LICENCE DE GENIE CIVIL ET INFRASTRUCTURES

MECANIQUE DES STRUCTURES

Galilei Galileo (dit Galile 1564-1642) Discorsi e dimostrazioni matematiche, intorno due nuoue scienze

Laurent DAUDEVILLE

PrambuleCe polycopi est un support aux cours et travaux dirigs de Licence de Sciences et Technologies, spcialit Gnie Civil et Infrastructures. Il ne peut se substituer aux enseignements dlivrs par lquipe pdagogique. Il est constitu dun succinct rappel de cours et de nombreux exercices.

Sommaire

Rappels de cours et formulaires ...........................................................................................................31. Bases de la Rsistance Des Matriaux (RDM)........................................................................................................ 3 2. Le flambement......................................................................................................................................................... 3 3. Thormes nergtiques .......................................................................................................................................... 4 4. Mthode des forces Superposition de problmes isostatiques.............................................................................. 4 5. Poutres continues - Formules des trois moments .................................................................................................... 5 6. Mthode des dplacements...................................................................................................................................... 5 7. Formulaire de flches de poutres isostatiques ......................................................................................................... 7 8. Formulaire des ractions de liaison de la poutre bi-encastre ................................................................................. 7 9. Intgrales de Mohr................................................................................................................................................... 8

Exercices, Problmes et sujets dexamens.........................................................................................121. Structures isostatiques ........................................................................................................................................... 12 2. Calcul de dformes de structures isostatiques (par application du PTV)............................................................. 14 3. Portique isostatique ............................................................................................................................................... 15 4. Treillis isostatique ................................................................................................................................................. 15 5. Poutres hyperstatiques Mthode des forces........................................................................................................ 15 6. Problme : Tablier de pont .................................................................................................................................... 17 7. Problme : Flche de lve-charges ........................................................................................................................ 18 8. Portique encastr en pied....................................................................................................................................... 19 9. Hyperstaticit interne - Portique trave articule................................................................................................ 19 10. Portique Mthode des 3 moments ...................................................................................................................... 19 11. Examen de premire session 2000......................................................................................................................... 20 12. Examen de seconde session 2003.......................................................................................................................... 21 13. Poutres hyperstatiques Mthode des dplacements ............................................................................................ 21 14. Examen de premire session 2001......................................................................................................................... 22 15. Examen de premire session 2002......................................................................................................................... 23 16. Examen de premire session 2003......................................................................................................................... 24 17. Examen de premire session 2004......................................................................................................................... 25 18. Examen de premire session 2005......................................................................................................................... 26 19. Btiment industriel (examen IUP-GCI Toulouse) ................................................................................................. 27 20. Structure en treillis ................................................................................................................................................ 28 21. Influence de la flexion dans les treillis .................................................................................................................. 29

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RAPPELS DE COURS ET FORMULAIRES 1. Bases de la Rsistance Des Matriaux (RDM)

Une poutre est un solide dont lune des dimensions est grande devant les 2 autres ( L >> a , b). Une poutre est gnre par une surface dont le centre de gravit dcrit une courbe appele fibre moyenne de grande longueur devant a et b. Elle est schmatise par un milieu curviligne.

G (s) S

G (s0)Partie gauche s < s0

Partie droite s > s0

coupure

R Torseur des efforts intrieurs en G(s0): {T}= Efforts exercs par la partie droite (s>s0) sur la partie gauche (s0)=0.287 qL2

Exercice 5.5 Rsoudre lexercice 5.4 en dterminant les moments aux liaisons par la mthode des 3 moments

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6.

Problme : Tablier de pont

Nous allons comparer deux conceptions possibles d'un tablier de pont. La premire gomtrie envisage est de type poutre sur laquelle vient reposer le plancher du pont. La deuxime gomtrie est de type treillis. Dans la dernire partie du devoir nous considrerons la gomtrie de type poutre mais hyperstatique. Premire partie : Un tablier de pont est conu partir d'une architecture de type poutre section non constante. La sollicitation dans la poutre sera maximale quand la charge maximum admissible sera au centre du pont. Le poids du plancher et du vhicule seront schmatiss par une force ponctuelle P unique au centre du tablier. La poutre est de largeur b constante (selon z), de hauteur h(x) non constante (selon y) et de longueur l (selon x). Sa section est rectangulaire, son module dYoung est E, sa masse volumique ,y l/2 P O A h(x) lB

y

La poutre est en acier de masse volumique , de limite lastique fe, le coefficient global de scurit adopt est s. On suppose l h et b. 1. A quels types de sollicitations cette poutre est-elle soumise ? Peut-on les ramener une sollicitation pure unique ? 2. Dterminer h(x) afin que la condition limite de rsistance lastique soit atteinte en tout point, on appelle alors ce type de poutre : " poutre d'gale rsistance ". 3. Calculer le poids de cette poutre.

x

z b

h(x)

Deuxime partie :y l/2 P B 30 A x b b

Le tablier de pont est maintenant conu partir d'une architecture de type treillis. Les poutres seront choisies tubulaires section constante carre de largeur b. L'paisseur des tubes est de 0,1b (soit = 0,8). 1. Ce treillis est-il rigide, isostatique ? Dterminer les efforts dans les barres. Les rsultats seront donns sous forme de tableau. 2. Dimensionner le treillis (c--d dterminer b) au poids minimum. 3. Calculer le poids de ce treillis.

O

C l

Troisime partie : Pour des questions de rigidit, on encastre l'appui en O. On choisit la gomtrie de type poutre de section constante. La charge ponctuelle P des deux premires parties est remplace par le poids rparti q et par la charge ponctuelle P'.y l/2P' q

1. Calculer le moment d'encastrement MO par la mthode de superposition. 3. Calculer le moment d'encastrement MO par le thorme des trois moments. 4. Calculer la section de la poutre. Donnes numriques :x

O A

B

l

s = 3, fe = 5 108 Pa, E = 2 1011 Pa, l = 10 m, P = 1.5 106 N P' = 106 N, q = 0.5 105 N/m, = 7800 kg/m3, b = 0.2 m

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7.

Problme : Flche de lve-chargesC D F

L'objet de cette tude est le dimensionnement d'une flche de lve-charges.P

L A L B L E L

On nglige le poids des barres. On note NAB la tension dans la barre AB. Question prliminaire : Justifier lhypothse consistant considrer que les barres sont articules entre elles.

G

I. Treillis isostatique 1. Vrifier que le problme est isostatique. Dterminez les ractions aux appuis A et C. 2. Dterminer les tensions dans les barres.Rp. : NAB=-3P, NBC= 2 P , NCD=2P, NBD=-P, NBE=-2P, NDE= 2 P , NDF=P, NFE=-P, NEG=-P, NFG= 2 P

3. Dans le but de dimensionner de manire optimale ce treillis, deux critres de dimensionnement sont retenus: - Poids minimum: les poutres peuvent tre de sections diffrentes. - Cot minimum: les poutres sont toutes de mme section (prix unitaire dgressif en fonction du nombre d'units). a. Question prliminaire: Pour une poutre calcule au flambement par la thorie d'Euler, quel est le rapport r=P1/P2 des poids P1 et P2 d'une poutre 1 circulaire pleine (=d/D=0) et d'une poutre 2 tubulaire (=d/D=0.8). Conclusion ? Ayant choisi d'utiliser des tubes (=d/D=0.8) pour chacune des barres, dterminez les diamtres extrieurs selon les critres : b. Poids minimum. c. Cot minimum (sections identiques). Quel est l'excs relatif de poids par rapport au dimensionnement prcdent. 4. Dans la suite du problme, le dimensionnement retenu sera celui du c. Dterminer le dplacement vertical en G. 5. Dterminer le dplacement vertical en B. II. Treillis hyperstatique C D FPd D

Dans le but de rigidifier la structure, un appui simple raction verticale est install en B. 1. Ce problme est alors hyperstatique, de quel degr ? En utilisant le principe de superposition, expliquer quelle sera la dmarche de rsolution. 2. Dterminer la raction verticale en B: YB. 3. Dterminer les tensions dans les barres. 4. Dterminez le dplacement vertical en G.

L A L B L E L

G

5. Que pensez vous alors du dimensionnement qui avait t retenu. Que faudrait-il faire ? Donnes numriques: - Coefficient global de scurit : s = 3 (idem en flambement et en traction-compression, inclut tous les coefficients partiels de scurit) - Limite lastique: fe = 500 MPa, Module d'Young: E = 200 GPa - L = 2 m, P = 300000 N

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8.

Portique encastr en piedq 2 3

q

La structure S 1234 est un portique dinertie constante EI, constitu dune poutre et de poteaux dlancement important encastres entre eux. Les effets des efforts tranchant et normal seront ngligs devant celui du moment flchissant. E = 210 GPa, q = 8 kN/m, L=4 mL

1.

Dterminer les actions de liaison

y 1L

x

4

Rp. : X1=-29/60 qL, Y1=11/20 qL, M1=7/90 qL2, X3=-9/20 qL, X4=-1/15 qL, Y4=9/20 qL, M4=1/45 qL22. 3. Tracer les diagrammes de N, T, M Dterminer la rotation en 3

9.

Hyperstaticit interne - Portique trave articuleB F C2L

La structure S est un portique 3 barres ABCD dinertie constante I, A et D sont relies par une traverse de section S articule aux extrmits. Les barres sont lances et de module dYoung E. Les effets des efforts tranchant et normal seront ngligs devant celui du moment flchissant. 1. 2. 3. Dterminer le degr d'hyperstaticit de cette structure Tracer le diagramme du moment flchissant Dterminer la flche en F

F

E

AL 2L

D

10.

Portique Mthode des 3 moments

La structure tudie est un portique 1234 4 barres en bton arm encastres entre elles. La section des barres supposes homognes est carre de cot a. E = 3 104 MPa, ft = fc = 45 MPa, coefficient global de scurit : s = 3, F = 100 kN, L = 3 mF 2 5 3

1. 2. 3.L

Dterminer le degr d'hyperstaticit de cette structure Isoler et faire l'inventaires des efforts sur les trois poutres 12, 23 et 34. Calculer les moments aux nuds par la mthode des 3 moments Tracer les diagrammes des efforts intrieurs Aprs avoir justifi le fait de ngliger les effets de l'effort tranchant et de l'effort normal devant celui du moment flchissant, dimensionner ce cadre Calculer le dplacement vertical en 5 Calculer les dplacements et la rotation en 2

4. 5. 6.

1L

4

Rp. : a = 27.4 cm, y5 = 4.5 mm, x2 = 0, y2 0, 2 = -15 10-4 rd

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11.

Examen de premire session 2000

Dans tout le problme, les influences de leffort tranchant et de leffort normal sont ngliges devant celui du moment flchissant. B EI C Exercice 1 - Etude dun portique isostatique Le portique ci-contre est constitu de deux poteaux dinertie double de la traverse. Le matriau de module dYoung E est le mme sur toute la structure. La traverse est encastre en B et articule en C. Les 2 poteaux sont articuls en A et D. 1. 2. 3. 4. Dmontrer que cette structure est isostatique Tracer les diagrammes de leffort tranchant T et du moment flchissant M sur la structure. Montrer que la drive du moment flchissant le long de AB est nulle en B. Calculer le dplacement horizontal U 0 du point C. C Calculer la rotation 0 du point B. B q 2EI A 2EI D L

2L

Exercice 2 - Etude dun portique hyperstatique Le portique prcdent est maintenant encastr en A et D. Notons S cette structure. 1. 2. Quel est le degr dhyperstaticit h de la structure S ? Tracer la structure isostatique S0 associe la structure S. Faire apparatre les inconnues hyperstatiques que lon notera Xi avec i=1..h Dcomposer le chargement appliqu S en h+1 chargements et dterminer dans chaque cas le diagramme du moment flchissant, soit un diagramme M0 et h diagrammes Mi (charges unitaires). q 2EI A 2EI D L B EI C

3.

2L

4. 5. 6.

Ecrire les conditions de compatibilit permettant de dterminer les h inconnues hyperstatiques Xi, en dduire le systme linaire satisfait par les h inconnues hyperstatiques Xi. Dterminer les h inconnues hyperstatiques Xi. Calcul du dplacement horizontal Uc. Pour cela, il vous est propos dutiliser le principe de superposition. a. b. Ecrire le thorme de la charge unit permettant de dterminer Uc. Prcisez clairement quels sont les moments intervenant dans ce thorme (structure, chargement). Calculer Uc.

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12.

Examen de seconde session 2003

1. Tracer lallure du moment flchissant et en prciser les valeurs caractristiques dans les structures isostatiques suivantes: a. Poutre-console q A B C

Lb. Portique jambage (barres identiques)

2L

Dans cet exercice on indiquera la valeur du moment flchissant en C et au milieu E de la traverse [BC]. q B L/2 D C

L/2 A

L/2

L

2. Calculer, pour le portique prcdent, le dplacement horizontal uc en C. 3. Un appui simple est ajout en A sur la poutre console prcdente, calculer la raction dappui en A.

13.

Poutres hyperstatiques Mthode des dplacementsExercice 12.2.q 1l1

Exercice 12.1F

q 3l2/2 l2/2

F 3l2/2 l2/2

2

1l1

2

F=60kN, q=18 kN/m, l1=8 m, l2 = 6m E=210 Gpa, I=5/12 10-5 m4 1. Dterminer les actions de liaison 2. Dterminer la rotation en 2 3. Tracer les diagrammes de N, T et M Exercice 12.4 Rsoudre lexercice 5.4 par la mthode des dplacements.

Mmes donnes et questions que pour lexercice 12.1 Exercice 12.3 Mmes donnes et questions que pour lexercice 12.1 mais lappui simple en 2 est remplac par un ressort de raideur k=EI/l3 avec l=1 m.

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14.

Examen de premire session 2001

La structure S tudie est constitue dune poutre de module dYoung E, dinertie I. Leffet de leffort tranchant sera nglig. Les trois exercices sont indpendants. F 0 1 2

LExercice 1 - Mthode des forces 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

L/2

L/2

Dterminer le degr dhyperstaticit de cette structure. Tracer la structure isostatique S0 associe la structure S. Dcomposer le chargement appliqu S en h+1 chargements faisant apparatre les inconnues hyperstatiques que lon notera Yi avec i=1..h. Dterminer dans chaque cas de chargement le diagramme du moment flchissant, soit un diagramme M0 et h diagrammes Mi (charges unitaires). Ecrire les conditions de compatibilit permettant de dterminer les h inconnues hyperstatiques Yi. Dterminer les h inconnues hyperstatiques Yi. Tracer le diagramme de leffort tranchant le long de S. Tracer le diagramme du moment flchissant le long de S. Par lapplication du PTV, dterminer les rotations aux appuis 1 et 2, 1 et 2.

Exercice 2 - Thorme des trois moments 1. 2. 3. 4. 5. Dterminer les moments aux appuis 0 et 1, M0 et M1. Tracer le diagramme de leffort tranchant le long de S. Tracer le diagramme du moment flchissant le long de S. Dterminer les ractions aux appuis 1 et 2, Y1 et Y2. Par lapplication du PTV, dterminer les rotations aux appuis 1 et 2, 1 et 2.

Exercice 3 - Mthode des dplacements 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Quels sont les paramtres cinmatiques de S ? Ecrire les relations de comportement permettant de dterminer les paramtres cinmatiques. Aprs lcriture des relations dquilibre adquates, dterminer les paramtres cinmatiques. Dterminer les forces et moments aux extrmits des barres 01 et 12. Tracer le diagramme de leffort tranchant le long de S. Tracer le diagramme du moment flchissant le long de S. Dterminer les ractions aux appuis 1 et 2, Y1 et Y2.

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15.

Examen de premire session 2002

Les applications numriques seront effectues quand cela est demand. L=5m ; F=10 KN ; E=200 GPa ; I=1000 cm4 Exercice 1 Poutre isostatique y 1.F

Tracer les diagrammes des efforts intrieurs N, T et M. Dterminer y3, la flche en 3 par application du PTV. Dterminer les rotations 1 et 2 par application du PTV. AN : calculer le moment maximum Mmax, y3 et 1.

x 2

2. 3. 4.

1

L/3

3

2L/3

Exercice 2 Poutre hyperstatique 1.F

Dterminer le degr dhyperstaticit de cette structure. Utiliser les rsultats prcdents pour dterminer M1 et M2, les moments des encastrements sur la poutre (mthode des forces). Dterminer le moment flchissant M3 en 3. Tracer le diagramme du moment flchissant. AN : Calculer le moment flchissant M3.

1

2

2. 3. 4. 5.

L/3

3

2L/3

Exercice 3 Portique hyperstatique

L/3F

2L/32

1. 2. 3. 4.

Dterminer le degr dhyperstaticit de cette structure.

1 3

Les influences des efforts normaux et tranchants sont ngliges, dterminer les paramtres cinmatiques principaux.Ecrire les relations de comportement des barres. Ecrire les quations dquilibre ncessaires la dtermination des paramtres cinmatiques. Dterminer les paramtres cinmatiques. Tracer lallure du diagramme du moment flchissant. Dterminer les efforts Nij et Tij aux extrmits des barres. Tracer les diagrammes de T et N. AN: Calculer les rotations 2 et 4 et le moment flchissant M3.

y x 4

L

5. 6. 7. 8. 9.

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16.B

Examen de premire session 2003C

F

La structure S ABCD est un portique dinertie constante I, de module dYoung E, constitu dune poutre et de poteaux dlancement important. S est articule en A et D, elle est soumise une force concentre dintensit F en C.

LA y x D

Les effets des efforts tranchant et normal seront ngligs devant celui du moment flchissant. Les exercices 1, 2 et 3 sont indpendants.

LExercice 1 - Questions prliminaires 1. 2. Quel est le degr dhyperstaticit de cette structure. Justifier lhypothse consistant ngliger les effets de leffort normal et de leffort tranchant devant celui du moment flchissant.

Exercice 2 - Mthode des forces Linconnue hyperstatique choisie pour le calcul de cette structure est XD, la force horizontale en D. 1. 2. 3. 4. Tracer la structure isostatique S0 associe S, dcomposer le problme en une superposition de problmes associs la structure S0, crire la condition de compatibilit cinmatique. Dmontrer que XD = -F/2 Calculer UC, le dplacement horizontal en C. Tracer le diagramme du moment flchissant sur S.

Exercice 3 - Mthode des dplacements 1. 2. 3. 4. 5. Soient A, B, C, D les rotations en A, B, C et D. Justifier que A = D ainsi que B = C. Dterminer les paramtres cinmatiques principaux de S. Ecrire les relations de comportement utiles la dtermination des paramtres cinmatiques principaux. Ecrire les quations dquilibre associes chacun des paramtres cinmatiques principaux. Calculer les paramtres cinmatiques principaux. Tracer le diagramme du moment flchissant sur S.

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17.

Examen de premire session 2004F La structure ci-contre est constitue de poutres identiques dlancement important et dinertie constante EI. S articule en 4 et est encastre en 1, 5 et 6. S est soumise une force dintensit F au milieu de 23. y 5 L L x 6 L Les exercices 1, 2 et 3 sont indpendants. Les effets des efforts tranchant et normal seront ngligs devant celui du moment flchissant.

1

2

3

4

L

Exercice 1 - Questions prliminaires 1. 2. Quel est le degr dhyperstaticit de cette structure. Justifier lhypothse consistant ngliger les effets de leffort normal et de leffort tranchant.

Exercice 2 - Mthode des dplacements 1. 2. 3. 4. 5. Dterminer les paramtres cinmatiques principaux de S. Ecrire les relations de comportement utiles la dtermination des paramtres cinmatiques principaux. Ecrire les quations dquilibre associes chacun des paramtres cinmatiques principaux et calculer ceux-ci. Dterminer les moments et efforts tranchants aux extrmits des barres utiles au trac du diagramme du moment flchissant. Tracer le diagramme du moment flchissant sur la poutre 1234 seule.

Exercice 2 - Mthode des forces Pour simplifier ltude, seule la poutre continue 1234 est analyse. Le rsultat obtenu sera donc une approximation car il revient ngliger les moments transmis par les poteaux sur la poutre. 1. 2. 3. 4. 5. Justifier sur le plan cinmatique lhypothse consistant tudier la poutre en considrant que les deux poteaux 52 et 63 peuvent tre remplacs par deux appuis simples en 2 et 3. Prenons les ractions aux appuis 2, 3 et 4 comme inconnues hyperstatiques. Ecrire le problme rsoudre en utilisant le principe de superposition (ne pas rsoudre). Dterminer les moments aux appuis par la mthode des trois moments. Dterminer les ractions aux appuis. Tracer le diagramme du moment flchissant sur la poutre 1234. Lapproximation est elle valable ?

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18.

Examen de premire session 2005

q L

B

C

La structure S (ABCD) ci-contre est constitue de poutres identiques dlancement important et dinertie constante EI, elle est soumise une force rpartie dintensit q sur AB. Exercice 1 - Questions prliminaires 1. Quel est le degr dhyperstaticit de cette structure. Justifier les hypothses H1 et H2 consistant ngliger les effets de leffort tranchant (H1) et de leffort normal (H2).

Y X

A

L

D

2.

Exercice 2 - Mthode des dplacements 1. 2. Dterminer les paramtres cinmatiques non nuls de S. Compte-tenu de H2, recenser les paramtres cinmatiques principaux de S.

Pour la suite, on utilisera la mthode a. ou b.a. Par la mthode classique 3. 4. Ecrire les quations dquilibre associes chacun des paramtres cinmatiques principaux. Ecrire les relations de comportement utiles la dtermination des paramtres cinmatiques principaux.

b. Par la mthode canonique (matricielle) Seules les contributions associes aux paramtres cinmatiques principaux seront prises en compte. 3. 4. 5. 6. Ecrire, dans la base globale, les matrices de rigidit des barres (rappel : la traction est nglige). Dterminer le vecteur forces global, assembler la matrice de rigidit globale. Calculer les paramtres cinmatiques principaux. Calculer aux extrmits des barres : a. b. c. 7. les moments Mij les forces transverses Tij les forces axiales Nij

Retour aux questions communes

Rappel H2 : les relations de comportement des barres en traction ne peuvent pas tre utilises pour 6.c. Tracer les diagrammes des efforts normal, tranchant et du moment flchissant dans la structure.

Exercice 3 Question supplmentaire

q L

B

C

E

Pour rigidifier la structure, on rajoute une barre CE de longueur l de section S, de raideur E et dinertie en flexion suffisante pour quelle ne flambe pas. 1. Justifier lhypothse consistant considrer que cette barre travaille essentiellement en traction-compression ? Dterminer la nouvelle matrice de rigidit globale. On suppose que S/l = 24I/L3. Dterminer les paramtres cinmatiques principaux de S

Y X

2.

A

L

Dl

3.

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19.q

Btiment industriel (examen IUP-GCI Toulouse)3 H Un btiment industriel possde une structure en poteaux-planchers. On tudie son comportement sous laction du vent, modlis par une force transversale uniformment rpartie. Dans le plan principal, le schma de fonctionnement du btiment est une structure poutres-poteaux comportant quatre files de poteaux (notes A, B, C et D) et trois planchers (nots 1, 2 et 3). Les pieds de poteaux sont articuls dans leur fondation (au niveau 0). Les traves ont toutes la mme longueur L et les poteaux tous la mme hauteur H. H 0 A L B L C L D Le module de flexion des poteaux est note EI. Celui des poutres (modlisant la rigidit des planchers) est suppos infiniment plus fort, il est not EI =. Les dformations deffort normal et deffort tranchant sont ngliges.

2 H

1

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

A priori, combien y a-t-il de degrs de libert ? Isoler une poutre de plancher quelconque, faire le bilan des dplacements des extrmits et montrer que, comptetenu de EI = , les rotations sont nulles. A posteriori, combien reste-t-il de degrs de libert ? Montrer que pour un tage donn les moments nodaux sont les mmes aux extrmits des poteaux des files B, C et D. Pourquoi diffrent-ils dans la file A ? Exprimer la valeur des moments nodaux en fonction du dplacement des planchers nots U1, U2 et U3 et ventuellement de la force applique. Par application du PTV dans des champs de vitesse virtuels rigidifiants par morceau, tablir trois quations dquilibre entre moments nodaux et forces appliques. Etablir la matrice de rigidit de lossature. Calculer les dplacements U1, U2 et U3.

10. Calculer les rotations A et B=C=D des pieds de poteaux. 11. Calculer les moments nodaux uniquement en fonction de la charge de vent. 12. Tracer les diagrammes M, T et N dans lossature.

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20.

Structure en treillis2 S). Les masses sont ngliges.

La structure suivante est constitue de barres de mme matriau (module d'Young E), de section S (sauf les barres obliques qui ont une section

1

c

3 F

y e f L

L 2

b a L

d 4

5

x

Exercice 1 - Structure isostatique 1. 2. 3. 4. 5. Montrer qu'une barre non pesante articule ses deux extrmits est ncessairement soumise de la tensioncompression. Dterminer le degr d'hyperstaticit de cette structure. Dterminer les efforts dans les barres. Dterminer le dplacement vertical du point 5 avec le PTV. Dterminer les dplacements de tous les nuds ainsi que les ractions aux appuis.

Exercice 2 - Structure hyperstatique On rajoute une barre g entre les nuds 2 et 3 (section 1. 2. 3. 4. 5. 2 S).

Dterminer le degr d'hyperstaticit de la nouvelle structure. Dterminer la matrice de rigidit globale du systme. Quels sont les degrs de liberts indtermins ? Dterminer le vecteur forces. Dterminer les dplacements de tous les nuds ainsi que les ractions aux appuis en rsolvant les quations canoniques (matricielles) de la mthode des dplacements

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21.

Influence de la flexion dans les treillisF 2

y

1 x

3

La structure schmatise sur la figure ci-dessus est constitue de deux poutres identiques encastres leurs extrmits entre elles en 2 et sur un massif en 1 et 3. Les poutres sont de section carre de cot a, de module d'Young E et de longueur L. Exercice 1 - Structure isostatique On dcide de modifier la modlisation en supposant que les poutres sont articules leurs extrmits. Dterminer le dplacement du point 2 ainsi que les actions de liaison par rsolution du systme dquations donn par lcriture canonique (matricielle) de la mthode des dplacements Exercice 2 - Structure hyperstatique On prend en compte maintenant les encastrements aux extrmits des barres. 1. 2. Dterminer le dplacement du point 2 ainsi que les actions de liaison. Dmontrer que si les poutres sont lances (a