2 La modélisation à l’aide de la fonction

© 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 2 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 1 25

Une vraie machineModèle associé à la technique «coude en l’air»du nageur Ian Thorpe

Modèle associé à la course de Donovan Bailey

Modèle associé aux marathoniens

1,07

1,06

1,05

1,04

1,03

1,02

0

Coût énergétique d’un marathon selon sa vitesse

Coûténergétique(kcal/kg/km)

Vitesse(m/min)

100 200 300 400

141210

8642

0

Course de 100 mde Donovan Bailey

Vitesse(m/s)

Temps(s)

4 6 8 102

Temps(s)

Hauteur du coudepar rapport auniveau de l’eau

Technique du nageur Ian Thorpe

4sAÉModèle lié à un autre sportPlusieurs réponses possibles. Exemple :Description de la situation : une coureuse en vélode montagne teste, dans des conditions similaires, deux typesde roues. À partir du sommet d’une montagne, elle descendune piste durant 55 s. Après plusieurs descentes, la vitessede la cycliste avec ces deux types de roues est analysée.Voici les résultats de ces deux expériences :

Aucun des trois modèles graphiques précédents ne peutmodéliser cette situation. Le modèle suivant est plusapproprié.

Ce modèle est différent car contrairement aux fonctions desgraphiques associés au nageur et aux marathoniens, lafonction représentée ici est croissante sur tout son domaine.De plus, contrairement à la fonction du graphique associé aunageur, la fonction est toujours positive. Enfin, contrairement àce qui est observable dans le graphique associé à la course deDonovan Bailey, la croissance de la fonction ne plafonne pas.

Rouesde type X

Rouesde type Y

55050045040035030025020015010050

0

Étude portant sur deux typesde roues de vélo de montagne

Distance(m)

Temps(s)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

La modélisation à l’aide de la fonction2

Distance parcourue avec les roues de type X (m) 25 50 146 300 476

Temps (s) 10 15 025 040 055

Distance parcourue avec les roues de type Y (m) 25 51 148 310 500

Temps (s) 10 15 025 040 055

Vision 2 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 1 © 2009, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée26

Planifier un plongeonparfait

1. Représentation de la situationEn mesurant la distanceentre la positiondes centres de gravité etcelle du centre de gravitéde départ, de mêmequ’en appliquant lefacteur d’échelle, onobtient les résultatssuivants :

2. Choix du modèle

En traçant le nuage de points associé à la table de valeurs,on voit que les points suivent le modèle d’une fonctionpolynomiale de degré 2. De plus, on sait que, si le tempsest de 0, alors la distance verticale franchie par le centrede gravité du plongeur est de 0. Le modèle D � at 2, où Dest la distance verticale franchie par le centre de gravitédu plongeur et t est le temps, semble donc appropriédans cette situation.Calcul de a par la moyenne des rapports :(5 � 5 � 4,89 � 4,94 � 4,96) � 5 � 5

3. Détermination du temps disponible pour le plongeonPuisque les positions de départ et d’arrivée du plongeursont sensiblement les mêmes, son centre de gravitéparcourt 10 m.En remplaçant D par 10 dans l’équation précédente et enisolant la variable t, on trouve le temps maximal dontdispose le plongeur pour exécuter ses figures, soit 1,4 s.

10 � 5t2

2 � t2

t � ��2 � 1,4

Dt2

5

4

3

2

1

0

Distance verticale franchiepar le plongeur

Distance verticalefranchie (m)

Temps(s)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5sAÉ4. Choix des figures

Soit un plongeon composé de trois périlleux carpéssuivis d’une ouverture. La durée de ce plongeon est de3 � 0,40 s � 0,1 s, soit 1,3 s.

5. Description du plongeonIl reste à déterminer la hauteur et le temps où se terminechacune des figures constituant le plongeon. On obtientla règle de la hauteur du centre de gravité du plongeur,h (en m), en fonction du temps (en s), en transformantl’équation de la distance en fonction du temps.En se servant du fait que la hauteur du centre de gravitédu plongeur est de 11 m au départ et que la hauteur ducentre de gravité du plongeur varie de façon opposéeà la distance franchie par le centre de gravité du plongeur,on peut écrire l’équation suivante :

h � 11 � 5t2

Le tableau ci-dessous présente la synthèse du temps et dela hauteur où se terminent les quatre figures du plongeon.

On peut certifier que le plongeon est réalisableen observant que le centre de gravité est situé à plusde 1 m au-dessus du niveau de l’eau une fois toutesles figures complétées.

Les mathématiquesde l’endurance

La vitesse initiale du test devrait être de 7 km/h et la vitessemaximale, de 18 km/h.Le test peut donc être décrit de la façon suivante.• Il comporte 12 paliers, chacun ayant une durée de

1 min 30 s.• La vitesse au premier palier est de 7 km/h.• La vitesse augmente de 1 km/h à chaque palier.

6sAÉ

26

Temps Distance verticale(s) franchie (m)

0 0

0,2 0,2

0,4 0,8

0,6 1,76

0,8 3,16

1,0 4,96

Distance verticale franchiepar le plongeur

Temps Hauteur(s) (m)

Temps et hauteur du plongeur à la finde chacune des figures

1er périlleux carpé 0,40 10,2

2e périlleux carpé 0,80 7,8

3e périlleux carpé 1,20 3,8

Ouverture 1,30 2,55


Représentation à l’aide d’une table de valeurs

Représentation graphique

ÉquationCette situation peut être représentée par l’équation V(t ) � � � � 7.

Voici la justification de chacun des paramètres de l’équation :a � 1, car la vitesse augmente de 1 km/h entre chaque palier ;b � 1 � 1,5 � , car chaque palier dure 1,5 min ;h � 0 et k � 7, car la vitesse initiale au temps t � 0 est de7 km/h.Contrainte de distanceLe test respecte bien la contrainte de distance comme lemontre la table de valeurs. La distance totale parcourue aprèsle dernier palier est de 3750 m, ce qui est inférieur à 4 km.On peut aussi le constater par le fait que la vitesse moyenneau cours du test est de 12,5 km/h et que le test dure 18 min,au maximum ; la distance maximale parcourue est donc de3,75 km, soit 12,5 � .

Réactivation 1

a.

b. 1) [0, 13] s 2) [0, 1,6] s

c. Plusieurs réponses possibles selon le graphique tracé en a.Exemple :1) La distance est croissante de 0 à s, de 1 à 8 s

et de 8 à 12 s.2) La distance est décroissante de s à 1 s, de 3 à 8 s

et de 9 à 13 s.3) La distance est constante de 3 à 8 s et de 9 à 12 s.

d. 0

e. Il y a 2 abscisses à l’origine.

Réactivation 2

a. Dans la table de valeurs de gauche, oui, il y a une situation de proportionnalité, car le quotient est toujours 2450.Dans la table de valeurs de droite, il n’y a pas de situationde proportionnalité directe, car le quotient

varie.On peut cependant dire qu’il y a une situationde proportionnalité inverse.

b. Table de valeurs de gauche : fonction de variation directe.Table de valeurs de droite : fonction de variation inverse.Dans la fonction de variation directe, c’est le quotientdes valeurs des 2 variables qui donne une constante alorsque dans la fonction de variation inverse, la constanteest obtenue par le produit des valeurs des 2 variables.

c. La meilleure option consiste à réduire de 25 % la longueurdu bras de levier résistant. Plusieurs justifications possibles.Exemple : Dans les 2 tables de valeurs, la force nécessaireest de 2450 N lorsque le bras de levier moteur mesure 2 met que le bras de levier résistant mesure 1 m. Dans la table

force nécessairebras de levier moteur

force nécessairebras de levier résistant

Page 69

12

12

13

35

13

35

2

1

0Temps (s)

Distance de l’haltèrepar rapport au sol (m)

2 4 6 8 10 12 14

Épaulé-jeté de Maryse Turcotte

Page 68

2RÉVISION

1860

23

2t3

Vitesse moyenne12,5 km/h

181716151413121110

987

0

Test d’endurance par paliersVitesse(km/h)

Temps écoulé(min)

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Distance Distance Temps Vitesse parcourue totalePalier écoulé (km/h) dans ce parcourue (min) palier (m) (m)1 [0, 1,5[ 7 175 175

2 [1,5, 3[ 8 200 375

3 [3, 4,5[ 9 225 600

4 [4,5, 6[ 10 250 850

5 [6, 7,5[ 11 275 1125

6 [7,5, 9[ 12 300 1425

7 [9, 10,5[ 13 325 1750

8 [10,5, 12[ 14 350 2100

9 [12, 13,5[ 15 375 2475

10 [13,5, 15[ 16 400 2875

11 [15, 16,5[ 17 425 3300

12 [16,5, 18[ 18 450 3750

Test d’endurance par paliers


de valeurs de droite, si le bras de levier moteur est allongéde 25 %, on a besoin de 1960 N pour une nouvellelongueur de 2,5 m. Dans la table de valeurs de gauche,pour une même force de 1960 N, il faut un bras de levierrésistant mesurant 0,8 m, ce qui correspond à unediminution de 20 % de la longueur du bras de levier.Donc, si la longueur du bras de levier résistant est diminuéede 25 %, il faudra une force moindre que 1960 N.C’est ce qui rend cette option plus avantageuse,car à ce moment-là, la force nécessaire sera de 1837,5 N.

Mise à jour

1. a) Le point B. À cet endroit, le taux de variation diminue.La diminution de la distance entre les deux personnespar seconde est moindre, d’où le fait qu’unedes deux personnes se soit arrêtée.

b) Variable indépendante : [0, 18] ;variable dépendante : [0, 16].

c) Après 10 s, au point C.d) De 10 à 18,5.e) La distance qu’il y a au départ entre les deux personnes.

2. a) 140 chb) � 3800 r/minc) Domaine : [500, 4500]

Image : [0, 140].d) La fonction est croissante si le régime du moteur est

de 500 à environ 3800 r/min. Elle est décroissanteà partir de 3800 r/min.

e) Dès que l’automobile est en marche, même si celle-cin’avance pas, le régime du moteur est de 500 r/min.

Mise à jour (suite)

3. a) Non, car le quotient n’est pas constant.

b)

c) Oui, car le quotient est 1,08 partout.

d) Situation en a) : v � , où v représente la vitesseen m/s et d, la durée de la foulée en s. Situation en b) : v � 1,08n, où nreprésente le nombre de foulées par seconde et v,la vitesse en m/s.

1,08d

vitessenombre de foulées par seconde

vitessedurée de la foulée

Page 73

Page 72

4. a)

b) Une fonction de variation inverse.c) 141,2d) � 4,71 cme) 1412 kgf) Non, car autrement, ça voudrait dire qu’il n’y avait pas

de gaz dans le cylindre.

5. C � 3,13d, où C représente la circonférence en cm, et d,le diamètre en cm.

Quelques modèles

Problème

La situation est associée au graphique .Variable dépendante : quantité d’air dans les poumons ;variable indépendante : le temps. Au moment de l’inspiration,les poumons se remplissent d’air rapidement (une fortecroissance a lieu), pour ensuite se vider progressivement(une décroissance plus lente est observée). Un maximumest atteint lorsque les poumons sont remplis d’air.La situation est associée au graphique .Variable dépendante : volume cardiaque ;variable indépendante : le temps. Au début de l’observation(au temps 0), un volume cardiaque est observable,c’est l’ordonnée à l’origine. Ce volume cardiaque diminuede manière importante les premières années (décroissance),pour diminuer petit à petit par la suite (présenced’une asymptote).

C2

G1

Page 74

2.1section

0 5 10

30

25

20

15

10

5

15 20 25 30Masse

(kg)

Hauteur(cm)

Compression d’un gaz dans un cylindre

28

Durée de la foulée (s)Nombre de foulées par seconde

0,18 0,20 0,24 0,30

5 5 4 313

16

49


La situation est associée au graphique .Variable dépendante : fréquence cardiaque maximalethéorique ; variable indépendante : l’âge. Au fur et à mesureque l’âge avance, la fréquence cardiaque maximale théoriquediminue de façon régulière (décroissance). Théoriquement,à l’âge 0, on peut dire que cette fréquence maximale estde 220 (c’est l’ordonnée à l’origine).La situation est associée au graphique .Variable dépendante : volume d’air expiré ; variableindépendante : le temps. Au début de l’expérience,les poumons de la personne sont remplis d’air. Le volume d’airalors expiré augmente rapidement (croissance) pour ensuiteplafonner (présence d’une asymptote) au fur et à mesure quela personne vide ses poumons.

Activité 1

a.

50

40

30

20

10

0

Vitesse d’un conducteurVitesse(km/h)

Durée du parcours (h)

10 20 30 40 50

10

–10

–20

0

Conversion de températuresDegrésCelsius

DegrésFahrenheit

10 20 30 40 50

Page 75

B4

D3

70

60

50

40

30

20

10

0

Aire d’un cubeAire

Mesure de l’arête1 32 4

500

400

300

200

100

0

Distance du radarDistance

(m)

Temps (s)10 20 30 40

1

0,5

0

Probabilité d’obtenir face à chaque lancer

Probabilité

Nombrede lancers

2 4 6 8 101 3 5 7 9


b. En ce qui a trait au domaine, la 1re situation a pourdomaine les réels. La 2e situation a pour domaine ]0, +�[et les quatre autres ont pour domaine [0, +�[.Pour ce qui est de l’image, la 1re situation a pour imageles réels. Les 2e et 3e situations ont pour image ]0, +�[,et les 2 autres ont pour image [0, +�[.Seule la 2e situation n’a pas d’ordonnée à l’origine.Seules les 2e et 3e situations n’ont pas de zéro.Les 1re et 2e situations n’ont pas d’extremum.La 3e situation a un maximum. Les 5e et 6e situations ontun minimum seulement.Les 1re, 5e et 6e situations sont uniquement croissantes surtout leur domaine. Les 2e et 3e situations sont uniquementdécroissantes sur tout leur domaine. La 4e situationest décroissante, puis croissante.Seule la 1re situation a une variable dépendante qui peutprendre des valeurs négatives.

Activité 2

a.

490480470460450440430420410400390

0

Quantité de polluants émis par 100 km

parcourus (g)

Vitesse(km/h)

40 50 60 7045 55 65 75

Pollution causéepar les semi-remorques

Page 76

25

20

15

10

5

0

Vitesse d’entrée dans l’eauVitesse(m/s)

Hauteur(m)

5 10 15 20 25

b. y � (x � 70)2 � 400. On peut éliminer d’emblée la fonction de variation inverse, car elle ne se rapproche pasde la majorité des points. La fonction polynomiale de degré1 est aussi à éliminer car, à partir d’une certaine vitesse,la quantité de polluants sera nulle, voire négative,ce qui est illogique. C’est donc la fonction polynomialede degré 2 qui représente le mieux la fonction associéeà cette situation. En effet, les études démontrent qu’àune faible vitesse les émissions polluantes sont élevées,qu’à une certaine vitesse elles sont minimales et qu’àune grande vitesse elles augmentent.

c. 1) 760 g 2) 560 g 3) 410 g4) 490 g 5) 650 g

Technomath

a. 1) –4 2) 4

b. 2

c.1)

2)

Mise au point 2.1

1.

a)

b)c)d)

e)

f)

2. a)

Page 80

Page 77

110

30

L’ordonnée à l’origine

Le ou les zéros

4 � 0,83 –4

� 2,2 –4 � –3,61et � 1,11

f g h

Domaine � � �

Image {2} � [–4, +� [

Intervalle de décroissance – – ]–�, 1]

Ordonnée à l’origine –2 –3 –3

Ensemble des zéros de la fonction – –1 et 3

Minimum –2 – –4Maximum –2 – –

L’intervalle où la fonction est négative. � � –�, � [–1, 3]3

2

32

x 0 1 2 3 4

f1(x) 0 2 4 6 8

f2(x) 2 2 2 2 2

f3(x) 0 1 4 9 16

f4(x) 1 2 4 8 16


b)

c) f1 : [0, 20] f2 : {2}f3 : [0, 100] f4 : [1, 1024]

d) f1 et f4.e) f1 et f3.f) f1(0) = 0 f2(0) = 2 f3(0) = 0 f4(0) = 1g) 1) f2 2) f1 3) f3 4) f4

3.

14

12

10

8

6

4

2

0

g (x )

x642 12108 14

14

12

10

8

6

4

2

0

f (x )

x642 12108 14

10

8

6

4

2

–2

0

f (x )f1f3 f4

f2

x–2–4–6–8 42 6

Le domaine et l’image de la fonction g sont représentéspar [0, +�[ alors que ceux de la fonction f sont représentéspar ]0, +�[. La fonction g a 10 pour valeur d’ordonnéeà l’origine et zéro de la fonction, tandis que la fonction fne possède ni l’un ni l’autre. La fonction g a un minimumqui est de 0 et la fonction f n’a pas d’extremum.Cette dernière fonction est strictement décroissante alorsque la fonction g est décroissante dans l’intervalle [0, 10]et croissante dans l’intervalle [10, +�[.

Mise au point 2.1 (suite)

4. a) Les parties sont semblables, car elles commencent parune augmentation ou une diminution très prononcéeavant de se stabiliser sur un plateau. Elles sontdifférentes, car la partie consacrée à l’effort est associéeà un intervalle de croissance, tandis que la partie liée àla récupération est associée à un intervallede décroissance.

b) Le maximum représente la V02 max, la capacitéaérobique maximale, et le minimum représentele volume d’oxygène absorbé par une personnelorsqu’elle est au repos.

5. a) Le modèle d’une fonction par parties.Plusieurs descriptions possibles. Exemple :Une courbe présentant un maximum durantla 1re seconde, ensuite une courbe décroissante durantla 2e seconde et, finalement, une courbe légèrementcroissante durant les deux secondes suivantes.

b) Comme au point précédent, il s’agit d’une fonctionen 3 parties. Par contre, les 3 fonctions qui composentce modèle sont de différents types. Dans les deux cas,on a des extremums et des intervalles de croissanceet de décroissance. Par contre, seule la 2e situationprésente des valeurs négatives pour la variabledépendante.


6. a)

b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :L’entraînement aura pour effet de diminuer la fréquencecardiaque pour une même consommation d’oxygène.

Page 82

Page 81

Avant Après l’entraînement l’entraînement

Domaine [1, 1,640] [1, 2,076]

Image [90, 200] [87, 200]


7. Plusieurs réponses possibles. Exemple :


8. L’équation . Ça ne peut pas être une droite car, à partird’un certain temps, le chocolat chaud ne peut plus refroidir.Il se stabilisera à la température ambiante. D’où la présenced’une asymptote dans le modèle .

9. Plusieurs réponses possibles. Exemples :

La courbe commence à l’origine car, au départ, la billen’a pas parcouru de distance. La vitesse de la bille estmaximale au début et diminue par la suite. Plus le tempsaugmente, plus l’augmentation de la distance parcouruesera petite.

La courbe commence à l’origine car, au départ,la bille n’a pas parcouru de distance. Au départ, sa vitesseest nulle, puis elle augmente. La distance parcourueaugmentera de plus en plus jusqu’à ce que la vitessede la bille devienne maximale. À partir de ce moment,sa vitesse commencera à diminuer et la distance parcouruesera de plus en plus petite.

Situation 2Distance

parcourue

Temps

Situation 1Distance

parcourue

Temps

A

A

Page 83

54321

0

Volume d’un ballonVolume d’air

(L)

Temps (s)

2 4 6 8 101 3 5 7 9

Il y a présence d’une ordonnée à l’origine qui symbolisela distance, au départ, entre le mobile et le mur. Il y a aussiprésence d’un zéro qui indique le moment où le mobilefrappe le mur. La vitesse est constante, on a donc un tauxde variation uniforme qu’on peut représenter parune droite.


10. a) Domaine : [0, +�[Minimum : 0Image : [0, +�[Croissante sur tout son domaineOrdonnée à l’origine et zéro : 0Positive dans [0, +�[

b) Le domaine représente l’aire possible du ballonet l’image représente la valeur du rayon associé à l’airedu ballon.Les valeurs à l’origine indiquent que s’il n’y a pasd’aire, il n’y a pas de rayon. On n’a pas de ballonà ce moment-là.Le fait que la fonction soit croissante sur son domaineindique que chaque fois que l’aire du ballonaugmente, la mesure du rayon augmente aussi.La fonction est positive sur son domaine, ce quiindique que la mesure du rayon ne peut pas êtreinférieure à 0.

c) Si on ne regarde qu’une partie du graphique, on aural’impression que oui. Mais, en réalité, chaque fois quel’aire augmente, la mesure du rayon augmente aussi,si petite soit-elle. La courbe ne finira pas par atteindreun plateau.

Page 84

Situation 3Distance

entre le mur et le mobile

Temps

32


11. a)

b)

c) 1) � [–2,25, 15] 2) Croissance : [8,5, 12]Décroissance : [0, 8,5]

3) � 5,5 et � 11,5. 4) � [5,5, 11,5]

16

14

12

10

8

6

4

2

0

–2

–4

Température (°C)

Temps écoulé(min)

642 12108

Données recueillies par Étienne

16

14

12

10

8

6

4

2

0

–2

–4

Température (°C)

Temps écoulé(min)

642 12108

Données recueillies par Étienne Mise au point 2.1 (suite)

12. a) Il s’agit d’une décélération (la vitesse de la maindiminue).

b)

c) Une fonction polynomiale de degré 2 pour 0 t 45et une fonction constante pour 45 t 100.

d) C’est le moment où la main cesse d’accélérer pourcommencer à freiner afin de prendre l’objet.

13. a)Pourcentage de la force maximale

Angle(degrés)

1008060 140120 1601804020

La force de l’angle

110100908070605040302010

302520151050

–5–10–15

Accélération (mm/s2)

Temps (ms)

604020 10080

Analyse du mouvement

302520151050

–5–10–15

Accélération (mm/s2)

Temps (ms)

604020 10080

Analyse du mouvement

Page 85


b)

c) Domaine : � [30, 180] Image : � [30, 100]

d) 1) � 92 % 2) � 50 %

Le modèle quadratique

ProblèmeQue ce soit à l’aide de la table de valeurs, d’un graphique oude la règle de la fonction (f (x ) � 2,8x 2), la vitesse enregistréepour ce skieur entre la borne des 300 m et celle des 400 mest d’environ 62,46 m/s, soit 224,859 km/h.Pour obtenir une réponse plus précise, on a réalisé les calculsci-dessous à l’aide de la règle de la fonction :– 10,351 s après le départ, le skieur passe la borne des 300 m;– 11,952 s après le départ, le skieur passe la borne des 400 m.Ainsi, il a fallu 1,601 s au skieur pour parcourir une distancede 100 m, soit 11,952 � 10,351.Sa vitesse se détermine comme suit : � 62,461 m/s,soit 224,859 km/h.

Activité 1

a. 1)

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

Force en fonction de la vitesseForce exercéepour retenir

le marteau (N)

Vitessedu marteau (m/s)

20 6 10 14 184 8 12 16 20 22 26 3024 28

Page 87

1001,601

Page 86

2.2section

Pourcentage de la force maximale

Angle(degrés)

1008060 140120 1601804020

La force de l’angle

110100

908070605040302010

2)

b. Oui. Ce nuage de points présentant les donnéesexpérimentales porte à croire que c’est le cas, les valeursdu paramètre a étant presque constantes lorsqu’on regardele rapport de la force sur le carré de la vitesse. De plus,il est normal de constater que la force exercée pour retenirle marteau sera de 0 N si la vitesse est de 0 m/s.

c. f (x) � 3,4x 2, où f (x) correspond à la force exercéepour retenir le marteau, en N, et v, à la vitesse de la têtedu marteau, en m/s.

d. � 3470 N

Activité 2

a. Fonction f : (0, 0) ; fonction g : (0, –1).

b. Les graphiques de ces deux fonctions sont différents du faitque la parabole qui représente la fonction g est plusouverte que l’autre. De plus, son sommet est situé sousl’axe des abscisses alors que celui de la parabole quireprésente la fonction f est sur l’axe des abscisses. Ils sontsemblables, car les deux paraboles ont leur sommet surl’axe des ordonnées, et cet axe est aussi un axe de symétriepour chacune des paraboles.

c. Le paramètre a provoque un étirement ou une contractionde la parabole. De plus, s’il est négatif, il y auraune réflexion par rapport à l’axe des abscisses.Le paramètre k provoque une translation verticale dela parabole.

d. Dans l’exemple, k vaut –1 et le sommet de la parabole a étédéplacé verticalement, d’une unité vers le bas.

e. Marco a raison. Le taux de variation entre le point dontl’abscisse est 1 et le sommet donne la valeur du paramètre a.De plus, si le point dont l’abscisse est 1 au-dessusdu sommet, alors le paramètre a sera positif. Dans le cascontraire, il sera négatif.

Page 88

3500

3000

2500

2000

1500

1000

500

Force en fonction du carré de la vitesseForce exercée

pour retenir le marteau (N)

Carré de la vitesse du marteau (m2/s2)

2000 400 600 800 1000

34


f. y � –2x 2 � 2. Le sommet est (0, 2), donc le paramètre ksera 2. L’ordonnée du point dont l’abscisse est 1 est 0.En calculant le taux de variation entre ces deux points,on obtient la valeur du paramètre a, soit –2.

Activité 3

a. Le coureur est parti avant le coup de pistolet. Il a donc faitun faux départ.

b. Il s’agit de translations horizontales. Dans le casdu graphique 1, le déplacement est de 0,1 unité versla droite. Dans le cas du graphique 2, le déplacement estde 0,2 unité vers la droite. Dans le cas du graphique 3,le déplacement est de 0,2 unité vers la gauche.

c. Graphique 1 : d (t) � 3,5(t � 0,1)2

Graphique 2 : d (t) � 3,5(t � 0,2)2

Graphique 3 : d (t) � 3,5(t � 0,2)2,où d(t ) correspond à la distance parcourue,en mètres, et t, au temps écoulé,en secondes.

d. � 0,31 m

Technomath

a. 1) a 2) h 3) k

b. 1) L’ouverture de la parabole.2) La position du sommet sur l’axe des abscisses.3) La position du sommet sur l’axe des ordonnées.

c. 1) L’ouverture de la parabole diminue. Elle se rapprochede l’axe des ordonnées.

2) La parabole se déplace vers les extrémités de l’axedes abscisses.

3) La parabole se déplace vers les extrémités de l’axedes ordonnées.

d. 1) La parabole s’est ouverte et elle a subi une translationde 2 unités vers la droite, puis de 4 unités vers le bas.

2) L’ordonnée à l’origine : –3 ; les zéros : –2 et 6.

Page 90

Page 89

Mise au point 2.2

1.

6

4

2

–2

–4

–6

–8

–10

–12

h (x ) = 3(x – 5)2 – 12h (x)

x0–2 2 4 6 8 10

3

10

8

6

4

2

–2

–4

–6

–8

(x ) = –0,5x2 + 8g (x)

x0–8 –6 –4 –2 2 4 6 8

2

2

–2

–4

–6

f (x ) = –4(x + 5)2

f (x)

x0–8 –6 –4 –2 2

1

Page 93


a)b)c)d)e)f)g)h)i)j)

2. a) f1, f2 et f4.b) f1 et f2.c) 1) f1 et f2. 2) f1 et f2. 3) f2 et f4.d) f2

3. a) La courbe orange : l’octogone régulier.La courbe verte : l’hexagone régulier.La courbe rose : le carré.

b) L’aire du carré est de 1 cm2. L’aire de l’hexagone régulierest de � 2,6 cm2.L’aire de l’octogone régulier est de � 4,8 cm2.

c) Dans le cas du carré, A � c 2. Dans le cas de l’hexagonerégulier, A � 2,6c 2. Dans le cas de l’octogone régulier,A � 4,8c 2, où A représente l’aire du polygone régulier,en cm2, et c, la mesure des côtés, en cm.


4. a)

Les valeurs de la première différence sont toutesdifférentes (π , 3π , 5π , 7π et 9π), alors que toutesles valeurs de la deuxième différence sont 2π.

Page 94

b) La valeur de la deuxième différence est le doubledu paramètre a.

c) Oui, ça semble être le cas1)

2)

3)

d) 1) –4 2) 3 3)

e) Plusieurs réponses possibles. Exemple :La relation découverte en b) n’est valable que si lavariable indépendante varie toujours de 1 unité.

12

36

Domaine � � �

Image ]–�, 0] ]–�, 8] [–12, +�[

Coordonnées du sommet (–5, 0) (0, 8) (5, –12)

Ordonnée à l’origine –100 8 63

Extremums Maximum : 0 Maximum : 8 Minimum : –12

Zéros –5 –4 et 4 3 et 7

Intervalle de croissance ]–�, –5] ]–�, 0] [5, +�[

Intervalle de décroissance [–5, +�[ [0, +�[ ]–�, 5]

Les intervalles où la fonction est positive. {–5} [–4, 4] ]–�, 3] ∪ [7, +�[

Les intervalles où la fonction est négative. � ]–�, –4] ∪ [4, +�[ [3, 7]

f g h

Aired’un disque

Premièredifférence

Deuxièmedifférence

2

Rayon Aire

0 0

1 π

2 4π

3 9π

4 16π

5 25π

32

52

72

9

� 1

� 1

� 1

� 1

� 1



52

x f (x)

0 4

1 9

2 16

3 25

4 36

5 49

72

92

112

13

� 1

� 1

� 1

� 1

� 1



24

x f (x)

0 5

1 7

2 13

3 23

4 37

5 55

64

104

144

18

� 1

� 1

� 1

� 1

� 1



–3–6

x f (x)

0 0

1 –3

2 –12

3 –27

4 –48

5 –75

–9–6

–15–6

–21–6

–27

� 1

� 1

� 1

� 1

� 1


Cependant, si la variable indépendante varie toujoursde la même valeur n, on peut alors observer quela deuxième différence sera constante et égale à (2n2)a.Par exemple, dans la table de valeurs de l’aired’un disque qui accompagne la question a), si l’on faitvarier le rayon de 3 unités au lieu de 1 unité,les deuxièmes différences seront toutes égales à 18πau lieu de 2π, soit 9 fois plus. La valeur de a, qui est πdans ce cas, est bien égale à 18π divisé par (2 � 9).

5. a)

Le modèle quadratique est à privilégier, car la gravitéagira sur la décélération et sur l’accélération de la balle.La balle montera puis redescendra, on aura doncun intervalle de croissance puis de décroissance.

b) E(t ) � –4,9(t � 1)2 � 4,9, où E(t ) correspond àl’élévation de la balle, en m, et t, au temps écoulé, en s.

c) � 2,14 m


6. a)

800

750

700

650

600

550

500

450

400

Travail effectuélors d’un exercice

Travail effectué (J)

Étirementde l’extenseur (m)

0 1,1 1,3 1,51,0 1,2 1,4

Page 95

6

5

4

3

2

1

Lancer d’une balleÉlévation

(m)

Temps (s)

0 1 2 3

b) T (r ) � 400r 2, où T (r ) correspond au travail effectué,en joules, et r, à l’étirement de l’extenseur, en mètres.

c) T (r ) � 400(r � 30)2, où T (r ) correspond au travaileffectué, en joules, et r, à la longueur finale del’extenseur, en mètres.

7.

8. a)

b) À 90,55 m.c) Une hauteur maximale de 93 m à 4,3 s.d) La hauteur de la fusée par rapport au sol au moment

du lancement.e) � 8,6 s après le lancement.


9. a) Le modèle quadratique, car, pour des valeurs entièresde la distance parcourue, le taux d’améliorationdu temps de course n’est pas constant mais vaen augmentant. On doit donc rejeter le modèlelinéaire. L’amélioration de la performance seraitde � 851 s.

b) Le modèle linéaire, car le nuage de points ne présenteaucune tendance particulière. La tête du bâtonse déplaçait à une vitesse d’environ 80 m/s.

Page 96

100908070605040302010

Élévation d’une fuséeÉlévation

(m)

Temps (s)

10 2 3 4 5

400

350

300

250

200

150

100

50

X

Y

20 4 6 8 10 12


10. a) F � 55(v � 7,5)2, où F correspond à la forcede résistance, en N, et v, à la vitesse de course, en m/s.

b) F � 55(v � 5)2, où F correspond à la forcede résistance, en N, et v, à la vitesse de course, en m/s.

c) Les coordonnées du sommet, l’ordonnée à l’origine,les zéros, les intervalles de croissanceet de décroissance et les intervalles où la fonctionest positive ou négative.


11. a) A � r 2π pour 0 r 10, où A correspond à l’airede la surface perturbée, en cm2, et r, à la distanceparcourue par l’onde, en cm.

b) Domaine : [0, 10]Image : [0, 100π]

c) A � 100π � r 2π pour 0 r 10, où A correspondà l’aire de la surface de l’eau non perturbée, en cm2,et r, à la distance parcourue par l’onde, en cm.

d) Domaine : [0, 10]Image : [0, 100π]

12. a)

b) Plus la vitesse augmente, plus la distance d’arrêtaugmente.

c) Domaine : [0, vitesse maximale de la voiture]Image : [0, distance d’arrêt associée à la vitessemaximale de la voiture]

d) Non, le sommet de la parabole est situé à (–36, –6,48),ce qui correspond aux valeurs des paramètres h et k.

13. a) v ∈ [0, 5] m/s et E ∈ [0, 100] J.

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

Distance d’arrêt d’une voitureDistance

d’arrêt (m)

Vitesse au débutdu freinage (km/h)

100 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Page 97

b)

c) 1) La vitesse à laquelle la boule a été lancée.2) La quantité totale d’énergie cinétique perdue par

la boule lorsque celle-ci s’est immobilisée.d) Réduire la vitesse de la boule de 4 m/s à 3 m/s.

La boule roulant moins vite, il faut moins d’énergiepour diminuer sa vitesse. Il faut ici 28 joules alorsqu’il en faut 36 pour passer de 5 m/s à 4 m/s.


14. a) 1) c � n 2, où c représente le nombre de cubes et n,le numéro de l’assemblage.

2) c � (n � 1)2, où c représente le nombre de cubesbleus et n, le numéro de l’assemblage.

3) c � (n � 1)2 � 1, où c représente le nombrede cubes qui ne sont pas rouges et n, le numérode l’assemblage.

b)

c) 1) Une translation horizontale d’une unité versla droite.

2) Une translation verticale d’une unité vers le haut.3) Une translation oblique d’une unité vers la droite

et d’une unité vers le haut.d) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

10987654321

Assemblagede cubesNombre

de cubes

Numéro de l’assemblage

20 41

1 3 2

3 5

Page 98

100

80

60

40

20

Énergie cinétique perdueÉnergie

perdue (J)

Vitesse(m/s)

10 2 3 4 5

38

Vitesse au début du freinage (km/h)Distance d’arrêt (m)

30 40 50 60 70 80

15,3 22,4 30,5 39,6 49,7 60,8

Distance d’arrêt d’une voiture


15. P(v ) � –300(v � 1,5)2 � 700, où P (v ) correspondà la puissance, en W, et v, à la vitesse, en m/s.


16. a)

b) La déformation tendrait à être nulle. Il ne devrait pasy avoir de déformation.

c) La déformation n’est pas proportionnelle à la vitessede la balle.Elle est proportionnelle au carré de la vitesse dela balle, car le quotient tend vers � 4,1 � 10–4.

d)

e) � 255 cm3

17. a) Le 2e coureur se mettra à courir après 4 s, le 3e,après 8 s, et le 4e, après 12 s.

b) d(t ) � 1,25(t � 4)2 � 20, où d (t ) correspondà la distance franchie par l’équipe, en m, et t,au temps écoulé, en s.

c) Le 3e coureur : d (t ) � 1,25(t � 8)2 � 40et le 4e coureur : d (t ) � 1,25(t � 12)2 � 60, où d (t )correspond à la distance franchie par l’équipe, en m,et t, au temps écoulé, en s.

120110100

90807060504030

Impacts d’une balleDéformation

(cm3)

Carré de la vitesse (m2/s2)

100 0000150 000

200 000250 000

300 000

dv 2

130120110100

90807060504030

Impacts d’une balleDéformation

(cm3)

Vitesse (m/s)2500 300 350 400 450 500 550

Page 99

d)

e) Domaine : [0, 16]Image : [0, 80]Ordonnée à l’origine : 0Zéro : 0Minimum : 0Maximum : 80Intervalle de croissance : [0, 16]Il n’y a pas d’intervalle de décroissance.La fonction est positive dans [0, 16].La fonction est négative sur {0}.

f) 5 m/s

Les fonctions en escalier

ProblèmeAnnie a couru plus vite que Samantha à partir de la 2e minute,inclusivement, du programme jusqu’à la 10e minute,exclusivement, du programme.Plusieurs démarches possibles. Exemple :Représenter les deux programmes dans le même systèmed’axes en prêtant attention au fait que la vitesse d’Annie, à5 min, est bien de 3 m/s et non de 2 m/s.

4

3

2

1

0

Vitesse(m/s)

Temps écoulé(min)

Annie

Samantha

2 4 6 8 10 12 14 16

Page 100

2.3section

90

80

70

60

50

40

30

20

10

Course à relaisDistancefranchie

(m)

Temps (s)

20 4 6 8 10 12 14 16 18


Activité 1

a. 1) 0,70 $ 2) 1,20 $3) 1,80 $ 4) 2,60 $Le coût augmente de 0,10 $, 5 fois par minute. Donc,le coût augmente de 0,10 $ chaque fois qu’on a complétéun bloc de temps de 12 s. Chaque minute coûtera 0,50 $et on devra ajouter 0,10 $ pour chaque bloc completde 12 s d’attente supplémentaire.

b. On donne la valeur du plus grand entier qui est atteintpar l’expression qui est mise entre les crochets. Exemples :[5 � 1,25] � [6,25] � 6 et [5 � 0,75] � [3,75] � 3

c. 1) 0 2) 0 3) 04) 0 5) 0,1

d.

e. La longueur des marches est de 0,2 et celledes contremarches, de 0,1.

f. Il en coûterait 0,05 $, 10 fois par minute, c’est à-direpour chaque bloc complet d’attente de 6 s. La longueurdes marches serait de 0,1, soit 1 � 10, et celle descontremarches serait de 0,05.

Activité 2

a. Domaine : � Image : �

b. 1) 2 °C 2) 12 °C3) –2 °C 4) –16 °C

c. 1) 3 °C 2) 12 °C3) –1 °C 4) –16 °C

d. Si l’on ajoute 0,5 à la température, la fonction renvoie nonpas à la valeur du plus grand entier atteint, mais bienà la valeur de l’entier le plus près parmi les deux entiers quiencadrent cette température en choisissant l’entiersupérieur dans le cas où la température est à égaledistance des deux entiers. Pour les nombres positifs,cela correspond à arrondir à l’unité près.

Page 102

0,60,50,40,30,20,1

Coût du temps d’attenteCoût($)

Temps(min)

0,20 0,4 0,6 0,8 1

Page 101 e.

Translation horizontale d’une demi-unité vers la gauche.

f. La translation horizontale est 0,65 vers la gauche au lieude 0,5 et l’ordonnée à l’origine est 273, au lieu de 0.

Activité 3

a. et ; et ; et ; et .

b. 1) Une réflexion par rapport à l’axe des abscisses.2) Une réflexion par rapport à l’axe des ordonnées.3) Une rotation de 180° dont le centre de rotation

est l’origine.

c. Les paramètres a et b doivent être de même signe.Au départ, lorsque a et b sont positifs, la fonction estcroissante. Si a ou b devient négatif, la réflexion qui y estassociée fait que la fonction devient décroissante.Si l’autre paramètre devient aussi négatif (on a alorsdeux paramètres de même signe), la réflexion retransformela fonction en fonction croissante.

d. La fonction est décroissante, car les paramètres a et b sontde signes contraires.

e. Le paramètre a détermine la longueur de la contremarcheet provoque une réflexion par rapport à l’axe des abscissess’il est négatif.Le paramètre b détermine la longueur de la marche etprovoque une réflexion par rapport à l’axe des ordonnéess’il est négatif.Le paramètre h détermine une translation horizontaledu graphique.Le paramètre k détermine une translation verticaledu graphique.

Technomath

a. 1) a 2) b3) h 4) k

Page 104

2D4C1B3A

Page 103

4

3

2

1

–1

–2

–3

–4

Affichage du thermomètreNombreaffiché

Température extérieure

(°C)

10 2 3 4–4 –3 –2 1

40


b. 1) La longueur de la contremarche etla croissance/décroissance des fonctions.

2) La longueur de la marche, la croissance/décroissancedes fonctions et l’ordre des points ouverts/fermésaux extrémités des marches.

3) Les zéros (une courbe est plus à droite que l’autre).4) L’ordonnée à l’origine (une courbe est plus haute

que l’autre).

c. 1) La hauteur de la contremarche augmente ; une réflexionpar rapport à l’axe des abscisses si a est négatif.

2) La longueur de la marche diminue ; une réflexion parrapport à l’axe des ordonnées si b est négatif.

3) Un déplacement vers la gauche ou la droite de la courbe.4) Un déplacement vers le haut ou le bas de la courbe.

d. La hauteur de la contremarche double ; une réflexion parrapport à l’axe des abscisses. La marche devient 5 fois pluslongue. Une translation de la courbe de 4 unités versla droite et de 5 unités vers le bas.

Mise au point 2.3

1. a) Les valeurs critiques peuvent représenter des endroitssur la piste de course où Alex a dépassé un coureurou s’est fait dépasser par un coureur.

b) À la mi-course, Alex est 3e et, à la fin, il est 2e.c) ]0, 92]d) {0} U [68, 92] m

Le premier zéro, au départ, indique que tous lescoureurs se trouvent sur une même ligne et le deuxièmezéro indique l’endroit sur la piste où Alex est le meneur.

e) Plusieurs réponses possibles. Exemple :Ça dépend. Alex semble avoir eu un départ lent mais,par la suite, il a rattrapé les autres coureurs. Despersonnes diront que c’était un mauvais départ alorsque d’autres diront que c’était sa stratégie de course.

2. a) Domaine : [0, 2,4] Image : {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}b) 0,3 � 0,6 � 0,9 � 1,2 � 1,5 � 1,8 � 2,1 � 2,4c) 1)

Page 107

2)

3) r (t ) � 2� t�, où r (t ) correspond au rang de la dernière marche atteinte et t, au temps écoulé,en secondes.

d) Après 1 s, la dernière marche atteinte est la 6e et,après 2 s, il s’agit de la 12e marche.


3. a)

b) 0,16 � 30 000 � 0,20 � (60 000 � 30 000) � 0,24� (80 000 � 60 000) � 15 600 $Cette valeur correspond à l’aire des trois rectangles ci-dessous pour un revenu imposable de 80 000 $.

282420161284

Taux d’imposition au QuébecTaux

d’imposition(%)

Revenu imposable (k$)

300 60 90

282420161284

Taux d’imposition au QuébecTaux

d’imposition(%)

Revenu imposable (k$)

300 60 90

Page 108

103

16

14

12

10

8

6

4

2

Montée de l’escalierRang de

la dernièremarcheatteinte

Temps écoulé(s)

0,60 1,2 1,8 2,4

Temps Rang de écoulé la dernière

(s) marche atteinte[0, 0,3[ 0

[0,3, 0,6[ 2

[0,6, 0,9[ 4

[0,9, 1,2[ 6

[1,2, 1,5[ 8

[1,5, 1,8[ 10

[1,8, 2,1[ 12

[2,1, 2,4[ 14

2,4 16

Montée de l’escalier


c)

d)

e) Dans le cas du segment [0, 30], 16 %, dans le casdu segment [30, 60], 20 %, et dans le cas du segment[60, 80], 24 %.

4. a) 1 km à la nage, 36 km en vélo et 9 km à la course à pied.b) Mathias est en avance, car d’après le graphique

il devrait avoir parcouru 28 km,soit � 4 � � 36.

5. a) 1 b) –2 c) 2 d) 17 e) 1,7


6. a) 1) Longueur de la marche : 4 ;longueur de la contremarche : 2.

2) Fonction croissante.3) Segments ouverts à droite ( ).4) f1(x) = 2� �

3

2

1

–1

–2

–3

f1(x )

x20 41 3–3 –1–4 –2

x4

Page 109

34

14

16 000

14 000

12 000

10 000

8 000

6 000

4 000

2 000

Impôt à payer au Québec

Impôtà payer ($)

Revenuimposable

(k$)

200 40 60 80

b) 1) Longueur de la marche : 2 ;longueur de la contremarche : 1.

2) Fonction décroissante.3) Segments ouverts à droite ( ).4) f2(x) = –[0,5x]

c) 1) Longueur de la marche : 1 ;longueur de la contremarche : 3.

2) Fonction croissante.3) Segments ouverts à gauche ( ).4) f3(x) = –3[–x]

d) 1) Longueur de la marche : 2 ;longueur de la contremarche 1.

2) Fonction décroissante.3) Segments ouverts à gauche ( ).4) f4(x) = �– �

3

2

1

–1

–2

–3

f4(x )

x20 41 3–3 –1–4 –2

x2

7654321

f3(x )

x20 41 3–3 –1–4 –2–2–3–4–5–6–7

3

2

1

–1

–2

–3

f2(x )

x20 41 3–3 –1–4 –2

42

Revenu Impôt àimposable ($) payer ($)

10 000 1 600

20 000 3 200

30 000 4 800

40 000 6 800

50 000 8 800

60 000 10 800

70 000 13 200


7. a)

f (x) = –2� � + 6

b) 1) {–4, –2, 0, 2, 4, 6} 2) –4 3) 6 4) [12, 16[c) Fonction décroissante.d) Fonction positive dans [0, 16[ et négative dans [12, 20].

8. a) Étirement vertical d’un facteur 3.f2(x) = 3[x]

b) Réflexion par rapport à l’axe des abscisses.f3(x) = –3[x]

654321

–1–2–3–4–5–6

f3(x )

x20 41 3 65–3 –1–4–5–6 –2

654321

–1–2–3–4–5–6

f2(x )

x20 41 3 65–3 –1–4–5–6 –2

8

6

4

2

–2

–4

–6

f (x )

x40

82 6 12 1610 14 2018

x4

c) Étirement horizontal d’un facteur 2.f4(x) = –3[0,5x]

d) Translation verticale de 4 unités vers le haut.f5(x) = –3[0,5x] + 4

9. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) y � [2x ] � 1b) y � –[–x ] � 2c) y � –3� (x � 1)� � 1


10. a) Domaine : [0, 18]Image : {0, 1, 2, …, 30}

b)

5

4

3

2

1

0

Nombrede longueurs complétées

Temps (min)

2,4 30,6 1,81,2

1500 m nage libre

Page 110

12

654321

–1–2–3–4–5–6

f5(x )

x20 41 3 65–3 –1–4–5–6 –2

654321

–1–2–3–4–5–6

f4(x )

x20 41 3 65–3 –1–4–5–6 –2

x f (x)[0, 4[ 6

[4, 8[ 4

[8, 12[ 2

[12, 16[ 0

[16, 20[ –2

20 –4


c) 1) 3 longueurs.2) 16 longueurs.3) 20 longueurs.

d) [15, 15,6[ min

e) L(t ) � � �, où L(t ) représente le nombre

de longueurs qu’on devra avoir complétées et t,le temps écoulé, en minutes. La longueur des marchesserait la moitié de celle des marches en b).

11. N( j ) � � �, où N( j ) correspond au nombre d’anniversaires célébrés et j, au nombre de jours écoulésdepuis sa naissance.

12. a) 1) 7 2) 143) 142 4) � �

b) 1) 1 2) 23) 6 4) n � 7� �


13. a) Une approximation par défaut.b)

54321

–1–2–3–4–5

Approximation par excès

Nombre20 41 3 5–3 –1–4–5 –2

Approximation par excès d’un nombre

54321

–1–2–3–4–5

Troncature

Nombre20 41 3 5–3 –1–4–5 –2

Troncature d’un nombre

Page 111

n7

n7

j1461

10t3

c) Le seul graphique qui correspond à une fonction partieentière transformée est celui de l’approximationpar excès. L’équation est y � –[–x ].

14. a) 2,4 et 4,8.b) y � 0,1[10x � 0,5]c) 1) y � 0,01[100x � 0,5] 2) y � 10[0,1x � 0,5]

3) y � 10n� � 0,5�15. a) 0,75 $

b)

c) Domaine : [0, 120]Image : {0, 0,25, 0,50, 0,7, 1,00, 1,25, 1,50}

d) c (t ) � –0,25[–0,05t], où c (t ) représente le coûtdu stationnement, en dollars, et t, le temps d’attente,en minutes.


16. a) 1) 0,10 $ 2) 0,13 $3) 0,40 $ 4) 0,63 $

b) C’est un bon départ, mais ce n’est pas complet.Cette fonction ne représente pas adéquatementla situation, car elle donne des fractions de cent.

Page 112

1,75

1,5

1,25

1

0,75

0,5

0,25

0

Coût ($)

Temps (min)

80 100 120 14020 6040

Coût du stationnement

x10n

54321

–1–2–3–4–5

Arrondissement

Nombre20 41 3 5–3 –1–4–5 –2

Arrondissement d’un nombre

44


c)

La droite de la fonction utilisée par Léonie passe parles points pleins des valeurs critiques.

d) c (t ) � 0,01�100 � 0,2� ��, ou c (t ) � 0,01� �,où c (t ) correspond au coût d’un appel, en dollars, et t,à la durée de l’appel, en secondes.

17. a) 1) 0,14 2) π � 3 3) 04) 5)

b) Non. Si, au départ, on a un nombre irrationnel et on luienlève sa partie entière, la partie fractionnaire restantesera irrationnelle, comme dans le cas de π, par exemple.

c)

d) La fonction est positive sur �. Elle est nulle pour tousles entiers.

e) Les zéros sont les nombres entiers.


18. Plusieurs réponses possibles. Exemples :a) I. [3,17] � [–3,17] � 3 � –4 � –1

[–2,21] � [2,21] � –3 � 2 � –1II. [2,95] � 3 � 2 � 3 � 5 et

[2,95 � 3] � [5,95] � 5[7,12] � 4 � 7 � 4 � 11 et [7,12 � 4] � [11,12] � 11[–4,27] � 6 � –5 � 6 � 1 et [–4,27 � 6] � [1,73] � 1

III. [2,12] � [9 � 2,12] � 2 � 6 � 8 et 9 � 1 � 8[5,14] � [2 � 5,14] � 5 � –4 � 1 et 2 � 1 � 1[12,13] � [–9 � 12,13] � 12 � –22 � –10 et –9 � 1 � –10[–4,35] � [8 � –4,35] � –5 � 12 � 7 et 8 � 1� 7[–9,12] � [–6 � –9,12] � –10 � 3 � –7 et –6 � 1 � –7

Page 113

2

1

–1

Partie fractionnaire

Nombre20 1 3–3 –1–2

Partie fractionnaire d’un nombre

57

27

t3

t60

0,06

0,04

0,02

Coût d’un appel vidéoCoût($)

Temps(s)

Équation de Léonie

30 6 9 12 15

IV. 3,12 � [3,1] � 3,12 � 3 � 0,12 et [2 � 3,12] � 2[3,12] � 6 � 2 � 3 � 0–7,54 � [–7,54] � –7,54 � 8 � 0,46 et [2 � –7,54] � 2[–7,54] � –16 � 2 � –8 � 09,8 � [9,8] � 9,8 � 9 � 0,8 et [2 � 9,8] � 2[9,8] � 19 � 2 � 9 � 1–4,2 � [–4,2] � –4,2 � 5 � 0,8 et [2 � –4,2] � 2[–4,2] � –9 � 2 � –5 � 1

b) I et III.

19. a) Soit a � 3,5 et b � 3,6. [3,5] � [3,6] est vraie, carles deux donnent 3. Mais [3,5 � 3,6] � –1, non 0.

b) En prenant une valeur de a supérieure à b, si [a] � [b]alors [a � b] � 0.

Chronique du passé

1. a) Puisque d � 4,9 lorsque t � 1, le paramètre ade l’équation d � at 2 est égal à 4,9. La vitesseest donnée par l’expression 2at, soit 9,8t. Après 1 s,la vitesse est donc de 9,8 m/s.

b) À 2 s, la distance parcourue est de 19,6 m et la vitesseest de 19,6 m/s. À 3 s, la distance parcourue estde 44,1 m et la vitesse est de 29,4 m/s.

50

40

30

20

10

Vitesse d’une bouleVitesse(m/s)

Temps (s)

1 2 3 4 50

50

40

30

20

10

Distance parcourue par une boule

Distance(m)

Temps (s)

1 2 3 4 50

Page 114

2RUBRIQUES PARTICULIÈRES


Chronique du passé (suite)

2. a) On peut estimer la valeur du coefficient G en calculantla moyenne des cinq rapports des valeurs de Faux valeurs correspondantes de .

G � 6,46 � 10–11

b) Pour résoudre ce problème, on doit utiliser l’équation F � G , où m1 représente la masse de l’objet et m2, la masse de la Terre, en kilogrammes.On a m1 � 10 et F � 98. En ce qui a trait àla constante G, on utilise la valeur trouvée en a),soit 6,46 � 10–11.Puisque l’objet se trouve sur la surface de la Terre,qui est approximativement une boule, on peut estimerque la distance d (en mètres) entre le centre de gravitéde l’objet et celui de la Terre est égale au rayon dela Terre, soit environ 6371 km ou 6,371 � 106 m.En substituant les valeurs aux variables, l’équationse réduit à :98 � (6,46 � 10 –11) � .

La résolution donne m2 ≈ 61,6 � 1023 ≈ 6 � 1024.Selon ces données, la masse de la Terre est doncapproximativement de 6 � 1024 kg.

Le monde du travail

1. a)

20 00018 00016 00014 00012 00010 000

8 0006 0004 0002 000

Mesures concernant différentes galaxies

Vitessed’éloignement

(km/s)

Distance(Mpc)

100 20 305 15 25 35

Page 117

10m2(6,371 � 106)2

m1m2d 2

m1m2d 2

Page 115 b) Plusieurs réponses possibles. Exemple :On peut modéliser cette situation à l’aide d’une fonctionaffine, en déterminant l’équation de la droitede régression des moindres carrés, qui est :y � 578,56x � 256.

c) Selon le modèle déterminé en b), la vitessed’éloignement sera d’environ 289 000 km/s.

2. a)

b) Un point qui représenterait le Soleil se trouveraitpratiquement sur l’origine du plan cartésien. En ajoutantce point, on constatera que le modèle quadratiquesemble le plus approprié. En supposant que le tauxluminosité/intensité (T ) est proportionnel au carréde la distance d, on obtient l’équation T � 0,504d 2.

c) Le taux luminosité/intensité de la céphéide est de2,6 � 1012 L�/sir, soit 20 000 � (7,8 � 10–9).Estimation de sa distance en années-lumière :

2,6 � 1012 � 0,504d 2

5,16 � 1012 � d 2

2,3 � 106 � dLa céphéide se trouve approximativement à 2,3 millionsd’années-lumière. Puisque notre galaxie n’aqu’un diamètre d’environ 100 000 années-lumière,la céphéide se trouve hors de celle-ci.

Vue d’ensemble

1. a)

b)

2,8

2,4

2

1,6

1,2

0,8

0,4

1re situationd (t )

t20 4 61 3 5 7 8 109 11

Page 118

8070605040302010

10 étoiles parmi les plus proches de la Terre

Luminosité/intensité(L�/sir)

Distance(années-lumière)

Soleil

100 5 15

46

F F �

7,1 � 10–10 10,633 6,68 � 10–11

1,4 � 10–9 21,267 6,58 � 10–11

1,7 � 10–9 28,355 6,00 � 10–11

3,3 � 10–9 51,903 6,36 � 10–11

4,7 � 10–9 70,313 6,68 � 10–11

m1m2

d 2

m1m2

d 2

32,300 � 10–11

6,46 � 10–11

Somme

Moyenne

1) 1 min 2) 2 min 3) 3 min 4) 5 min

1re situation 1 m 0,5 m 0,25 m 0,0625 m

2e situation 1,80 m 1,60 m 1,40 m 1,200 m


c) Par une fonction polynomiale de degré 1 qui se traduitpar d(t ) � 2 � 0,2t.

d) Les domaines et les images de ces fonctions sontdifférents. Dans la 1re situation, le domaine est [0, +�[alors que, dans la 2e situation, il est [0, 10]. Dans la 1re

situation, l’image est ]0, 2] alors que, dans la 2e

situation, elle est [0, 2]. Les deux fonctions sontdécroissantes sur leur domaine et ne sont jamaiscroissantes. Il n’y a que la fonction de la 2e situation quia un minimum, soit 0, alors que les deux fonctions ontle même maximum, soit 2. Les deux fonctions ont lamême ordonnée à l’origine, soit 2. Il n’y a que lafonction de la 2e situation qui a un zéro, qui est 10. Lesdeux fonctions sont positives sur leur domaine.

e) Dans la 1re situation, Nicolas et Carla ne se toucherontjamais, en théorie. En réalité, cela devrait se produirevers la huitième minute. Dans la 2e situation, cela seproduira à la dixième minute.

2. a) Cette fonction a pour domaine les nombres réels positifset pour image les nombres compris entre –3 et 2. Elle aune ordonnée à l’origine de 0, un maximum de 2 etun minimum de –3.Dans l’intervalle [0, 7[, la fonction est croissante de 0à 2 et d’environ 5,3 à 7. Elle est décroissante de 2 àenviron 5,3. Elle possède également deux zéros : 0 et 4.La fonction est positive de 0 à 4 et elle est négativede 4 à 7.Puisque la fonction présente un cycle de 7 jours,les propriétés décrites au paragraphe précédentse répètent indéfiniment pour chaque multiplede 7 jours.

b) Une infinité de zéros. Les zéros représentent les joursoù la céphéide a une magnitude moyenne.

c) 7 jours.d) Un peu après la 12e journée.

Vue d’ensemble (suite)

3. a) f (x) � (x � 2)2 � 1 et g (x) � –(x � 1)2 � 4b) Pour aucune valeur. Peu importe la valeur de x,

g (x) f (x).c) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Réflexion par rapport à l’axe des abscisses suivie

Page 119

2,8

2,4

2

1,6

1,2

0,8

0,4

2e situationd (t )

t20 4 61 3 5 7 8 109 11

d’une translation de 3 unités vers la droite etde 5 unités vers le haut.

d) Oui. Plusieurs réponses possibles selon la suitede transformation géométrique. Pour la réponse donnéeen c) :– la réflexion par rapport à l’axe des abscisses change

le signe du paramètre a et celui du paramètre k ;– la translation augmente la valeur du paramètre h

de 3 unités et celle du paramètre k de 5 unités.e) [–2, 1]f) Les images sont différentes : [1, +�[ pour la fonction f

et ]–�, 4] pour la fonction g. L’ordonnée à l’origine dela fonction f est 5 alors que celle de la fonction g est 3.La fonction g a 2 zéros (–1 et 3) alors que la fonction fn’en a pas. La fonction f a un minimum, 1, alors quela fonction g a un maximum, 4. La fonction f estdécroissante puis croissante alors que c’est le contrairedans le cas de la fonction g. La fonction f eststrictement positive, contrairement à la fonction g.

4. a) De 2 kg inclus à 3 kg exclus.b) Le colis de 4 kg coûtera 7 $ plutôt que 10 $ pour 2 colis

de 2 kg.c) C(m) � [m] � 3d) Plusieurs réponses possibles. Exemple :

Pour ]0, 1,2], le coût est de 4 $.Pour [1,2, 2,4[, le coût est de 5 $.Pour [2,4, 3,6[, le coût est de 6 $.Pour [3,6, 4,8[, le coût est de 7 $.Pour [4,8, 6[, le coût est de 8 $.


5. a)

b) Dans le cas de la fonction f, le domaine va de 0jusqu’aux alentours de 10 et l’image est [0, 425].Dans le cas de la fonction g, le domaine va de 0jusqu’aux alentours de 10 et l’image est [0, 1147,5].

c) Les deux fonctions sont croissantes et décroissantesdans la même partie de leur domaine. L’ordonnéeà l’origine de la fonction f est 25 et celle de

1250

1000

750

500

250

Phase de récupérationQuantité (g) de sucre et d’eau dans les muscles

Nombre de jours écoulés depuis l’épreuve

20 4 6

g

f

8 10

Page 120


la fonction g est 67,5. Les deux fonctions ont le mêmezéro, soit environ 10,15. Le sommet de la fonction fest (5, 425) et celui de la fonction g est (5, 1147,5).Les deux fonctions ont la droite x � 5 comme axede symétrie.

d) C’est après 5 jours que le gain sera maximal. L’athlèteaura alors accumulé 425 g de sucre et 1147,5 g d’eau,soit un total de 1572,5 g.

e) Une fonction de variation directe, car l’eau représentetoujours 2,7 fois la quantité de sucre.

6. a)

b) On modélise ces données par une fonction quadratiqueoù la distance est directement proportionnelle au carrédu temps. d (t ) � 500t 2

c) Selon le modèle, la distance parcourue sera de 5 m.


7. a) Pour 0 t 2, d (t ) � 80tPour 2 t 5, d (t ) � 160Pour 5 t 7, d (t ) � 240t � 1040Pour 7 t 10, d (t ) � t �

b)

c) La vitesse (m/min) de chacune des parties correspond autaux de variation dans l’équation de la droite associée.

d) En ce qui a trait à chacune des parties de la fonctiondécrite, une fonction constante modélise bien la relationentre la vitesse et le temps. Ainsi, si on représentait lelien entre la vitesse de Mathieu et le temps tout le longde son déplacement, on obtiendrait une fonctionen escalier.

e) 1) 66 m/min2) 100 m/min3) 32 m/min4) 128 m/min

23

8003

1603

Page 121

80

70

60

50

40

30

20

10

Chute d’une bille de 150 gDistance

(cm)

Temps (s)

0,10 0,2 0,3 0,4

f) Non. La moyenne des résultats en 1) et 2) est supérieureà la vitesse moyenne de Mathieu sur l’ensembledu trajet, soit 83 m/min par rapport à 80 m/min.La moyenne des résultats en 3) et 4) est égale àla vitesse moyenne de Mathieu sur l’ensemble du trajet,soit 80 m/min.

8. a)

b) Les deux fonctions ont le même domaine, [–3, 3].L’image de la fonction f se compose des nombres entiersde 0 à 9 inclusivement, alors que celle de la fonction gest {0, 1, 4, 9}. Les deux fonctions ont 0 pour ordonnéeà l’origine. Les deux fonctions ont des zéros, maisdifférents les uns des autres : pour la fonction f, il s’agitde ]–1, 1[ et pour la fonction g, [0, 1[. La fonction f estdécroissante dans [–3, 1[ et croissante dans ]–1, 3],tandis que la fonction g est décroissante dans le mêmeintervalle mais croissante dans [0, 3]. Les deux fonctionssont positives sur tout leur domaine.

c) Les deux fonctions sont égales si x est un nombre entierou s’il est un nombre réel compris entre 0 et ouentre 2 et .�5

�2

10987654321

–1

g (x ) = [x ]2

g (x )

x10 2 3–3 –2 –1

10987654321

–1

f (x ) = [x 2]f (x )

x10 2 3–3 –2 –1

13

48

Partie

Vitesse (m/min)

A B C D

80 0 240 5313

Vitesse de Mathieu

xf (x)g(x)

–3 –2,5 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

9 6 4 2 1 0 0 0 1 2 4 6 9

9 9 4 4 1 1 0 0 1 1 4 4 9



9. a)

b) 1) Oui. En ce qui a trait au temps de course,le minimum correspond au temps de course le plusrapide. Pour ce qui est de la température del’athlète, leminimum correspond à la températurenormale du corps.

2) Oui. En ce qui a trait au temps de course,le maximum correspond au temps de course le pluslent. Pour ce qui est de la température de l’athlète,le maximum correspond à la température corporellemaximale que l’athlète a atteinte au momentde l’échauffement.

3) Non, car l’athlète ne peut pas faire la course en 0 set il est impossible que sa température corporellesoit de 0 °C.

c) Entre 25 et 30 min.

Effet sur la températurede l’athlète

Durée del’échauffement

(min)

0 10 20 30 40 50

40

39

38

37

36

Température(°C)

Effet sur le temps de course

Durée del’échauffement

(min)

0 10 20 30 40 50

14

13,5

13

12,5

12

Temps(s)

Page 122 10. a) Une fonction partie entière transformée.b)

c) t (n) � 1,5[0,05n], où t (n) représente le tempsd’attente en minutes et n, le nombre de personnesqui nous précèdent dans la file.

d) t (n) � 1,5[0,05n] � 3, où t (n) représente le tempsd’attente en minutes et n, le nombre de personnesqui nous précèdent dans la file.


11. La conjecture est fausse. Si l’on donne une valeur de 2à n et de 4 à x, on obtient :–�– � � 1 � –[–2] � 1 � 2 � 1 � 1 et

� � � [2] � 2.

Comme 1 � 2, alors –�– � � 1 � � �.12. a) 5 m/s

b)

c) C'est la même valeur, soit 50.d) Durant les 2 premières secondes, la vitesse moyenne

est de 1 m/s, et durant les 5 premières secondes,de 2,5 m/s.

e) 2 m, 12,5 m et 50 m.

Vitesse d’une autoau départ d’un feu vert

Vitesse(m/s)

Temps(s)

0 2 4 6 8 101 3 5 7 9

10

8

6

4

2

xn

xn

42

42

Page 123

87654321

Temps d’attente dans une fileTemps

d’attente (min)

Nombrede personnes qui nous précèdent

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100


f)

Il s'agit d'une fonction quadratique, car la deuxièmedifférence est toujours constante, elle est de 1.

g) d(t) � t 2, où d (t) représente la distance parcourueen mètres et t, le temps écoulé en secondes.

h) 112,5 m

Banque de problèmes

13. La différence entre les deux distances parcourues est 5 km.Plusieurs démarches possibles. Exemple :

Durant la première expérience, la vitesse du train passe de200 km/h à 450 km/h. Le taux de variation de la vitesseest constant. La vitesse du train au milieu de la durée del’expérience, soit après 1 min, est donc de 325 km/h.Si un autre train, disons un train X, avait roulé à cettevitesse de 325 km/h pendant les 2 min de l’expérience,il aurait parcouru la même distance que le trainde Shanghai. En effet, la vitesse excédentaire de ce trainX durant la première minute serait exactement compenséepar la vitesse excédentaire du train de Shanghai durantla deuxième minute.Le même raisonnement s’applique dans la deuxièmeexpérience. Dans ce cas, le train de Shanghai parcourt

450

325

200

Vitesse(km/h)

Temps (min)0 1 2

Train de Shanghai

Train X

Page 124

12

Distance parcourue par une auto après le départ

à un feu vertDistance

parcourue(m)

Temps (s)0 2 4 6 8 101 3 5 7 9

504540353025201510

5

la même distance qu’un train Y roulant à une vitesseconstante de 175 km/h pendant 2 min.La différence entre les distances parcourues (en km)durant les deux expériences est donc égale à la différenceentre les distances parcourues par les trains X et Y, soit :325 � � 175 � � 150 � � 5.

Banque de problèmes (suite)

14. Plusieurs explications possibles. Exemple :En associant la valeur de chaque terme de la suite à sonrang, on obtient un ensemble de couples que l’on peutreprésenter graphiquement. Les couples sont (1, 1), (2, 2),(3, 3), (4, 8), (5, 9), (6, 14), (7, 19), (8, 20), …Leur représentation :

Les points de rang impair se trouvent sur une paraboleet ceux de rang pair, sur une droite. On en déduit quela suite initiale est formée de deux suites intercalées.1re suite (celle qui correspond aux points situés surla parabole) : 1, 3, 9, 19, 33, …Les différences entre deux termes successifs sont 2, 6, 10,14, … La deuxième différence est constante à 4. Cettesuite se poursuit donc avec les termes 51 (soit 33 � 18),73 (soit 51 � 22), 99 (soit 73 � 26), etc.

2e suite (celle qui correspond aux points situés surla droite) : 2, 8, 14, 20, …Les différences sont constantes et égales à 6. Cette suitese poursuit avec les termes 26, 32, 38, etc.On peut poursuivre la suite initiale avec les nombresen gras ci-dessous (les termes de la première suite sontsoulignés ; ceux de la deuxième sont en italique).1, 2, 3, 8, 9, 14, 19, 20, 33, 26, 51, 32, 73, 38, 99, …

15. Plusieurs réponses possibles. Exemple :Il faut que le récipient ait nécessairement la forme

4 4 4 4 4 4

2 6 10 14 18 22 26

1 3 9 19 33 51 73 99

Valeur du terme

Rang du terme0 1

2

Page 125

260

260

260

50


d’un prisme à base triangulaire, les deux bases de ceprisme étant placées comme dans l’exemple ci-dessous.

Dans cet exemple, la forme du récipient correspond à celled’un cube que l’on aurait coupé en deux, en équilibresur une arête.L’ouverture du récipient sur le dessus est un carréde 20 cm de côté. La hauteur du récipient est de 10 cm.Pour démontrer que ce récipient possède bien la propriétérecherchée, on suppose qu’il contient du liquide jusqu’àune hauteur h exprimée en centimètres.

Dans ce cas, le liquide aura la forme d’un prisme à basetriangulaire dont les bases sont des triangles rectanglesisocèles. La hauteur de ce prisme correspond à la distanceentre les deux bases, soit 20 cm.Soit V le volume du prisme formé par le liquide (en cm3).V � aire de la base � hauteur du prisme

� (2h)h � 2 � 20� 20h 2

Le volume est donc directement proportionnel au carréde la hauteur du liquide.

16. Plusieurs équations équivalentes sont possibles. Exemple :Soit x le nombre de l’horloge indiquant les secondeset n, le nombre entier affiché à l’écran. L’équation est :n � 10 000x � 10[1000x] � 1.Explication :Le nombre affiché à l’écran est 1 de plus que la valeurdu chiffre qui se trouve à la position des dix-millièmesdans le nombre indiquant les secondes. Pour obtenirla valeur de ce chiffre, on peut procéder de la façonsuivante.

Cette suite d’opérations correspond à l’expression10(1000x � [1000x]). En ajoutant 1 et en réduisantl’expression, on obtient la valeur de n, soit10 000x � 10[1000x] � 1.

20 cm

2h

h

20 cm20 cm

10 cm


17. Sophie se trouvait à une altitude de 380 m.Démarche :La variation d’altitude est égale à 0 dans l’intervalle[3,5, 4[, car la fonction est à la fois positive et négativedans cette partie du domaine. Cette fonction en escalierprend seulement deux autres valeurs, soit 60dans l’intervalle [0, 3,5[ et –35 dans l’intervalle [4, 10].Voici la représentation graphique de cette fonction :

De ce graphique, on peut déduire que Sophie, pouratteindre le sommet, est montée de 210 m, soit 60 � 3,5,puisqu’elle est restée à la même altitude pendant 0,5 minpour finalement redescendre à un rythme de 35 m/minpendant 6 min afin de revenir, probablement, à son pointde départ, puisque –0,35 � 6 � –210.Sachant que le sommet de la montagne se trouve àune attitude de 450 m, le point de départ se situe à240 m, soit 450 � 210. Pendant les 6 premières minutes,Sophie monte au sommet (variation d’altitude : +210 m)puis, après une pause, redescend à un taux de 35 m/minpendant 2 min (variation d’altitude : –70 m). Son altitudeaprès 6 min est donc de 380 m, soit 240 � 210 � 70.

18. La course en taxi coûtera 22,55 $.Plusieurs démarches possibles. Exemple :En roulant pendant un temps t à une vitesse v, le taxiparcourt une distance vt. C’est pourquoi le tarif selonla distance peut être déterminé à l’aide de l’expression0,05 [26(vt )], qui équivaut à 0,05 [(26v)t ]. Ce tarifsera supérieur ou égal au tarif selon le temps écoulési 26v � 599. Le taximètre fonctionne donc selon le tarif de la distance si v � , soit à partir d’une vitesseapproximative de 23,04 km/h.Durant le trajet, le taxi s’est arrêté pendant 5 minet roule moins vite que 23,04 km/h pendant 7 min,pour une durée totale de 12 min ou 0,2 h.Pendant le reste du temps, il parcourt 10 km,soit 40 � � 30 � .8

601060

23

50026

10

Taux de variation de l’altitude de Sophie

Taux de variation (m/min)

Temps écoulé(min)

1

Page 126

Multiplier le nombrede secondes par 1000.

Obtenir la partie fractionnairede la réponse en lui soustrayantsa partie entière.

Puisque cette partie fractionnairen’a qu’une seule décimale,il suffit de la multiplier par 10pour obtenir la valeur du chiffre.

1000 � 9,6075 � 9607,5

9607,5 � [9607,5] � 0,5

10 � 0,5 � 5

Exemple avec x � 9,6075


Si l’on ajoute la somme à payer à la prise en charge,le coût (en $) est donc de :2,75 � 0,05 [599 � 0,2] � 0,05 �26 � 10 � �2,75 � 5,95 � 13,85 � 22,55.


19. Plusieurs réponses possibles selon les données recueilliespar les élèves. Exemple :Le lien entre le temps et la distance atteinte par le jetd’eau est représenté graphiquement ci-dessous enconsidérant les données suivantes, tiréesd’une expérimentation.

Le choix du modèle : même si la corrélation linéaire estforte (r � –0,94), la forme du nuage de points suggèrequ’une ligne courbe serait plus appropriée qu’une droitepour modéliser la situation. En effet, le taux de variationde la distance atteinte par le jet en fonction du tempsa tendance à diminuer de plus en plus au fur et à mesureque l’expérience se déroule.Si l’on tient compte du contexte et des résultats del’expérience, le modèle doit avoir les propriétés suivantes :– il possède une ordonnée à l’origine (la distance initiale

atteinte par le jet) et une abscisse à l’origine (l’instantoù l’eau arrête de couler) ;

– la fonction est positive ;– la fonction est décroissante (taux de variation négatif,

qui se rapproche de plus en plus de 0 au fur età mesure que le temps s’écoule).

La courbe tracée dans le graphique ci-dessus (avec sonprolongement éventuel ) possède ces propriétés.

20. Les deux égalités sont :

[x ] � �x � � � [2x]

[x ] � [x + ] � [x + ] � [3x ]23

13

2

12

1

98,587,576,565,55

Distance atteinte par le jet d’eauDistance atteinte

(cm)

Temps (min)0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Page 127

23

Démonstration :Il est possible de décomposer x en sa partie entièreet fractionnaire.Soit x � n � r, où n ∈ � et r ∈ [0, 1[.

En remplaçant x par n � r dans l’égalité ,on obtient :[n � r ] � �n � r � � � [2(n � r )].

Puisque n est un nombre entier, cette équationéquivaut à :n � [r ] � n � �r � � � 2n � [2r ].

En soustrayant 2n de chaque côté et en utilisant le faitque [r] � 0, on obtient :

�r � � � [2r ].

On peut alors constater que cette dernière égalité estvraie pour toutes les valeurs de r, car :si 0 r , alors r � et 2r sont deux nombrespositifs inférieurs à 1 ;leur partie entière est donc égale à 0 et l’égalitéest vraie ;si r 1, alors r � et 2r sont deux nombressupérieurs à 1 mais inférieurs à 2 ; leur partie entière est donc égale à 1et l’égalité est encore vraie.Pour démontrer la deuxième égalité, on procède de la même façon.L’équation [n � r ] � �n � r � � � �n � r � � �[3(n � r )] équivaut à :n � [r ] � n � �r � � � n � �r � � � 3n � [3r ]

ou, encore, à �r � � � �r � � � [3r ].

Si 0 r , alors r � , r � et 3r sont troisnombres positifs inférieurs à 1 ;leur partie entière est donc égale à 0 et l’égalitédevient 0 � 0 � 0, ce qui est vrai ;si r , alors r � est un nombre positifinférieur à 1, et r � et 3r sontdeux nombres supérieurs à 1 mais inférieurs à 2 ;leur partie entière est donc égale à 0 ou à 1, selonle cas, et l’égalité devient 0 � 1 � 1, ce qui est vrai ;

si r 1, alors r � et r � sont deux nombressupérieurs à 1 mais inférieurs à 2, et 3r est un nombre supérieur à 2 maisinférieur à 3 ; leur partie entière est donc égale à 1ou à 2, selon le cas, et l’égalité devient 1 � 1 � 2,ce qui est vrai.

23

13

23

23

13

23

13

23

13

13

23

13

23

13

23

13

2

12

12

12

12

12

12

12

11

52

Temps(min)Distanceatteinte(cm)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

8,5 7,8 7 6,6 6,4 6,2 6 5,8 5,6 5,5 5,4

Documents

2 La modélisation à l’aide de la fonction