3e - programme 2012 mathématiques ch.N1 Ch.N1 : …rorthais.math.free.fr/3e/cahier/3e_Cahier_eleve_chN1.pdf · 357 = 29 12 + 9 29 9 2) Pose la division euclidienne de 631 par 17

3e - programme 2012 –mathématiques – ch.N1 – cahier élève Page 1 sur 12

H. Rorthais (Collège N.D. de l’Abbaye à Nantes) http://ndabbaye-nantes.loire-atlantique.e-lyco.fr/

Ch.N1 : Nombres entiers et rationnels

Activité 2 page 16 Division euclidienne 1) On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne ?

Combien de CD restera-t-il après le partage ?

357 = 29 12 + 9 29 9

2) Pose la division euclidienne de 631 par 17 puis écris 631 sous la forme 17 k + n où k et n sont des entiers naturels

et n < 17.

Dans cette opération, comment s'appellent les nombres 631 ; 17 ; k et n ?

631 17

121

2

37

631 = 17 × 37 + 2

631 17 37 2

3) On considère l'égalité suivante : 983 = 45 21 + 38. Utilise-la pour répondre aux questions suivantes, en justifiant et sans effectuer de division. a) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 983 par 45 ? Par 21 ?

38 < 45 983 45 21 38

38 = 21 + 17 17 < 21 983 21 45 + 1 = 46

38 – 21 = 17

b) Quels sont le quotient et le reste de la division euclidienne de 990 par 45 ? De 953 par 21 ?

7 7 990

45 990 45 21 + 1 = 22 0

953 = 983 – 30 953 = 45 × 21 + 8

953 21 45 8

4) Que peux-tu dire du reste de la division euclidienne d'un multiple de 32 par 32 ? Énonce une règle générale. La réciproque est-elle vraie ?

5) Histoires de restes, toujours…

a) Le reste dans la division euclidienne de m par 7 est 4 (m est un entier naturel).

Quelles valeurs peut prendre m ? Quelle forme a-t-il ?

m 7 1 + 4 = 11 7 2 + 4 = 18 7 3 + 4 = 25

7q + 4 q

b) Explique pourquoi tout nombre entier naturel peut s'écrire sous la forme 13k + p où k et p sont des entiers avec

p compris entre 0 et 12.

13 k p

0 12

1 DIVISION EUCLIDIENNE

1.1 Multiples et diviseurs ex. 1 et 2

DÉFINITION 1

a est un entier naturel et b est un entier naturel non nul.

Si a = b k (ou a : b = k) où k est un entier naturel,

alors a est un multiple de b ou a est divisible par b ou b est un diviseur de a ou b divise a.

Exemple 1 : 1 274 est-il un multiple de 49 ? 1 974 est-il divisible par 84 ?



1 274 : 49 = 26, donc 1 274 = 49 × 26.

1 274 est donc un multiple de 49 (et de 26). On dit également que : 1 274 est divisible par 49 (et par 26) ; 49 est un diviseur de 1 274 (26 l'est aussi) ; 49 divise 1 274 (26 divise aussi 1 274).

1 974 : 84 = 23,5.

23,5 n'est pas un entier naturel, 1 974 n'est donc pas divisible par 84. On peut dire également que : 84 n'est pas un diviseur de 1 974 ; 1 974 n'est pas un multiple de 84.

Exercice du cours n°1 page 22 Établir la liste des diviseurs des entiers suivants : 60, 43 et 36.

60 = 1 60 = 2 30 = 3 20 = 4 15 = 5 12 = 6 10

60 1 2 3 4 5 6 10 12 15 20 30 60

43

43 1 43

36 = 1 36 = 2 18 = 3 12 = 4 9 = 6 6

36 1 2 3 4 6 9 12 18 36

Exercice du cours n°2 page 22 Démontrer que le produit de deux entiers pairs est un multiple de 4.

n = 2p m = 2p' p p'

nn' = 2p 2p' = 4pp'

4

Exercice n°1 page 23 Vocabulaire Réponds aux questions suivantes en justifiant. a) 4 est-il un diviseur de 28 ? b) 32 est-il un multiple de 6 ?

c) 4 divise-t-il 18 ? d) 35 est-il divisible par 5 ?

4 × 7 = 28 4 28

32 = 6 × 5 + 2

32 6 32 6

18 : 4 = 4,5

4,5 4 18

35 : 5 = 7 35 5

Exercice n°2 page 23 Dans chaque cas, écris quatre phrases utilisant les nombres et l'un des mots suivants : diviseur, multiple, divisible, divise. a) 70 et 210 b) 186 et 15 c) 192 et 48

210 = 70 × 3

70 210

210 70

210 70

70 210

186 : 15 = 12,4

15 186

186 15



186 15

15 186

192 = 48 × 4

48 192

192 48

192 48

48 192

Exercice n°3 page 23 Critères de divisibilité Parmi les nombres : 12 ; 30 ; 27 ; 246 ; 325 ; 4 238 et 6 139, indique ceux qui sont divisibles : a) par 2 b) par 3 c) par 5 d) par 9

2 12 30 246 4 238

3 12 30 27 246

5 30 325

9 27

Exercice n°4 page 23

On s'intéresse aux nombres de trois chiffres de la forme 65u où u représente le chiffre des unités.

Quelles sont les valeurs possibles de u pour obtenir :

a) un multiple de 2 ? b) un nombre divisible par 9 ?

2 0 2 4 6 8

u 0 2 4 6 8

9 9 6 + 5 + u = 11 + u

9

u = 7

Exercice n°7 page 23 Écris la liste de tous les diviseurs de : a) 32 b) 67 c) 81 d) 144

1 2 4 8 16 32

1 67

1 3 9 27 81

1 2 3 4 6 8 9 12 16 18 24 36 48 72 144

Exercice n°9 page 23 Séminaire Lors d'un séminaire, 324 personnes doivent se répartir dans divers ateliers. Tous les ateliers doivent avoir le même effectif, compris entre 30 et 60 personnes. Quelles sont les différentes possibilités ?

324 30 60

36 54

1.2 Division euclidienne ex. 3 et 4

DÉFINITION 2

a b

r q

Effectuer la division euclidienne de a par b, c'est trouver deux entiers naturels q et r tels que :

a = b × q r avec r b, où q est le quotient (entier) et r le reste de cette division euclidienne.

Exemple 2 :



a) Effectuer la division euclidienne de 183 par 12.

b) 278 = 6 × 45 8 : quelle(s) division(s) euclidienne(s) cette égalité représente-t-elle ?

a) 183 12

63 3

15

On peut donc écrire : 183 = 12 × 15 3 avec 3 12.

b) 8 45 mais 8 6 donc l'égalité représente la division euclidienne de 278 par 45 mais ne peut pas

représenter celle de 278 par 6.

Exercice du cours n°3 page 22 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes : 345 par 74 et 6 675 par 89.

345 74

49 4 345 = 74 4 + 49 49 < 74

6 675 89

445

0

75 6 675 = 89 75 + 0 0 < 89

Exercice du cours n°4 page 22 325 = 5 × 52 65.

Sans effectuer de division, donner le quotient et le reste de la division euclidienne de 325 par 52.

325 52 52

325 = 5 × 52 + 65 65 325 52

325 = 5 × 52 + 65 = 5 × 52 + (52 + 13) 325 = 6 × 52 + 13 325

52 6 13

Exercice n°13 page 23 Posée, en ligne a) Donne le quotient et le reste de la division euclidienne de :

63 par 4 ; 218 par 12 ; 3 245 par 135 ; 32 par 50. b) Dans chaque cas, écris l'égalité a = bq + r, où q et r sont des entiers naturels et r < b.

q = 15

r = 3

63 4

23

3

15

q = 18

r = 2

218 12

98

2

18

q = 24

r = 5

3 245 135

545 5

24

q = 0

r = 32

32 50

32 0

63 = 4 × 15 + 3

218 = 12 × 18 + 2

3 245 = 135 × 24 + 5

32 = 50 × 0 + 32

Exercice n°14 page 23 À la recherche du reste Dans la division euclidienne de 2 654 par 12, le quotient est 221. Sans effectuer la division, détermine le reste.

221 × 12 = 2 652

r = 2 654 – 2652 = 2

2 654 12

r

221

Exercice n°15 page 24 À la recherche du dividende Dans une division euclidienne, le diviseur est 14, le quotient est 18 et le reste est 5. Quel est le dividende ?

14 × 18 + 5 = 257 d 14



257

5

18

Exercice n°17 page 24 On donne l'égalité : 325 = 78 × 4 + 13. a) Sans faire de division, détermine le quotient et le reste de la division euclidienne de 325 par 78 ? b) 78 est-il le quotient de la division euclidienne de 325 par 4 ? Justifie.

325 78 4 13 325 78

13

4

13

13 = 4 × 3 + 1 325 = 81 × 4 + 1

325 4 81 1

325 4

13 1

78

81

Exercice n°18 page 24 À la Bibliothèque Dans une bibliothèque, il y a 360 livres qu'il faut ranger sur des étagères contenant 22 livres chacune. Combien faut-il d'étagères pour ranger tous ces livres ?

360 = 22 × 16 + 8

17 16

8

360 22

140

8

16

2 PGCD DE DEUX ENTIERS NATURELS ex. 5 à 8 DÉFINITION 3

Le PGCD de deux entiers naturels non nuls est leur Plus Grand Commun Diviseur.

Remarques :

a et b étant des entiers naturels, si b divise a alors PGCD(a ; b) = b.

a et b étant des entiers naturels, PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a).

THÉORÈME 1

a et b sont deux entiers naturels non nuls.

Si a b, alors PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a – b).

Exemple 3 : Détermine le PGCD (189 ; 693) par la méthode des soustractions successives.

693 189 et 693 − 189 = 504 donc PGCD (693 ; 189) = PGCD (189 ; 504). On cherche maintenant PGCD (189 ; 504) : on applique à nouveau la propriété.

504 189 et 504 − 189 = 315 donc PGCD (504 ; 189) = PGCD (189 ; 315).

On poursuit avec 189 et 315 et ainsi de suite :

315 189 et 315 − 189 = 126 donc PGCD (315 ; 189) = PGCD (189 ; 126).

189 126 et 189 − 126 = 63 donc PGCD (189 ; 126) = PGCD (126 ; 63).

Or 63 est un diviseur de 126 (126 = 63 × 2) donc PGCD (126 ; 63) = PGCD (693 ; 189) = 63.

Exercice du cours n°5 page 22 16 est-il un diviseur commun à 64 et 160 ? Est-il leur PGCD ?

64 = 16 4 160 = 16 10 16 64 160

64 = 32 2 160 = 32 5 16 PGCD 64 160

Exercice du cours n°6 page 22 Quel est le plus grand nombre entier divisant à la fois 35 et 91 ?

35 1 5 7 35

91 1 7 13 91

35 91 7

Exercice du cours n°7 page 22 Calculer le PGCD de 198 et de 54 par la méthode des soustractions successives.



PGCD

PGCD(198 ; 54) 198 – 54 = 144

PGCD(144 ; 54) 144 – 54 = 90

PGCD(90 ; 54) 90 – 54 = 36

PGCD(36 ; 54) 54 – 36 = 18

PGCD(18 ; 36)

36 = 18 2 PGCD(198 ; 54) = 18

Exercice n°20 page 24 Liste des diviseurs communs et PGCD Dans chaque cas, écris la liste des diviseurs communs aux deux nombres et entoure leur PGCD. a) 24 et 36 b) 20 et 63 c) 72 et 1 d) 434 et 98 e) 42 et 168 f) 124 et 0

24 36 1 2 3 4 6 12

20 63 1

72 1 1

434 98 1 2 7 14

42 168 1 2 3 6 7 14 21 42

124 0 1 2 4 31 62 124

Exercice n°23 page 24 Méthode des soustractions successives En utilisant la méthode des soustractions successives, détermine le PGCD des deux nombres. a) 76 et 21 b) 120 et 48 c) 182 et 78 d) 117 et 153

PGCD

1 PGCD(76 ; 21) 76 – 21 = 55

2 PGCD(21 ; 55) 55 – 21 = 34

3 PGCD(21 ; 34) 34 – 21 = 13

4 PGCD(21 ; 13) 21 – 13 = 8

5 PGCD(13 ; 8) 13 – 8 = 5

6 PGCD(8 ; 5) 8 – 5 = 3

7 PGCD(5 ; 3) 5 – 3 = 2

8 PGCD(3 ; 2) 3 – 2 = 1

9 PGCD(2 ; 1) 2 – 1 = 1

10 PGCD(1 ; 1)

PGCD(76 ; 21) = 1 .

PGCD

1 PGCD(120 ; 48) 120 – 48 = 72

2 PGCD(48 ; 72) 72 – 48 = 24

3 PGCD(48 ; 24) 48 – 24 = 24

4 PGCD(24 ; 24)

PGCD(120 ; 48) = 24

PGCD

1 PGCD(182 ; 78) 182 – 78 = 104

2 PGCD(78 ; 104) 104 – 78 = 26

3 PGCD(78 ; 26) 78 – 26 = 52

4 PGCD(52 ; 26) 52 – 26 = 26

5 PGCD(26 ; 26)

PGCD(182 ; 78) = 26 .

PGCD

1 PGCD(117 ; 153) 153 – 117 = 36

2 PGCD(117 ; 36) 117 – 36 = 81

3 PGCD(81 ; 36) 81 – 36 = 45

4 PGCD(45 ; 36) 45 – 36 = 9

5 PGCD(9 ; 36)

36 = 9 4 PGCD(117 ; 153) = 9

THÉORÈME 2

a et b sont des entiers naturels non nuls.

Si a b, PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r) où r est le reste de la division euclidienne de a par b.

Remarque : Dans cet algorithme, appelé aussi « algorithme d'Euclide », le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple 4 : Trouver le PGCD de 782 et de 136 par la méthode des divisions successives. On effectue la division euclidienne de 782 par 136 : 782 = 136 × 5 102.

Donc PGCD (782 ; 136) = PGCD (136 ; 102). 782 136

102 5

On cherche maintenant PGCD (136 ; 102) : on applique à nouveau la propriété.

On effectue la division euclidienne de 136 par 102 : 136 = 102 × 1 34. 136 102



Donc PGCD (136 ; 102) = PGCD (102 ; 34). 34 1

On continue avec PGCD (102 ; 34). On effectue la division euclidienne de 102 par 34 : 102 = 34 × 3.

102 34

0 3

Le reste est égal à 0 donc PGCD (782 ; 136) = 34 qui est le dernier reste non nul.

Exercice du cours n°8 page 22 Calculer PGCD (1 789 ; 1 492) par la méthode des divisions successives.

Combien d'étapes aurait nécessité la méthode des soustractions successives ?

1 789 = 1 492 1 + 297 PGCD(1 789 ; 1 492) = PGCD(1 492 ; 297)

1 492 = 297 5 + 7 PGCD(1 492 ; 297) = PGCD(297 ; 7)

297 = 7 42 + 3 PGCD(297 ; 7) = PGCD(7 ; 3)

7 = 3 2 + 1 PGCD(7 ; 3) = PGCD(3 ; 1)

3 = 1 3 + 0 PGCD(3 ; 1) = 1

PGCD(1 789 ; 1 492) = 1

1 + 5 + 42 + 2 + 3 = 53

53

Exercice n°24 page 24 Méthode des divisions successives En utilisant la méthode des divisions successives, détermine le PGCD des deux nombres. a) 182 et 42 b) 534 et 235 c) 1 053 et 325 d) 1 980 et 2 340

PGCD

1 PGCD(182 ; 42) 182 42

14 4

2 PGCD(42 ; 14) 42 14

0 3

PGCD(182 ; 42) = 14 .

PGCD

1 PGCD(235 ; 534) 534 235

64 2

2 PGCD(235 ; 64) 235 64

43 3

3 PGCD(64 ; 43) 64 43

21 1

4 PGCD(43 ; 21) 43 21

1 2

5 PGCD(21 ; 1)

PGCD(235 ; 534) = 1

PGCD

1 PGCD(1 053 ; 325) 1 053 325

78 3

2 PGCD(325 ; 78) 325 78

13 4

3 PGCD(78 ; 13) 78 13

0 6

PGCD(1 053 ; 325) = 13 .

PGCD

1 PGCD(1 980 ; 2 340) 2 340 1 980

360 1

2 PGCD(1 980 ; 360) 1 980 360

180 5

3 PGCD(360 ; 180) 360 180

0 2

PGCD(1 980 ; 2 340) = 180

Exercice n°26 page 24 Au choix Détermine le PGCD des nombres en utilisant la méthode qui te semble la plus appropriée. a) 682 et 352 b) 248 et 124 c) 140 et 84 d) 1 470 et 2 310 La correction ci-dessous contient les deux méthodes de calcul du PGCD ; on constatera que la méthode des divisions

(dite algorithme d’Euclide) est la plus rapide.

PGCD

1 PGCD(682 ; 352) 682 = 352 × 1 + 330

2 PGCD(352 ; 330) 352 = 330 × 1 + 22

3 PGCD(330 ; 22) 330 = 22 × 15

PGCD(682 ; 352) = 22

PGCD

1 PGCD(682 ; 352) 682 – 352 = 330

2 PGCD(352 ; 330) 352 – 330 = 22

3 PGCD(330 ; 22) 330 – 22 = 308

4 PGCD(22 ; 308) 308 – 22 = 286

5 PGCD(22 ; 286) 286 – 22 = 264

6 PGCD(22 ; 264) 264 – 22 = 242

7 PGCD(22 ; 242) 242 – 22 = 220



8 PGCD(22 ; 220)

220 = 22 10 PGCD(682 ; 352) = 22

PGCD

1 PGCD(248 ; 124) 248 = 124 × 2

PGCD(248 ; 124) = 124

PGCD

1 PGCD(248 ; 124) 248 – 124 = 124

2 PGCD(124 ; 124)

PGCD

1 PGCD(140 ; 84) 140 = 84 × 1 + 56

2 PGCD(84 ; 56) 84 = 56 × 1 + 28

3 PGCD(56 ; 28) 56 = 28 × 2

PGCD(140 ; 84) = 28

PGCD

1 PGCD(140 ; 84) 140 – 84 = 56

2 PGCD(84 ; 56) 84 – 56 = 28

3 PGCD(56 ; 28) 56 – 28 = 28

4 PGCD(28 ; 28)

PGCD

1 PGCD(1 470 ; 2 310) 2 310 = 1 470 × 1 + 840

2 PGCD(1 470 ; 840) 1 470 = 840 × 1 + 630

3 PGCD(840 ; 630) 840 = 630 × 1 + 210

4 PGCD(630 ; 210) 630 = 210 × 3

PGCD(1 470 ; 2 310) = 210

PGCD

1 PGCD(1 470 ;

2 310)

2 310 – 1 470 =

840

2 PGCD(1 470 ; 840) 1 470 – 840 = 630

3 PGCD(840 ; 630) 840 – 630 = 210

4 PGCD(630 ; 210) 630 – 210 = 420

5 PGCD(210 ; 420) 420 – 210 = 210

6 PGCD(210 ; 210)

Exercice n°27 page 24 Extrait du Brevet Un pâtissier dispose de 411 framboises et de 685 fraises. Afin de préparer des tartelettes, il désire répartir ces fruits en les utilisant tous et en obtenant le maximum de tartelettes identiques. Calculer le nombre de tartelettes et indiquer leur composition.

PGCD 411 685

PGCD

1 PGCD(411 ; 685) 685 = 411 × 1 + 274

2 PGCD(411 ; 274) 411 = 274 × 1 + 137

3 PGCD(274 ; 137) 274 = 137 × 2

PGCD(411 ; 685) = 137

PGCD

1 PGCD(411 ; 685) 685 – 411 = 274

2 PGCD(411 ; 274) 411 – 274 = 137

3 PGCD(274 ; 137) 274 – 137 = 137

4 PGCD(137 ; 137)

137 411 : 137 = 3 685 : 137 = 5

Exercice n°29 page 25 Exposition Un photographe doit réaliser une exposition en présentant ses œuvres (photos de paysage et portraits) sur des

panneaux. Tous les panneaux doivent contenir le même nombre de photos de paysage et le même nombre de portraits. Il doit exposer 224 photos de paysage et 288 portraits. a) Combien peut-il réaliser au maximum de panneaux en utilisant toutes ses photos ? Justifie. b) Combien mettra-t-il alors de photos de paysage et de portraits sur chaque panneau ?

224 288 PGCD 224

288

PGCD

1 PGCD(224 ; 288) 288 = 224 × 1 + 64

2 PGCD(224 ; 64) 224 = 64 × 3 + 32

3 PGCD(64 ; 32) 64 = 32 × 2

PGCD(224 ; 288) = 32

PGCD

1 PGCD(224 ; 288) 288 – 224 = 64

2 PGCD(224 ; 64) 224 – 64 = 160

3 PGCD(64 ; 160) 160 – 64 = 96

4 PGCD(64 ; 96) 96 – 64 = 32

5 PGCD(64 ; 32) 64 – 32 = 32

6 PGCD(32 ; 32)

32

224 : 32 = 7 288 : 32 = 9

7 9



Exercice n°31 page 25 Carrelage Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur se trouvant au-dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de centimètres le plus grand possible. Détermine la longueur, en centimètres, du côté d'un carreau de faïence sachant que le mur mesure 210 cm de hauteur et 135 cm de largeur. Combien faudra-t-il alors de carreaux ?

210 135

PGCD 210 135

PGCD

1 PGCD(210 ; 135) 210 = 135 × 1 + 75

2 PGCD(135 ; 75) 135 = 75 × 1 + 60

3 PGCD(75 ; 60) 75 = 60 × 1 + 15

4 PGCD(60 ; 15) 60 = 15 × 4

PGCD(210 ; 135) = 15

PGCD

1 PGCD(210 ; 135) 210 – 135 = 75

2 PGCD(135 ; 75) 135 – 75 = 60

3 PGCD(75 ; 60) 75 – 60 = 15

4 PGCD(60 ; 15) 60 – 15 = 45

5 PGCD(15 ; 45) 45 – 15 = 30

6 PGCD(15 ; 30) 30 – 15 = 15

7 PGCD(15 ; 15)

15 cm

210 : 15 = 14 135 : 15 = 9

14 × 9 = 126

3 FRACTIONS IRRÉDUCTIBLES ex. 9 à 12 DÉFINITION 4

Deux entiers naturels non nuls sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1. Autrement dit, 1 est le seul diviseur commun à ces deux entiers naturels.

Exemple 5 : Démontre que 45 et 91 sont premiers entre eux. 45 = 1 × 45 = 3 × 15 = 5 × 9.

Les diviseurs de 45 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 et 45. 91 = 1 × 91 = 7 × 13.

Les diviseurs de 91 sont : 1 ; 7 ; 13 et 91. 1 est le seul diviseur commun à 45 et 91, ainsi le PGCD de 45 et 91 est égal à 1. On en déduit que 45 et 91 sont premiers entre eux.

Exemple 6 : 426 et 568 sont-ils premiers entre eux ? 426 et 568 sont tous les deux divisibles par 2, ils ont donc un diviseur commun autre que 1 : leur PGCD n'est pas égal à 1. Ainsi 426 et 568 ne sont pas premiers entre eux.

Exercice du cours n°9 page 22 Démontrer que 481 et 625 sont premiers entre eux.

625 = 481 × 1 + 144 PGCD (481 ; 625 ) = PGCD (481 ; 144)

481 = 144 × 3 + 49 PGCD (481 ; 144) = PGCD (144 ; 49)

144 = 49 × 2 + 46 PGCD (144 ; 49) = PGCD (49 ; 46)

49 = 46 × 1 + 3 PGCD (49 ; 46) = PGCD (46 ; 3)

46 = 3 × 15 + 1 PGCD (46 ; 3) = PGCD (3 ; 1) = 1

PGCD (481 ; 625) = 1

481 625

Exercice du cours n°10 page 22 Démontrer que 360 et 741 ne sont pas premiers entre eux.

3 + 6 + 0 = 9 7 + 4 + 1 = 12 360 741 3

360 741

Exercice n°32 page 25 Définition a) Liste les diviseurs communs à 42 et 65. b) Déduis-en que 42 et 65 sont premiers entre eux.



42 1 2 3 6 7 14 21 42

65 1 5 13 65

1 42 65

Exercice n°33 page 25 Définition (bis) a) Calcule le PGCD de 195 et 364. b) 195 et 364 sont-ils premiers entre eux ?

M = PGCD(364 ; 195)

364 = 195 × 1 + 169 M = PGCD(195 ; 169)

195 = 169 × 1 + 26 M = PGCD(169 ; 26)

169 = 26 × 6 + 13 M = PGCD(26 ; 13)

26 = 13 × 2 PGCD(195 ; 364) = 13

PGCD 195 364 1

Exercice n°34 page 25 Dans chaque cas, sans calculer le PGCD, indique pourquoi les deux entiers donnés ne sont pas premiers entre eux. a) 98 et 114 b) 125 et 75 c) 27 et 63

98 114 2

125 75 5 5

2 + 7 = 9 6 + 3 = 9 27 63 9

DÉFINITION 5

Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Exemples 6 :

Rendre les fractions 75

105 ;

396

360 et

136

782 irréductibles.

75 et 105 sont des multiples de 5, donc on obtient : 75

105 =

75 : 5

105 : 5 =

15

21 .

15 et 21 sont des multiples de 3, donc on obtient :

15

21 =

15 : 3

21 : 3 =

5

7 .

Ainsi 75

105 =

5

7 .

On écrit 396 et 360 sous la forme de produits de facteurs les plus petits possible : 396 = 22 × 32 × 11

360 = 23 × 32 × 5 donc : 396

360 =

22 × 32 × 11

23 × 32 × 5 =

11

2 5 =

11

10 .

Ainsi 396

360 =

11

10 .

Le PGCD de 136 et 782 est 34. 34 est donc le plus grand entier naturel qui divise à la fois 136 et 782. Les quotients obtenus sont nécessairement premiers entre eux. 136

782 =

136 : 34

782 : 34 =

4

23 .

Ainsi 136

782 =

4

23 .

Exercice du cours n°11 page 22

La fraction 456

568 est-elle irréductible ? Justifier ta réponse.

456 568 2

456

568

Exercice du cours n°12 page 22

Rendre les fractions 48

60 et

276

161 irréductibles.

48

60 =

6 × 8

6 × 10 =

8

10 =

2 × 4

2 × 5 =

4

5

PGCD 276 161

PGCD

1 PGCD (276 ; 161) 276 = 161 × 1 + 115

PGCD

1 PGCD (276 ; 161) 276 – 161 = 115



2 PGCD (161 ; 115) 161 = 115 × 1 + 46

3 PGCD (115 ; 46) 115 = 46 × 2 + 23

4 PGCD (46 ; 23) 46 = 23 × 2 + 0

2 PGCD(161 ; 115) 161 – 115 = 46

3 PGCD(115 ; 46) 115 – 46 = 69

4 PGCD(46 ; 69) 69 – 46 = 23

5 PGCD(46 ; 23) 46 – 23 = 23

6 PGCD(23 ; 23) 23 – 23 = 0

PGCD(276 ; 161) = 23 23276

161 =

23 12

23 7 =

12

7

Exercice n°38 page 26 Avec des diviseurs communs

On considère la fraction 540

720 .

a) Quel(s) diviseur(s) commun(s) ont le numérateur et le dénominateur de la fraction ? b) Simplifie la fraction pour obtenir une fraction irréductible.

540 720 1 2 3 4 5 6 9 10 12 15 18 20 30 36 45 60 90 180

540

720 =

540 : 180

720 : 180 =

3

4

Exercice n°39 page 26 En décomposant a) Écris 168 et 132 sous forme d'un produit de facteurs entiers positifs les plus petits possibles.

b) Rends la fraction 168

132 irréductible en utilisant ces décompositions.

168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 132 = 2 × 2 × 3 × 11

168

132 =

2 × 2 × 2 × 3 × 7

2 × 2 × 3× 11 =

14

11

Exercice n°40 page 26 Avec le PGCD a) Calcule le PGCD de 462 et 65.

b) Que peux-tu en déduire pour les nombres 462 et 65 ? Pour la fraction 462

65 ?

PGCD(462 ; 65) = 1

462 65462

65

Exercice n°41 page 26 Avec le PGCD (bis)

a) Calcule le PGCD de 3 276 et 3 510 et simplifie la fraction 3 276

3 510 .

b) Vérifie que le numérateur et le dénominateur obtenus sont premiers entre eux. Que peux-tu en déduire pour la fraction obtenue ?

PGCD(3 276 ; 3 510) = 234

3 276

3 510 =

234 × 14

234 × 15 =

14

15

PGCD(14 ; 15) = 1 14 15

14

15

Exercice n°43 page 26 Rends les fractions suivantes irréductibles.

a) 18

24 b)

540

288 c)

120

150 d)

630

924 e)

45

63 f)

1 540

693 g)

357

561 h)

1 080

1 260

PGCD(18 ; 24) = 618

24 =

6 × 3

6 × 4 =

3

4

PGCD(540 ; 288) = 36540

288 =

36 × 15

36 × 8 =

15

8

PGCD(120 ; 150) = 30120

150 =

30 × 4

30 × 5 =

4

5



PGCD(630 ; 924) = 42630

924 =

42 × 15

42 × 22 =

15

22

PGCD(45 ; 63) = 945

63 =

9 × 5

9 × 7 =

5

7

PGCD(1 540 ; 693) = 771 540

693 =

77 × 20

77 × 9 =

20

9

PGCD(357 ; 561) = 51357

561 =

51 × 7

51 × 11 =

7

11

PGCD(1 080 ; 1 260) = 1801 080

1 260 =

180 × 6

180 × 7 =

6

7

Documents

3e - programme 2012 mathématiques ch.N1 Ch.N1 : …rorthais.math.free.fr/3e/cahier/3e_Cahier_eleve_chN1.pdf · 357 = 29 12 + 9 29 9 2) Pose la division euclidienne de 631 par 17