3e A - rorthais.math.free.frrorthais.math.free.fr/3e/cahier/3e_Cahier_eleve_chG1.pdf · 3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G1 – cahier élève Page 6 sur 12 H. Rorthais

3e A - programme 2012 mathmatiques ch.G1 cahier lve Page 1 sur 12

H. Rorthais (Collge N.D. de lAbbaye Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/

Ch.G1 : Thorme de Thals

1 THORME DE THALS

1.1 nonc du thorme Thorme 1 : thorme de Thals Soient deux droites (d) et (d' ) scantes en A.

B et M sont deux points de (d) distincts de A.

C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.

Si les droites (BC) et (MN) sont parallles,

alors AM

AB =

AN

AC =

MN

BC .

A

M N

B C

(d) (d')

ou M

N

B

C

A

(d)

(d')

Remarques 1 : M et N peuvent tre situs de l'autre ct de A par rapport B et C.

On parle alors d'une configuration en papillon ou croise . Le premier rapport comporte les noms des points de la droite (d), tandis que le second rapport comporte

les noms des points de (d' ).

Exercice n2 page 191 Rapports gaux Dans chacun des cas suivants, cris tous les rapports de longueurs gaux. Tu prciseras les droites parallles utilises. Les droites reprsentes en bleu sont parallles. a)

A

BC

E

D

b)

ED

FG

H

c) E F

G

H J

(BC) (AE) D (AB) (EC)

DB

DC =

DA

DE =

BA

CE

(GF) (HE) D (FE) (GH)

DF

DG =

DE

DH =

FE

GH

(EF) (HJ) (FH) (EJ) G

EG

GJ =

GF

GH =

EF

HJ

d)

A

S

C

O NE

B

e) [AT] est un

diamtre du cercle

. A

S

TD

O

f)

R

S

J

T

U

V

W

ACEO ACEO

(AO) (CN) S

(AC) (ON)

SA

SO =

SC

SN =

AC

ON

(SC) (OE) N

(CE) (OS)

NC

NS =

NE

NO =

CE

SO



(OC) (AE) B

(AC) (OE)

BA

BE =

BC

BO =

AC

OE

(OC) (AE) B

(AO) (CE)

BA

BE =

BO

BC =

AO

CE

(SO) (TD) A

AST AST

S (ST) (AS)

(OD) (AS) (OD) (ST)

AO

AS =

AD

AT =

OD

ST

(UT) (WV) J

(VT) (WU)

JT

JU =

JV

JW =

TV

UW

(TS) (RV) J

(TV) (RS)

JT

JS =

JV

JR =

TV

SR

(US) (RW) J

(RS) (UW)

JU

JS =

JW

JR =

UW

SR

Exercice n4 page 191 Des lacets Sur la figure ci-contre, les droites reprsentes en vert et en violet sont parallles deux deux. a) Dcris les deux configurations de Thals prsentes dans cette figure.

b) cris tous les rapports de longueurs gaux ZC

ZG . Tu prciseras les droites

parallles que tu as utilises. A

G

O

Z

I

AO

C

1 (AO) (GC) Z (OC) (GA)

2 (GC) (AI) Z (AC) (GI)

1 (OC) (GA)

ZC

ZG =

ZO

ZA =

CO

GA

2 (CA) (GI)ZC

ZG =

ZA

ZI =

CA

GI



1.2 Calcul dune longueur ex. 1 et 2 Exemple 1 :

Sur la figure ci-contre, les droites (CD) et (HT) sont parallles.

On donne DG = 25 mm ; GH = 45 mm ; CG = 20 mm et HT = 27 mm.

Calcule GT et CD.

Solution : Les droites (DH) et (CT) sont scantes en G. Les droites (CD) et (HT) sont parallles.

D'aprs le thorme de Thals, on a GC

GT =

GD

GH =

CD

HT , soit

20

GT =

25

45 =

CD

27 .

CD

T

H

G

Calcul de GT : 25 GT = 45 20.

GT = 45 20

25

donc GT = 36 mm.

Calcul de CD : 25 27 = 45 CD.

CD = 25 27

45

donc CD = 15 mm.

Exercice du cours n1 page 190 Dans chacun des cas suivants, calcule, si c'est possible, les valeurs de x, y et z indiques sur la figure.

a) A

M

T

S

3

7x

17,5

H

(MT) // (SH)

b)

10,5

R

C3

7

y

KS

O

(RO) // (SK)

c)

9

C

3

OH

K

I

2

z

(SM) (HT) A

(MT) (SH)

AM

AS =

AT

AH =

MT

SH

AT

AH =

MT

SH

3

10 =

x

17,510 x = 3 17,5 x =

3 17,5

10 = 5,25

(RK) (OS) C

(RO) (SK)

CR

CK =

CO

CS =

RO

SK

CR

CK =

CO

CS

3

7 =

y

10,57 y = 3 10,5 y =

3 10,5

7 = 4,5

z (OH) (IK)

Exercice du cours n2 page 190 Dans le triangle DOT, E est un point de [DO]. La parallle (OT) passant par E coupe [DT] en F. On sait que

DO = 6 cm ; DT = 5 cm ; OT = 8 cm et DF = 1 cm.

Calcule DE et EF.

(OE) (TF) D

(OT) (EF)

DE

DO =

DF

DT =

EF

OT

DE

6 =

1

5 =

EF

8

5 DE = 1 6 DE = 1 6

5 = 1,2 cm

5 EF = 1 8 EF = 1 8

5 = 1,6 cm

D

E

F

O

T

6 c

m

8 cm

1 cm5 cm

Exercice n3 page 191 Les points L, I, Z sont aligns, les points R, I, T aussi. Les droites (RZ) et (LT) sont parallles.

On donne RZ = 5 cm ; RI = 2 cm et IT = 3 cm.

a) Reproduis cette figure main leve et reportes-y les donnes de l'nonc. b) cris les rapports de longueurs gaux. c) Quelle(s) longueur(s) pourrais-tu calculer ?

IR

T

Z

L



3cm2cm

5 cm

IR

T

Z

L

(RT) (ZL) I

(RZ) (LT)

IR

IT =

IZ

IL =

RZ

TL

2

3 =

IZ

IL =

5

TLTL

Exercice n5 page 191

Construis un triangle NAF tel que NA = 5,6 cm ; FA = 4,2 cm et NAF = 70.

Place sur [NA) le point R tel que AR = 8 cm.

La parallle la droite (NF) passant par R coupe (FA) en T. a) Trace en couleur les droites parallles. cris les rapports de longueurs gaux.

b) Calcule la longueur AT. Vrifie sur ta figure.

(TF) (RN) A

(TR) (NF)

AT

AF =

AR

AN =

TR

FN

AT

4,2 =

8

5,6

AT = 4,2 8

5,6 = 6 cm

Exercice n6 page 191 Un triangle SEL est tel que SE = 6 cm et SL = 3 cm. Le point I est le point de [LS) tel que SI = 5,1 cm. La parallle la droite (EL) passant par I coupe (ES) en X. On a alors IX = 6,8 cm.

a) Trace une figure main leve. Code la figure avec les donnes de l'nonc. b) Calcule les longueurs SX et EL.



(LI) (EX) S

(IX) (EL)

SL

SI =

SE

SX =

LE

IX

3

5,1 =

6

SX =

EL

6,8

SX = 6 5,1

3 = 10,2 cm EL =

3 6,8

5,1 = 4 cm

Exercice n7 page 192 Soit PEM un triangle. A est un point du segment [PE] et B est un point du segment [PM] tels que BM = 30 cm ; AB = 30 cm ; ME = 50 cm. Les droites (AB) // (ME). l'aide du thorme de Thals, on obtient PM = 45 cm.

Vrai ou faux ? Explique ta dmarche.

(EA) (BM) P

(AB) (EM)

PA

PE =

PB

PM =

AB

EM

PA

PE =

PB

45 =

30

50

PB = 45 30

50 =

(5 9) (3 10)

5 10 = 9 3 = 27 cm

PM = PB + BM = 27 + 30 = 57 cm

PM = 45 cm

P

B

M

E

A 30 cm

30

cm50 cm

45

cm

Exercice n10 page 192 la recherche des parallles perdues BANC est un paralllogramme tel que BA = 4 cm ; BC = 6 cm et AC = 8 cm. P est le point de [AC] tel que AP = 2,4 cm.

La parallle (BC) passant par P coupe [CN] en O.

a) Trace une figure en vraie grandeur. b) Montre que les droites (PO) et (AN) sont parallles.

c) Calcule les longueurs CO et PO.



AB

CN

P

O

@options;

@figure;

A = point( -3.23 , 1.5 );

cerayA4 = cerclerayon( A , 4 )

{ i };

B = pointsur( cerayA4 , 0 );


{ i };

cerayB6 = cerclerayon( B , 6 ) { i

};

C = intersection( cerayB6 ,

cerayA8 , B );

t_BA = translation( B , A )

{ noir };

N = image( t_BA , C );

sBC = segment( B , C );

sCN = segment( C , N );

sNA = segment( N , A );

sAC = segment( A , C );

P = pointsur( sAC , 0.3 );

paraPsBC = parallele( P , sBC );

R = intersection( sCN , paraPsBC );

sAB = segment( A , B );

BANC (AN) (BC) (PO) (BC)

(PO) (AN)

(AP) (NO) C

(PO) (AN)

CP

CA =

CO

CN =

PO

AN

5,6

8 =

CO

4 =

PO

6

CO = 4 5,6

8 = 2,8 cm PO =

6 5,6

8 = 4,2 cm

Exercice n15 page 193 Scurit routire D'aprs le code de la route (Article R313 - 3) :

30m

1,5m

60 cm

Mur

La figure n'est pas l'chelle.

Les feux de croisement d'une voiture permettent d'clairer efficacement la route, la nuit par temps clair, sur une distance minimale de 30 m.

Afin de contrler rgulirement la porte des feux de sa voiture, Jacques veut tracer un repre sur le mur au fond de son garage.

Les feux de croisement sont 60 cm du sol. quelle hauteur doit-il placer le repre sur son mur pour pouvoir rgler correctement ses phares ?

HM

(PH) (SM) L

(PS) (HM)

LM

LS =

LH

LP =

HM

PS

30 1,5

30 =

LH

LP =

HM

0,6

HM = 0,6 28,5

30 = 0,57 m

57 cm



1.3 Montrer que deux droites ne sont pas parallles ex. 3 THORME 2

Soient (d) et (d' ) deux droites scantes en A.

B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.

Si AM

AB

AN

AC , alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallles.

Exemple 2 :

Sur la figure ci-contre, TR = 11 cm ; TS = 8 cm ; TM = 15 cm et TE = 10 cm.

Montre que les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallles. Solution : Les droites (ES) et (MR) sont scantes en T. M

E

T

RS

D'une part, TR

TM =

11

15 =

22

30 . D'autre part,

TS

TE =

8

10 =

24

30 .

On constate que TR

TM

TS

TE .

Or, si les droites (RS) et (ME) taient parallles, d'aprs le thorme de Thals, il y aurait galit.

Comme ce n'est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallles.

Exercice du cours n3 page 190 Montre que les droites bleues sur les figures ci-dessous ne sont pas parallles. a)

3 5

B

A

C7 9

D E

b) R

8 3

U

T

V

2018

S

(DB) (EC) A

AB

AD =

3

3 + 7 =

3

10 =

21

70

AC

AE =

5

5 + 9 =

5

14 =

25

70

AB

AD

AC

AE

(BC) (DE)

(RV) (SU) T

TR

TV =

18

3 = 6

TS

TU =

20

8 = 2,5

TR

TV

TS

TU

(RS) (UV)

Exercice n20 page 194 ABC un triangle tel que BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 cm et AB = 2,5 cm.

a) Fais une figure. Place le point D sur [AC) tel que CD = 6 cm et le point E sur [BC) tel que CE = 9 cm.

b) Explique pourquoi les droites (ED) et (AB) ne sont pas parallles.

C

A

B

D

E

@options;

@figure;

C = point( 0.13 , 0.93 );

cerayC2.4 = cerclerayon( C , 2.4 )

{ i };

A = pointsur( cerayC2.4 , 67.75 );

cerayC3.3 = cerclerayon( C , 3.3 )

{ i };

cerayA2.5 = cerclerayon( A , 2.5 )

{ i };

B = intersection( cerayC3.3 ,

cerayA2.5 , 2 );


demiAC = demidroite( A , C )

{ i };

demiBC = demidroite( B , C ) { i };

cerayC6 = cerclerayon( C , 6 )

{ i };

D = intersection( demiAC ,

cerayC6 , 1 );

cerayC9 = cerclerayon( C , 9 )

{ i };

E = intersection( demiBC ,

cerayC9 , 1 );

sAD = segment( A , D );

sBE = segment( B , E );

sED = segment( E , D );

(AD) (BE) C

CB

CE =

3,3

9 =

33

90 =

11

30



CA

CD =

2,4

6 =

24

60 =

2

5 =

12

30

CB

CE

CA

CD

(AB) (ED)

(AB) (ED)

Exercice n22 page 194 ABCDEFGH est un paralllpipde rectangle tel que AB = 7 cm ; AD = 3 cm et AE = 2,5 cm.

Le point K appartient l'arte [GH] et le point L appartient l'arte [GF].

On donne GK = 6 cm et GL = 2,6 cm. Les droites (KL) et (HF) sont-elles parallles ?

Justifie ta rponse. A B

CD

EF

GHK

L

La figure n'est pas en

vraie grandeur.

(KH) (LF) G

GL

GF =

2,6

3 =

26

30 =

13

15 =

91

105

GK

GH =

6

7 =

90

105

GL

GF

GK

GH

(KL) (HF)

(KL) (HF)

2 RCIPROQUE DU THORME DE THALS ex. 4 THORME 3 : rciproque du thorme de Thals Soient (d) et (d' ) deux droites scantes en A.

B et M sont deux points de (d) distincts de A. C et N sont deux points de (d' ) distincts de A.

Si les points A, B, M d'une part, et les points A, C, N d'autre part, sont aligns dans le mme ordre et si AM

AB =

AN

AC , alors les droites (BC) et (MN) sont parallles.

Remarques 2 :

Attention, il ne suffit pas de vrifier l'galit des rapports : il faut aussi s'assurer que les points sont bien placs dans le mme ordre.

Attention, il ne faut pas utiliser les valeurs approches pour affirmer que deux quotients sont gaux.

Exemple 3 : Les droites (LA) et (HT) sont-elles parallles ?

Solution :

L

6 3

H

M

A

84

T

D'une part,

MH

MA =

4

3 . D'autre part,

MT

ML =

8

6 =

4

3 .

On constate que MH

MA =

MT

ML . De plus, les points A, M, H d'une part, et les points L, M, T d'autre part, sont

aligns dans le mme ordre. Donc d'aprs la rciproque du thorme de Thals, les droites (AL) et (HT) sont parallles.

Exercice du cours n4 page 190 Montre que les droites bleues sur les figures ci-dessous sont parallles. a)

M

3

B

A

N

5 11,25

6,75

C

b)

M

20 7

L

T

J

93,15

N

(MB) (NC) A

AB

AM =

3

3 + 5 =

3

8 = 0,375

AC

AN =

6,75

6,75 + 11,25 =

6,75

18 = 0,375



AB

AM =

AC

ANA B M A C N

(BC) (MN)

(LM) (NT) J

JL

JM =

3,15

7 = 0,45

JN

JT =

9

20 = 0,45

JL

JM =

JN

JTL J M N J T

(LN) (TM)

Exercice n18 page 193 Prenons de bonnes habitudes ABC est un triangle. D est un point de [AB] et E est un point de (AC) n'appartenant pas [AC].

On donne AB = 4 cm ; AC = 3 cm ; AD = 1,2 cm et AE = 0,9 cm. a) Alixien a crit sur sa copie :

Les droites (EC) et (DB) sont scantes en A.

D'une part, AD

AB =

1,2

4 =

12

40 =

3

10 .

D'autre part, AE

AC =

0,9

3 =

9

30 =

3

10 .

Comme AD

AB =

AE

AC , alors les droites (BC) et (ED) sont parallles.

Quel thorme Alixien a-t-il utilis ? b) Fais une figure. c) La rponse d'Alixien est-elle juste ? Sinon, rdige la bonne rponse.

E

C

ABD@options;@figure; E = point( -1.87 , 1.5 );

cerayE3.9 = cerclerayon( E , 3.9 )

{ i };

C = pointsur( cerayE3.9 , 30 );

sEC = segment( E , C );

A = pointsur( sEC , 0.33 );


{ i };

B = pointsur( cerayA4 , 0 );


D = pointsur( sAB , 0.3 );

sED = segment( E , D );

sBC = segment( B , C );

E A C D A B

(BC) (ED)

Exercice n19 page 194 Paralllisme Dmontre que les droites (MN) et (ST) sont parallles.

On donne OM = 2,8 cm ; ON = 5,4 cm ; OS = 2,7 cm et OT = 1,4 cm. O

M

N

ST

S O N T O M

OS

ON =

2,7

5,4 = 0,5

OT

OM =

1,4

2,8 = 0,5

OS

ON =

OT

OM

(ST) (MN)



Exercice n23 page 194 On donne les longueurs suivantes AB = 6,3 cm ; BC = 4,9 cm ; AE = 16 cm et

DE = 7 cm.

Les droites (BD) et (CE) sont-elles parallles ? Justifie ta rponse. AD

E

BC

A B C A D E

AB

AC =

6,3

6,3 + 4,9 =

6,3

11,2 =

63

112 =

9

16

AD

AE =

16 7

16 =

9

16

AB

AC =

AD

AE

(BD) (CE)

Exercice n24 page 194 L'unit de longueur choisie est le mtre. a) Pour x = 2,5, les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallles. Vrai ou faux ? Explique ta

dmarche. b) Pour x = 1, les droites (AB) et (DC) ne sont pas parallles. Vrai ou faux ? Explique ta

dmarche.

A

BD

C

E

21,

5

xx + 2

ED

EB =

2,5 + 2

2 =

4,5

2 =

9

4

EC

EA =

1,5

2,5 =

3

5

ED

EB

EC

EA

(DC) (AB)

(DC) (AB)

D E B C E A

ED

EB =

1+ 2

2 =

3

2

EC

EA =

1,5

1 =

3

2

ED

AB =

EC

EA

(DC) (AB)

Exercice n26 page 194 Extrait du Brevet Pour consolider un btiment, des charpentiers ont construit un contrefort en bois.

(Sur le schma ci-contre, les mesures sont en mtre.) a) En considrant que le montant [BS] est perpendiculaire au sol, calculer la longueur AS.

b) Calculer les longueurs SM et SN. c) Dmontrer que la traverse [MN] est bien parallle au sol.

S

1,8

M N

A B

6

sol2,5

1,95

ABS

AS2 = AB2 + BS2

AS2 = 2,52 + 62

AS2 = 6,25 + 36

AS2 = 42,25

AS = 42,25 = 6,5 m



SM = 6,5 1,95 = 4,55 m

SN = 6 1,8 = 4,2 m

S M A S N B

SN

SB =

4,2

6 = 0,7

SM

SA =

4,55

6,5 = 0,7

SN

SB =

SM

SA

(MN) (AB)

3 AGRANDISSEMENTS OU RDUCTIONS ex. 5 DFINITION

Lorsque deux figures ont la mme forme et des longueurs proportionnelles, on dit que l'une est un agrandissement ou une rduction de l'autre.

Remarque :

Si est un agrandissement de ' alors ' est une rduction de .

Le coefficient de proportionnalit k est le rapport d'agrandissement (k > 1) ou de rduction (0 < k < 1). Exemple 4 :

La pyramide SIJKL est une rduction de la pyramide SABCD.

On donne AB = 6 cm ; SA = 15 cm et SI = 5 cm.

a) Calcule IJ.

b) Que dire des angles SIJ et SAB ?

Solution : a) On sait que la pyramide SIJKL est une rduction de rapport k de la

pyramide SABCD.

Donc les longueurs des deux pyramides sont proportionnelles. A B

C

S

D

IJ

L M K

O

[SI] tant une rduction de rapport k de [SA], on en dduit que : k = SI

SA =

5

15 =

1

3 .

De mme, [IJ] est une rduction de rapport 1

3 de [AB]. Donc IJ = k AB =

1

3 AB =

1

3 6 = 2 cm.

b) Les angles SIJ et SAB ont la mme mesure car le triangle SIJ est une rduction du triangle SAB.

Exercice du cours n5 page 190

Soit TRAN un losange tel que TR = 5 cm et tel que l'angle TRA mesure 30.

On sait que JEDI est un agrandissement de rapport 3

2 de TRAN. Construis JEDI.

JEDI TRAN3

2JE =

3

2 TR =

3

2 5 = 7,5 cm

JEDI 7,5 cm

JED = 30

JEDI JE = 7,5 cm JED = 30

Exercice n27 page 194 Pour chaque figure ci-dessous, indique si le triangle OMN est une rduction ou un agrandissement du triangle OAB ou

ni l'un ni l'autre. Justifie ta rponse. a)

O

M

NA

B

b)

O N

M

A

B

c) O

A

B M3

62

5

N



(MB) (AN) O

(MN) (AB) (MN) (AB)

ON

OA =

OM

OB =

MN

AB

OMN OAB

OMN OAB

(MA) (NB) O

OAB OMN (AB) (MN)

OA

OM =

OB

ON =

AB

MN

OMN OAB

OMN OAB

A O N B O M

OB

OM =

3

6 =

1

2

AB

MN =

2

5

OB

OM

AB

MN

(MN) (AB)

(MN) (AB)

AOB OMN

OMN OAB

Exercice n28 page 195 Grandir

a) Construis un paralllogramme RAVI tel que RI = 6 cm ; IV = 4 cm et RIV = 130.

b) Construis un agrandissement de rapport 5

4 du paralllogramme RAVI.

c) Quelle est la nature de la figure obtenue ? Justifie ta rponse. d) Dduis-en la mesure des angles de la figure agrandie. Justifie.

R' A' V' I'

R' I' = 3 5

4 =

6 5

4 =

30

4 = 7,5 cm I' V' = 4

5

4 =

4 5

4 = 5 cm

RIV = RAV = 130 IRA = IVA = 180 130 = 50

IR

VA

@options;

@figure;

I = point( -4.5 , -1.1 );

cerayI6 = cerclerayon( I , 6 )

{ i };

R = pointsur( cerayI6 , 358.42 );

sIR = segment( I , R );

daIsIR = droiteangle( I , sIR , 130 )

{ i };

cerayI4 = cerclerayon( I , 4 )

{ i };

V = intersection( daIsIR , cerayI4 ,

1 );

sIV = segment( I , V );

t_IR = translation( I , R ) { noir };

A = image( t_IR , V );

sVA = segment( V , A );

sAR = segment( A , R );

sVI = segment( V , I );

Documents

3e A - rorthais.math.free.frrorthais.math.free.fr/3e/cahier/3e_Cahier_eleve_chG1.pdf · 3e A - programme 2012 –mathématiques – ch.G1 – cahier élève Page 6 sur 12 H. Rorthais