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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 2 HDevoir de Mathématiques n°1

Prof : Ben Jedidia Chokri Date : 5/11/2012 Classe : 4ème

Math

EXERCICE I: ( 4 points) Répondre par vrai ou faux

Dans le plan rapporté à un repère orthonormé.( ) j,i,o

 

On donne la représentation graphique Cf de la fonction f définie sur ] [0,+∞  

et considère la fonction h =fof.

1. L’ensemble de définition de h est :

a Dh= { } \ 0ℝ  

b Dh= ] [1,+∞  

c Dh= ] [0,1  2.

a Limh(x)

0

= +∞+

 

b Limh(x)

0

= −∞+

 

c h admet une limite finie à droite de 03.

a h est strictement croissante sur Dh 

b h est strictement décroissante sur Dh 

c h n’est pas monotone sur Dh

4.

a L’équation h(x)=0 admet une solution 0 1< α <  b L’équation h(x)=0 admet une solution 1α >  

c L’équation h(x)=0 n’admet pas de solution sur Dh

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EXERCICE II : ( 7 points)

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct( )o,u,v

.

On considère l’application du plan dans lui-même qui à tout point M d’affixe z non nul,

associe le point M’d’affixe z’ telle que z’=

4

z+ z  

On désigne par A et B les points d’affixes respectivesA

z =1+i 3 et Bz =1-i 3

1. a. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f.

b. Montrer que z’ est réel si et seulement si z est réel non nul ou z =2  

c. Montrer que si M décrit le cercle de centre O et de rayon 2

alors M’ décrit un ensemble S que l’on précisera

2. Soit M le point d’affixe iθre où r un réel strictement positif différent de 2

et ] ]un réel de l 'intervalle ,θ −π π  

a. Montrer que M’ a pour affixe4 4

z ' (x ' iy ') avec x ' (r )cos et y'=(r- )sinr r

= + = + θ θ 

b. En déduire que M’ est point de la courbe E d’équation : 

2 2

2 2

x ' y'1

4 4(r ) (r )

r r

+ =

+ − 

3. a. Résoudre dans ℂ l’équation : 4

z + = 4cos θz

où  un réel de l'intervalle 0,2

π θ

 

On donne les solutions z1 et z2 sous forme exponentielle.

b. Soient M1 le point d’affixe z1 , M2 le point d’affixe z2 et M’1 le point d’affixe z’1 Déterminer θ pour que le quadrilatère OM2M’1M1 soit un carré.

EXERCICE III :

PARTIE A (3 points)

Soit la fonction f définie par1

f(x) = - xx+1

 

1. a- Montrer que f est strictement décroissante sur ] [-1, + ∞  

b- Déterminer l’image de l’intervalle ] [-1, + ∞ par f 2. Soit la fonction g définie par g(x)= f(x) – x

a-  Etudier le sens de variation de g

b-  Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution [ ]dans 0,1α    

c-  Vérifier que α   est aussi solution de l’équation (x)ϕ =3 24x 4x -1= 0+  

d-  Donner une valeur approchée par défaut de α   à 110− près

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PARTIE B (3 points)

On considère la suite (X n) finie par :

0

n 1 n

X 1

(x)

où h (x) x- '(x)

X h(X )+

=

ϕ= ϕ

=

 

1. Démontrer que pour tout n de N ; [ ]nX ,1∈ α  

2. Démontrer que (X n) est décroissante

3. En déduire que (X n) est convergente

4. Prouver que nn

limX→+∞

=α 

5. Donner une valeur approchée de α à 10-2

près.

EXERCICE IV : (3 points)

On considère les suites ( nS ), (Un) et (Vn) définie sur ℕ * par :

k=n

n

k=1

1S =

k ∑ ; Un= n

S 2 n+1−   et Vn= nS 2 n−  

1. Montrer que n

n

lim S→+∞

=+∞

 

2. Montrer quen

(U ) etn

(V ) sont deux suites adjacentes