2008 Imed Ben Mahmoud Statistiques Introduction Les statistiques, pour quoi faire ? - Le recours à la statistique permet de décrire des phénomènes à laide

Imed Ben Mahmoud Statistiques 2008

Introduction

Les statistiques, pour quoi faireLes statistiques, pour quoi faire ? ?

- Le recours à la statistique permet de - Le recours à la statistique permet de décrire des phénomènes à l’aide de décrire des phénomènes à l’aide de mesures, de tableaux et de graphiques.mesures, de tableaux et de graphiques.

- Elle permet d’établir l’existence de lien Elle permet d’établir l’existence de lien entre certains phénomènes, d’expliquer entre certains phénomènes, d’expliquer des relations entre des indicateurs par un des relations entre des indicateurs par un modèle mathématique.modèle mathématique.

- Et enfin de généraliser des résultats - Et enfin de généraliser des résultats obtenus sur un petits groupes à obtenus sur un petits groupes à l’ensemble d’une population.l’ensemble d’une population.


Introduction

Il y a trois types d’analyse statistiqueIl y a trois types d’analyse statistique : :

- Résumé des données : c’est la plus commune, celle - Résumé des données : c’est la plus commune, celle qu’on trouve dans nos journaux. Elle décrit simplement qu’on trouve dans nos journaux. Elle décrit simplement les données. Le calcul de moyenne, d’écart type, de les données. Le calcul de moyenne, d’écart type, de pourcentage et leur représentation graphique entrent pourcentage et leur représentation graphique entrent dans cette catégorie.dans cette catégorie.

- Test statistique : un test permettra de répondre à une Test statistique : un test permettra de répondre à une question : « y a-t-il plus de cancer chez ceux qui question : « y a-t-il plus de cancer chez ceux qui fument ? » Les tests statistiques tranchent…avec une fument ? » Les tests statistiques tranchent…avec une fiabilité variable, mais que l’on peut connaître.fiabilité variable, mais que l’on peut connaître.

- Modélisation : enfin, les statistiques permettent de Modélisation : enfin, les statistiques permettent de décrire le monde de manière raisonnablement précise et décrire le monde de manière raisonnablement précise et de jouer aux devinettes. Sur les trois dernières années, de jouer aux devinettes. Sur les trois dernières années, aucun des étudiants qui ont entre 10 et 11 en licence aucun des étudiants qui ont entre 10 et 11 en licence n’ont eu le CAPEPS. On peut donc « parier » n’ont eu le CAPEPS. On peut donc « parier » raisonnablement que cette années, il en sera de même et raisonnablement que cette années, il en sera de même et donc déconseiller cette voie à ceux qui n’ont pas eu de donc déconseiller cette voie à ceux qui n’ont pas eu de mention du tout. Naturellement, rien n’est sûr et l’on mention du tout. Naturellement, rien n’est sûr et l’on peut se tromper, mais statistiquement, c’est rare.peut se tromper, mais statistiquement, c’est rare.


Définitions

Un Individu : (ou Sujet, ou Unité statistique) est Un Individu : (ou Sujet, ou Unité statistique) est l’objet étudié.l’objet étudié.

La Population : est l’ensemble de tous les La Population : est l’ensemble de tous les individus (effectif = N).individus (effectif = N).

Un Echantillon : est une fraction de la population Un Echantillon : est une fraction de la population (effectif = n).(effectif = n).

Une Variable (ou Caractère) est-ce qui est étudié Une Variable (ou Caractère) est-ce qui est étudié chez les individus (et qui a priori varie d’un chez les individus (et qui a priori varie d’un individu à l’autre).individu à l’autre).

Les Modalités (ou Ensemble fondamental) d’une Les Modalités (ou Ensemble fondamental) d’une variable sont toutes les valeurs que cette variable variable sont toutes les valeurs que cette variable peut prendre.peut prendre.


La statistique descriptive

Les renseignements que l’on détient sur une Les renseignements que l’on détient sur une population sont généralement inutilisables sous population sont généralement inutilisables sous leur forme brute. Il convient de procéder à des leur forme brute. Il convient de procéder à des regroupements, à des classements et à regroupements, à des classements et à l’établissement de tableaux statistiques en l’établissement de tableaux statistiques en distinguant les séries selon la nature du distinguant les séries selon la nature du caractère : qualitatif, quantitatif discontinu ou caractère : qualitatif, quantitatif discontinu ou continu.continu.

1.1. Une mise en ordre des résultats obtenus qui se Une mise en ordre des résultats obtenus qui se traduit par des tableaux ;traduit par des tableaux ;

2.2. Visualisation des regroupements opérés sous Visualisation des regroupements opérés sous forme de figure ;forme de figure ;

3.3. Analyse numérique aboutissant à des indices.Analyse numérique aboutissant à des indices.


Les variables

Les caractéristiques des individus portent le nom Les caractéristiques des individus portent le nom de variables parce qu’elles peuvent varier d’un de variables parce qu’elles peuvent varier d’un individu à l’autre. Le sexe, la profession, l’âge, le individu à l’autre. Le sexe, la profession, l’âge, le revenu, la situation matrimoniale, le niveau de revenu, la situation matrimoniale, le niveau de diplôme la consommation d’un biceps en oxygène, diplôme la consommation d’un biceps en oxygène, l’opinion politique sont des exemples de variables l’opinion politique sont des exemples de variables connues.connues.


Nature d’une variable

En pratique, toutes les variables n’ont pas les mêmes En pratique, toutes les variables n’ont pas les mêmes propriétés. Par exemple, on peut faire la moyenne des propriétés. Par exemple, on peut faire la moyenne des températures mais pas la moyenne des Oui/Non.températures mais pas la moyenne des Oui/Non.

Trois propriétés intéressent particulièrement les Trois propriétés intéressent particulièrement les statisticiens :statisticiens :

1. Arithmétique1. Arithmétique : peut-on additionner les observations : peut-on additionner les observations entre elles ?entre elles ?

2a. Comparaison2a. Comparaison : cela a-t-il du sens de dire q’une : cela a-t-il du sens de dire q’une observation est plus grande qu’une autre ?observation est plus grande qu’une autre ?

2b. Continuité2b. Continuité : le nombre de modalités est-il petit ou : le nombre de modalités est-il petit ou grand ?grand ?


Nature d’une variable


Variables qualitatives

Les variables qualitatives contiennent des données Les variables qualitatives contiennent des données qui s’évaluent avec des mots et non avec des qui s’évaluent avec des mots et non avec des nombres. Elles mesurent une qualité de l’individu et nombres. Elles mesurent une qualité de l’individu et non une quantité : le métier, le sexe, le groupe non une quantité : le métier, le sexe, le groupe sanguin, la mention au bac…sanguin, la mention au bac…

Les différentes formes que peut prendre une variable Les différentes formes que peut prendre une variable qualitative sont appelées modalités.qualitative sont appelées modalités.

La variable « sexe » possède deux modalités : sexe La variable « sexe » possède deux modalités : sexe masculin et sexe féminin, et l’on ne peut appartenir masculin et sexe féminin, et l’on ne peut appartenir qu’à une seule des modalités de cette variable.qu’à une seule des modalités de cette variable.

Ces variables qualitatives peuvent être nominales ou Ces variables qualitatives peuvent être nominales ou ordinales.ordinales.


Variables qualitatives

Une Une Variable nominaleVariable nominale est une variable dont est une variable dont on ne peut additionner, ni les ordonner les on ne peut additionner, ni les ordonner les modalités.modalités.

Une Une Variable ordonnéeVariable ordonnée est une variable dont est une variable dont on ne peut pas additionner les modalités, mais on ne peut pas additionner les modalités, mais dont on peut les ordonner.dont on peut les ordonner.

Alors qu’une variable nominale répond à une Alors qu’une variable nominale répond à une classificationclassification, une variable ordinale , une variable ordinale correspond à un correspond à un classementclassement..


Présentation des données

(variable qualitative)

Liste bruteListe brute liste triéeliste triée

Résultat

Perdu

Nul

Perdu

Perdu

Gagné

Perdu

Gagné

Nul

Nul

Perdu

Résultat

Perdu

Perdu

Perdu

Perdu

Perdu

Nul

Nul

Nul

Gagné

Gagné

Résultat Effectif

Perdu 5

Nul 3

Gagné 2

Total 10



(variables qualitatives)

Représentation graphique : Diagramme en bandeauxReprésentation graphique : Diagramme en bandeaux

Résultat Effectif

Perdu 5

Nul 3

Gagné 2

Total 10

0

1

2

3

4

5

6

Perdu Nul Gagné



(variable qualitative)

Représentations graphiques Représentations graphiques possibles : possibles :

-Le graphe en bandeauxLe graphe en bandeaux-Le graphe en points Le graphe en points -Le camembertLe camembert


Variables quantitatives (ou numérique)

Une variable est quantitative lorsque ses modalités Une variable est quantitative lorsque ses modalités sont de nature numérique, elles prennent donc la sont de nature numérique, elles prennent donc la forme de nombres réels. Le terme « valeur » remplace forme de nombres réels. Le terme « valeur » remplace ici celui de « modalités ».ici celui de « modalités ».

C’est la variable la plus utilisé. Elle comprend toutes C’est la variable la plus utilisé. Elle comprend toutes les mesures sur lesquelles il est possible de faire des les mesures sur lesquelles il est possible de faire des opérations et des comparaisons : performances opérations et des comparaisons : performances sportives, notes, nombre de membre de clubs, l’âge, la sportives, notes, nombre de membre de clubs, l’âge, la taille d’un individu, …taille d’un individu, …

Les variables numériques peuvent être continues ou Les variables numériques peuvent être continues ou discrètes et peuvent utiliser des échelles d’intervalles discrètes et peuvent utiliser des échelles d’intervalles ou de rapports.ou de rapports.


Variables quantitatives (ou numérique)

On dit qu’une variable est continue si elle peut On dit qu’une variable est continue si elle peut supposer un nombre infini de valeurs réelles. L’âge , la supposer un nombre infini de valeurs réelles. L’âge , la taille d’une personne, la température. Ainsi une taille d’une personne, la température. Ainsi une personne peut être âgée de 25 ans, 2 mois, 24 jours, personne peut être âgée de 25 ans, 2 mois, 24 jours, 11 heures, 15 minutes, 20 secondes…elle peut mesurer 11 heures, 15 minutes, 20 secondes…elle peut mesurer 1,958186…mètre.1,958186…mètre.

Les variables continues sont donc le plus souvent Les variables continues sont donc le plus souvent arrondies, et regroupé en « intervalles en classes », les arrondies, et regroupé en « intervalles en classes », les 25-30 ans.25-30 ans.

Contrairement aux variables continues, une variables Contrairement aux variables continues, une variables discrète ne peut revêtir qu’un nombre défini de valeurs discrète ne peut revêtir qu’un nombre défini de valeurs réelles. Le revenu, le score obtenu à un test, le nombre réelles. Le revenu, le score obtenu à un test, le nombre d’enfants. Un étudiant peut obtenir une note qui varie d’enfants. Un étudiant peut obtenir une note qui varie entre 0 et 20.entre 0 et 20.


L’échelle d’intervalles

Cette échelle de mesure quantitative utilise une unité Cette échelle de mesure quantitative utilise une unité de mesure normalisée et un zéro relatif qui de mesure normalisée et un zéro relatif qui permettent d'évaluer des écarts à l'aide de deux permettent d'évaluer des écarts à l'aide de deux opérations simples : l'addition et la soustraction. Le opérations simples : l'addition et la soustraction. Le zéro est dit « relatif » car il fixe, par convention, zéro est dit « relatif » car il fixe, par convention, l'origine de l'échelle. l'origine de l'échelle. Nature de Nature de

l'échelle l'échelle d'intervallesd'intervalles

Origine de Origine de l'échelle. zéro l'échelle. zéro

relatifrelatif

Unité de Unité de mesure mesure

normaliséenormalisée

Exemples d'applicationExemples d'application

La mesure du La mesure du tempstemps

Naissance du Naissance du Christ dans le Christ dans le calendrier calendrier grégoriengrégorien

L'année 1 anL'année 1 an il s’est écoulé 513 ans depuis la il s’est écoulé 513 ans depuis la découverte du Nouveau Monde découverte du Nouveau Monde par Christophe Colomb. (2005 -par Christophe Colomb. (2005 -1492 = 513)1492 = 513)

La mesure de la La mesure de la températuretempérature

Température à Température à laquelle l’eau laquelle l’eau gèle en degrés gèle en degrés CelsiusCelsius

1 degré Celsius 1 degré Celsius 1°C1°C

Hier, il y avait un écart de 12 Hier, il y avait un écart de 12 °C entre Cherbourg et °C entre Cherbourg et Marseille..Marseille..

(25 à Marseille - 13 à (25 à Marseille - 13 à Cherbourg = 12)Cherbourg = 12)

La mesure de La mesure de l’altitudel’altitude

Niveau de la merNiveau de la mer Le mètre 1mLe mètre 1m Le mont Blanc culmine à 4 807 Le mont Blanc culmine à 4 807 m.m.


L’échelle de rapport

Cette échelle de mesure est considérée comme la plus Cette échelle de mesure est considérée comme la plus précise car elle autorise tous les calculs arithmétiques: précise car elle autorise tous les calculs arithmétiques: addition, soustraction, multiplication et division. Elle se addition, soustraction, multiplication et division. Elle se distingue de l'échelle d'intervalles par le fait qu'elle distingue de l'échelle d'intervalles par le fait qu'elle utilise un « zéro absolu » qui renvoie à l'absence de la utilise un « zéro absolu » qui renvoie à l'absence de la caractéristique mesurée. caractéristique mesurée. Nature de Nature de

l’échelle de l’échelle de rapportsrapports

Origine de Origine de l’échelle: zéro l’échelle: zéro

absoluabsolu

Unité de Unité de mesure mesure

normaliséenormalisée

Exemples d’applicationExemples d’application

La tailleLa taille Absence de taille Absence de taille

0 cm0 cmLe centimètre 1 Le centimètre 1 cm cm

À 15 ans, Rémi mesurait 185 À 15 ans, Rémi mesurait 185 cm, il était 1,12 fois plus grand cm, il était 1,12 fois plus grand que son ami Thierry qui que son ami Thierry qui mesurait 165 cm.mesurait 165 cm.

(185 / 165 = 1,12)(185 / 165 = 1,12)

L’âgeL’âge Absence d’âge 0 Absence d’âge 0 anan

L’année 1 anL’année 1 an Cette personne est 3 fois plus Cette personne est 3 fois plus jeune que les personnes jeune que les personnes présentes à cette assemblée.présentes à cette assemblée.

Le nombre Le nombre d’enfants d'un d’enfants d'un couplecouple

Pas d’enfantPas d’enfant 1 enfant1 enfant Ce couple de 4 enfants à 2 fois Ce couple de 4 enfants à 2 fois plus d'enfants que l’ensemble plus d'enfants que l’ensemble des couples français.des couples français.



(variables quantitatives)

Variables quantitatives discontinues (ou discrètes)Variables quantitatives discontinues (ou discrètes)

Exemple : Au cours d’une journée de championnat de Exemple : Au cours d’une journée de championnat de France de football de première division, la distribution France de football de première division, la distribution des 20 clubs selon le nombre de buts marqués est la des 20 clubs selon le nombre de buts marqués est la suivante :suivante :

Nombre de buts

marqués

Effectifs des clubs ou

fréquence absolues

Effectifs cumulés absolus

Fréquences relatives

Fréquences cumulées relatives

0 10 10 0,5 0,5

1 2 12 0,1 0,6

2 2 14 0,1 0,7

3 5 19 0,25 0,95

4 0 19 0 0,95

5 0 19 0 0,95

6 1 20 0,05 1

Total 20 1

Fréquence relative :« n/N »




Variables quantitatives discontinues (ou discrètes)Variables quantitatives discontinues (ou discrètes)

Représentation graphique : Diagramme en BâtonsReprésentation graphique : Diagramme en Bâtons




Variables quantitatives continues :Variables quantitatives continues :

Exemple : On a mesuré la taille au Exemple : On a mesuré la taille au centimètre près de chacun des centimètre près de chacun des concurrents de l’épreuve du marathon concurrents de l’épreuve du marathon des jeux Olympiques d’Athènes en 2004. des jeux Olympiques d’Athènes en 2004. On dispose de 73 résultats.On dispose de 73 résultats.


Présentation des données(variables quantitatives)

Taille en cm

160 175 180 170

175 174 168 165

181 170 165 169

171 176 173 160

175 174 201 170

170 168 160 175

161 175 179 161

175 170 172 167

165 175 167 176

179 190 168 175

176 178 165 180

168 173 185 166

168 168 170 165

160 175 160 168

172 176 169 170

176 170 156 160

167 170 185

171 178 183

180 183 173

Valeurs limites de l’intervalle :

Min : 156Max : 201

Découpage en 12 classes de 4 cm




Variables quantitatives continues :Variables quantitatives continues :Classes Effectifs Fréquences

156 à 159 1 0,0137

160 à 163 8 0,1096

164 à 167 9 0,1233

168 à 171 20 0,2740

172 à 175 16 0,2191

176 à 179 9 0,1233

180 à 183 6 0,0822

184 à 187 2 0,0274

188 à 191 1 0,0137

192 à 195 0 0

196 à 199 0 0

200 à 203 1 0,0137

N = 73




Variables quantitatives continues :Variables quantitatives continues :

Représentation graphique : HistogrammeReprésentation graphique : Histogramme

Tailles en cm des concurents du marathon (JO 2004)

0

5

10

15

20

25

156 à159

160 à163

164 à167

168 à171

172 à175

176 à179

180 à183

184 à187

188 à191

192 à195

196 à199

200 à203


Analyse numérique

Cette partie de la statistique descriptive consiste Cette partie de la statistique descriptive consiste notamment à calculer quelques valeurs notamment à calculer quelques valeurs caractéristiques qui synthétisent l’ensemble des caractéristiques qui synthétisent l’ensemble des données. Ces valeurs typiques sont appelées données. Ces valeurs typiques sont appelées indices ou paramètres. On distingue les indices ou paramètres. On distingue les paramètres de tendance centrale et les paramètres de tendance centrale et les paramètres de dispersion.paramètres de dispersion.


Analyse numérique


Analyse numériqueLe Mode

C’est la valeur du caractère qui C’est la valeur du caractère qui correspond à l’effectif le plus grand ou correspond à l’effectif le plus grand ou la fréquence la plus importante. C’est la fréquence la plus importante. C’est le caractère le plus dominant.le caractère le plus dominant.


Analyse numériqueLa Médiane

Cas des séries à caractères discontinus ou Cas des séries à caractères discontinus ou données non regroupées :données non regroupées : - Si le nombre d’éléments est impair : (2 n + 1) ; Si le nombre d’éléments est impair : (2 n + 1) ; la Médiane est le rang (n + 1)la Médiane est le rang (n + 1)

-Si le nombre d’éléments est pair : (2 n) ; la Si le nombre d’éléments est pair : (2 n) ; la Médiane est déterminée dans l’intervalle séparant Médiane est déterminée dans l’intervalle séparant le terme de rang (n) et le terme de rang (n + 1)le terme de rang (n) et le terme de rang (n + 1)



Cas des séries à Cas des séries à caractères continus ou caractères continus ou données regroupées :données regroupées :

Il faut d’abord calculer les Il faut d’abord calculer les effectifs cumulés,effectifs cumulés,

Classes Effectifs Effectifs cumulés

156 à 159 1 1

160 à 163 8 9

164 à 167 9 18

168 à 171 20 38

172 à 175 16 54

176 à 179 9 63

180 à 183 6 69

184 à 187 2 71

188 à 191 1 72

192 à 195 0 72

196 à 199 0 72

200 à 203 1 73

N = 73



Cas des séries à caractères continus ou données Cas des séries à caractères continus ou données regroupées :regroupées : L’effectif total étant de n = 73, il faut rechercher la taille du sujet L’effectif total étant de n = 73, il faut rechercher la taille du sujet n / 2, soit 36,5. n / 2, soit 36,5.

En consultant la colonne des effectifs cumulés on voit que la En consultant la colonne des effectifs cumulés on voit que la position 36,5 se trouve dans la classe 168 – 171 (dont les bornes position 36,5 se trouve dans la classe 168 – 171 (dont les bornes exactes sont 167,5 – 171,5). 18 sujets mesurent moins de 167,5 exactes sont 167,5 – 171,5). 18 sujets mesurent moins de 167,5 cm (effectifs cumulés de la classe 164 – 167). cm (effectifs cumulés de la classe 164 – 167). Il nous manque donc pour atteindre la position 36,5 la différence Il nous manque donc pour atteindre la position 36,5 la différence entre 36,5 et 18, soit 18,5 sujets. On cherche donc dans la classe entre 36,5 et 18, soit 18,5 sujets. On cherche donc dans la classe 168 – 171, qui comprend 20 sujets, La taille du 18,5ème. 168 – 171, qui comprend 20 sujets, La taille du 18,5ème. Si les sujets sont répartis uniformément sa distance à la borne Si les sujets sont répartis uniformément sa distance à la borne inférieure de la classe est de 18,5 / 20 * 4 cm, l’intervalle de inférieure de la classe est de 18,5 / 20 * 4 cm, l’intervalle de classe étant de 4 cm. La valeur de la médiane est de ce fait égale classe étant de 4 cm. La valeur de la médiane est de ce fait égale à : à : 167,5 + 18,5 / 20 * 4 = 171,2 cm.167,5 + 18,5 / 20 * 4 = 171,2 cm.


Analyse numériqueLa Moyenne

Lorsque les données sont regroupées en Lorsque les données sont regroupées en classes on considère que chaque valeur de la classes on considère que chaque valeur de la classe est représentée par le centre de la classe est représentée par le centre de la classe.classe.

M = M = ni xi / ni xi / nini

M = 12553,5 / 73 =171,97M = 12553,5 / 73 =171,97


Analyse numériqueL’étendue

On appelle ’’étendue’’ d’une distribution On appelle ’’étendue’’ d’une distribution la mesure de l’intervalle séparant les la mesure de l’intervalle séparant les deux valeurs extrêmes de cette deux valeurs extrêmes de cette distribution.distribution.

E = Xmax – XminE = Xmax – Xmin

E = 201 – 156 = 45E = 201 – 156 = 45


Analyse numériqueLa Variance

(ni xi²) - ((ni xi²) - (ni xi)² / ni xi)² / NNS² = S² = ————————————————————————————

N - 1 N - 1


Analyse numériqueL’Ecart-type

S = racine de S²S = racine de S²


Analyse numériqueCoefficient de Variation

Coefficient de Coefficient de variationvariation

CV = S / M * 100, CV = S / M * 100, M ≠ 0M ≠ 0


Analyse numériqueLes quantiles


Caractéristiques de formes :

Asymétrie

Valeurs de Sk Type d'asymétrie

Négative Asymétrie négative

Nulle Distribution symétrique

Positive Asymétrie positive



Asymétrie

M = Me = Mo



Asymétrie

M > Me > Mo

Les observations présentent un étalement plus important sur le côté supérieur de la distribution



Asymétrie

M < Me < Mo

Les observations présentent un étalement plus important sur le côté inférieur de la distribution



Aplatissement d’une distribution

Si α4 > 3, la courbe est

leptokurtique (courbe aigüe)Si α4 = 3, la courbe est

mésokurtique (courbe normale)Si α4 < 3, la courbe est

platykurtique (courbe aplatie).

Documents

2008 Imed Ben Mahmoud Statistiques Introduction Les statistiques, pour quoi faire ? - Le recours à la statistique permet de décrire des phénomènes à laide