Chapitre 10 Nombres Réels - Suites - Fabien PUCCIfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2019/01/2019_PCSI_10... · 2019-01-16 · Chapitre 10: Nombres Réels - Suites II. LES NOMBRES

Chapitre

10Nombres Réels - Suites

« Deux suites adjacentes décident d’aller s’éclater dans une soirée « no limit ».

Mais elles se font refouler à l’entrée. . . ⌊1⌋ »

La

SommaireI Nombres entiers, décimaux, rationnels . . . . . . . . . . . 2

I.1 Rappels sur les rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3II Les nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

II.1 Borne supérieure, borne inférieure . . . . . . . . . . . . . 3II.2 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7II.3 La droite numérique achevée . . . . . . . . . . . . . . . . 9II.4 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.5 Approximations décimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

III.1 Opérations sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18III.2 Suites réelles et opération d’ordre . . . . . . . . . . . . . . 19

IV Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

IV.1 Propriétés des suites convergentes . . . . . . . . . . . . . 27IV.2 Passage à la limite dans les inégalités . . . . . . . . . . . 28IV.3 Suite extraite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

V Suites divergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V.1 Suites de limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34V.2 Suites qui n’ont pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VI Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

VI.1 Limite d’une somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38VI.2 Limite d’un produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39VI.3 Limite d’un quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40VI.4 Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

VII Théorèmes d’existence de limites . . . . . . . . . . . . . . 42

VII.1 Théorème d’encadrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42VII.2 Théorème de convergence monotone . . . . . . . . . . . . 45

VIII Comportement de suites particulières . . . . . . . . . . . 47

VIII.1 Suites explicites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

⌊1⌋. Un peu d’humour qui se mérite. Vous comprendrez dans ce chapitre.

1

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites I. NOMBRES ENTIERS, DÉCIMAUX, RATIONNELS

VIII.2 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . 48VIII.3 Suites arithmético-géométriques . . . . . . . . . . . . . . . 53VIII.4 Suites homographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56VIII.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

IX Suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

IX.1 Propriétés induites par la fonction . . . . . . . . . . . . . 67IX.2 Convergence et point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70IX.3 Représentation graphique d’une suite récurrente . . . . . 72IX.4 Suites récurrentes linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

I Nombres entiers, décimaux, rationnels

— On appelle ensemble des entiers naturels, l’ensemble N = {0; 1 ; 2 ; . . .}.

— On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensemble Z constitué des entiersnaturels et de leur opposé.

— On appelle nombre décimal un nombre admettant un nombre fini dechiffres après la virgule, c.-à-d. un nombre de la forme

a

10n, avec p ∈ Z et

n ∈ N.On note D l’ensemble des nombres décimaux.

— On appelle nombre rationnel un quotient d’entiers relatifs, c’est-à-dire unnombre de la forme

p

q, avec p ∈ Z et q ∈ N∗.

On note Q l’ensemble des nombres rationnels.

Définition 1 (Ensemble de nombres)

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

Ces inclusions sont strictes. En particulier, un nombre rationnel n’est pas forcémentdecimal :13

ne peut s’écrire sous la formep

10n. Si c’était le cas, on aurait 3p = 10n ⇐⇒ 3|10n,

ce qui est absurde.

F.PUCCI 2

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites II. LES NOMBRES RÉELS

I.1 Rappels sur les rationnels

— Tout rationnel peut s’écrire de différentes manières sous forme de fractions,

par exemplep

q=

2p2q

= . . ., mais tout nombre rationnel s’écrit de manière

unique sous forme de fraction irréductible c.-à-d. sous la formep

qavec p ∈ Z,

q ∈ N∗ et p et q premiers entre eux.

— L’ensemble Q est muni de deux lois de composition interne :

p

q+p′

q′=pq′ + p′q

qq′et

p

q× p′

q′=pp′

qq′.

Muni de ces deux lois(

Q, +, ×)

est un corps commutatif. On vérifie également

que(

Q, +)

,(

Q∗, ×)

et(

Q∗+, ×)

sont des groupes commutatifs.

L’ensemble des rationnels est insuffisant :

En termes d’approximations numériques, Q peut paraître suffisant en sciences ap-pliquées.

Le problème se pose lorsqu’on a besoin de connaître la valeur exacte de certainesgrandeurs.

Par exemple, peut-on mesurer dans Q la longueur de la diagonale d’un carré decôté 1 ? D’après le théorème de Pythagore, cela revient à se demander s’il existeun rationnel dont le carré est égal à 2, or nous avons déjà établi que la réponse estnégative :

√2 /∈ Q.

Cette lacune de Q avait été remarquée par les Pythagoriciens, ce qui a conduit lesmathématiciens à introduire de nouveaux nombres, les irrationnels, en concevant unensemble plus vaste que Q, l’ensemble des nombres réels noté R.

II Les nombres réels

II.1 Borne supérieure, borne inférieure

L’une des propriétés caractéristiques de R est l’existence d’une borne supérieurepour toute partie majorée.

Il s’agit d’une propriété caractéristique dans le sens où cette propriété fait partie dela définition de R ou des axiomes régissant la relation d’ordre de celui-ci. Il est donchors de propos de la démontrer.

R est muni d’une relation d’ordre total 6 compatible avec l’addition et la mul-tiplication.

Rappels 1

F.PUCCI 3


Soit A une partie de R, on dit que :

— A est majorée lorsque : ∃M ∈ R, ∀x ∈ A, x 6M .

— A est minorée lorsque : ∃m ∈ R, ∀x ∈ A, m 6 x.

— A est bornée lorsque A est à la fois majorée et minorée.

— A admet un maximum lorsque : ∃ b ∈ A, ∀x ∈ A, x 6 b.

— A admet un minimum lorsque : ∃ a ∈ A, ∀x ∈ A, a 6 x.

Rappels 2 (Majoran/Maximum et Minorant/Minimum)

— Soit A une partie majorée de R.On appelle borne supérieure de A, notée supA, le plus petit des majorantsde A.

— Soit B une partie minorée de R.On appelle borne inférieure de B, notée inf A, le plus grand des minorantsde B.

Définition 2 (Borne supérieure)

Notons que l’unicité de la borne supérieure (resp. inférieure) est une conséquence del’unicité du plus petit élément (resp. plus grand élément) d’un ensemble.

L’existence découle du théorème suivant qui est une conséquence de la constructionde R, une propriété intrinsèque dont nous verrons l’origine plus tard :

Toute partie non vide et majorée de R possède une borne supérieure.

Théorème 1 (Propriété de la borne supérieure)

ATTENTION On prendra garde au fait qu’une partie A peut posséder une bornesupérieure sans avoir de plus grand élément. Inversement, si A possède un plus grandélément a, alors a = sup(A).

En effet,

— Pour tout b ∈ A, on a b 6 a, donc a est un majorant de A.

— Si M est un majorant de A, alors pour tout b ∈ A, b 6 M . En particulier,a 6 M . Ainsi a est le plus petit des majorants de A.En conclusion a = sup(A).

F.PUCCI 4


Exercice 1 : Compléter :

min(A) inf(A) max(A) sup(A)

A = {1}A = {2, 4}A =]1 ; 5 [

A = [−5 ; 0 [

A ={ 1n/ n ∈ N∗

}

A = {x ∈ Q / x2 6 2}

On remarquera qu’une borne supérieure (ou inférieure) d’un ensemble I n’a aucuneraison d’appartenir à I.

Soit A une partie majorée non vide de R et M ∈ R.

M = supA ⇐⇒{

M est un majorant de A∀M ′ majorant de A, M 6M ′

⇐⇒{

M est un majorant de A∀b < M , b n’est pas un majorant de A

⇐⇒{

∀x ∈ A, x 6 M∀ε ∈ R∗

+, ∃x ∈ A tel que M − ε < x.

Théorème 2 (Caractérisation de la borne supérieure)

Exercice 2 : Sur le même modèle, écrire une caractérisation de la borne infé-rieure.

Correction : Soit B une partie minorée non vide de R et m ∈ R.

m = inf B ⇐⇒{

m est un minorant de B

∀m′minorant de B, m′ 6 m

⇐⇒{

m est un minorant de B

∀m < b, b n'est pas un minorant de B

⇐⇒{

∀x ∈ B, m 6 x

∀ε ∈ R∗+, ∃ x ∈ B tel que x < m + ε.

F.PUCCI 5


Exemple 1 : Soit a un réel. On pose A = {x ∈ R / x2 6 a}.

A est une partie non vide de R car 0 ∈ A. D’autre part A est majoré par a+ 1 car(a+ 1)2 = a2 + 2a+ 1 > a.

L’ensemble A admet donc une borne supérieure M .

En raisonnant par l’absurde on peut montrer que M2 = a, par conséquent M =√a,

c’est une définition possible de la fonction racine carrée.

Toute partie non vide minorée de R admet une borne inférieure.

Corollaire 1 (Borne inférieure d’une partie non vide et minorée de R)

Preuve: Il su�t en e�et d'e�e tuer une symétrie par rapport à 0 pour é han-

ger les nombres positifs et négatifs, pour transformer une partie majorée en partie

minorée et une borne supérieure en borne inférieure.

Plus formellement, soit B une partie non vide et minorée de R. On onsidère

A = {−b, b ∈ B} qui est don une partie non vide et majorée de R. Elle admet une

borne supérieure S.

Montrons que −S est une borne inférieure de B.

Pour tout élément b de B, −b 6 S ⇐⇒ −S 6 b. −S est don un minorant de B.

Pour tout ε stri tement positif, il existe un a ∈ A tel que S−ε < a ⇐⇒ −a < −S+ε.Comme −a ∈ B, −S + ε ne minore pas B pour tout ε > 0 .-à-d. −S est le plus

grand des minorants de B.

C'est don la borne inférieure de B.

Soient A une partie non vide et majorée de R, M un majorant de A.Par définition de la borne supérieure, l’inégalité ∀ x ∈ A, x 6 M entraîneautomatiquement x 6 supA 6M .De même, pour la borne inférieure, m 6 x =⇒ m 6 inf A.

Méthode 1 (Utilisation courante de la borne supérieure)

Exercice 3 : Soient A et B deux parties de R non vides et bornées telles queA ⊂ B.

Montrer que inf(B) 6 inf(A) et sup(A) 6 sup(B).

Correction : inf(B) est un minorant de B don un minorant de A, par onséquent

inf(B) 6 inf(A) ar inf(A) est le plus grand des minorants de A.

De même, sup(B) majore B , don majore A également, d'où sup(A) 6 sup(B) ar sup(A)est le plus petit des majorants de A.

F.PUCCI 6


Exercice 4 : Soient A et B deux parties majorées non vides de R. On noteA+B = {a+ b, (a ; b) ∈ A×B}. Montrer que A+B admet une borne supérieure,et que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).

Correction :� Comme A et B sont non vides, A + B est non vide. Pour tout x ∈ A + B, il existe

(a ; b) ∈ A × B tels que x = a + b.

Or, a 6 sup(A) et b 6 sup(B) don x 6 sup A + sup B.

Ainsi A + B est majorée par sup(A) + sup(B), don admet une borne supérieure.

Remarque : En parti ulier, par la dé�nition de la borne supérieure de A + B, on

aurait déjà :

sup(A + B) 6 sup(A) + sup(B). (10.1)

� Montrons que sup A + sup B est le plus petit des majorants de A + B.

Soit M un majorant de A + B, on a don pour tout a ∈ A et b ∈ B, a + b 6 M .

Ainsi a 6 M − b, et e i pour tout a ∈ A.

M − b est don un majorant de A d'où sup(A) 6 M − b par dé�nition de la borne

supérieure.

D'où, b 6 M − sup(A) et e, pour tout b ∈ B.

Par dé�nition de la borne supérieure de B ette fois, on a en ore sup(B) 6 M−sup(A).Finalement sup(A) + sup(B) 6 M .-à-d. sup(A) + sup(B) est le plus petit des

majorants de A + B.

Don , sup(A + B) = sup(A) + sup(B).

Remarque : Une autre méthode, qui a ma préféren e ar plus �ne, est de montrer l'in-

égalité ontraire de (10.1) :

Soient a ∈ A et b ∈ B. Alors a + b 6 sup(A + B) ⇐⇒ a 6 sup(a + b) − b qui est don

un majorant de A.

Par dé�nition de la borne supérieure, sup(A) 6 sup(A + B) − b.

Mais alors b 6 sup(A + B) − sup(A) puis sup(B) 6 sup(A + B) − sup(A).

Don sup(A) + sup(B) 6 sup(A + B) et l'égalité.

II.2 Intervalles de R

On appelle intervalle de R toute partie I non vide de R de la forme suivante :

— si I est majorée et minorée, I = [a ; b ] = {x ∈ R, a 6 x 6 b}, [a ; b [, ]a ; b ]ou ]a ; b [,

— si I est majorée et non minorée, I =]−∞ ; b ] = {x ∈ R, x 6 b}, ]−∞ ; b [,

— si I est minorée et non majorée, I = [a ; +∞ [= {x ∈ R, x > a}, ]a ; +∞ [,

— ou si I = R.

Rappels 3 (Intervalles de R)

F.PUCCI 7


Exemples 2 :

— Z n’est pas un intervalle de R car 1, 2 ∈ Z mais pas32

∈ Z.

— Q n’est pas un intervalle de R (cf. proposition (4) ).

Soit I une partie non vide de R.Alors :

I est un intervalle ⇐⇒ I est une partie convexe

⇐⇒ ∀ (x ; y) ∈ I2, [x ; y ] ⊂ I.

Proposition 1 (Les intervalles de R sont les parties convexes de R)

Remarque : [x ; y ] ={

tx+ (1 − t)y, t ∈ [0 ; 1 ]}

.

Preuve: L'impli ation =⇒ est lairement véri�ée.

Montrons l'impli ation ré iproque.

Soit don I une partie onvexe et non vide de R et posons α = inf I ∈ R ∪ {−∞}et β = sup I ∈ R ∪ {+∞}.Pour prouver que I est un intervalle de la forme [α ; β ], [α ; β [, ]α ; β ] ou ]α ; β [, ilsu�t de prouver que :

]α ; β [⊂ I ⊂]α ; β [.

Pour tout x ∈ I, α 6 x 6 β don I ⊂]α ; β [.

Ré iproquement, soit x ∈]α ; β [ .-à-d. il existe ε > 0 tel que α+ ε 6 x 6 β − ε.

Or, par dé�nition de la borne supérieure et inférieure, il existe alors deux éléments

y, z de I tels que y < α + ε et b− ε < z .-à-d. x ∈ [y ; z ] ⊂ I.

Comme I est onvexe, x ∈ I et ]α ; β [⊂ I.

— L’intersection de deux intervalles de R est un intervalle de R.

— La réunion de deux intervalles de R non disjoints est un intervalle de R.

Proposition 2

Preuve:

F.PUCCI 8


� Soient I et J deux intervalles de R, posons K = I ∩ J .

Si K est vide, alors 'est un intervalle.

Sinon, soit x, y ∈ K et soit z un réel tel que x 6 z 6 y.

D'après la proposition (1) , omme x et y sont dans I alors z par onvexité.De même z ∈ J don z ∈ K.

K est don un onvexe de R d'après la proposition (1) don un intervalle

de R.

� Supposons I et J non disjoints et soit K = I ∪ J . K est non vide. Soient x,y ∈ K et soit z un réel tel que x 6 z 6 y.

On raisonne par disjon tion de as :

� Si x et y sont tous les deux dans I ou J , intervalles de R alors z aussi.

� Si, par exemple, x ∈ I et y ∈ J , prenons t ∈ I ∩ J 6= ∅.Si x 6 z 6 t alors, z ∈ I ⊂ K et de même si t 6 z 6 y.

Con lusion, z ∈ K qui est un onvexe de R don un intervalle.

II.3 La droite numérique achevée

On ajoute à l’ensemble R deux éléments non réels (par exemple i et −i). L’un deces deux éléments est noté ∞ et et l’autre +∞.

L’ensemble R ∪ {−∞ ; +∞ }est noté R et appelé droite numérique achevée.

Définition 3

On prolonge la relation d’ordre de R à R en posant pour tout réel x : −∞ < x < +∞.

L’ensemble R devient ainsi un ensemble totalement ordonné, de plus il possède unmaximum +∞ et un minimum −∞.

Pour tout réel x on pose :

◦ (+∞) + x = x+ (+∞) = +∞.

◦ (−∞) + x = x+ (−∞) = −∞.

◦ (+∞) + (+∞) = +∞.

◦ (−∞) + (−∞) = −∞.

◦ Si x > 0 : x× (+∞) = (+∞) × x = +∞ et x× (−∞) = (−∞) × x = −∞.

◦ Si x < 0 : x× (+∞) = (+∞) × x = −∞ et x× (−∞) = (−∞) × x = +∞.

◦ (+∞)×(+∞) = (−∞)×(−∞) = +∞ et (+∞)×(−∞) = (−∞)×(+∞) = −∞.

On prendra garde au fait que nous n’avons pas défini de loi de composition internedans R puisque nous n’avons pas défini 0 × (+∞) ni (−∞) + (+∞) qui restent desformes indéterminées.

Les règles de calculs définies ci-dessus auront leur utilité dans la section sur leslimites.

F.PUCCI 9


Toute partie non vide de R admet une borne supérieure et une borne inférieuredans R.

Proposition 3

Preuve: SiA est majorée dans R, 'est terminée. Sinon, l'ensemble des majorants

de A dans R est don réduit à {+∞}, don il y a une borne supérieure dans R qui

est +∞.

Le raisonnement est identique pour la borne inférieure.

— Soit x ∈ R, tout intervalle de la forme ]x− ε ; x+ ε [ où ε ∈ R∗+, est appelé

voisinage de x.

— Tout intervalle de la forme ]a ; +∞ [, (a ∈ R) est appelé voisinage de +∞.

— Tout intervalle de la forme ]−∞ ; a [ , (a ∈ R) est appelé voisinage de −∞.

Définition 4 (Voisinage)

Soit V1, V2 deux voisinages de x ∈ R. Alors V1 ∩ V2 est un voisinage de x.Soit a, b ∈ R.Si a < b alors il existe un voisinage V de a et un voisinage V ′ de b tels que∀ x ∈ V et y ∈ V ′, x < y.

Théorème 3 (Séparation)

Soit P(x) une proposition dépendante de x ∈ R, et soit a ∈ R.On dit que P est vraie au voisinage de a lorsqu’il existe un voisinage V de a telque :

∀ x ∈ V, P(x) est vraie.

Définition 5

II.4 Partie entière

L’ensemble R est archimédien c.-à-d. ∀ x, y ∈ R∗+, ∃n ∈ N, x 6 ny.

Théorème 4 (R est archimédien)

Preuve: Par l'absurde, supposons que ∀ n ∈ N, x > ny.

Posons A = {ny / n ∈ N}.

F.PUCCI 10


A est non vide ar il ontient y et est majoré par x. Il admet don une borne

supérieure b = supA.

Par dé�nition de b, b− y < b don b− y n'est pas un majorant de A .-à-d. il existe

un entier n0 ∈ N tel que b− y < n0y.

D'où b < (n0 + 1)y e qui est absurde ar (n0 + 1)y ∈ A.

Soit x ∈ R, il existe un unique entier p ∈ Z tel que :

p 6 x < p+ 1. (10.2)

Proposition 4

Preuve:� Montrons l'existen e :

Si x = 0 il su�t de prendre p = 0.Sinon, posons A = {n ∈ Z / x < n+ 1}. A est non vide :

� Si x < 0, x < 0 et 0 ∈ A.

� Si x > 0, d'après le théorème (4) , A possède au moins un élément.

De plus, A est minoré par x−1 don A possède une borne inférieure c = inf A.

Par dé�nition de x, le réel c+12ne minore par A don il existe un entier p ∈ A

tel que c 6 p < c+12.

Si c < p, alors p ne minore pas A .-à-d. il existe n1 ∈ A tel que c 6 n1 < p < c+12

e qui est absurde ar p et n1 sont deux entiers distin ts dans un intervalle de

longueur

12.

On en déduit que c = p ∈ A .-à-d. p = minA.En parti ulier, p− 1 /∈ A ⇐⇒ x > (p− 1) + 1 = p.

En on lusion, p 6 x < p+ 1.

� Montrons l'uni ité : soient deux entiers p1 et p2 tels que :

p1 6 x < p1 + 1

p2 6 x < p2 + 1 ⇐⇒ −p2 − 1 <− x 6 −p2

p1 − p2 − 1 < 0 < p1 − p2 + 1

|p2 − p1| < 1

Pour deux entiers p1 et p2 dont la distan e mutuelle est stri tement inférieure

à 1, on a p1 = p2 et l'uni ité.

F.PUCCI 11


L’unique entier relatif, noté ⌊x⌋ ou E(x), vérifiant (10.2) est appelé partie entièrede x.

Définition 6 (Partie entière)

1 2 3 4−1−2−1

−2

1

2

3

4

x

⌊x⌋

Figure 10.1 – x 7−→ ⌊x⌋

Remarque : La partie entière de x est le plus grand entier relatif inférieur ou égalà x.

Exemples 3 : ⌊5⌋ = 5, ⌊−2⌋ = −2, ⌊π⌋ = 3, ⌊−π⌋ = −4, ⌊e⌋ = 2, ⌊−e⌋ = −3.

— La fonction partie entière est une fonction croissante sur R et elle constantesur tout intervalle de la forme [n ;n+ 1 [ lorsque n ∈ Z.

— La fonction partie entière est continue sur R \ Z. Pour n ∈ Z, elle estcontinue à droite mais pas à gauche en n.

— Pour tout réel x et tout entier n ∈ Z, on a ⌊x+ n⌋ = ⌊x⌋ + n.

— La fonction x 7−→ x− ⌊x⌋ est une fonction 1-périodique.

Proposition 5 (Propriété de la partie entière)

Tout intervalle ]a ; b [ non vide de R rencontre Q et ∁RQ.

Proposition 6 (Q et ∁RQ sont denses dans R)

Preuve: Nous devons montrer que ]a ; b [ ontient un rationnel et un irrationnel.

Soient x et y deux éléments de ]a ; b [. Si l'un d'eux est rationnel et l'autre irrationnel,

il n'y a rien à montrer.

F.PUCCI 12


1. S'ils sont tous deux rationnels, il su�t de montrer qu'entre deux rationnels, il

existe un irrationnel.

2. S'ils sont tous deux irrationnels, il su�t de montrer qu'entre deux irrationnels,

il existe un rationnel.

1. Si x et y sont deux rationnels tels que x < y, alors posons :

z = x+(y − x)

√2

2.

z ne peut être rationnel ar sinon on aurait

√2 =

2(z − x)y − x

. Il est lairement

entre x et y ar 0 <

√2

2< 1.

2. Si x et y sont deux irrationnels tels que x < y, il existe un entier q tel que :

0 <1q< y − x ⌊2⌋ ⇐⇒ 1 < q(x− y).

Posons alors p = ⌊qx⌋ ⇐⇒ p 6 qx < p+ 1 6 qx+ 1 < qx+ q(x− y) = qy.

D'où x <p+ 1q

< y.

Le rationnel

p+ 1q

est don ompris entre x et y.

Conséquence, pour tout réel x et tout entier n ∈ N∗, l’intervalle]

x− 1n

; x+1n

[

contient un rationnel yn et un irrationnel zn.

On construit ainsi deux suite (yn)n∈N∗ et (zn)n∈N∗ ayant pour limite x.

Soit A une partie de R et a un réel.On dit que a est adhérent à A si, et seulement si il existe une suite (un)n∈N

d’éléments de A qui converge vers a.

Définition 7 (Valeur d’adhérence)

Tout réel est donc adhérent Q et à ∁RQ.

En terme de topologie, on montre ainsi que R est la fermeture de Q et ∁RQ ou encoreque Q et ∁RQ sont denses dans R.

Soit A une partie non vide de R.On dit que A est dense dans R lorsque tout intervalle ouvert non vide de R

contient au moins un élément de A, ce qui équivaut à :

∀ x ∈ R, ∀ ε ∈ R∗+, ∃ a ∈ A, |x− a| < ε.

Définition 8 (Partie dense dans R)

⌊2⌋. Prendre q supérieur à1

y − x, par exemple la partie entière de ce nombre augmenté de 1.

F.PUCCI 13


— Ce qui signifie qu’aussi près que l’on veut de tout réel x, on peut trouver deséléments de A.Voici une autre définition équivalente (et très utile) :

— A est dense dans R si, et seulement si pour tout réel x il existe une suite(an)n∈N d’éléments de A qui converge vers x.

Exercice 5 : Montrer que la fonction f , appelé fonction de Dirichlet, définie par

f(x) =

{

1 si x ∈ Q

0 sinonn’a aucune limite nulle part.

Correction : Soit x ∈ R. Par densité deQ et ∁RQ dans R, il existe une suite de rationnels

(un)n∈N et une suite d'irrationnel (vn)n∈N onvergeant vers x.

Comme ∀ n ∈ N, f(un) = 1 et f(vn) = 0, par passage à la limite, f ne peut avoir de

limite en x.

Exemples 4 (Parties denses dans R) :

— L’anneau D des nombres décimaux : D ={p

10n, p ∈ Z, n ∈ N

}

(cf. para-

graphe suivant).

— L’anneau Z[

12

]

des nombres dyadiques : Z[

12

]

={p

2n, p ∈ Z, n ∈ N

}

.

— L’ensemble Z + πZ ={

a+ bπ, a ∈ Z, b ∈ Z}

.

Dans ce dernier cas, il suffit de montrer qu’il est dense dans [0 ; 1 ].Considérons les parties fractionnaires des nπ, à savoir les nπ − ⌊nπ⌋, notéeségalement nπ [1].Tous ces nombres sont différents, car si nπ ≡ mπ [1] avec m 6= n alors celasignifierait que nπ −mπ est entier c.-à-d. π rationnel.Soit ε > 0. Considérons les intervalles [0 ; ε ], [ε ; 2ε ], . . . , [kε ; (k + 1)ε ], . . .Les nπ [1] étant en nombre infini, les intervalles précédents ne peuvent tousposséder moins de un des nπ [1], faute de quoi il n’y aurait qu’un nombrefini de nπ [1] dans [0 ; 1 ].Il existe donc un nombre de la forme y ≡ kπ [1] ∈ Z + πZ dans [0 ; ε ].Tout intervalle de R de longueur ε choisie arbitrairement contiendra donc unmultiple de y.

Remarque : Une conséquence de ce qui précède est que{

sin(n), n ∈ Z}

quiest l’image directe par sinus de l’ensemble Z + πZ est dense dans [−1 ; 1 ].

II.5 Approximations décimales

Soit x ∈ R et n ∈ N. Alors pn = ⌊10nx⌋ est l’unique entier tel que :

pn 6 10nx < pn + 1 ⇐⇒ pn

10n6 x <

pn + 110n

.

F.PUCCI 14


Le nombre decimalpn

10nest appelé approximation décimale par défaut de x a la

précision 10−n.

Le nombrepn + 1

10nest appelé approximation décimale par excès de x a la préci-

sion 10−n.

Définition 9 (Approximation décimale d’un réel)

Exemples 5 : 1, 414 6√

2 < 1, 415 à 10−3 près et 3, 1415 6 π < 3, 1416 à 10−4

près.

Exemple 6 (Approximation décimale de√

2) : Prenons x =√

2 et posons

un =pn

10n=

⌊10nx⌋10n

.

— 12 6 x2 < 22 donc 1 6 x < 2 et

u0 = ⌊x⌋ = 1 (partie entière de x).

— (10x)2 = 200 et 142 = 196 6 (10x2) < 152 = 225, donc 1, 4 6 x < 1, 5 et

u1 =⌊10x⌋

10=

1410

= 1, 4.

— (100x)2 = 20000 et 1412 6 (100x2) < 1422, donc 1, 41 6 x < 1, 42 et

u2 =⌊100x⌋

100=

141100

= 1, 41.

— . . .

On construit ainsi la suit (un)n∈N des approximations décimale de√

2 à 10−n.

Remarque : Soit x ∈ R. Pour tout n ∈ N, notons un =pn

10nl’approximation

décimale par défaut de x.

On a alors 0 6 x− un 6 10−n pour tout n ∈ N c.-à-d. limn→+∞

un = x.

On a ainsi obtenu une suite (un)n∈N de nombres décimaux qui tend vers x ∈ R. Uneautre manière de montrer que Q qui contient D est dense dans R.

Soit x ∈ R et, pour tout n ∈ N∗, soient an =⌊10nx⌋

10net dn = 10n(an − an−1).

Alors dn est un entier compris entre 0 et 1.

Théorème 5

F.PUCCI 15


Preuve: On a :

10nan = ⌊10nx⌋ 6 10nx < 1 + ⌊10nx⌋

Et,

10nan−1 = 10⌊10n−1x⌋ 6 10nx < 10 + 10⌊

10n−1x⌋

−10 − 10⌊

10n−1x⌋

<− 10nx 6 −10nan−1

10n(an − an−1) − 10 < 0 < 10n(an − an−1) + 1

On en déduit,

dn − 10 < 0 < dn + 1.

Par onséquent, dn est un entier véri�ant −1 6 dn < 10 .-à-d. 0 6 dn 6 9.

Pour n > 1, l’entier dn = 10n(an − an−1) = ⌊10nx⌋ − 10⌊

10n−1x⌋

est appelée

nème décimale de x.

Définition 10 (Décimale)

Remarquons que dn10−n = an − an−1, ce qui entraîne que

a0, d1d2 . . . dn = a0 +n∑

k=1

dk

10k= an.

Comme la suite (an)n∈N converge vers x, on écrit alors :

x = a0 ++∞∑

k=1

dk

10k= a0, d1d2d3 . . .

(Développement décimal infini du réel x.)

En conclusion :

F.PUCCI 16

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites III. LES SUITES

—(

R, +, ×, .)

est une R-algèbre commutative.

— R est doté d’une relation d’ordre totale 6 qui permet de définir la distanceentre deux réels :

d (x ; y) = |x− y|.— La relation d’ordre permet de doter R d’une famille de voisinages ouverts.

R possède donc une topologie d’espace métrique.

— R possède la propriété de la borne supérieure.

— R est archimédien.

— R est indénombrable.

— R contient Q qui y est dense. De même que son complémentaire et l’en-semble D des décimaux.En particulier, tout réel peut être vu comme la limite d’une suite de ra-tionnels ou de décimaux.

À retenir (Propriétés de R)

III Les suites

Une suite (un)n∈N est une fonction définie sur N.Une suite numérique est une suite à valeurs dans R ou C ⌊3⌋.

u : N R

n un

À chaque entier naturel n on associe un nombre réel un appelé terme de rang nde la suite (un)n∈N.

Définition 11

Les suites (un)n∈N rencontrées sont définies :

— de manière explicite : un =3n− 1n+ 2

.

Le terme de rang n est directement obtenu en fonction de n.C’est une définition qui ressemble beaucoup à la définition usuelle d’une fonc-tion, et qui est extrêmement pratique pour les calculs. C’est celle que l’oncherchera à obtenir le plus souvent.

— de manière récurrente :

u0 = 2,

un+1 = 5 − 16un + 3

.

Le terme de rang n + 1 est obtenu en fonction du terme précédent.

⌊3⌋. Un corps de nombres.

F.PUCCI 17


C’est beaucoup moins pratique pour les calculs qu’une définition explicite,mais c’est souvent la définition la plus naturelle que nous aurons d’une suiteet souvent celle qu’obtiennent nos chers physiciens.Il pourra arriver qu’une suite soit définie par récurrence double (un+2 en fonc-tion de un+1 et un), auquel cas il faudra préciser les valeurs de u0 et u1, voirepar récurrence triple ou pire (mais c’est plus rare !). Une section sera consaccréeaux suite récurrentes dite d’ordre r.

—

— de manière implicite : eun − un − 2 = n.Le terme de rang n est défini comme solution d’une équation voire en

fonction de un+1.Pas vraiment extrêmement pratique pour les calculs, mais on n’arrive pastoujours à obtenir une formule explicite comme pou les primitives. Dans cecas, on arrive quand même à étudier la suite à l’aide d’études de fonctions.

III.1 Opérations sur les suites

L’ensemble des suites réelles Sn(R) ≈ RN est naturellement muni d’opérations desomme (on additionne les deux suites terme à terme), de produit et de produit parun réel.

Soient (un)n∈N et vn deux suites réelles (ou complexes).

— La somme de (un)n∈N et (vn)n∈N est la suite notée (u+ v)n∈N définie par :

∀ n ∈ N, (u+ v)n = un + vn.

— Le produit de (un)n∈N et (vn)n∈N est la suite notée (u× v)n∈N définie par :

∀ n ∈ N, (u× v)n = un × vn.

— Le produit de (un)n∈N par un scalaire λ ∈ R (ou C) est la suite notée(λu)n∈N définie par :

∀ n ∈ N, (λv)n = λ× un.

Définition 12

En particulier, l’ensemble des suites réelles (ou complexe) contient la suite nulle donttous les termes sont égaux à 0 et est stable par combinaisons linéaires : C’est unespace vectoriel réel (ou complexe).

F.PUCCI 18


III.2 Suites réelles et opération d’ordre

On dit qu’une suite (un)n∈N est :

— croissante à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un 6 un+1.

— décroissante à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un > un+1.

— stationnaire à partir d’un rang n0 si ∀n ∈ N, n > n0 =⇒ un = un+1.

Une suite croissante ou décroissante est dite monotone.

Définition 13

On parlera aussi de suites strictement monotones lorsque les inégalités larges ci-dessus seront remplacées par des inégalités strictes.

Attention, une suite peut être ni croissante, ni décroissante.

Exemples 7 : un = (−1)n, un =(−1)n

n,

{

u0 = 1un+1 = sin(un)

, un = tan(n), . . .

Exemple 8 : La suite (un)n∈N définie par un =n∏

k=0

(100 − k) est stationnaire à 0

à partir du rang n = 100.

Comparez deux termes d’une suite est difficile à faire directement. On se ramènedonc encore à comparer leur différence à 0 ou leur quotient à 1.

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N est croissante :

— On exprime un+1 − un, on factorise, réduit au même dénominateur, . . .

— À l’aide d’un tableau de signes, on montre que un+1 − un > 0.

Méthode 2 (Montrer qu’une suite est croissante)

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N sous forme multiplicative et à termes stric-tement positifs est croissante :

— On exprimeun+1

un

, on factorise, simplifie majore, minore, . . .

— On montre le numérateur est plus grand que le dénominateurc.-à-d.

un+1

un

> 1.

Méthode 3 (Montrer qu’une suite est croissante)

F.PUCCI 19


Exercice 6 : Étudier le sens de variation des suites suivantes :

1. un = n2 − n + 2

2.

{

w0 = 2wn+1 = wn − n

3. γn = 1+12

+13

+. . .+1n

.

4. vn =(2

3

)n

5.

{

α0 = 1αn+1 = (n2 + 1)αn

6. kn =n!nn

.

7. en =2n

n+ 1.

Exercice 7 : On considère la suite (vn)n∈N définie par :

v0 = 1

vn+1 =9

6 − vn

.

1. Montrer que, pour tout entier naturel n, 0 < vn < 3.

2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n, vn+1 − vn =(3 − vn)2

6 − vn

.

La suite (vn) est-elle monotone ?

(b) Démontrer que la suite (vn)n∈N est convergente.

Soient f une fonction définie sur [0 ; +∞ ] et (un)n∈N la suite définie parun = f(n).

— Si f est croissante alors la suite (un)n∈N est croissante.

— Si f est décroissante alors la suite (un)n∈N est décroissante.

Proposition 7 (Suites définies explicitement par une fonction)

En gros, la suite a le même comportement que la fonction mais la réciproque estfausse, c’est-à-dire que la fonction n’a pas nécessairement le même comportementque la suite.

Prenons par exemple, la fonctionf : x 7−→ x+ sin(2πx) et la suite (un)n∈N

définie par un = f(n).

— ∀n ∈ N, un = n + sin(2πn) = n ⌊4⌋.La suite (un)n∈N est donc crois-sante.

— La fonction, représentée en rouge,n’est même pas monotone.

u1 = 1 b

u1u1

u2 = 2 b

u2u2

u3 = 3 b

u3u3

u4 = 4 b

u4u4

u5 = 5 b

u5u5

1 2 3 4 5 n

un Cf

— La suite (un)n∈N est majorée s’il existe un réel M tel que ∀n ∈ N, un 6 M .

— La suite (un)n∈N est minorée s’il existe un réel m tel que ∀n ∈ N, un > m.

— La suite (un)n∈N est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Définition 14 (Suites majorées, minorées, bornées. . . )

⌊4⌋. sin(0π) = sin(2π) = sin(3π) = sin(4π) = . . . = 0 !

F.PUCCI 20


ATTENTIONLes majorants (ou minorants) d’une suite sont, par définition des constantes.Une majoration (une minoration) de un par un réel qui dépend de n nemontre PAS que la suite (un)n∈N est majorée (ou minorée).

La suite (un)n∈N est bornée si, et seulement si la suite(

|un|)

n∈Nest majorée.

Proposition 8

Exercice 8 : Montrer que l’ensemble des suites bornées est stable par somme,produit, et produit par un scalaire.

On dit que l’ensemble des suites bornées muni des trois opérations +, × et de lamultiplication par un scalaire vue comme loi externe est une R (ou C) algèbre.

Avant de se lancer, on réfléchira à la méthode la plus adaptée :

— En général, on étudie le signe de la différence un −m ou un −M .

— Si la suite (un)n∈N est définie par un = f(n) ou un+1 = f(un), on peututiliser le tableau de variations de la fonction f pour montrer que (un)n∈N

est majorée, minorée ou bornée.

— Si le terme général est donné sous la forme d’un quotient, on peut majo-rer/minorer numérateur et dénominateur.

Méthode 4 (Encadrer une suite)

Exercice 9 : Montrer que :

1. La suite (un)n∈N définie sur N∗ par un = 1 +1n

vérifie 1 < un 6 2, ∀ n ∈ N∗.

2. La suite (un)n∈N définie sur N∗ par un =

√1 + n2

nvérifie 1 < un < 1 +

1n

,

∀ n ∈ N∗.

Exercice 10 : Pour les cas suivants, préciser si la suite (un)n∈N est majorée, mi-norée ou bornée.

1. un = sin n.

2. un =1

1 + n2.

3. un = 2n.

4. un = n+ cos n.

5. un = (−1)n × n2.

Pour montrer qu’une suite (un)n∈N n’est pas majorée :

— On se donne un réel A quelconque.

— On montre que l’on peut toujours trouver un terme de la suite plus grandque A en résolvant, par exemple, l’inéquation un > A.

Méthode 5 (Suite non majorée)

F.PUCCI 21

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites IV. SUITES CONVERGENTES

Il est temps de s’intéresser au comportement d’une suite lorsque n → +∞ c.-à-d. soncomportement asymptotique..

Deux cas, opposés l’un de l’autre se présentent : les suites convergentes et les suitesdivergentes. Parmi celle-ci, les divergentes vers l’infini et celle n’ayont pas de limites.

Voyons cela !

IV Suites convergentes

Considérons la suite (un)n∈N définie par un =3n + (−1)n

2net représentée ci-dessous :

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21

1

2

n

un = f(n)

bc u2u2bc u4u4 bc u6u6 bc u8u8 bc u10u10 bc u12u12 bc u14u14 bc u16u16 bc u18u18 bc u20u20 bc u22u22 bc u24u24 bc u26u26 bc u28u28 bc u30u30

bc u1u1

bc u3u3bc u5u5

bc u7u7bc u9u9

bc u11u11 bc u13u13 bc u15u15 bc u17u17 bc u19u19 bc u21u21 bc u23u23 bc u25u25 bc u27u27 bc u29u29ℓ

Rang à partir duquel tous lestermes un de la suite sont dansla bande centrée autour de ℓ.

Sur cet exemple, le graphique permet de conjecturer que la suite (un)n∈N converge

vers32

: les termes de la suite, pour n grand, semblent s’accumuler dans une bande

de plus en pus étroite centrée en32

.

Bande que l’on pourrait prendre aussi fine que l’on voudrait.

Cette idée est formalisée par la définition ci-dessous et la plus importante duchapitre :

Dire que la suite numérique (un)n∈N converge vers un réel ℓ signifie que toutintervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d’uncertain rang.On dit alors que ℓ est la limite de la suite (un)n∈N et on note lim

n→+∞un = l.

Définition 15 (suite convergente)

F.PUCCI 22


En apparence absconse, cette définition, si on la regarde de plus près,traduit simplement qu’une suite convergente, vu le nombre infini de sestermes, n’a pas d’autre choix que de s’agglutiner autour de sa limite.

0 1 2

u2u4u6bcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbcbc

u1 u3 u5bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc b

ℓℓ

Les termes de la suite un =3n+ (−1)n

2ns’agglutine autour de ℓ =

32

.

Quel que soit le voisinage de celle-ci, aussi petit soit-il, tous les termes,sauf un nombre fini entreront plus ou moins rapidement dans ce voisi-nage.

Toutefois, l’utilisation directe de cette définition n’est pas toujours commode.

Heureusement, nous disposons de théorèmes pour prouver la convergence d’une suitedont l’emploi est bien plus aisé que cette définition. Cette dernière sera surtout utiledans la démonstration de certains théorèmes (comme le théorème (17) desgendarmes par exemple).

On peut formuler la définition comme suit :

— (un)n∈N converge vers ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous lestermes de la suite sauf un nombre fini.

— (un)n∈N converge vers ℓ si pour tout intervalle ouvert I contenant ℓ, il existeun entier no tel que n > no =⇒ un ∈ I.

A la manière de Newton et d’un point de vue infinitésimal, on peut encore voir cettedéfinition de la manière suivante :

— (un)n∈N converge vers ℓ si pour tout nombre réel strictement positif ε ⌊5⌋(lire« epsilon »), il existe un rang no, à partir duquel, toutes les valeurs de un sontproches de ℓ à ε près.

— ou encore : pour tout nombre réel ε > 0, il existe un entier no tel que : sin > no, alors ℓ− ε 6 un 6 ℓ+ ε.

Finalement :

La suite (un)n∈N converge vers ℓ si, et seulement si :

∀ε ∈ R+∗, ∃no(ε) ∈ N / ∀ n ∈ N, n > no =⇒ |un − ℓ| 6 ε.

Définition 16 (suite convergente)

⌊5⌋. aussi petit soit-il.

F.PUCCI 23


« Pour tout réel strictement positif ε, il existe un entier n0 (qui dépend de lui) telque, pour tout entier n plus grand que n0, la distance un − ℓ est inférieure à ε. »

Que pressent-on déjà ?

Les suites définies pour tout entier naturel n non nul par :

un =1n, vn =

1n2, wn =

1n3, tn =

1√n, rn = qn

q ∈] − 1 ; 1 [

ont pour limite 0.

Proposition 9

Preuve: Entraînez-vous !

Pour (rn)n∈N, on her he n0 ∈ N tel que, ∀ n ∈ N, n > n0 implique

|rn| 6 ε ⇐⇒ |qn| 6 ε ⇐⇒ n ln |q| 6 ln ε ⇐⇒|q|<1

n >ln ε

ln |q| .

Il su�t don de poser n0 =

⌊

ln εln |q|

⌋

+ 1.

Exemple 9 : La suite (un)n∈N définie par un =(−1)n

n, n ∈ N∗, converge vers 0.

Tout intervalle ouvert ] − a; a[, a ∈ R+∗, contenant 0 contient tous les termes de

la suite (un)n∈N à partir du rang n0 =⌊1a

⌋

+ 1.

Remarques :— Si une suite ne converge pas elle est dite divergente. Autrement dit, une

suite est divergente si, et seulement si elle admet une limite infinie ou si ellen’admet pas de limite. Cette situation n’est pas aussi simple qu’elle n’y paraît.Une section est consacrée à ce type de suites.

— Si la suite (un)n∈N est de la forme un = f(n) avec f une fonction définie sur unintervalle de la forme [a; +∞[, nous verrons que le comportement de la suiteest intimement lié à celui de la fonction en +∞. ⌊6⌋

— Le fait que la suite converge ne dépend que du comportement de la suite àpartir d’un certain rang.

⌊6⌋. Nous verrons plus tard.

F.PUCCI 24


Si une suite converge alors sa limite est unique.

Théorème 6

Par la contraposée, « si une suite possède plusieurs limites alors elle diverge. »

Par exemple, la suite définie par un = (−1)n qui possède deux valeurs d’adhérence1 et −1 est divergente.

Preuve: Soit (un)n∈N une suite onvergente. Supposons qu'elle admette deux

limites distin tes ℓ et ℓ′ave , par exemple, ℓ < ℓ′

.

On va montrer que ela n'est pas possible sans ontradi tion.

Soit d un réel positif inférieur stri tement à

ℓ′ − ℓ

2⌊7⌋.

On pose I =]ℓ− d ; ℓ+ d [ et I ′ =]ℓ′ − d ; ℓ′ + d [.

I I ′

ℓ ℓ′

ℓ′ − ℓ

2

d d

Comme d <ℓ′ − ℓ

2alors 2d < ℓ′ − ℓ ou en ore d+ ℓ < ℓ′ − d. Les deux intervalles I

et I ′sont don disjoints et ontiennent respe tivement ℓ et ℓ′

.

Venons-en à la ontradi tion : Par dé�nition, si (un)n∈N onverge vers ℓ, l'intervalleI ontient tous les termes de la suite à partir d'un ertain rang no. Mais (un)n∈N

onverge aussi vers ℓ′don I ′

ontient aussi tous les termes de la suite à partir d'un

ertain rang n1.

Finalement, si l'on prend n supérieur au plus grand des deux nombres no et n1, un

devra appartenir à la fois à I et I ′, e qui est impossible ar es intervalles sont

disjoints.

(un)n∈N ne peut don admettre deux limites distin tes et la limite d'une suite est,

de e fait, unique.

Une propriété utile :

⌊7⌋. La moitié de la distance entre ℓ et ℓ′.

F.PUCCI 25


Si la suite (un)n∈N converge vers ℓ ∈ R alors la suite (|un|)n∈N converge vers |ℓ|.Proposition 10

ATTENTION La réciproque est fausse. Il suffit de considérer la suite ((−1)n)n∈N.

Preuve: Il su�t d'é rire :

∣∣∣|un| − |ℓ|

∣∣∣ 6 |un − ℓ|,

d'après l'inégalité triangulaire et d'utiliser la onvergen e de (un)n∈N vers ℓ.

Exemple 10 (Suite géométrique de raison q < −1) : Un exemple clas-sique d’utilisation est par la contraposée pour montrer qu’une suite géométrique(un)n∈N de raison q strictement inférieure à −1 est divergente.

En effet, la suite (|un|)n∈N est géométrique de raison |q| > 1 donc divergente.

La suite (un)n∈N ne saurait être convergente.

Soient ℓ ∈ R et (αn)n∈N une suite réelle positive telle que limn→+∞

αn = 0.

Si, à partir d’un rang n0 ∈ N, |un − ℓ| 6 αn alors (un)n∈N est convergente delimite ℓ.

Lemme 7

Preuve: Soit ε ∈ R∗+. Comme (αn)n∈N onverge vers 0, il existe un rang n1 à

partir duquel αn 6 ε.

Pour n 6 max (n0 ; n1), on a don |un − ℓ| 6 αn 6 ε et (un)n∈N onverge vers ℓ.

Exercice 11 : Montrer que limn→+∞

an

n!= 0 pour tout a ∈ R.

Correction : Supposons a 6= 0 sinon 'est évident.

Posons un =an

n!. On a

un+1

un=

a

n + 1−−−−−→n→+∞

0.

Par dé�nition de la limite .-à-d. ε =12, il existe un n0 ∈ N tel que n > n0 =⇒

∣∣∣∣

un+1

un

∣∣∣∣ 6

12.

Par ré urren e, on a alors |un| 6 12n−n0

|un0 |.

Comme limn→+∞

12n−n0

|un0 | = 0, on en déduit que limn→+∞

un = 0.

F.PUCCI 26


IV.1 Propriétés des suites convergentes

Toute suite réelle convergente est bornée.

Proposition 11

Preuve: Posons ε = 1. Alors il existe un n0(1) ∈ N tel que n > n0 =⇒ |un−ℓ| 6 ε.

D'où ∀ n > n0, |un| 6 |un − ℓ| + |ℓ| 6 |ℓ| + 1 d'après l'inégalité triangulaire.

Posons M = max (|u0|, |u1|, . . . , |un0−1|, 1 + |l|).On a alors, ∀ n ∈ N, |un| 6M . La suite (un)n∈N est bornée.

ATTENTION La réciproque est encore fausse toujours en considérant(

(−1)n)

n∈N∗

.

Petit corollaire intéressant pour montrer, par exemple, qu’une suite convergeant versun réel non nul est non nulle à partir d’un certain rang.

— Toute suite convergeant vers un réel ℓ strictement positif ou divergeantvers +∞ est minorée par un réel m strictement positif à partir d’un certainrang.

— Toute suite convergeant vers un réel ℓ strictement négatif ou divergeantvers −∞ est majorée par un réel M strictement négatif à partir d’uncertain rang.

Corollaire 1

Preuve:� 1. Si lim

n→+∞un = +∞, il su�t de prendre A = 1 pour avoir un > 1 > 0 dès

que n > n0(A) donné par la divergen e de (un)n∈N.

2. Si limn→+∞

un = ℓ, prenons ε =ℓ

2> 0. Il existe alors un rang n0 au delà

duquel − ℓ

26 un − ℓ 6

ℓ

2=⇒ 0 <

ℓ

26 un.

Ainsi, dans les deux as, (un)n∈N est minorée à partir d'un ertains rang par

un réel stri tement positif.

� Identique

F.PUCCI 27


IV.2 Passage à la limite dans les inégalités

Soient (un)n∈N une suite réelle convergeant vers un réel ℓ et et m, M ∈ R.

— Si limn→+∞

un < M alors un < M à partir d’un certain rang.

— Si limn→+∞

un > m alors un > m à partir d’un certain rang.

Théorème 8 (Limites et inégalités strictes)

Preuve: Il su�t d'appliquer le corollaire (1) aux suites un −M et un −m.

Soient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites réelles possédant une limite finie.

Si un 6 vn à partir d’un certain rang, alors limn→+∞

un 6 limn→+∞

vn.

Théorème 9 (Limites et inégalités larges)

Remarque : Ce résultat est utilisé le plus souvent lorsque l’une des deux suites estconstante.

Exemple 11 : Soit (un)n∈N convergente avec un 6 A à partir d’un certain rang.Alors lim

n→+∞un 6 A.

ATTENTION C’est TRÈS faux avec des inégalités STRICTES ! Pour tout

n ∈ N∗,1n> 0 mais lim

n→+∞

1n

= 0.

Preuve: Raisonnons par l'absurde en supposant que limn→+∞

(vn − un) < 0.

Le théorème pré édent a�rme alors que vn − un < 0 à partir d'un ertain rang e

qui est en ontradi tion ave l'hypothèse.

IV.3 Suite extraite

Le comportement des suites extraites à l’infini donne des indications quant au com-portement de la suite initiale.

Si le comportement de la suite initiale détermine le comportement d’une suite ex-traite, il est beaucoup plus délicat de faire chemin arrière, une suite extraite nepouvant fournir qu’une information partielle sur la suite totale.

F.PUCCI 28


Une sous-suite d’une suite (un)n∈N, appelée aussi suite extraite, est une suite dela forme

(

uϕ(n)

)

n∈N, où ϕ : N 7−→ N est une application strictement croissante.

Définition 17 (Suite extraite)

Les sous-suites que nous manipulerons le plus souvent sont les sous-suites de la forme(u2n)n∈N, on ne garde que les termes d’indice pair de la suite, et (u2n+1)n∈N, on gardeles termes d’indice impair, (u3n)n∈N, (u3n+1)n∈N, (u3n+2)n∈N, . . .

Soit ϕ une fonction strictement croissante de N dans N.Pour tout n ∈ N, ϕ(n) > n.

Lemme 10

Preuve: Par ré urren e fa ile sur n ∈ N.

Soit (un)n∈N une suite réelle convergeant vers une limite ℓ.Alors toute sous-suite extraite de (un)n∈N converge vers cette même limite ℓ.

Théorème 11

Preuve: Relativement évident à partir du lemme (10) .

S'il existe un rang n0(ε) ∈ N à partir duquel |un − ℓ| 6 ε alors, on a aussi

|uϕ(n) − ℓ| 6 ε dès que n > n0.

Remarque : La réciproque de cette proposition est évidemment fausse. Un contre-exemple classique (qui est aussi un contre-exemple à la réciproque de la propositionsur le caractère borné des suites convergentes) est la suite définie par un = (−1)n.

Pour cette suite, la suite extraite des indices pairs a pour limite 1 et la suite desindices impairs a pour limite −1. alors que la suite (un)n∈N n’est pas convergente.

ATTENTION

La convergence d’une ou plusieurs suites extraites n’est en général pas suf-fisante pour assurer la convergence d’une suite.Il faut que l’ensemble des suites extraites considérées permette de contrôlerde façon complète tous les termes de la suite (au moins à partir d’un certainrang).

Exemple 12 : Si x ∈] − 1 ; 1 [, alors limn→+∞

x2n

= 0.

F.PUCCI 29


On remarquera bien que la suite(

x2n)

n∈Nn’est pas géométrique, x2n

et (x2)n = x2n

n’ont rien en commun.

La suite(

x2n)

n∈Nest tout simplement une suite extraite de (xn)n∈N qui converge

vers 0.

En pratique Ce théorème est souvent utilisé pour montrer qu’une suite N’A PAS DELIMITE. Il suffit pour cela d’en exhiber deux suites extraites n’ayant pas la mêmelimite.

Exercice 12 : Pour tout n ∈ N, on pose : un =n

9−⌊√

n

3

⌋2

.

1. Étudier les limites des suites extraites (u9n2)n∈N et (u(3n+1)2)n∈N.

2. Que peut-on en déduire pour la suite (un)n∈N ?

Correction : u9n2 = 0 −−−−−→n→+∞

0 et u(3n+1)2 =(

n2 +6n + 1

9

)

−n2 =6n + 1

9−−−−−→n→+∞

+∞.

Don (un)n∈N n'a pas de limite.

Le cas le plus important est la possibilité de récupérer la convergence d’une suite(un)n∈N à l’aide des suites extraites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N de ses indices pairs etimpairs.

Si les deux sous-suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N d’une suite (un)n∈N convergentvers une même limite ℓ, alors (un)n∈N converge vers ℓ.

Proposition 12

Preuve: Soit ε > 0. Il su�t de prendre n > max(

n0,u2n(ε) ; n1,u2n+1(ε)

)

pour

avoir :

|un − ℓ| 6 ε.

La notion de suite extraite est intimement liée à celle de valeur d’adhérence :

Soit (un)n∈N une suite de réels (ou complexes).On dit que le réel (ou complexe) a est une valeur d’adhérence de la suite (un)n∈N

s’il existe une suite extraite (uϕ(n))n∈N de (un)n∈N telle que lim uϕ(n) = a.

Définition 18 (Valeur d’adhérence)

F.PUCCI 30


Ainsi, l’ensemble des valeurs d’adhérence d’une suite (un)n∈N est l’ensemble de toutesles limites (finies) des suites extraites de (un)n∈N.

En particulier, en réécrivant la définition précédente, on obtient :

Si une suite (un)n∈N converge vers un réel ℓ alors ℓ est valeur d’adhérence de(un)n∈N et c’est la seule dans R.

Proposition 13

On verra plus loin que cette proposition admet une réciproque.

Soit (un)n∈N une suite réelle, et a un réel.Alors a est valeur d’adhérence de (un)n∈N si, et seulement si pour tout voisinageV de a, il existe une infinité d’indices n tels que un ∈ V c.-à-d. s’il existe unsous-ensemble infini I de N tel que pour tout n ∈ I, un ∈ V.

Proposition 14 (Caractérisation des valeurs d’adhérence)

Preuve: Simple ompréhension de la définition (18)

Soit (un)n∈N une suite a ∈ R. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. a est valeur d’adhérence de (un)n∈N.

2. Pour tout ε > 0, ]a− ε ; a+ ε [ contient une infinité de termes de la suite(un)n∈N.

3. ∀ ε > 0, ∀ n ∈ N, ∃n0 > n tel que un0 ∈]a− ε ; a+ ε [.

Corollaire 1 (Caractérisation des valeurs d’adhérence finie)

Preuve: Éléments de preuve.

� (1) =⇒ (2) : onséquen e immédiate de la ara térisation pré édente.

� (2) =⇒ (1) : utiliser la ara térisation pré édente, en remarquant que tout

voisinage de a ontient un ]a− ε ; a+ ε [

� (2) ⇐⇒ (3) : assez lair.

Soit (un)n∈N une suite.Alors +∞ est valeur d’adhérence de (un)n∈N si, et seulement si (un)n∈N n’estpas majorée.

Corollaire 2 (Caractérisation d’une valeur d’adhérence infinie)

F.PUCCI 31



� Sens dire t : ara térisation pré édente ave des voisinages ]A ; +∞ [.

� Sens ré iproque : prendre V voisinage de +∞ et ]A ; +∞ [⊂ V. Si ]A ; +∞ [ ontient un nombre �ni de termes de (un)n∈N, es valeurs admettent un majo-

rant.

Les autres sont majorées par A.

Don (un)n∈N est majorée.

Une suite (un)n∈N converge dans R si, et seulement si elle admet une uniquevaleur d’adhérence dans R.

Théorème 12 (Caractérisation de la convergence par les valeurs d’adhérence)


� Sens dire t : déjà étudié.

� Sens ré iproque : pour tout voisinage V de a (unique valeur d'adhéren e), seulun nombre �ni de termes de (un)n∈N est hors de V sinon on pourrait en extraire

une suite onvergente d'après la proposition pré édente, et on obtiendrait une

deuxième valeur d'adhéren e.

De toute suite bornée, on peut extraire une sous-suite convergente.

Théorème 13 (Bolzano-Weierstrass)

Ce théorème est complètement HORS-PROGRAMME, interdiction absolue del’utiliser en devoir.

Cependant, il répond magnifiquement à la question de la réciproque à la proposi-tion (11) et vous évitera peut-être d’écrire des bêtises sans réfléchir.

En terme de valeurs d’adhérence, ce théorème affirme que toute suite réelle bornéeadmet au moins une valeur d’adhérence.

Preuve: Soit don (un)n∈N une suite bornée.

Pour une meilleure ompréhension, voyons les entiers n omme des individus situés

à une hauteur un.

� On dit que n a � vue sur la mer � si : ∀ p > n, un > up. .-à-d. n est plus haut

que tous les entiers qui viennent après lui.

� On dit que n a � la vue bou hée � si : ∃ p > n, up > un .-à-d. il existe un

entier p supérieur à n et situé plus haut que lui.

F.PUCCI 32


On pose alors A = {n ∈ N / ∀ p > n, un > up} .-à-d. l'ensemble de tous les entiers

n ayant vue sur la mer.

Deux possibilités :

� Si A est in�ni .-à-d. il existe une in�nité d'individus ayant vue sur la mer,

on onsidère la sous-suite ontenant tous les termes de (un)n∈N dont l'indi e

appartient à A.

Cette sous-suite est, par onstru tion, dé roissante puisque ha un de ses

termes est plus grand

⌊8⌋que tous les termes suivants dans la suite (un)n∈N.

Comme ladite sous-suite est, par ailleurs, minorée puisque (un)n∈N est bornée,

elle onverge d'après le théorème (19) de onvergen e monotone.

� Si A est �ni, onsidérons un n0 plus grand que le plus grand élément de A .-à-d. on se pla e au-delà de e nombre �ni et tous les individus ont alors

la vue bou hée. Puisque n0 /∈ A, il existe ertainement un entier n1 > n0

pour lequel un0 < un1 : l'individu n0 n'ayant pas vue sur la mer, il existe

ertainement un individu n1 plus haut que lui.

De même, n1 /∈ A, don on peut trouver un entier n2 tel que un1 < un2. On

fait de même pour l'individu n1 qui n'a pas vue sur la mer don un individu

plus haut devant lui.

On onstruit ainsi petit à petit une suite d'indi es orrespondant à une sous-

suite roissante de (un)n∈N.

Cette sous-suite étant majorée, elle onverge.

Remarque : On a, en fait, démontré le résultat suivant : de toute suite réelle, on

peut extraire une sous-suite monotone.

Ce théorème est important car il donne l’existence d’une valeur d’adhérence noninfinie. On notera cependant que la démonstration ne donne pas de constructionexplicite de la sous-suite. Pire, on peut ne pas être capable d’expliciter une tellesous-suite.

Un peu d’histoire: Il est patent que Bolzano n’a jamais énoncé le théorème danslequel son nom est désormais lié à celui de Weierstrass. C’est à ce dernier que revientl’entière paternité du théorème. Cependant, il utilisa pour le démontrer les idées deBolzano et la méthode qu’il avait mise au point pour son propre théorème trenteannées plus tôt.

Bernhard Bolzano mourut le 18 décembre 1848, à l’âge de 67 ans, des suites d’unetuberculose. C’est dans une lettre adressée à Georg Cantor en 1870 que HermannSchwarz proposa, en reconnaissance du génie de Bolzano, de réunir son nom àcelui de Weierstrass pour désigner le théorème.

⌊8⌋. L’individu qui précède est plus haut que son suivant.

F.PUCCI 33

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites V. SUITES DIVERGENTES

V Suites divergentes

V.1 Suites de limite infinie

Considérons, par exemple, la suite (un)n∈N définie par un =√n + 2.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2

3

4

5

6

7

n

un = f(n)

bc

u0u0

bc

u1u1

bc

u2u2

bc

u3u3

bc

u4u4

bc

u5u5

bc

u6u6

bc

u7u7

bc

u8u8

bc

u9u9

bc

u10u10

bc

u11u11

bc

u12u12

bc

u13u13

bc

u14u14

bc

u15u15

bc

u16u16

bc

u17u17

bc

u18u18

bc

u19u19

bc

u20u20

bc

u21u21

bc

u22u22

bc

u23u23

bc

u24u24

A

Rang à partir duquel tous les termes un

de la suite sont supérieurs à A.

Par analogie avec une suite convergente, une suite qui diverge vers +∞ doit né-cessairement dépasser toute valeur de A, aussi grand soit-il. La définition suivanteformalise cette idée :

Une suite (un)n∈N a pour limite +∞ si tout intervalle ouvert de la forme ]A ; +∞ [avec A ∈ R, contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.On dit alors que (un)n∈N diverge vers +∞ et on note lim

n→+∞un = +∞.

Définition 19 (Suite divergente)

On définit de la même façon une suite qui diverge vers −∞ :

Ou encore :

La suite (un)n∈N diverge vers +∞ si, et seulement si :

∀A ∈ R, ∃no(A) ∈ N / ∀ n ∈ N, n > no =⇒ A 6 un.

Définition 20 (Suite divergente)

« Pour tout réel A, il existe un un entier n0 (qui dépend de lui) tel que pour toutentier n plus grand que n0, le terme un est plus grand que A. »

Remarque : On retrouve ici la définition de l’infini.

Vient alors un théorème simple mais important :

F.PUCCI 34


Si une suite (un)n∈N est croissante et non majorée, alors :

limn→+∞

un = +∞

Théorème 14 (Limite monotone)

Preuve: On applique la définition (19) ainsi que elle d'une suite roissante.

Soit A un nombre réel quel onque.

� Comme la suite (un)n∈N n'est pas majorée, on peut trouver un entier p tel queup > A.

� La suite (un)n∈N étant roissante, pour tout n > p, un > up d'où un > A.

D'où limn→+∞

un = +∞.

Et pour les suites décroissantes, on a, par symétrie :

Si une suite (un)n∈N est décroissante et non minorée, alors :

limn→+∞

un = −∞


Preuve: On onsidère la suite (−un)n∈N qui est roissante non majorée et on

applique la proposition pré édente.

ATTENTION

La réciproque de ce théorème est fausse : si une suite diverge vers +∞, ellen’est pas nécessairement croissante.Il suffit de considérer la suite définie par un = n+(−1)n pour s’en convaincre.De même, toute suite croissante majorée, donc convergente, sera un contre-exemple à une suite croissante qui ne diverge pas nécessairement vers +∞si on enlève la condition « non majorée ».

Exercice 13 : On considère la suite (Hn)n∈N∗ définie par Hn =n∑

k=1

1k

.

1. Montrer que ∀ n ∈ N∗, H2n > 1 +n

2.

2. Que dire de la convergence de (Hn)n∈N ?

Correction :

F.PUCCI 35


1. On a :

H2n = 1 +12

+(

13

+14

)

+(

15

+ . . . +18

)

+ . . . +(

12n−1 + 1

+ . . . +12n

)

> 1 +12

+24

+48

+ . . . +2n−1

2n

= 1 +12

+ . . . +12

> 1 +n

2.

2. La suite (Hn)n∈N n'est don pas majorée. Comme elle est lairement roissante,

d'après le théorème de limite monotone, limn→+∞

Hn = +∞.

Les suites définies pour tout entier naturel par :

un = n, vn = n2, wn = n3, tn =√n, rn = an, a > 1

ont pour limite +∞.

Corollaire 1

Ce corollaire s’inscrira particulièrement bien avec la proposition ci-dessous :

— Si un > vn et si limn→+∞

vn = +∞ alors limn→+∞

un = +∞.

— Si un 6 wn et si limn→+∞

wn = −∞ alors limn→+∞

un = −∞.

Théorème 16 (Théorème de comparaison)

Remarque : Il s’entend que les inégalités du théorème précédent ne peuvent êtrevalables qu’à partir d’un certain rang sans changer la conclusion du théorème.

Preuve: Soit A un réel quel onque.

Comme limn→+∞

vn = +∞, il existe un entier n0 tel que si n > n0 alors vn ∈]A ; +∞ [.

Or, un > vn à partir d'un ertain rang p don si n > max(n0, p) alors un ∈]A ; +∞ [.

On a don bien limn→+∞

un = +∞.

Exercice 14 : Montrer que la suite (un)n∈N définie par : un = n + sinn divergevers +∞.

Exercice 15 : Même question avec la suite définie par un =n∑

k=1

1√k

,

1. avec le résultat de l’ exercice (13) .

2. de manière indépendante.

F.PUCCI 36

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites VI. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES

V.2 Suites qui n’ont pas de limite

ATTENTIONS’il est correct de dire qu’une suite non convergente est divergente, il estcependant faux de penser qu’une suite divergente s’envole nécessairementvers l’infini ⌊9⌋. En effet, il existe des suites qui n’ont pas de limite. Ellessont, elles aussi, appelées suites divergentes.

Exemple 13 : Les suites (un)n∈N et (vn)n∈N respectivement définies parun = (−1)n et vn = sin n sont divergentes sans pour autant diverger vers l’in-fini.

VI Opérations sur les limites

Les résultats de certaines opérations sur les limites sont intuitifs et parfaitementdéterminés.

Un peu d’histoire: Les théorèmes qui suivent étaient jugés évidents au XVIIIème

siècle. Une tentative de démonstration aurait alors paru incongrue et superflue. Cesdémonstrations nous sont cependant nécessaires pour plusieurs raisons :

— Montrer l’efficacité de notre définition de limite.

— Justifier la validité de notre intuition.

— Servir de modèle de démonstration pouvant être utilisé dans des cas plus com-plexes.

D’autres opérations mènent à des formes dites « indéterminées », c’est-à-dire qu’ellesconduisent à plusieurs résultats possibles qu’ils faudra. . . déterminer.

Pour ce faire, il faudra alors user de différentes méthodes et techniques pour trans-former l’écriture de la suite et « lever l’indétermination ».

Notamment, factoriser une somme, développer un produit, décomposer une fractionen éléments simples ou multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantitéconjuguée. Nous verrons cela.

Les théorèmes suivants sont le pendant de ceux pour les fonctions. Il est assez intuitifde penser que la limite de la somme, du produit ou du quotient est la somme, leproduit ou le quotient des limites et cela a déjà été montré dans le cas des suitesconvergentes.

Seuls 4 cas à bien identifier représentent des formes indéterminées. Il faudra alorssoit essayer de changer la forme de la suite, soit utiliser le théorème de comparaisonou des gendarmes, soit le théorème (19) sur les suites monotones pour pouvoirconclure ⌊10⌋.

⌊9⌋. et au-delà !⌊10⌋. Dans tous les cas, réfléchir avant d’affirmer.

F.PUCCI 37


VI.1 Limite d’une somme

Si (un)n∈N a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si (vn)n∈N a pour limite ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞alors (un + vn)n∈N a pour limite ℓ+ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

Preuve:� Somme de deux limites �nies ℓ et ℓ′

: Soit ε > 0.

|un + vn − (ℓ+ ℓ′)| 6 |un − ℓ| + |vn − ℓ′|.

Il su�t alors de prendre N = max(

n0, un

(

ℓ,ε

2

)

; n0, vn

(

ℓ′,ε

2

))

.

� Somme d'une limite �nie ℓ et d'une limite +∞ : On suppose limn→+∞

un = ℓ et

limn→+∞

vn = +∞.

Soit A > 0. Par hypothèse, |un − ℓ| < 1 à partir d'un ertain rang n0(1), don ,en parti ulier :

∀ n > n0, un > ℓ− 1.

De même, pour n > n1(A− ℓ+ 1), vn > A − ℓ+ 1.Pour n > N = max (n0 ; n1), on a don :

un + vn > (ℓ− 1) + (A− ℓ+ 1) = A.

� Somme de deux limites+∞ : SoitA > 0 et posonsN = max(

n0, un

(A

2

)

; n0, vn

(A

2

))

.

Alors, pour n > N , un + vn > A.

Cas de la forme indéterminée (+∞) − (+∞) :

— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ : limn→+∞

(n+ ℓ) = +∞ et limn→+∞

n = +∞,

mais limn→+∞

(

(n+ ℓ) − n)

= ℓ.

— On peut obtenir n’importe ±∞ : limn→+∞

2n = +∞ et limn→+∞

n = +∞, mais

limn→+∞

(

2n− n − n)

= +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : limn→+∞

n + (−1)n = +∞ et limn→+∞

n = +∞,

mais limn→+∞

(

n+ (−1)n − n)

n’a pas de limite.

Exemple 14 : La suite (un)n∈N définie pour tout n ∈ N∗ par un = 2 +4√n

,

converge vers 2.

En effet limn→+∞

4√n

= 0 donc limn→+∞

un = 2 + 0 = 2.

Exercice 16 : Déterminer les limites des suites suivantes :

F.PUCCI 38


1. ∀ n ∈ N∗, un = 3n+ 1 +2n

.

2. ∀ n ∈ N∗, vn =(1

3

)n

+ 5 − 1n

.

3. ∀ n ∈ N, wn = n2 − n+ 2.

VI.2 Limite d’un produit

Si (un)n∈N a pour limite ℓ ℓ 6= 0 0 ∞Si (vn)n∈N a pour limite ℓ′ ∞ ∞ ∞alors (un×vn)n∈N a pour limite ℓ× ℓ′ ∞ ⌊11⌋ Forme

Indéter.∞ ⌊11⌋

Preuve:� Produit de deux limites �nies ℓ et ℓ′

: Soit ε > 0.

|unvn − ℓℓ′| 6 |(un − ℓ)vn + ℓ(vn − ℓ′)| 6 |un + ℓ||vn| + |ℓ||vn − ℓ′|.

Or, d'après la proposition (11) , la suite onvergente (vn)n∈N est bornée,

disons par un réel K > 0.

Il su�t alors de prendre N = max

(

n0, un

(

ℓ,ε

2K

)

; n0, vn

(

ℓ′,ε

2|ℓ|

))

.

Remarque : Si jamais il arrivait que ℓ ou K soient nuls, il su�rait de prendre

respe tivement n0, vn

(

ℓ′,ε

2(|ℓ| + 1)

)

ou n0, un

(

ℓ,ε

2(K + 1)

)

sans que l'inéga-

lité �nale ne soit hangée.

� Produit d'une limite �nie ℓ ∈ R∗+ et d'une limite+∞ : On suppose lim

n→+∞un = ℓ

et limn→+∞

vn = +∞.

Soit A > 0. Par hypothèse, |un − ℓ| < ℓ

2à partir d'un ertain rang n0

(ε

2

)

,

don , en parti ulier :

∀ n > n0, un > ℓ− ℓ

2=ℓ

2.

De même, pour n > n1

(2Aℓ

)

, vn >2Aℓ.

Pour n > N = max (n0 ; n1), on a don :

unvn >ℓ

2× 2A

ℓ= A.

� Produit de deux limites+∞ : SoitA > 0 et posonsN = max(

n0, un

(√A)

; n0, vn

(√A))

.

Alors, pour n > N , unvn > A.

Cas de la forme indéterminée 0 × (∞) :

⌊11⌋. Appliquer la règle des signes d’un produit.

F.PUCCI 39


— On peut obtenir n’importe quel réel ℓ : limn→+∞

ℓ

n= 0 et lim

n→+∞n = +∞, mais

limn→+∞

ℓ

n× n = ℓ.

— On peut obtenir n’importe ±∞ : limn→+∞

1n

= 0 et limn→+∞

n2 = +∞, mais

limn→+∞

1n

× n2 = +∞.

— On peut ne pas obtenir de limite : limn→+∞

(−1)n

n= 0 et lim

n→+∞n = +∞, mais

limn→+∞

(−1)n

n× n n’a pas de limite.


1. ∀ n ∈ N, un = n2 − n+ 2.

2. ∀ n ∈ N, un =√n(3n2 − 7).

3. ∀ n ∈ N, vn = (2 − n) × 3n.

4. ∀ n ∈ N, wn =1

n + 1× (n2 + 3).

VI.3 Limite d’un quotient

Si f a pour limite ℓ ℓ > 0 ℓ > 0 0 ℓ ∞ ∞Si g a pour limite ℓ′ 6= 0 0+ 0− 0 ∞ ℓ′ ∞

alorsf

ga pour limite

ℓ

ℓ′+∞ −∞ Forme

Indéter.0 ∞ ⌊11⌋ Forme

Indéter.

Preuve:� Inverse d'une limite non nulle ℓ : Soit ε > 0. On peut supposer un 6= 0 à partir

d'un ertain rang n0 ∈ N d'après le corollaire (1) .

∣∣∣∣

1un

− 1ℓ

∣∣∣∣ =

|un − ℓ||un||ℓ| .

Par dé�nition de la onvergen e de (un)n∈N, il existe un rang n1 ∈ N tel que :

n > n1 =⇒ |un − ℓ| 6 min

(

|ℓ|2

;|ℓ|2ε

2

)

.

Or, d'après l'inégalité triangulaire, pour n > n1 :

∣∣∣|ℓ| − |un|

∣∣∣ 6 |un − ℓ| 6 |ℓ|

2=⇒ |un| > |ℓ| − |ℓ|

2=

|ℓ|2.

Il su�t alors de prendre N = max (n0 ; n1), pour avoir :

∣∣∣∣

1un

− 1ℓ

∣∣∣∣ =

|un − ℓ||un||ℓ| 6

|ℓ|2ε2

|ℓ|2

× |ℓ|= ε.

F.PUCCI 40


� Inverse d'une limite �nie +∞ : On suppose un 6= 0 à partir d'un ertain rang

n0 ∈ N.

Soit ε > 0. Il existe un rang n1

(1ε

)

à partir duquel un >1ε.


∣∣∣∣

1un

∣∣∣∣ =

1un

< ε.

� Inverse d'une limite nulle d'une suite stri tement positive : suppose un 6= 0 à

partir d'un ertain rang n0 ∈ N.

Soit A > 0. Il existe un rang n1

(1ε

)

à partir duquel |un| < 1A.


1un

=1

|un| > A.


1. ∀ n ∈ N, un =5

2n2 + 1.

2. ∀ n ∈ N∗, un =1√n+ 7

.

3. ∀ n ∈ N, vn =1 − n

0, 5n.

4. ∀ n ∈ N, wn =n2 + 3n+ 1

.

5. ∀ n ∈ N, wn =5n2 − 3

n2 + n+ 1.

6. ∀ n ∈ N, wn =0, 6n

0, 2n.

VI.4 Synthèse

En prenant la convention que chaque fois que l’on verra ∞, la règle des signess’applique, on peut résumer tous les résultats précédents dans le tableaux ci-dessous :

Si (un)n∈N a pour li-mite

0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 0 ∞ +∞ −∞ +∞Si (vn)n∈N a pour li-mite

0 ℓ′ 6= 0 ∞ ∞ ∞ 0 +∞ −∞ −∞

alors (un + vn)n∈N apour limite

0 ℓ+ ℓ′ ∞ ∞ ∞ ∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

alors (un ×vn)n∈N apour limite

0 ℓ× ℓ′ ∞ ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.+∞ +∞ −∞

alors(un

vn

)

n∈N

a

pour limite

Forme

Indéter.

ℓ

ℓ′0 0 0 ∞ Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

Forme

Indéter.

On remarquera non seulement que la règle des signes s’appliquent pour les produitset les quotients mais aussi les 4 types de formes indéterminées pour lesquelles ilfaudra travailler un peu avant d’affirmer des bêtises :

F.PUCCI 41

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites VII. THÉORÈMES D’EXISTENCE DE LIMITES

—00

— 0 × ∞ —∞∞

— ∞ − ∞

Remarque : En tout état de cause, il faudrait en rajouter d’autres : 00, 0∞ et ∞∞

que nous traiterons au cas par cas en nous ramenant aux précédentes ou par lesrelation de comparaison ou, plus tard et mieux, à l’aide des développements limitéset asymptotiques.

Exercice 19 : Soit un =ln n+ n2 + 2en +

√n

. Déterminer limn→+∞

un

VII Théorèmes d’existence de limites

L’existence d’une limite n’est JAMAIS acquise.

Dans les paragraphes qui précèdent, l’existence de certaines limites a été établie(somme, produit, suites extraites, . . . ).

On omet généralement de voir ces résultats comme des théorèmes d’EXISTENCEpour les voir seulement, en pratique, comme des théorèmes de CALCUL, de mani-pulation des limites.

Les théorèmes qui suivent, au contraire, gagnent à être connus comme de vraisthéorèmes d’existence. Ce qu’ils nous fournissent de façon essentielle, ce n’est pastant la VALEUR d’une limite que son EXISTENCE.

VII.1 Théorème d’encadrement

Soient trois suites (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N telles qu’à partir d’un certainrang p ∈ N, on ait :

vn 6 un 6 wn.

Si (vn)n∈N et (wn)n∈N convergent vers le même réel ℓ, alors (un)n∈N convergevers ℓ.

Théorème 17 (d’encadrement)

Preuve: Soit I un intervalle ouvert ontenant ℓ.

La suite (wn)n∈N onverge vers ℓ. Il existe don un rang n0 à partir duquel tous les

termes wn ∈ I.

De même pour la suite (vn)n∈N il existe un rang n1 à partir duquel tous les termes

vn ∈ I.

On a don pour n tel que N > max(n0, n1, p) tous les vn et tous les termes wn sont

dans l'intervalle I.

Or, pour tout n > N(> p) on a vn 6 un 6 wn.

F.PUCCI 42


Tous les termes de (un)n∈N appartiennent don aussi à I à partir d'un ertain rang

N .-à-d. (un)n∈N onverge vers ℓ.

ATTENTION

Ne prenez pas le théorème d’encadrement pour un simple passage à la limitedans des inégalités larges.Quand on passe à la limite dans une inégalité, on sait déjà que son membrede gauche et son membre de droite ont une limite.Or, dans le théorème d’encadrement au contraire, seules les limites lim

n→+∞vn

et limn→+∞

wn sont réputées exister au départ et l’existence de limn→+∞

un en

découle.

Le théorème d’encadrement est souvent utilisé sous la forme suivante :

Soient (un)n∈N (εn)n∈N deux suites.Si (un)n∈N est bornée et si lim

n→+∞εn = 0 alors lim

n→+∞εnun = 0.

Théorème 18 (Produit d’une suite bornée par une suite de limite nulle)

Preuve: Soit don K un majorant de la suite (|un|)n∈N.

On a immédiatement 0 6 |εnun| 6 K|εn|.Comme lim

n→+∞K|εn| = 0, d'après le théorème d'en adrement on obtient le résultat.

Exercice 20 : Démontrer que la suite (un)n∈N définie par un =sin nn+ 1

est conver-

gente.

Exercice 21 : On considère la suite définie à la partie (IV) sur N∗ par un =3n+ (−1)n

2n.

Après avoir encadré un intelligemment, montrer que limn→+∞

un =32

.

Exercice 22 : On considère la suite définie par un =2n∑

k=n+1

1k2

.

Après avoir encadré le terme général, donner la limite de (un)n∈N.

Correction : Très pénible à étudier ave sa somme à nombre de termes variable, mais

si on ne veut que la limite, 'est beau oup plus fa ile.

Cha un des termes de la somme est ompris entre le plus petit, en l'o urren e

1(2n)2 , et

le plus grand, à savoir

1(n + 1)2 , don

n

2n2 6 un 6n

n + 1)2 .

D'après le théorème d'en adrement, on a limn→+∞

un = 0.

F.PUCCI 43


Exercice 23 : Pour n ∈ N∗, on pose un =n∑

k=1

n

n2 + k. Calculer lim

n→+∞un.

Même question avec vn =⌊nx⌋n

pour x réel fixé.

Exercice 24 : On revient sur la suite (Hn)n∈N de l’ exercice (13) : Hn =n∑

k=0

1k

.

1. Montrer que pour tout k > 1,1

k + 1ln(k + 1) − ln(k) 6

1k

.

2. En déduire que pour tout n ∈ N∗, ln n 6 Hn 6 lnn+ 1.

3. Donner la limite de (Hn)n∈N ainsi qu’un équivalent.

Exercice 25 : Soit (un)n∈N une suite strictement positive et η ∈]0 ; 1 [.

Montrer que siun+1

un

6 η à partir d’un certain rang N ∈ N, alors limn→+∞

un = 0.

Correction : Pour tout n > N , un+1 6 unη, don un+1

ηn+1 6un

ηn.

La suite

(un

ηn

)

n∈N

est dé roissante et bornée ar positive.

De plus, η ∈]0 ; 1 [ entraîne limn→+∞

ηn = 0.

On on lut ave le théorème (18) en remarquant que un =un

ηn× ηn

.

Pour tout x ∈ R, limn→+∞

xn

n!= 0.

Corollaire 1 (Comparaison exponentielle/factorielle)

Preuve: Si x = 0, le résultat est évident.

Si x 6= 0, pour n ∈ N, posons un =|x|nn!

> 0.

On a alors

un+1

un

=|x|n+ 1

−−−−→n→+∞

0.

Il existe don un rang n0

(12

)

au delà duquel

un+1

un

612.

D'après l'exer i e pré édent, on a alors limn→+∞

un = 0.

F.PUCCI 44


VII.2 Théorème de convergence monotone

Commençons par une proposition logique. . . mais à montrer quand même :

Si une suite croissante a pour limite ℓ, alors tous les termes de la suite sontinférieurs ou égaux à ℓ.

limn→+∞

un = ℓ

(un)n∈N est croissante

}

=⇒ ∀ n ∈ N, un 6 ℓ.

Proposition 15

Preuve: Raisonnons par l'absurde, 'est-à-dire, supposons que (un)n∈N soit une

suite roissante onvergeant vers ℓ, qu'il existe un entier k tel que uk > ℓ et montrons

qu'il y a ontradi tion.

Comme la suite est roissante, pour tout n tel que n >k, un > uk > ℓ. Notons d la

distan e entre ℓ et uk.

L'intervalle ]ℓ− d ; ℓ+ d [ ontient ℓ mais pas les un pour n > k, e qui ontredit la onvergen e de (un)n∈N vers ℓ.

— Toute suite croissante et majorée est convergente.

— Toute suite décroissante et minorée est convergente.

Théorème 19 (Convergence monotone)

Ce théorème est un théorème d’existence, il justifie l’existence d’une limite finie maisne précise pas cette limite.

Preuve: Considérons une suite (un)n∈N roissante et majorée, α ∈ R, un réel

quel onque et notons A = supn∈N

un, le plus petit des majorants de (un)n∈N.

� Tout intervalle ]A− α;A+ α[ ontient au moins un terme up de la suite. Sinon,

A−α serait un majorant de la suite, e qui ontredit le fait que A soit le plus

petit des majorants.

� Comme la suite (un)n∈N est roissante, pour tout n > p, un > up.

� L'intervalle ]A− α;A+ α[ ontient don tous les termes de la suite à partir

du rang p. Ce i est vrai, quel que soit le réel α > 0.

� D'après la définition (15) , la suite (un)n∈N onverge et à pour limite A.

La démonstration est identique pour une suite dé roissante et minorée.

F.PUCCI 45


ATTENTION

Ce théorème permet de montrer qu’une suite converge vers une limite ℓmais ne donne pas la valeur de cette limite. On peut seulement dire que,si (un)n∈N est croissante et majorée par M alors ℓ 6 M et si (un)n∈N estdécroissante et minorée par m alors ℓ > m.La suite a tout un paquet de majorants ou de minorants suivant les cas maisun seul est sa limite.La question et la difficulté est de la trouver.Ici encore, on voit une grande différence entre la question de prouver l’exis-tence théorique et la recherche pratique de la dite limite qui peut demanderà mettre en œuvre une quantité incommensurable de techniques qui ferontles joies de vos devoirs de concours.

À défaut de donner la limite de (un)n∈N, le théorème (19) nous assure cependantque si la suite converge, elle le fera vers sa borne supérieure.

Exemple 15 : La suite définie par un =∫ 1

0

11 + xn

dx est croissante et majorée

par 1 donc convergente.

Mais ces arguments ne prouvent en aucun cas que sa limite est 1.

Le calcul de la limite est d’ailleurs loin d’être simple. ⌊12⌋

En revenant sur les paragraphes précédent, on peut regrouper les théorème (14), théorème (15) et théorème (19) sous le nom d’un seul :

Toute suite monotone admet une limite.


Autrement dit, toute suite monotone est convergente dans R.

Si une suite monotone est bornée elle convergera, sinon elle divergera vers ±∞. Cethéorème donne toute sa force et leur importance aux suites monotones.

Exercice 26 : La suite (un)n∈N est définie par :

u0 = 0

un+1 =√

3un + 4.

1. Démontrer que pour tout naturel n, 0 6 un 6 4.

2. Prouver que la suite est strictement croissante.

3. En déduire que (un)n∈N est convergente.

Exercice 27 :

1. Calculern∑

k=1

1k(k + 1)

pour n ∈ N∗.

⌊12⌋. Traduction : je vous invite à la chercher pour vous en rendre compte.

F.PUCCI 46

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites VIII. COMPORTEMENT DE SUITES PARTICULIÈRES

2. En déduire la convergence de la suite (un)n∈N définie par un =n∑

k=1

1k2

.

Remarque : Vous montrerez plus tard et par bien des méthodes que limn→+∞

un =π2

6.

Exercice 28 : On considère la suite (en)n∈N définie par en =n∑

k=0

1k!

.

1. Montrer que ∀ n ∈ N∗, (n+ 1)! > 2n.

2. En déduire que la suite (en)n∈N est majorée.

3. Conclure quant à la convergence de (en)n∈N.

Remarque : On montrera ultérieurement que cette suite converge vers e.

Exercice 29 : Pour tout n ∈ N, on pose un =n∑

k=0

⌊

2k√

2⌋

3k.

Montrer que (un)n∈N est convergente.

Correction : Pour tout n ∈ N, on a fa ilement :

un+1 − un =

⌊

2n+1√

2⌋

3n+1 > 0.

La suite (un)n∈N est monotone. D'après le théorème (20) , elle admet don une limite

(�nie ou in�nie).

Or, pour tout ‖∈‖N,

un 6n∑

k=0

2k√

23k

=√

2n∑

k=0

(23

)k

=√

2 ×1 −

(23

)n+1

1 − 23

6 3√

2.

la suite (un)n∈N est don majorée.

La suite (un)n∈N, roissante et majorée, est don onvergente.

Malheureusement ⌊13⌋ , toutes les suites ne sont pas monotones. Dans ce cas, on ten-tera d’utiliser le théorème (16) de comparaison et le théorème (17) d’enca-drement en VII qui restent des outils extrêmement puissants.

VIII Comportement de suites particulières

VIII.1 Suites explicites

Peu intéressantes car trop intimement liées aux fonctions qui les définissent, la pro-position ci-dessous résume tout.

⌊13⌋. ou heureusement. On s’ennuierait !

F.PUCCI 47


Soit f une fonction définie sur [0 ; +∞ [ et soit (un)n∈N la suite définie sur N parun = f(n)

1. Si limx→+∞

f(x) = ℓ alors limn→+∞

un = ℓ.

2. Si limx→+∞

f(x) = +∞ alors limn→+∞

un = +∞.

Proposition 16

Preuve: Simple dé�nition.

La proposition signifie simplement que le comportement des suites définies de ma-nière explicite est exactement le même que celui des fonctions qui les définissent.

Exemple 16 : Soit (un)n∈N la suite définie par un =3n+ 12n+ 5

.

(un)n∈N est définie à l’aide de la fonction f : x 7−→ 3x+ 12x+ 5

.

3x+ 12x+ 5

=3x(

1 +1

3x

)

2x(

1 +5

2x

) =32

×1 +

13x

1 +5

2x

.

D’où limx→+∞

f(x) =32

et limn→+∞

un =32

.

En appliquant la proposition précédente, on retrouve facilement les limites de quelquessuites intuitives :

— limn→+∞

1n

= 0. — limn→+∞

2n = +∞. — . . .

VIII.2 Suites arithmétiques et géométriques

Ne s’agissant que de rappels, les principaux résultats sont regroupés dans le tableauci-dessous :

F.PUCCI 48


Suite arithmétique Suite géométrique

Relationfondamen-

taleun+1 − un = r

un+1

un

= q

Définitionrécurrente

un+1 = un + r un+1 = qun

un = u0 + nr un = qnu0Définitionexplicite un = up + (n − p)r un = qn−pup

u0 + . . .+ un = (n + 1)u0 +n(n + 1)

2r

= (n + 1) × u0 + un

2

u0 + . . .+ un = u0 × 1 − qn+1

1 − q, si q 6= 1

= (n + 1)u0 , si q = 1Somme determes

(m 6 n) um + . . .+ un = (n −m+ 1)u0 +(n −m)(n −m+ 1)

2r

= (n −m+ 1) × um + un

2

um + . . .+ un = um × 1 − qn+1−m

1 − q, si q 6= 1

= (n+ 1 −m)um , si q = 1

Preuve: Les résultats grisés se montrent par ré urren e. Montrons eux de la

dernière ligne :

� Pour une suite arithmétique de raison r :

On supposem ∈ N �xé et on montre que la propriété Pn : um+. . .+un = (n−m+1)×um + un

2est vraie pour tout n ∈ N plus grand que m.

1. Pour n = m, on a bien (✚n−✚n+ 1) × um + um

2= 1 × ✁2um

✁2= um don Pm

est véri�ée.

2. Supposons qu'il existe un entier k > m, tel que Pk soit véri�ée .-à-d.

um + . . .+ uk = (k −m+ 1) × um + uk

2.

Montrons que Pk+1 est véri�ée sous ette hypothèse .-à-d.

um + . . .+ uk + uk+1 = (k + 1 −m+ 1) × um + uk+1

2.

Or, um + . . .+ uk + uk+1 = (k −m+ 1) × um + uk

2+ uk+1

=(k −m+ 1)

(

um + uk

)

+ 2uk+1

2

=(k −m+ 1)

(

um + uk

)

+ uk+1 + um + (k + 1 −m) r

2

=(k −m+ 1)

(

um + uk + r)

+ uk+1 + um

2

=(k −m+ 1)

(

um + uk+1

)

+ uk+1 + um

2

=(k −m+ 2)

(

um + uk+1

)

2.

F.PUCCI 49


La relation Pk+1 est don véri�ée et la propriété est héréditaire.

3. La propriété P est don initialisée au rang m et héréditaire. Elle est donv

vraie pour tout n ∈ N, pls grand que m.

� Pour une suite géométrique de raison q, le raisonnement est le même en plus

fa ile. On pose :

Pn : um + . . .+ un = um × 1 − qn+1−m

1 − q

pour q 6= 1, le as q = 1 étant trivial.

1. Pour n = m, on a : um × 1 − q✚m+1−✚m+1

1 − q= um

✘✘✘1 − q

✘✘✘1 − q= um. La propriété

est initialisée.

2. Supposons qu'il existe un entier k > m tel que Pk soit véri�ée. On a

alors :

um + . . .+ uk + uk+1 = um × 1 − qk+1−m

1 − q+ uk+1

= um × 1 − qk+1−m

1 − q+ uk+1 + qk+1−m um

= um × 1 − qk+1−m + (1 − q)qk+1−m

1 − q

= um × 1 −✘✘✘✘qk+1−m +✘✘✘✘

qk+1−m − qk+1−m+1

1 − q

= um × 1 − qk+2−m

1 − q.

La relation Pk+1 est don vraie sous l'hypothèse Pk. La propriété est

héréditaire.

3. Initialisée au rang m et héréditaire, la relation P est don vraie pour tout

n > m.

Suites arithmétiques

Soit (un)n∈N une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r.

— Si r > 0 alors limn→+∞

un = +∞. La suite diverge vers +∞.

— Si r < 0 alors limn→+∞

un = −∞. La suite diverge vers −∞.

— Si r = 0 alors limn→+∞

un = u0. La suite est constante.

Théorème 21

F.PUCCI 50


Preuve: C'est relativement simple ave les propriétés pré édentes. Si r > 0 alors

la suite (un)n∈N est roissante. Il ne reste plus qu'à montrer qu'elle n'est pas majorée

et appliqué le théorème (14) .

Supposons, par l'absurde, que M ∈ R soit un majorant de (un)n∈N. Pour tout nentier, on aurait un 6M , 'est-à-dire u0 + nr 6 M .

Or, tout entier no tel que no >M − u0

r ontredit ette inégalité. La suite ne peut

don être majorée.

La suite (un)n∈N, roissante et non majorée, est don divergente vers +∞.

Les autres as se montrent de manière analogue.

Une suite arithmétique est donc, dans les cas non dégénéré, divergente vers ±∞.

Suites géométriques

Soit q un réel.

— Si −1 < q < 1 alors limn→+∞

qn = 0. La suite (qn)n∈N converge vers 0.

— Si q = 1 alors limn→+∞

qn = 1. La suite (qn)n∈N est constante.

— Si q > 1 alors limn→+∞

qn = +∞. La suite (qn)n∈N diverge vers +∞.

— Si q 6 −1, la suite (qn)n∈N n’a pas de limite.

Théorème 22

Pour démontrer la deuxième assertion, on aura besoin d’un lemme :

Soit un réel a strictement positif. On a alors :

∀n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na.

Lemme 23 (Inégalité de Bernoulli)

Preuve: Notons Pn, la proposition (1 + a)n > 1 + na et démontrons, par ré ur-

ren e, que elle- i est vraie pour tout n ∈ N.

� Initialisation : Pour n = 0, (1+a)0 = 1 et 1+0×a = 1, don (1+a)0 > 1+0×a.P0 est don vraie et la propriété est initialisée.

� Hérédité : Supposons Pk vraie pour un ertain entier k > 0, 'est-à-dire(1 + a)k > 1 + ka et montrons que, sous ette hypothèse, Pk+1 est vraie aussi,

F.PUCCI 51


.-à-d. (1 + a)k+1 > 1 + (k + 1)a :

(1 + a)k > 1 + ka Hypothèse Pk

(1 + a)(1 + a)k > (1 + a)(1 + ka) On multiplie par 1 + a stri tement positif

(1 + a)k+1 > 1 + ka+ a + ka2

= 1 + (k + 1)a+ ka2or ka2 > 0

> 1 + (k + 1)a Pk+1

La proposition est héréditaire.

� La proposition Pn est don initialisée et héréditaire. D'après le prin ipe de

ré urren e, on en déduit qu'elle est vraie pour tout entier n :

∀ n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na.

Preuve:� Commençons par la 3

ème

assertion. On utilise l'inégalité de Bernoulli (23) :

∀ a > 0, ∀ n ∈ N, (1 + a)n > 1 + na.

Posons q = 1 + a. Ave a > 0, on a bien q > 1 et l'inégalité devient

qn > 1 + na.

Comme a > 0, limn→+∞

1 + na = +∞. Puis, d'après le théorème de omparaison

on obtient :

limn→+∞

qn = +∞.

� Pour la première assertion, il su�t de poser Q =1|q| . Comme −1 < q < 1 alors

Q > 1. D'après la démonstration pré édente, la suite (Qn)n∈N onverge don

vers +∞. D'après les relations sur les quotient de limites, la suite

(

1Qn

)

n∈N

onverge don vers 0 et le résultat est prouvé.

� La deuxième assertion est évidente.

� Pour la dernière il su�t de regarder la suite extraite (q2p)p∈N qui diverge vers

±∞. La suite (qn)n∈N est don divergente.

Exemple 17 (Le grand classique) : Comme 0 <12< 1, lim

n→+∞qn = 0.

D’où, limn→+∞

1 +12

+122

+ . . .+ +12n

= limn→+∞

1 −(1

2

)n+1

1 − 12

=112

= 2.

F.PUCCI 52


Si (un)n∈N est une suite géométrique de raison q alors un = uoqn. Le théorème

précédent permet donc de trouver sa limite.

Soit (un)n∈N, une suite géométrique de raison q non nulle.

— Si |q| < 1, limn→+∞

un = 0.

— Si q > 1, limn→+∞

un =

+∞ si u0 > 0,

−∞ si u0 < 0.

— Si q = 1, limn→+∞

un = u0.

— Si q 6 −1, la suite (un)n∈N n’a pas de limite.

Corollaire 1 (Limite d’une suite géométrique)

Exercice 30 (Liban 2016) : On considère la suite (zn)n∈N de nombres com-plexes définie pour tout entier naturel n par :

z0 = 0

zn+1 =12izn + 5.

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note Mn le point d’affixe zn. Onconsidère le nombre complexe zA = 4 + 2i et A le point du plan d’affixe zA.

1. Soit (un)n∈N la suite définie pour tout entier naturel n par un = zn − zA.

(a) Montrer que, pour tout entier naturel n, un+1 =12i× un.

(b) Démontrer que, pour tout entier naturel n : un =(1

2i)n (

− 4 − 2i)

.

2. Démontrer que, pour tout entier naturel n, les points A, Mn et Mn+4 sontalignés.

Exercice 31 : Montrer que, ∀ x ∈] − 1 ; 1 [,+∞∑

k=0

xk = limn→+∞

n∑

k=0

xk =1

1 − x.

VIII.3 Suites arithmético-géométriques

Pour tout couple de réel (a ; b) avec a 6= 1, on appelle suite arithmético-géométrique toute suite (un)n∈N définie par la relation de récurrence :

un+1 = aun + b.

Définition 21 (Suite arithmético-géométrique)

Remarque : Si a = 1, on retrouve une simple suite arithmétique.

F.PUCCI 53


Soit (un)n∈N une suite arithmético-géométrique définie par un+1 = aun + b aveca 6= 1.

Alors ∀n ∈ N, un = an(u0 − c) + c avec c =b

1 − a.

Théorème 24

Le réel c, solution de l’équation x = ax+ b est appelé point fixe de la suite.

Preuve:1. On ommen e par résoudre l'équation x = ax+ b dont l'unique solution est

c =b

1 − a.

Remarque : c est appelé � point invariant � ou � point �xe � de la fon tion

f asso iée à (un)n∈N : x 7−→ ax + b. On verra plus tard que c est l'unique

andidat à la limite de (un)n∈N.

2. On introduit alors la suite auxiliaire (vn)n∈N dé�nie par :

vn = un − c.

(a) La (vn)n∈N est géométrique de raison a.

En e�et, des deux équations :

un+1 = aun + bc = ac + b

un+1 − c = a(

un − c)

on obtient, par soustra tion vn+1 = avn. La suite (vn)n∈N est don bien

une suité géométrique de raison a et de premier terme v0 = u0 − c.

(b) On en déduit :

∀n ∈ N, vn = anv0

= an(u0 − c).

3. On revient en�n à la suite initiale : ∀n ∈ N, un = vn + c.

Conclusion : ∀n ∈ N, un = an(u0 − c) + c ave c =b

1 − a.

Remarque : La démonstration montre que la suite définie par vn = un − c est unesuite géométrique de raison a.

F.PUCCI 54


En pratique, en présence d’une suite arithmético-géométrique, on présentera lescalculs de la façon suivante :

1. Calcul du point fixe c.

2. Définition de la suite (vn)n∈N.

3. Vérification que (vn)n∈N est suite géométrique.

4. Conclusion : expression du terme général un.

Méthode 6 (Plan d’étude d’une suite arithmético-géométrique)

Exercice 32 : On considère la suite

u0 = 0

un+1 = 2un + 1

1. Déterminer le réel a pour que la suite (vn)n∈N définie par vn = un + a pourtout entier naturel n soit géométrique.

2. Exprimer alors vn puis un en fonction de n ∈ N.

3. Calculer les sommes v0 + v1 + . . .+ v10 puis u0 + u1 + . . .+ u10.

Exercice 33 : Un individu I0 dispose d’une information binaire (Vrai ou Faux).

Il la transmet à I1, qui la transmet à I2, . . . , qui la transmet à In.

Chacun transmet l’information reçu (ou son inverse) avec la probabilité p (ou 1−p).Quelle est la probabilité pn pour que In dispose de l’information correcte ?

Correction : Notons Vk l'événement : � Ik apprend l'information initiale orre te �, et

Vk l'événement ontraire.

Par la formule des probabilités totales :

P (Vk+1) = P (Vk+1|Vk)P (Vk) + P (Vk+1|Vk)P (Vk).

Comme P (Vk+1|Vk)P (Vk) = p et P (Vk+1|Vk) = 1 − p, on obtient :

P (Vk+1) = (2p − 1)P (Vk) + (1 − p).

La suite

(

pn = P (Vn))

n∈Nest une suite arithméti o-géométrique. On her he le point �xe

qui est

12. D'où :

pk+1 = (2p − 1)pk + (1 − p)12

= (2p − 1)12

+ (1 − p)

pk+1 − 12

= (2p − 1)(

pk − 12

)

∀ n ∈ N, pn = (2p − 1)n

(

p0 − 12

)

+12

Or, I0 a l'information don p0 = 1. Finalement :

pn =12

(2p − 1)n +12

.

Comme 0 < p < 1, limn→+∞

pn =12.

F.PUCCI 55


VIII.4 Suites homographiques

On appelle suite homographique toute suite définie par la relation de récurrence :

un+1 =aun + b

cun + davec ad− bc 6= 0.

Définition 22 (Suite homographique)

Remarque : Si ad− bc = 0, alors, de même que la fonction homographique (un)n∈N

est une suite constante.

On commence ici aussi par chercher les points fixes de la fonction associée c.-à-d. lessolutions de l’équation :

x =ax+ b

cx+ d⇐⇒ cx2 − (a− d)x− b = 0. (E)

1. Si (E) admet deux racines distinctes α et β alors la suite (vn)n∈N définie

par vn =un − α

un − βest géométrique de raison q =

cβ + d

cα+ d.

2. Si (E) admet une racine double γ alors la suite (vn)n∈N définie par

vn =1

un − γest arithmétique de raison r =

2ca + d

.

Lemme 25

Preuve: Posons h(x) =ax+ b

cx+ d.

1. Supposons que (E) admette deux ra ines distin tes α et β.

� Montrons tout d'abord que

h(x) − α

h(x) − β= q

x− α

x− βoù q =

cβ + d

cα + den utili-

sant que h(α) = α et h(β) = β.

F.PUCCI 56


h(x) − α

h(x) − β=h(x) − h(α)h(x) − h(β)

=

ax+ b

cx+ d− aα + b

cα + dax+ b

cx+ d− aβ + b

cβ + d

=

(ax+ b)(cα + d) − (aα + b)(cx+ d)(cx+ d)(cα+ d)

(ax+ b)(cβ + d) − (aβ + b)(cx+ d)(cx+ d)(cβ + d)

=

✘✘✘axcα + ad x+ bc α +✚✚bd−✘✘✘axcα − ad α − bc x−✚✚bd

(cx+ d)(cα+ d)

✟✟✟axcβ + ad x+ bc β +✚✚bd−✟✟✟axcβ − ad β − bc x−✚✚bd

(cx+ d)(cβ + d)

=

ad (x− α) − bc (x− α)

(cx+ d)(cα+ d)ad (x− β) − bc (x− β)

(cx+ d)(cβ + d)

=

(x− α) (ad− bc)

(cx+ d)(cα + d)(x− β) (ad− bc)

(cx+ d)(cβ + d)

=(x− α)✘✘✘✘✘(ad− bc)

✘✘✘✘✘(cx+ d)(cα + d)× ✘✘✘✘✘(cx+ d)(cβ + d)

(x− β)✘✘✘✘✘(ad− bc)

=x− α

x− β× cβ + d

cα + d︸︷︷︸

q

= q × x− α

x− β

� La suite (vn)n∈N dé�nie par vn =un − α

un − βvéri�e alors la relation de ré ur-

ren e :

vn+1 =un+1 − α

un+1 − β=h(un) − α

h(un) − β= q × un − α

un − β= qvn.

La suite vn est don géométrique de raison q et de premier terme v0 =u0 − α

u0 − β.

2. Supposons que (E) admette une ra ine double γ. Le raisonnement est iden-

tique.

� On montre tout d'abord que

1h(x) − γ

=1

x− γ+ r ave r =

2ca+ d

1h(x) − γ

=1

h(x) − h(γ)=

1ax+ b

cx+ d− aγ + b

cγ + d

=(cx+ d)(cγ + d)

(ax+ b)(cγ + d) − (cx+ d)(aγ + b)

=(cx+ d)(cγ + d)

✘✘✘axcγ + ad x+ bc γ +✚✚bd−✘✘✘axcγ − bc x− ad γ −✚✚bd

=(cx+ d)(cγ + d)

ad (x− γ) − bc (x− γ)=

(cx+ d)(cγ + d)

(ad− bc) (x− γ)

=cγ + d

ad − bc×c (x− γ ) + c γ + d

x− γ

=(cγ + d)2

ad− bc× 1x− γ

+c(cγ + d)ad− bc

À e stade, 'est un peu te hnique : γ est la ra ine double de l'équation

(E) .-à-d. , en se rappelant son ours de première, γ =a− d

2c. On obtient

F.PUCCI 57


alors :

cγ + d =a+ d

2. (10.3)

Comme le dis riminant de (E) est nul, on obtient aussi (d−a)2 +4 bc = 0dont on tire :

ad− bc = ad+(d− a)2

4=

4ad+ (d− a)2

4=

(d+a)2

4. (10.4)

En ombinant (10.3) et (10.4), on obtient alors :

(cγ + d)2

ad− bc= ✚

✚✚✚✚✚(

a+ d

2

)2

✚✚✚✚✚(a+ d)2

4

= 1 et

c(cγ + d)ad− bc

=c✘✘✘a+ d

2(a + d)✁2

4

=2c

a+ d.

(10.5)Ave (10.5), on obtient alors :

1h(x) − γ

=1

x− γ+

2ca+ d︸︷︷︸

r

.

� La suite (vn)n∈N dé�nie par vn =1

un − γvéri�e alors la relation de ré ur-

ren e :

vn+1 =1

un+1 − γ=

1h(un) − γ

=1

un − γ+

2ca+ d

= vn + r.

La suite vn est don arithmétique raison r =2c

a+ det de premier terme

v0 =1

u0 − γ.

Soit (un)n∈N une suite homographique définie par un+1 =aun + b

cun + d.

Alors la suite (un)n∈N converge vers l’une ou l’autre des racines de l’équation

x =ax+ b

cx+ det diverge dans le cas contraire.

Théorème 26

Preuve: On reprend les notations de la définition (26) et du lemme (25) :

1. Si (vn)n∈N est une suite géométrique de raison q et de premier terme v0 alors :

� On en déduit tout d'abord l'expression de son terme général en fon tion

de n :

vn = qnv0.

F.PUCCI 58


� On revient en�n à elle de un :

vn =un − α

un − β⇐⇒ un =

βvn − α

vn − 1=qnβv0 − α

qnv0 − 1.

Remarque : La forme générale en elle-même de un n'est pas très impor-

tante. Ce qui nous intéressera 'est le omportement de un lorsque n sera

� grand � : la limite de un lorsque n tend vers l'in�ni.

Deux as sont possibles :

� Si |q| < 1 alors limno∞

qn = 0 .-à-d. limn→∞

un = α.

� Si |q| > 1 alors, après fa torisation par qn, on obtiendra :

limn→∞

un =β ×✚✚v0

✚✚v0= β.

La suite (un)n∈N onverge vers l'un ou l'autre de ses points �xes.

2. Si (vn)n∈N est une suite arithmétique de raison r et de premier terme v0 alors :

� On en déduit tout d'abord l'expression de son terme général en fon tion

de n :

vn = v0 + nr.

� On revient en�n à elle de un : vn =1

un − γ⇐⇒ un =

1 + γvn

vn

=1 + γv0 + γrn

v0 + rn.

Remarque : La forme générale i i aussi importe peu. Seuls omptent les

termes en n prépondérants à l'in�ni. On obtient alors :

limn→∞

un =γr

r= γ.

La suite (un)n∈N onverge en ore vers son point �xe.

Exercice 34 : La suite (un)n∈N est définie par :

u0 ∈ [1 ; 3 ]

un+1 =√

3un

1. (a) Démontrer, par récurrence, que tous les termes de la suite (un)n∈N ap-partiennent à l’intervalle [1 ; 3 ].

(b) En déduire que la suite (un)n∈N est croissante.

(c) En déduire la convergence de la suite (un)n∈N.

2. On conjecture que la limite de la suite (un)n∈N est 3, donc on étudie la limitede la suite (vn)n∈N définie par :

∀ n ∈ N, vn = 3 − un.

F.PUCCI 59


(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, vn+1 =

√3

√un +

√3vn.

(b) Déduire des questions précédentes que, pour tout entier naturel n,

0 6 vn+1 6

√3

1 +√

3vn.

(c) Montrer, par récurrence, que ∀ n ∈ N, 0 6 vn 6 2

( √3

1 +√

3

)n

.

3. En déduire limn→+∞

vn puis limn→+∞

un.

VIII.5 Suites adjacentes

Deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes si et seulement si :

— (un)n∈N est croissante.

— (vn)n∈N est décroissante.

— limn→+∞

un − vn = 0.

Définition 23 (Suites adjacentes)

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même li-mite. ⌊14⌋

Théorème 27

Montrons tout d’abord un résultat liminaire :

Soient deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N remplissant les conditions de la défini-tion (23) .Alors, il existe un entier n0 tel que ∀n > n0, un 6 vn.

Lemme 28

Preuve: Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un entier p > n0 tel

que up > vp .-à-d. il existe A ∈ R∗+ tel que up − vp > A.

Comme (un)n∈N est roissante et (vn)n∈N dé roissante, pour tout entier supérieur ou

égal à p, on aura alors un − vn > A.

Choisissant un réel stri tement positif ε < A, l'intervalle ] − ε ; ε [, entré en 0 ne

ontiendra pas les termes de la suite (un − vn)n∈N pour n > p, e qui ontredit le

fait que limn→+∞

un − vn = 0.

⌊14⌋. Pas de soirée « no limit » pour nos suites adjacentes !

F.PUCCI 60


Con lusion : un 6 vn à partir d'un ertain rang.

Preuve:� Montrons tout d'abord que les deux suites sont onvergentes.

Considérons (un)n∈N, par exemple. Celle- i étant roissante, il su�t de montrer

qu'elle est majorée.

Comme (vn)n∈N est dé roissante, il existe un rang p ∈ N à partir duquel

vn 6 vp.

D'après le lemme (28) , à partir d'un rang que l'on peut supposer plus grand

que p, on aura alors un 6 vp terme indépendant de n et majorant de la suite

(un)n∈N.

D'apès le théorème (19) , la suite (un)n∈N est onvergente vers une limite ℓ.

� On montre de même que (vn)n∈N onverge vers un réel ℓ′.

� En�n l'assertion limn→+∞

un −vn = 0 ⇐⇒ ℓ−ℓ′ = 0 entraîne que les deux suites

onvergent vers la même limite.

Exercice 35 : Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N définies par un =n∑

k=0

1k!

et vn = un +1

n(n!)sont adjacentes.

Correction : Trois points à montrer :

� vn − un =1

nn!−−−−−→n→+∞

0.

� un+1 − un =1

(n + 1)!> 0 don la suite (un)n∈N est roissante pour tout n ∈ N∗

.

� vn+1 − vn = − 1n(n + 1)(n + 1)!

6 0 don la suite (vn)n∈N est roissante pour tout

n ∈ N∗.

Les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adja entes don onvergentes.

Remarques :— On montrera bien un jour que la limite commune des suites (un)n∈N et (vn)n∈N

est le nombre e.Ainsi, pour n ∈ N∗, un 6 e 6 vn est une approximation de e à une précision

plus petite que1

n(n!).

On a, par exemple, u3 = 1 + 1 +12

+16

= 2 +13

≃ 2, 67 est une approximation

de e à une précision inférieure à118

.

F.PUCCI 61


— On peut déduire de ces suites que e est un irrationnel :

Par l’absurde supposons que e =p

q.

On a uq 6 e 6 vq avec uq est un rationnel qui peut donc s’écrire sous la formeN

q!, n ∈ N.

On a alors :

uq =N

q!< e =

p

q< uq +

1qq!

=N

q!+

1qq!

ou N < p(q − 1)! < N +1q.

L’entier p(q−1)! est donc strictement compris entre les deux entiers consécutifsN et N + 1. Impossible !

Un peu d’histoire: Les babyloniens (2000 avant J-C) ont, semble-t-il, utilisé

comme approximation de√a la quantité

12

(

b+a

b

)

où b est un nombre arbitraire,

en pratique proche de√a, par exemple sa partie entière.

Le procédé peut être itéré. Soit a un réel strictement positif.

On définit les deux suites :

b0 est arbitraire, élément de ]a ; +∞ [

an =a

bn

bn+1 =an + bn

2

Montrons que les deux suites convergent vers√a :

1. ∀ n ∈ N, an 6√a 6 bn

(a) bn+1 >√a ⇐⇒ a

bn

+bn > 2√a ⇐⇒ b2

n−2bn

√a+a > 0 ⇐⇒ (bn−√

a)2 > 0.

(b) an+1 =a

bn+16

a√a

=√a.

2. (a) bn+1 − bn =an + bn

2− bn =

an − bn

26 0. Donc (bn)n∈N est décroissante.

(b) an+1 − an =a

bn+1− a

bn

> 0. Donc (an)n∈N est croissante.

3. Il en résulte que (an)n∈N converge vers une limite α et (bn)n∈N vers une limiteβ. En passant à la limite dans les relations définissant (an)n∈N et (bn)n∈N, onobtient :

α =a

βet α =

α + β

2.

D’où αβ = a, α = β puis α = β =√a.

Prenons l’exemple de a = 2, en partant de b0 = 2.

On obtient successivement :

an = 1 1.333333333 1.411764706 1.414211438 1.414213562bn = 2 1.500000000 1.416666667 1.414215686 1.414213562

F.PUCCI 62


La convergence est très rapide. Le nombre de décimales exactes croît exponentielle-ment avec n.

Revenons maintenant sur un résultat sous-entendu dans la définition (9) :

Soit x ∈ R.

Les deux suites définies par an =⌊10nx⌋

10n, et bn = an +

110n

sont adjacentes et

ont pour limite commune x.

Proposition 17

Le décimal an est appelé approximation décimale par défaut de x à 10−n près, et ledécimal bn approximation décimale par excès de x à 10−n près.

Preuve: Par dé�nition des parties entières, on a :

⌊10nx⌋ 6 10nx < ⌊10nx⌋ + 1,

don an 6 x < bn.

10 ⌊10nx⌋ 6 10n+1x < 10 ⌊10nx⌋ + 10

En utilisant la ara térisation de la partie entière, on a alors :

10 ⌊10nx⌋ 6⌊

10n+1x⌋

6 10n+1x <⌊

10n+1x⌋

+ 1 6 10 ⌊10nx⌋ + 1

an 6 an+1 6 x < bn+1 6 bn.

Autrement dit, la suite (an)n∈N est roissante et la suite (bn)n∈N dé roissante.

De plus, bn − an =1

10na ertainement une limite nulle quand n tend vers +∞.

Les deux suites sont don adja entes et onvergent vers une même limite.

Les en adrement donnés plus haut indiquent que ette limite ommune est né es-

sairement inférieure ou égale à x puisque la suite (an)n∈N est majorée par x, mais

également supérieure ou égale à x puisque (bn)n∈N est minorée par x.

Elle est don né essairement égale à x.

Remarque : Les nombres an et bn correspondent effectivement aux valeurs usuellesutilisées pour les approximations décimales.

Par exemple, si x = π, on obtiendra a3 = 3, 141 et b3 = 3, 142.

F.PUCCI 63


Soit f une fonction continue sur un segment [a ; b ], telle que f(a)f(b) < 0 ⌊15⌋.On construit deux suites récurrentes (an)n∈N et (bn)n∈N en posant :

— a0 = a et b0 = b.

— Pour tout n ∈ N∗,

— si f(an)f

(

an + bn

2

)

< 0, on pose an+1 = an et bn+1 =an + bn

2,

— sinon, on pose an+1 =an + bn

2et bn+1 = bn.

Les deux suites (an)n∈N et (bn)n∈N sont alors adjacentes, et elles convergent versune limite commune α vérifiant f(α) = 0.

De plus, ∀n ∈ N, bn −an =b− a

2n, ce qui majore l’erreur commise en approchant

α par (an)n∈N et (bn)n∈N.

Proposition 18 (Méthode de dichotomie)

Preuve: Cette propriété est une onséquen e du théorème pré édent. Les suites

(an)n∈N et (bn)n∈N sont respe tivement roissante et dé roissante par onstru tion,

reste à prouver que leur di�éren e bn −an tend vers 0, e qui dé oule de l'a�rmation :

bn − an =b− a

2n.

Prouvons ette a�rmation par ré urren e.

� Au rang 0, on a b0 − a0 = b− a =b− a

20. La propriété est vraie.

� Supposons la vraie au rang n ∈ N∗. On a alors, suivant les as :

� bn+1 − an+1 =an + bn

2− an =

bn − an

2

� ou bn+1 − an+1 = bn − an + bn

2=bn − an

2Dans les deux as, en exploitant l'hypothèse de ré urren e,

bn+1 − an+1 =b− a

2n+1.

La propriété est vraie au rang n+ 1.

Les deux suites sont don adja entes, elles onvergent vers une même limite α.

Reste à prouver que f(α) = 0. Supposons par exemple f(α) > 0.

Par onstru tion, on aura toujours f(an) > 0 don , la fon tion étant ontinue, par

passage à la limite, f(α) > 0.

De même, f(bn) 6 0, e qui implique f(α) 6 0.

On on lut alors que f(α) = 0.

⌊15⌋. autrement dit, f(a) et f(b) sont de signe opposé.

F.PUCCI 64


Exemple 18 : On cherche à étudier les variations de la fonction f définie par

f(x) = x4 + 4x2 + 4x− 5.

Cette fonction est continue et dérivable sur R, de dérivée f ′(x) = 4(x3 + 2x+ 1).

Il est donc nécessaire de connaître le signe de g(x) = x3 + 2x+ 1 donc de connaîtreces racines.

La fonction g, étant continue et strictement croissante, elle établit une bijectionde R sur R.

En particulier, elle s’annule en un unique réel α ∈ R.

On aimerait déterminer une valeur approchée de α. Ayons pour cela recours à ladichotomie, on commence par trouver un premier encadrement de α en constatantque g(0) = 1 et g(−1) = −2.

La racine de g se trouve donc dans l’intervalle [−1 ; 0 ].

On calcule ensuite g(−0, 5) qui se trouve être négatif, donc α ∈ [−0, 5 ; 0 ].

Puis on calcule g(−0, 25), qui est positif, donc α ∈ [−0, 5 ; −0, 25 ].

On sait donc déjà que α ≃ −0, 375 à 0, 125 près.

On aura naturellement recours à la calculatrice ou à l’ordinateur pour effectuer cegenre d’algorithmes de façon plus poussée.

Remarque : Pour obtenir une valeur approchée à ε > 0 près, il suffit de choisir ntel que :

b− a

2n< ε ⇐⇒

ln

(

b− a

ε

)

ln 26 n

F.PUCCI 65

Chapitre 10: Nombres Réels - Suites IX. SUITES RÉCURRENTES

IX Suites récurrentes

Les exercices que l’on vous a proposés jusqu’ici ont pu vous donner l’impression quepour définir une suite (un)n∈N par récurrence, il suffisait de se donner une fonctionf quelconque, un u0 dans le domaine de définition de f , et de décréter simplementque « un+1 = f(un) ». Quelle illusion !

Notons par exemple f la fonction x 7−→ 2 +√

2 − x définie sur ] − ∞ ; 2 ] et posons :

u0 = 1

un+1 = f(un)

Comme u0 ∈] − ∞ ; 2 ], on peut calculer u1 = f(u0) = 3, mais ensuite ? ? ? ? Aucunsens ! Quelle valeur pour u2 ?

La suite (un)n∈N n’est ici pas définie.

Pire, et seulement pour la culture car très éloigné de notre niveau, le théorème deSharkovsky ⌊16⌋ sur les fonctions chaotiques a fait l’objet de recherche active lorsdes dernières décennies. On ne parle plus des siècles derniers ici et une simple suitedéfinie par

u0 ∈ [0 ; 1 ]

un+1 = 4µ(1 − un)un, µ ∈ [0 ; 1 ]

donne bien des soucis.

Mais comment différencier alors les exemples qui marchent de ceux qui ne marchentpas ?

Dans tout cette section, f est une fonction continue sur un intervalle I à valeursréelles.

On étudie la suite (un)n∈N définie par

u0 ∈ I

∀ n ∈ N∗, un+1 = f(un).

⌊16⌋. Oleksandr Mykolayovych Sharkovsky est un éminent mathématicien ukrainien célèbre pourle développement du théorème de Sharkovsky sur les périodicités des systèmes dynamiques discretsen 1964.

Le théorème de Sharkovsky est un théorème portant sur l’itération des fonctions continues.Il donne des contraintes sur la présence de points périodiques lorsqu’on itère la fonction f ,

c’est-à-dire de points u0 tels que la suite définie par récurrence par un+1 = f(un) correspondantesoit périodique.

Ce théorème fait partie des premiers exemples remarquables de la théorie des systèmes dy-

namiques, introduisant la notion de chaos. Sa popularité est telle qu’il se retient souvent sous laforme d’un « slogan », correspondant à un énoncé simplifié :

3-cycle implique chaos

Il faut comprendre par là que toute fonction continue présentant un cycle de période 3 admet uncycle de période n pour tout entier n.

F.PUCCI 66


IX.1 Propriétés induites par la fonction

On dit que l’intervalle J ⊂ I est stable par f si f(J) ⊂ J .

Définition 24 (Intervalle stable)

Pour montrer qu’un intervalle est stable, on pourra :

— soit étudier la fonction f et le déduire de son tableau de variations,

— soit directement à l’aide d’inégalités.

Dans tous les cas et avant de commencer l’étude de la suite (un)n∈N, il est impératifde faire l’étude de f , d’en dresser son tableau de variation et de tracer son graphe.

Soit f : I 7−→ R et J ⊂ I stable par f .Si u0 ∈ J , alors la suite (un)n∈N est bien définie et un ∈ J , ∀ n ∈ N.

Proposition 19 (Existence de la suite)

Preuve: . Montrons par ré urren e que pour tout n ∈ N, on a :

P(n) : � un est bien dé�nie et un ∈ J �

� On a u0 ∈ J don P(0) est vraie.

� Soit n ∈ N∗, et supposons la propriété vraie au rang n.

On a par hypothèse de ré urren e un ∈ J ⊂ Df . Don un+1 = f(un) est biendé�ni.

De plus, omme J est un intervalle stable, un+1 ∈ f(J) ⊂ J . D'où la propriété

au rang n + 1.

On on lut par prin ipe de ré urren e.

Soit f : I 7−→ R, J ⊂ I stable par f et (un)n∈N définie par

u0 ∈ I

∀ n ∈ N∗, un+1 = f(un).

— Si f est croissante sur I alors la suite (un)n∈N est monotone et sa monotoniedépend de l’ordre de ses premiers termes :

— Si f(u0) − u0 > 0, alors (un)n∈N est croissante.

— Si f(u0) − u0 < 0, alors (un)n∈N est décroissante.

— Si f est décroissante sur I, alors les suites extraites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N

sont monotones et de monotonie contraire.

Proposition 20 (Monotonie)

F.PUCCI 67


Globalement, l’idée vient de la définition d’une fonction croissante :

« f est croissante si, et seulement si elle conserve l’ordre ».

Si, par exemple, u0 > u1 alors f(u0) > f(u1), c’est-à-dire u1 > u2 puis u2 = f(u1) > u3 = f(u2),. . .un = f(un−1) > un+1 = f(un), . . . et ainsi de suite pour tous les termes de lasuite. La suite est donc décroissante dans ce cas.

Preuve:� Cette démonstration se fait par ré urren e e qui est un peu normal pour des

suites dé�nies. . . par ré urren e.

Considérons une fon tion quel onque f roissante sur son intervalle de dé�ni-

tion et (un)n∈N une suite telle que es deux premiers termes soient tels que

f(u0) − u0 > 0 ⇐⇒ u0 > u1. On veut don montrer que la suite (un)n∈N est

roissante.

Posons don la propriété Pn : ∀ n ∈ N, un < un+1.

Initialisation : D'après les données, on a u0 6 u1 et P0 est réalisée.

Hérédité : Supposons que Pk soit vraie pour un ertain entier k > 0 et

montrons que Pk+1 est véri�ée dans e as.

uk < uk+1 Hypothèse de ré urren e Pk

f (uk) < f (uk+1) f est roissante don onserve l'ordre ⇓uk+1 < uk+2 Dé�nition de la suite (un)n∈N Pk+1

La propriété Pk+1 est don véri�ée. On a prouvé l'hérédité de la propriété.

La propriété Pn, initialisée et héréditaire, est don vraie pour tout n ∈ N. La

suite est roissante.

La démonstration est analogue pour une suite telle que u0 > u1 qu'on montre-

rait dé roissante.

⌊17⌋

� Dans le as d'une fon tion dé roissante, posons g = f ◦ f . Cette appli ation

est roissante sur I.

Posons alors vn = u2n et wn = u2n+1. Les deux suites véri�ent

vn+1 = u2n+2 = g(u2n) = g(vn) et, de même, wn+1 = g(wn).

Le point pré édent permet alors d'en déduire que ha une des suites (vn)n∈N

et (wn)n∈N est monotone.

Supposons, par exemple, que (vn)n∈N est roissante. On peut don é rire, pour

tout n ∈ N, vn 6 vn+1.

En appliquant la fon tion f dé roissante, on en déduit :

f(vn) > f(vn+1) ⇐⇒ wn > wn+1.

La suite (wn)n∈N est don dé roissante.

Si l'on supposait que la suite (vn)n∈N soit dé roissante, on en déduirait de la

même manière que (wn)n∈N est roissante.

F.PUCCI 68


Remarque : Pour déterminer la monotonie de (un)n∈N, il s’agira de déterminer lesigne de f(x) − x sur I, et de dresser éventuellement son tableau de signe. Graphi-quement, cela correspond à déterminer la position de la courbe de f par rapport àla première bissectrice d’équation y = x.

ATTENTION Ce n’est qu’une implication. On pourrait très bien avoir unesuite définie par récurrence par la relation un+1 = f(un) quisoit croissante sans que f ne le soit.

Considérez par exemple, la fonction défi-nie par f(x) = x+ cos(2πx) et

u0 = 1,un+1 = f(un)

= un + cos(2πun).

Un rapide raisonnement par récurrencemontrerait que un = n+ 1, ∀ n ∈ N donc(un)n∈N est croissante et pourtant, f nel’est pas le moins du monde.

bu0u0

bu1u1

bu2u2

bu3u3

bu4u4

bu5u5

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

n

un Cf

Dans le cas d’une fonction décroissante, il s’agira donc :

1. de considérer g = f ◦ f et de se ramener au cas g croissant pour concluresur la monotonie des suites (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N.

2. d’étudier le signe de la fonction x 7−→ g(x) − x pour déterminer la mono-tonie de (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N :

— si g(u0) − u0 > 0 (resp. 6 0), (u2n)n∈N est croissante (resp. décrois-sante).

— si g(u1) − u1 6 0 (resp. > 0), (u2n+1)n∈N est décroissante (resp. crois-sante).

Méthode 7 (Suite récurrente associée à une fonction décroissante)

Remarques :— Si (u2n)n∈N et (u2n+1)n∈N convergent, on montrera plus loin vers des points fixes

de g = f ◦ f . Il s’agira alors de montrer que ces deux sous suites convergentvers le même point fixe α.

— Lors de la recherche des points fixes de g = f ◦ f il sera bon de remarquerque les points fixes de f sont aussi des points fixes de g. Cela aidera pourd’éventuelles factorisation.De la même manière, remarquez que la réciproque est fausse et que les pointsfixes de g ne sont pas nécessairement des points fixes de f .

⌊17⌋. Un bon exercice !

F.PUCCI 69


On pourra alors conclure que (un)n∈N converge vers α à l’aide de la proposition (12).

IX.2 Convergence et point fixe

Soit une fonction f définie sur un ensemble I.Un point x de I vérifiant f(x) = x est appelé point fixe de f .

Rappels 4 (Point fixe)

Pour les fonctions de la variable réelle à valeurs dans R ce la correspond aux abscissesdes points d’intersection entre la courbe de f et la droite d’équation y = x.

Soient f : I 7−→ R avec I stable par f et (un)n∈N définie par u0 ∈ I et ∀ n ∈ N,un+1 = f(un).Si f continue sur I alors (un)n∈N ne peut converger que vers un point fixe de f .

Théorème 29 (Convergence de (un)n∈N)

Preuve: Supposons la suite (un)n∈N onvergente vers un réel ℓ.

On a limn→∞

un = limn→∞

un+1 = ℓ.

Or, la fon tion f est ontinue en ℓ ∈ I ⌊18⌋ .-à-d. lim

x→ℓf(x) = f(ℓ).

Par omposition, on en déduit que ℓ = limn→∞

un+1 = limn→∞

f(un) = f(ℓ).

Don f(ℓ) = ℓ .-à-d. ℓ est solution de l'équation f(x) = x.

Remarque : Pour déterminer les points fixes de f , on étudie les points d’annulationde la fonction x 7−→ f(x) − x sur I.

ATTENTION Ce théorème ne donne qu’une condition nécessaire sur la limite. Il ne permeten aucun cas de prouver que la suite (un)n∈N est convergente.

Reste alors à se poser la question de quelle(s) propriété(s) rajouter à f ou à (un)n∈N

pour imposer la convergence voire le choix du point fixe donc se poser la questionde son unicité.

Une partie de la réponse se trouve dans les paragraphes suivants

⌊18⌋. f continue sur un voisinage de ℓ suffirait.

F.PUCCI 70


Soient I une partie de R, f : I 7−→ R une application et k un réel positif.

— On dit que f est k-lipschitzienne sur I si

∀ (x ; y) ∈ I2, |f(x) − f(y)| 6 k|x− y|.

— On dit que f est contractante si elle est k-lipschitzienne avec 0 < k < 1.

Définition 25 (Fonction lipschitzienne et contractante)

En particulier, tous les taux d’accroissements de f sont majorés en valeur absoluepar k c.-à-d. une fonction lipschitzienne ne peut pas aller bien vite.

Remarque : Supposons que f : I 7−→ R soit de plus dérivable. Pour montrer quef est contractante sur I, on pourra tenter de majorée sa dérivée f ′ sur I par uneconstante k < 1. Par l’inégalité des accroissements finis, on en déduira que f estcontractante.

Soit f : I 7−→ I une fonction contractante.Si f admet un point fixe ℓ, alors ℓ est unique et toute suite définie par récurrencepar u0 ∈ I et ∀ n ∈ N∗, un+1 = f(un) converge vers ℓ.

Proposition 21

Preuve:� Supposons avoir un deuxième point �xe ℓ1 6= ℓ ∈ I.

� Soit (un)n∈N ∈ IN une suite dé�nie par u0 ∈ I et ∀ n ∈ N∗, un+1 = f(un).

Montrons par ré urren e sur n ∈ N la propriété

P(n) : |un − ℓ| 6 kn|u0 − ℓ|.P(0) est évidente.Soit n ∈ N, tel que P(n) soit vraie. Par hypothèse de ré urren e, on a

|un − ℓ| < kn|u0 − ℓ|. Alors on a :

|un+1 − ℓ| = |f(un) − f(ℓ)| 6 k|un − ℓ| 6 k × kn|u0 − ℓ| = kn+1|u0 − ℓ|.Don P(n + 1) est vraie.En on lusion, ∀ n ∈ N, P(n) est vraie.Comme k ∈]0 ; 1 [,

(

kn|u0 − ℓ|)

n∈N onverge vers 0 et (un)n∈N vers ℓ.

Calcul approché du point fixe : Si I = [a ; b ], le calcul précédent nous donneune estimation de l’erreur :

|un − ℓ| 6 kn|u0 − ℓ| 6 kn|b− a|.

Ainsi, un constitue une estimation du point fixe ℓ de f avec une précision au moinségale à kn|b− a|.Exercice 36 : Étudier la convergence des suites suivantes :

F.PUCCI 71


1.

u0 = 1

un+1 = u2n + un

2.

u0 = 0

un+1 = ln(un + 3) 3.

u0 = 1

un+1 = 1 +1un

On aura cependant bien plus fort que la proposition (21) . En effet, dans l’énoncéde celle-ci, il est nécessaire que f possède un point fixe. En fait, cette hypothèse estinutile.

On énoncera alors le théorème du point fixe sous la forme :

Soient E un espace métrique complet ⌊19⌋(non vide) et f une application k-contractante de E dans E.

La fonction f possède un unique point fixe x0 et toute suite (un)n∈N d’élémentsde E vérifiant la relation de récurrence un+1 = f(un) converge vers x0.En particulier, ∀ n ∈ N, on a :

d (un ; x0) 6kn

1 − kd (u0 ; x0) . (10.6)

Théorème 30 (Théorème du point fixe)

Ce résultats donne un algorithme de calcul du point fixe, appelé « méthode desapproximations successives », contrairement à d’autres théorèmes de point fixe quinous assurent seulement de l’existence de points fixes sans indiquer comment lesdéterminer.

De plus, l’énoncé donne un majorant de l’erreur sous la forme de (10.6).

IX.3 Représentation graphique d’une suite récurrente

Pour visualiser une suite définie par récurrence un+1 = f(un) dans un repère :

— On trace la courbe Cf représentative de la fonction f associée et de lapremière bissectrice (∆) : x 7−→ x.

— On place le point A0 (u0 ; 0).

— On trouve u1 = f(u0) à l’aide de Cf .

— . . .

Méthode 8 (Représentation d’une suite)

⌊19⌋. Un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchyconverge.

C’est justement la notion de suite de Cauchy et de complétude qui nous manque pour l’instant.Pour une meilleure compréhension, considérez que R est complet et remplacez E par R dansl’énoncé du théorème.

F.PUCCI 72


Exemple 19 : Soit (un)n∈N la suite définie par

u0 = 1

un+1 = 1 +1un

.

On applique la méthode (8) stricto sensu :

— On trace les courbes de f : x 7−→ 1 +1x

et x 7−→ x.

— On place le point A0 (u0 ; 0).

— On trouve u1 = f(u0) à l’aide de Cf .

— On place le point A1 d’ordonnée nulle et d’abscisse u1 par symétrie d’axe(∆).

— . . .

0 1 20

1

2

b

b b

bb

b b

Cf

|

A0A0

|

A1A1

|

A2A2

|

A3A3

Exercice 37 : Dans un repère, représenter les suites suivantes :

1.

u0 = −1

un+1 =√

2 + un

2.

u0 = 0,1

un+1 = 2un(1 − un) 3.

u0 = 5

un+1 =4un − 1un + 2

F.PUCCI 73


IX.4 Suites récurrentes linéaire

On appelle récurrente linéaire d’ordre 2 toute suite définie par la relation derécurrence :

un+2 = aun+1 + bun avec (a ; b) ∈ R2. (10.7)

Définition 26 (Suite récurrente linéaire d’ordre 2)

Soit (un)n∈N une suite récurrente linéaire d’ordre 2 définie par (10.7).On appelle équation caractéristique associée à la suite (un)n∈N l’équation

x2 − ax− b = 0.

Définition 27 (Équation caractéristique)

Soient un une suite récurrente linéaire d’ordre 2 et ∆ le discriminant de sonéquation caractéristique.Alors :

— Si ∆ > 0, alors un = λrn1 + µrn

2 , où r1 et r2 sont les deux racines del’équation caractéristiques et (λ ; µ) ∈ R2.

— Si ∆ = 0, alors un = (λ + µn)rn, où r est la racine double de l’équationcaractéristiques et (λ ; µ) ∈ R2.

— Si ∆ < 0, alors un =(

λ cos(ωn) + µ sin(ωn))

rn, où re±iω sont les deux ra-cines complexes conjuguées de l’équation caractéristiques et (λ ; µ) ∈ R2.

Théorème 31

Preuve: Démonstration par ré urren e sur n ∈ N dans les trois as.

Exemple 20 (Suite de Fibonnacci ⌊20⌋) : Un exemple classique de chez clas-sique, la suite de Fibonacci définie par F0 = 0, F1 = 1 et ∀ n ∈ N,

Fn+2 = Fn+1 + Fn.

Cette suite a pour équation caractéristique x2 − x− 1 = 0 dont le discriminant est∆ = 1 + 4 = 5 et dont les racines sont :

φ =1 +

√5

2et ψ = −1

φ=

1 −√

52

.

On peut donc écrire Fn = λφn +µψn puis, avec les conditions initiales qui imposent

λ = −µ =1√5

:

Fn =1√5

(

ϕn − ψn)

.

F.PUCCI 74


⌊20⌋. FIBONACCI Leonardo, italien, 1175 ?-1240 ?. De son vrai nom Léonard de Pise, ditFibonacci (signifiant « fils de Bonaccio »), Leonardo est le fils d’un administrateur de la ville dePise. Commerçant et grand voyageur, il parcourut l’Europe et les pays d’orient tout en s’imprégnantdes mathématiques de son époque inspirées des mondes grecs, indiens et arabes.

Dans son Liber Abaci (Livre de calcul), publié en 1202, principalement consacré aux calculscommerciaux, il affine et résout des problèmes algébriques déjà rencontrés dans l’œuvre du mathé-maticien Al Khwarizmi.

Fibonacci fait grand usage des nombres dits « arabes »(système décimal positionnel), du calculfractionnaire et de la méthode de résolution des équations, dite de fausse position. Il publieraaussi un traité de géométrie, Practica geometriae (1220), où il applique des méthodes algébriquesà des problèmes géométriques, et un traité sur le calcul des racines carrées et cubiques (Liber

Quadratorum, 1225).Le Liber Abaci est aussi un recueil de « petits » problèmes comme celui, resté célèbre, de la

reproduction des lapins :

Possédant au départ un couple de lapins,

combien de couples de lapins obtient-on en

douze mois si chaque couple engendre tous les

mois un nouveau couple à compter du second

mois de son existence ?

1 123

58

On est ainsi conduit à la célèbre séquence des nombres de Fibonacci

F.PUCCI 75

@Index

Algèbre, 21Algorithme, 72Approximation

décimale d’un réel, 15, 63de

√a, 62

Archimédien, 10

Bernoulli, 51Borne

inférieure, 4Caractérisation de la, 5Propriété de la, 6

supérieure, 4, 45Caractérisation de la, 5Propriété de la, 4

Chaos, 66Commutatif, 3Comparaison, 44Complet, 72Comportement

asymptotique, 22Continuité, 66, 70Convexité, 8Corps, 3

D, 2Décimale, 16Développement

asymptotique, 42décimal infini d’un réel, 16limité, 42

Densité, 13Q est dense dans R, 15

Droitenumérique achevée, 9

Ensemblestable, 67

Équationcaractéristique, 74

Espacevectoriel, 18

Exponentielle, 44

Factorielle, 44Fonction

continue, 64, 66contractante, 71lipschitzienne, 71partie entière, 12

Fractionirréductible, 3

Groupe, 3

Humour, 1

Inégalitéde Bernoulli, 51des accroissements finis, 71

Intersectiond’intervalles, 8

Intervallede R, 7

caractérisation, 8Intersection, 8Réunion, 8stable, 67

Limited’un produit, 39d’un quotient, 40d’une somme, 38d’une suite, 25d’une suite convergente, 22et inégalités strictes, 28Opérations sur les, 37

MéthodeÉtude d’une suite récurrente, 69Borne supérieure, 6de dichotomie, 64Encadrer une suite, 21Montrer qu’une suite est monotone, 19Montrer qu’une suite n’est pas majorée,

21Représentation d’une suite récurrente, 72Suite arithmético-géométrique, 55

76

Chapitre 10: INDEX INDEX

N, 2Nombre

décimal, 2irrationnel, 3

Partiedense dans R, 13dense de R, 14entière, 12

Pointfixe, 54, 56, 70

Produitde limites, 39

Propriétéde R, 17

Q, 2, 3Quotient

de limites, 40

R, 12Propriétés de, 17

Réuniond’intervalles non disjoints, 8

Sérieharmonique, 35, 44

Sommede limites, 38des termes d’une suite, 48

Suiteadjacente, 60, 64arithmético-géométrique, 53arithmétique, 48, 50, 56convergente, 22, 23croissante, 19divergente, 24, 34explicite, 20, 47extraite, 29géométrique, 48, 51, 54, 56homographique, 56majorée, minorée, bornée, 20monotone, 19récurrente, 66Somme de termes, 48

Systèmedynamique, 66

Théorèmed’encadrement, 42de Bolzano-Weierstrass, 32de comparaison, 36de limite monotone, 35, 45, 46

du point fixe, 72Topologie, 13

Valeurd’adhérence, 13, 30–33

Voisinage, 10d’un point, 10de l’infini, 10

Z, 2

F.PUCCI 77

Chapitre 10: INDEX INDEX

F.PUCCI 78

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Chapitre 10 Nombres Réels - Suites - Fabien PUCCIfabienpucci.fr/wp-content/uploads/2019/01/2019_PCSI_10... · 2019-01-16 · Chapitre 10: Nombres Réels - Suites II. LES NOMBRES