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Présentation | 4.1 Ératosthène et le GPS
4.1 Ératosthène et le GPS
Au cours de Show Math, on a montré comment Ératosthène a calculé la circonférence de la Terre il y a 2200 ans. Dans cette activité, les élèves auront l’opportunité de marcher dans les pas d’Ératosthène en utilisant sa méthode pour découvrir qu’avec de simples notions trigonométriques, on peut calculer de très grandes distances. Ils pourront donc découvrir une application simple de certains concepts de géométrie.
Les jeunes pourront faire le lien entre la démarche d’Ératosthène et une technologie actuelle : le GPS.
Intentions de l’activité
• Faire voir aux élèves la portée des notions qu’ils apprennent
• Mettre en contexte les mathématiques en faisant réaliser aux jeunes qu’elles font partie de la technologie du GPS
• Sensibiliser les élèves au développement de la pensée mathématique
• Introduction aux notions de tangente et d’arctangente
• Quelques-unes des questions amènent l’élève à prendre po-sition et à expliquer la raison de ses choix. La plupart du temps, les arguments seront d’ordre mathématique et l’acti-vité peut donc contribuer au développement de la compétence disciplinaire 2.
Forme de la production attendue
• Questions, réponses et justifications
Concepts utilisés
• Mesure d’angles (degrés, minutes, secondes)
• Angles correspondants
• Arctangente
• Formule de la circonférence
Ressources matérielles
• Sites Internet pertinents
• Un GPS (enseignant ou élèves - facultatif)
Présentation | 4.1 Ératosthène et le GPS
Préparation
• Le calcul de la distance à partir de l’échelle donnée sur la carte a normalement été vu en univers social (géographie). Au besoin, un rappel de cette technique peut être fait.
• L’explication du fonctionnement du GPS est très sommaire dans l’activité. Quelques minutes pourraient être utilisées afin de donner des explications plus précises aux élèves. Au be-soin, le Dossier GPS de Christiane Rousseau peut être consulté ( http://accromath.uqam.ca/archive/ )1.
Réalisation
• Les élèves devront répondre à diverses questions. Les premières ciblent les contenus à maîtriser et permettront aux jeunes de réin-vestir leurs connaissances dans les questions suivantes.
• Il serait préférable de valider les réponses des élèves à la fin de la première partie (touchant les calculs d’Ératosthène) avant de débu-ter la deuxième partie qui porte sur le GPS.
• Dans la première partie, les élèves seront peut-être un peu décon-tenancés par les unités de mesure inhabituelles. On peut leur expli-quer que cela ne change rien à ce qu’ils ont à faire même s’il est un peu plus difficile de se représenter la situation.
• Un savoir essentiel en jeu dans l’activité est que la nature d’un rap-port trigonométrique est un nombre pur et qu’il n’y a pas d’unités attachées à ce nombre.
Intégration
• Une question ouverte est posée à la fin de chacune des deux parties afin que les élèves puissent émettre une conjecture et prouver sa véracité.
• L’enseignant peut aussi demander aux élèves de donner d’autres preuves que la terre est ronde (la ligne d’horizon est courbe sur la mer, on voit d’abord le haut des bateaux qui arrivent au large, les as-tronautes l’ont constaté, les avions en font maintenant le tour, etc.).
Déroulement
Pistes de différenciation
• Les dernières questions de l’ac-tivité ont été développées dans une optique de différenciation.
• Le fonctionnement du GPS avec le positionnement à l’aide de points d’intersection de trois cercles.
• L’ordre de grandeur de l’erreur.
1Rousseau, Christiane (2006). Dossier GPS, Accromath. Volume 1, Été-Automne 2006
Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS | 1
1.
4.1 Ératosthène et le GPS
Au cours de Show Math, vous avez entendu parler d’Ératosthène de Cyrène, un mathématicien grec du IIIe siècle avant Jésus-Christ (–276 à –196), c’est le premier homme a avoir pu donner une estima-tion précise du rayon terrestre.
On vous propose de vérifier sa méthode pour trouver le rayon de la terre et d’utiliser ensuite un moyen moderne, le GPS, pour comparer les résultats et répondre à quelques petites questions se rapportant à cette situation.
Nom : _________________________________________________________
Alexandrie
Gizeh Le Caire
Béni Souef
Minieh
Assiout
Sohag
Keneh
Assouan
Médinatel-Fayoum
ÉGYPTE
1000 stades
Si je te donnais un ballon, serais-tu capable de calculer sa circonférence en utilisant seulement les ombres proje-tées par deux petits bâtonnets placés à sa surface ? C’est une question de géométrie, demande à Ératosthène !
Partie 1La ville de Syène était située à l’endroit où se trouve maintenant la ville d’Assouan. À l’époque, il y avait des marcheurs engagés pour mesurer les distances entre les villes.
À l’aide de l’échelle indiquée, déterminez la distance, en stades, entre Alexandrie et Assouan.
2 | Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS
Notez que le jour du solstice d’été, le 21 juin, à Syène, le Soleil tape direc-tement au-dessus de la ville à midi, car on peut voir son reflet dans l’eau au fond d’un puits.
En même temps à Alexandrie, Ératosthène mesure l’ombre faite par un obélisque haut de 50 coudées. L’ombre mesure 6,32 coudées. Le schéma ci-dessous illustre cette situation.
Celui-ci est construit à partir de trois hypothèses :
1. Comme le soleil est très éloigné de la terre, on peut considérer que ses rayons sont parallèles.
2. Les deux villes sont sur le même méridien.
3. L’expérience a lieu le 21 juin.
À l’aide des mesures données ci-dessus, déterminez, au dixième de degré près, la mesure de l’angle α. Utilisez votre calculatrice ou la table fournie à la fin de l’activité.
α
α
Terre
S (Syène)
obélisque
A (Alexandrie)ombre
rayons solaire
s
Mesure du rayon de la Terre par Ératosthène
Comme il y a 360° dans un cercle et que vous connaissez la longueur d’un arc, déterminez la circonférence de la terre, en stades.
2.
3.
Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS | 3
6.
Quel est le rayon de la terre, en stades ?
Un stade mesure 157,5 mètres. Avec la méthode d’Ératosthène, déterminez quel est le rayon de la terre, arrondi au kilomètre près ?
Partie 2Héraclès de Bysance (ancien nom de la ville d’Istanbul en Turquie) a constaté que, le même jour et à la même heure, un obélisque de 40 cou-dées laissait une ombre de 13 coudées. Il prétend que, sans bouger de chez lui, il peut connaître la distance entre Bysance et Syène en utilisant la longueur de la circonférence terrestre calculée par Ératosthène.
A-t-il raison ?
• Si vous croyez que oui, déterminez cette distance.
• Si vous croyez que non, expliquez pourquoi c’est impossible.
4.
5.
4 | Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS
7.
Partie 3Le GPS (Global Positionning System) est un système comprenant un certain nombre de satellites en orbite autour de la Terre à 20 200 km d’altitude et des récepteurs de différents modèles situés sur la surface de la Terre. Par des signaux émis par les satellites, on est en mesure de déter-miner en tout temps la position du récepteur.
Cette position est exprimée sous différentes formes, mais la plus courante est la donnée de la latitude et de la longitude, chacune donnée en degrés, minutes et millième de minute. Par exemple, quelqu’un qui se trouve au pied de la statue de Champlain sur la terasse Dufferin, près du Château Frontenac à Québec, pourra lire sur son GPS :
N 46° 48.743 W 071° 12.273
Cela signifie que le monument est situé à 46 degrés et 48,743 minutes de latitude nord et 71 degrés et 12,273 minutes de longitude à l’ouest du méridien 0.
Béatrice a relevé ces coordonnées et a téléphoné à Alyson, sa jumelle, qui est présentement en voyage à Newton North, en banlieue de Boston. Alyson, en utilisant son GPS, lui indique qu’elle est au point:
N 42° 18.743 W 071° 12.273
Béatrice prétend qu’elle peut déterminer la distance entre ces deux villes (Québec et Newton North) si elle connaît le rayon de la terre. Alyson, de son côté, prétend le contraire. Qui a raison ?
• Si vous croyez qu’Alyson a raison, expliquez pourquoi.
• Si vous croyez que c’est Béatrice qui a raison, calculez cette dis-tance en utilisant comme rayon terrestre 6378 km. C’est la longueur généralement admise aujourd’hui.
Il y a mille millièmes de minute dans une minutes et soixante mi-nutes dans un degré.
Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS | 5
8.
Pour utiliser la méthode d’Ératosthène, les deux villes doivent-elles obliga-toirement se trouver sur le même méridien ?
Curieux ?
9.
10.
11.
L’expérience doit-elle absolument avoir lieu le jour du solstice d'été (le 21 juin) ?
Quels sont les autres découvertes ou travaux qu’Ératosthène a effectués et pour lesquels il est célèbre ?
Alyson reste toujours au point :
N 46° 48.743 W 071° 12.273
Son cousin Éloi est dans un boisé près de Big Bay en Ontario, sur le bord du lac Supérieur. Son GPS indique :
N 46° 48.743 W 087° 44.273
La distance entre Québec et Big Bay est de 1250 km.
a) Déterminez la circonférence de la Terre à partir de ces données ?
b) Pourquoi y a-t-il une si grande différence avec le résultat obtenu précédemment ?
Cahier de l’élève | 4.1 Ératosthène et le GPS
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Corrigé | 4.1 Ératosthène et le GPS | 1
4.1 Ératosthène et le GPS Corrigé
Rép. : À peu près 5000 stades
À l’aide des mesures données ci-dessus, déterminez, au dixième de degré près, la mesure de l’angle α.. Utilisez votre calculatrice ou la table fournie à la fin de l’activité.
Un stade mesure 157,5 mètres. Avec la méthode d’Ératosthène, déterminez quel est le rayon de la terre, arrondi au kilomètre près ?
Tan α = = = = 0,1264longueur de l’ombre
longueur de l’obélisque
6,32 coudées
50 coudées
6,32
50
m Ρα = 7,2°…
Rép. : m Ρα = 7,2°…
R = = 39 788,73... stades250000
2π
Rép. : 39 788,73… stades
1.
Partie 1À l’aide de l’échelle indiquée, déterminez la distance, en stades, entre Alexandrie et Assouan.
2.
3.
Puisque 7,2° correspond à 5000 stades, 1° correspond à 5000
7,2= 694,44…
stades
Donc 360° correspond à 360 x 694,44, soit à peu près 250 000 stades.
Rép. : 250 000 stades
Quel est le rayon de la terre, en stades ?
4.
5.
39 788,73 x 157,5 ÷ 1000 = 6266,724 km
Rép. : 6267
(Page 1)
(Page 2)
(Page 2)
(Page 3)
(Page 3)
Comme il y a 360° dans un cercle et que vous connaissez la longueur d’un arc, déterminez la circonférence de la terre, en stades.
2 | Corrigé | 4.1 Ératosthène et le GPS
Partie 2Héraclès de Bysance (ancien nom de la ville d’Istanbul en Turquie) a constaté que, le même jour et à la même heure, un obélisque de 40 cou-dées laissait une ombre de 13 coudées. Il prétend que, sans bouger de chez lui, il peut connaître la distance entre Bysance et Syène en utilisant la longueur de la circonférence terrestre calculée par Ératosthène.
A-t-il raison ?
• Si vous croyez que oui, déterminez cette distance.
• Si vous croyez que non, expliquez pourquoi c’est impossible.
Partie 3Béatrice prétend qu’elle peut déterminer la distance entre ces deux villes (Québec et Newton North) si elle connaît le rayon de la terre. Alyson, de son coté, prétend le contraire. Qui a raison ?
• Si vous croyez qu’Alyson a raison, expliquez pourquoi.
• Si vous croyez que c’est Béatrice qui a raison, calculez cette dis-tance en utilisant comme rayon terrestre 6378 km. C’est la longueur généralement admise aujourd’hui.
6.
C’est possible seulement si les deux villes sont sur un même « grand cercle », passant par les pôles. Quand deux villes sont sur le même méri-dien, cette condition est respectée puisque tous les méridiens passent par les deux pôles. Évidemment, la mesure de l’ombre doit être faite exacte-ment au même moment où la mesure est prise à Syène. Dans ce cas, l’angle déterminé à Bysance correspond à l’angle au centre du cercle. Si on connaît la mesure en degrés de l’angle au centre et la mesure de la circonférence d’un cercle, on peut déterminer la longueur de l’arc en mesure linéaire.
Ici, l’angle au centre est donné par α = arctan = arctan(0,325) = 18°13
40
La distance entre Bysance et Syène est donc :
× 250000 = 12500 stades18°
360°
7.
Étant donné que les deux points ont exactement la même longitude, la différence de leur latitude est la mesure de l’angle au centre correspon-dant à l’arc de cercle délimité par ces deux points.
m Ρα = 46° 48.743’ – 42° 18.743’ = 4° 30’ = 4,5°
Distance entre Québec et Boston = × 6378 km × 2π = 500,9269... km4,5°
360°
Donc à peu près 501 km.
(Page 3)
(Page 4)
Corrigé | 4.1 Ératosthène et le GPS | 3
Pour utiliser la méthode d’Ératosthène, les deux villes doivent-elles obliga-toirement se trouver sur le même méridien ?
Curieux ?
8.
9.
10.
11.
Oui, les deux villes doivent se trouver sur le même méridien.
L’expérience doit-elle absolument avoir lieu le jour du solstice d'été (le 21 juin) ?
Non, on peut faire l’expérience à un autre jour. En effet, si les deux villes se trouvent sur le même méridien et que l’expérience est faite la même jour-née au même moment, nous obtiendrons deux angles différents. Il suffit de faire la différence entre les mesures de ces deux angles pour obtenir la valeur de l’angle au centre.
Le crible d’Ératosthène sert à trouver facilement et rapidement les nombres premiers.
La duplication du cube consiste à construire un cube qui aura exactement le double du volume d’un cube donné. C’est un problème mathématique classique datant de l’Antiquité qui est insoluble en utilisant uniquement une règle et un compas. Ératosthène a construit un instrument lui permet-tant de résoudre ce problème.
Quels sont les autres découvertes ou travaux qu’Ératosthène a effectués et pour lesquels il est célèbre ?
Alyson reste toujours au point :
N 46° 48.743 W 071° 12.273
Son cousin Éloi est dans un boisé près de Big Bay en Ontario, sur le bord du lac Supérieur. Son GPS indique :
N 46° 48.743 W 087° 44.273
La distance entre Québec et Big Bay est de 1250 km.
a) Déterminez la circonférence de la Terre à partir de ces données ?
Si l’élève utilise la même méthode que précédemment, il obtiendra à peu près 4 327 km
b) Pourquoi y a-t-il une si grande différence avec le résultat obtenu précédemment ?
Sauf pour l’équateur, les latitudes ne forment pas de grands cercles.
(Page 5)
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