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4. Suites de nombres réels
4.1 Préliminaires : rappels sur les réelsOn rappelle ici quelques notions liées aux nombres réels ainsi que les propriétés associées à
ces notions. Vous connaissez tous déjà ces propriétés, seul le formalisme utilisé est nouveau.
4.1.1 Relation d’ordreL’ensemble des réels R est un ensemble ordonné, il est muni d’une relation d’ordre ≤.
Propriété 4.1.1 — Relation d’ordre. Soient x, y et z trois réels. On a les propriétés suivantes.
(i) x ≤ x . (Réflexivité)(ii) si x ≤ y et y ≤ z alors x ≤ z . (Transitivité)(iii) si x ≤ y et y ≤ x alors x = y . (Antisymmétrie)
C’est un ensemble totalement ordonné.
Propriété 4.1.2 — Ordre total. Soient x et y deux réels, alors on a :
x ≤ y ou y ≤ x .
Cet ordre est dense.
Propriété 4.1.3 — Ordre dense. Soient x et y deux réels, alors :
�x < y
�⇒ �∃z ∈R, x < z < y�
.
Cet ordre est compatible avec l’opération d’addition.
Propriété 4.1.4 — Addition. Soient x1, x2, y1 et y2 des réels, alors on a :
�x1 < y1 et x2 ≤ y2
�⇒ �x1 +x2 < y1 + y2
�.
64 Chapitre 4. Suites de nombres réels
Exercice 4.1 En utilisant la propriété précédente, montrer que les propositions suivantessont vraies.
∀x, y, z ∈R,�x < y
�⇒ �x + z < y + z
�.
∀x, y ∈R,�x < y
�⇔ �−y <−x�
.
■
Enfin, cet ordre est compatible avec l’opération de multiplication pour les réels positifs.
Propriété 4.1.5 — Multiplication. Soient x1, x2, y1 et y2 des réels, alors on a :
�0 < x1 < y1 et 0 < x2 ≤ y2
�⇒ �0 < x1 ×x2 < y1 × y2
�.
Exercice 4.2 En utilisant la propriété précédente, montrer que :
∀x, y ∈R,�0 < x < y
�⇔�0 < 1
y< 1
x
�.
■
Exercice 4.3 Montrer que :
∀x, y, z ∈R,�x < y et 0 < z
�⇒ �x × z < y × z
�.
■
Pour démontrer toutes les propriétés précédentes, il faudrait constuire R, +, × et ≤. Cecin’étant pas au programme, on va admettre ces propriétés. Par contre, il faut toutes les connaître !
4.1 Préliminaires : rappels sur les réels 65
4.1.2 EncadrementDéfinition 4.1.1 — Minorant, majorant. Soient E une partie non vide de R et m un réel. Ondit que m est un minorant de E, si ∀x ∈ E, m ≤ x. Si E a un minorant, alors on dit que E estminorée.
Soit M un réel. On dit que M est un majorant de E, si ∀x ∈ E, x ≤ M. Si E a un majorant, alorson dit que E est majorée.
Définition 4.1.2 — Partie bornée. Soit E une partie non vide de R. On dit que E est bornéesi elle est minorée et majorée.
Exercice 4.4 Montrer qu’une partie minorée (respectivement majorée) possède une infinitéde minorants (resp. majorants). ■
Théorème 4.1.6 — Théorème de la borne inférieure (resp. supérieure). Toute partie nonvide minorée (resp. majorée) de R possède un unique plus grand minorant (resp. plus petitmajorant).
Définition 4.1.3 — Borne inférieure, borne supérieure. Soit E une partie non vide de R. SiE est minorée, on appelle borne inférieure de E son plus grand minorant. On note inf(E), lu« inf de E », cette borne inférieure. Si E n’est pas minorée, on pose inf(E) =−∞.
Si E est majorée, on appelle borne supérieure de E son plus petit majorant. On note sup(E),lu « sup de E », cette borne supérieure. Si E n’est pas majorée, on pose sup(E) =+∞.
Propriété 4.1.7 Soit E une partie non vide bornée de R. Alors, ∀� > 0, ∃x ∈ E, inf(E) ≤ x <inf(E)+�. De même, ∀�> 0, ∃x ∈ E, sup(E)−�< x ≤ sup(E).
Le théorème et la proposition précédents sont admis.
Exercice 4.5 Soit A ⊂ B ⊂R avec B minoré. Montrer que A est minoré et inf(A) ≥ inf(B). ■
Définition 4.1.4 — Minimum, maximum. Soit E une partie non vide de R. Si E est minorée etque inf(E) ∈ E, alors on appelle minimum de E la borne inférieure de E. On note alors min(E)ce minimum.
Si E est majorée et que sup(E) ∈ E, alors on appelle maximum de E la borne supérieure de E.On note alors max(E) ce maximum.
Exercice 4.6 Montrer que toute partie finie non vide de R possède un minimum et unmaximum. ■
66 Chapitre 4. Suites de nombres réels
4.1.3 Valeur absolueDéfinition 4.1.5 On définit l’application valeur absolue de R dans R+ par :
abs : R −→ R+
x �−→ |x| = max(x,−x).
Propriété 4.1.8 Soient x et y deux réels, alors on a les propositions suivantes :
(i) −|x|≤ x ≤ |x| .(ii) |−x| = |x| .(iii) |x × y | = |x|× |y | .(iv)
��|x|− |y |��≤ |x + y |≤ |x|+ |y | . (inégalité triangulaire)
Exercice 4.7 Soit n ∈N, montrer les deux propositions suivantes :
∀x ∈R,��xn
��= |x|n .
∀(x1, ..., xn) ∈Rn ,
�����n�
k=1xk
�����≤n�
k=1|xk | .
■
Exercice 4.8 Soit x un réel tel que ∀�> 0, |x| < �. Montrer que x = 0. ■
Propriété 4.1.9 — Distance et intervalle. Soient x et y deux réels, δ un réel strictement positif.On a : �|x − y | < δ
�⇔ �x ∈]y −δ, y +δ[
�⇔ �y ∈]x −δ, x +δ[
�.
De même, on a :
�|x − y |≤ δ�⇔ �
x ∈ [y −δ, y +δ]�⇔ �
y ∈ [x −δ, x +δ]�
.
Démonstration. On montre la première équivalence par dichotomie, les autres se font de même.D’abord, si y ≤ x alors |x − y | < δ ⇔ x − y < δ ⇔ x < y + δ. D’où y ≤ x < y + δ et on a bienx ∈ [y, y +δ[ ⊂ ]y −δ, y +δ[.Maintenant, si x < y alors |x − y | < δ⇔ y − x < δ⇔ y −δ < x. D’où y −δ < x < y et on a bienx ∈]y −δ, y[ ⊂ ]y −δ, y +δ[.
■
4.2 Suites réelles : les fondamentaux 67
4.1.4 Partie entièreLa propriété suivante découle de la construction de R, elle est donc admise.
Propriété 4.1.10 Soit x ∈R, alors :
∃n ∈Z, n ≤ x < n +1 .
Définition 4.1.6 Soit x ∈ R, on appelle partie entière de x et on note �x� l’unique entier telque �x� ≤ x < �x�+1.
4.2 Suites réelles : les fondamentaux4.2.1 Définition
Définition 4.2.1 On appelle suite réelle toute application u de N dans R. L’ensemble dessuites réels est donc RN.
R Pour une suite, on note généralement un pour u(n). On identifie alors la suite u à la famillede nombres réels indexée parN : (un)n∈N.
Définition 4.2.2 On appelle suite réelle définie à partir du rang n0 toute application u de�n0,+∞� dans R.
R Pour une suite définie à partir d’un rang n0, on identifie la suite u et la famille de nombresréels indexée par �n0,+∞� : (un)n≥n0 .
4.2.2 Opérations sur les suitesDéfinition 4.2.3 — Somme. Soient u et v deux suites réelles. On définit leur somme u + vcomme étant la suite w telle que ∀n ∈N, wn = un + vn .
Définition 4.2.4 — Produit. Soient u et v deux suites réelles. On définit leur produit u × vcomme étant la suite w telle que ∀n ∈N, wn = un × vn .
Définition 4.2.5 — Multiplication par un scalaire. Soient u une suite réelle et λ un réel. Ondéfinit la multiplication de u par le scalaire λ comme étant la suite w telle que ∀n ∈N, wn =λun .
Définition 4.2.6 — Composition. Soient f une application de D f ⊂R dans R et u une suiteréelle telle que ∀n ∈N, un ∈ D f . On définit la suite composée f (u) comme étant la suite vtelle que ∀n ∈N, vn = f (un).
4.2.3 Propriétés des suitesDéfinition 4.2.7 — Suite minorée, majorée, bornée. Soit u une suite réelle. On a les défini-tions suivantes :
u est minorée ⇔ ∃m ∈R, ∀n ∈N, m ≤ un .u est majorée ⇔ ∃M ∈R, ∀n ∈N, un ≤ M .
u est bornée ⇔ u est majorée et minorée ⇔ ∃(m,M) ∈R2, ∀n ∈N, m ≤ un ≤ M .
Propriété 4.2.1 Soit u une suite réelle. u est minorée (resp. majorée, bornée) à partir d’uncertain range n0 si et seulement si u est minorée (resp. majorée, bornée).
68 Chapitre 4. Suites de nombres réels
Démonstration. D’abord, l’implication directe est un corollaire de l’exerice 4.6.Ensuite, l’implication réciproque est triviale. ■
Propriété 4.2.2 Soit u une suite réelle. u est bornée si et seulement si |u| est majorée.
Démonstration. Si u est bornée, alors ∃(m,M) ∈ R2, ∀n ∈N, m ≤ un ≤ M. D’où ∀n ∈N, |un |≤max(|m|, |M|) et |u| est majorée.Réciproquement, si |u| est majorée, alors ∃M ∈ R, ∀n ∈N, |un |≤ M. On a donc ∀n ∈N, −M ≤un ≤ M. ■
R Quant on dit qu’une suite est positive (resp. négative), cela signifie qu’elle est minorée(resp. majorée) par 0.
Définition 4.2.8 — Suite croissante, décroissante. Soit u une suite réelle. On a les défini-tions suivantes :
u est croissante ⇔ ∀n ∈N, un ≤ un+1 .u est décroissante ⇔ ∀n ∈N, un+1 ≤ un .
Définition 4.2.9 — Suite constante. Soit u une suite réelle. On dit que u est constante si :
∃λ ∈R, ∀n ∈N, un = λ .
Exercice 4.9 Soit u une suite réelle. Représenter les implications entre les différentes propo-sitions données sur le diagramme suivant :
u bornée
u minorée u majorée
u croissante u décroissante
u constante
■
R Une suite croissante (resp. décroissante, constante) à partir d’un certain rang n’est pasforcément croissante (resp. décroissante, constante) surN.
4.3 Convergences des suites réelles4.3.1 Définitions
Définition 4.3.1 — Suite convergente, divergente. Soit u une suite réelle. On dit que u estconvergente si on a :
∃l ∈R, ∀�> 0, ∃n0 ∈N, ∀n ≥ n0, |un − l |≤ � .
On dit que u est divergente si elle n’est pas convergente.
Exercice 4.10 Quantifier le fait qu’une suite soit divergente. ■
4.3 Convergences des suites réelles 69
Théorème 4.3.1 — Unicité de la limite. Soit u une suite réelle. Si u est convergente alorsil n’existe qu’un seul réel l tel que ∀� > 0, ∃n0 ∈N, ∀n ≥ n0, |un − l | ≤ �. On dit alors que uconverge vers sa limite finie l .
Démonstration. On suppose qu’il existe deux réels l et l � vérifiant tous les deux la propositionénoncée, c’est-à-dire :
∀�> 0, ∃n0 ∈N, ∀n ≥ n0, |un − l |≤ � et ∀�> 0, ∃n0 ∈N, ∀n ≥ n0, |un − l �|≤ � .
Soit � > 0, alors ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, |un − l | ≤ � et ∃n�0 ∈ N, ∀n ≥ n�
0, |un − l �| ≤ �. Si on poseN = max(n0,n�
0), alors (|uN−l |≤ � et |uN−l �|≤ �). Or |l −l �| = |l −uN+uN−l �| = |l −uN−(l �−uN)|d’où par l’inégalité triangulaire |l − l �|≤ |l −uN|+ |uN − l �|≤ 2�.
On a donc montré que, pour tout �> 0, |l − l �|≤ 2�. Mais cela implique que |l − l �| = 0 (voirexercice 4.8). D’où l = l � ce qui prouve bien l’unicité de la limite. ■
Définition 4.3.2 — Limite infinie. Soit u une suite réelle. On a les définitions suivantes :
u est diverge vers +∞ ⇔ ∀A ∈R, ∃n0, ∀n ≥ n0 ∈N, un ≥ A .u est diverge vers −∞ ⇔ ∀A ∈R, ∃n0, ∀n ≥ n0 ∈N, un ≤ A .
Dans les deux cas, on dit que u a une limite infinie.
Exercice 4.11 Soit u une suite réelle et l un réel. Compléter les phrases suivantes :
u converge vers l ⇔ Quelque soit le réel positif, il existe un rang à partir duquel ...
u diverge vers +∞ ⇔ Quelque soit le réel, il existe un rang à partir duquel ...
u diverge vers −∞ ⇔ Quelque soit le réel, il existe un rang à partir duquel ...
■
R On dit que u tend vers une limite finie si u converge vers un réel l et que u tend vers +∞(resp. −∞) si u diverge vers +∞ (resp. −∞). On note alors lim
n→+∞ un = l , +∞ ou −∞. Étudierla nature d’une suite, c’est déterminer si l’on est dans l’une de ces trois configurations oupas. Il y a donc 4 natures différentes de suites.
Exercice 4.12 Montrer que si u tend vers +∞ (resp. −∞) alors u est minorée (resp. majorée).■
4.3.2 Propriétés des suites convergentes
Théorème 4.3.2 Soit u une suite réelle. On a les implications suivantes :
(i) u est convergente ⇒ u est bornée.(ii) u est croissante et majorée ⇒ u est convergente.(iii) u est décroissante et minorée ⇒ u est convergente.
70 Chapitre 4. Suites de nombres réels
Exercice 4.13 Dans chaque point, montrer que l’implication réciproque est fausse. ■
Exercice 4.14 Démontrer le théorème. Pour le premier point, utiliser les propriétés 4.1.9 et4.2.1 avec la définition de la convergence. Pour le deuxième point, utiliser la propriété 4.1.7avec la définition de la convergence. Pour le troisième point, le déduire du point précédent. ■
Propriété 4.3.3 Soient u une suite réelle et l un réel, on a :
u converge vers l ⇔ |un − l | converge vers 0.
Démonstration. Il suffit d’écrire les deux propositions quantifiées pour voir que ce sont lesmêmes. ■
Propriété 4.3.4 Soient l un réel et u une suite croissante convergeant vers l , alors ∀n ∈N, un ≤ l .
Démonstration. Soit u une suite croissante. S’il existe un entier n0 tel que un0 > l , alors on pose
�= un0−l2 et ∀n ≥ n0, |un − l | = un − l ≥ un0 − l > �. La suite ne converge donc pas vers l et on a le
résultat par contraposition. ■
4.3.3 Limites et opérations
Théorème 4.3.5 — Opérations algébriques. Soient u et v deux suites réelles convergentes,l et l � leurs limites respectives et λ un réel. Alors, on a les propositions suivantes :
(i) u + v est convergente et sa limite est l + l �.(ii) u × v est convergente et sa limite est l × l �.(iii) λu est convergente et sa limite est λl .
Démonstration. On commence par démontrer la proposition (i). Soit �> 0, alors on a �2 > 0 et
donc ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0, |un − l |≤ �2 et ∃n�
0 ∈ N, ∀n ≥ n�0, |vn − l �|≤ �
2 . On pose N = max(n0,n�0) et
on a bien ∀n ≥ N, |un + vn − (l + l �)| = |(un − l )+ (vn − l �)|≤ |(un − l )|+ |(vn − l �)|≤ �2 + �
2 = �.
4.3 Convergences des suites réelles 71
On montre maintenant (ii). D’abord, comme u et v sont convergentes, elles sont bornées.En considérant le maximum de deux bornes de leurs valeurs absolues, il existe un M > 0 telque ∀n ∈ N, |un | ≤ M et |vn | ≤ M. Soit maintenant � > 0. On a �
2M > 0 et donc ∃n0 ∈ N, ∀n ≥n0, |un − l | ≤ �
2M et ∃n�0 ∈ N, ∀n ≥ n�
0, |vn − l �| ≤ �2M . On pose N = max(n0,n�
0) et on a bien∀n ≥ N, |un vn−l l �| = |un vn−unl �+unl �−l l �| = |un(vn−l �)+l �(un−l )|≤ |un(vn−l �)|+|l �(un−l )|≤|un ||(vn − l �)|+ |l �||(un − l )|≤ M �
2M +M �2M = �.
Pour (iii), il suffit de considérer le cas d’une suite v constante égale à λ dans (ii). ■
Théorème 4.3.6 — Composition de limites. Soient I un intervalle de R, x ∈ I, u une suited’éléments de I qui converge vers x, et f une fonction de I dans R. Alors on peut définir lasuite composée f (u) et, si la fonction f tend vers une limite y ∈R=R∪ {+∞,−∞} en x, alorsla suite f (u) a pour limite y .
Démonstration. Elle sera faite dans le chapitre sur les fonctions réelles. ■
Théorème 4.3.7 Soient u et v deux suites réelles telles que u tend vers +∞. Alors on a lesimplications suivantes :
(i) v est minorée ⇒ u + v tend vers +∞.
(ii)v est minorée par un réel strictementpositif à partir d’un certain rang
⇒ u × v tend vers +∞.
(iii)v est majorée par un réel strictementnégatif à partir d’un certain rang
⇒ u × v tend vers −∞.
Démonstration. On démontre d’abord la proposition (i). On suppose que v est minorée par unréel m. Soit A ∈R, on considère le réel A� = A−m. Comme u tend vers +∞, il existe un rang n0 telque ∀n ≥ n0, un ≥ A�. D’où ∀n ≥ n0, un +vn ≥ A�+m = A. C’est bien ce que l’on voulait montrer.
On démontre maintenant la proposition (ii). On suppose que v est minorée par un réelm > 0 à partir d’un rang n0. Alors la suite u × v est supérieure à la suite mu partir d’un certainrang. Or la suite mu tend vers +∞ (il suffit de faire le même raisonnement que précédemmenten considérant A� = A
m ). Or uv = mu +u(v −m) et la suite u(v −m) est minorée par 0 à partird’un certain rang, elle est donc minorée (par la propriété 4.2.1). On conclut via la proposition (i).
On obtient la proposition (iii) à partir de la proposition (ii), en remarquant que −v estminorée par un réel strictement positif à partir d’un certain rang si v est majorée par un réelstrictement négatif à partir d’un certain rang. ■
Exercice 4.15 Pour chacune des propositions du théorème précédent, montrer que lesimplications réciproques ne sont pas vérifiées. ■
72 Chapitre 4. Suites de nombres réels
Exercice 4.16 Que peut-on dire si v tend vers une limite ? ■
4.3.4 Limites et inégalitésPrécédemment dans ce cours, on a introduit l’ensemble de R := R∪ {−∞,+∞}. On étend
maintenant l’ordre sur R à R en posant que ∀x ∈R, −∞< x <+∞.
Définition 4.3.3 Soient u et v deux suites réelles. On a la définition suivante :
(u ≤ v) ⇔ (∀n ∈N, un ≤ vn) .
Théorème 4.3.8 — Compatibilité ordre et limites. Soient u et v deux suites réelles tellesque u ≤ v . On suppose que u et v tendent chacune vers une limite dans R. On a :
limn→+∞ un ≤ lim
n→+∞ vn .
Démonstration. On montre le résultat directement. On a trois possibilités pour limn→+∞ un : soit
c’est −∞, soit c’est un réel, soit c’est +∞. De même, il y a trois possibilités pour limn→+∞ vn .
Si limn→+∞ un =−∞, alors, quelque soit la valeur de lim
n→+∞ vn , on a −∞≤ limn→+∞ vn . Ce qui est le
résultat souhaité.Si lim
n→+∞ vn =+∞, c’est pareil, quelque soit la valeur de limn→+∞ un , on a lim
n→+∞ un ≤+∞ et c’estbien le résultat souhaité.
On suppose donc d’abord que limn→+∞ un = l ∈R et que lim
n→+∞ �=+∞. Comme u converge versun réel, elle est minorée, et v est donc minorée également. Elle ne peut donc tendre vers −∞.Ainsi lim
n→+∞ vn = l � ∈R. Or, quelque soit le réel � strictement positif, il existe un rang à partir duquel la suite u soit supérieure à l − � et un rang à partir duquel v soit inférieure à l �+ �. On endéduit que quelque soit le réel � strictement positif l − �≤ l �+ �, ou encore −2�≤ l � − l . On endéduit donc que 0 ≤ l � − l et on a bien l ≤ l �.
On suppose enfin que limn→+∞ un =+∞. Dans ce cas, u n’est pas minorée. Comme on a supposé
que v tendait vers une limite, on a forcément limn→+∞ vn =+∞ et on a le résultat. ■
R Il faut faire attention : il est supposé dans l’énoncé que les deux suites tendent vers deslimites. Si l’on ne sait pas si les suites convergent, il faut plutôt utiliser l’un des théorèmessuivants.
Théorème 4.3.9 — Encadrement. Soient u, v et w trois suites réelles telles que u ≤ v ≤ w .Si u et w convergent vers une même limite finie l , alors v converge vers l .
Démonstration. Comme u converge vers l , quelque soit le réel �, il existe un rang à partir duquelu soit supérieure à l −�. De même, il existe un rang à partir duquel w soit inférieure à l +�. Onen déduit donc qu’il existe un rang à partir duquel v est comprise entre l −� et l +� : v tend versl . ■
4.3 Convergences des suites réelles 73
Théorème 4.3.10 Soient u et v deux suites réelles telles que u ≤ v . Si u tend vers +∞ alors vtend +∞. De même, si v tend vers −∞ alors u tend −∞.
Démonstration. Si u tend vers +∞, alors, quelque soit le réel A, il existe un rang à partir duquelu est supérieure à A. v est donc également supérieure à A à partir d’un certain rang et on conclutdonc que v tend vers +∞.
Si v tend vers −∞, alors −v tend vers +∞. On peut donc appliquer le résultat précédent vial’inégalité −v ≤−u. Cela donne −u tend vers +∞ et finalement u tend vers −∞. ■
4.3.5 Suites adjacentesDéfinition 4.3.4 — Suites adjacentes. Soient u et v deux suites réelles. On dit que u et vsont adjacentes si :
(i) u est croissante(ii) v est décroissante(iii) lim
n→+∞ (un − vn) = 0
Théorème 4.3.11 — Limite de suites adjacentes. Soient u et v deux suites réelles adja-centes. Alors u ≤ v et les deux suites tendent vers une même limite l ∈R.
Démonstration. Soit n ∈N. Comme u croissante et v décroissante, un+1 ≥ un et vn ≥ vn+1. On adonc −vn+1 ≥−vn , puis un+1 − vn+1 ≥ un − vn . La suite u − v est donc croissante. Comme elletend vers 0, elle est forcément négative (par la propriété 4.3.4). On en déduit donc que u ≤ v .
Maintenant, u0 ≤ un ≤ vn ≤ v0 et ceci quelque soit n donc u est majorée et v est minorée.Elles convergent donc chacune vers une limite réelle, l et l � respectivement.
Enfin, par opération sur les limites, on voit que u −v converge vers l − l �. Or, par hypothèse,u − v tend vers 0. Par unicité de la limite, on a l − l � = 0, ce qui donne l = l �. On a bien montréque u et v convergent vers une même limite l ∈R. ■
Exercice 4.17 On considère les suites u et v définies par u0 = 1, v0 = 2, vn+1 = un+vn2 et
un+1 = 2vn+1
. Montrer que ∀n ∈ N∗, 1 < un < un+1 < vn+1 < vn . En déduire que u et v sontadjacentes et déterminer leur limite. ■
74 Chapitre 4. Suites de nombres réels
4.4 Suites classiques4.4.1 Suites arithmétiques
Exercice 4.18 Rédiger cette section. ■
4.4 Suites classiques 75
4.4.2 Suites géométriques
Exercice 4.19 Rédiger cette section. ■
76 Chapitre 4. Suites de nombres réels
4.4.3 Suites arithmético-géométriquesDéfinition 4.4.1 — Suite arithmético-géométrique. Soient u une suite réelle, q et r deuxréels. On dit que u est arithmético-géométrique de paramètres (q,r ) si ∀n ∈ N, un+1 =qun + r .
Propriété 4.4.1 Soit u une suite arithmético-géométrique réelle de paramètres (q,r ) avec q �= 1.Alors on a :
∀n ∈N, un =�u0 −
r
1−q
�qn + r
1−q.
Démonstration. On pose λ = r1−q et on définit la suite v := u − λ. Alors, on voit que ∀n ∈
N, vn+1 = un+1 −λ = qun + r −λ = q(vn +λ)+ r −λ = qvn +λ(q − 1)+ r = qvn − r + r = qvn .La suite v est donc une suite géométrique de raison q . On a donc ∀n ∈ N, vn = v0qn , d’oùun = (u0 −λ)qn +λ. ■
Exercice 4.20 Déterminer, en fonction de ses paramètres, la nature et, le cas échéant, lalimite d’une suite arithmético-géométrique. ■
4.4.4 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2Définition 4.4.2 — Suite récurrente linéaire d’ordre 2. Soient u une suite réelle, a et b deuxréels. On dit que u est récurrente linéaire d’ordre 2 de paramètres (a,b) si ∀n ∈N, un+2 =aun+1 +bun .
Définition 4.4.3 — Équation caractéristique. Soit u une suite récurrente linéaire d’ordre 2réelle de paramètres (a,b). Son équation caractéristique est définie comme étant l’équationd’inconnue z ∈C :
z2 −az −b = 0 .
Théorème 4.4.2 — Terme général d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Soit u unesuite récurrente linéaire d’ordre 2 réelle d’équation caractéristique (E) : z2 −az −b = 0. Alorson a les trois configurations possibles différentes :
1. Si (E) possède deux solutions réelles z1 et z2, alors ∃(λ,µ) ∈R2, ∀n ∈N, un = λzn1 +µzn
2 .
2. Si (E) possède une unique solution réelle z0, alors ∃(λ,µ) ∈R2, ∀n ∈N, un = (λn+µ)zn0 .
3. Si (E) n’a pas de solution réelle, (E) possède deux solutions complexes conjuguéesz1 = ρeiθ et z2 = ρe−iθ, et alors ∃(λ,µ) ∈R2, ∀n ∈N, un = �
λcos(nθ)+µsin(nθ)�ρn .
Démonstration. La démonstration du théorème sera faite dans le cadre du cours sur les matrices.■
4.4 Suites classiques 77
Exercice 4.21 Déterminer le terme général des suites u, v et w , récurrentes linéaires d’ordre2 de paramètres (2,−1), (2,−2) et (3,−2) respectivement, dont les deux premiers termes sonttous égaux à 1. ■
4.4.5 Limites classiquesPropriété 4.4.3 — Exponentielle. Soit λ ∈R. On a :
limn→+∞
�1+ λ
n
�= eλ .
Démonstration. Cette propriété est admise pour le moment. Le cas λ= 1 a été vue en exercice.■
Propriété 4.4.4 Soient u une suite réelle à termes strictement positifs et λ ∈R. On suppose quelim
n→+∞un+1
un= λ. Alors si λ< 1, u tend vers 0, et si λ> 1, u tend vers +∞.
Démonstration. Cette propriété est admise mais pourra être vue en TD. ■
Théorème 4.4.5 — Croissances comparées. Soient a et b deux réels strictement positifs etq > 1. On a les propositions suivantes :
(i) limn→+∞
(ln(n))b
na = 0.
(ii) limn→+∞
na
qn = 0.
(iii) limn→+∞
qn
n!= 0.
(iv) limn→+∞
n!
nn = 0.
Démonstration. Les points (ii), (iii) et (iv) peuvent se déduire de la proriété précédente. Le point(i) est admis. ■
78 Chapitre 4. Suites de nombres réels
4.5 Suites et fonctionsLes résultats dans cette section ne sont pas au programme mais sont très utiles. Il faut donc
savoir les retrouver.
4.5.1 Suite définie par une fonction réelleSoit f une fonction réelle telle queN⊂ D f , alors on peut définir la suite u définie par :
∀n ∈N, un = f (n) .
Dans ce cas, l’étude de la fonction f peut servir à l’étude de u.
Propriété 4.5.1 Soit f et u comme ci-dessus. Alors, on a les propositions qui suivent.
(i) f positive (resp. négative) ⇒ u positive (resp. négative).(ii) f minorée (resp. majorée) ⇒ u minorée (resp. majorée).(iii) f croissante (resp. décroissante) sur R+ ⇒ u croissante (resp. décroissante).(iv) lim
x→+∞ f (x) = λ ∈R ⇒ limn→+∞ un = λ.
Démonstration. Pour (i), (ii) et (iii), il suffit d’écrire les définitions. Pour (iv), il s’agit d’un casparticulier du théorème de composition de limites. ■
4.5.2 Suite récurrente définie par une fonction réelleSoient g une fonction réelle et I ⊂ Dg un intervalle tel que ∀x ∈ I, g (x) ∈ I. Alors, on peut
définir la suite u par : �u0 ∈ I
∀n ∈N, un+1 = g (un).
Dans ce cas également, l’étude de la fonction g peut servir à l’étude de u.
Propriété 4.5.2 — Cas g croissante. Soient g , I et u comme ci-dessus. On suppose que g estcroissante sur I alors on a trois possibilités :
(i) si u0 < u1 alors u est croissante ;(ii) si u0 > u1 alors u est décroissante ;(iii) si u0 = u1 alors u est constante.
Démonstration. On peut montrer les résultats très rapidement par récurrence. ■
Propriété 4.5.3 — Cas g décroissante. Soient g , I et u comme ci-dessus. On suppose que gest décroissante sur I. Alors la fonction h = g ◦ g est croissante sur I et on a trois possibilités :
(i) si u0 < u2 alors (u2n)n∈N est croissante et (u2n+1)n∈N est décroissante ;(ii) si u0 > u2 alors (u2n)n∈N est décroissante et (u2n+1)n∈N est croissante ;(iii) si u0 = u2 alors (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N sont constantes.
Démonstration. Si g est décroissante sur I, alors ∀x, y ∈ I, [x ≤ y] ⇒ [g (x) ≥ g (y)] ⇒ [g (g (x)) ≤g (g (y))]. D’où h est croissante. On applique ensuite la propriété précédente aux suites (u2n)n∈Net (u2n+1)n∈N. ■
Propriété 4.5.4 — Cas limn→+∞ un existe et g continue. Soient g , I et u comme ci-dessus. On
suppose que limn→+∞ un existe et que g est contiue sur I. Alors lim
n→+∞ un = l où l est un point fixe deg , i.e. g (l ) = l .
Démonstration. Il s’agit simplement d’un cas d’application du théorème de composition delimites. ■
