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L-P-Bourguiba de Tunis Dure : 4 HDevoir de Synthse
Date : 13 /5/2010 Classes : 4 Maths 4-6-7
EXERCICE 1 : (2 points)
Pour chacune des questions suivantes, plusieurs affirmations
vous ont proposes.Indiquer pour chacune delles si elles sont vraies
ou fausses.La dure de vie en annes des TV haute dfinition est une
variable alatoire note X
qui suit la loi exponentielle de paramtre 0 >
On donne p[ ]3
0,155
= et soit F La fonction de rpartition de X
1. a
5ln( )
2
15 = b
5ln( )
3
15 = c
15p(X 15) e =
2. a
20F(20) e =
b 20F(20) 1 e =
c 20F(20) 1 e =
EXERCICE 2 :( 4 points)Une enqute a montr que :Avant de passer
lpreuve thorique du permis de conduire (cest dire le code)
0075 des candidats ont travaill trs srieusement cette preuve
;
Lorsquun candidat a travaill trs srieusement,il obtient le code
dans 0 080 des cas ; Lorsquun candidat na pas beaucoup travaill, il
nobtient pas le code dans 0 070
des cas.
On interroge au hasard un candidat qui vient de passer lpreuve
thorique.On note lvnement T le candidat a travaill trs
srieusement
et lvnement R le candidat a russi le code
1) Traduire les donnes laide dun arbre pondr.
2)a)Calculer la probabilit de lvnement Le candidat a travaill
trs srieusement et a obtenu le code
b) Montrer que la probabilit p(R) quun candidat russisse lpreuve
thorique
est gale 0,675.
3)Le candidat interrog vient dchouer .Quelle est la probabilit
quil ait travaill
trs srieusement ?4) A la sortie de lpreuve, on interroge au
hasard et de faon indpendante 5 candidats
et on dsigne par X lala numrique qui prend pour valeur le nombre
de candidatsrussis lpreuve thorique.
Etablir la loi de probabilit. Et calculer son esprance
mathmatique.
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EXERCICE 3 : :( 4 points)Le tableau suivant donne le dpense, en
million de dinars, des mnages en produits
informatiques de 2000 2008
Anne 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Rang delanne xi
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Dpense yi 398 451 423 501 673 956 1077 1255 1427
1.Reprsenter le nuage de points associ la srie statistique (xi
,yi ) et le point moyen
dans un repre orthogonal tel que 2cm reprsente une anne en
abscisse et 1cm
reprsente 100 million de dinars en ordonne.
2.a) Ecrire une quation de la droite dajustement affine D de y
en x par la mthode
des moindres carrs (les coefficients seront arrondies 10-3
).
Reprsenter D dans le repre prcdent.b) En utilisant cet
ajustement affine, donner une estimation de la dpense des
mnages
(arrondie un million de dinars) en produit informatiques en
2010.
3) lallure de nuage permet denvisager un ajustement exponentiel.
On pose zi = lnyi
a) Ecrire une quation de la droite dajustement affine de z en x
par la mthode
des moindres carrs (coefficients seront arrondies 10-3
).
b) En utilisant cet ajustement, donner une estimation de la
dpense des mnages
(arrondies 10-3
) en produits informatiques en 2010.
4) En 2010 les mnages ont dpens 6,89 milliard de dinars pour la
culture,les loisirs et les sports et 31% de ces dpenses concernent
les produits informatiques
.Avec lequel des deux ajustements lestimation faite est-elle la
meilleure.
EXERCICE 4 : :( 4 points)
Dans lespace muni dun repre orthonorm direct ( )0,i,j,k
,
on considre les points A(4, 0,0), B(2,4,0), C(0,6,0), S(0,04)
E(6,0,0) et F(0,8,0).
1.a) Dterminer lintersection des droites (BC) et (OA).
b) Montrer que F est le point dintersection des droites (AB) et
(OC).
2) a) Donner une quation cartsienne du plan (SEF).
b) Calculer le volume du ttradre OSEF.
3) Soit h lhomothtie de centre A et de rapport34
a) Dterminer lexpression analytique de h et donner les
coordonnes de h(S) =A.
b) Montrer qu une quation cartsienne de limage du plan (SEF) par
lhomothtie h
est le plan P : 4x+3y+6z-22=0.
4) Le plan (P ) coupe les artes [SO] ,[SA],[SB] et [SC] de la
pyramide SOABC
respectivement aux points O,A ,B et C.
a) Dterminer les coordonnes de O et B
et vrifier que C a pour coordonnes8
(0,2, )
3
b) Montrer que OABC est un paralllogramme et Calculer son
aire.
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EXERCICE 5 : :( 6 points)A/ Soit f la fonction dfinie sur R par
: f (x) = e
x e
-x
On dsigne par C la courbe reprsentative de f dans le plan
rapport
un repre orthonorm j,i0, .
1) a- Dresser le tableau de variation de f.
b- Montrer que le point O (0, 0) est un point dinflexion de C.c-
Tracer C.
2) a- Montrer que f est une bijection de R sur R.
b- Tracer la courbe C reprsentative de la fonction f-1
.
c- Montrer que pour tout x de R ;2
1 x x 4f (x) ln( )
2
+ +=
B/pour tout entier naturel n et pour tout rel positif x on pose
:
( )
( )2n 1x
n
0
1F (x) x t f (t)dt
2n 1 !
+
=
+
.
1) a- Calculer F0 (x).
b- Montrer que pour tout entier naturel non nul k on a :
( )
2k 1
k k 1
xF (x) F (x) 2
2k 1 !
+
= +
c- En dduire que pour tout entier naturel n et pour tout rel x
positif :2k 1k n
nk 0
xF (x) f (x) 2
(2k 1)!
+=
=
= +
2) a- Montrer que pour tout entier naturel n non nul et pour
tout rel x
de lintervalle [ ]0,1
n
f(x)0 F (x)
n
b- En dduire nn
limF (x)+
3) Montrer que
( )
2k 1k n
nk 0
x f (x)lim
2k 1 ! 2
+=
+
=
=+
