7/30/2019 4m2-2012

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L-P-Bourguiba de Tunis Durée : 3 HDevoir de Synthèse

Date : 6 /12/2011 Classes : 4 Maths 2-4-6

EXERCICE 1 : (3points)

Pour chacune des questions suivantes une seule des trois réponses proposées est exacte.

Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisieen justifiant votre réponse.

1) Soit f(x)=cos( x)

a) f n’est pas dérivable à droite en 0. b)d

1f ' (0)=-

2 d

1c) f ' (0)=

2

2) Soit la suite ( nU ) définie sur ℕ par :k k=n

n

k=0

(-1)u =

(2k)!∑

a) Pour tout n de IN: 2n 2n+1u u≤ b) 2n(u ) et 2n+1(u ) sont adjacentes. c)la suite n(u ) est divergente 3) L’application f du plan dans lui-même

qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z'=-iz

a) f est une symétrie axiale .b) f est une symétrie glissante. c) f est une rotation.

EXERCICE 2: (4 points)

Le plan P est muni d’un repère orthonormé direct ( )O,u,v

On considère l’équation E : z4

+(-5-3i)z3+(3+12i)z

2+(13-9i)z-12=0

1) Résoudre dans ℂ l’équation E sachant qu’elle admet deux solutions réelles.

2) Soient les points A,B,C,et C’ d’affixes respectives zA = 1 ;zB=3 ;zC=2+2iet zC’=-1+i

Et on désigne par M le milieu de [ ]BC

a. Vérifier que C’ est l’image de C par la rotation r de centre A et d’angle2

π

b. Déterminer l’affixe du point B’ image de B par la rotation de centre A et d’angle2

π−

c. Montrer que (AM) et (B’C’) sont perpendiculaires et que B’C’=2AM

3°) Soit h l’homothétie de centre B et de rapport 2

On pose f=roh

a. Déterminer la transformation complexe F associée à f.b. Déterminer l’affixe du point invariant de f Ω

[ ]et montrer que B'=2 A et ( A, B') 22

πΩ Ω Ω Ω ≡ π

EXERCICE 3 :(5 points)

Dans le plan orienté, on considère un carré ABCD de centre O tel que : [ ]π

(AB,AD) 2π2

≡

On désigne par I et J les milieux respectifs des segments [ ]AB et [ ]BC

On note O’ le symétrique de O par rapport à (AB)

1) Soit l’application f= SOCoSOJ.

Caractériser f 2) Soit l’application

CBfotg= .

Montrer que g est une rotation de centre C et d’angleπ

2

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3) Soit l’application BD=S og.ϕ

a. Vérifier que (C)=A, (D)=B et (O)=O'.ϕ ϕ ϕ

b. Montrer que ϕ n’a pas de points invariants et en déduire la nature deϕ .

4) Soit l’application BC ABS=S ot .

a. Caractériser S

b. Montrer queCB

=Sot .ϕ

5) Déterminer les isométries de P qui laissent globalement invariant (CD) (AB)∪ .

EXERCICE4: (8 points)

1) Soit la fonction ϕ définie par:x 1

(x)x

+ϕ =

a)Etudier les variations de ϕ et dresser son tableau de variation.

b)Soit Cϕ la courbe représentative de ϕ dans un plan rapporté à un repère orthonormé (O,i,j).

Constuire Cϕ et la droite : y x∆ =

2) Soit f la restriction de ϕ sur R+*.

a)Montrer que f réalise une bijection de ] [0, +∞ sur un ensemble J que l’on déterminera

b) Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique a 1>

c)On note f -1

la réciproque de f .Construire Cf -1

dans le même repère orthonormé

d)Expliciter f -1

(x).

3) Soit la suite (Un) définie sur N par:

0

n+1 n

U 2

et pour tout n de N

U =f(U )

=

a) Montrer que pour tout n de N : Un 1≥

b) Montrer que pour tout x de ] [1

1, f '(x)2

+∞ ≤

c) Montrer que pour tout n de N : n 1 n

1U a U a

2+ − ≤ − .

d) Montrer que pour tout n de N n

n 0

1U a ( ) U a

2− ≤ − et déterminer la limite de (Un)

4) Pour tout x1

de 0,2

on pose g(x) f (tan( x)= π

a) Montrer que g est dérivable sur 10,2

et elle réalise une bijection de 10,2

sur un ensemble K que l’on déterminera. On note g-1

sa fonction réciproque

b) Calculer 1g ( 2)

− .

c) Montrer que g-1

est dérivable sur K et que :

1

2 2

2x(g ) '(x)

((x 1) 1)

− −=

π − +

5) Pour tout x de R+*,on pose :

1 1 1h(x) g ( 1 x ) g ( 1 )

x

− −= + + +

a)Montrer que h est dérivable sur R+* et calculer h’(x)1 11 1

b)Déduire que Pour tout x de R+*,on a :g ( 1 x ) g ( 1 )2 x

− −+ = − +