5 Commandabilité Retour d'État

7/23/2019 5 Commandabilit Retour d'tat

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TD Espace d'tat Universit de Caen, Master 1re

anne, EEOA Ph. Dorlans

TD n5: Commandabilit Retour d'tat --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

TD COMMANDABILITE RETOUR D'ETAT

1) Dfinition de la commandabilit

Les rappels sur la commandabilit concernent ici les systmes chantillonns bloqus mais ceux-ci sonttransposables totalement pour les systmes continus.

Soit un systme SISO d'ordre n dcrit par : x(k 1) F x(k) G u(k) et y(k) H x(k)+ = + = .

La commandabilit dun systme caractrise sa capacit voir son comportement dynamique voluer

sous laction du signal de commande u(k). Un systme linaire est commandable s'il est possible de le

conduire, en appliquant un signal d'entre admissible u(k)pendant un intervalle de temps fini [ ]t , t0 f

(avec t tf 0= + kT , o T est la priode d'chantillonnage), d'un tat initial 0 0x(t ) = x un tat final dsir

f fx(t ) = x .

Si cette condition est vraie pour tout vecteur fx et tout intervalle de temps [ ]t , t0 f , alors le systme est

dit compltement commandable.

Remarques :

Pour un systme linaire coefficients constants, la commandabilit complte est une proprit

structurale. Elle ne dpend pas de x0et de t0. La sortie du systme n'intervient pas dans la dfinition

de la commandabilit. La notion de commandabilit ne concerne que la partie de la reprsentation

d'tat relative la commande, c'est--dire l'quation d'tat.

Dans le domaine discret, sur l'intervalle de temps [ ]t , t0 f qui est de la forme t t kTf 0 = , le signal

d'entre est constant entre deux priodes d'chantillonnage. Ceci signifie qu'il faut un nombre k

suffisant de priodes pour annuler l'tat du systme. Ce nombre k doit tre au moins gal l'ordre du

systme.

2) Critres de commandabilit

La proprit "la paire (F,G) est compltement commandable" est quivalente chacune des proprits

suivantes :

La matrice de commandabilit est rgulire ou encore : le rang de commandabilit du systme est

maximal donc gal n.

2 n-1(F,G)Rang [C ] Rang G FG F G ....F G n

= =

La dimension du sous-espace commandable de lespace dtat est gal au rang de la matrice (F,G)C .

Autrement dit, cette dimension est gale la dimension de la plus grande sous-matrice carre extraite

de (F,G)C dont le dterminant est non nul. En particulier, le systme est dit compltement

commandable si et seulement si : rang (F,G)C = n.La matrice (F,G)C est alors dite de rang plein

(cela signifie quil existe une sous-matrice carre de dimension n dont le dterminant est non nul).


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Forme modale (Jordan) : On peut toujours trouver une matrice de changement de base T permettant

de reprsenter un systme d'ordre "n" dfini par le triplet (F, G, H) sous forme modale ou diagonale.

Le systme est compltement commandable si les composantes du vecteur d'application de la

commande exprim dans la nouvelle base sont toutes diffrentes de zro. La reprsentation modale

met en vidence les modes commandables d'un systme. Si un terme nul apparat dans le vecteur

d'application de la commande, le mode correspondant n'est pas commandable.

3) Retour d'tat

L'objectif est de stabiliser le systme (sil nest pas stable) ou de modifier son comportement dynamique

en introduisant une contre-raction dtermine partir du vecteur dtat x(t). En supposant que l'on a

accs toutes les variables d'tat (variables mesures), la loi de commande s'exprime de la manire

suivante :

( )u(k) K x k =

Le problme pos ici consiste trouver un vecteur de gain K (gain de retour d'tat) de telle sorte que lamatrice d'tat du systme en boucle ferme (F - G K) possde les valeurs propres spcifies par

l'automaticien. C'est la technique de placement des ples.

Exercice 1

Soit un systme d'ordre n dont le comportement dynamique est dcrit par :

x(k 1) F x(k) G u(k) et y(k) H x(k)+ = + =

y(k) et u(k) reprsentant respectivement la sortie et l'entre du systme l'instant k.

1) Faire le schma de principe et crire la loi de commande dans le cas d'un recalage l'origine

2) Pour le systme considr, quelle est la dimension du vecteur de retour d'tat K.

3) A quelle condition est-il possible d'envisager ce type de commande ?

4) Dans ces conditions, tablir l'quation d'tat du systme en boucle ferme.

5) Modifier le schma prcdent afin de rpondre un problme de recalage autour d'une consigneconstante non nulle. En dduire la nouvelle loi de commande.

6) Quel est l'intrt d'introduire un prcompensateur ? Le calculer en fonction des coefficients du

systme et du retour d'tat.

Exercice 2

Soit un systme ayant pour reprsentation dtat :

( ) ( ) ( )x t A x t Bu t= +& et ( ) ( )y t C x t=

o x(t) reprsente l'tat du systme, u(t) le signal d'entre et y(t) le signal de sortie.


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et1 2

A1 4

=

1

2

bB

b

=

( )1 2C c c=

o b1,b2,c1,c2sont des constantes.

1) Tracer le schma de simulation du systme considr.

2) Construire la matrice de commandabilit note (A,B)C pour le systme considr. Montrer que ce

systme est en gnral commandable, sauf pour certaines valeurs du vecteur B.

3) Quelle est la particularit de ces valeurs ?

4) On suppose que c1= 1 et c2= 0. Dterminer lexpression de la fonction de transfert G(p) qui relie les

transformes U(p) et Y(p) des signaux dentre u(t) et de sortie y(t).

5) Que devient la fonction de transfert G(p) lorsque les conditions de commandabilit ne sont pas

respectes ?

6) Comment peut-on dterminer si le systme est commandable dans la reprsentation modale (Jordan) ?

Retrouver les rsultats de la question 2) dans cette reprsentation.

7) Etudier la stabilit du systme.

Exercice 3

On considre le systme SISO dfini par les quations suivantes :

x(k 1)= F x(k) G u(k) et y(k) H x(k) D u(k)+ + = +

o u(k) est l'entre du systme, y(k) est la sortie du systme et x(k) l'tat du systme.

avec [ ]0 1 0

F , G et H 1 13 4 1

= = =

1) Quelle valeur prend le terme "D" dans le cas d'un systme chantillonn bloqu ? Justifier

qualitativement.

2) Calculer les ples et les zros du systme commander. Que peut-on dire de ce systme ?

3) On effectue un retour de sortie u y( ) ( )k k= . Etablir la matrice d'tat dcrivant le comportement du

systme en boucle ferme. En dduire la position des ples du systme boucl en fonction du

paramtre .

4) A partir de la question 3) conclure sur la stabilit du systme en boucle ferme en fonction de .

5) On dsire raliser un asservissement de type retour d'tat. A quelle condition a-t-on une solution ?

6) On dsire placer les ples du systme de commande en 0,5 et 0,8 par retour d'tat not K. Etablir la

matrice d'tat dcrivant le comportement du systme en boucle ferme. Calculer les coefficients du

vecteur de gain de retour d'tat.


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7) Quel est l'intrt d'introduire un prcompensateur ? Le calculer.

Exercice 4

On considre le systme monovariable dfini par les quations d'tat suivantes :

x(k 1)= F x(k) G u(k) et y(k) H x(k) D u(k)+ + = +

o u(k) est l'entre du systme, y(k) est la sortie du systme et x(k) l'tat du systme.

avec [ ]11 1 121 22

f 0 gF = , G et H 0 h

f f 0

= =

La priode d'chantillonnage est note T.

1) Calculer les ples et les zros du systme commander.

2) Pourquoi s'intresse-t-on la commandabilit d'un systme ? Etudier cette proprit pour le systme

tudi en fonction de ses paramtres.

On suppose d'une part que le systme est commandable et observable et d'autre part que les variables

d'tat sont mesurables. On dsire raliser un asservissement de type retour d'tat o la dynamique du

systme en boucle ferme doit tre semblable celle d'un systme du second ordre continu avec une

pulsation propre n et un coefficient d'amortissement donns.

3) Dans le cas o le coefficient d'amortissement est unitaire, donner l'expression des ples du systme

continu. En dduire celle des ples du systme chantillonn correspondant. On notera 1z et 2z ces

ples.

4) On dsire donc placer les ples du systme en boucle ferme ( 1z et 2z ) par retour d'tat. Calculer les

coefficients du vecteur de retour d'tat [ ]1 2K k k= en fonction des coefficients ,g,f,f,f 1222111 1z et

2z .

5) Quel est l'intrt d'introduire un prcompensateur ? Le calculer en fonction des coefficients du

systme et du retour d'tat.

6) Application numrique : 1hg-0.9,f,8.0f0.9,f 11222111 ===== , rad/s5.0n = , et sT =1 sec.

Calculer les valeurs numriques de 1 2k , k et du prcompensateur. Par rapport au systme en boucle

ouverte, le choix des ples du systme boucl vous parat-il judicieux ?

Exercice 5

On considre un four de cuisson que l'on dsire asservir par un calculateur. Une identification

paramtrique du procd a montr que le systme se comporte comme un premier ordre retard avec une

forte constante de temps. La fonction de transfert correspondante a pour expression :

1

10 1

Y(z )B G(z )

U(z )

=

2 31 2

1

b z b z

1 a z

+=

+


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1) 3x (k) tant la sortie du systme l'instant k, tablir une reprsentation d'tat de type srie.

2) Quel est l'intrt de cette reprsentation ?

3) On pose : 1 2b 1, b 0,5 et a 0,9= = = . On dsire rpondre un problme de recalage l'origine.

Calculer les coefficients du vecteur de retour d'tat tels que les ples du systme en boucle ferme soient

en 0, 0,4 et 0,5. Justifier le choix de ces valeurs.

4) Calculer la valeur du prcompensateur afin de rpondre un problme de recalage autour d'une

consigne constante non nulle.

Elments de rponse

Exercice 2

1 2 1(A,B)

1 2 2

b 2b bC

b 4b b

=

, ( ) ( ) ( )(A,B) 1 2 1 2det C b b b 2b 0= si 1 2 1 2b b et b 2b

( )(A,B)det C 0 sauf si AB B = B est vecteur propre de A

11 2b

si b b , G(p)(p 3)

= =+

11 2 bsi b 2b ,G(p)(p 3)

= =+

si 1 2p

si b 1 et b 2 , G(p)(p 2) (p 3)

= = =+ +

Exercice 3

0

z 1B G(z)

(z 1) (z 3)

+=

, systme instable.

x(k 1)= (F - G) x(k)+ , tude en fonction de Lieu d'Evans, systme toujours instable .

u(k) K x(k) x(k 1)= (F -G K) x(k)= + avec [ ]K 2.6 2.7=

prcompensateur : ( )11

avec gain statique H I F G K Ggainstatique

= = +

Exercice 4

( )( ) ( )

1 1 21 10

11 22

h f gB G(z) H zI F G

z f z f

= =


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1 11 1(F,G)

0 21 1

g f gC

f g

=

, systme commandable si 21f 0

( ) 2 1 2 1 2det zI F G K z (z z ) z z z + = + + avec nT

1,2z e=

[ ]1 2K k k= avec ( )1 2 22 1 1 1111 22 1 2

1 21 1 21

z z f g k f f f z zk et k g g f

+ + = =

prcompensateur :( ) ( )1 2

1 1 21

1 z 1 z

h g f

=

Exercice 5

1 2

0 0 0 1

x(k 1) 1 0 0 x(k) 0 u(k)

b b a 0

+ = +

et [ ]y(k) 0 0 1 x(k)=

intrt : toutes les variables d'tat sont mesurables ou calcules.

u(k) K x(k) x(k 1)= (F -G K) x(k)= + avec [ ]K 0 0,25 0, 45=

prcompensateur : ( )11

avec gain statique H I F G K G 5/ 3gainstatique

= = + =

1

z

1

z 1 22

b z b

z (z a)

+

+x1 x2 x3 yu

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