8/9/2019 2 Introduction aux probabilits
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Introduction aux probabilits
I Vocabulaire spcifique
a) Quelques exemples classiques
1er exemple 2meexemple 3meexemplepreuve ouexpriencealatoire
On jette 2 ds et on note,sur une mme ligne les 2numros
obtenus.
Dans un atelier, il y a 10machines. un instantt , onnote X le
nombre demachines en tat de marche.
Dans un lot de picesmtalliques, on prlve auhasard une pice et
onrelve D le diamtre decelle-ci. Toutes les picesont un diamtre
comprisentre 20 et 100
Rsultatspossibles ouventualits
Tous les couples (a , b) oa et b sont des entiers comprisentre 1
et 6.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 Tous les rels de [0, 20]
Lunivers Lensemble des 66=36couples (a , b) oa et b sontdans {1,
2, 3, 4, 5, 6}
Lensemble des 11 nombresentiers {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8, 9,
10}
Lintervalle [0, 20]
Exemplesdvnements
Lvnement (La sommedes numros est 3) est{(1, 2), (2, 1)}.
Lvnement (Au moinsune machine nest pas entat de marche)
estlensemble des 10 entiers{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Lvnement (25 D 50)est lintervalle [25, 50].
Exemplesdvnementslmentaires
Lvnement (La somme denumros est 12) qui estlensemble 1 lment
:{(6, 6)}.Lvnement (La sommedes numros est 2) qui estlensemble 1
lment{(1, 1)}.
Lvnement (Toutes lesmachines sont en tat demarche) qui est
lensemble 1 seul lment :{10}.Lvnement (Aucunemachine nest en tat
demarche) qui est lensemble 1 seul lment {0}.
Lvnement ( D = 50) quiest lensemble 1 seul rel{50}.
b) Dfinitions gnrales
On obtient, aprs unepreuve ou uneexprience alatoire , un
ensemble appel lunivers dont leslments sont lesrsultats possibles
ou ventualits .
Lesvnements sont les parties ou sous-ensembles de . Les
vnementslmentaires sont les parties ousous-ensembles de 1 seul
lment.
Lvnement certain est tandis que lvnement impossible est.
Lensemble des parties de , notP () , est lensemble des
vnements.
Lunivers est ditdnombrable lorsquon peut numroter toutes les
ventualits, en utilisant les entiersnaturels.
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II Oprations logiquesOn reprend les notations du paragraphe I
b).
1 Notation A\B ou AB
A et B tant 2 ensembles les notations A\B ou AB dsignent
lensemble des lments qui setrouvent dans A et qui ne se trouvent
pas dans B.Dans le cas o A et B sont des vnements, on dit que A\B
ou AB est lensemble desventualits qui ralisent A sans raliser
B.
A B
2 vnement contraire dun vnement
Lvnement contraire de lvnement A, not A ,est \A : Cest lvnement
ralis si etseulement si A ne lest pas.A est lensemble des
ventualits ne se trouvant pas dansA.
Dans le deuxime exemple du paragaphe I a), lvnement (Toutes les
machines de lateliersont en tat de marche a pour vnement contraire
lvnement (Au moins une machine delatelier nest pas en tat de
marche).3 vnement (A et B)
A et B tant 2 vnements, lvnement (A et B), not AB ou A est
lensemble desventualits se trouvant la fois dans A et B ; cest
lensemble des ventualits ralisant lafois A et B.
A A B B
Dans le troisime exemple du paragraphe I a), lvnement (45 D 55)
est lvnement( (45 D ) et (D 55) ).
Les 2 vnements A et B sont incompatibles dans le cas o lvnement
A B estimpossible.
A B
Dans le troisime exemple du paragraphe I a), les vnements (45 D
) et ( D 30) sontincompatibles.
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4 vnement Aou B
A et B tant 2 vnements, lvnement A ou B, not A+B ou A B, est
lensemble desventualits se trouvant dans au moins un des 2 vnements
A, B.
A B
5 Systme complet dvnements
Soit (A1, A2, , An) une suite den vnements. On dit quil sagit
dun systme completdvnements lorsque les proprits suivantes sont
ralises :
- Aucun des vnements A1, A2, , An nest impossible.- Ai et A j
sont incompatibles lorsquei et j sont 2 entiers distincts compris
entre 1 etn.- = A1 A2 An.
Ici on a un systme complet de 5 vnements .
A1 A2 A3
A4 A5
6 Implication
Lvnement A implique lvnement B si par dfinition toutes les
ventualits de A setrouvent dans B. On note alors A B.
