2ème secondaire

Chapitre (2) Calcul différentiel

Règles de dérivation :

Si f(x) = c où c est une constante, alors f'(x) = 0.

Si f(x) = xn, alors f'(x) = n xn - 1.où n R.

Si f(x) = c où c est une constante, alors f'(x) = 0.

Si f(x) = xn, alors f'(x) = n xn - 1.où n R.

Règle de dérivation de la somme et de la différence:

Si f, g, h, … sont des fonctions dérivables, alors (f (x) ± g (x) ± h (x) ± …… ) = f '(x) ± g' (x) ± h' (x) ± …… )

Si f, g, h, … sont des fonctions dérivables, alors (f (x) ± g (x) ± h (x) ± …… ) = f '(x) ± g' (x) ± h' (x) ± …… )

Chapitre (2) Calcul différentiel

Règle de dérivation du produit de deux fonctions dérivables :

Si y = f(x) × g (x) telles que f et g sont des fonctions dérivables, alors = f’(x) × g(x) + g’(x) × f(x)

Si y = f(x) × g (x) telles que f et g sont des fonctions dérivables, alors = f’(x) × g(x) + g’(x) × f(x)

Dérivée du produit = (dérivée de la 1ère fonction) × 2ème fonction + (dérivée de la 2ème fonction) × 1ère fonction

Dérivée du produit = (dérivée de la 1ère fonction) × 2ème fonction + (dérivée de la 2ème fonction) × 1ère fonction

Exemple (1) :

Déterminer y’ : (1) y = (x + 2)(2x – 1) (2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5)

Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

(1) y = (x + 2)(2x – 1)

f(x) = (x + 2) ------- f’(x) = 1

g(x) = (2x – 1) ------- g’(x) = 2

On a y = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

Donc y’ = 1 (2x - 1) + 2 (x + 2)

Donc y’ = 2x - 1 + 2x + 4 = 4x + 3

début

Autre Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

(1) y = (x + 2)(2x – 1)

Donc y’ = 4x + 3

On développe les parenthèses, puis on calcule la dérivée première

y = 2x2

– 2

+ 3x

(2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5)Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

f(x) = (3x5 + 2x + 5) ------- f’(x)= (15x4 + 2)

g(x) = (x – 5) ------- g’(x) = 1

On a y = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

Donc y’ = (15x4 + 2) (x - 5) + 1 (3x5 + 2x + 5)

y’ = 18x5 - 75x4 + 4x - 5

Donc y’ = 15x5 + 2x - 75x4 - 10 + 3x5 + 2x + 5

début

(2) y = (3x5 + 2x + 5)(x – 5)

Autre Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

y’ = 18x5 - 75x4 + 4x – 10 + 5

On développe les parenthèses, puis on calcule la dérivée première

Donc y = 3x6

y’ = 18x5 - 75x4 + 4x – 5

12

4 3 5 6

- 15x5 + 2x2– 10x

+ 5x- 25

Exemple (2) :

Déterminer la pente des tangentes à chacune des courbes d’équations suivantes aux points donnés

Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

a) y = (x – 1)(x + 2)

f(x) = (x - 1) ------- f’(x)= 1

g(x)= (x + 2) ------- g’(x)= 1 On a y = f’(x) . g(x) + g’(x) . f(x) Donc y’ = 1 (x + 2) + 1 (x – 1)

a) y = (x – 1)(x + 2) en x = 3

b) y = en x = 1

x1x

x1x

y’ = x + 2 + x - 1 = 2x + 1 en x = 3

La pente = 2 x 3 + 1 = 7

début

Solution :

Chapitre (2) Calcul différentiel

f(x)= (x1/2 + x-1/2) ---- f’(x) = (½ x-1/2 – ½ x-3/2)

g(x) = (x1/2 - x-1/2) ---- g’(x) = (½ x-1/2 + ½ x-3/2)

On a y = f’(x) x g(x) + g’(x) x f(x)

y’ = (½ x-1/2 – ½ x-3/2)(x1/2 - x-1/2) + (½ x-1/2 + ½ x-3/2)(x1/2 + x-1/2)

La pente = (½ x 1-1/2 – ½ x 1-3/2) (11/2 - 1-1/2) + (½ x 1-1/2 + ½ x 1-3/2)(11/2 + 1-1/2) = 2

b) y = en x = 1

x1x

x1x

début

Devoir page 35 n 1(a, b, c, d, e)

Chapitre (2) Calcul différentiel