allons étudier deux approches différentes pour définir les tra-jectoires quantiques continues, puis nous verrons que ces trajectoires peuvent être obtenuescomme limite de trajectoires quantiques discrètes. Dans la Section 3.5, nous étudierons lestrajectoires quantiques associées aux marches quantiques ouvertes.

1.6.1 Mesure sur les trajectoires quantiques

Le but de cette partie est de construire un espace probabilisé permettant de définir lestrajectoires quantiques continues.

À présent et jusqu’à la fin de ce chapitre, les systèmes quantiques considérés sont dedimension finie.

Soit H un système quantique de lindbladien

L(.) = K(.) +�

i∈I

Φi(.)

où I est un ensemble fini (car dim(H) < ∞). Commençons par définir l’ensemble Ξ t destrajectoires quantiques jusqu’au temps t de la manière suivante

Ξt = �n∈N

Ξtn

oùΞt

n := {ξ = (i1, ..., in, t1, ..., tn) ∈ In × Rn, 0 < t1 < ... < tn < t} .

On munit l’espace Ξ tn de la σ-algèbre Σt

n et de la mesure νtn induite par l’application

suivante

Jn :�In × [0, t)n, P(In) × B ([0, t)n) , δn × 1

n!λn

�→ �

Ξtn, Σt

n, νtn

�

(i1, ..., in, s1, ..., sn) �→ (i1, ..., in, smin, ..., smax)

où δ est la mesure de comptage sur I et λn est la mesure de Lebesgue sur [0, t)n équipéede la tribu borélienne B ([0, t)n). On définit la σ-algèbre Σt = σ(Σt

n, n ∈ N). Les mesures δet λn sont σ-finies, on peut donc appliquer le théorème d’extension de Carathéodory 2 quinous permet de définir la mesure νt sur (Ξt, Σt) telle que νt = νt

n sur (Ξtn, Σt

n). L’espaceΞt des trajectoires quantiques est donc un espace mesuré.

Pour tout état initial ρ ∈ S(H), on définit la mesure Ptρ sur l’espace Ξt des trajectoires

quantiques jusqu’au temps t telle que, pour tout E ∈ Σt,

Ptρ(E) =

�

ETr (Wt,ξ (ρ)) dνt(ξ)

2. Voir [Doo12] pour une preuve.

19

où ξ = (i1, ..., in, t1, ..., tn) ∈ Ξtn et

Wt,ξ (ρ) = e(t−tn)KΦin ... Φi1et1K(ρ) .

La mesure Ptρ est une mesure de probabilité. En particulier, grâce au développement de

Dyson, on obtient :

etL(ρ) =∞�

n=0

�

(i1,...in)∈In

�

0<t1<...<tn<te(t−tn)K Φin ... e(t2−t1)K Φi1 et1K(ρ)dt1...dtn .

D’oùPt

ρ(Ξt) = Tr�etL(ρ)

�= 1 .

On peut aller plus loin et définir une mesure de probabilité Pρ sur l’ensemble des trajec-toires quantiques. Notons que la famille des mesures de probabilité

�Pt

ρ

�t≥0

est consistante.En effet, Pt+s

ρ (E) = Ptρ(E) pour tout t, s positifs et E ∈ Σt. Alors le théorème de consis-

tance de Kolmogorov 3 nous permet d’étendre�Pt

ρ

�t≥0

à une unique mesure de probabilitéPρ sur (Ξ∞, Σ∞). On peut à présent définir les trajectoires quantiques continues.

Définition 1.5. Soit H un système quantique de dimension finie de lindbladien

L(.) = K(.) +�

i∈I

Φi(.) .

Soit (Ξ∞, Σ∞,Pρ) l’espace probabilisé défini en amont. On considère (ρt)t≥0 la famille devariable aléatoire :

(ρt)t≥0 : (Ξ∞, Σ∞,Pρ) −→ (S(H), T )

ξ �−→ Wt,ξ∩[0,t) (ρ)

Tr�Wt,ξ∩[0,t) (ρ)

�

t≥0

où ρ est l’état initial du système, T est la tribu induite de I1(H) sur S(H),

ξ ∩ [0, t) = (i1, ..., in, t1, ..., tn) pour n = max{k|tk < t}

etWt,ξ∩[0,t) (ρ) = e(t−tn)KΦin ... Φi1et1K(ρ) .

On dit que la famille de variables aléatoires (ρt)t≥0 est une trajectoire quantique continue.

Étudions à présent une autre manière de définir les trajectoires quantiques.

1.6.2 Équation de Schrödinger stochastique avec processus de sautOn expose ici une autre façon de définir les trajectoires quantiques continues. Énonçons

tout d’abord un théorème qui garantit l’existence et l’unicité de la solution de l’équationde Schrödinger stochastique avec processus de saut. On dit que cette solution est unetrajectoire quantique continue.

Théorème 1.7 ([BB91, Pel10a]). Soient H un système quantique de dimension finie et Lun opérateur de Lindblad de la forme

L(.) = L0 . + . L∗0 +

�

i∈I

Li . L∗i ,

3. Voir [Øks03] pour une preuve.

20

où Li ∈ B(H) pour tout i ∈ I � 0. Soit (Ω, P,P) un espace de probabilité supportant unefamille de processus de Poisson indépendants (N i)i∈I sur R2 et ρ un état sur H. L’équationdifférentielle stochastique suivante

ρt = ρ +t�

0

L0ρs− + ρs−L∗0 − ρs−Tr(L0ρs− + ρs−L∗

0) ds

+�

i∈I

t�

0

�

R

�Liρs−L∗

i

Tr(Liρs−L∗i ) − ρs−

�10<y<Tr(Liρs−L∗

i )Ni(dy, ds) (1.6)

admet une unique solution (ρt)t≥0 à valeurs dans les états sur H.

Remarque. Les deux façons de définir les trajectoires quantiques (Définition 1.5 et Théo-rème 1.7) engendrent le même processus. Tous les détails ne figurant pas ici, le lecteur peutse référer aux articles [BB91, BGM04] pour une justification rigoureuse du lien entre cesdeux approches. Il est toutefois important de noter que l’on peut construire les solutions del’équation différentielle stochastique (1.6) dans l’espace probabilisé (Ξ∞, Σ∞,Pρ). En effet,pour une trajectoire quelconque ξ = (i1, ..., in, t1, ..., tn) de Ξt, considérons le processusde comptage N i(t) qui dénombre les apparitions de i dans ξ. Soit (ρt)t≥0 la trajectoirequantique de la Définition 1.5. Il a été prouvé dans [BB91] que

(N i(t)) et

t�

0

�

R

10<y<Tr(Liρs−L∗i )N

i(dy, ds)

ont la même loi. De plus, on peut montrer que le processus (ρt)t de la Définition 1.5 satisfait

dρt = (L0ρt− + ρt−L∗0 − ρt−Tr(L0ρt− + ρt−L∗

0)) dt

+�

i∈I

�Liρt−L∗

i

Tr(Liρt−L∗i ) − ρt−

�dN i(t) .

Pour ces raisons, une unique notation désigne les trajectoires quantiques de cette sectionet de la section précédente. Toutefois, les trajectoires quantiques continues ont été origi-nellement obtenues comme limites de trajectoires quantiques discrètes.

1.7 Trajectoires quantiques : du discret au continuDans cette partie, nous allons justifier l’introduction des trajectoires quantiques conti-

nues étudiées dans la Section 1.6.2. Il s’avère en effet que les trajectoires quantiques dumodèle discret convergent en loi vers l’unique solution de l’équation de Schrödinger stochas-tique avec processus de saut. Pour montrer cela, nous utiliserons à nouveau les conditionsasymptotiques vues dans le Théorème 1.6.

Rappelons la définition des trajectoires quantiques discrètes (Section 1.4.2) : (ρk)k∈Nest une chaîne de Markov à valeurs dans les états d’un système quantique H de dimensionfinie, telle que

Pρ

�ρk+1 = Ui1(n)θU∗

i1(n)Tr (Ui1(n)θU∗

i1(n))

����� ρk = θ

�= Tr(Ui1(n)θU∗

i1(n)) , (1.7)

pour tout k ∈ N, i ∈ {1, ..., p} et Ui1(n) ∈ B(H) pour tout i ∈ {1, ..., p} et n ∈ N∗ tels quep�

i=1U∗

i1(n)Ui1(n) = I .

21

Conditions asymptotiques :On suppose qu’il existe un opérateur auto-adjoint borné H et une famille d’opérateursbornés (Li)i∈{2,...,p} tels que

U11(n) = I − 1n

�iH + 1

2

p�

i=2L∗

i Li

�+ ◦

� 1n

�(1.8)

et Ui1(n) = 1√n

Li + ◦� 1√

n

�pour tout i ∈ {2, ..., p} . (1.9)

Nous avons maintenant introduit toutes les notations nécessaires pour énoncer le théo-rème qui fait le lien entre les versions discrète et continue des trajectoires quantiques.

Théorème 1.8 (Théorème 14 de [Pel10a]). Soit (Ω, P,P) un espace de probabilité suppor-tant une famille de processus de Poisson indépendants (N i)i∈{2,...,p} sur R2. Soient T > 0,n un entier naturel et (ρ[nt])0≤t≤T la trajectoire quantique discrète définie grâce à l’équation(1.7). Soit (ρt)0≤t≤T la solution de l’équation différentielle stochastique suivante :

ρt = ρ0 +t�

0

L0ρs− + ρs−L∗0 − ρs−Tr(L0ρs− + ρs−L∗

0) ds

+p�

i=2

t�

0

�

R

�Liρs−L∗

i

Tr(Liρs−L∗i ) − ρs−

�10<y<Tr(Liρs−L∗

i )Ni(dy, ds) (1.10)

oùL0 = −

�iH + 1

2

p�

i=2L∗

i Li

�.

Supposons les asymptotiques (1.8) et (1.9), alors la trajectoire quantique discrète (ρ[nt])0≤t≤T

converge en loi vers la trajectoire quantique continue (ρt)0≤t≤T .

Remarque. Dans la Section 1.4.2, nous avons uniquement considéré des trajectoires quan-tiques discrètes associées à une observable diagonale. Pour une observable quelconque,les processus construits comme limites de trajectoires quantiques discrètes sont solutionsd’équations différentielles stochastiques diffusives avec sauts. Nous ne détaillerons pas lecadre diffusif des équations de Schrödinger stochastiques ([Pel08]) car il n’y a pas de termede diffusion pour les marches quantiques ouvertes.

Ceci conclut le premier chapitre dont le but est de motiver les modèles stochastiquesprésentés dans la suite. Nous pouvons à présent étudier les marches quantiques ouvertes.

22

23

24

Chapitre 2

Marches quantiques ouvertes àtemps discret

Sommaire2.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2 Lien avec les chaînes de Markov classiques . . . . . . . . . . . . 282.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiques ou-

vertes homogènes sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

S. Attal, F. Petruccione, C. Sabot et I. Sinayskiy ont introduit un nouveau modèlede marches quantiques sur un graphe ([APSS12]). Ces marches quantiques prennent encompte le comportement des systèmes quantiques ouverts, c’est pourquoi elles sont nom-mées marches quantiques ouvertes. Elles sont les analogues quantiques des chaînes deMarkov classiques. Ces marches ont donné lieu à diverses études théoriques dans les-quelles un théorème central limite et un principe de grandes déviations ont été prouvés([AGPS15, CP15]). Les marches quantiques ouvertes étant des généralisations de marchesaléatoires classiques, Y. Pautrat et R. Carbone ont introduit des notions telles que l’irréduc-tibilité et la période ([CP16b]). Toujours dans l’optique d’étudier les marches quantiquesouvertes en analogie avec les chaînes de Markov, Y. Pautrat, I. Bardet et D. Bernard[BBP17] se sont intéressés à la probabilité de visiter un site donné en temps fini, mais aussiau nombre moyen de visites d’un site. Les résultats sur les marches quantiques ouvertes sontsouvent semblables aux résultats sur les chaînes de Markov classiques. Toutefois, les effetsquantiques engendrent parfois un comportement inhabituel. Le Chapitre 3 concernant lemodèle continu s’inspire de la méthodologie et des résultats présentés ci-dessous.

2.1 Définition du modèle

On se donne V un graphe avec un ensemble fini ou dénombrable de sommets et onconsidère toutes les arêtes orientées {(i, j), i, j ∈ V }. Le but est de construire un analoguequantique d’une marche aléatoire sur V . Pour tout site i dans V , on se donne Hi un espacede Hilbert séparable. Il représente l’espace des degrés internes de liberté associé au pointi. On note S(Hi) l’ensemble des états sur Hi :

S(Hi) = {ρ ∈ B(Hi) | ρ∗ = ρ, ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}.

25

Pour tout i, j dans V , posons Aji ∈ B(Hi, Hj), tels que pour tout i dans V :

�

j∈V

Aj∗i Aj

i = IHi , (2.1)

où la série ci-dessus converge fortement.Comme nous allons le voir, l’opérateur Aj

i représente l’effet issu du passage de i à j.La contrainte ci-dessus doit être interprétée comme "l’ensemble des effets partant du sitei est égal à IHi". On retrouve la même idée que pour les matrices de transitions associéesaux chaînes de Markov : "la somme des probabilités de partir d’un site i est 1".

On pose K = �i∈V

Hi ⊗ |i� et on note D l’ensemble des états diagonaux sur K qui est un

sous ensemble de I1(K) où I1(K) est l’ensemble des opérateurs à trace sur K :

D =�

µ ∈ I1(K), µ =�

i∈V

ρ(i) ⊗ |i��i|, ρ(i) ≥ 0,�

i∈V

tr�ρ(i)

�= 1

�.

On définit aussi M l’application linéaire complètement positive sur I1(K) telle que :

M : I1(K) → I1(K)µ �→

�

i,j∈V

Bji µBj∗

i

oùBj

i = Aji ⊗ |j��i| .

L’opérateur Bji transcrit l’idée que l’on peut passer de i à j, et dans ce cas là, la transfor-

mation sur l’espace d’état interne est régie par Aji . En effet, si

µ = ρ ⊗ |i��i| ,

alorsBj

i µBj∗i = Aj

i ρAj∗i ⊗ |j��j| .

L’application M est une application complètement positive (voir Définition 1.4) qui pré-serve la trace. En effet, soit µ ∈ I1(K),

Tr(M(µ)) = Tr

�

i,j∈V

Bj∗i Bj

i µ

= Tr

�

i∈V

�

j∈V

Aj∗i Aj

i

⊗ |i��i|

µ

= Tr(µ) .

En particulier, M préserve D. Nous avons désormais les objets nécessaires pour définir lesmarches quantiques ouvertes.

Construisons à présent le modèle de probabilité associé aux marches quantiques ou-vertes. Celui-ci est relié à la mesure de la position sur le graphe. Supposons que l’état dusystème K soit sous la forme diagonale 1 suivante :

µ =�

i∈V

ρ(i) ⊗ |i��i| .

1. On s’intéresse uniquement aux états diagonaux car l’application M projette un état quelconque surD.

26

Une mesure de la "position" sur V donne la valeur i avec probabilité

q0(i) = Tr(ρ(i)) .

Après avoir appliqué M, l’état du système devient

M(µ) =�

i∈V

� �

j∈V

Aijρ(j)Ai∗

j

�⊗ |i��i| .

Une mesure de la "position" sur V donne alors la valeur i avec probabilité

q1(i) = Tr

�

j∈V

Aijρ(j)Ai∗

j

.

En mesurant la position pour l’itéré Mn(µ), on construit une suite de distributions (qn)n∈Nsur V . Ces remarques nous amènent au résultat suivant.

Proposition 2.1 ([APSS12]). Soient µ(0) un état de K et M une application linéairecomplètement positive sur I1(K) telle que :

M : I1(K) → I1(K)µ �→

�

i,j∈V

Bji µBj∗

i(2.2)

oùBj

i = Aji ⊗ |j��i| avec Aj

i ∈ B(Hi, Hj) .

Alors pour tout n ∈ N∗, les états

µ(n) = Mn(µ(0))

sont de la formeµ(n) =

�

i∈V

ρ(n)(i) ⊗ |i��i| ∈ D .

De plus,ρ(n+1)(i) =

�

j∈V

Aijρ(n)(j)Ai∗

j .

La proposition ci-dessus nous permet de définir les marches quantiques ouvertes.

Définition 2.1. La suite d’états (µ(n))n∈N est appelée marche quantique ouverte associéeau canal quantique M. Pour tout n ∈ N∗ et i ∈ V , les quantités

qn(i) = Tr(ρ(n)(i))

définissent une mesure de probabilité qn sur V . Celle-ci est appelée la distribution de lamarche quantique ouverte à l’instant n.

Dans la suite, nous confondrons une marche quantique ouverte et son canal quantique.On notera donc, par abus, M une marche quantique ouverte.Remarque. Contrairement à l’article originel sur le théorème central limite pour les marchesquantiques ouvertes [AGPS15], on autorise le marcheur à "sauter sur place", c’est-à-direque l’opérateur Bi

i peut être non nul. Dans ce cas, le théorème central limite (voir Section2.5) est très légèrement modifié. On considère que le marcheur peut stagner afin d’obtenirdes limites de marches quantiques discrètes non triviales (voir Section 3.6).

27

Remarque. La suite de distribution (qn)n∈N n’est pas markovienne, la donnée de q1 n’estpas suffisante pour déterminer q2 par exemple. En effet, pour

µ =�

i∈V

ρ(i) ⊗ |i��i| ,

on a

M2(µ) =�

i∈V

� �

j,k∈V

AijAj

kρ(k)Aj∗k Ai∗

j

�⊗ |i��i| ,

et donc, pour tout i dans V ,

q2(i) = Tr

�

j,k∈V

AijAj

kρ(k)Aj∗k Ai∗

j

.

La quantité ci-dessus ne peut être obtenue à partir de

q1 =

�

j∈V

Tr�Ai

jρ(j)Ai∗j

�

i∈V

,

la connaissance de µ est requise. Contrairement aux chaînes de Markov classiques, lesdistributions (qn)n∈N ne peuvent pas se déterminer de proche en proche.

Néanmoins, il s’avère que, sous certaines conditions, les marches quantiques ouvertessont exactement des marches aléatoires classiques. Ce cas particulier est détaillé dans lasection suivante.

2.2 Lien avec les chaînes de Markov classiquesDans cette partie, nous allons remarquer que les marches quantiques ouvertes sont des

extensions de chaînes de Markov classiques. Rappelons qu’une chaîne de Markov (Yn)n∈Nsur V est définie par sa distribution initiale p0 = (p0(i))i∈V et par sa matrice de transitionP = (pij)i,j∈V où

pij = P(Y1 = j|Y0 = i) .

Proposition 2.2 ([APSS12]). Soient (Uji )i,j∈V ∈ B(Hi, Hj)V 2 une famille d’opérateurs

unitaires et P = (pij)i,j∈V une matrice de transition. On pose, pour tout i et j dans V ,

Aji = √

pijUji .

L’égalité �j∈V

Aj∗i Aj

i = I est alors vérifiée pour tout i dans V . De plus, pour tout état initial

µ(0) =�

i∈V

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ,

les distributions (qn)n∈N de la marche quantique ouverte sont celles d’une chaîne de Markovclassique sur V , de matrice de transition P = (pij)i,j∈V et de distribution initiale p0 telleque

p0(i) = Tr(ρ(0)(i)) ,

pour tout i dans V .

28

Démonstration. Tout d’abord, pour tout i dans V , on a bien�

j∈V

Aj∗i Aj

i =�

j∈V

pijUj∗i Uj

i = I .

Par définition, q0 = p0. Calculons maintenant, pour i dans V ,

q1(i) =�

j∈V

Tr�Ai

jρ(0)(j)Ai∗j

�=

�

j∈V

pjiTr�Ui∗

j Uijρ(0)(j)

�=

�

j∈V

pji p0(j) .

C’est-à-dire que q1(i) est la probabilité d’être sur le site i à l’étape 1 pour une chaîne deMarkov classique sur V de matrice de transition P = (pij)i,j∈V et de distribution initialep0. De même, pour i dans V ,

q2(i) = Tr

�

j,k∈V

AijAj

kρ(k)Aj∗k Ai∗

j

=�

j,k∈V

pjipkjTr�Uj∗

k Ui∗j Ui

jUjkρ(0)(k)

�

=�

j,k∈V

pjipkjp0(k)

est la probabilité d’être sur le site i à l’étape 2 pour une chaîne de Markov classique surV de matrice de transition P = (pij)i,j∈V et de distribution initiale p0. L’itération de ceprocédé clôt la démonstration.

Les chaînes de Markov classiques sont donc des cas particuliers de marches quantiquesouvertes. Cela justifie l’étude des propriétés communément associées aux chaînes de Markov(voir Section 2.5). Avant de passer à cette partie, illustrons notre propos par un exemple.

2.3 ExempleDans cette partie, nous illustrons les notions vues en amont. On se concentre sur les

marches sur V = Z telles que Hi = Hj pour tout i, j ∈ Z.

L’exemple le plus basique de marche quantique ouverte est la marche aléatoire sur Zoù le marcheur peut stagner, sauter à droite ou sauter à gauche, ces transformations sontrégies par A0, A1 ou A−1 respectivement. On pose

Bji = A0 ⊗ |i��i| si j = i

= A1 ⊗ |i + 1��i| si j = i + 1= A−1 ⊗ |i − 1��i| si j = i − 1= 0 sinon,

tels queA∗

0A0 + A∗1A1 + A∗

−1A−1 = I .

Partant de l’état µ(0) = ρ ⊗ |0��0|, à l’étape suivante on obtient :

µ(1) = A−1ρA∗−1 ⊗ | − 1��−1| + A0ρA∗

0 ⊗ |0��0| + A1ρA∗1 ⊗ |1��1| .

La distribution de probabilité de la marche quantique ouverte a son support dans {−1, 0, 1}et pour i ∈ {−1, 0, 1}, q1(i) = Tr(AiρA∗

i ).

29

A l’étape 2, l’état devient :

µ(2) = A2−1ρA2∗

−1 ⊗ | − 2��−2|+(A−1A0ρA∗

0A∗−1 + A0A−1ρA∗

−1A∗0) ⊗ | − 1��−1|

+(A−1A1ρA∗1A∗

−1 + A1A−1ρA∗−1A∗

1 + A20ρA2∗

0 ) ⊗ |0��0|+(A1A0ρA∗

0A∗1 + A0A1ρA∗

1A∗0) ⊗ |1��1|

+A21ρA2∗

1 ⊗ |2��2| .

Le support de q2 est donc {−2, −1, 0, 1, 2}. On peut itérer la procédure ci-dessus et générernotre marche quantique ouverte sur Z.Exemple 2.1. Prenons un exemple concret, où Hi = C2 pour tout i ∈ Z,

A0 = 1√2

I, A1 = 1√6

�1 10 1

�et A−1 = 1√

6

�1 0

−1 1

�.

On a bienA∗

0A0 + A∗1A1 + A∗

−1A−1 = I .

En partant de l’état µ(0) =�

0 00 1

�⊗ |0��0|, on obtient les distributions suivantes pour les

4 premières étapes :

| − 4� | − 3� | − 2� | − 1� |0� |1� |2� |3� |4�q0 0 0 0 0 1 0 0 0 0q1 0 0 0 0.1667 0.5 0.3333 0 0 0q2 0 0 0.0278 0.1667 0.3333 0.3333 0.1389 0 0q3 0 0.0046 0.0417 0.1481 0.25 0.3009 0.2083 0.0463 0q4 0.0008 0.0093 0.0494 0.1296 0.2083 0.2685 0.2284 0.0926 0.0131

Les figures ci-dessous montrent les distributions obtenues aux étapes 3, 8 et 18.

Sur ces simulations numériques, la distribution de la marche quantique ouverte sembledevenir gaussienne. Les propriétés asymptotiques seront étudiées plus en détail dans la Sec-tion 2.6. Pour d’autres exemples, sur Z2 notamment, le lecteur pourra consulter [AGPS15]et [CP15].

2.4 Trajectoires quantiquesLes trajectoires quantiques permettent de simuler les marches quantiques ouvertes. En

effet, une trajectoire quantique est une réalisation d’une marche quantique ouverte. Elle

30

peut être assimilée à un couple (ρn, Xn)n∈N où Xn est la position de la particule et ρn

est l’état quantique interne. Le processus (Xn)n∈N est l’analogue d’une trajectoire d’unechaîne de Markov, c’est pourquoi on réalise une étude approfondie de ce processus par lasuite (voir Section 2.5.2 par exemple).

Le principe des trajectoires quantiques associées à une marche quantique ouverte estle suivant : à partir de n’importe quel état initial µ sur K, on applique M et on effectueune mesure sur V de ce nouvel état. La réduction du paquet d’onde donne lieu à un étataléatoire sur K. À partir de cet état aléatoire, on répète la procédure et ainsi de suite.

Plus particulièrement, si µ = ρ ⊗ |i��i| alors

M(µ) =�

j∈V

Aji ρAj∗

i ⊗ |j��j| .

Considérons que M(µ) est l’état du système, alors la mesure de la position de la particulerenvoie j avec probabilité Tr(Aj

i ρAj∗i ), et dans ce cas, l’état du système devient

Aji ρAj∗

i

Tr(Aji ρAj∗

i )⊗ |j��j| avec probabilité Tr(Aj

i ρAj∗i ) .

On répète la manipulation en considérant M�

Aji ρAj∗

i

Tr(Aji ρAj∗

i )⊗ |j��j|

�, etc.

Plus précisément, construisons la mesure de probabilité sur Ω = V N permettant dedéfinir les trajectoires quantiques. Pour tout état µ = �

i∈Vρ(i) ⊗ |i��i| ∈ D, on définit la

mesure de probabilité Pµ à l’aide de ses restrictions sur V n+1 :

Pµ(i0, ..., in) = Tr(Ainin−1 ...Ai1

i0ρ(i0)Ai1∗i0 ...Ain∗

in−1),

pour tout n ∈ N, (i0, ..., in) ∈ V n+1.L’équation (2.1) fournit la consistance de ces restrictions, et donc le théorème d’exten-

sion de Kolmogorov assure que Pµ est bien définie et ce de façon unique.Par abus, on notera P cette mesure (sans mentionner l’état initial du système) et on

notera E l’espérance associée. Par contre, si on s’intéresse à un état initial spécifique dela forme ρ ⊗ |i��i|, c’est-à-dire lorsque la particule est initialement sur le site i munie duparamètre interne ρ, la probabilité correspondante Pµ sera notée Pi,ρ. L’espérance associéeà Pi,ρ sera quant à elle naturellement notée Ei,ρ.

Nous pouvons à présent énoncer la proposition qui définit les trajectoires quantiques.

Proposition 2.3 ([APSS12]). Soit µ(0) = �i∈V

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| l’état initial du système K.

La mesure de la position sur V via la réduction du paquet d’onde transforme l’état enω0 = ρ(0)(i)

Tr(ρ(0)(i)) ⊗ |i��i| avec probabilité Tr(ρ(0)(i)).Soit M le canal quantique défini par l’équation (2.2). On itère la procédure : transfor-

mation d’un état via l’application M puis mesure de la position sur V . Celle-ci engendreune chaîne de Markov (ωn)n∈N à valeurs dans les états de K. Si l’état de la chaîne à l’instantn est ωn = ρ ⊗ |i��i|, alors l’état de la chaîne à l’instant n + 1 est

ωn+1 = Aji ρAj∗

i

Tr(Aji ρAj∗

i )⊗ |j��j| avec probabilité Tr(Aj

i ρAj∗i ).

31

En résumé, cela signifie que le processus (ωn)n∈N satisfait (ωn = ρn ⊗ |Xn��Xn|)n∈N où(ρn, Xn)n∈N est une chaîne de Markov de distribution initiale :

P�

(ρ0, X0) =�

ρ(0)(i)Tr(ρ(0)(i))

, i

��= Tr(ρ(0)(i))

telle que si (ρn, Xn) = (ρ, i) alors

(ρn+1, Xn+1) =�

Aji ρAj∗

i

Tr(Aji ρAj∗

i ), j

�avec probabilité Tr(Aj

i ρAj∗i ) .

De cette proposition découle la définition des trajectoires quantiques.

Définition 2.2. La chaîne de Markov (ωn)n∈N est appelée trajectoire quantique associée àla marche quantique ouverte M. Elle est la donnée de deux processus (ρn)n∈N et (Xn)n∈Nqui représentent respectivement l’évolution du paramètre interne et la trajectoire de laposition de la particule.

Remarque. Le processus (ρn, Xn)n∈N est une chaîne de Markov mais les processus (ρn)n∈Net (Xn)n∈N ne sont pas markoviens. En effet, pour n ∈ N, la connaissance de Xn n’estpas suffisante pour déterminer la distribution de Xn+1. La donnée du couple (ρn, Xn) estrequise pour obtenir la distribution de Xn+1. De même, pour tout entier naturel n, ladistribution de ρn+1 est déterminée par ρn et Xn.

Illustrons notre propos à l’aide d’un exemple simple.

Exemple 2.2. Considérons à nouveau l’Exemple 2.1. En analogie avec les chaînes de Markovclassiques, on dresse ci-dessous le graphe associé à la marche quantique ouverte.

−1H−1

0H0

1H1

......

A0

A1

A−1 A−1

A0

A1

A0

A−1

A1

A−1

A1

On a Hi = C2 pour tout i ∈ Z et :

A0 = 1√2

I, A1 = 1√6

�1 10 1

�et A−1 = 1√

6

�1 0

−1 1

�.

La figure ci-dessous représente une simulation numérique d’une trajectoire quantiqueoù l’axe des ordonnées représente la n-ième étape et l’axe des abscisses renvoie la positiondu marcheur Xn.

32

Le résultat qui suit nous permet de faire le lien entre marches quantiques ouvertes etles trajectoires quantiques associées.Proposition 2.4. Soient (µ(n))n∈N la marche quantique ouverte définie dans la Proposition2.1 et (ωn = ρn ⊗ |Xn��Xn|)n∈N la trajectoire quantique associée définie dans la Proposition2.3. Alors, pour tout n ∈ N,

E(ωn) = µ(n) .

De plus, pour tout n ∈ N, la distribution de Xn est égale à qn. C’est-à-direP(Xn = i) = qn(i) ,

pour tout n ∈ N et i ∈ V .Démonstration. Soit n ∈ N, alors

E(ωn) = E(E(ωn|ωn−1)) = E(M(ωn−1)) = M(E(ωn−1))= Mn(E(ω0))= Mn(µ(0))= µ(n) .

De plus, pour n ∈ N et i ∈ V ,qn(i) = Tr(µ(n)(I ⊗ |i��i|)) = E(Tr(ωn(I ⊗ |i��i|))) = E(1Xn=i) = P(Xn = i) .

Revenons brièvement sur le cadre spécifique de la Section 2.2 où les marches quantiquesouvertes sont des marches aléatoires classiques. Les trajectoires quantiques vérifiant leshypothèses de la Proposition 2.2 ont des comportements classiques. En effet, on remarqueque le processus (Xn)n∈N est une chaîne de Markov classique sur V . Plus précisément, s’ilexiste (Uj

i )i,j∈V ∈ B(Hi, Hj)V 2 une famille d’opérateurs unitaires et P = (pij)i,j∈V unematrice de transition de sorte que, pour tout i et j dans V ,

Aji = √

pijUji ,

alors le processus (Xn)n∈N défini dans la Proposition 2.3 vérifieP (X0 = i) = Tr(ρ(0)(i)) et P(Xn+1 = j|Xn = i) = pij ,

pour tout et i, j ∈ V et n ∈ N.

On peut à présent étudier les propriétés associées au processus (Xn)n∈N qui représentela position du marcheur.

33

2.5 PropriétésL’irréductibilité, les temps de retour, le nombre de visites, etc... sont des notions spéci-

fiques aux chaînes de Markov. Une marche quantique étant une généralisation d’une chaînede Markov, il est alors intéressant de mettre ces notions en perspectives dans le cadre desmarches quantiques ouvertes. Les articles [BBP17, CP16b] ont apporté des contributionsmajeures sur ces sujets.

2.5.1 IrréductibilitéEn général, on s’intéresse aux chaînes de Markov (Yn)n∈N dites irréductibles c’est-à-dire

les chaînes où tous les points du graphe communiquent. Cela signifie que pour tout i etj dans V , il existe un entier n tel que P(Yn = j|Y0 = i) > 0. On s’intéresse égalementaux chaînes de Markov pour lesquelles il est possible d’accéder à tous les sites en n étapesmaximum. On parle alors de n-régularité pour la chaîne. Nous essayons d’étendre cespropriétés aux marches quantiques ouvertes. On définit ci-dessous les notions originellesd’irréductibilité (introduite par Davies [Dav69]), d’ergodicité et de n-régularité.

Définition 2.3. Soit M une marche quantique ouverte, on dit que M :� est irréductible si M n’admet aucune projection sous-harmonique non triviale. Rap-

pelons qu’une projection P ∈ B(K) est dite sous-harmonique pour M si

M(PI1(K)P ) ⊂ PI1(K)P ;

� est ergodique si pour tout µ ∈ I1(K), il existe t tel que etM(µ) > 0 ;� améliore la positivité si pour tout µ ∈ I1(K), M(µ) > 0 ;� est n-régulière si Mn améliore la positivité.

Remarque. L’ergodicité admet la formulation équivalente suivante : pour tout µ ∈ I1(K) etpour tout t > 0, etM(µ) > 0. Le fait que le support de etM(µ) ne dépende pas de t constituele point clé de la démonstration. De plus, il s’avère que l’irréductibilité et l’ergodicité sontdes notions équivalentes (voir [CP16b]).

Dans le but d’obtenir des définitions en termes de trajectoires (comme dans le cadreclassique), on décrit les notions vues dans la Définition 2.3 à l’aide des opérateurs de Kraus.

Proposition 2.5 ([CP16b]). Soit M la marche quantique ouverte définie par l’équation(2.2). M :

� améliore la positivité si et seulement si pour tout x non nul dans K, l’espace vectorielengendré par {Bj

i x, i, j ∈ V } est dense dans K ;� est n-régulier si et seulement si pour tout x non nul dans K, l’espace vectoriel en-

gendré par {Bjnin

...Bj1i1 x, i1, ..., in, j1, ..., jn ∈ V } est dense dans K ;

� est irréductible si et seulement si pour tout x non nul dans K, l’ensemble C[Bji ]x est

dense dans K, où C[Bji ] est l’ensemble des polynômes en Bj

i , i, j ∈ V .

De cette proposition découle une description trajectorielle de l’irréductibilité, de la n-régularité et d’amélioration de la positivité. Nous devons tout d’abord introduire quelquesnotations : pour i et j dans V , on appelle chemin de i à j une suite finie i0, ..., in d’élémentsde V telle que i0 = i et in = j. Un tel chemin est dit de longueur n, et on note Pn(i, j)l’ensemble des chemins de longueur n. On pose P(i, j) l’ensemble des chemins de longueurquelconque, c’est-à-dire

P(i, j) = ∪n∈NPn(i, j) .

34

Pour des raisons de simplification d’écriture, on associe à chaque chemin

π = (i0, ..., in) ∈ P(i, j)

l’opérateurAπ = Aj

in−1 ...Ai1i

dans B(Hi, Hj). On peut à présent énoncer le corollaire suivant qui découle directement dela Proposition 2.5.Corollaire 2.1 ([CP16b]). Soit M la marche quantique ouverte définie par l’équation(2.2), M :

� améliore la positivité si et seulement si pour tout i, j dans V et pour tout x non nuldans Hi, l’espace vectoriel engendré par {Aj

i x} est dense dans Hj ;� est n-régulier si et seulement si pour tout i, j dans V et pour tout x non nul dans

Hi, l’espace vectoriel engendré par {Aπx, π ∈ Pn(i, j)} est dense dans Hj ;� est irréductible si et seulement si pour tout i, j dans V et pour tout x non nul dans

Hi, l’espace vectoriel engendré par {Aπx, π ∈ P(i, j)} est dense dans Hj .Remarque. "Améliorer la positivité" est une notion très restrictive car elle implique que Hi

soit de dimension 1 pour tout i dans V et que Aji soit non nul pour tout i, j dans V .

De ce corollaire découle une définition d’irréductibilité en terme de chemins commedans le cadre des chaînes de Markov classiques.Définition 2.4. Pour i et j dans V , on dit que j est accessible à partir de i (on note i → j)si, pour tout x non nul, l’espace vectoriel engendré par {Aπx, π ∈ P(i, j)} est dense dansHj . On dit que i et j communiquent si i → j et j → i. Le Corollaire 2.1 stipule que M estirréductible si et seulement si tous les points du graphe V communiquent.

Nous allons illustrer les notions de cette section grâce aux exemples suivants.Exemple 2.3. Nous exposons ici un exemple de marche quantique ouverte 3-régulière maispas 2-régulière. Considérons une marche quantique ouverte sur V = {0, 1} avec H0 = H1 =C2, telle que

B00 = 1√

2

�1 00 −1

�⊗ |0��0|, B1

0 = 1√2

�0 11 0

�⊗ |1��0|,

B11 = 1√

2I ⊗ |1��1|, et B0

1 = 1√2

I ⊗ |0��1| .

On donne ci-dessous la représentation graphique de cet exemple.

0C2

1C2

1√2

�1 00 −1

�

1√2

�0 11 0

�

1√2

I

1√2

I

La marche quantique ouverte associée à M(µ) = �i,j∈V

Bji µBj∗

i est irréductible et plus

particulièrement 3-régulière.

Néanmoins, elle n’est pas 2-régulière. En effet, pour x =�

10

�⊗ |1�,

y =�

01

�⊗ |0� /∈ V ect{Bi3

i2 Bi2i1 x, i1, i2, i3 ∈ V } .

35

Exemple 2.4. Nous exposons ici un exemple de marche quantique ouverte non irréductible.Considérons V = {0, 1}, H0 = H1 = C2,

B00 = 1√

2I ⊗ |0��0|, B1

0 = 1√2

�0 11 0

�⊗ |1��0|,

B11 = 1√

2I ⊗ |1��1| et B0

1 = 1√2

�0 11 0

�⊗ |0��1| .

Graphiquement, cela donne la représentation suivante.

0C2

1C2

1√2I

1√2

�0 11 0

�

1√2

�0 11 0

�

1√2

I

Pour x =�

11

�⊗ |0�, alors

C[Bji ]x = V ect

��11

�⊗ |0�,

�11

�⊗ |1�

��= K ,

donc la marche quantique ouverte associée à M(µ) = �i,j∈V

Bji µBj∗

i n’est pas irréductible.

De la même manière que dans le cas classique, on peut essayer de partitionner V enclasses de sorte que la chaîne de Markov restreinte à chaque classe soit irréductible. Cetravail a été fait dans [CP16a]. Les mêmes auteurs ont étudié la notion de période pour lesmarches quantiques ouvertes dans l’article [CP16b]. Nous ne détaillerons pas ce point dansce manuscrit car la notion de période est moins pertinente pour les chaînes de Markov àtemps continu, et donc moins pertinente également pour les marches quantiques ouvertesà temps continu qui sont les modèles qui motivent cette thèse.

2.5.2 Transience et récurrenceLa transience et la récurrence sont des propriétés classiques des chaînes de Markov. On

rappelle qu’un site i ∈ V d’une chaîne de Markov (Yn)n∈N est transient (resp. récurrent)si Ei(ni) < ∞ (resp. Ei(ni) = ∞) où ni = �

n 1Yn=i est le temps de séjour de la chaînesur le site i, Pi(.) = P(.|Y0 = i) et Ei(.) = E(.|Y0 = i). Dans le cadre classique, ces notionspeuvent être caractérisées par le premier temps d’atteinte τi = inf{n ≥ 1, Yn = i}. Eneffet, un site est transient (resp. récurrent) si Pi(τi < ∞) < 1 (resp. Pi(τi < ∞) = 1).Cette dernière propriété ne sera pas toujours vraie dans le cadre des marches quantiquesouvertes.

On rappelle également que tous les sites d’une chaîne de Markov irréductible sontou transients ou récurrents ([Nor98]). Dans le cadre quantique, la dichotomie transience-récurrence sera remplacée par une trichotomie (voir [BBP17]). Dorénavant, on travailleraprincipalement avec des marches quantiques ouvertes semi-finies que l’on définit ci-dessous.

Définition 2.5. On dit qu’une marche quantique ouverte est semi-finie si

dim(Hi) < ∞pour tout i dans V .

36

On considère le processus (ρn, Xn)n∈N défini dans la Proposition 2.3, et on définit ni letemps de séjour de (Xn)n∈N sur le site i :

ni =�

n∈N1Xn=i

et τi le premier temps d’atteinte du site i pour (Xn)n∈N :

τi = inf{n ≥ 1, Xn = i} .

Le théorème suivant nous permettra de définir les notions de transience et de récurrencepour les marches quantiques ouvertes.

Théorème 2.1 (Corrolaire 3.10 de [BBP17]). Soit M une marche quantique ouverte ir-réductible et semi-finie. Nous sommes dans une (et une seule) de ces situations :

1. la quantité Ei,ρ(ni) est finie pour tout i, j dans V et pour tout ρ ∈ S(Hi) ;2. la quantité Ei,ρ(ni) est infinie pour tout i, j dans V et pour tout ρ ∈ S(Hi).

Définition 2.6. Une marche quantique ouverte semi-finie M est dite transiente si ellesatisfait la première propriété du Théorème 2.1 et récurrente si elle satisfait la deuxièmepropriété.

Comme mentionné plus haut, contrairement au cas classique, on ne peut pas caractériserla récurrence ou la transience d’une marche quantique ouverte grâce aux premiers tempsd’atteinte τi. Néanmoins, il existe une trichotomie qui permet de différencier trois casdistincts.

Théorème 2.2 (Théorème 3.1 de [BBP17]). Soit M une marche quantique ouverte irré-ductible et semi-finie. Nous sommes dans une (et une seule) de ces situations :

1. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi),

Ei,ρ(nj) = ∞ et Pi,ρ(τj < ∞) = 1 ;

2. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi),

Ei,ρ(nj) < ∞ et Pi,ρ(τi < ∞) < 1 ;

3. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi), Ei,ρ(nj) < ∞, mais il existe i dansV et ρ, ρ� dans S(Hi) (ρ nécessairement non fidèle) tels que

Pi,ρ(τi < ∞) = 1 et Pi,ρ�(τi < ∞) < 1 .

Illustrons chaque situation du théorème ci-dessus par des exemples.Exemple 2.5. Le n-ième exemple illustre la n-ième situation du Théorème 2.2.

1. Sur K = C ⊗ C{0,1}, on considère une des marches quantiques les plus simplescaractérisée par les opérateurs :

A10 = A0

1 = 1 .

Le graphique associé est donné ci-dessous.

0C

1C

1

1

37

Alors (Xn)n∈N est la chaîne de Markov qui saute presque sûrement de 1 à 0 et de 0à 1.Toute marche quantique ouverte irréductible, semi-finie et de graphe V fini, se situedans la situation 1 du Théorème 2.2.

2. Sur K = C ⊗ CZ, on considère la marche quantique ouverte définie par

Ai+1i =

√3

2 , Ai−1i = 1

2 , pour tout i ∈ Z .

Le résumé graphique de cet exemple est le suivant.

−1C

0C

1C

......

√3

2

12

12

√3

2

12

√3

2

12

√3

2

Le processus (Xn)n∈N est une marche aléatoire classique où la probabilité de sautervers la droite est égale à 3

4 et la probabilité de sauter vers la gauche est égale à 14 .

Une chaîne de Markov sur V peut être vue comme une marche quantique ouvertesur C ⊗ CV . Toutes les chaînes de Markov transientes se trouvent dans la situation2.

3. La troisième situation est la plus étonnante, elle n’apparaît jamais en classique. Onreprend l’Exemple 5.2. de [BBP17]. Considérons la marche quantique ouverte définiesur V = N avec H0 = C2 et Hi = C pour i ≥ 1, et

A00 =

�0 10 0

�, A1

0 =�1 0

�, A0

1 = 12√

2

�11

�,

Ai+1i =

√3

2 pour i ≥ 1 et Ai−1i = 1

2 pour i ≥ 2 .

Le résumé graphique qui suit est plus pertinent.

0C2

1C

2C

...

�1 0

�

�0 10 0

�

12√

2

�11

�

√3

2

12

√3

2

12

C’est un exemple de marche quantique ouverte irréductible où

P0,ρ(τ0 < ∞) = 1 pour ρ =�

0 00 1

�

et

P0,ρ�(τ0 < ∞) < 1 pour ρ� =�

1 00 0

�.

38

2.6 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiquesouvertes homogènes sur Zd

Dans cette partie, nous nous intéressons au théorème ergodique, au théorème centrallimite et au principe de grandes déviations pour un cas particulier de marches quantiquesouvertes. Plus précisément, on étudie les marches quantiques ouvertes homogènes aux plusproches voisins sur Zd.

Il s’avère que ces marches quantiques ont des comportements asymptotiques assez clas-siques. En effet, on a déjà remarqué que les distributions des marches quantiques ouvertessemblent tendre vers des lois gaussiennes (voir Exemple 2.1).

Une légère extension est apportée à l’article originel [AGPS15], on considère que lemarcheur peut rester sur place (cela se traduit par l’introduction de l’opérateur A0). LaSection 3.8 sur le modèle continu s’inspire des résultats et des démonstrations présentésci-dessous.

Posons tout d’abord quelques notations : d ∈ N∗, {e1, ..., ed} la base canonique de Zd,ed+r = −er pour tout r ∈ {1, ..., d} et e0 = 0. On note x.y le produit scalaire usuel surRd, |x| la norme associée et enfin xr les coordonnées du vecteur x ∈ Rd dans la base(er)r∈{1,...,d}, c’est-à-dire xr = x.er.

Les marches quantiques ouvertes homogènes aux plus proches voisins sur Zd sont régiespar un canal quantique M de la forme :

M : I1(H ⊗ CZd) → I1(H ⊗ CZd)µ �→

�

i,j∈Zd

Bji µBj∗

i(2.3)

où H est un espace de Hilbert de dimension finie et

Bji = Ar ⊗ |j��i| si j = i + er où r ∈ {0, ..., 2d},

= 0 sinon,

avec Ar ∈ B(H) pour tout r ∈ {0, ..., 2d} tel que

2d�

r=0A∗

rAr = I .

L’opérateur Bji transcrit l’idée que l’on peut passer uniquement de i à un de ses voisins

i + er, et que dans ce cas, la transformation sur H est régie par Ar.

Il s’avère que pour ce type particulier de marche quantique, le paramètre interne nedépend pas de la position de la particule. Dorénavant, on notera M le canal quantiqueassocié à l’évolution moyenne du paramètre interne :

M : I1(H) → I1(H)

ρ �→2d�

r=0ArρA∗

r .

Nous donnons à présent la définition des trajectoires quantiques pour les marches quan-tiques ouvertes aux plus proches voisins sur Zd. Si l’état initial du système sur H ⊗ CZd

estµ(0) =

�

i∈Zd

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ,

39

les trajectoires quantiques associées à M sont données par la chaîne de Markov (ρn, Xn)n∈Nà valeurs dans S(H) × Zd de distribution initiale :

P�

(ρ0, X0) =�

ρ(0)(i)Tr(ρ(0)(i))

, i

��= Tr(ρ(0)(i))

telle que pour tout n ∈ N et r ∈ {0, ..., 2d},

(ρn+1, Xn+1) =�

ArρnA∗r

Tr(ArρnA∗r) , Xn + er

�avec probabilité Tr(ArρnA∗

r) . (2.4)

2.6.1 Théorème ergodiqueCette section est consacrée au théorème ergodique tiré de l’article [KM04] de Kümmerer

et Maassen.

Théorème 2.3 (Théorème 5 de [KM04]). Soit (ρn, Xn)n∈N la chaîne de Markov définiegrâce à l’équation (2.4), alors

1n

n�

k=1ρk

p.s.−→ θ∞

où θ∞ est une variable aléatoire à valeurs dans les invariants de M appartenant à S(H).En particulier, si M admet un unique état invariant noté ρinv, alors la moyenne de

Cesàro ci-dessus converge presque sûrement vers ρinv.

2.6.2 Théorème central limiteDans cette section, nous étudions le théorème central limite tiré de l’article [AGPS15].

Tout d’abord, énonçons un lemme qui sera utile dans l’énoncé et la démonstration duThéorème 2.5 qui est le résultat principal de cette section.

Lemme 2.1 ([AGPS15]). Supposons que M admette un unique invariant appartenant à

S(H) noté ρinv. Posons m =2d�

r=1Tr(ArρinvA∗

r)er. Alors, pour tout u ∈ Rd, l’équation

Lu − M∗(Lu) =2d�

r=1(er.u)A∗

rAr − (m.u)I (2.5)

admet une solution et la différence de deux solutions quelconques de (2.5) est un multiplede l’identité.

On notera par la suite Lu la solution de (2.5) telle que Tr(Lu) = 0. De plus, si u = er,alors on note plus simplement Lu = Lr. On remarque que

Lu =d�

r=1urLr .

Énonçons à présent le théorème central limite pour les martingales qui est fondamentaldans la démonstration du Théorème 2.5.

Théorème 2.4 (Corolaire 3.1 de [HH80]). Soit (Mn)n∈N une martingale réelle, centréeet de carré intégrable pour la filtration (Fn)n∈N. Si, pour tout � > 0, les convergences enprobabilité suivantes sont vérifiées :

limn→∞

1n

n�

k=1E[(ΔMk)21|ΔMk|≥�

√n|Fk−1] = 0 (2.6)

40

etlim

n→∞1n

n�

k=1E[(ΔMk)2|Fk−1] = σ2 (2.7)

pour un certain σ ≥ 0, alors :Mn√

nL−→

n→+∞N (0, σ2) .

Nous pouvons à présent formuler le théorème central limite qui est le théorème principalde cette partie.

Théorème 2.5 (Théorème 5.2 de [AGPS15]). Soit (ρn, Xn)n∈N la trajectoire quantiquedéfinie via l’équation (2.4). Supposons que M admette un unique invariant de S(H) notéρinv, alors

Xn − nm√n

L−→n→+∞

N (0, C)

où

m =2d�

r=1Tr(ArρinvA∗

r)er

et C = (Crq)1≤r,q≤d ∈ Md(C) avec

Crq = δrq[Tr(ArρinvA∗r) + Tr(Ar+dρinvA∗

r+d)] − mrmq

+Tr(ArρinvA∗rLq) + Tr(AqρinvA∗

qLr)

−Tr(Ar+dρinvA∗r+dLq) − Tr(Aq+dρinvA∗

q+dLr)

−mrTr(ρinvLq) − mqTr(ρinvLr).

Démonstration. On donne ici un résumé très succinct de la démonstration vue dans [AGPS15] ;seules les grandes lignes de la preuve sont exposées. Dans un premier temps, on fixe u ∈ Rd

et grâce au Lemme 2.1, on trouve une solution de l’équation communément appelée équa-tion de Poisson, c’est-à-dire qu’on trouve une fonction f sur S(H) × {er}r∈{0,...,2d} telleque

(I − P )f(ρ, x) = x.u − m.u , (2.8)

où P est le générateur de la chaîne de Markov (ρn, ΔXn)n∈N∗ , plus précisément, on aPf(ρ, x) = Ex,ρ(f(ρ1, X1 − X0)). Le lecteur pourra consulter [MS02] afin d’obtenir plus dedétails sur l’équation de Poisson pour les chaînes de Markov.

Dans un deuxième temps, nous allons décomposer la variable étudiée à l’aide d’unemartingale et d’un processus borné. Grâce à l’équation de Poisson, on a

(Xn − nm).u = X0.u +n�

k=1((Xk − Xk−1) − m).u

= X0.u +n�

k=1(I − P )f(ρk, ΔXk)

= X0.u + f(ρ1, ΔX1) − Pf(ρn, ΔXn) +n�

k=2(f(ρk, ΔXk) − Pf(ρk−1, ΔXk−1)) .

On pose

Mn =n�

k=2(f(ρk, ΔXk) − Pf(ρk−1, ΔXk−1))

41

etRn = X0.u + f(ρ1, ΔX1) − Pf(ρn, ΔXn) ,

de sorte que(Xn − nm).u = Mn + Rn .

Le reste Rn n’apporte aucune contribution au théorème central limite. Il suffit alors d’ob-tenir un théorème central limite pour la martingale Mn.

Dans un troisième et dernier temps, on montre, grâce au théorème ergodique, que lamartingale (Mn)n∈N vérifie les hypothèses du Théorème 2.4.

Illustrons le théorème ci-dessus par l’Exemple 2.1 vu en amont.Exemple 2.6. On considère la marche quantique ouverte sur Z définie par l’équation (2.3),où Hi = C2 pour tout i ∈ Z et

A0 = 1√2

I, A1 = 1√6

�1 10 1

�et A−1 = 1√

6

�1 0

−1 1

�.

On remarque que cet exemple vérifie l’hypothèse du Théorème 2.5 avec

ρinv = 12I ; m = 0 ; L = 1√

3

�5 −2

−2 −5

�; C = 7

18 .

Le Théorème 2.5 stipule donc que

Xn√n

L−→n→+∞

N�

0,718

�.

Cette convergence justifie les allures observées dans l’Exemple 2.1.Cet exemple clôt la sous-section sur le théorème central limite.

2.6.3 Principe de grandes déviationsAprès l’étude d’un théorème central limite, la suite logique consiste à établir un principe

de grandes déviations. Cette partie est inspirée de l’article [CP15].Afin de prouver le principe de grandes déviations, il est nécessaire d’introduire un canal

quantique déformé. Pour cela, on définit les opérateurs A(u)r = e

u.er2 Ar pour tout u ∈ Rd

et tout r ∈ {0, ..., 2d}. Pour tout u ∈ Rd, on note Mu le canal quantique associé auxopérateurs déformés A

(u)r , c’est-à-dire,

Mu : I1(H) → I1(H)

ρ �→2d�

r=0eu.er ArρA∗

r .

Nous allons voir que la notion d’irréductibilité vue dans la partie 2.5.1 est requise pourle principe de grandes déviations. On l’adapte ici dans le cadre des marches quantiquesouvertes semi-finies aux plus proches voisins sur Zd.

Proposition 2.6. Soit Φ un canal quantique associé aux opérateurs de Kraus (Ar)r∈{0,...,2d}.Alors, Φ est irréductible si et seulement si pour tout x non nul dans H l’ensemble C[Ar]xest égal à H, où C[Ar] est l’ensemble des polynômes en Ar.

42

Le théorème de Perron-Frobenius pour les applications complètement positives seraun outil nécessaire dans la démonstration du principe de grandes déviations, on l’énonceci-dessous. Le lecteur trouvera une démonstration dans [EHK78] ou dans [Sch00].Proposition 2.7 ([EHK78]). Soient Φ une application complètement positive de I1(H) etλ une valeur propre de Φ telle que |λ| = r(Φ) (où r(Φ) est le rayon spectral de Φ) alors :

� |λ| est une valeur propre pour Φ qui admet comme vecteur propre ρ un opérateurstrictement positif (que l’on peut renormaliser pour obtenir un élément strictementpositif de S(H)) ;

� si Φ est irréductible alors dim(Ker(Φ − λI)) = 1.En particulier, si Φ est irréductible, alors r(Φ) est une valeur propre de Φ de multiplicité

géométrique égale à 1 et admet un vecteur propre qui est un élément strictement positifde S(H).Remarque. Si on suppose de plus que Φ préserve la trace, alors r(Φ) = 1. Dans ce cas, si Φest irréductible alors Φ admet un unique état fidèle qui est invariant par Φ. La réciproqueest également vraie (voir section 7 de [CP16b]) : si Φ admet un unique invariant strictementpositif de S(H), alors Φ est irréductible.

Nous allons maintenant énoncer deux lemmes, utiles dans la démonstration du théorèmeprincipal de cette partie, dont on trouvera les démonstrations dans [CP15]. Le premierlemme illustre le lien entre Mu et la fonction génératrice des moments de Xn − X0, tandisque le deuxième fournit des informations sur le rayon spectral de Mu.Lemme 2.2 ([CP15]). Soit (ρn, Xn)n∈N la trajectoire quantique définie via l’équation (2.4).Pour tout u ∈ Rd,

E�eu.(Xn−X0)

�=

�

i∈Zd

Tr�Mn

u(ρ(0)(i))�

.

Lemme 2.3 ([CP15]). Supposons que M soit irréductible. Alors, pour tout u ∈ Rd, le rayonspectral de Mu, que l’on notera λu = r(Mu), est une valeur propre de Mu de multiplicitéalgébrique égale à 1, et admet un vecteur propre vu qui est un élément strictement positif deS(H). De plus, la fonction λ : u �→ λu peut être prolongée analytiquement sur un voisinagede Rd.

Énonçons à présent une version particulière du théorème de Gärtner-Ellis. Ce résul-tat constitue le cœur de la démonstration du Théorème 2.7. Rappelons tout d’abord ladéfinition d’une bonne fonction de taux.Définition 2.7. Une application I : Rn → R est dite une bonne fonction de taux si I �= ∞,et si, pour tout a ∈ R, {x ∈ Rd, I(x) ≥ a} est un compact.Théorème 2.6 (Gärtner-Ellis [DZ10]). Soit (Zn)n∈N une famille de variables aléatoires surRd. Notons Λn : u �→ log

�E�eu.Zn

��le logarithme de la fonction génératrice des moments

de Zn pour tout n ∈ N. S’il existe une fonction Λ : Rd �→ R différentiable telle que, pourtout u ∈ Rd,

limn→+∞

1n

Λn(nu) = Λ(u) ,

alors (Zn)n∈N admet un principe de grandes déviations associé à la bonne fonction de taux :

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − Λ(u)) .

Explicitement, cela signifie que pour tout ensemble ouvert G et tout ensemble fermé F telsque G ⊂ F ⊂ Rd,

− infx∈G

Λ∗(x) ≤ lim infn→+∞

1n

logP (Zn ∈ G) ≤ lim supn→+∞

1n

logP (Zn ∈ F ) ≤ − infx∈F

Λ∗(x) .

43

On peut dorénavant énoncer le théorème de grandes déviations.

Théorème 2.7 ([CP15]). Soit (ρn, Xn)n∈N la trajectoire quantique définie via l’équation(2.4). Si M est irréductible, alors ( Xn−X0

n )n∈N admet un principe de grandes déviationsassocié à la bonne fonction de taux :

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(ux − log(λu)) .

Explicitement, cela signifie que pour tout ensemble ouvert G et tout ensemble fermé F telsque G ⊂ F ⊂ Rd,

− infx∈G

Λ∗(x) ≤ lim infn→+∞

1n

logP�

Xn − X0n

∈ G

�

≤ lim supn→+∞

1n

logP�

Xn − X0n

∈ F

�≤ − inf

x∈FΛ∗(x) .

Remarque. De plus, si E(eu.X0) < ∞ pour tout u ∈ Rd, alors le principe de grandesdéviations est encore valable pour Xn à la place de Xn − X0.

Démonstration. Par souci de simplicité, nous démontrons le théorème uniquement dans lecas où il existe i ∈ Zd tel que ρ(0)(i) > 0. En effet, la démonstration des autres cas estsimilaire et ne présente pas d’intérêt mathématique particulier. Nous invitons le lecteur àconsulter [CP15] s’il souhaite une démonstration exhaustive.

L’opérateur M étant irréductible, le Lemme 2.3 fournit l’existence d’un état fidèle vu telque Mu(vu) = λuvu pour tout u ∈ Rd. Pour tout i ∈ Zd, posons ru,i = min(Sp(ρ(0)(i))) etsu,i = Tr(ρ(0)(i))

min Sp(vu) (où Sp(f) désigne le spectre de f). Grâce à la réduction simultanée de deuxformes hermitiennes définies positives, Sp(ρ(0)(i)−ru,ivu) ⊂ R+ et Sp(su,ivu−ρ(0)(i)) ⊂ R+.On obtient donc les inégalités suivantes :

ru,ivu ≤ ρ(0)(i) ≤ su,ivu ,

et doncru,iλ

nuvu ≤ Mn

u(ρ(0)(i)) ≤ su,iλnuvu .

Grâce au Lemme 2.2, la somme des traces de l’équation ci-dessus donne :�

i∈Zd

ru,iλnu ≤ E

�eu.(Xn−X0)

�≤

�

i∈Zd

su,iλnu .

Les sommes de l’inégalité ci-dessus sont finies et strictement positives, donc

limn→+∞

1n

log�E�eu.(Xn−X0)

��= log(λu) . (2.9)

Si l’on note Λn : u �→ log�E�

eu.Xn−X0

n

��le logarithme de la fonction génératrice des

moments de Xn−X0n , et Λ : u �→ log(λu) (qui est une fonction analytique d’après le Lemme

2.3), on a montré que, pour tout u ∈ Rd,

limn→+∞

1n

Λn(nu) = Λ(u) .

Le théorème de Gärtner-Ellis (Théorème 2.6) peut donc être appliqué, ce qui fournit lerésultat attendu avec

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − log(λu)) .

44

Illustrons le théorème ci-dessus par l’Exemple 2.1 vu en amont.Exemple 2.7. On considère la marche quantique ouverte sur Z définie par l’équation (2.3),où Hi = C2 pour tout i ∈ Z et

A0 = 1√2

I, A1 = 1√6

�1 10 1

�et A−1 = 1√

6

�1 0

−1 1

�.

L’unique état invariant de M est ρinv = 12I. Cet état s’avère être fidèle, donc M est irréduc-

tible (cette implication est prouvée dans la section 7 de [CP16b]). Cet exemple vérifie doncl’hypothèse du Théorème 2.7, c’est pourquoi ( Xn−X0

n )n∈N admet un principe de grandesdéviations avec Λ∗ comme bonne fonction de taux.

Essayons à présent d’exprimer la bonne fonction de taux. Dans ce but, pour tout udans R, nous écrivons Mu dans la base canonique de M2(C) :

Mu = 16

eu + e−u + 3 eu eu eu

−e−u eu + e−u + 3 0 eu

−e−u 0 eu + e−u + 3 eu

e−u −e−u −e−u eu + e−u + 3

.

Par le calcul, on trouve :

λu = 12 + 1

6

�eu + e−u + (eu + e−u +

√e2u + e−2u + 3) 1

3

− (eu + e−u +√

e2u + e−2u + 3)− 13

�.

Afin de trouver une formule analytique pour

Λ∗ : x �→ (Λ�)−1(x)x − log(λ(Λ�)−1(x))) ,

il est nécessaire d’inverser la fonction Λ� : u �→ dλu

du× 1

λu.

L’inversion de Λ� étant trop complexe au regard de λu, nous allons plutôt utiliser dessimulations numériques pour obtenir Λ∗.

Ci-dessous, une simulation de la bonne fonction de taux Λ∗ associée à (Xn−X0n )n∈N :

Cet exemple clôt le chapitre sur les marches quantiques ouvertes à temps discret. Cesmarches ont inspiré un modèle à temps continu. Cette extension continue sera présentéedans le chapitre suivant.

45

46

Chapitre 3

Marches quantiques ouvertes àtemps continu

Sommaire3.1 Définition du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 Lien avec les chaînes de Markov à temps continu . . . . . . . . 50

3.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Développement de Dyson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5 Trajectoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6 Des marches quantiques ouvertes discrètes vers celles continues 59

3.7 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiques ou-vertes sur Zd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Dans ce chapitre, nous allons nous intéresser à l’extension quantique naturelle deschaînes de Markov à temps continu : les marches quantiques ouvertes à temps continu.Ces marches sont qualifiées d’ouvertes car elles sont inspirées des modèles vus dans le Cha-pitre 1 sur les systèmes quantiques ouverts. Elles ont été introduites comme limite desmarches quantiques ouvertes à temps discret par C. Pellegrini ([Pel14]).

Sans entrer dans les détails, on étudie l’évolution d’un "marcheur" qui saute de siteen site à des moments aléatoires sur un graphe donné. Comme dans le cas classique, unmarcheur reste sur une position pendant un temps aléatoire (qui suit une loi exponentielle),puis saute sur un autre site. Dans notre contexte, les temps de saut dépendent du paramètreinterne. C’est pourquoi des comportements différents du contexte classique peuvent êtreobservés.

Il est important de noter que, généralement, afin d’étudier une chaîne de Markov àtemps continu, il suffit d’étudier la valeur du processus aux instants de saut. En particulier,il est connu que les durées entre les sauts sont indépendantes et identiquement distribuées.Par conséquent, le processus aux temps de saut peut être considéré comme une chaîne deMarkov à temps discret et toutes les propriétés de cette chaîne (irréductibilité, récurrence,...) sont transférées au processus à temps continu. Dans notre contexte, ce n’est pas le cas.En effet, le processus aux temps de saut ne peut pas être considéré comme une marchequantique ouverte à temps discret. Une analyse spécifique est alors nécessaire pour étudierles marches quantiques ouvertes à temps continu.

47

3.1 Définition du modèleDans cette partie, nous allons introduire le cadre mathématique permettant de définir

les marches quantiques ouvertes à temps continu qui sont les analogues quantiques deschaînes de Markov à temps continu. Les notations de la Section 2.1 sont conservées.

On s’intéresse à des évolutions continues sur le système K = �i∈V

Hi ⊗ |i�, qui préservent

D =�

µ ∈ I1(K), µ =�

i∈V

ρ(i) ⊗ |i��i|, ρ(i) ≥ 0,�

i∈V

tr�ρ(i)

�= 1

�.

En particulier, ces dynamiques sont décrites par des lindbladiens. Dans ce chapitre, on seconcentre sur des opérateurs de Lindblad spécifiques.Proposition 3.1. [Pel14] Soit L le lindbladien suivant

L : I1(K) → I1(K)µ �→ −i[H, µ] +

�

i,j∈Vi�=j

�Sj

i µSj∗i − 1

2{Sj∗i Sj

i , µ}� (3.1)

où [X, Y ] = XY − Y X, {X, Y } = XY + Y X, pour X, Y ∈ B(K), et H, (Sji )i,j∈V sont des

opérateurs bornés de K tels que :— H = �

i∈VHi ⊗ |i��i|, où Hi sont des opérateurs auto-adjoints sur Hi ;

— pour tout i et j distincts dans V , Sji = Rj

i ⊗ |j��i| où Rji ∈ B(Hi, Hj) tels que

�

i,j∈Vi�=j

Sji Sj∗

i

converge fortement.

L’équationddt

µ(t) = L(µ(t)), (3.2)

avec condition initiale µ(0) =�

i∈V

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ∈ D admet une unique solution (µ(t))t≥0 à

valeurs dans D.

Plus précisément, µ(t) est de la forme µ(t) = �i∈V

ρ(t)(i) ⊗ |i��i| où

ddt

ρ(t)(i) = −i[Hi, ρ(t)(i)] +�

j∈Vj �=i

�Ri

jρ(t)(j)Ri∗j − 1

2{Rj∗i Rj

i , ρ(t)(i)}� , (3.3)

pour tout i ∈ V .Cette proposition nous permet de définir les marches quantiques ouvertes continues.

Définition 3.1. L’évolution (3.2) est appelée marche quantique ouverte à temps continusur V . Cette évolution est régie par un semi-groupe de Markov quantique T =

�etL(.)

�t≥0

.Pour tout t ≥ 0 et tout i ∈ V , les quantités

qt(i) = Tr(ρ(t)(i))

définissent une mesure de probabilité qt sur V appelée "la distribution de probabilité de lamarche quantique ouverte à l’instant t".

48

Introduisons à présent une nouvelle écriture, essentielle pour la suite (Section 3.4), del’opérateur de Lindblad (3.1). Pour cela, on pose

G = −iH − 12

�

i,j∈Vi�=j

Sj∗i Sj

i ,

ce qui donne l’expression suivante pour L :

L(.) = G . + . G∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sji . Sj∗

i . (3.4)

Réciproquement, si on considère un lindbladien L de la forme (3.4) alors L admet uneécriture comme dans l’équation (3.1) si et seulement si

G + G∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sj∗i Sj

i = 0 . (3.5)

L’équation ci-dessus est cruciale car elle permet notamment au semi-groupe de préserverla trace.

Grâce à la décomposition de H par blocs�

H = �i∈V

Hi ⊗ |i��i|�

, on peut écrire

G =�

i∈V

Gi ⊗ |i��i|

oùGi = −iHi − 1

2�

j∈Vj �=i

Rj∗i Rj

i .

À l’aide des opérateurs (Gi)i∈V , on obtient une nouvelle écriture pour l’équation (3.3) :

ddt

ρ(t)(i) = Giρ(t)(i) + ρ(t)(i)G∗

i +�

j∈Vj �=i

Rijρ(t)(j)Ri∗

j , (3.6)

pour tout i ∈ V . L’opérateur Rji décrit la transformation de l’espace d’état interne lorsque

la particule saute de i sur j. Dans le cas où la particule située sur i reste sur place, l’évolutionsur Hi est dirigée par Gi. L’égalité (3.5) se transcrit comme suit. Pour tout i ∈ V ,

Gi + G∗i +

�

j∈Vj �=i

Rj∗i Rj

i = 0 .

On retrouve la même condition que pour une matrice de taux de transition (qij)i,j∈V d’unechaîne de Markov à temps continu :

qii +�

j∈Vj �=i

qij = 0 ,

pour tout i dans V . Plus précisément, nous allons voir dans ce qui suit que les marchesquantiques ouvertes continues sont des généralisations de marches aléatoires continues clas-siques.

49

3.2 Lien avec les chaînes de Markov à temps continuLa prochaine proposition montre comment il est possible de construire une chaîne de

Markov à temps continu classique à l’aide une marche quantique ouverte. Rappelons qu’unechaîne de Markov à temps continu (Yt)t≥0 sur V est définie par sa distribution initiale p0et sa matrice de taux de transition

Q = (qij)i,j∈V

où qij ≥ 0 pour tout i et j distincts dans V et qii = − �j �=i

qij pour tout i ∈ V .

Proposition 3.2 ([Pel14]). Pour tout i et j distincts dans V , soient Uji un opérateur

unitaire de B(Hi, Hj) et Q = (qij)i,j∈V une matrice de taux de transition. On pose, pourtout i et j distincts dans V ,

Rji = √

qijUji ,

et, pour tout i dans V ,Gi = qii

2 IHi .

Alors l’égalitéGi + G∗

i +�

j∈Vj �=i

Rj∗i Rj

i = 0

est vérifiée pour tout i dans V . De plus, pour tout état initial

µ(0) =�

i∈V

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ,

les distributions (qt)t≥0 de la marche quantique ouverte sont celles d’une chaîne de Markovà temps continu classique sur V , de distribution initiale p0 telle que p0(i) = Tr(ρ(0)(i))pour tout i dans V et de matrice de taux de transition

Q = (qij)i,j∈V .

Démonstration. Tout d’abord, pour tout i dans V , on a bien

Gi + G∗i +

�

j∈Vj �=i

Rj∗i Rj

i = qiiIHi +�

j∈Vj �=i

qijUj∗i Uj

i =

qii +

�

j∈Vj �=i

qij

IHi = 0 .

Par définition, q0 = p0. On examine à présent les équations différentielles vérifiées par les(qt(i))i∈V qui découlent des équations (3.6) :

ddt

qt(i) = −qiiqt(i) +�

j∈Vj �=i

qijqt(j) ,

pour tout i dans V . On obtient doncddt

qt = Qqt ,

où Q = (qij)i,j∈V est la matrice de taux de transition. Les distributions (qt)t≥0 sont alorsdirigées par un semi-groupe de Markov classique T =

�etQ(.)

�t≥0

. Ceci conclut la démons-tration.

Les chaînes de Markov à temps continu classiques sont donc des cas particuliers demarches quantiques ouvertes. Avant d’aborder les trajectoires quantiques pour les marchesquantiques ouvertes, illustrons notre propos par un exemple.

50

3.3 Exemple

Dans cette partie, les modèles définis en amont sont présentés à travers un exemple.On se concentre en particulier sur les marches sur V = Z telles que Hi = H0 pour tout i ∈ Z.

L’une des marches quantiques ouvertes les plus basiques est donnée par la marche aléa-toire sur Z où le marcheur stagne, puis saute à droite ou saute à gauche. Ces transformationssont régies par G0, R1 ou R−1 respectivement. On pose

Gi = G0 pour tout i ∈ Z,

et

Sji = R1 ⊗ |i + 1��i| si j = i + 1

= R−1 ⊗ |i − 1��i| si j = i − 1= 0 sinon,

tels que

G0 + G∗0 + R∗

1R1 + R∗−1R−1 = 0 . (3.7)

La marche quantique ouverte µ(t) est donc de la forme µ(t) = �i∈Z

ρ(t)(i) ⊗ |i��i| telle que

ddt

ρ(t)(i) = G0ρ(t)(i) + ρ(t)(i)G∗0 + R1ρ(t)(i − 1)R∗

1 + R−1ρ(t)(i + 1)R∗−1 ,

pour tout i ∈ Z.

Exemple 3.1. Prenons un exemple concret, où Hi = C2 pour tout i ∈ Z,

G0 =�

−38 0

0 −14

�, R1 =

�0 1

212 0

�et R−1 =

�0 1

21√2 0

�.

L’équation (3.7) est bien vérifiée. En partant de l’état µ(0) =�

0 00 1

�⊗ |0��0|, on obtient

une approximation numérique pour les distributions q0, q0.1, q1 et q10 :

| − 3� | − 2� | − 1� |0� |1� |2� |3�q0 0 0 0 1 0 0 0

q0.1 0 0.000375 0.023875 0.953125 0.02225 0.000375 0q1 0.00175 0.037875 0.135375 0.660875 0.143625 0.01825 0.001625q10 0.082875 0.185 0.134875 0.194 0.101125 0.085 0.035625

L’évolution de la distribution de la marche aléatoire quantique est donnée ci-dessous.L’axe X représente |i� la position sur Z (entre −5 et 5), l’axe Y représente t le temps (entre0 et 10) et l’axe Z renvoie la probabilité qt(i).

51

Sur ces simulations numériques, la distribution de la marche quantique ouverte sembledevenir gaussienne. Les propriétés asymptotiques seront étudiées plus en détail dans laSection 3.8.Remarque. Contrairement au cas discret, le support de q1 n’est pas restreint à {−1, 0, 1}.Dans cet exemple, le support de qt est précisément égal à Z pour tout t ≥ 0.

Cette remarque met en avant la différence qui existe entre les modèles discret et continu.Nous allons voir dans le Théorème 3.1 que les notions d’irréductibilité et d’améliorationde la positivité sont équivalentes pour le modèle continu alors qu’elles ne le sont pas pourle modèle discret. Pour prouver cette équivalence, nous avons besoin d’introduire une ex-pression pour la marche quantique ouverte à l’aide du développement de Dyson.

3.4 Développement de DysonLe but de cette section est d’obtenir une nouvelle expression de µ(t) = etL(µ(0)) grâce

au développement de Dyson. Rappelons que µ(0) =�

i∈V

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ∈ D représente l’état

initial du système et que l’opérateur de Lindblad L peut s’écrire

L = K + Φ , (3.8)

où K(.) = G . + . G∗, G ∈ B(K) et Φ une application complètement positive de sorte queTr(L(µ)) = 0 pour tout µ ∈ I1(K).

Proposition 3.3. Soit µ(t) = etL(µ(0)) la marche quantique ouverte définie dans la Pro-position 3.1, avec L = K + Φ une décomposition de Lindblad comme dans l’équation (3.8),alors

µ(t) =∞�

n=0

�

0<t1<...<tn<te(t−tn)K Φ e(tn−tn−1)K Φ ... e(t2−t1)K Φ et1K(µ(0))dt1...dtn . (3.9)

Démonstration. PosonsΓt = e−tKetL .

52

Cet opérateur vérifie l’équation différentielle suivante :

ddt

Γt(µ) = e−tKΦetKΓt(µ) ,

pour tout µ ∈ I1(K). Sous forme intégrale, on obtient

Γt(µ) = Γ0(µ) +� t

0e−t1KΦet1KΓt1(µ)dt1

= µ +� t

0e−t1KΦet1K(µ)dt1 +

� t

0

� t1

0e−t1KΦet1Ke−t2KΦet2KΓt2(µ)dt2dt1

= µ +∞�

n=1

�

0<t1<...<tn<te−tnKΦe(tn−tn−1)KΦ ... e(t2−t1)KΦet1K(µ)dt1...dtn .

De cette décomposition découle une nouvelle expression pour µ(t) = etL(µ(0)),

µ(t) = etK�µ(0)

�+

∞�

n=1

�

0<t1<...<tn<te(t−tn)KΦe(tn−tn−1)K ... Φet1K(µ(0))dt1...dtn ,

la série est bien convergente car le majorant ci-dessous est le terme d’une série convergente :�����

0<t1<...<tn<te(t−tn)KΦe(tn−tn−1)K ... Φet1K(µ(0))dt1...dtn

����1

≤ tn�Φ�netn�K�

n!���µ(0)

���1

.

Nous énonçons maintenant un corollaire découlant de la Proposition 3.3 qui donne uneexpression de µ(t) impliquant les opérateurs de transition du lindbladien.

Corollaire 3.1. Soit µ(t) = etL(µ(0)) la marche quantique ouverte définie dans la Pro-position 3.1, où L est l’opérateur de Lindblad (3.4) et µ(0) est l’état initial du système,alors

µ(t) =∞�

n=0

�

i0,...,in∈Vik �=ik+1

�

0<t1<...<tn<tT (ξ, t) µ(0) (T (ξ, t))∗ dt1...dtn , (3.10)

où

T (ξ = (i0, ..., in, t1, ..., tn), t) = e(t−tn)GSinin−1 ... Si1

i0 et1G

= e(t−tn)Gin Rinin−1 ... Ri1

i0et1Gi0 ⊗ |in��i0| .

La décomposition de Dyson sera cruciale dans la preuve du Théorème 3.1 (Section3.7.1) ainsi que dans la définition des trajectoires quantiques.

3.5 Trajectoires quantiquesÀ l’instar des marches quantiques discrètes, les trajectoires quantiques continues sont

des objets stochastiques qui décrivent la distribution d’une marche quantique ouverte.Ces trajectoires sont des processus markoviens où la composante représentant la positionde la particule est une généralisation quantique des chaînes de Markov à temps continu.Formellement, les trajectoires quantiques modélisent l’évolution de l’état lorsqu’une mesurecontinue de la position de la particule est effectuée. L’état à l’instant t peut être décrit parun couple (ρt, Xt)t≥0 où Xt est la position de la particule et ρt l’état quantique internedonné par le postulat de la réduction du paquet d’onde à l’instant t. Nous allons exposerdeux manières équivalentes de définir les trajectoires quantiques.

53

3.5.1 Mesure sur les trajectoires quantiquesCette section a pour objet d’introduire de façon rigoureuse la mesure de probabilité

Pµ sur l’ensemble des trajectoires possibles de la particule lorsque µ ∈ D est l’état initialdu système. Pour cela, nous nous inspirons de [BB91, BGM04, JPW14] en procédant endeux étapes. Tout d’abord, on définira l’espace de probabilité (Ξ t, Σt,Pt

µ) associé aux tra-jectoires quantiques jusqu’au temps t. Ensuite, nous étendrons cet espace afin d’obtenirl’espace probabilisé (Ξ∞, Σ∞,Pµ) qui permet de définir les trajectoires quantiques conti-nues.

Commençons par définir l’ensemble Ξ t des trajectoires jusqu’au temps t :

Ξt = �n∈N

Ξtn

oùΞt

n = {ξ = (i0, ..., in, t1, ..., tn) ∈ In+1 × Rn, 0 < t1 < ... < tn < t} .

On munit l’espace Ξ tn de la σ-algèbre Σt

n et de la mesure νtn induits par l’application

suivante :

Jn :�In × [0, t)n, P(In+1) × B ([0, t)n) , δn × 1

n!λn

�→ �

Ξtn, Σt

n, νtn

�

(i0, ..., in, s1, ..., sn) �→ (i0, ..., in, smin, ..., smax)

où δ est la mesure comptage sur I et λn est la mesure de Lebesgue sur [0, t)n équipée de latribu borélienne B ([0, t)n). On définit la σ-algèbre Σt = σ(Σt

n, n ∈ N). Les mesures δ et λn

sont σ-finies, on peut donc appliquer le théorème d’extension de Carathéodory 1 qui nouspermet de définir la mesure νt sur (Ξt, Σt) telle que νt = νt

n sur (Ξtn, Σt

n). L’espace Ξt destrajectoires quantiques est donc un espace mesuré.

Pour tout état initial µ ∈ D, on définit la mesure Ptµ sur l’espace Ξt des trajectoires

quantiques jusqu’au temps t telle que, pour tout E ∈ Σt,

Ptµ(E) =

�

ETr

�T (ξ, t) µ (T (ξ, t))∗

�dνt(ξ)

=∞�

n=0

�

i0,...,in∈V

�

0<t1<...<tn<t1ξ∈E Tr (T (ξ, t) µ (T (ξ, t))∗) dt1...dtn , (3.11)

où ξ = (i0, ..., in, t1, ..., tn) ∈ Ξtn et

T (ξ = (i0, ..., in, t1, ..., tn), t) = e(t−tn)Gin Rinin−1 ... Ri1

i0et1Gi0 ⊗ |in��i0| .

Remarque. Les opérateurs de la forme Rii sont nuls, cela signifie que le paramètre interne

effectue des sauts uniquement si le marcheur se déplace.La mesure Pt

µ est une mesure de probabilité. En particulier,

Ptµ(Ξt) = Tr

�etL(µ)

�= 1 .

On peut aller plus loin et définir une mesure de probabilité Pµ sur l’ensemble des trajec-toires quantiques. Notons que la famille des mesures de probabilité

�Pt

µ

�t≥0

est consistante.En effet, Pt+s

µ (E) = Ptµ(E) pour tout t, s positifs et E ∈ Σt. Alors le théorème de consis-

tance de Kolmogorov 2 nous permet d’étendre�Pt

µ

�t≥0

à une unique mesure de probabilitéPµ sur (Ξ∞, Σ∞). On peut à présent définir les trajectoires quantiques continues.

1. Voir [Doo12] pour une preuve.2. Voir [Øks03] pour une preuve.

54

Définition 3.2. Soit µ ∈ D et L un opérateur de Lindblad (3.4) d’une marche quantiqueouverte. Soit (Ξ∞, Σ∞,Pµ) l’espace probabilisé défini en amont. On définit (ωt)t≥0 la famillede variables aléatoires comme suit :

(ωt)t≥0 : (Ξ∞, Σ∞,Pµ) −→ (S(K), T )

ξ �−→�

T (ξt, t) µ (T (ξt, t))∗

Tr (T (ξt, t) µ (T (ξt, t))∗)

�

t≥0

où T est la tribu induite de I1(K) sur S(K),

ξt = (i0, ..., in, t1, ..., tn) pour n = max{k|tk < t}

etT (ξt, t) = e(t−tn)Gin Rin

in−1 ... Ri1i0et1Gi0 ⊗ |in��i0| .

On dit que la famille de variable aléatoire (ωt)t≥0 est une trajectoire quantique continued’une marche quantique ouverte.

Par la suite, on s’intéresse uniquement au cas où l’état initial est de la forme ρ ⊗ |i��i|,c’est-à-dire lorsque la particule est initialement sur le site i munie du paramètre interne ρ.Dans ce cas, la probabilité correspondante Pµ sera notée par abus Pi,ρ. L’espérance associéeà Pi,ρ sera quant à elle naturellement notée Ei,ρ.

3.5.2 Équation maîtresse stochastique pour les marches quantiques ou-vertes

On expose ici une autre façon de définir les trajectoires quantiques continues. Pourcela, nous aurons besoin d’un espace de probabilité (Ω, F ,P), dans lequel on considère desprocessus de Poisson (N ij)i,j∈V indépendants sur R2. Le saut du site i au site j sera régipar le processus de Poisson N ij . Dans cette section, on considère uniquement les marchesquantiques ouvertes semi-finies, c’est-à-dire que Hi est de dimension finie pour tout i dansV . La proposition suivante permet de définir les trajectoires quantiques pour les marchesquantiques ouvertes à temps continu grâce aux processus de saut (N ij)i,j∈V .

Proposition 3.4 ([Pel14]). Soit µ(t) = etL(µ(0)) la marche quantique ouverte définie dansla Proposition 3.1, où L est l’opérateur de Lindblad (3.4) et µ(0) = �

i∈Vρ(0)(i) ⊗ |i��i|

est l’état initial du système. La trajectoire quantique décrivant la mesure continue de laposition de la particule est le processus de Markov (ωt)t≥0 à valeurs dans D tel que

ω0 = ρ(0)(i)Tr

�ρ(0)(i)

� ⊗ |i��i| avec probabilité Tr�ρ(0)(i)

�

et tel que

ωt = ω0 +t�

0

K(ωs−) ds +�

i,j∈Vi�=j

t�

0

�

R

�Sj

i ωs−Sj∗i

Tr(Sji ωs−Sj∗

i )− ωs−

�10<y<Tr(Sj

i ωs−Sj∗i )N

ij(dy, ds)

(3.12)où

K(ω) = L(ω) −�

i,j∈Vi�=j

�Sj

i ωSj∗i − ωTr(Sj

i ωSj∗i )

�= Gω + ωG∗ − ωTr(Gω + ωG∗) ,

pour tout ω ∈ D.

55

Plus particulièrement, le processus de Markov (ωt)t≥0 est de la forme

ωt = ρt ⊗ |Xt��Xt|

pour t positif, Xt ∈ V et ρt ∈ S(HXt), tel que

ρt = ρ0 +�

i∈V

t�

0

�Giρs− + ρs−G∗

i − ρs−Tr(Giρs− + ρs−G∗i )�1Xs−=ids

+�

i,j∈Vi�=j

t�

0

�

R

�Rj

i ρs−Rj∗i

Tr(Rji ρs−Rj∗

i )− ρs−

�1Xs−=i10<y<Tr(Rj

i ρs−Rj∗i )N

ij(dy, ds) ,

Xt = X0 +�

i,j∈Vi�=j

t�

0

�

R

(j − i)1Xs−=i 10<y<Tr(Rji ρs−Rj∗

i )Nij(dy, ds)

et (ρ0, X0) =�

ρ(0)(i)Tr�

ρ(0)(i)� , i

�avec probabilité Tr

�ρ(0)(i)

�.

Une trajectoire quantique est donc déterminée par une équation différentielle stochas-tique. Décrivons brièvement comment construire une telle évolution. Le point d’origine(ρ0, X0) de notre trajectoire est obtenu en effectuant une mesure de la position, cette

mesure renvoie�

ρ(0)(i)Tr�

ρ(0)(i)� , i

�avec probabilité Tr

�ρ(0)(i)

�. Admettons que nous ayons ob-

tenu X0 = i, on considère alors la solution (ηt)t≥0 de la partie déterministe de l’équationdifférentielle stochastique, c’est-à-dire, pour tout t ≥ 0,

ηt = ρ0 +� t

0

�Giηs + ρsG∗

i − ηsTr(Giηs + ηsG∗i )�ds. (3.13)

On définit maintenant le premier temps de saut T1 = infj �=i

{T j1 } où

T j1 = inf{t, N ij(u, y|u ∈ [0, t], y ∈ [0, Tr(Rj

i ηuRji

∗)]) ≥ 1},

pour tout j �= i. L’infimum est en fait un minimum car les processus de Poisson N ij sontindépendants, on note j l’élément de V tel que T1 = T j

1 . On peut maintenant définir latrajectoire quantique jusqu’au temps T1 :

∀t ∈ [0, T1[, (ρt = ηt, Xt = i) et�

ρT1 = Rji ρT1−Rj

i

∗

Tr(Rji ρT1−Rj

i

∗), XT1 = j

�.

On résout ensuite l’équation différentielle

ηt = ρT1 +� t

0

�Gjηs + ηsG∗

j − ηsTr(Gjηs + ηsG∗j

�ds

qui nous permet de définir la trajectoire quantique jusqu’au deuxième temps de saut T2 etainsi de suite.Remarque. Les deux façons de définir les trajectoires quantiques engendrent le même pro-cessus. Tous les détails ne figurant pas ici, le lecteur peut se référer aux articles [BB91,BGM04] pour une justification rigoureuse du lien entre ces deux approches. Il est tou-tefois important de noter que l’on peut construire l’équation différentielle stochastique

56

(3.12) dans l’espace probabilisé (Ξ∞, Σ∞,Pµ). En effet, pour une trajectoire quelconqueξ = (i0, ..., in, t1, ..., tn) de Ξt, considérons le processus de comptage N ij(t) qui dénombreles sauts de i à j. Soit (ωt)t≥0 la trajectoire quantique vue dans la Définition 3.2. Il a étéprouvé dans [BB91] que

(N ij(t)) et

t�

0

�

R

10<y<Tr(Sji ωs−Sj∗

i )Nij(dy, ds)

ont la même loi. De plus, on peut montrer que le processus (ωt)t de la Définition 3.2 satisfait

dωt = K(ωt)dt +�

i,j∈Vi�=j

�Sj

i ωs−Sj∗i

Tr(Sji ωs−Sj∗

i )− ωs−

�dN ij(t) .

Pour ces raisons, une unique notation désigne les trajectoires quantiques de la Définition3.2 et de la Proposition 3.4. Avant d’aborder les propriétés du processus (ωt)t≥0, étudionsdes modèles très particuliers.

3.5.3 Exemple et cas particuliersExemple

Étudions à présent un exemple de trajectoire quantique continue. Considérons à nou-veau l’Exemple 3.1. Cet exemple est illustré par le graphe suivant.

−1H−1

0H0

1H1

......

G0

R1

R−1

G0

R−1

R1

G0

R−1

R1

R−1

R1

On a Hi = C2 pour tout i ∈ Z,

G0 =�

−38 0

0 −14

�, R1 =

�0 1

212 0

�et R−1 =

�0 1

21√2 0

�.

Ci-dessous, une simulation numérique d’une trajectoire quantique où le temps t est enordonnée et la position du marcheur Xt est en abscisse.

57

Cas où l’on retrouve une trajectoire classique

En examinant les trajectoires quantiques dans le cadre établi dans la Proposition 3.2, onremarque que le processus (Xt)t≥0 est une chaîne de Markov à temps continu classique surV . Plus précisément, s’il existe (Uj

i )i,j∈V ∈ B(Hi, Hj)V 2 une famille d’opérateurs unitaireset Q = (qij)i,j∈V une matrice de taux de transition telles que

Rji = √

qijUji ,

etGi = qii

2 IHi ,

pour tout i et j distincts dans V , alors le processus (Xt)t≥0 défini dans la Proposition 3.4est une chaîne de Markov à temps continu classique sur V de distribution initiale q0 et dematrice de taux de transition Q = (qij)i,j∈V .

Décrivons plus en détail le processus (Xt)t≥0. La position initiale X0 prend la valeuri avec probabilité Tr(ρ(0)(i)), et dans ce cas là, la particule reste sur i durant un tempsexponentiel de paramètre −qii puis saute sur un nouvel état, en choisissant l’état j avecprobabilité qij

−qii. Ensuite, sans prendre en compte sa trajectoire passée, elle reste sur le site

j durant un temps exponentiel de paramètre −qjj , et ainsi de suite.

Cas où le processus aux temps de sauts est une marche quantique

Il existe un autre cas intéressant qui est plus général que le cadre établi ci-dessus, pourlequel le processus associé au temps de saut est une marche quantique ouverte à "tempsdiscret". On l’énonce dans la proposition ci-dessous.

Proposition 3.5. Soit T =�etL(.)

�t≥0

la marche quantique ouverte définie dans la Pro-position 3.1. Supposons qu’il existe une famille (ri)i∈V de réels strictement positifs telsque

Gi = −ri

2 IHi ,

pour tout i dans V . Alors le canal quantique

M : I1(K) → I1(K)µ �→

�

i,j∈V

Bji µBj∗

i,

tel que Bji = Rj

iri

⊗ |j��i| pour tout i et j distincts dans V , définit une marche quantiqueouverte discrète. De plus, le processus aux instants de saut de la trajectoire quantiquecontinue est une trajectoire quantique discrète associée au canal quantique M. Les tempsde sauts sont alors indépendants et suivent une loi exponentielle de paramètre ri lorsquela particule est située sur le site i ∈ V .

Le cadre de la proposition ci-dessus est très restrictif, il est donc souvent impossible deconsidérer le processus aux temps de sauts comme une trajectoire quantique discrète.

3.5.4 Lien avec les marches quantiques ouvertes

Comme dans le cadre discret, on expose le lien entre les marches quantiques ouverteset les trajectoires quantiques continues.

58

Proposition 3.6. Soit µ(t) la marche quantique ouverte définie dans la Proposition 3.1 etωt = ρt ⊗ |Xt��Xt| la trajectoire quantique associée définie dans la Proposition 3.2. Alors,pour tout t ≥ 0,

E(ωt) = µ(t) .

De plus, pour tout t ≥ 0, la distribution de Xt est égale à qt.

Démonstration. La première égalité est évidente au vu du développement de Dyson (Co-rollaire 3.1 et Définition 3.2). Pour la deuxième partie, posons t ≥ 0 et i ∈ V , alors

qt(i) = Tr(µ(t)(I ⊗ |i��i|)) = E(Tr(ωt(I ⊗ |i��i|))) = E(1Xt=i) = P(Xt = i) .

On a prouvé que Xt a pour distribution qt pour tout t ≥ 0.

Ceci clôt la section sur les trajectoires quantiques continues. Ces trajectoires peuventêtre perçues comme limites de trajectoires discrètes (voir Proposition 3.8 dans la sectionsuivante).

3.6 Des marches quantiques ouvertes discrètes vers cellescontinues

Nous avons défini les marches quantiques ouvertes continues à l’aide d’un opérateur deLindblad spécifique (voir l’équation (3.1)). Néanmoins, ces modèles ont été originellementintroduits comme limite des marches quantiques ouvertes à temps discret par C.Pellegrini([Pel14]). Nous rappelons ici les résultats de convergence qui lient les modèles discrets etcontinus.

On notera h le paramètre temporel qui permet de faire le lien entre les marches aléatoiresà temps discret et celles à temps continu. Les conditions asymptotiques pertinentes pourobtenir des limites non triviales sont :

limh→0

�

i∈V

�����Ai

i(h) − I

h− Gi

�����∞

= 0 , (3.14)

et limh→0

�

i,j∈V

�����Aj

i (h)√h

− Rji

�����

2

∞= 0 . (3.15)

Nous pouvons à présent énoncer la proposition suivante.

Proposition 3.7 ([Pel14]). Soient µ(0) un état de K et M(h) un canal quantique tel que :

M(h) : I1(K) → I1(K)µ �→

�

i,j∈V

Bji (h) µ Bj∗

i (h) (3.16)

oùBj

i (h) = Aji (h) ⊗ |j��i| avec Aj

i (h) ∈ B(Hi, Hj) ,

tels que�

i,j∈V

Bj∗i (h)Bj

i (h) converge fortement pour tout h strictement positif et tels que

les conditions asymptotiques (3.14) et (3.15) soient satisfaites. Alors la marche quantiqueouverte discrète

�M[ t

h](h)(µ(0))

�t≥0

converge, quand h tend vers zéro, vers la solution�µ(t)

�t≥0

de l’équation maîtresse :

ddt

µ(t) = L(µ(t)), (3.17)

59

où l’opérateur de Lindblad L est de la forme :

L(µ) = Gµ + µG∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sji µSj∗

i , (3.18)

pour tout µ ∈ I1(K) avec

G =�

i∈V

Gi ⊗ |i��i|, Gi ∈ B(Hi) pour tout i dans V ,

Sji = Rj

i ⊗ |j��i|, Rji ∈ B(Hi, Hj) pour tout i, j distincts dans V ,

et G + G∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sj∗i Sj

i = 0 au sens de la convergence forte.

Par ailleurs, les trajectoires associées aux marches quantiques continues ont été, ellesaussi, construites comme limite de trajectoires quantiques discrètes. Nous étudions cet as-pect dans la proposition suivante, la démonstration repose sur la convergence du générateurde Markov discret vers celui du processus continu.

Proposition 3.8 ([Pel14]). Considérons V un graphe fini. Soient (ω[ th

])t≥0 la trajectoirequantique discrète (voir Proposition 2.3) associée au canal quantique M(h) définie grâceà l’équation (3.16) et (ωt)t≥0 la trajectoire quantique continue définie dans la Proposition3.4 de lindbladien L de la forme (3.18). Si les conditions asymptotiques (3.14) et (3.15)sont respectées, alors le processus (ω[ t

h])t≥0 converge en loi vers (ωt)t≥0 lorsque h tend vers

zéro.

Nous avons à présent les outils nécessaires afin d’étudier les propriétés associées à laposition du marcheur (Xt)t≥0.

3.7 PropriétésLe but de cette section est d’introduire, pour les marches quantiques ouvertes à temps

continu, des notions généralement associées aux chaînes de Markov telles que l’irréduc-tibilité, la transience et la récurrence. En classique, les propriétés du modèle continu sedéduisent du processus aux instants de sauts. Dans notre cas, le processus aux instantsde saut n’est pas forcément une marche quantique ouverte. Il est donc nécessaire de faireune étude spécifique pour obtenir des résultats sur le modèle continu. Dans cette partie,nous allons mettre en avant les différences qu’il peut exister entre les marches quantiquesouvertes discrètes et continues.

3.7.1 IrréductibilitéContrairement au cadre discret 3, la notion d’irréductibilité est équivalente à améliorer

la positivité pour les modèles continus. Ces notions sont définies ci-dessous.

Définition 3.3. On dit que la marche quantique ouverte de lindbladien L :� est irréductible s’il existe t positif tel que etL n’admette aucune projection sous-

harmonique non triviale. Rappelons qu’une projection P ∈ B(K) est dite sous-harmonique pour etL si etL(PI1(K)P ) ⊂ PI1(K)P .

� améliore la positivité s’il existe t tel que pour tout µ ∈ I1(K), etL(µ) > 0.3. Voir Exemple 2.3.

60

Le théorème ci-dessous stipule que, dans le cadre continu, l’irréductibilité et améliorerla positivité sont des notions équivalentes. De plus, il donne une nouvelle formulation del’irréductibilité qui implique les opérateurs de transition du lindbladien.

Théorème 3.1 ([BBPP18]). Soit T =�etL(.)

�t≥0

la marche quantique ouverte, définiedans la Proposition 3.1, associée au lindbladien

L(.) = G . + . G∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sji . Sj∗

i .

Alors les propositions suivantes sont équivalentes.1. T améliore la positivité.2. Pour tout ϕ ∈ K\{0}, l’ensemble C[L]ϕ est dense dans K où C[L] est l’ensemble

des polynômes en (etG)(t ≥ 0) et en Sji (i, j ∈ V, i �= j).

3. Pour tout ϕ ∈ K\{0}, l’ensemble C[G, S]ϕ est dense dans K où C[G, S] est l’en-semble des polynômes en G et en Sj

i (i, j ∈ V, i �= j).4. T est irréductible.

Le corollaire suivant découle immédiatement du Théorème 3.1. Il donne une définitionplus trajectorielle de l’irréductibilité. Notons Ξ t

n(i, j) l’ensemble des trajectoires composéesde n sauts jusqu’au temps t allant de i à j est noté

Ξtn(i, j) = {ξ = (i, ..., j, t1, ..., tn) ∈ In+1 × Rn, 0 < t1 < ... < tn < t} .

Corollaire 3.2. Soit T =�etL(.)

�t≥0

la marche quantique ouverte, définie dans la Propo-sition 3.1, associée au lindbladien

L(.) = G . + . G∗ +�

i,j∈Vi�=j

Sji . Sj∗

i .

Alors T est irréductible si et seulement si, pour tout i et j dans V , pour tout x dansHi\{0}, l’espace vectoriel engendré par

{Rji (ξ, t)x, ξ ∈ Ξ t

n(i, j), t ≥ 0, n ∈ N}

est dense dans Hj où

Rji (ξ, t) = e(t−tn)Gj Rj

in−1e(tn−tn−1)Gin−1 ... e(t2−t1)Gi1 Ri1i et1Gi ,

pour tout t ≥ 0, n ∈ N et ξ = (i, i1..., in−1, j, t1, ..., tn) ∈ Ξtn(i, j).

La proposition ci-dessous fournit une condition suffisante pour qu’une marche quantiqueouverte soit irréductible.

Proposition 3.9. Soit T =�etL(.)

�t≥0

une marche quantique ouverte de lindbladienL = K + Φ où Φ est une application complètement positive et K(.) = G . + . G∗ avecG ∈ B(K). Si Φ est irréductible, alors T est irréductible.

Démonstration. La démonstration est évidente grâce à la Proposition 2.5 et à la formulationtrajectorielle de l’irréductibilité vue dans le Théorème 3.1.

61

Exemple 3.2. Nous allons illustrer le fait qu’il n’y a pas équivalence dans la Proposition 3.9.En effet, la condition "Φ est irréductible" n’est pas nécessaire pour obtenir l’irréductibilité dela marche quantique ouverte. Considérons T =

�etL(.)

�t≥0

une marche quantique ouvertesur K = C2 ⊗ C2, où la particule se déplace uniquement sur deux sites. L’opérateur deLindblad est alors de la forme :

L(µ) = Gµ + µG∗ + Φ(µ) où Φ(µ) = S21µS2∗

1 + S12µS1∗

2 ,

pour tout µ ∈ I1(K). Plus particulièrement, considérons les opérateurs suivants :

G = 12

�−1 2−2 −1

�⊗ (|1��1| + |2��2|) , S2

1 =�

0 11 0

�⊗ |2��1| et S1

2 =�

0 11 0

�⊗ |1��2| .

Les opérateurs ci-dessus sont bien des opérateurs de transition d’un lindbladien car l’équa-tion

G + G∗ + S2∗1 S2

1 + S1∗2 S1

2 = 0

est vérifiée. Le graphe associé à la position de la particule est donné ci-dessous.

1C2

2C2

12

�−1 2−2 −1

�

�0 11 0

�

12

�−1 2−2 −1

�

�0 11 0

�

On a C[G, S]φ = K pour tout φ ∈ K\{0}, mais

C[S](e1 ⊗ e1) = V ect{e1 ⊗ e1, e2 ⊗ e2} �= K .

On vient donc de présenter un exemple où T est irréductible alors que Φ ne l’est pas.Cet exemple clôt la section sur l’irréductibilité, la suite logique est alors l’étude de la

transience et de la récurrence d’une marche quantique ouverte.

3.7.2 Transience et récurrenceLa transience et la récurrence sont des propriétés classiques pour les chaînes de Markov

à temps continu. Elles sont des notions essentielles pour comprendre la structure globalede la chaîne. Un site i ∈ V d’une chaîne de Markov (Yt)t≥0 est transient (resp. récurrent)si

Pi ({t ≥ 0, Yt = i} borné) = 1 (resp. 0) .

On peut trouver une formulation équivalente à l’aide du temps de séjour de la chaîne surle site i :

ni =� t

01Yt=i dt .

En effet, le site i est transient (resp. récurrent) si et seulement si Ei(ni) < ∞ (resp.Ei(ni) = ∞). Dans le cadre classique, ces notions peuvent être caractérisées par le premiertemps d’atteinte τi = inf{t > T1, Yt = i} où T1 est le premier temps de saut. En effet, unsite est transient (resp. récurrent) si Pi(τi < ∞) < 1 (resp. Pi(τi < ∞) = 1). Cette dernièrepropriété ne sera pas toujours vraie dans le cadre des marches quantiques ouvertes à tempscontinu.

62

On rappelle également qu’une chaîne de Markov irréductible voit tous ses sites êtretransients ou récurrents ([Nor98]). Nous avons remarqué dans la Section 2.5.2 sur le modèlediscret que la dichotomie classique transience-récurrence est remplacée par une trichotomie.Cette trichotomie sera aussi vérifiée pour le modèle continu. Dorénavant, on travaillera avecdes marches quantiques ouvertes semi-finies (voir Définition 2.5).

Considérons (Xt)t≥0 le processus défini dans la Proposition 3.4. Soit T1 le premier tempsde saut. On définit, pour tout i ∈ V ,

τi = inf{t ≥ T1, |Xt = i}

le premier temps d’atteinte du site i pour (Xt)t≥0 et

ni =� ∞

01Xt=i dt

le temps passé par (Xt)t≥0 sur le site i. Le théorème suivant nous permet de définir les no-tions de transience et de récurrence pour les marches quantiques ouvertes à temps continu.

Théorème 3.2 ([BBPP18]). Soit T =�etL(.)

�t≥0

une marche quantique ouverte irréduc-tible et semi-finie. Une (et une seule) de ces situations est réalisée :

1. la quantité Ei,ρ(ni) est finie pour tout i, j dans V et pour tout ρ ∈ S(Hi) ;2. la quantité Ei,ρ(ni) est infinie pour tout i, j dans V et pour tout ρ ∈ S(Hi).

Définition 3.4. Une marche quantique ouverte semi-finie T =�etL(.)

�t≥0

est dite tran-siente si elle satisfait la première propriété du Théorème 3.2 et récurrente si elle satisfaitla deuxième propriété.

Comme mentionné plus haut, contrairement au cas classique, on ne peut pas caractériserla récurrence ou la transience d’une marche quantique ouverte grâce aux premiers tempsd’atteinte τi. Néanmoins, il existe une trichotomie qui permet de différencier différents cas.

Théorème 3.3 ([BBPP18]). Soit T =�etL(.)

�t≥0

une marche quantique ouverte irréduc-tible et semi-finie. Une (et une seule) de ces trois situations est réalisée :

1. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi),

Ei,ρ(nj) = ∞ et Pi,ρ(τj < ∞) = 1 ;

2. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi),

Ei,ρ(nj) < ∞ et Pi,ρ(τi < ∞) < 1 ;

3. pour tout i, j dans V , pour tout ρ dans S(Hi), Ei,ρ(nj) < ∞, mais il existe i dansV et ρ, ρ� dans S(Hi) (ρ nécessairement non fidèle) tels que

Pi,ρ(τi < ∞) = 1 et Pi,ρ�(τi < ∞) < 1 .

Illustrons à présent le théorème énoncé ci-dessus.Exemple 3.3. Le n-ième exemple correspond à la n-ième situation du Théorème 3.3.

1. Pour V = {0, 1} et H0 = H1 = C, on considère la marche quantique ouverte définiepar les opérateurs :

G0 = G1 = −12 et R1

0 = R01 = 1 .

Le graphique associé est donné ci-dessous.

63

0C

1C

−12

1

−12

1

Alors le processus (Xt)t≥0 est une chaîne de Markov classique sur {0, 1}. Le marcheurstagne alors sur un site durant un laps de temps de loi exponentielle de paramètre1, puis saute sur son site voisin et ainsi de suite.

2. Pour V = Z et Hi = C pour tout i ∈ Z, on considère la marche quantique ouvertedéfinie par les opérateurs :

Gi = −12 , Ri+1

i =√

32 , Ri−1

i = 12 , pour tout i ∈ Z .

Le résumé graphique de cet exemple est le suivant.

−1C

0C

1C

......

−12

√3

2

12

−12

12

√3

2

−12

12

√3

2

12

√3

2

Le processus (Xt)t≥0 est une chaîne de Markov classique à temps continu sur Z où lemarcheur ne bouge pas pendant un laps de temps de loi exponentielle de paramètre1, puis saute à droite avec probabilité 3

4 ou à gauche avec probabilité 14 .

3. La troisième situation est la plus étrange, elle n’apparaît jamais en classique. Onl’illustre par une marche quantique ouverte définie sur V = N, telle que H1 = C2 etH0 = Hi = C pour tout i ≥ 2, munie des opérateurs de transition suivants :

G0 = −12 , R1

0 = 1√5

�21

�, G1 = −1

2I2, R01 =

�0 1

�, R2

1 =�1 0

�,

R12 = 1

2√

2

�11

�, Gi = −1

2 , Ri+1i =

√3

2 pour i ≥ 2 et Ri−1i = 1

2 pour i ≥ 3 .

Le résumé graphique qui suit est plus pertinent.

0C

1C2

2C

3C

...

1√5

�21

�−12

−12I2

�0 1

�

�1 0

� −12

12√

2

�11

�

√3

2

−12

12

√3

2

12

C’est un exemple de marche quantique ouverte irréductible où

P1,ρ(τ1 < ∞) = 1 pour ρ =�

0 00 1

�

etP1,ρ�(τ1 < ∞) < 1 pour ρ� =

�1 00 0

�.

64

Notons que les marches quantiques ouvertes correspondant à des chaînes de Markov clas-siques (voir Section 3.2) se situent naturellement dans les deux premiers cas. Le troisièmecas est celui qui diffère du cadre classique.

La preuve du Théorème 3.3 s’inspire du résultat originel en temps discret [BBP17].L’un des points clés de la démonstration est le fait de pouvoir encadrer le temps moyen destationner sur un site. Ce point clé constitue l’objet du lemme suivant, les autres élémentsde la démonstration sont exposés dans [BBPP18].

Lemme 3.1 ([BBPP18]). Soit T =�etL(.)

�t≥0

une marche quantique ouverte irréductibleet semi-finie. On note T i le temps passé sur un site i ∈ V avant le premier saut : T i =inf{u|Xu �= i}. Alors il existe des constantes strictement positives m et M telles que

m ≤ Ei,ρ(T i) ≤ M,

pour tout ρ ∈ S(Hi) .

Démonstration. Calculons tout d’abord Pi,ρ(T i > t) pour tout t ≥ 0. Pour cela, nousaurons recours à nouveau 4 à la solution (ηt)t≥0 de l’équation différentielle suivante :

ηt = ρ +� t

0

�Giηs + ηsG∗

i − ηsTr(Giηs + ηsG∗i )�ds.

En utilisant l’indépendance des processus de Poisson N ij impliqués dans la Proposition3.4, on obtient

Pi,ρ(T i > t) = Pi,ρ( "aucun saut ne se produit avant le temps t” )= Pi,ρ

�N ij

�u, y|u ∈ [0, t], y ∈

�0, Tr

�Rj

i ηuRji

∗��� = 0, ∀j �= i�

=�

j �=i

Pi,ρ

�N ij

�u, y|u ∈ [0, t], y ∈

�0, Tr

�Rj

i ηuRji

∗��� = 0�

=�

j �=i

e−� t

0 Tr(Rji ηsRj∗

i )ds = e−�j �=i

� t

0 Tr(Rji ηsRj∗

i )ds

= e� t

0 Tr((Gi+G∗i )ηs)ds (3.19)

L’égalité Ei,ρ(T i) =� ∞

0 Pi,ρ(T i > t)dt permet d’obtenir la borne inférieure :

Ei,ρ(T i) ≥ 1�Gi + G∗

i �∞.

Essayons à présent d’obtenir la borne supérieure.Supposons par l’absurde qu’il existe ρ ∈ S(Hi) tel que Giρ + ρG∗

i = 0, alors�

j∈V

Tr(Rji ρRj∗

i ) = 0

et donc Rji ρRj∗

i = 0 pour tout j dans V . Dans ce cas, ρ ⊗ |i��i| est un état invariant pourT ce qui est en contradiction avec l’hypothèse d’irréductibilité.

Donc Giρ + ρG∗i �= 0 pour tout ρ ∈ S(Hi), de plus Tr(Giρ + ρG∗

i ) < 0. Étant donnéque S(Hi) est un ensemble compact, il existe α > 0 tel que

infρ

Tr (−(Gi + G∗i )ρ) = α .

4. Voir Section 3.5.2.

65

L’équation (3.19) permet alors d’obtenir l’inégalité suivante :

Pi,ρ(T i > t) = Ei,ρ

�e−

� t

0 Tr(−(Gi+G∗i )ηs)ds

�≤ e−tα .

De la même manière que pour la borne inférieure, on obtient

Ei,ρ(T i) ≤ 1α

,

ce qui conclut la démonstration.

3.8 Théorèmes asymptotiques pour les marches quantiquesouvertes sur Zd

De même que pour les modèles discrets, les marches quantiques à temps continu ontdes comportements asymptotiques assez classiques. Cette partie a pour but de présenterun théorème ergodique, un théorème central limite et un principe de grandes déviationspour un cas particulier de marches quantiques ouvertes à temps continu. Plus précisément,on étudie les marches quantiques ouvertes homogènes aux plus proches voisins sur Zd.

Une marche quantique ouverte homogène aux plus proches voisins sur Zd est régie parun opérateur de Lindblad L de la forme :

L : I1(H ⊗ CZd) → I1(H ⊗ CZd)µ �→ Gµ + µG∗ +

�

i,j∈Zd

Sji µSj∗

i(3.20)

où H est un espace de Hilbert de dimension finie, G = G0 ⊗ I avec G0 ∈ B(H) et

Sji = Rr ⊗ |j��i| si j = i + er où r ∈ {1, ..., 2d}

= 0 sinon,

avec Rr ∈ B(H) pour tout r ∈ {1, ..., 2d} tels que

G0 + G∗0 +

2d�

r=1R∗

rRr = 0 .

L’opérateur Sji transcrit l’idée que l’on peut passer uniquement de i à un de ses voisins

i + er, et que dans ce cas, la transformation sur H est régie par Rr. De plus, la forme de Gspécifie que l’évolution sur l’espace d’état interne ne dépend pas de la position du marcheuret que cette évolution est dirigée par l’opérateur G0.

Nous donnons à présent la définition des trajectoires quantiques dans le cadre spécifiquedes marches quantiques ouvertes aux plus proches voisins sur Zd. Si l’état initial du systèmesur H ⊗ CZd est

µ(0) =�

i∈Zd

ρ(0)(i) ⊗ |i��i| ,

alors une trajectoire quantique associée à L est donnée par une chaîne de Markov (ρt, Xt)t≥0à valeurs dans S(H) × Zd de distribution initiale :

P�

(ρ0, X0) =�

ρ(0)(i)Tr(ρ(0)(i))

, i

��= Tr(ρ(0)(i))

66

et vérifiant les équations différentielles stochastiques suivantes

dρs =�G0ρs− + ρs−G∗

0 − ρs−Tr(G0ρs− + ρs−G∗0)�ds

+2d�

r=1

�

y∈R

�Rrρs−R∗

r

Tr(Rrρs−R∗r) − ρs−

�10<y<Tr(Rrρs−R∗

r)Nr(dy, ds)

et dXs =2d�

r=1

�

y∈R

er 10<y<Tr(Rrρs−R∗r)N

r(dy, ds) ,

(3.21)

où (N r)r∈{1,...,2d} sont des processus de Poisson indépendants sur R2.

On note A le générateur de Markov infinitésimal de (ρt, Xt)t≥0 et D(A) son domaine.Pour tout f ∈ D(A), ρ ∈ SH et x ∈ Zd, on a

Af(ρ, x) = Dρf(F(ρ))

+2d�

r=1

�f

�RrρR∗

r

Tr(RrρR∗r) , x + er

�− f(ρ, x)

�Tr(RrρR∗

r) , (3.22)

où F(ρ) = G0ρ + ρG∗0 − ρTr(G0ρ + ρG∗

0) et Dρf représente la différentielle partielle de fpar rapport à ρ.

Remarque. Dans la suite, il n’est pas nécessaire d’expliciter exactement le domaine de A.Le générateur de Markov A est uniquement appliqué sur des fonctions C1.

Remarque. Pour ce modèle particulier de marche quantique ouverte, le processus (ρt)t≥0est markovien. En effet, il ne dépend pas de la position de la particule (Xt)t≥0. L’évolutiondu paramètre interne est dirigée par l’opérateur de Lindblad L suivant :

L : I1(H) → I1(H)

ρ �→ G0ρ + ρG∗0 +

2d�

r=1RrρR∗

r .

Cet opérateur de Lindblad joue un rôle majeur dans ce qui suit.

3.8.1 Théorème ergodique

Le résultat qui suit est tiré de l’article [KM04] de Kümmerer et Maassen, il est qualifiéde théorème ergodique. Ce théorème est crucial dans la démonstration du Théorème 3.6.

Théorème 3.4 ([KM04]). Soit (ρt, Xt)t≥0 la chaîne de Markov définie grâce à l’équation(3.21), alors

1t

� t

0ρsds

p.s.−→ θ∞ .

où θ∞ est une variable aléatoire à valeurs dans les invariants de L appartenant à S(H).En particulier, si L admet un unique état invariant noté ρinv, alors la moyenne de

Cesàro ci-dessus converge presque sûrement vers ρinv.

67

3.8.2 Théorème central limiteCette section est dédiée au théorème central limite. Nous ne détaillons pas tous les

éléments de l’article [Bri17], le lecteur peut consulter cet article dans la suite du manuscrit.Néanmoins, nous indiquons la structure de la démarche. Afin d’obtenir un théorème centrallimite pour la position du marcheur (Théorème 3.6), le processus étudié est décomposé endeux parties : une martingale et un processus borné. L’équation de Poisson (Lemmes 3.2et 3.3) permet d’obtenir cette décomposition. Le processus borné n’ayant pas d’influenceasymptotiquement, il suffit d’obtenir un théorème central limite pour la martingale afind’atteindre notre but. La fin de la démonstration consiste donc à vérifier si cette martingalevérifie les hypothèses du théorème central limite pour les martingales (Théorème 3.5). Toutd’abord, énonçons le premier lemme associé à l’équation de Poisson.Lemme 3.2 ([Bri17]). Supposons que L admette un unique état invariant noté ρinv. Posons

α =2d�

r=1Tr(RrρinvR∗

r)er .

Alors, pour tout u ∈ Rd, l’équation

L∗(Ju) = −� 2d�

r=1(er.u)R∗

rRr − (α.u)I�

(3.23)

admet une solution et la différence de deux solutions quelconques de (3.23) est un multiplede l’identité.

On notera par la suite Ju la solution de (3.23) telle que Tr(Ju) = 0. De plus, si u = er,alors on note plus simplement Ju = Jr. On remarque que

Ju =d�

r=1urJr .

Le Lemme 3.2 permet d’obtenir une solution de l’équation de Poisson. Cette solution estexplicitée dans le lemme suivant.Lemme 3.3 ([Bri17]). Pour tout (ρ, x) ∈ S(H) × Zd et u ∈ Rd, posons

fu(ρ, x) = Tr(ρJu) + x.u . (3.24)

Alors fu est solution de l’équation de Poisson :

Afu(ρ, x) = α.u . (3.25)

Avant d’énoncer le théorème central limite pour les martingales à temps continu, nousrappelons quelques notations pour une martingale (Mt)t≥0 càdlàg de carré intégrable. Onnote ΔMt = Mt − Mt−,

[M ]t = M2t − M2

0 − 2t�

0

Xs−dXs

et �M�t l’unique processus croissant prévisible défini par le théorème de décomposition deDoob ([JS13]) tel que M 2

t − �M�t soit une martingale par rapport à la filtration associée à(Mt)t≥0. Ces trois quantités vérifient la relation suivante :

[M ]t = �M�t +�

s≤t

(ΔMs)2 .

Le lecteur pourra consulter [JS13] afin d’obtenir plus de détails sur la théorie des martin-gales. Nous pouvons maintenant énoncer le théorème central limite pour les martingales àtemps continu qui est fondamental dans la démonstration du Théorème 3.6.

68

Théorème 3.5 ([CP05]). Soit (Mt)t≥0 une martingale réelle, centrée et de carré intégrablepour la filtration (Ft)t≥0. Si les convergences en probabilité suivantes sont vérifiées :

limt→∞

E�

1√t

sup0≤s≤t

|ΔMs|�

= 0 (3.26)

etlim

t→∞[M ]t

t= σ2 (3.27)

pour un certain σ ≥ 0, alors :Mt√

t

L−→t→+∞

N (0, σ2) .

Nous pouvons à présent formuler le théorème central limite, élément principal de cettepartie.

Théorème 3.6 ([Bri17]). Soit (ρt, Xt)t≥0 la chaîne de Markov définie grâce à l’équation(3.21). Supposons que L admette un unique état invariant noté ρinv, alors

Xt − αt√t

L−→t→+∞

N (0, V ) ,

où

α =2d�

r=1Tr(RrρinvR∗

r)er

et V ∈ Md(R) telle que pour tout r, q ∈ {1, ..., d},

Vrq = −αqTr(ρinvJr) − αrTr(ρinvJq)+δrq

�Tr(RrρinvR∗

r) + Tr(Rr+dρinvR∗r+d)

�

+Tr(RqρinvR∗qJr) + Tr(RrρinvR∗

rJq)−Tr(Rq+dρinvR∗

q+dJr) − Tr(Rr+dρinvR∗r+dJq) .

Démonstration. L’intégralité de la démonstration se trouve dans l’article [Bri17], néan-moins nous présentons ci-dessous les grandes lignes de la preuve. Dans un premier temps,on fixe u ∈ Rd et grâce au Lemme 3.2, il existe fu : S(H) × Zd → R telle que

Afu(ρ, x) = α.u .

Le générateur infinitésimal A étant celui du processus de Markov (ρt, Xt)t≥0, le processus(Mt)t≥0 défini par

Mt = fu(ρt, Xt) − fu(ρ0, X0) −� t

0Afu(ρs−, Xs−)ds

= (Xt − αt).u + Tr(ρtJu) − Tr(ρ0Ju) − X0.u

est une martingale locale par rapport à la filtration associée au processus (ρt, Xt)t≥0 (pourplus de détails sur les problèmes de martingales, voir [EK86, RY99]).

Dans l’optique d’appliquer le Théorème 3.5, nous devons justifier que (Mt)t≥0 est unevraie martingale. Pour cela, il suffit 5 de prouver la condition suivante

E�

sup0≤s≤t

|Ms|�

< ∞ .

5. Voir [EK86].

69

Cette condition a été vérifiée dans [Bri17], donc (Mt)t≥0 est une martingale.

La première condition (équation (3.26)) du théorème central limite pour les martingalesest aisément vérifiable car la taille maximale des sauts de (Mt)t≥0 est bornée. La secondecondition (équation (3.27)) demande, quant à elle, beaucoup plus de travail. Elle est tou-tefois vérifiée, donc (Mt)t≥0 satisfait un théorème central limite.

Le théorème central limite pour (Xt − αt) découle alors de celui pour (Mt)t≥0 car�Tr(ρtJu) − Tr(ρ0Ju) − X0.u

�

est borné, et ce indépendamment de t.

Terminons cette partie en illustrant le Théorème 3.6 grâce à l’Exemple 3.1 vu en amont.Exemple 3.4. On considère la marche quantique ouverte sur Z définie par l’équation (3.20),où Hi = C2 pour tout i ∈ Z,

G0 =�

−38 0

0 −14

�, R1 =

�0 1

212 0

�et R−1 =

�0 1

21√2 0

�.

On remarque que cet exemple vérifie l’hypothèse du Théorème 3.6 avec

ρinv =�

25 00 3

5

�; α = − 1

10 ; J = 110

�−1 00 1

�; V = 73

125 .

Le Théorème 3.6 stipule donc que

Xt + t

10√t

L−→t→+∞

N�

0,73125

�.

Cette convergence explique donc les distributions observées via les simulations numériques(voir Exemple 3.1).

3.8.3 Principe de grandes déviationsNous allons maintenant présenter un principe de grandes déviations pour les marches

quantiques ouvertes à temps continu (voir [Bri17]). Le lecteur peut consulter [DZ10] pourle principe de grandes déviations dans le cadre des chaînes de Markov classiques. C’est ens’inspirant de la démarche classique que nous avons réussi à obtenir un principe de grandesdéviations pour nos modèles (Théorème 3.8). De façon informelle, l’étude spectrale du gé-nérateur déformé (Lemme 3.4) permet d’obtenir le résultat souhaité à l’aide du théorèmede Gärtner-Ellis (Théorème 3.7). Détaillons plus en profondeur l’approche adoptée dans[Bri17] pour obtenir le principe de grandes déviations.

Afin de prouver le principe de grandes déviations, il est nécessaire d’introduire unopérateur de Lindblad déformé. Pour cela, on définit pour tout u ∈ Rd et r ∈ {1, ..., 2d}les opérateurs

R(u)r = e

u.er2 Rr .

Pour tout u ∈ Rd, on note Lu le lindbladien associé aux opérateurs déformés R(u)r , c’est-à-

dire,Lu : I1(H) → I1(H)

ρ �→ G0ρ + ρG∗0 +

2d�

r=1eu.er RrρR∗

r .

70

Nous énonçons ci-dessous la définition trajectorielle d’irréductibilité 6 pour un lindbladienassocié à une marche quantique ouverte semi-finie aux plus proches voisins sur Zd.

Proposition 3.10. Soit Z un opérateur de Lindblad tel que

Z = G0 . + . G0 +2d�

r=1Rr . R∗

r .

Alors Z est irréductible si et seulement si pour tout x non nul dans H l’ensemble C[G0, Rr]xest égal à H, où C[G0, Rr] est l’ensemble des polynômes en G0 et en Rr.

Les deux prochains lemmes sont des éléments charnières de la démonstration du principede grandes déviations. Plus précisément, le prochain lemme donne des informations sur laplus grande partie réelle des valeurs propres du semi-groupe de Lindblad déformé {etLu}t≥0.

Lemme 3.4 ([Bri17, JPW14]). Supposons que L soit irréductible. Posons

lu = max{Re(λ), λ ∈ Sp(Lu)} .

Alors pour tout t ≥ 0, la quantité etlu est une valeur propre algébriquement simple deetLu, et le vecteur propre normé associé vu est un état strictement positif de H. De plus,l’application u �→ lu peut être prolongée analytiquement sur un voisinage de Rd.

Le prochain lemme décrit le lien entre la fonction génératrice des moments de Xt − X0et le semi-groupe de Lindblad déformé {etLu}t≥0.

Lemme 3.5 ([Bri17]). Soit (ρt, Xt)t≥0 la trajectoire quantique définie via l’équation (3.21).Pour tout t ≥ 0 et tout u ∈ Rd, on a

E�eu.(Xt−X0)

�=

�

i∈Zd

Tr�etLu(ρ(0)(i))

�.

La version discrète du théorème de Gärtner-Ellis a déjà été énoncée dans le Théorème2.6. Nous énonçons ci-dessous la version continue qui est cruciale dans la démonstrationdu Théorème 3.8.

Théorème 3.7 (Gärtner-Ellis [DZ10]). Soit (Zt)t≥0 une famille de variables aléatoires surRd. Notons Λt : u �→ log

�E�eu.Zt

��le logarithme de la fonction génératrice des moments

de Zt pour tout t ≥ 0. S’il existe une fonction Λ : Rd �→ R différentiable telle que, pourtout u ∈ Rd,

limt→+∞

1tΛt(tu) = Λ(u) ,

alors (Zt)t≥0 admet un principe de grandes déviations associé à la bonne fonction de taux :

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − Λ(u)) .

Explicitement, cela signifie que pour tout ensemble ouvert G et tout ensemble fermé F telsque G ⊂ F ⊂ Rd,

− infx∈G

Λ∗(x) ≤ lim inft→+∞

1t

logP (Zt ∈ G) ≤ lim supt→+∞

1t

logP (Zt ∈ F ) ≤ − infx∈F

Λ∗(x) .

On peut à présent énoncer le théorème principal de cette section.

6. Voir Corollaire 2.1 pour le cadre général.

71

Théorème 3.8 ([Bri17]). Soit (ρt, Xt)t≥0 la trajectoire quantique définie via l’équation(3.21). Si L est irréductible, alors

�Xt − X0

t

�

t≥0admet un principe de grandes déviations

associé à la bonne fonction de taux :

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − lu)

Explicitement, cela signifie que pour tout ensemble ouvert G et tout ensemble fermé F telsque G ⊂ F ⊂ Rd,

− infx∈G

Λ∗(x) ≤ lim inft→+∞

1t

logP�

Xt − X0t

∈ G

�

≤ lim supt→+∞

1t

logP�

Xt − X0t

∈ F

�≤ − inf

x∈FΛ∗(x) .

Remarque. De plus, si E(eu.X0) < ∞ pour tout u ∈ Rd, alors le principe de grandesdéviations est encore valable pour Xt à la place de Xt − X0.

Démonstration. La démonstration consiste à encadrer la fonction génératrice des momentsde Xt − X0 afin d’utiliser le Théorème 3.7. Soit u ∈ Rd, l’irréductibilité de L engendrecelle de Lu (trivial grâce à la Proposition 3.10) et donc Lu améliore la positivité d’après leThéorème 3.1. Soit t > 0 et 0 < � < t, on a donc

e�Lu(ρ(0)(i)) > 0 ,

pour tout i ∈ Zd. D’après le Lemme 3.4, il existe un état fidèle vu tel que e(t−�)Lu(vu) =e(t−�)luvu. Posons

ru,i = inf�Sp

�e�Lu

�ρ(0)(i)

���

et

su,i =Tr

�e�Lu

�ρ(0)(i)

��

inf Sp(vu) ,

de sorte queru,ivu ≤ e�Lu

�ρ(0)(i)

�≤ su,ivu .

En appliquant e(t−�)Lu , on obtient

ru,ie(t−�)luvu ≤ eLu

�ρ(0)(i)

�≤ su,ie

(t−�)luvu .

En prenant la trace de l’inégalité ci-dessus, le Lemme 3.5 fournit l’inégalité suivante :

e(t−�)lu�

i∈Zd

ru,i ≤ E�eu.(Xt−X0)� ≤ e(t−�)lu

�

i∈Zd

su,i .

Les sommes ci-dessus sont finies et strictement positives, on obtient donc

limt→+∞

1t

log�E�eu.(Xt−X0)�� = lu .

On pose Λt : u �→ log�E�

eu.Xt−X0

t

��le logarithme de la fonction génératrice des

moments de Xt−X0t et Λ : u �→ lu. Nous venons de montrer que

limt→+∞

1tΛt(tu) = Λ(u) .

72

Comme Λ est une fonction analytique (Lemma 3.4), les conditions du théorème de Gärtner-Ellis (3.7) sont vérifiées. On obtient alors le principe de grandes déviations attendu avec

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − lu) .

Illustrons le théorème ci-dessus par l’Exemple 3.1 vu en amont.Exemple 3.5. On considère la marche quantique ouverte sur Z définie par l’équation (3.20),où Hi = C2 pour tout i ∈ Z,

G0 =�

−38 0

0 −14

�, R1 =

�0 1

212 0

�et R−1 =

�0 1

21√2 0

�.

Le lecteur peut facilement vérifier que l’opérateur de Lindblad est irréductible grâce à lacaractérisation vue en Proposition 3.10. Par conséquent, le processus

�Xt−X0

t

�t≥0

satisfaitun principe de grandes déviations associé à la bonne fonction de taux Λ∗ : x �→ sup

u∈R(u.x−lu).

Dans cet exemple, on est capable de calculer lu = max{�(λ), λ ∈ Sp(Lu)}. En effet,grâce à la décomposition de Lu dans la base canonique de M2(C) :

L(u) = 18

−6 0 0 2(eu + e−u)0 −5 2(eu +

√2e−u) 0

0 2(eu +√

2e−u) −5 02(eu + 2e−u) 0 0 −4

,

on obtient suite à des calculs fastidieux lu = 132

�20 +

√208 + 64e2u + 128e−2u

�. La figure

ci-dessous représente la bonne fonction de taux Λ∗.

Ceci conclut la section sur les théorèmes asymptotiques.

73

74

Chapitre 4

Perspectives

Sommaire4.1 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.2 Mesures quantiques non destructives . . . . . . . . . . . . . . . 77

Ce chapitre est composé de deux sous parties qui exposent des pistes de rechercheet des résultats partiels. La première section traite du problème de Dirichlet pour lesmarches quantiques ouvertes à temps continu alors que la deuxième expose des résultatsasymptotiques sur les mesures quantiques non destructives. Ces deux sections sont trèsdistinctes et font l’objet de travaux en cours avec différents collaborateurs.

4.1 Problème de DirichletNous présentons ici un travail en cours sur le problème de Dirichlet pour les marches

quantiques ouvertes à temps continu. Le problème de Dirichlet classique permet en par-ticulier de calculer les probabilités d’atteintes d’une chaîne de Markov. Nous exposonsbrièvement quelques résultats, sans rentrer profondément dans les détails. Le problèmede Dirichlet pour les marches quantiques ouvertes à temps discret a déjà été traité dans[BBP17].

Replaçons-nous dans le cadre classique ; soit (Yt)t≥0 une chaîne de Markov à tempscontinu sur V de matrice de taux de transition Q = (qij)i,j∈V . On note

τA = inf{t ≥ 0, |Yt ∈ A}

le temps d’atteinte de la chaîne pour le domaine A ⊂ V . Le but est à présent de calculerles quantités

hAi = Pi(τA < ∞)

où i ∈ V . Ces quantités sont solutions du problème dit de Dirichlet :

hAi = 1 si i ∈ A ,�

j∈V

qijhAj = 0 si i /∈ A .

Ces équations sont pratiques car leur résolution permet de calculer les probabilités detemps d’atteintes (hA

i )i∈V pour tout A ⊂ V .

Plaçons-nous à présent dans le cadre quantique, et plus précisément dans le cadre dela Section 3.1. Soit (µ(t))t≥0 une marche quantique ouverte de lindbladien L. On suppose

75

dans toute cette partie que cette marche admet un unique état invariant fidèle de S(K)que l’on note σ. On définit sur B(K) le produit scalaire suivant :

�X, Y �σ = Tr�σ1/2X∗σ1/2Y

�, où X, Y ∈ B(K). (4.1)

Ce produit scalaire permet en particulier de définir la forme de Dirichlet pour notre pro-cessus.

Définition 4.1. La forme de Dirichlet associée à la marche quantique ouverte irréductiblede lindbladien L est la forme quadratique suivante :

E(X, Y ) = −�X, L∗(Y )�σ = −Tr�σ1/2X∗σ1/2L∗(Y )

�, où X ∈ B(K). (4.2)

On note E(X) = E(X, X) et Eα(X) = E(X) + α �X�2σ pour tout α positif et X ∈ B(K).

On suppose dorénavant que L vérifie la condition de balance détaillée (CBD) par rap-port à σ, c’est à dire que L∗ est auto-adjoint pour �., .�σ. Notons que cette condition entraînela positivité de E .

Le théorème suivant expose la résolution du problème de Dirichlet pour les marchesquantiques ouvertes à temps continu.

Théorème 4.1. Soient L un lindbladien, α un réel positif et A un ensemble non vide deV . Alors, il existe une unique solution HA

α ∈ B(K) au problème de Dirichlet :�

X = IKAsur A ,

(αI − L∗)(X) = 0KV \Asur V \A ,

(qDAα )

où X ∈ B(K). De plus, HAα est l’unique minimiseur sur IKA

+ B(KV \A) de la forme deDirichlet Eα, c’est-à-dire

Eα(HAα ) = inf

X∈IKA+B(KV \A)

Eα(X) . (4.3)

Le résultat précédent est une conséquence du théorème de Lax-Milgram 1. Étudions àprésent le lien entre la solution du problème de Dirichlet et le premier temps d’atteinte τA

pour la trajectoire quantique (Xt)t≥0.

Théorème 4.2. Soit HAα l’unique solution du problème de Dirichlet (qDA

α ). Alors, pourtout i ∈ V et ρ ∈ S(Hi), on a :

Tr�(ρ ⊗ |i��i|)HA

α

�= Ei,ρ(e−α τA) . (4.4)

Remarque. Notons que ce théorème permet d’obtenir la fonction caractéristique de τA. Lasolution du problème de Dirichlet nous donne par conséquent la loi de τA.

Le point clé de la démonstration (Lemme 4.1) est la correspondance entre le problème deDirichlet (qDA

α ) et le problème de Dirichlet classique lié à la trajectoire quantique associéeà la marche quantique ouverte :

�f(ρ, i) = 1 pour tout i ∈ A , ρ ∈ S(Hi) ,(αI − A) f(ρ, i) = 0 pour tout i ∈ V \A , ρ ∈ S(Hi) ,

(cDAα )

où l’inconnue f ∈ D(A) avec A le générateur de Markov infinitésimal de (ρt, Xt)t≥0 (voirSection 3.5.2).

1. Voir [BCL99] pour une démonstration.

76

Lemme 4.1. L’opérateur HAα est solution du problème de Dirichlet (qDA

α ) si et seulementsi hA

α ∈ B(K) est solution du problème de Dirichlet (cDAα ), où

hAα (ρ, i) = Tr

�(ρ ⊗ |i��i|)HA

α

�, (4.5)

pour tout i dans V et ρ dans S(Hi).

Ces résultats sont issus d’un travail en cours avec différents collaborateurs.

4.2 Mesures quantiques non destructives

Nous étudions à présent les propriétés asymptotiques liées aux modèles de mesuresquantiques non destructives. Ces modèles sont décorrélés de ceux présentés jusqu’à pré-sent, ils s’inscrivent néanmoins dans le cadre des systèmes quantiques ouverts. Les mesuresquantiques non destructives ont été popularisées par des expériences concrètes [Har03] oùle nombre de photons dans une cavité a été mesuré sans détruire cette cavité. Le cadre phy-sique auquel nous nous intéressons est constitué d’un système quantique S subissant unesuccession de mesures indirectes. Plus précisément, le système S interagit avec une chaîneinfinie de systèmes auxiliaires identiques et indépendants de sorte que suite à chaque inter-action entre S et une partie du système auxiliaire (appelée sonde), une mesure est effectuéesur la sonde. Concernant le modèle spécifique des mesures de non-démolition quantique,les premiers résultats de convergence ont été obtenus dans [BB11] et une généralisationcomplète est fournie dans [BBB13]. En particulier, une estimation précise de la stabilité aété établie.

Présentons brièvement le cadre mathématique. Le système S est décrit par un espacede Hilbert HS muni d’une base orthonormale {|α�, α ∈ A} dont les éléments sont appelésles états pointeurs. Soit qn(.) la distribution sur les états pointeurs de l’état de HS aprèsn interactions et n mesures. Dans [BBB13], il a été prouvé, sous une condition de non-dégénérescence, que la séquence de distribution (qn(.)) converge vers une distribution δΓ(.)où Γ est une variable aléatoire distribuée sur les états pointeurs {|α�, α ∈ A}. De plus, ladistribution de Γ reproduit la mesure associée à la réduction du paquet d’onde qui aurait eulieu si une mesure directe avait été effectuée initialement sur S. Dans [BBB13], un résultatplus précis est démontré en utilisant des techniques de martingales et en conditionnantla valeur de l’état final Γ. En particulier, les auteurs de cet article obtiennent une loi desgrands nombres de la forme

limn→∞

1n

log�

qn(α)qn(Γ)

�= S(Γ, α)

pour une entropie explicite S. Un tel résultat est généralement affiné par un théorème li-mite central qui permet de spécifier la vitesse de convergence dans la loi des grands nombres.

Dans cette optique, on s’intéresse à un théorème central limite pour les mesures quan-tiques non destructives (Théorème 4.5). On s’intéresse également à des estimations deBerry-Esseen (Théorème 4.6) qui permettent de donner une estimation de la vitesse deconvergence dans le théorème central limite. En particulier, cela pourrait permettre dedévelopper un test d’hypothèses sur les états pointeurs, et ainsi d’obtenir de l’informationsur l’état du système S. De multiples tests statistiques pour les mesures quantiques nondestructives ont déjà été étudiés dans la littérature [BGP18, SCIB+15].

77

4.2.1 ModèleDans cette partie, nous décrivons le modèle et les objets associés aux mesures non

destructives. Notre système quantique est décrit par HS que l’on munit d’une base ortho-normale Vectα∈A

�|α��. Le système est en interaction avec une suite infinie de systèmesquantiques donnée par

∞�

k=1Hk ,

où Hk = H = Vecti∈I�|i�� pour tout k ≥ 1, avec H un espace de Hilbert de dimension finie.

Commençons par décrire la première interaction entre HS et la première copie H1 = H.Considérons φ0 ∈ HS (représentant l’état initial du système) et ψ ∈ H (représentant l’étatde la sonde), alors l’état du système bipartite, avant l’interaction, est φ0 ⊗ ψ. Le but de lamesure indirecte est d’acquérir des informations sur HS et notamment sur la distributionde φ0 le long des états pointeurs. En particulier,

φ0 =�

α∈A�φ0, α�|α�

et donc la distribution (q0(α))α∈A associée à la mesure de φ0 le long des états pointeursest définie par

q0(α) = |�φ0, α�|2,

pour tout α ∈ A.

Nous considérons une interaction usuelle pour les mesures quantiques non destructivesrégie par l’opérateur unitaire :

U =�

α∈A|α��α| ⊗ Uα,

où (Uα)α∈A est une famille d’opérateurs unitaires sur H. Après l’interaction, l’état dusystème φ0 ⊗ ψ devient

U(φ0 ⊗ ψ) =�

α∈A

�

i∈I�φ0, α��Uαψ, i� |α� ⊗ |i�.

Notons que si φ0 = |α� pour un certain α, alors

U(φ0 ⊗ ψ) = |α� ⊗ Uαψ.

C’est une caractéristique spécifique des mesures quantiques non destructives. En particu-lier, si on prépare préalablement notre système dans un état pointeur, alors l’interactionavec le système auxiliaire ne transforme pas le système d’étude.

On considère à présent une mesure indirecte le long de la base {|i�}i∈I . Commençonspar un cas particulier où l’état initial du système est φ0 = |α�. Dans ce cas, on note π(i|α)la probabilité d’observer l’état |i�, c’est-à-dire

π(i|α) = P[”observer i”] = |�i, Uαψ�|2.

Dans le cas général, la probabilité d’observer |i� est

π0(i) =�

β∈A|�φ0, β�|2|�Uβψ, i�|2

=�

β∈Aq0(β)π(i|β) .

78

La réduction du paquet d’onde nous informe alors que l’observation de |i� projette l’étatdu système sur �

α∈A�φ0, α��Uαψ, i� |α�

������

α∈A�φ0, α��Uαψ, i� |α�

�����

⊗ |i�.

Suite à l’observation de |i�, le système sur HS devient

φ1 =

�

α∈A�φ0, α��Uαψ, i� |α�

������

α∈A�φ0, α��Uαψ, i� |α�

�����

=�

α∈A

�φ0, α��Uαψ, i��π0(i)

|α� .

Notons que si φ0 = |α�, alors on a toujours φ1 = |α�.

Si le résultat de la mesure sur le système auxiliaire est i ∈ I, alors la probabilité que lesystème soit en |α� est

q1(α) = |�φ0, α�|2 |�Uαψ, i�|2π0(i) = q0(α)π(i|α)

π0(i) .

Le vecteur q1(.) décrit la distribution le long des états pointeurs de φ1 suite à l’observationde i ∈ I.

On itère ensuite la manipulation en faisant interagir une deuxième sonde H2 dans l’étatψ avec HS , et ainsi de suite. L’évolution du système HS est décrite par une suite aléatoired’états (φn)n∈N telle que

φn+1 =

�

α∈A�φn, α��Uαψ, i� |α�

������

α∈A�φn, α��Uαψ, i� |α�

�����

,

avec probabilitéπn(i) =

�

β∈Aqn(β)π(i|β) ,

où qn(β) = |�φn, β�|2, pour tout β ∈ A. La suite de distributions aléatoires (qn)n∈N sur Asatisfait donc

qn+1(α) = qn(α)π(i|α)πn(i) avec probabilité πn(i) =

�

β∈Aqn(β)π(i|β) .

En particulier, si les n premiers résultats des mesures successives sont (i1, ..., in), alors

qn(α) = q0(α)

n�k=1

π(ik|α)

�β∈A

q0(β)n�

k=1π(ik|β)

,

pour tout α ∈ A.

79

Définissons à présent l’espace de probabilité sur lequel on travaille. Posons tout d’abordΩ = IN que l’on munit de l’algèbre cylindrique. Plus précisément, on note

Λi1,...,in = {ω ∈ Ω|ω1 = i1, . . . , ωn = in}

un cylindre de taille n et Fn la σ-algèbre engendrée par l’ensemble des cylindres de taillen. La tribu cylindrique est alors la σ-algèbre engendrée par tous les Fn. On définit alorsune mesure de probabilité P sur les cylindres de taille n de sorte que

P[ω ∈ Ω|ω1 = i1, . . . , ωn = in] =�

α∈Aq0(α)

n�

k=1π(ik|α) .

La mesure définie ci-dessus s’étend en une unique mesure, que l’on note encore P sur la tribucylindrique grâce au théorème d’extension de Carathéodory 2. Notons que (Ω, (Fn)n,P) estun espace de probabilité filtré.

On note (Xn)n∈N∗ la suite de variables aléatoires décrivant les résultats des mesuressuccessives, alors Fn = σ(X1, . . . , Xn) et

P[X1 = i1, ..., Xn = in] =�

α∈Aq0(α)

n�

k=1π(ik|α) . (4.6)

Le but est maintenant d’étudier le comportement asymptotique de qn(.), où qn(.) re-présente la distribution résultant de la réduction du paquet d’onde lorsqu’une mesure esteffectuée sur S suite aux n mesures successives. Énonçons un premier résultat.

Théorème 4.3 ([BBB13]). La suite (qn)n∈N est une Fn martingale qui converge presquesûrement et dans L1 vers une variable aléatoire q∞.

De plus, si∀α �= β ∈ A, ∃i ∈ I, π(i|α) �= π(i|β), (4.7)

alors il existe une variable aléatoire Γ à valeurs dans A telle que q∞(.) = δΓ(.) et

P[Γ = α] = q0(α) ,

pour tout α ∈ A.

Remarque. Grâce à ce théorème, on peut montrer que

|φn��φn| −→n→∞ |Γ��Γ| P p.s. .

Notons que P[γ = α] = q0(α) correspond à la probabilité d’observer α lorsqu’une mesureest effectuée directement sur le système initial. Cette remarque justifie le fait que l’onpuisse interpréter le comportement asymptotique des mesures quantiques non destructivescomme la réduction du paquet d’onde sur l’état initial.

Les preuves des théorèmes asymptotiques qui vont suivre reposent sur des caractéris-tiques concernant le changement de mesures qui ont été mises en évidence dans [BBB13].Nous les exposons maintenant. Pour tout γ ∈ A, notons Qγ la probabilité définie via laformule de changement de mesure

dQγ = q∞(γ)q0(γ) dP .

2. Voir [Doo12] pour une preuve.

80

On peut remarquer que

∀n ∈ N, dQγ|Fn= qn(γ)

q0(γ) dP.

De plus,

Qγ(A) = EQγ (1A) = E�1A

q∞(γ)q0(γ)

�= E

�1A1Γ=γ

P(Γ = γ)

�= P(A|Γ = γ) ,

pour tout A dans la tribu cylindrique. On obtient donc la décomposition suivante :

P =�

γ∈AP[Γ = γ]P[.|Γ = γ] =

�

γ∈Aq0(γ)Qγ . (4.8)

De plus, les mesures (Qγ)γ∈A sont mutuellement singulières et les variables aléatoires(Xn)n∈N sont iid sous Qγ , pour tout γ ∈ A. En effet,

Qγ(∩nk=1{Xk = ik}) = qn(γ)

q0(γ)P(∩nk=1{Xk = ik})

=

n�k=1

π(ik|γ)

�β∈A

q0(β)n�

k=1π(ik|β)

P(∩nk=1{Xk = ik})

=n�

k=1π(ik|γ)

=n�

k=1Qγ({X1 = ik})n ,

pour tout (i1, ..., in) ∈ In.La suite (Xn)n∈N∗ n’est pas markovienne en général mais si ces variables aléatoires

sont conditionnées par rapport à Γ, alors elles deviennent iid. Par ailleurs, si q0(γ) = 1,c’est-à-dire φ0 = |γ�, l’expression (4.6) devient

P[Xn = in, Xn−1 = in−1, . . . , X1 = i1] =n�

k=1π(ik|γ)

qui correspond au terme obtenu dans la démonstration ci-dessus. Cela signifie, en particu-lier, que conditionner par rapport à la valeur finale Γ est équivalent à considérer l’expérienceen partant de cette valeur.

Les mesures (Qγ)γ∈A sont primordiales dans les démonstrations des théorèmes qui vontsuivre.

4.2.2 Loi des grands nombres

Énonçons à présent la loi des grands nombres associée aux mesures répétées non des-tructives.

Théorème 4.4 ([BBB13]). Pour tout α ∈ A, la convergence suivante est vérifiée :

1n

log�

qn(α)qn(Γ)

�−→

n→∞

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

�P p.s. .

81

Démonstration. Fixons n ∈ N et α ∈ A, focalisons-nous sur

qn(α)qn(Γ) = q0(α)

q0(Γ)�

i∈I

�π(i|α)π(i|Γ)

�Nn(i)

où Nn(i) =n�

k=11Xk=i. Par conséquent,

1n

log�

qn(α)qn(Γ)

�= 1

nlog

�q0(α)q0(Γ)

�+

�

i∈I

1n

Nn(i) log�

π(i|α)π(i|Γ)

�. (4.9)

Comme (Xn)n∈N sont iid sous Qγ , la loi des grands nombres fournit la convergence suivante :

1n

Nn(i) −→n→∞ π(i|γ) Qγ p.s. . (4.10)

Grâce à la décomposition (4.8), on a

P� 1

nNn(i) →

n→∞ π(i|Γ)�

=�

γ∈Aq0(γ)Qγ

� 1n

Nn(i) →n→∞ π(i|Γ)

�=

�

γ∈Aq0(γ) = 1

pour tout i ∈ I. L’ensemble I étant fini, on obtient

P��

i∈I

1n

Nn(i) log�

π(i|α)π(i|Γ)

�→

n→∞

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��= 1 .

Le théorème découle alors de l’équation (4.9).

La section suivante consiste notamment à étudier le théorème central limite qui permetde spécifier la vitesse de convergence dans la loi des grands nombres.

4.2.3 Théorème central limite et théorème de Berry-EsseenNous étudions à présent le théorème central limite et le théorème de Berry-Esseen pour

les mesures quantiques non destructives.

Théorème 4.5. Soit α ∈ A, alors la convergence en loi

Zn =√

n

�1n

log�

qn(α)qn(Γ)

�−

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��L−→

n→∞ Z ∼ σ(α, Γ)N (0, 1)

est vérifiée avec σ2(α, Γ) = �i∈I

π(i|Γ)�log

�π(i|α)π(i|Γ)

��2−

��i∈I

π(i|Γ) log�

π(i|α)π(i|Γ)

��2

.

Démonstration. En conditionnant par les différentes valeurs possibles de Γ, on obtient

E�eitZn

�=

�

γ∈Aq0(γ)EQγ

�eitZn

�

=�

γ∈Aq0(γ)EQγ

�exp

�it

√n

�1n

n�

k=1

�

i∈I

�1Xk=i − π(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

�

+ 1n

log�

q0(α)q0(γ)

����. (4.11)

82

Première méthode : Soient α et γ ∈ A, on introduit

Yk(α, γ) =�

i∈I

�1Xk=i − π(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

�,

pour tout k ∈ N. Ces variables aléatoires sont centrées, de carrés intégrables, et iid sousQγ . Le théorème central limite classique fournit donc

EQγ

e

it 1√n

n�k=1

Yk(α,γ) −→

n→∞ e− t22 σ2(α,γ) ,

où σ2(α, γ) = EQγ

�Y1(α, γ)

�2. Plus précisément,

σ2(α, γ) =�

i∈IEQγ

�1Xk=i

� �log

�π(i|α)π(i|γ)

��2

− 2�

j∈IEQγ

�1Xk=j

�log

�π(j|α)π(j|γ)

��

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

�

+��

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��2

=�

i∈Iπ(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

��2−

��

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��2

.

Lorsque n tend vers l’infini, l’équation (4.11) devient

limn→∞E

�eitZn

�=

�

γ∈Aq0(γ)e− t2

2 σ2(α,γ) ,

le terme de droite étant la fonction caractéristique de Z ∼ σ(α, Γ)N (0, 1).

Deuxième méthode : On pose Tn =�1Xn=i − π(i|γ)

�i∈I . Sous Qγ , (Tn)n∈N sont des

variables aléatoires centrées, de carrés intégrables et iid. Alors le théorème central limiteclassique fournit une convergence en loi par rapport à Qγ :

TnL−→

n→∞ T ∼ N (0, Σ)

où Σ = (Σij)i,j∈I ∈ M|I|(R). Plus précisément, pour tout i, j ∈ I,

Σij = EQγ

�Tn(i)Tn(j)

�= −π(i|γ)π(j|γ) + δijπ(i|γ) .

Notons V (α, γ) =�log

�π(i|α)π(i|γ)

��i∈I

pour tout γ ∈ A, alors

V (α, γ).Tnd−→

n→∞ V (α, γ).T ∼ N (0, V (α, γ)tΣV (α, γ)) .

Lorsque n tend vers l’infini, l’équation (4.11) donne

limn→∞E

�eitZn

�=

�

γ∈Aq0(γ)e− t2

2 V (α,γ)tΣV (α,γ) .

De plus, V (α, γ)tΣV (α, γ) = �i∈I

π(i|γ)�log

�π(i|α)π(i|γ)

��2−

��i∈I π(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��2, c’est

pourquoilim

n→∞E�eitZn

�= E

�eitZ

�.

83

On s’intéresse à présent au théorème de Berry-Esseen pour les mesures quantiques nondestructives.Théorème 4.6. Soient α ∈ A et n ∈ N∗. Posons

Zn =√

n

σ(α, Γ)

�1n

log�

qn(α)q0(Γ)qn(Γ)q0(α)

�−

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��

alors ���P�Zn ≤ x

�− η(x)

��� ≤ 3√nE�

ρ(α, Γ)σ3(α, Γ)

�= Cberry√

n,

où x ∈ R, η est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, σ2(α, Γ) estdéfinie dans le Théorème 4.5 et

ρ(α, Γ) =������

i∈Iπ(i|Γ)

�log

�π(i|α)π(i|Γ)

��3

− 3��

i∈Iπ(i|Γ)

�log

�π(i|α)π(i|Γ)

��2���

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��

+ 2��

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��3 ����� .

Démonstration. Soient α ∈ A et n ∈ N∗, l’équation (4.9) fournit une nouvelle formulationpour Zn :

Zn = 1σ(α, Γ)

√n

n�

k=1Yk(α, Γ) .

Pour tout x ∈ R, on a donc

P�Zn ≤ x

�− η(x) =

�

γ∈Aq0(γ)

�Qγ

�Zn ≤ x

�− η(x)

�

=�

γ∈Aq0(γ)

Qγ

n�k=1

Yk(α, γ)

σ(α, γ)√

n≤ x

− η(x)

.

Les variables aléatoires�Yk(α, γ)

�k∈N∗ sont centrées et identiquement distribuées sous Qγ .

Le théorème de Berry-Esseen 3 stipule que���P

�Zn ≤ x

�− η(x)

��� ≤�

γ∈Aq0(γ) 3ρ(α, γ)

σ3(α, γ)√

n

où ρ(α, γ) = EQγ

��Y1(α, γ)��3. Plus précisément,

ρ(α, γ) =������

i∈Iπ(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

��3

− 3��

i∈Iπ(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

��2���

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��

+ 2��

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��3 ����� ,

ce qui termine la preuve.3. Voir [Pro56] pour une preuve.

84

Le théorème central limite et le théorème de Berry-Esseen sont à la base de multiplestests statistiques, c’est pourquoi nous étudions les tests d’hypothèses dans la suite.

4.2.4 Tests d’hypothèsesCette section vise à étudier les tests d’hypothèses construits à partir des théorèmes

asymptotiques vus en amont.Nous voulons tester si, oui ou non, le système est asymptotiquement dans l’état γ. Pour

ces raisons, l’hypothèse considérée est

H0 : Γ = γ ,

on la nomme l’hypothèse nulle. L’autre hypothèse est appelée "alternative", c’est le contrairede l’hypothèse nulle. On la note :

H1 : Γ �= γ .

Habituellement, on cherche à désapprouver H0. Lorsque H0 est rejetée, on dit que l’on"rejette l’hypothèse nulle". Inversement, lorsque l’hypothèse nulle n’est pas désapprouvée,on dit que l’on "échoue à rejeter l’hypothèse nulle". Afin de quantifier nos éventuelles erreurs,nous introduisons deux types d’erreurs : l’erreur de type I (notée �1) lorsque l’hypothèseH0 est rejetée alors qu’elle est vraie et l’erreur de type II (notée �2) lorsque nous échouonsà rejeter l’hypothèse H0 alors qu’elle est fausse.

H0 est vraie H0 est vraieRejet de H0 �1 : Erreur de type I Rejet correctÉchec de rejet de H0 Échec de rejet correct �2 : Erreur de type 2

Notre but est de construire des tests (Tα)α∈A basés sur le Théorème 4.5, ces tests sontappelés Z-tests. À partir de maintenant, on fixe α ∈ A, et on considère la variable dedécision

Zn =√

n

�1n

log�

qn(α)qn(Γ)

�−

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��.

Le théorème 4.5 stipule que, sous H0, la variable aléatoire Zn admet une distributionasymptotique qui est gaussienne centrée et de variance

σ2(α, γ) =�

i∈Iπ(i|γ)

�log

�π(i|α)π(i|γ)

��2−

��

i∈Iπ(i|γ) log

�π(i|α)π(i|γ)

��2

.

Cela induit la règle de décision suivante :

H0 est�

rejetée si |Zn| > σ(α, γ)η−1 �1 − �12�

;non rejetée sinon.

où η est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Ce test, noté Tα, estasymptotique et d’erreur de type I égale à �1.

On construit à présent un test non asymptotique à l’aide du théorème de Berry-Esseen(Théorème 4.6). Introduisons la nouvelle variable de décision :

Zn =√

n

σ(α, Γ)

�1n

log�

qn(α)q0(Γ)qn(Γ)q0(α)

�−

�

i∈Iπ(i|Γ) log

�π(i|α)π(i|Γ)

��.

85

Le but est de construire une règle de décision symétrique à partir de Zn telle que l’erreurde type I soit égale à �1. C’est pourquoi nous voulons trouver x dans R de sorte que, sousH0,

P(Zn > x) ≤ �12 et P(Zn < −x) ≤ �1

2 . (4.12)

Cependant, le Théorème 4.6 nous informe que

P(Zn < −x) ≤ η(−x) + |P(Zn < −x) − η(−x)| ≤ η(−x) + Cberry√n

,

et que

P(Zn > x) ≤ 1 − η(x) + |P(Zn > x) − (1 − η(x))| ≤ 1 − η(x) + Cberry√n

.

Comme η(−x) = 1 − η(x), en posant

x = η−1�

1 − �12 + Cberry√

n

�,

les conditions (4.12) sont satisfaites. Cela induit la règle de décision suivante :

H0 est

rejetée si |Zn| > η−1�1 − �1

2 + Cberry√n

�;

non rejetée sinon.

Cette règle de décision régit un test, noté Tα,n, non asymptotique et d’erreur de type Iégale à �1.

Nous avons présenté deux tests mais de nombreuses questions subsistent. Il serait no-tamment judicieux de comparer les erreurs de type II, afin de choisir l’état pointeur |α� desorte que Tα soit le meilleur test. Ces remarques font l’objet de travaux en cours.

86

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92

93

94

Deuxième partie

Présentation des articles

95

Chapitre 5

Central limit theorem and largedeviation principle for continuoustime open quantum walks

Sommaire5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2 Continuous Time Open Quantum Walks . . . . . . . . . . . . . 975.3 Central Limit Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.4 Large Deviation Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.5 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Open Quantum Walks (OQWs), originally introduced in [APSS12], are quantum gene-ralizations of classical Markov chains. Recently, natural continuous time models of OQWhave been developed in [Pel14]. These models, called Continuous Time Open QuantumWalks (CTOQWs), appear as natural continuous time limits of discrete time OQWs. Inparticular they are quantum extensions of continuous time Markov chains. This article isdevoted to the study of homogeneous CTOQW on Zd. We focus namely on their associatedquantum trajectories which allow us to prove a Central Limit Theorem for the "position"of the walker as well as a Large Deviation Principle.

97

5.1 IntroductionOpen Quantum Walks concern evolution on lattices driven by quantum operations.

They describe Markovian dynamics influenced by internal degrees of freedom. They havebeen introduced originally by [2] (see also [15]). These OQWs are promising tools to modelphysical problems, especially in computer science (see [24]). They can also model a varietyof phenomena, as energy transfer in biological systems ([20]).

Continuous time models have been developed as a natural continuous time limit ofdiscrete time models [21, 5]. In particular in [5], a natural extension of Brownian motioncalled Open Quantum Brownian Motion has been constructed. In this article, we focuson the continuous time open quantum walks (CTOQWs) model presented in [21]. Moreprecisely, we focus on CTOQWs on Zd. Briefly speaking, CTOQWs on Zd concern theevolution of density operators of the form

µ =�

i∈Zd

ρ(i) ⊗ |i��i| ∈ H ⊗ CZd (5.1)

where the "Zd-component" represents the "position" of the walker and H is a Hilbert spacedescribing the internal degrees of freedom. In particular, if D denotes the set of densityoperators of the form (5.1), CTOQWs are described by a semigroup {φt} such that, φt

preserves D for all t ≥ 0.In the context of quantum walks, one is mainly interested in the position of the walker.

At time 0, starting with density matrix in D as (5.1), the quantum measurement of the"position" gives rise to a probability distribution q0 on Zd, such that, for all i ∈ Zd,

q0(i) = P(”that the walker is in i”) = Tr(ρ(i)) .

As well, after evolution, if

µt = φt(µ) =�

i∈Zd

ρ(t)(i) ⊗ |i��i|

thenqt(i) = P(”that the walker, at time t, is in i”) = Tr(ρ(t)(i)) .

In [21], it has been shown that usual classical continuous time Markov chains are particularcases of CTOQWs. In particular one can easily construct models where the distribution qt

corresponds to the one of a classical continuous time Markov chain. Contrary to continuoustime Markov chains, the distribution qt of CTOQWs cannot be in general recovered by theknowledge of the initial distribution q0. One needs to have access to the full knowledge ofthe initial state µ. In this sense, this justifies the name quantum walks.

Our models of continuous time quantum walks are rather different from the usual modelsof unitary quantum walks. An essential difference concerns the large time behaviour of thecorresponding distribution qt. Let Qt be a random variable of law qt, in the unitary quantumwalk theory it has been shown that (Qt) satisfies a Central Limit Theorem of the type

Qt

t−→t→∞

Q ,

where Q has distributiondx

π√

1 − x2 .

Note that such behaviour is not usual in classical probability where usually one expectsspeed in

√t and Gaussian law as limit in the Central Limit Theorem (CLT). In our context,

98

the distributions (qt)t≥0 express a rather classical behaviour in large time in the sense thata more usual CLT holds. In particular this paper is devoted to show that for CTOQWsone has the following weak convergence

Qt − m√t

−→t→∞

N (0, σ2) ,

where N (0, σ2) denotes usual Gaussian law. Such phenomena have also been observed inthe discrete setting of OQWs [1]. A key point to show this result is the use of the quantumtrajectories associated to the CTOQWs. In general, quantum trajectories describe evolu-tions of quantum system undergoing indirect measurements (see [3] for an introduction).In the context of CTOQWs, quantum trajectories describe the evolution of the states un-dergoing indirect measurements of the position of the walker. In particular these quantumtrajectories appear as solution of jump-type stochastic differential equations called sto-chastic master equations (see [21] for link between discrete and continuous time modelsin the context of OQW, one can also consult [5] for such an approach in the context ofOpen Quantum Brownian Motion). In the physic literature, note that such models appearalso naturally in order to describe non-Markovian evolutions. They are called non-Markovgeneralization of Lindblad equations (see [6, 22, 4]).

After establishing the CLT, our next goal is to investigate a Large Deviation Principle(LDP) for the position of the walker. In particular under additional assumptions, one canapply the Gärtner-Ellis Theorem in order to obtain the final result (one can consult [7] fora similar result for discrete time OQWs).

The article is structured as follows. In Section 2, we present the model of CTOQWson Zd. Next we develop the theory of quantum trajectories which describe the continuousmeasurement of the position. In Section 3, we present the Central Limit Theorem. Section4 is devoted to the Large Deviation Principle (LDP). Finally in Section 5, we present someexamples which illustrate the CLT and the LDP.

5.2 Continuous Time Open Quantum Walks5.2.1 Main setup

The models of Continuous Time Open Quantum Walks have been formalized in [21].They arise as continuous limits of discrete time OQWs (we do not recall the discretetime models and we refer to [2]). These limits processes are described by particular typesof Lindblad master equations. Originally, these equations appear in the "non-Markoviangeneralization of Lindblad theory" from Breuer [6]. In this article, we focus on nearestneighbors, homogeneous CTOQWs on Zd.

In the sequel, H denotes a finite dimensional Hilbert space and SH denotes the spaceof density matrix on H :

SH = {ρ ∈ B(H) | ρ∗ = ρ, ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}.

We put Kd = H ⊗CZd where CZd stands for the position of a particle while H correspondsto the internal degree of freedom of this particle. We consider the canonical basis {e1, ..., ed}of Zd, we set e0 = 0d and ed+r = −er for all r ∈ {1, ..., d}. The canonical basis of CZd isdenoted by (|i�)i∈Zd .

As announced we focus on particular diagonal density matrices of Kd :

D =

µ ∈ B(Kd), µ =

�

i∈Zd

ρ(i) ⊗ |i��i|, ρ(i) ≥ 0,�

i∈Zd

tr�ρ(i)

�= 1

.

99

In the sequel we shall consider evolutions on Kd which preserve D. To this end we consi-der a family of operators {Dr}r=1,...,2d on B(H) and we define the operators {Br

i }r=1,...,2d

on B(Kd) such that Bri = Dr ⊗ |i + er��i|.

Now as announced the CTOQWs are generated by particular Lindblad master equa-tions. Let Mc the following Lindblad operator on H ⊗ CZd ,

Mc : B(H ⊗ CZd) → B(H ⊗ CZd)

µ �→ −i[H ⊗ I, µ] +�

i∈Zd

2d�

r=1

�Br

i µBr∗i − 1

2{Br∗i Br

i , µ}�

where H is a self-adjoint operator on H which is called the Hamiltonian.

Let us introduce the operator

D0 = −iH − 12

2d�

r=1D∗

rDr .

The next computation shows that Mc preserves the set D.

Mc(µ) =�

i∈Zd

�− i[H, ρ(i)] ⊗ |i��i| +

2d�

r=1Drρ(i)D∗

r ⊗ |i + er��i + er|

− 12

2d�

r=1{D∗

rDr, ρ(i)} ⊗ |i��i|�

=�

i∈Zd

��D0ρ(i) + ρ(i)D∗

0� ⊗ |i��i| +

2d�

r=1Drρ(i)D∗

r ⊗ |i + er��i + er|�

=�

i∈Zd

�D0ρ(i) + ρ(i)D∗

0 +2d�

r=1Drρ(i − er)D∗

r

�⊗ |i��i| ,

for all µ = �i∈Zd ρ(i) ⊗ |i��i|.

The following proposition describes precisely our model of CTOQWs.

Proposition 5.1. [21] Let µ(0) =�

i∈Zd

ρ(0)(i) ⊗ |i��i|, the equation

ddt

µ(t) = Mc(µ(t)), (5.2)

with initial condition µ(0) admits a unique solution (µ(t))t≥0 with values in D.More precisely, µ(t) is of the form µ(t) = �

i∈Zd

ρ(t)(i) ⊗ |i��i| such that :

ddt

ρ(t)(i) = D0ρ(t)(i) + ρ(t)(i)D∗0 +

2d�

r=1Drρ(t)(i − er)D∗

r ,

for all i ∈ Zd.

Definition 5.1. The evolution (5.2) is called a Continuous Time Open Quantum Walk onZd.

100

This definition is justified by the following. The operator Bri transcribes the idea that

the particle localized in |i� can only jump to one of its nearest neighbors |i + er�, andin this case, the transformation on H is governed by Dr. In the case the particle standsstill, the evolution on H is governed by D0. It is the exact analogue of the usual OQWsfor continuous time evolutions. An interesting fact has been pointed out in [21], usualcontinuous time classical Markov chains can be realized within this setup.

Now let us describe the probability distributions associated to CTOQWs.

Definition 5.2. Let µ(0) =�

i∈Zd

ρ(0)(i) ⊗ |i��i|. Let µ(t) =�

i∈Zd

ρ(t)(i) ⊗ |i��i| be the solution

of the equationddt

µ(t) = Mc�µ(t)� .

We defineqt(i) = Tr

�µ(t) (I ⊗ |i��i|) � = Tr

�ρ(t)(i)

�(5.3)

and we denote Qt the random variable on Zd of law qt, that is

P[Qt = i] = qt(i),

for all i ∈ Zd.

As we can see in Section 3 and as it was announced in the introduction, the shape ofqt seems to converge to Gaussian shape. This is exactly the result pointed out by the CLTin Section 3. In order to prove this, we shall need the theory of quantum trajectories forCTOQWs.

5.2.2 Quantum trajectoriesAs in the discrete case, quantum trajectories are essential tools for showing the CLT

and the LDP. The description of quantum trajectories is less straightforward than the onein OQWs. It makes use of stochastic differential equations driven by jump processes. Werefer to [21] for the justification of the below description and the link between discrete andcontinuous time models. One can also consult [6] where general indirect measurements fornon-markovian generalization of Lindblad equations have been developped.

Proposition 5.2. Let µ(0) = �i∈Zd ρ(0)(i) ⊗ |i��i| be an initial state on H ⊗ CZd. The

quantum trajectory describing the indirect measurement of the position of the CTOQWsled by Mc is modeled by a Markov process

�ω(t) = ρt ⊗ |Xt��Xt|

�t≥0

. This Markov processis valued in the set

P =�ρ ⊗ |i��i|, ρ ∈ SH, i ∈ Zd�

such thatω(0) = ρ(0)(i)

Tr�ρ(0)(i)

� ⊗ |i��i| with probability Tr�ρ(0)(i)

�

and such that the following differential equation is satisfied :

ω(t) = ω(0) +� t

0

�D0ρs− + ρs−D∗

0 − ρs−Tr(D0ρs− + ρs−D∗0)�

⊗ |Xs−��Xs−| ds

+2d�

r=1

� t

0

�

R

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r) ⊗ |Xs− + er��Xs− + er|

− ρs− ⊗ |Xs−��Xs−|�10<y<Tr(Drρs−D∗

r )Nr(dy, ds) (5.4)

101

where {N r}r∈{1,...,2d} are independent Poisson point processes on R2.In particular the Markov process (ρt, Xt)t≥0 is valued in SH × Zd and satisfies

dρs =�D0ρs− + ρs−D∗

0 − ρs−Tr(D0ρs− + ρs−D∗0)�ds

+2d�

r=1

�

y∈R

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r) − ρs−

�10<y<Tr(Drρs−D∗

r )Nr(dy, ds) , (5.5)

dXs =2d�

r=1

�

y∈Rer 10<y<Tr(Drρs−D∗

r )Nr(dy, ds) (5.6)

and (ρ0, X0) =�

ρ(0)(i)Tr�

ρ(0)(i)� , i

�with probability Tr

�ρ(0)(i)

�.

Remark : The second expression of the description of quantum trajectories is the exactcontinuous time analogue of the one described in [1] for OQWs. Let us briefly explain howthe quantum trajectories evolve in time. To this end we introduce :

∀r ∈ {1, ..., 2d}, N r(t) =� t

0

�

R10<y<Tr(Drρs−D∗

r )Nr(dy, ds) . (5.7)

The processes N r are Poisson processes with intensity� t

0 Tr(Drρs−D∗r)ds. In particular the

processes

N r(t) −� t

0Tr(Drρs−D∗

r)ds

are martingales with respect to the filtration induced by (ρt, Xt)t≥0. The evolution des-cribed by (6.11) is deterministic and interrupted by jumps occurring at random time, itis typically a Piecewise Deterministic Markov Process. The jumps are generated by thePoisson processes (5.7). As we can check from Eq. (6.11), if ω(0) = ρ ⊗ |i��i| for someρ ∈ SH and i ∈ Zd (that is |X0� = |i�), the deterministic evolution let the position un-changed until a jump occurs. Since the Poisson processes N r are independent, only onePoisson process is involved. If T denotes the time of the first jump and assume the processN r is involved, the internal degree of freedom is updated by ρT = DrρT −D∗

rTr(DrρT −D∗

r ) and theposition is changed and becomes |i+er�. This means that the particle has jumped from theposition |i� to the position |i + er�. In other words we have |Xt� = |i�, for all 0 ≤ t ≤ T−and |XT � = |i + er�. Next, the deterministic evolution starts again with the new initialcondition ρT ⊗ |i + er��i + er| until a new jump occur and so on.

The following result allows us to make the connection between CTOQWs and theirassociated quantum trajectories.

Proposition 5.3. Let µ(t) the OQW defined in Proposition 5.1 and ω(t) the associatedquantum trajectory defined in Proposition 6.2. Then we have

∀t ≥ 0, E(ω(t)) = µ(t) .

Moreover, for all t ≥ 0, the random variables Xt and Qt have the same distributionsqt.

Proof. The first part is proved in [21]. For the second part, let φ a bounded continuous

102

map on Zd, we get :

E(φ(Qt)) =�

i∈Zd

φ(i)Tr�µ(t)(I ⊗ |i��i|)�

=�

i∈Zd

φ(i)Tr�E(ω(t))(I ⊗ |i��i|)�

=�

i∈Zd

φ(i)E�

Tr�ω(t)(I ⊗ |i��i|)�

�

=�

i∈Zd

φ(i)E�Tr(|Xt��Xt||i��i|)

�

=�

i∈Zd

φ(i)E(1Xt=i)

= E(φ(Xt)) ,

and the result holds.In the next section, we state the CLT.

5.3 Central Limit TheoremThis section is devoted to prove the Central Limit Theorem for CTOQWs. The result

holds under some assumption concerning the Lindblad operator on H. This operator isdefined below.

L : B(H) → B(H)

ρ �→ D0ρ + ρD∗0 +

2d�

r=1DrρD∗

r .

Our main assumption for the CLT is the following.— (H1) There exists a unique density matrix ρinv ∈ SH such that

L(ρinv) = 0 .

In particular dim Ker(L) = 1.Under the condition (H1), we have the following ergodic theorem which is a particular

case of the Ergodic Theorem of [18]. In particular this theorem shall be useful in the proofof the CLT.

Theorem 5.1 ([18]). Assume (H1). Let (ρt, Xt)t≥0 the Markov process defined in Propo-sition 6.2, therefore

1t

� t

0ρsds

a.s.−→ ρinv .

Now, our strategy to show the CLT consists in reducing the problem to a CLT for mar-tingales with the help of the solution of the Poisson equation. To this end let us introducethe generator of the process (ρt, Xt)t≥0.

We denote A the Markov generator of the process (ρt, Xt)t≥0 and D(A) its domain. Forall f ∈ D(A), ρ ∈ SH and x ∈ Zd, we get

Af(ρ, x) = Dρf(F(ρ))

+2d�

r=1

�f

�DrρD∗

r

Tr(DrρD∗r) , x + er

�− f(ρ, x)

�Tr(DrρD∗

r) (5.8)

103

where F(ρ) = D0ρ + ρD∗0 − ρTr(D0ρ + ρD∗

0) for all ρ ∈ SH and where Dρf denotes thepartial differential of f with respect to ρ.

Remark : Note that in the sequel we do not need to make precise the exact domain of A.Actually we shall apply the Markov generator on C1 functions.

We shall also need the following quantity,

m =2d�

r=1Tr(DrρinvD∗

r)er .

The following lemma shall be used in the proof.

Lemma 5.1. For all u ∈ Rd, the equation

L∗(Ju) = −� 2d�

r=1(er.u)D∗

rDr − (m.u)I�

(5.9)

admits a solution and the difference between any couple of solutions of (5.9) is a multipleof the identity.

Proof. First, let us remark that

Tr�

ρinv

� 2d�

r=1(er.u)D∗

rDr − (m.u)I��

=2d�

r=1Tr(DrρinvD∗

r)(er.u) − (m.u)Tr(ρinv) = 0 ,

which implies that −� 2d�

r=1(er.u)D∗

rDr − (m.u)I�

∈ {ρinv}⊥. But by hypothesis, we have

{ρinv}⊥ = Ker(L)⊥. Moreover, since Ker(L)⊥ = Im(L∗), we finally get that

−� 2d�

r=1(er.u)D∗

rDr − (m.u)I�

∈ Im(L∗)

which proves the existence of the lemma. Now we prove the second part. To this endconsider Ju and J �

u two solutions of (5.9) and set Hu = Ju − J �u. It is then clear that

L∗(Hu) = 0 .

Therefore Hu ∈ Ker(L∗). Since dim Ker(L) = 1, we get dim Ker(L∗) = 1 and since

L∗(I) = D∗0 + D0 +

2d�

r=1D∗

rDr = 0 ,

the operator Hu is necessarily a multiple of the identity.From now on, for u ∈ Rd, we denote Ju the unique solution of (5.9) such that Tr(Ju) = 0.

Moreover, if u = er, then we simply write Ju = Jr. Using the linearity of L∗, one can noticethat :

Ju =d�

r=1urJr ,

for all u = (u1, . . . , ud) ∈ Rd.The next lemma concerns the Poisson equation in our context (see [19] for more details

on the Poisson equation).

104

Lemma 5.2. For all (ρ, x) ∈ S × Zd and u ∈ Rd, let set

fu(ρ, x) = Tr(ρJu) + x.u . (5.10)

Then fu is solution of the Poisson equation :

Afu(ρ, x) = m.u . (5.11)

Proof. For all (ρ, x) ∈ S × Zd and u ∈ Rd, we complete the following computation :

Afu(ρ, x) = Tr(F(ρ)Ju)

+2d�

r=1

�Tr

�DrρD∗

rTr(DrρD∗

r )Ju

�+ x.u + er.u − Tr(ρJu) − x.u

�Tr(DrρD∗

r)

= Tr�D0ρJu + ρD∗

0Ju − Tr(D0ρ + ρD∗0)ρJu

�

+2d�

r=1Tr(DrρD∗

rJu) + Tr(DrρD∗r)(er.u) − Tr

�Tr(DrρD∗

r)ρJu

�

= Tr�

ρ

�JuD0 + D∗

0Ju +2d�

r=1D∗

rJuDr +2d�

r=1D∗

rDr(er.u)��

= Tr�

ρ

�L∗(Ju) +

2d�r=1

D∗rDr(er.u)

��

= Tr�(m.u)ρ

�

= m.u ,

so fu is solution of the Poisson equation (5.11).Now we have found the solution of the Poisson equation, we express the CLT for

martingales that we shall use.

Theorem 5.2 ([10]). Let (Mt)t≥0 be a real, càdlàg, and square integrable martingale.Suppose the following conditions :

limt→∞

E�

1√t

sup0≤s≤t

|ΔMs|�

= 0 (5.12)

andlim

t→∞[M, M ]t

t= σ2 (5.13)

for some σ ≥ 0, thenMt√

t

L−→t→+∞

N (0, σ2) .

We shall also use the following lemma which is a straightforward consequence of thelaw of large numbers for martingales (see [23]).

Lemma 5.3. Let Zt a real, càdlàg, and square integrable martingale which satisfies

�Z, Z�t ≤ Kt

for a constant K, thenZt

ta.s.−→ 0 .

105

The last lemma below shall be useful in this part as well as in the next one. From nowon, we denote |u| the Euclidean norm of u ∈ Rd.

Lemma 5.4. For all t ≥ 0 and all u ∈ Rd, we have

E�

sup0≤s≤t

|Xs − X0|�

≤ (2d)t and

E�

sup0≤s≤t

eu.(Xs−X0)�

≤ exp�(2d)t(e|u| − 1)

�.

Proof. Let t ≥ 0 and u ∈ Rd,

E�sup0≤s≤t eu.(Xs−X0)

�≤ E

�e|u|

� t

0 |dXs|�

≤ E�exp

�|u|�2d

r=1� t

v=0�

y∈R 10<y<Tr(DrρvD∗r )N

r(dy, dv)��

≤ E�exp

�|u|�2d

r=1� t

0� 1

y=0 N r(dy, dv)��

.

Since N r are independent Poisson point processes on R2, we get

E�sup0≤s≤t eu.(Xs−X0)

�≤ E

�exp

�|u| � t

0� 1

y=0 N1(dy, dv)��2d

≤ exp�(2d)t(e|u| − 1)

�.

In the same way, one can prove that

E�

sup0≤s≤t

|Xs − X0|�

≤ E� 2d�

r=1

� t

v=0

� 1

y=0N r(dy, dv)

�≤ (2d)t .

Now, we are in the position to state the main result of this section.

Theorem 5.3. Assume (H1) holds. Let (ρt, Xt)t≥0 the Markov process defined in Proposi-tion 6.2 then

Xt − tm√t

L−→t→+∞

N (0, V ) ,

where V ∈ Md(R) such that for all r, q ∈ {1, ..., d},

Vrq = −mqTr(ρinvJr) − mrTr(ρinvJq)+δrq

�Tr(DrρinvD∗

r) + Tr(Dr+dρinvD∗r+d)

�

+Tr(DqρinvD∗qJr) + Tr(DrρinvD∗

rJq)−Tr(Dq+dρinvD∗

q+dJr) − Tr(Dr+dρinvD∗r+dJq) .

Remark : Proposition 5.3 implies then the CLT for the process (Qt)t≥0 as it holds for(Xt)t≥0.Proof. As announced, the proof is a combination of Lemma 5.2 and Theorem 5.2. Letu ∈ Rd and fu the C1 function defined in Lemma 5.2. Since A is the generator of (ρt, Xt)t≥0,following the theory of problem of martingale, the process (Mt)t≥0 defined by

Mt = fu(ρt, Xt) − fu(ρ0, X0) −� t

0Afu(ρs−, Xs−)ds

= Tr(ρtJu) − Tr(ρ0Ju) + Xt.u − X0.u − (m.u)t

is a local martingale with respect to the filtration F associated to (ρt, Xt)t≥0 (see [23, 13] formore details on problem of martingale). In order to apply Theorem 5.2, we shall show that

106

(Mt) is a true martingale. To this end it is sufficient to show that E�

sup0≤s≤t |Ms|�

< ∞

(see [13] for more details). This way, since |Tr(ρJu)| ≤ �Ju�∞ for all ρ ∈ SH, one can checkwith the help of Lemma 5.4 that

E�

sup0≤s≤t

|Ms|�

≤ 2�Ju�∞ + 2d|u|t + |m.u|t .

Now we shall see that (Mt) fulfills the conditions of Theorem 5.2. The first one is theeasiest one. Indeed,

|ΔMs| ≤ |Tr(ΔρsJu)| + |ΔXs.u| ≤ 2�Ju�∞ + |u| .

This shows that ΔMs is bounded independently of s and thus the condition (5.12) holds.Now, we check that (Mt) satisfies Equation (5.13). The bracket [M, M ]t satisfies :

d[M, M ]s = d[u.X, u.X]s + 2 d[u.X, Tr(ρJu)]s + d[Tr(ρJu), Tr(ρJu)]s

=2d�

r=1(er.u)2N r(ds) + 2

2d�

r=1(er.u)Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�N r(ds)

−22d�

r=1(er.u)Tr(ρs−Ju)N r(ds) +

2d�

r=1Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2

N r(ds)

−22d�

r=1Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�Tr(ρs−Ju)N r(ds) +

2d�

r=1Tr(ρs−Ju)2N r(ds)

=2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2

− Tr(ρs−Ju)2�

N r(ds)

−2Tr(ρs−Ju)2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�− Tr(ρs−Ju) + (er.u)

�N r(ds)

+2d�

r=1(er.u)2N r(ds) + 2

2d�

r=1(er.u)Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�N r(ds) .

Now we shall make the martingales Y r(t) = N r(t) − � t0 Tr(Drρs−D∗

r)ds appear in thefirst and the last term of the above expression. Concerning the second term, we recognizedTr(ρsJu) and d(Xs.u) to get

d[M, M ]s =2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2− Tr(ρs−Ju)2

�Y r(ds)

+2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2− Tr(ρs−Ju)2

�Tr(Drρs−D∗

r)ds

−2Tr(ρs−Ju)�dTr(ρsJu) + d(Xs.u) − Tr(F(ρs−)Ju)ds

�

+2d�

r=1(er.u)2Y r(ds) + 2

2d�

r=1(er.u)Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�Y r(ds)

+2d�

r=1(er.u)2Tr(Drρs−D∗

r)ds + 22d�

r=1(er.u)Tr(Drρs−D∗

rJu)ds . (5.14)

107

One can remark that for h(ρ, x) := Tr(ρJu)2, we get for all (ρ, x) ∈ SH × Zd :

Ah(ρ, x) = 2Tr�F(ρ)Ju

�Tr

�ρJu

�

+2d�

r=1

�Tr

�DrρD∗

r

Tr(DrρD∗r)Ju

�2− Tr(ρJu)2

�Tr(DrρD∗

r) . (5.15)

Since h ∈ C1, the process (Sht )t≥0 defined by :

Sht = Tr(ρtJu)2 − Tr(ρ0Ju)2 −

� t

0Ah(ρs−, Xs−)ds

is a local martingale. Besides, since |Tr(ρJu)| ≤ �Ju�∞ for all ρ ∈ SH, one has

E�

sup0≤s≤t

|Shs |�

≤ α + βt < ∞

for all t ≥ 0, so Sht is actually a true martingale.

Now using Equation (5.15) in the second line of (5.14) and recognizing dMt in the thirdone, we have

d[M, M ]s =2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2

− Tr(ρs−Ju)2�

Y r(ds)

+Ah(ρs−, Xs−)ds − 2Tr�F(ρs−)Ju

�Tr

�ρs−Ju

�ds

−2Tr(ρs−Ju)�dMs + (m.u)ds − Tr

�F(ρs−)Ju�ds

�

+2d�

r=1(er.u)2Y r(ds) + +2

2d�

r=1(er.u)Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�Y r(ds)

+2d�

r=1(er.u)2Tr(Drρs−D∗

r)ds + 22d�

r=1(er.u)Tr(Drρs−D∗

rJu)ds

=2d�

r=1

�Tr

�Drρs−D∗

r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

�2

− Tr(ρs−Ju)2 + (er.u)2

+ 2(er.u)Tr�

Drρs−D∗r

Tr(Drρs−D∗r)Ju

��Y r(ds)

−dShs − 2Tr(ρs−Ju)dMs + d

�Tr(ρsJu)2�

+Tr�

ρs−

�−2(m.u)Ju +

2d�

r=1(er.u)2D∗

rDr + 22d�

r=1(er.u)D∗

rJuDr

��ds .

(5.16)

Let us denote by Hrs the term in front of Y r(ds). Now, we shall apply Lemma 5.3. To this

end, recall that for all ρ ∈ SH, |Tr(ρJu)| ≤ �Ju�∞, this implies the following estimates :

�� .

0Hr

s dY rs ,

� .

0Hr

s dY rs �t ≤ (2�Ju�2

∞ + |u|2 + 2|u|�Ju�∞)2�D∗rDr�∞t ,

�� .

0−2Tr(ρs−Ju)dMs,

� .

0−2Tr(ρs−Ju)dMs�t ≤ 4�Ju�2

∞(|u|+2�Ju�∞)2� 2d�

r=1�D∗

rDr�∞

�t ,

�Sh, Sh�t ≤ 64�Ju�4∞

� 2d�

r=1�D∗

rDr�∞

�t .

108

Lemma 5.3 shows that only the last term of (5.16) contributes to limt→∞

[M, M ]tt

. ApplyingTheorem 5.1, we get

limt→∞

[M, M ]tt

= limt→∞

1t

� t

0Tr

�ρs−

�− 2(m.u)Ju +

2d�

r=1(er.u)2D∗

rDr

+ 22d�

r=1(er.u)D∗

rJuDr

��ds

= Tr�

ρinv

�−2(m.u)Ju +

2d�

r=1(er.u)2D∗

rDr + 22d�

r=1(er.u)D∗

rJuDr

��.

Now defining σ2u = Tr

�ρinv

�−2(m.u)Ju +

2d�r=1

(er.u)2D∗rDr + 2

2d�r=1

(er.u)D∗rJuDr

��, Theo-

rem 5.2 states that :Mt√

t= Xt.u − (m.u)t + Tr(ρtJu) − Tr(ρ0Ju) − X0.u√

t

L−→t→+∞

N (0, σ2u) .

Since�Tr(ρtJu) − Tr(ρ0Ju) − X0.u

�is bounded independently of t, one can obviously

deduce that for all u = (u1, ..., ud) ∈ Rd, one has

Xt.u − (m.u)t√t

L−→t→+∞

N (0, σ2u),

where

σ2u = −2

d�r,q=1

uruqmqTr(ρinvJr) +d�

r=1u2

r

�Tr(DrρinvD∗

r) + Tr(Dr+dρinvD∗r+d)

�

+2d�

r,q=1uruq

�Tr(DqρinvD∗

qJr) − Tr(Dq+dρinvD∗q+dJr)

�.

Finally we can check that σ2u =

d�r,q=1

uruqVrq for all u = (u1, ..., ud) ∈ Rd, which ends the

proof.We finish this section by specifying the case d = 1. This is the simpler case where the

walker can only jump to the right or the left. The Markov process (ρt, Xt)t≥0, with valuesin SH × Z, is defined by the following differential equations :

dρs =�D0ρs− + ρs−D∗

0 − ρs−Tr(D0ρs− + ρs−D∗0)�ds

+�

D1ρs−D∗1

Tr(D1ρs−D∗1) − ρs−

�N1(ds) +

�D2ρs−D∗

2Tr(D2ρs−D∗

2) − ρs−�N2(ds)

and dXs = N1(ds) − N2(ds),

where D0, D1, D2 ∈ B(H) such that D0 + D∗0 + D∗

1D1 + D∗2D2 = 0.

Theorem 5.4. Suppose that the Lindblad operator

L(ρ) = D0ρ + ρD∗0 + D1ρD∗

1 + D2ρD∗2

admits a unique density matrix ρinv such that L(ρinv) = 0.

109

Set m = Tr(D1ρinvD∗1) − Tr(D2ρinvD∗

2), and let J the unique solution of L∗(J) =−D∗

1D1 + D∗2D2 + mI such that Tr(J) = 0.

Then, we have the following CLT

Xt − tm√t

L−→t→+∞

N (0, σ2)

where σ2 = Tr(ρinv[−2mJ + D∗1D1 + D∗

2D2 + 2D∗1JD1 − 2D∗

2JD2]).

5.4 Large Deviation PrincipleHere, we study a Large Deviation Principle (LDP) for CTOQWs. Our proof is inspired

by strategies developed in [16, 7] which are essentially based on the application of theGärtner-Ellis Theorem ([12]). In the following, one can notice that the Perron-FrobeniusTheorem for positive maps ([14]) is the main tool to apply the Gärtner-Ellis Theorem.

In order to prove the LDP, we shall use a deformed Lindblad operator. From now on,we define for all u ∈ Rd, the operators D

(u)r = e

u.er2 Dr, r ∈ {0, . . . , 2d}, and we denote L(u)

the deformed Lindblad operator associated to the operators D(u)r , that is,

L(u)(ρ) = D0ρ + ρD∗0 +

2d�

r=1eu.er DrρD∗

r ,

for all ρ ∈ SH.

Now, defining

φ(u)(ρ) =2d�

r=1eu.er DrρD∗

r ,

for all ρ ∈ SH and all u ∈ Rd, we can see that L(u) is written in the usual Lindblad form,that is L(u)(ρ) = D0ρ+ρD∗

0 +φ(u)(ρ). This way, the semi-group {etL(u)}t≥0 is a completelypositive (CP) semi-group (see [9] for the proof). In a same way, we write L as :

L(ρ) = D0ρ + ρD∗0 + φ(ρ)

for all ρ ∈ SH where φ(ρ) =2d�

r=1DrρD∗

r .

In this part, the notion of irreducibility is required. This notion was originally definedin [11]. There are several equivalent definitions that the reader can find in [7, 8].

Definition 5.3. The CP map φ : ρ �→2d�

r=1DrρD∗

r is called irreducible if for any non-zero x ∈ H, the set C[D]x is dense in H, where C[D] is the set of polynomials in Dr,r ∈ {1, ..., 2d}.

In the sequel, we need {etL(u)}t≥0 to be positivity improving. This means that for allt > 0 and for all A ≥ 0, A ∈ B(H), one has etL(u)(A) > 0. The following lemma providesan effective criterion for verifying that {etL(u)}t≥0 is positivity improving.

Lemma 5.5. If φ is irreducible, then φ(u) is irreducible by a direct application of Definition6.1 and therefore {etL(u)}t≥0 is positivity improving ([16]).

110

The next two lemmas are relevant in the proof of the main theorem of this part. Inparticular, the following lemma describes the largest eigenvalue associated to the deformedLindblad semigroup {etL(u)}t≥0.

Lemma 5.6. Let t ≥ 0, suppose that φ is irreducible. Set

lu = max{Re(λ), λ ∈ Sp(L(u))} .

Then etlu is an algebraically simple eigenvalue of etL(u) , and the associated eigenvector Vu

is strictly positive (which can be normalized to be in SH). Besides, the map u �→ lu can beextended to be analytic in a neighbourhood of Rd.

Proof. The first part has been proved in [16], the proof is based on the Perron-FrobeniusTheorem for CP maps ([14]). In particular, using such result, one get that etlu is an geo-metric simple eigenvalue of etL(u) , and the associated eigenvector Vu ∈ B(H) is strictlypositive. It remains to show the algebraic simplicity of the eigenvalue etlu . To this end, weintroduce :

∀X ∈ B(H), Ψ(X) = V− 1

2u et(L(u)−lu)(V

12

u XV12

u ) V− 1

2u .

Note that V− 1

2u is well defined since Vu is strictly positive. The irreducibility of φ involves

the positivity improving of Ψ (with Lemma 5.5), and one has that the diamond norm of Ψ isequal to one since Ψ(I) = I. Therefore, Theorem 2.2 in [16] implies that 1 is a geometricallysimple eigenvalue of Ψ, and this holds for Ψ∗ too. By applying Theorem 2.5. of [14], oneget that the associated eigenvector X1 of Ψ∗ is positive. Assume by contradiction that 1is not algebraically simple for Ψ∗. Then the Jordan decomposition shows that there existsX2 such that Ψ∗(X2) = X1 + X2. Besides Ψ∗ is trace preserving since Ψ(I) = I, thereforeTr(X1) = 0, then X1 = 0 which is impossible. This implies that etlu is algebraically simplefor etL(u) . The analyticity of u �→ lu is a simple application of perturbation theory formatrix eigenvalues (see Chapter II in [17]).

The next lemma describes the link between the moment generating function of�Xt−X0

�

and the deformed Lindblad semigroup.

Lemma 5.7. For all t ≥ 0 and all u ∈ Rd, one has

E�eu.(Xt−X0)

�= Tr

�etL(u)(E[ρ0])

�.

Proof. The idea of the proof consists in rewriting E�eu.(Xt−X0)

�with the help of a Dyson

expansion. From now, we set u ∈ Rd and f : (ρ, x) �→ eu.x ∈ C1. Since A is also thegenerator of (ρt, Xt − X0)t≥0, the process (M f

t )t≥0 defined by

Mft = f(ρt, Xt − X0) − f(ρ0, 0) −

� t

0Af(ρt1−, Xt1− − X0)dt1

is a local martingale. Due to Lemma 5.4, one has the following upper bound.

E�

sup0≤s≤t

|Mfs |�

≤ exp�(2d)t(e|u| − 1)

�+ 1

+ (e|u| + 1)� 2d�

r=1�D∗

rDr�∞

�exp

�(2d)t(e|u| − 1)

�.

111

Then E�

sup0≤s≤t |Mfs |�

< ∞, for all t ≥ 0 which implies that (M ft )t≥0 is a true martin-

gale. This leads to

E�f(ρt, Xt − X0)

�= E

�f(ρ0, 0)

�+ E

� � t

0Af(ρt1 , Xt1 − X0)dt1

�.

This way, we can develop E�eu.(Xt−X0)

�. For all t ≥ 0,

E�eu.(Xt−X0)

�= 1 + E

�� t

0

2d�

r=1

�eu.(Xt1 −X0+er) − eu.(Xt1 −X0)

�Tr(Drρt1D∗

r) dt1

�

= 1 + E�� t

0eu.(Xt1 −X0)

�Tr(L(u)(ρt1))

− Tr(D0ρt1 + ρt1D∗0 +

2d�

r=1Drρt1D∗

r)�

dt1�

= 1 + E�� t

0eu.(Xt1 −X0)Tr

�L(u)(ρt1)

�dt1

�

= 1 +� t

0Tr

�L(u)

�E�eu.(Xt1 −X0)ρt1

���dt1 . (5.17)

In a similar way, we want to develop E�eu.(Xt1 −X0)ρt1

�. Let g : (ρ, x) �→ eu.xρ ∈ C1, the

process (M gt )t≥0 defined by

Mgt = g(ρt, Xt − X0) − g(ρ0, 0) −

� t

0Ag(ρt2−, Xt2− − X0)dt2

is a local martingale. One can also check that E�

sup0≤s≤t |Mgs |�

< ∞ for all t ≥ 0, which

implies that (M gt )t≥0 is a true martingale. And therefore, one has

E�eu.(Xt1 −X0)ρt1

�= E(ρ0) + E

� � t1

0eu.(Xt2 −X0)F(ρt2)dt2

�

+E�� t1

0

2d�

r=1

�eu.(Xt2 −X0+er) Drρt2D∗

r

Tr(Drρt2D∗r)

− eu.(Xt2 −X0)ρt2

�Tr(Drρt2D∗

r)dt2

�

= E(ρ0) + E�� t1

0eu.(Xt2 −X0)

�Tr

�L(u)(ρt2)

�

− ρt2Tr�

D0ρt2 + ρt2D∗0 +

2d�

r=1Drρt2D∗

r

��dt2

�

= E(ρ0) +� t1

0Tr

�L(u)

�E�eu.(Xt2 −X0)ρt2

���dt2 . (5.18)

112

We plug (5.18) into (5.17) and we get, for all t ≥ 0,

E�eu.(Xt−X0)

�= 1 + tTr

�L(u)(E[ρ0])

�

+� t

0

� t1

0Tr

��L(u)

�2 �E�eu.(Xt2 −X0)ρt2

���dt2dt1 .

By iterating this procedure, we obtain

E�eu.(Xt−X0)

�=Tr

� j�

k=0

tk

k!�L(u)

�k �E[ρ0]

��

+�

0<tj<...<tTr

��L(u)

�j+1 �E�eu.(Xtj+1 −X0)ρtj+1

���

dtj+1...dt1 .

for all j ∈ N. Now it is obvious that the first term converges to Tr�

etL(u)�E[ρ0]

��when j

goes to infinity. In order to conclude it remains to prove that the second terms convergesto zero. Let us estimate its norm.

�����

�

0<tj<...<tTr

��L(u)

�j+1 �E�eu.(Xtj+1 −X0)ρtj+1

���dtj+1...dt1

�����1

≤ tj+1

(j + 1)!���L(u)

���j+1

1sup

0≤s≤tE�eu.(Xs−X0)

�.

Finally, thanks to Lemma 5.4 and Jensen’s inequality,�����

�

0<tj<...<tTr

��L(u)

�j+1 �E�eu.(Xtj+1 −X0)ρtj+1

���dtj+1...dt1

�����1

≤ tj+1

(j + 1)!���L(u)

���j+1

1e(2d)t(e|u|−1)

which converges to 0 when j goes to infinity.Now, we can state the main result of this part.

Theorem 5.5. Let (ρt, Xt)t≥0 the Markov process defined in Proposition 6.2. Assume thatφ is irreducible. The process

�Xt−X0

t

�t≥0

satisfies a Large Deviation Principle with a goodrate function Λ∗.

Explicitly there exists a lower semicontinuous mapping Λ∗ : Rd �→ [0, +∞] with compactlevel sets {x|Λ∗(x) ≤ α}, such that, for all open set G and all closed set F with G ⊂ F ⊂ Rd,one has :

− infx∈G

Λ∗(x) ≤ lim inft→+∞

1t

logP�

Xt − X0t

∈ G

�

≤ lim supt→+∞

1t

logP�

Xt − X0t

∈ F

�≤ − inf

x∈FΛ∗(x) .

Moreover, Λ∗ can be expressed explicitly,

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − lu)

where lu is defined in Lemma 5.6.

113

Remark : Moreover, if E(eu.X0) < ∞ then the LDP holds for (Xt)t≥0 and not only for(Xt − X0)t≥0. In this case, Proposition 5.3 allows us to have the LDP for (Qt)t≥0.Proof. The main tool of the proof is the Gärtner-Ellis Theorem (GET) (see [12]). We focuson the moment generating function which is involved in the GET. Let t ≥ 0 and u ∈ Rd,Lemma 5.7 implies that

E(eu.(Xt−X0)) = Tr�etL(u)�

E[ρ0]��

=�

i∈Zd

Tr�etL(u)�

ρ(0)(i)��

.

Set 0 < � < t. Due to Lemma 5.5, e�L(u) has the property of positivity improving,therefore e�L(u)�

ρ(0)(i)�

is strictly positive for all i ∈ Zd.

If we set ru,i = inf�Sp

�e�L(u)�

ρ(0)(i)���

> 0 and su,i =Tr�

e�L(u)�ρ(0)(i)

��

inf Sp(Vu) then

Sp�e�L(u)�

ρ(0)(i)� − ru,iVu

�⊂ R+ and Sp

�su,iVu − e�L(u)�

ρ(0)(i)�� ⊂ R+, and thus

ru,iVu ≤ e�L(u)�ρ(0)(i)

�≤ su,iVu .

Since e(t−�)L(u) preserves the positivity, we get

ru,ie(t−�)luVu ≤ etL(u)�

ρ(0)(i)�

≤ su,ie(t−�)luVu .

Taking the trace, Lemma 5.7 yields

e(t−�)lu�

i∈Zd

ru,i ≤ E�eu.(Xt−X0)� ≤ e(t−�)lu

�

i∈Zd

su,i .

The sums are finite and positive, then we have

limt→+∞

1t

log�E�eu.(Xt−X0)�� = lu .

Now define Λt : u �→ log�E�eu.

Xt−X0t

��the logarithm of the moment generating func-

tion of Xt−X0t , and Λ : u �→ lu. We have shown that

limt→+∞

1tΛt(tu) = Λ(u) .

Since Λ is analytic (Lemma 5.6), Gärtner-Ellis Theorem can be applied, this proves theLDP and the associated good rate function is

Λ∗ : x �→ supu∈Rd

(u.x − lu) .

5.5 ExamplesThis section is devoted to the illustration of the CLT and LDP with concrete examples.Let us first start with two examples in the case d = 1. Next, we provide an example for

d = 2.In the case d = 1, we obtain an open quantum walk on Z where the walker can stand

still some random time, jump to the right and jump to the left. These evolutions arerespectively governed by D0, D1 and D2. We must have :

D0 + D∗0 + D∗

1D1 + D∗2D2 = 0 .

114

Figure 5.1: Evolution of the distribution of the CTOQW starting from a state localized in0. The i-axis stands for the position |i� on Z, the t-axis stands for the time and the Q-axisreturns the distribution qt(i).

In the case d = 2, we shall need five operators (Dr)r∈{0,...,4} satisfying

D0 + D∗0 +

4�

r=1D∗

rDr = 0 .

Recall that we need to check condition (H1) for getting the CLT (Theorem 5.3) and weneed to check the condition of Definition 6.1 for obtaining LDP (Theorem 5.5).

1. The constraint above is respected in this concrete example :

D0 = −12I, D1 = 1√

3

�1 10 1

�and D2 = 1√

3

�1 0

−1 1

�.

This example falls within the scope of the CLT, in fact (H1) is checked with ρinv =12I. We get

m = Tr(D1ρinvD∗1) − Tr(D2ρinvD∗

2) = 0 ; J = 16

�−5 22 5

�and σ2 = 8

9 .

Then the CLT states thatXt√

t

L−→t→+∞

N�

0,89

�,

as it is illustrated by Figure 5.1.One can check that the condition of Definition 6.1 is satisfied which implies thatφ is irreducible. Hence the process

�Xt−X0

t

�t≥0

satisfies a LDP with a good ratefunction Λ∗ : x �→ supu∈R(u.x − lu) (see Figure 5.2 for numerical computations).

115

Figure 5.2: Λ∗ for the first example.

2. For the second example on Z, we consider the following operators

D0 =�

−38 0

0 −14

�, D1 =

�0 1

212 0

�and D2 =

�0 1

21√2 0

�.

Concerning the invariant state, after easy computations, we get

L(ρ) = 0 ⇐⇒ ρ =�

25 00 3

5

�.

This implies that (H1) is satisfied with

ρinv =�

25 00 3

5

�.

We can then compute the following quantities involved in the CLT :

m = Tr(D1ρinvD∗1) − Tr(D2ρinvD∗

2) = − 110 ; J = 1

10

�−1 00 1

�; σ2 = 73

125 .

The CLT yields :Xt + t

10√t

L−→t→+∞

N�

0,73125

�.

The reader can easily check that the condition of Definition 6.1 is satisfied, thenφ is irreducible. Hence the process

�Xt−X0

t

�t≥0

satisfies a LDP with a good ratefunction Λ∗ : x �→ supu∈R(u.x − lu). In this case we are able to compute explicitlylu. Recall that lu = max{�(λ), λ ∈ Sp(L(u))}, where L(u) is given by :

L(u) = 18

−6 0 0 2(eu + e−u)0 −5 2(eu +

√2e−u) 0

0 2(eu +√

2e−u) −5 02(eu + 2e−u) 0 0 −4

.

116

Hence, tedious computations show that lu = 132

�20 +

√208 + 64e2u + 128e−2u

�.

Figure 5.3 displays the good rate function Λ∗.

Figure 5.3: Λ∗ for the second example.

3. Now, we study an example of CTOQWs on Z2. We choose the following five opera-tors :

D0 =�

−12 0

0 −38

�, D1 = 1√

6

�1 10 1

�, D2 = 1

2√

2

�0 10 1

�,

D3 = 1√6

�1 0

−1 1

�and D4 = 1√

2

�1 00 0

�,

which satisfie

D0 + D∗0 +

4�

r=1D∗

rDr = 0 .

This case is illustrated numerically by Figure 5.4.

117

Figure 5.4: Distribution of the CTOQW on Z2 at time t = 3, 8 and 18.

Condition (H1) is satisfied with ρinv =�

711 00 4

11

�. The quantities for the CLT are

m =�

− 122 , − 5

22

�, J1 = 4

33

�−5 22 5

�,

J2 = 377

�−13 −8−8 13

�and V = 1

23958

�10651 −414−414 14661

�.

The Central Limit Theorem states then

Xt − mt√t

L−→t→+∞

N (0, V ) .

Again, the conditon of Definition 6.1 is satisfied, then φ is irreducible. Thereforethe process

�Xt−X0

t

�t≥0

satisfies a LDP with a good rate function Λ∗ : x �→supu∈Rd(u.x − lu). In this case, the matrix L(u) is given by :

L(u) = 124

4(−6+eu1 +e−u1 +3e−u2 ) 4eu1 4eu1 4eu1 +3eu2

−4e−u1 −21+4(eu1 +e−u1 ) 0 4eu1 +3eu2

−4e−u1 0 −21+4(eu1 +e−u1 ) 4eu1 +3eu2

4e−u1 −4e−u1 −4e−u1 −18+4e−u1 +3eu2

.

We are not able to obtain an analytic expression of lu, we then plot an numericalapproximation of Λ∗ (see Figure 5.5).

118

Figure 5.5: Λ∗ for the last example.

Acknowledgments. The author wishes to thank his PhD advisor C. Pellegrini forsuggesting the problem and his sustained help. The author is also grateful to Y. Pautratfor interesting discussions around the topics and examples of the present manuscript. Thiswork is financially supported by the ANR project STOQ : ANR-14-CE25-0003. The authorwants to thank the organizers of the summer school "stochastic methods in QuantumMechanics" in Autrans (2016) where this works have been completed. I thank the refereefor helpful comments in improving the exposition.

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120

121

122

Chapitre 6

Recurrence and transience ofcontinuous time open quantumwalks

In collaboration with Ivan Bardet, Yan Pautrat and Clément Pellegrini

Sommaire6.1 Continuous time open quantum walks and their associated

classical processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.2 Irreducibility of quantum Markov semigroups . . . . . . . . . . 1306.3 Transience and recurrence of irreducible CTOQW . . . . . . . 132

This paper is devoted to the study of continuous-time processes known as continuous-time open quantum walks (CTOQWs). A CTOQW represents the evolution of a quantumparticle constrained to move on a discrete graph, but also has internal degrees of freedommodeled by a state (in the quantum mechanical sense), and contain as a special casecontinuous-time Markov chains on graphs. Recurrence and transience of a vertex are animportant notion in the study of Markov chains, and it is known that all vertices must beof the same nature if the Markov chain is irreducible. In the present paper we address thecorresponding results in the context of irreducible CTOQWs. Because of the “quantum”internal degrees of freedom, CTOQWs exhibit non standard behavior, and the classificationof recurrence and transience properties obeys a “trichotomy” rather than the classicaldichotomy. Essential tools in this paper are the so-called “quantum trajectories” which arejump stochastic differential equations which can be associated with CTOQWs.

123

IntroductionOpen quantum walks (OQW) have been developed originally in [2, 3]. They are natural

quantum extensions of the classical Markov chain and, in particular, any classical discretetime Markov chain on a finite or countable set can be obtained as a particular case ofOQW. Roughly speaking, OQW are random walks on a graph where, at each step, thewalker jumps to the next position following a law which depends on an internal degree offreedom, the latter describing a quantum-mechanical state. From a physical point of view,OQW are simple models offering different perspective of applications (see [28, 29]). Froma mathematical point of view, their properties can been studied in analogy with those ofclassical Markov chain. In particular, usual notions such as ergodicity, central limit theorem,irreducibility, period [1, 9, 10, 8, 11, 20] have been investigated. For example, the notions oftransience and recurrence have been studied in [5], proper definitions of these notions havebeen developed in this context and the analogues of transient or recurrent points have beencharacterized. An interesting feature is that the internal degrees of freedom introduce asource of memory which gives rise to a specific non-Markovian behavior. Recall that, in theclassical context ([22]), an exact dichotomy exists for irreducible Markov chains : a pointis either recurrent or transient, and the nature of a point can be characterized in termsof the first return time and the number of visits. In contrast, irreducible open quantumwalks exhibit three possibities regarding the behavior of return time and number of visits.In this article, we study the recurrence and transience, as well as their characterizations,for continuous-time versions of OQW.

In the same way that open quantum walks are quantum extensions of discrete-timeMarkov chains, there exist natural quantum extensions of continuous-time Markov pro-cesses. One can point to two different types of continuous-time evolutions with a structureakin to open quantum walks. The first (see [6]) is a natural extension of classical Brownianmotion and is called open quantum brownian motion ; it is obtained by considering OQWin the limit where both time and in space are properly rescaled to continuous variables.The other type of such evolution (see [25]) is an analogue of continuous-time Markov chainson a graph, is obtained by rescaling time only, and is called continuous-time open quantumwalks (CTOQW). In this article we shall concentrate on the latter.

Roughly speaking CTOQW represents a continuous-time evolution on a graph wherea “walker” jumps from node to node at random times. The intensity of jumps dependson the internal degrees of freedom ; the latter is modified by the jump, but also evolvescontinuously between jumps. In both cases the form of the intensity, as well as the evolutionof the internal degrees of freedom at jump times and between them, can be justified froma quantum mechanical model.

As is well-known, in order to study a continuous-time Markov chain, it is sufficient tostudy the value of the process at the jump times. Indeed, the time before a jump dependsexclusively on the location of the walker, and the destination of the jump is independentof that time. As a consequence, the process restricted to the sequence of jump times isa discrete time Markov chain, and all the properties of that discrete time Markov chainsuch as irreducibility, period, transience, recurrence, are transferred to the continuous-timeprocess. This is not the case for OQW. In particular, a CTOQW restricted to its jump timesis not a (discrete-time) open quantum walk. Therefore, the present study of recurrence andtransience cannot be directly derived from the results in [5]. Nevertheless, we can still adopta similar approach and, for instance, we study irreducibility in the sense of irreducibility forquantum dynamical systems (as defined in [12], see also [18]). As in the discrete case, weobtain a trichotomy, in the sense that CTOQW can be classified in three different possiblestatuses, depending on the properties of the associated return time and number of visits.

The paper is structured as follows. In Section 1, we recall the definition of continuous-

124

time open quantum walks and in particular we introduce useful classical processes attachedto CTOQW. Section 2 is devoted to the notion of irreducibility for CTOQW. In Section 3,we address the question of recurrence and transience and give the classification of CTOQW.

6.1 Continuous time open quantum walks and their associa-ted classical processes

This section is devoted to the introduction of continuous-time open quantum walks(CTOQW). In Subsection 6.1.1, we introduce CTOQW as a special instance of quantumMarkov semigroups (QMSs) with generators preserving a certain block structure. Subsec-tion 6.1.2 is devoted to the exposition of the Dyson expansion associated to a QMS, whichwill serve as a tool in all remaining sections. It also allows us to introduce the relevant pro-bability space. Finally, in Subsection 6.1.3 we associate to this stochastic process a Markovprocess called quantum trajectory which has an additional physical interpretation, and thatwill be useful in its analysis.

6.1.1 Definition of continuous-time open quantum walksLet V denotes a set of vertices, which may be finite or countably infinite. CTOQWs

are quantum analogues of continuous-time Markov semigroups acting on the set L∞(V )of bounded functions on V . They are associated to stochastic processes evolving in thecomposite system

H =�

i∈V

hi , (6.1)

where the hi are separable Hilbert spaces. This decomposition has the following interpreta-tion : the label i in V represents the position of a particle and, when the particle is locatedat the vertex i ∈ V , its internal state is encoded in the space hi (see below). Thus, in somesense, the space hi describes the internal degrees of freedom of the particle when it is sittingat site i ∈ V . When hi does not depend on i, that is if hi � h, for all i ∈ V , one has theidentification H ≈ h⊗ �2(V ) and then it is natural to write hi = h⊗ |i� (we use here Dirac’snotation where the ket |i� represents the i-th vector in the canonical basis of �∞(V ), thebra �i| for the associated linear form, and |i��j| for the linear map f �→ �j|f� |i�). We willadopt the notation hi ⊗ |i� to denote hi in the general case (i.e. when hi depends on i) toemphasize the position of the particle, using the identification hi ⊗C � hi. We thus write :

H =�

i∈V

hi ⊗ |i� . (6.2)

Last, we denote by I1(K) the two-sided ideal of trace-class operators on a given Hilbertspace K and by SK the space of density matrices on K, defined by :

SK = {ρ ∈ I1(K) | ρ∗ = ρ, ρ ≥ 0, Tr(ρ) = 1}.

A faithful density matrix is an invertible element of SK, which is therefore a trace-classand positive-definite operator. Following quantum mechanical fashion, we will use the word“state” interchangeably with “density matrix”.

We recall that a quantum Markov semigroup (QMS) on I1(K) is a semigroup T :=(Tt)t≥0 of completely positive maps on I1(K) that preserve the trace. The QMS is saidto be uniformly continuous if limt→0�Tt − Id� = 0 for the operator norm on B(K). It isthen known (see [21]) that the semigroup (Tt)t≥0 has a generator L = limt→∞(Tt − Id)/twhich is a bounded operator on I1(K), called the Lindbladian, and Lindblad’s Theorem

125

characterizes the structure of such generators. One consequently has Tt = etL for all t ≥ 0,where the exponential is understood as the limit of the norm-convergent series.

Continuous-time open quantum walks are particular instances of uniformly continuousQMS on I1(H), for which the Lindbladian has a specific form. To make this more precise,we define the following set of block-diagonal density matrices of H :

D =�µ ∈ S(H) ; µ =

�

i∈V

ρ(i) ⊗ |i��i|� .

In particular, for µ ∈ D with the above definition, one has ρ(i) ∈ I1(hi), ρ(i) ≥ 0 and�i∈V Tr

�ρ(i)

�= 1. In the sequel, we use the usual notations [X, Y ] = XY − Y X and

{X, Y } = XY + Y X, which stand respectively for the commutator and anticommutator oftwo operators X, Y ∈ B(H).

Definition 6.1. Let H be a Hilbert space that admits a decomposition (6.1). A continuous-time open quantum walk is a uniformly continuous quantum Markov semigroup on I1(H)such that its Lindbladian L can be written :

L : I1(H) → I1(H)µ �→ −i[H, µ] +

�

i,j∈V

1i�=j

�Sj

i µSj∗i − 1

2{Sj∗i Sj

i , µ}�, (6.3)

where H and (Sji )i,j are bounded operators on H that take the following form :

— H = �i∈V Hi ⊗ |i��i|, with Hi bounded self-adjoint operators on hi, i in V ;

— for every i �= j ∈ V , Sji is a bounded operator on H with support included in hi

and with range included in hj , and such that the sum �i,j∈V Sj∗

i Sji converges in

the strong sense. Consistently with our notation, we can write Sji = Rj

i ⊗ |j��i| forbounded operators Rj

i ∈ B(hi, hj).We will say that the open quantum walk is semifinite if dim hi < ∞ for all i ∈ V .

From now on we will use the convention that Sii = 0, Ri

i = 0 for any i ∈ V . As one canimmediately check, the Lindbladian L of a CTOQW preserves the set D. More precisely,for µ = �

i∈V ρ(i) ⊗ |i��i| ∈ D, denoting Tt(µ) =: �i∈V ρt(i) ⊗ |i��i| for all t ≥ 0, we havefor all i ∈ V

ddt

ρt(i) = −i[Hi, ρt(i)] +�

j∈V

�Ri

jρt(j)Ri∗j − 1

2{Rj∗i Rj

i , ρt(i)}�

.

6.1.2 Dyson expansion and associated probability spaceIn this article, our main focus is a stochastic process (Xt)t≥0 that informally represents

the position of a particle or a walker constrained to move on V . In order to rigorouslydefine this process and its associated probability space, we need to introduce the Dysonexpansion associated to a CTOQW. In particular, this allows to define a probability spaceon the possible trajectories of the walker. We will recall the result for general QMS as wewill use it in the next section. The application to CTOQW is described shortly afterwards.

Let (Tt)t≥0 be a uniformly continuous QMS with Lindbladian L on I1(K) for someseparable Hilbert space K. By virtue of Lindblad’s Theorem [21], there exists a boundedself-adjoint operator H ∈ B(K) and bounded operators Li on K (i ∈ I) such that for allµ ∈ I1(K),

L(µ) = −i[H, µ] +�

i∈I

�LiµL∗

i − 12{LiL

∗i , µ}� ,

126

where I is a finite or countable set and where the series is strongly convergent. The firststep is to give an alternative form for the Lindbladian. First introduce

G := −iH − 12�

i∈I

L∗i Li ,

so that for any µ ∈ D,L(µ) = Gµ + µG∗ +

�

i∈I

Li µ L∗i . (6.4)

Remark that G + G∗ + �i∈I L∗

i Li = 0, so that (6.4) is the general form of the generatorof a QMS, as given by Lindblad [21]. The operator −(G + G∗) is positive semidefinite andt �→ etG defines a one-parameter semigroup of contractions on K by a trivial application ofthe Lumer-Phillips theorem (see e.g. Corollary 3.17 in [15]). We are now ready to give theDyson expansion of the QMS.

Proposition 6.1. Let (Tt)t≥0 be a QMS with Lindbladian L as given above. For any initialdensity matrix µ ∈ SK, one has

Tt(µ) =∞�

n=0

�

i1,...,in∈I

�

0<t1<···<tn<tζt(ξ) µ ζt(ξ)∗ dt1 · · · dtn , (6.5)

where ζt(ξ) = e(t−tn) G Lin · · · Li1 et1 G for ξ = (i1, . . . , in; t1, . . . , tn).

We now turn to applying this to CTOQW. Due to the block decomposition of H andof the Si

j , one can write G = �i∈V Gi ⊗ |i��i|, where

Gi = −iHi − 12

�

j∈V \{i}Rj∗

i Rji . (6.6)

From Proposition 6.1 we then get the following expression for the Lindbladian : for allµ = �

i∈V ρ(i) ⊗ |i��i| in D,

L(µ) =�

i∈V

�Giρ(i) + ρ(i)G∗

i +�

j �=i∈V

Rij ρ(j) Ri∗

j

�⊗ |i��i| . (6.7)

Corollary 6.1. Let (Tt)t≥0 be a CTOQW with Lindbladian L given by (6.7). For anyinitial density matrix µ ∈ D, one has

Tt(µ) =∞�

n=0

�

i0,...,in∈V

�

0<t1<···<tn<tTt(ξ) ρ(i0)Tt(ξ)∗dt1 · · · dtn ⊗ |in��in| , (6.8)

where, for ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) with i0, . . . , in ∈ V n+1 and 0 < t1 < . . . < tn < t,

Tt(ξ) := e(t−tn)Gin Rinin−1 e(tn−tn−1)Gin−1 · · · e(t2−t1)Gi1 Ri1

i0 et1Gi0 . (6.9)

Note the small discrepancy between ξ = (i1, . . . , in; t1, . . . , tn) in (6.5) and ξ = (i0, . . . , in;t1, . . . , tn) in (6.8), where the additional index i0 is due to the decomposition of µ.Remark. Equation (6.5) is also called an unravelling of the QMS. It was first introdu-ced in [13, 30], with a heuristic interpretation as the average result of trajectory ξ =(i0, . . . , in; t1, . . . , tn) on the state µ, averaged over all possible such trajectories. We dis-cuss later connections with an operational interpretation of Tt(ξ)ρ(i0)Tt(ξ)∗ in Remark6.1.4.

127

The decomposition described in (6.9) will allow us to give a rigorous definition of theprobability space associated to the evolution of the particle on V . The goal is to introducethe probability measure Pµ that models the law of the position of the particle, when theinitial density matrix is µ ∈ D. The following is inspired by [4, 7, 19].

First define the set of all possible trajectories up to time t ∈ [0, ∞] as Ξt := �n∈N

Ξ(n)t ,

where Ξ(n)t is the set of trajectories on V up to time t comprising n jumps :

Ξ(n)t := {ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) ∈ V n+1 × Rn, 0 < t1 < · · · < tn < t} .

For t ∈ R+, the set Ξ(n)t is equipped with the σ-algebra Σ(t)

t and with the measure ν(n)t ,

which is induced by the map

In :�V n+1 × [0, t)n, P(V n+1) × B([0, t)n), δn+1 × 1

n!λn� → �

Ξ(n)t , Σ(n)

t , ν(n)t

�,

(i0, . . . , in; s1, . . . , sn) �→ (i0, . . . , in; smin, . . . , smax)

where δ is the counting measure on V , B([0, t)n) is the Borel σ-algebra on [0, t)n andλn is the Lebesgue measure on B([0, t)n) for all n ≥ 0. These measures are σ-finite andthis allows us to apply Carathéodory’s extension Theorem. We first define the σ-algebraΣt := σ(Σ(t)

t , n ∈ N) and the measure νt on Ξt such that νt = ν(n)t on Ξ(n)

t . For a givenµ = �

i∈V ρ(i) ⊗ |i��i| in D, one can then define the probability measure Ptµ on (Ξt, Σt)

such that, for all E ∈ Σt,

Ptµ(E) :=

�

ETr

�Tt(ξ) µ Tt(ξ)∗�dνt(ξ)

=∞�

n=0

�

i0,...,in∈V

�

0<t1<···<tn<t1ξ∈E Tr

�Tt(ξ)ρ(i0)Tt(ξ)∗� dt1 · · · dtn , (6.10)

where ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) and where Tt(ξ) is defined by Equation (6.9). The measurePt

µ is indeed a probability measure as one can check that Ptµ(Ξt) = Tr

�etL(µ)

�= 1. The

family of probability measures�Pt

µ

�t≥0 is consistent, as (6.10) and (6.9) show that

Pt+sµ (E) =

∞�

n=0

�

i0,...,in∈V

�

0<t1<···<tn<t1ξ∈E Tr

�esL�Tt(ξ) ρ(i0) Tt(ξ)∗�� dt1 · · · dtn = Pt

µ(E)

for all t, s ≥ 0 and E ∈ Σt. Hence, Kolmogorov’s consistency Theorem allows us to extend(Pt

µ)t≥0 to a probability measure Pµ on (Ξ∞, Σ∞) where Σ∞ = σ(Σt, t ∈ R+).In most of our discussions below we will specialize to the case where µ is of the form

µ = ρ ⊗ |i��i|. In such a case, we denote by Pi,ρ the probability Pµ.

6.1.3 Quantum trajectories associated to CTOQWQuantum trajectories are another convenient way to describe the distribution of the

position process (Xt)t≥0 associated to the CTOQW. Actually, the combination of quantumtrajectories and of the Dyson expansion will be essential tools for the main result of thisarticle. Formally speaking, quantum trajectories model the evolution of the state when acontinuous measurement of the position of the particle is performed. The state at time tcan be described by a pair (Xt, ρt) with Xt ∈ V the position of the particle at time t (asrecorded by the measuring device) and ρt ∈ SH the density matrix describing the internaldegrees of freedom, given by the wave function collapse postulate and thus constrainedto have support on hi alone. The stochastic process (Xt, ρt)t≥0 is then a Markov process,and this will allow us to use the standard machinery for such processes. However, their

128

rigorous description is less straightforward than the one for discrete time OQWs. It makesuse of stochastic differential equations driven by jump processes. We refer to [25] for thejustification of the below description and for the link between discrete and continuous-time models. Remark that we denote by the same symbol the stochastic process (Xt)t≥0appearing in this and the previous section. This will be justified in Remark 6.1.4 below.

In order to present the stochastic differential equation satisfied by the pair (Xt, ρt)we need a usual filtered probability space

�Ω, F , (Ft)t,P

�, where we consider independent

Poisson point processes N i,j , i, j ∈ V, i �= j on R2. These Poisson point processes will governthe jump from site i to site j on the graph V .

Definition 6.2. Let (Tt)t≥0 be a CTOQW with Lindbladian L and let µ = �i∈V ρ(i) ⊗

|i��i| be an initial density matrix in D. The quantum trajectory describing the indirectmeasurement of the position of the CTOQW is the Markov process (µt)t≥0 taking valuesin the set D such that

µ0 = ρ0 ⊗ |X0��X0|,

where X0 and ρ0 are random with distribution

P�

(X0, ρ0) =�

i,ρ(i)

Tr(ρ(i))

��= Tr(ρ(i)) for all i ∈ V

and such that µt =: ρt ⊗ |Xt��Xt| satisfies for all t ≥ 0 the following stochastic differentialequation :

µt = µ0 +� t

0M(µs−) ds +

�

i�=j

� t

0

�

R

�Sj

i µs− Sj∗i

Tr(Sji µs−Sj∗

i )− µs−

�10<y<Tr(Sj

i µs−Sj∗i )N

i,j(dy, ds)

(6.11)

whereM(µ) = L(µ) −

�

i�=j

�Sj

i µ Sj∗i − µ Tr(Sj

i µ Sj∗i )

�

so that for µ = �i ρ(i) ⊗ |i��i| ∈ D,

M(µ) =�

i

�Giρ(i) + ρ(i)G∗

i − ρ(i)Tr�Giρ(i) + ρ(i)G∗

i

�� ⊗ |i��i| .

Remark. An interesting fact has been pointed out in [25] : continuous-time classical Markovchains can be realized within this setup by considering hi � C for all i ∈ V .

Let us briefly describe the evolution of the solution (µt)tof (6.11). Assume that X0 = i0for some i0 ∈ V and consider ρ0 a state on hi0 . We then consider the solution, for all t ≥ 0,

ηt = ρ0 +� t

0

�Gi0ηs + ηsG∗

i0 − ηsTr(Gi0ηs + ηsG∗i0)

�ds . (6.12)

We stress the fact that the solution of this equation takes value in the set of states of hi0

(this nontrivial fact is well known in the theory of quantum trajectories, see [24] for furtherdetails). Now let us define the first jump time. To this end we introduce for j �= i0

T j1 = inf

�t ≥ 0 ; N i0,j�{u, y | 0 ≤ u ≤ t, 0 ≤ y ≤ Tr(Rj

i0ηuRji0

∗)}� ≥ 1�.

129

The random variables T j1 are nonatomic, and mutually independent. Therefore, if we let

T1 = infj �=i0{T j1 } then there exists a unique j ∈ V such that T j

1 = T1. In addition,

P�T1 ≤ ε

� ≤�

j �=i0

P�T j

1 ≤ ε�

=�

j �=i0

(1 − e−� ε

0 Tr(Rji0

ηuRji0

∗)du)

≤�

j �=i0

� ε

0Tr(Rj

i0ηuRji0

∗)du

≤ ε�

j �=i0

�Rji0

∗Rj

i0� (6.13)

where the sums are over all j in V with j �= i0. Now remark that our assumption that�i,j Sj∗

i Sji converges strongly implies that the sum �

j �=i �Rj∗i Rj

i � is finite for all i in V , sothat (6.13) implies P(T1 > 0) = 1. On [0, T1] we then define the solution (Xt, ρt)t as

(Xt, ρt) = (i0, ηt) for t ∈ [0, T1) and (XT1 , ρT1) =�j,

Rji ηT1−Rj

i

∗

Tr(Rji ηT1−Rj

i

∗)�

.

We then solve

ηt = ρT1 +� t

0

�Gjηs + ηsG∗

j − ηsTr(Gjηs + ηsG∗j )�

ds , (6.14)

and define a new jumping time T2 as above. By this procedure we define an increasingsequence (Tn)n of jumping times. We show that T := limn Tn = +∞ almost surely : weintroduce

Nt =�

i�=j

� � t∧T

0

�

R10<y<Tr(Sj

i µs−Sj∗i ) N i,j(dy, ds)

�

(where the sum is over all i, j with i �= j) which counts the number of jumps before t. Inparticular NTp = p for all p ∈ N. Now from the properties of the Poisson processes we havefor all p ∈ N and all m ∈ N,

E(NTp∧m) ≤ E�Nm

�=

�

i�=j

E� � m∧T

0Tr(Sj

i µs−Sj∗i )ds

� ≤ m�

i�=j

�Sj∗i Sj

i �.

Denoting C = �i�=j �Sj∗

i Sji � (which is finite) the inequality pP(Tp ≤ m) ≤ E(NTp∧m)

impliesP(Tp ≤ m) ≤ m

pC.

This implies that P(limn Tn ≤ m) = 0 for all m ∈ N so that limn Tn = +∞ almost surely.Therefore, the above considerations define (Xt, ρt) for all t ∈ R+.

6.1.4 Connection between Dyson expansion and quantum trajectories

The connection between the process (Xt, ρt) defined in this section and the Dysonexpansion has been deeply studied in the literature. We do not give all the details of thisconstruction and instead refer to [4, 7] for a complete and rigorous justification. The mainpoint is that the process (Xt, ρt) defined in Section 6.1.3 can be constructed explicitly onthe space (Ξ∞, Σ∞,P), as we now detail.

130

Recall the interpretation of ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) as the trajectory of a particle,initially at i0 and jumping to ik at time tk. First, on (Ξ∞, Σ∞,P) define the randomvariable N i,j

t byN i,j

t (ξ) = card�k = 0, . . . , n − 1 | (ik, ik+1) = (i, j)

�

for ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) as above. Now, let

Xt(ξ) =�

ik if tk ≤ t < tk+1in if tn ≤ t.

ρt(ξ) = Tt(ξ)ρ0 Tt(ξ)∗

Tr(Tt(ξ)ρ0Tt(ξ)∗)

(6.15)

(recall that Tt(ξ) is defined in (6.9)) andµt = ρt ⊗ |Xt��Xt| .

Differentiating (6.15), one can show that the process (µt)t satisfies

dµt = M(µt−) dt +�

i�=j

� Sji µs−Sj∗

i

Tr(Sji µt−Sj∗

i )− µt−

�dN i,j(t). (6.16)

It is proved in [4] that the processes

(N i,jt )t and

� � t

0

�

R10<y<Tr(Sj

i µs−Sj∗i )N

i,j(dy, ds)�

t

(for (ρt)t and N i,j defined in the previous section) have the same distribution. Therefore,(µt)t and (µt)t have the same distribution. For this reason, we will denote the randomvariables ηt, Xt, ρt by ηt, Xt, ρt, i.e. we identify the random variables obtained by theconstruction in Section 6.1.3 and those defined by (6.15). In addition, from expression(6.15) for ρt, Xt we recover immediately that µt = ρt ⊗ |Xt��Xt| satisfies

Eµ0(µt) = Tt(µ0)where Eµ0 is the expectation with respect to the probability Pµ0 defined in Section 6.1.2.This identity shows that the quantum Markov semigroup (Tt)t plays for the process (Xt, ρt)t

the same role as the Markov semigroup in the classical case. Because a notion of irreduci-bility is naturally associated to such a semigroup (see [12, 17] for general considerations onthe irreducibility of Lindbladians), this will allow us to associate a notion of irreducibilityto a continuous-time open quantum walk.

Now note that expressions (6.15) give an interpretation of Xt and ρt in terms of quantummeasurement. Indeed, one can see the operator Tt(ξ) for ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) (or,rather, the map ρ �→ Tt(ξ)ρTt(ξ)∗) as describing the effect of the trajectory where jumps(up to time t) occur at times t1,. . . ,tn and i0,. . . ,in is the sequence of updated positions :as long as the particle sits at ik ∈ V , the evolution of its internal degrees of freedom isgiven by the semigroup of contraction (et Gik )t≥0 and, as the particle jumps to ik+1, itundergoes an instantaneous transformation governed by R

ik+1ik

(this Tt(ξ) as the analoguefor continuous-time OQW of the operator Lπ of [5, 10]). Therefore, the expression for ρt(ξ)in (6.15) encodes the effect of the reduction postulate, or postulate of the collapse of thewave function, on the state of a particle initially at i0 and with internal state ρ0.

This rigorous connection of the unravelling (6.9) to (indirect) measurement was firstdescribed in [4] (see also [23, 24], as well as [14] for a connection to two-time measurementstatistics).

To summarize this section and the preceding one, we have defined a Markov process(µt)t as µt = ρt ⊗ |Xt��Xt|, where Xt ∈ V and ρt ∈ ShXt

, of which the law can be computedin two ways : either by the Dyson expansion of the CTOQW as in (6.10) or by use of thestochastic differential equation (6.11).

131

6.2 Irreducibility of quantum Markov semigroupsIn this section, we state the equivalence between different notions of irreducibility for

general quantum Markov semigroup. Our main motivation is the fact that we could notfind a complete proof in the case of an infinite-dimensional Hilbert space, as is requirede.g. for CTOQW with infinite V . We then discuss irreducibility for CTOQW.

Theorem 6.1. Let T := (Tt)t≥0 be a quantum Markov semigroup with Lindbladian

L(µ) = Gµ + µG∗ +�

i∈I

Li µ L∗i . (6.17)

The following assertions are equivalent :1. T is positivity improving : for all A ∈ I1(K) with A ≥ 0 and A �= 0, there exists

t > 0 such that etL(A) > 0.2. For any ϕ ∈ K\{0}, the set C[L] ϕ is dense in K where C[L] is the set of polynomials

in etG for t > 0 and in Li for i ∈ I.3. For any ϕ ∈ K\{0}, the set C[G, L] ϕ is dense in K where C[G, L] is the set of

polynomials in G and in the Li for i ∈ I.4. T is irreducible, i.e. there exists t > 0 such that Tt admits no non-trivial projection

P ∈ B(K) with Tt�PI1(K)P

� ⊂ PI1(K)P .

From now on, any quantum Markov semigroup which satisfies any one of the equivalentstatements of Theorem 6.1 is simply called irreducible.Remark. Positivity improving maps are also called primitive. We therefore call primitivitythe property of being positivity improving. Remark also that one can replace “there existst > 0” by “for all t > 0” in assertions 1. and 4. above to get another equivalent formulationof irreducibility and primitivity. This follows from the observation that assertion 3. doesnot depend of t.Proof. We first prove the equivalence 1. ⇔ 2. Note that 1. holds if and only if for everyϕ0 �= 0, there exists t0 > 0 such that �ϕ, etL(|ϕ0��ϕ0|)ϕ� > 0 for all ϕ �= 0. Now remarkthat from Equation (6.8),

�ϕ, etL(|ϕ0��ϕ0|)ϕ� =∞�

n=0

�

i0,...,in∈I

�

0<t1<···<tn<t|�ϕ, ζt(ξ)ϕ0�|2 dt1 · · · dtn (6.18)

where ξ = (i1, . . . , in; t1, . . . , tn). Assume 1. and fix ϕ0 �= 0. If for some t ≥ 0, the left-hand-side of (6.18) is positive for any ϕ �= 0, then for any such ϕ �= 0 there exists ξ with�ϕ, ζt(ξ)ϕ0� �= 0. Since ζt(ξ)ϕ0 ∈ C[L]ϕ0 and the latter is a vector space, this implies thatC[L]ϕ0 is dense in K. Now assume 2. and fix ϕ0 �= 0. Since C[L]ϕ0 is dense in K, for anyϕ �= 0 there exists an element ψ = esn G Lin · · · Li1 es1 Gϕ0 such that �ϕ, ψ� �= 0. However,for t ≥ s1 + . . . + sn, ψ is of the form ζt(ξ)ϕ0 for some ξ = (i1, . . . , in; t1, . . . , tn). Bycontinuity of ζ in t1, . . . , tn, the right-hand side of (6.18) is positive and this proves 1.

To prove the equivalence 2. ⇔ 3., we use the fact that G = limt→0(etG − Id)/t, whichimplies that for any ϕ ∈ K\{0},

C[G, L]ϕ ⊂ C[L]ϕ ⊂ C[L]ϕ .

Since etG = limn→∞�n

k=0 tkGk/k!, for any ϕ ∈ K\{0} we also have

C[L]ϕ ⊂ C[G, L]ϕ ⊂ C[G, L]ϕ .

132

Therefore, for any ϕ ∈ K\{0},

C[L]ϕ is dense in K ⇐⇒ C[G, L]ϕ is dense in K . (6.19)

The implication 1. ⇒ 4. is obvious. It remains to prove that 4. ⇒ 2.. To this end,suppose that T is irreducible. Let ϕ ∈ K\{0} and denote by P the orthogonal projectionon C[L]ϕ. The goal is to prove that P = Id. For all ψ ∈ K\{0},

etL(P |ψ��ψ|P ) =∞�

n=0

�

i0,...,in∈I

�

0<t1<···<tn<tζt(ξ)P |ψ��ψ|P ζt(ξ)∗dt1 · · · dtn

=∞�

n=0

�

i0,...,in∈I

�

0<t1<···<tn<t|ζt(ξ)Pψ��ζt(ξ)Pψ|dt1 · · · dtn ,

Since ζt(ξ) ∈ C[L] and Pψ ∈ C[L]ϕ, we have ζt(ξ)Pψ ∈ C[L]ϕ and thus

Tt(P |ψ��ψ|P ) = P Tt(P |ψ��ψ|P )P .

The projection P being subharmonic for Tt which is irreducible by assumption, P is trivial.As it is non-zero, P = Id. Since P is the orthogonal projection on C[L]ϕ, this shows thatC[L]ϕ is dense in K.Remark. An immediate corollary of Theorem 6.1 is that a quantum Markov semigroupT = (Tt)t is irreducible if and only if its adjoint T ∗ = (T ∗

t )t is irreducible.We now introduce the notion of irreducibility of a CTOQW, focusing on the trajectorial

formulation. Let T := (Tt)t≥0 be a CTOQW on a set V . For i, j in V and n ∈ N, we denoteby Pn(i, j) the set of continuous-time trajectories going from i to j in n jumps :

Pn(i, j) = {ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn) ∈ Ξ(n)∞ | i0 = i, in = j}

and we set P(i, j) = ∪n∈NPn(i, j). For any ξ = (i, . . . , j; t1, . . . , tn) in P(i, j), we recall thatthe operator Tt(ξ) from hi to hj is defined by

Tt(ξ) = e(t−tn)Gj Rjin−1e(tn−tn−1)Gin−1 · · · e(t2−t1)Gi1 Ri1

i et1Gi .

The following proposition is a direct application of Theorem 6.1, and will constitute ourdefinition of irreducibility for continuous-time open quantum walks. The criterion here isequivalent to any other formulation proposed in Theorem 6.1.

Proposition 6.2. The CTOQW defined by the quantum Markov semigroup T := (Tt)t≥0is irreducible if and only if, for every i and j in V and for any ϕ in hi\{0}, the set{Tt(ξ) ϕ, t ≥ 0, ξ ∈ P(i, j)} is total in hj .

The proposition below gives a sufficient condition for irreducibility of a quantum Markovsemigroup. We recall (see [27]) that a map on I1(K) of the form µ �→ �

i LiµL∗i is called

irreducible if for any ϕ0 �= 0, the set C[L]ϕ0 is dense in K (this is simply a discrete-timeanalogue of the present notion of irreducibility).

Proposition 6.3. Let T := (Tt)t≥0 be a quantum Markov semigroup with Lindbladian

L(µ) = Gµ + µG∗ +�

i

Li µ L∗i .

If Φ(µ) = �i Li µ L∗

i is irreducible, then T := (Tt)t≥0 is irreducible as well.

Proof. This is obvious from Lemma 3.3 of [27] and the third characterization of irreducibilityin Theorem 6.1.

133

One can compare the present notion of irreducibility with the usual one for classicalMarkov chain. Actually if Q = (qi,j)i,j∈V denotes the generator of a continuous-time Mar-kov chain, then the irreducibility of the chain depends on the transitions (qi,j , i �= j). Inparticular the Markov chain is irreducible if and only if for all i, j there exists a pathi0 = i, i1, . . . , in = j such that qi0,i1 × . . . × qin−1,in > 0. Unfortunately in the case ofCTOQW only one implication is valid since one can find T := (Tt)t≥0 irreducible wherethe corresponding Φ is not irreducible (see the example below).Example 6.1. We focus on an example on H = C2 ⊗ |1� + C2 ⊗ |2�, where the Lindbladianis defined by (6.7) with :

G1 = G2 = 12

�−1 2−2 −1

�, R2

1 = R12 =

�0 11 0

�.

One can easily check that {R(ξ) ϕ, ξ ∈ P(i, j)} = hj for all i, j ∈ {1, 2} and ϕ ∈ hi \{0} butthe discrete OQW defined by R2

1 and R12 is not irreducible. This is an example of CTOQW

where etL is irreducible even though Φ is not.

6.3 Transience and recurrence of irreducible CTOQWIn the classical theory of Markov chains on a finite or countable graph, an irreducible

Markov chain can be either transient or recurrent. Transience and recurrence issues are cen-tral to the study of Markov chains and help describe the Markov chain’s overall structure.In the case of CTOQW, transience and recurrence notions are made more complicated bythe fact that the process (Xt)t alone is not a Markov chain.

In the present section, we define the notion of recurrence and transience of a vertexin our setup and prove a dichotomy similar to the classical case, based on the averageoccupation time at a vertex. However, compared to the classical case, the relationshipbetween the occupation time and the first passage time at the vertex is less straightforward.Recall that the first passage time at a given vertex i ∈ V is defined as

τi = inf{t ≥ T1|Xt = i}

where T1 is defined in Section 6.1.3. Similarly the occupation time is given by

ni =� ∞

01Xt=i dt .

In the discrete-time and irreducible case (Theorem 3.1. of [5]), the authors prove thatthere exists a trichotomy rather than the classical dichotomy. We state a similar result forcontinuous-time semifinite open quantum walks (we recall that an OQW is semifinite ifdim hi < ∞ for all i ∈ V ).

Theorem 6.2. Consider a semifinite irreducible continuous-time open quantum walk. Thenwe are in one (and only one) of the following situations :

1. For any i, j in V and ρ in Shi, one has Ei,ρ(nj) = ∞ and Pi,ρ(τj < ∞) = 1.2. For any i, j in V and ρ in Shi, one has Ei,ρ(nj) < ∞ and Pi,ρ(τi < ∞) < 1.3. For any i, j in V and ρ in Shi, one has Ei,ρ(nj) < ∞, but there exist i in V and ρ, ρ�

in Shi (ρ necessarily non-faithful) such that Pi,ρ(τi < ∞) = 1 and Pi,ρ�(τi < ∞) < 1.

Note that in the sequel we only focus on semifinite case. Recall that when hi is one-dimensional for all i ∈ V , we recover classical continuous-time Markov chains. In this case,the Markov chain falls in one of the first two categories of this theorem ; that is, the thirdcategory is a specifically quantum situation.

134

The rest of this section is dedicated to the proof of Theorem 6.2. More precisely, inSubsection 6.3.1 we prove the dichotomy between infinite and finite average occupationtime. This allows us to define transience and recurrence of CTOQW. We also give examplesof CTOQW that fall in each of the three classes of Theorem 6.2. In Section 6.3.2 we statetechnical results that give closed expressions to the occupation time and the first passagetime. Finally, the proof of Theorem 6.2 is given in Subsection 6.3.3.

6.3.1 Definition of recurrence and transienceWe begin by proving that for an irreducible CTOQW, the average occupation time

Ei,ρ(nj) of site j starting from site i is either finite for all i, j or infinite for all i, j.

Proposition 6.4. Consider a semifinite irreducible continuous-time open quantum walk.Suppose furthermore that there exist i0, j0 ∈ V and ρ0 ∈ Shi0

such that Ei0,ρ0(nj0) = ∞.Then, for all i, j ∈ V and ρ ∈ Shi one has Ei,ρ(nj) = ∞.

Proof. Fix i, j ∈ V and ρ ∈ Shi . Then one has

Ei,ρ(nj) =� ∞

0Pi,ρ(Xt = j) dt =

� ∞

0Tr

�etL(ρ ⊗ |i��i|)(I ⊗ |j��j|)� dt .

By hypothesis, (Tt)t≥0 is irreducible and thus positivity improving by Theorem 6.1 ; by Re-mark 6.2 the same is true of (T ∗

t )t≥0. Therefore, since for any i ∈ V , hi is finite-dimensional,for any s > 0 there exist scalars α, β > 0 such that

esL(ρ ⊗ |i��i|) ≥ α ρ0 ⊗ |i0��i0| and esL∗(I ⊗ |j��j|) ≥ β I ⊗ |j0��j0| .

We then have, fixing s > 0,

Ei,ρ(nj) ≥� ∞

2sTr

�e(t−2s)L�esL(ρ ⊗ |i��i|)� esL∗(I ⊗ |j��j|)� dt

≥ αβ

� ∞

0Tr

�euL(ρ0 ⊗ |i0��i0|)(I ⊗ |j0��j0|)� du

≥ αβ Ei0,ρ0(nj0) .

This concludes the proof.The above proposition leads to a natural definition of recurrent and transient vertices

of V .

Definition 6.3. For any continuous-time open quantum walk, we say that a vertex i in Vis :

— recurrent if for any ρ ∈ Shi , Ei,ρ(ni) = ∞ ;— transient if there exists ρ ∈ Shi such that Ei,ρ(ni) < ∞.

Thus, by Proposition 6.4, for an irreducible CTOQW, either all vertices are recurrent orall vertices are transient. Furthermore, in the transient case, Ei,ρ(ni) < ∞ for all ρ in Shi .

We conclude this section by illustrating Theorem 6.2 by simple examples. The n-thexample corresponds to the n-th situation in Theorem 6.2.Example 6.2.

1. For V = {0, 1} and h0 = h1 = C, consider the CTOQW characterized by thefollowing operators :

G0 = G1 = −12 , R1

0 = R01 = 1 .

Then the process (Xt)t≥0 is a classical continuous Markov chain on {0, 1}, wherethe walker jumps from one site to the other after an exponential time of parameter1.

135

2. For V = Z and hi = C for all i ∈ Z, consider the CTOQW described by thetransition operators :

Gi = −12 , Ri+1

i =√

32 , Ri−1

i = 12 , for all i ∈ Z .

The process (Xt)t≥0 is a classical continuous Markov chain on Z where after anexponential time of parameter 1, the walker jumps to the right with probability 3

4or to the left with probability 1

4 .3. Consider the CTOQW defined by V = N with h1 = C2 and h0 = hi = C for i ≥ 2,

and

G0 = −12 , R1

0 = 1√5

�21

�, G1 = −1

2I2 , R01 =

�0 1

�, R2

1 =�1 0

�,

R12 = 1

2√

2

�11

�, Gi = −1

2 , Ri+1i =

√3

2 for i ≥ 2 and Ri−1i = 1

2 for i ≥ 3 .

This is an example of positivity improving CTOQW where, for ρ =�

0 00 1

�, one

hasP1,ρ(τ1 < ∞) = 1

butPi,ρ�(τi < ∞) < 1

for any ρ� �=�

0 00 1

�. This example therefore exhibits “specifically quantum” beha-

vior. This example is inspired from [5].

6.3.2 Technical resultsProposition 6.5 below is essential, as it expresses the probability of reaching a site in

finite time as the trace of the initial state, evolved by a certain operator.

Proposition 6.5. For any continuous-time open quantum walk, there exists a completelypositive linear operator Pi,j from I(hi) to I(hj) such that for every i, j ∈ V and ρ ∈ Shi ,

Pi,ρ(τj < ∞) = Tr�Pi,j(ρ)

�.

Furthermore, the map Pi,j can be expressed by :

Pi,j(ρ) =∞�

n=0

�

i1,...,in−1∈V \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<∞R(ξ) ρ R(ξ)∗dt1 . . . dtn ,

where R(ξ) = Rinin−1 e(tn−tn−1)Gin−1 R

in−1in−2 . . . Ri1

i0 et1Gi0 for ξ = (i0, . . . , in; t1, . . . , tn).

Note that we do not require the hi to be finite-dimensional here.Proof. We have the trivial identity :

Pi,ρ(τj < t) =∞�

n=0

�

i1,...,in−1∈V \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<tTr

�e(t−tn)L�R(ξ) ρ R(ξ)∗ ⊗ |j��j|��dt1 . . . dtn .

(6.20)

136

Then, since e(t−tn)L is trace preserving,

Pi,ρ(τj < t) =∞�

n=0

�

i1,...,in−1∈V \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<tTr

�R(ξ) ρ R(ξ)∗�dt1 . . . dtn ,

and since both sides of the identity are nondecreasing in t, taking the limit t → +∞ yields

Pi,ρ(τj < ∞) =∞�

n=0

�

i1,...,in−1∈V \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<∞Tr

�R(ξ) ρ R(ξ)∗�dt1 . . . dtn .

It remains to show that Pi,j is well defined. Let us denote by (Vn)n∈N an increasing sequenceof subsets of V such that |Vn| = min(n, |V |) and �

n∈N Vn = V . For any X ∈ I(hi)\{0}write the canonical decomposition X = X1 − X2 + iX3 − iX4 of X as a linear combinationof four nonnegative operators. We get

Tr���

N�

n=0

�

i1,...,in−1∈VN \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<NR(ξ) X R(ξ)∗ dt1 . . . dtn

���

≤4�

m=1Tr

���N�

n=0

�

i1,...,in−1∈VN \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<NR(ξ) Xm R(ξ)∗ dt1 . . . dtn

���

≤4�

m=1Tr Xm ×

N�

n=0

�

i1,...,in−1∈VN \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<NTr

�R(ξ) Xm

Tr(Xm) R(ξ)∗� dt1 . . . dtn

≤4�

m=1Tr Xm × Pi, Xm

Tr(Xm)(τj < N)

≤4�

m=1Tr Xm

≤ 2Tr |X|

(alternatively apply Theorem 5.17 in [31] to X1 − X2 and X3 − X4). Then

supN

Tr���

N�

n=0

�

i1,...,in−1∈VN \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<...<tn<NR(ξ) X R(ξ)∗ dt1 . . . dtn

��� < ∞ .

Consequently, by the Banach-Steinhaus Theorem, the operator on I(hi) to I(hj) definedby

Pi,j(X) =∞�

n=0

�

i1,...,in−1∈V \{j}i0=i,in=j

�

0<t1<···<tn<∞R(ξ) X R(ξ)∗ dt1 · · · dtn

is everywhere defined and bounded.As a corollary, using the definition of the operator Pi,j for i, j ∈ V , we obtain a useful

expression for Ei,ρ(nj) :

Corollary 6.2. For every i, j ∈ V and ρ ∈ Shi, we have

Ei,ρ(nj) =∞�

k=0Tr

�Pk

j,j ◦ Pi,j(ρ)�

. (6.21)

137

Proof. Let i, j ∈ V and ρ ∈ Shi . Then

Ei,ρ(nj) =� ∞

0Pi,ρ(Xt = j) dt =

� ∞

0Tr

�etL(ρ ⊗ |i��i|)(Id ⊗ |j��j|)� dt

= Tr� ∞�

n=0

n�

k=0

�

m1,...,mk∈Nm1<···<mk=n

�

i1,...,im1−1,im1+1,...,imk−1∈V \{j}i0=i, im1 =im2 =···=imk

=j

�

0<t1<···<tn<tΥρΥ∗ dt1 · · · dtn dt

�,

where Υ = Rinin−1e(tn−tn−1)Gin−1 R

in−1in−2 · · · R

im1+1im1

e(tm1+1−tm1 )Gim1 Rim1im1−1 · · · Ri1

i0et1Gi0 . Theabove expression corresponds to a decomposition of any path from i to j as a concatenationof a path from i to j and k paths from j to j which do not go through j. This yields (6.21).

The next corollary allows us to link the quantity Pi,ρ(τj < ∞) to the adjoint of theoperator Pi,j . In particular, as we shall see, it is a first step towards linking the propertiesof Pi,ρ(τj < ∞) and Ei,ρ(nj).

Corollary 6.3. Let i and j be in V . One has

Pi,ρ(τj < ∞) = 1 ⇐⇒ P∗i,j(Id) =

�Id 00 ∗

�in the decomposition hi = Ran ρ ⊕ (Ran ρ)⊥ .

In particular, if there exists a faithful ρ in Shi such that Pi,ρ(τj < ∞) = 1, then

Pi,ρ�(τj < ∞) = 1

for any ρ� in Shi.

Proof. By Proposition 6.5, one has Pi,ρ(τj < ∞) = Tr(ρP∗i,j(Id)). Therefore, if Pi,ρ(τj <

∞) = 1, then P∗i,j(Id) has the following form in the decomposition hi = Ran ρ ⊕ (Ran ρ)⊥ :

P∗i,j(Id) =

�Id AA B

�.

Besides, the fact that Id ≥ P∗i,j(Id) forces A to be null. In particular, if ρ is faithful, then

P∗i,j(Id) = Id and therefore Pi,ρ�(τj < ∞) = 1 for any ρ� in Shi .

6.3.3 Proof of Theorem 6.2Let i and j be in V . As we can see in Corollary 6.3, if we suppose that Pi,ρ(τj < ∞) = 1

for a faithful density matrix ρ, we necessary have P∗i,j(Id) = Id. This will be used in the

following proposition, which in turn explains the statement regarding non-faithfulness inthe third category of Theorem 6.2.

Proposition 6.6. Let i be in V . If there exists a faithful ρ in Shi such that Pi,ρ(τi < ∞) = 1,then one has Ei,ρ�(ni) = ∞ for any ρ� in Shi .

Proof. We set τ i1 = τi and, for all n > 1, we define τ

(n)i as the time at which (Xt)t≥0 reaches

i for the n-th time :

τ(n)i = inf{t > τ i

n−1| Xt = i and Xt− �= i} .

From Corollary 6.3, one has Pi,ρ�(τi < ∞) = 1 for all ρ� in Shi . This implies that for alln > 0, τ

(n)i is Pi,ρ�-almost finite for any ρ� ∈ Shi . For n ≥ 0, let T i

n be the occupation timein i between τ i

n and τ in+1 :

T in = inf{u | X

τ(n)i +u

�= i}

138

with the convention that τ(0)i = 0. Since we have

Ei,ρ�(ni) ≥ Ei,ρ���

n≥1T i

n

� ≥�

n≥1inf

ρ∈Shi

Ei,ρ(T in),

it will be enough to obtain a lower bound for Ei,ρ(T in) which is uniform in n and in ρ. To

this end, we use the quantum trajectories defined in (6.11). We first compute Pi,ρ(T in > t)

for all t ≥ 0. To treat the case of n = 1 we consider the solution of

ηρt = ρ +

� t

0

�Gi ηρ

s + ηρs G∗

i − ηρs Tr(Gi ηρ

s + ηρs G∗

i )�

ds . (6.22)

Using the independence of the Poisson processes N i,j involved in (6.11) we get

Pi,ρ(T i1 > t) = Pi,ρ(no jump has occurred before time t)

= Pi,ρ

�N i,j�{u, y | 0 ≤ u ≤ t, 0 ≤ y ≤ Tr(Rj

i ηρuRj

i

∗)}� = 0 ∀j �= i�

=�

j �=i

Pi,ρ

�N i,j�{u, y | 0 ≤ u ≤ t, 0 ≤ y ≤ Tr(Rj

i ηρuRj

i

∗)}� = 0�

=�

j �=i

exp� −

� t

0Tr(Rj

i ηρsRj∗

i ) ds�

= exp� � t

0Tr

�(Gi + G∗

i ) ηρs

�ds

�(6.23)

where we used relation (6.6). Similarly, using the strong Markov property,

Pi,ρ(T in > t) = Ei,ρ(1T i

n>t)= Ei,ρ

�Ei,ρ

τin(1T i

1>t)�

= Ei,ρ

�exp

� � t

0Tr

�(Gi + G∗

i ) ηρ

τin

s�

ds��

≥ e−t�Gi+G∗i �∞ .

Now, using the fact that Ei,ρ(T in) =

� ∞0 Pi,ρ(T i

n > t) dt, this gives us the expected lowerbound :

Ei,ρ(T in) ≥ 1

�Gi + G∗i �∞

.

This concludes the proof.The next proposition is connected to the first point of Theorem 6.2.

Proposition 6.7. Consider a semifinite irreducible continuous-time open quantum walk.If there exist i, j in V and ρ ∈ Shi such that Ei,ρ(nj) = ∞, then one has Pj,ρ�(τj < ∞) = 1for any ρ� in Shj .

Proof. By Proposition 6.2, there is no nontrivial invariant subspace of hj left invariant byR(ξ) for all ξ ∈ P(j, j). Since any such ξ is a concatenation of paths from j to j thatremain in V \{j} except for their start- and endpoints, there is also no nontrivial invariantsubspace of hj left invariant by the operator Pj,j of Proposition 6.5. The latter is therefore acompletely positive irreducible map acting on the set of trace-class operators on hj . By theRusso-Dye Theorem (see [26]), one has �Pj,j� = �P∗

j,j(Id)� ≤ 1, so that the spectral radiusλ of Pj,j satisfies λ ≤ 1. By the Perron-Frobenius Theorem of Evans and Hoegh-Krøhn(see [16] or alternatively Theorem 3.1 in [27]), there exists a faithful density matrix ρ� onhj such that Pj,j(ρ�) = λρ�. If λ < 1, then by Corollary 6.2 one has Ej,ρ�(nj) < ∞, but thenProposition 6.4 contradicts our running assumption that Ei,ρ(nj) = ∞. Therefore λ = 1and ρ� is a faithful density matrix such that Pj,ρ�(τj < ∞) = Tr

�Pj,j(ρ�)

�= Tr(ρ�) = 1. We

then conclude by Corollary 6.3.

139

Proposition 6.8. Consider a semifinite irreducible continuous-time open quantum walk ; ifthere exists i ∈ V such that for all ρ� ∈ Shi one has Pi,ρ�(τi < ∞) = 1, then Pi,ρ(τj < ∞) = 1for any j ∈ V and ρ ∈ Shi .

Proof. Fix i and j in V . Observe first that, by irreducibility, for any ρ in Shi , there exists

ξ = (i = i0, i1, . . . , in−1, in = j; t1, . . . , tn)

such that Tr�R(ξ)ρR(ξ)∗� > 0. We denote by t(ξ) the element tn of ξ. Using the continuity

of Tr�R(ξ)ρR(ξ)∗� in ρ and the compactness of Shi , we obtain a finite family ξ1, . . . , ξp, of

paths, again going from i to j, such that

infρ∈Shi

maxk=1,...,p

Tr�R(ξk)ρR(ξk)∗� > 0 .

Let δ > maxk=1,...,p t(ξk). By continuity of each Tr�R(ξi)ρR(ξi)∗� in the underlying jump

times t1, . . . , tn and using expression (6.20), we have

α := infρ∈Shi

Pi,ρ(τj ≤ δ) > 0 .

Now, if Pi,ρ(τi < ∞) = 1 for all ρ in Shi , then the discussion in Section 6.1.3 imply thatalmost-surely one can find an increasing sequence (tn)n of times with tn → ∞ and xtn = i.Choose a subsequence (tϕ(n))n such that tϕ(n) − tϕ(n−1) > δ for all n. Since never reachingj means in particular not reaching j between tϕ(n) and tϕ(n+1) for n = 1, . . . , k, the Markovproperty of (Xt, ρt)t≥0 and the lower bound tϕ(n) − tϕ(n−1) > δ imply that for all ρ ∈ Shi ,

Pi,ρ(τj = ∞) ≤ Pi,ρ

�∀0 ≤ n ≤ k , ∀t ∈ [tϕ(n), tϕ(n+1)] , Xt �= j

�

≤ �supρ∈hi

Pi,ρ(τj > δ)�k

≤ (1 − α)k .

Since the above is true for all k, we have Pi,ρ(τj < ∞) = 1.Now we combine all the results of Section 6.3.2 to prove Theorem 6.2.

Proof (Proof of Theorem 6.2). Proposition 6.4 shows that either Ei,ρ(nj) = ∞ for all i, jand ρ, or Ei,ρ(nj) < ∞ for all i, j and ρ. Proposition 6.7 combined with Proposition 6.8shows that in the former case, Pi,ρ(τj < ∞) = 1 for all i, j and ρ as well. Proposition 6.6shows that, in the latter case, Pi,ρ(τj < ∞) = 1 may only occur for non-faithful ρ, and thisconcludes the proof.Acknowledgments The authors are supported by ANR project StoQ ANR-14-CE25-0003-01.

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Marches quantiques ouvertesOpen quantum walks

Auteur : Hugo BringuierDirecteurs de thèse : Patrick Cattiaux et Clément PellegriniRapporteurs du manuscrit : Denis Bernard et Laurent BruneauDate et lieu de la soutenance : 13 juin 2018 à l’Institut de Mathématiques de ToulouseDiscipline : Mathématiques Appliquées

Résumé : Cette thèse est consacrée à l’étude de modèles stochastiques associés aux systèmesquantiques ouverts. Plus particulièrement, nous étudions les marches quantiques ouvertes quisont les analogues quantiques des marches aléatoires classiques. La première partie consisteen une présentation générale des marches quantiques ouvertes. Nous présentons les outilsmathématiques nécessaires afin d’étudier les systèmes quantiques ouverts, puis nous exposonsles modèles discrets et continus des marches quantiques ouvertes. Ces marches sont respec-tivement régies par des canaux quantiques et des opérateurs de Lindblad. Les trajectoiresquantiques associées sont quant à elles données par des chaînes de Markov et des équationsdifférentielles stochastiques avec sauts. La première partie s’achève avec la présentation dequelques pistes de recherche qui sont le problème de Dirichlet pour les marches quantiquesouvertes et les théorèmes asymptotiques pour les mesures quantiques non destructives. Laseconde partie rassemble les articles rédigés durant cette thèse. Ces articles traîtent les sujetsassociés à l’irréductibilité, à la dualité récurrence-transience, au théorème central limite etau principe de grandes déviations pour les marches quantiques ouvertes à temps continu.

Mots clés: processus stochastiques, équations différentielles stochastiques, marches aléa-toires, algèbre d’opérateurs, systèmes quantiques ouverts, trajectoires quantiques.

Abstract : This thesis is devoted to the study of stochastic models derived from openquantum systems. In particular, this work deals with open quantum walks that are thequantum analogues of classical random walks. The first part consists in giving a generalpresentation of open quantum walks. The mathematical tools necessary to study open quan-tum systems are presented, then the discrete and continuous time models of open quantumwalks are exposed. These walks are respectively governed by quantum channels and Lindbladoperators. The associated quantum trajectories are given by Markov chains and stochasticdifferential equations with jumps. The first part concludes with discussions over some of theresearch topics such as the Dirichlet problem for open quantum walks and the asymptotictheorems for quantum non demolition measurements. The second part collects the articleswritten within the framework of this thesis. These papers deal with the topics associated tothe irreducibility, the recurrence-transience duality, the central limit theorem and the largedeviations principle for continuous time open quantum walks.

Keywords : stochastic processes, stochastic differential equations, random walks, opera-tor algebra, open quantum systems, quantum trajectories.