1

Primitives - Primitives - IntégrationIntégration

2

La notion de PrimitiveLa notion de Primitive

Définition :

F(x) est une primitive de f (x) si F ’(x) = f (x)

Donc F(x) + Cste est aussi une primitive.

Dériver

Intégrerf

(x)f ’ (x)

Notation :

L’ensemble des primitives de f est noté

( )f x dx

3

La notion de PrimitiveLa notion de Primitive

x2

ln (x)

exp (x)

2x

1 / x

exp (x)

Dériver

Intégrerf

(x)f ’ (x)

Formulaire dans MathSV et dans le fascicule Jaune

4

Un premier Un premier exempleexemple

En médecineEn médecine

Quantité de médicament dans le Quantité de médicament dans le sang au temps sang au temps tt, après une injection , après une injection

par voie intraveineuse par voie intraveineuse

5

Un modèle exponentielUn modèle exponentiel

0.13 tf t e

6

Questions :Questions :

QMS = Quantité de médicament dans le QMS = Quantité de médicament dans le sang (h.mg/l)sang (h.mg/l)

Q1Q1 : QMS dans les 10 heures qui suivent : QMS dans les 10 heures qui suivent l’injection ?l’injection ?

Q2Q2 : QMS : QMS moyennemoyenne par heure pendant les par heure pendant les 10 heures qui suivent l’injection ?10 heures qui suivent l’injection ?

7

10

0

f t dt

Q1 :Q1 : QMS sur les 10 premières QMS sur les 10 premières heuresheures

8

Q2 :Q2 : QMS QMS moyennemoyenne par heure par heure

10

0

1

10 f t dt

9

La notion d’intégraleLa notion d’intégrale

« La somme de a à b de est égale à la

différence entre la primitive de f au point b et la

primitive de f au point a »

f x dx

b

b

aa

F b F a f x dx F x

10

Interprétation géométriqueInterprétation géométrique

ff est définie sur [a ; est définie sur [a ; b]b]

ff admet une admet une primitiveprimitive

a b

A

11

Interprétation géométriqueInterprétation géométrique

n petits intervallesn petits intervalles xx = = xxii – – xxi+1i+1

xx = ( = (b – ab – a) /) / n n

f (xi) x

f (xi+1) x

12

Interprétation géométriqueInterprétation géométrique

+-A <A<A

b

a

f x dxA

C’est une notation

13

PropriétésPropriétés

a b

b a

f x dx f x dx 0a

a

f x dx

0 0b

a

f x f x dx

b b

a a

f x g x f x dx g x dx

Relation de CHASLES : b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

ATTENTION au signe

14

ExempleExemple

10 10

0 0

5

5

f t dt f t dt f t dt

1

2

15

Valeur moyenneValeur moyenne

1 b

a

f x dxb a

16

0

paire 2a a

a

f f x dx f x dx

impaire 0a

a

f f x dx

Autres propriétésAutres propriétés

17

Aire d’un domaineAire d’un domaine 2 2, / 0 1 et D x y x x y x

18

Méthodes de Méthodes de calculcalcul

Décomposition en sommeDécomposition en somme

Changement de variablesChangement de variables

Décomposition en éléments Décomposition en éléments simples Intégration par partiesimples Intégration par partie

19

Décomposition en sommeDécomposition en somme

b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dx

b b b

a a a

f g x dx f x dx g x dx

Changement de variablesChangement de variables

b b

a a

f x dx f t t dt

20

Intégration par partieIntégration par partie

21

Un autre exempleUn autre exemple

La population du BotswanaLa population du Botswana

22

Un exemple en Un exemple en DémographieDémographie

0.02910.7835 tP t e

24 ans

0

0.4

0.0128 millions d'hab. / an

a t dt

a

23

Un dernier Un dernier exempleexemple

La probabilité de rencontre La probabilité de rencontre entre deux individus d’une entre deux individus d’une

même espècemême espèce

24

Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer au temps au temps tt

1

12

tf t t e

25

Probabilité de se rencontrer Probabilité de se rencontrer entre entre tt11 et et tt22

t1

t2

2

1

t

t

p f t dt

26

0

?f t dt

27

0

1f t dt

28

Prochain RDVProchain RDVLundi 27/09 à 16hLundi 27/09 à 16h

Les équations différentiellesLes équations différentielles

TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-TD du lundi : Problèmes A-2, A-4, A-5, B-35, B-3

TD du vendredi : Série 2 + TD du vendredi : Série 2 + EVALEVAL