5–OSCILLATEURSMÉCANIQUES - FEMTO - La … · OSCILLATEURS MÉCANIQUES 60 ... Avant de trouver les solutions de cette équation diérentielle, il est intéressant d’en dégager

5 OSCILLATEURS MÉCANIQUES

Si l’on consacre un chapitre à étudier un système aussi simple qu’une masse accrochée à un ressort c’estque ce système mécanique permet d’introduire un concept important aussi bien en mécanique que dansde nombreux autres domaines de la science (chimie, physique des matériaux, électricité, génie civil etc) :l’oscillateur. L’essentiel de ce chapitre est donc consacré à l’étude de l’oscillateur harmonique en régime libreet forcé puis on termine par une introduction aux e�ets non linéaires.

Ce chapitre est accessible en ligne à l’adresse :

https://femto-physique.fr/mecanique/oscillateurs-mecaniques.php

Sommaire5.1 Notion d’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1.1 Pendule élastique non amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.1.2 Pendule élastique amorti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.1.3 Régime libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Résonances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.2 Résonance d’élongation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.3 Résonance de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.2.4 Aspects énergétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.3 E�ets anharmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.1 Approximation harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.3.2 Anharmonicités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

59

5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES. 5.1. Notion d’oscillateur harmonique.

5.1 Notion d’oscillateur harmonique5.1.1 Pendule élastique non amorti

Le pendule élastique est un système constitué d’un ressort de masse négligeable dont une extrémité estfixée et auquel on a attaché une masse ponctuelle m libre de se mouvoir. Le ressort a pour constante deraideur k et une longueur à vide ¸0. De plus, nous supposons que la masse est astreinte à se déplacer suivantun axe horizontal sans frottement (voir figure ci-dessous). On a alors un système à un degré de liberté quiest amené à osciller comme nous allons le démontrer.

≠æT

¸0¸0 + x

Équation du mouvement

Dans le référentiel d’étude considéré galiléen, la force de pesanteur est compensée par la réaction dusupport puisqu’il n’y a pas d’accélération verticale. Pour le mouvement horizontal, la tension du ressortproduit une force de rappel ≠æ

T = ≠k(¸ ≠ ¸0) ≠æu

x

où ¸ désigne la longueur du ressort. La position d’équilibre correspond donc à une longueur ¸

eq

= ¸0. Ondésigne par x = ¸ ≠ ¸

eq

l’allongement du ressort par rapport à la situation au repos. Dans ce cas, on a≠æT = ≠kx

≠æu

x

La seconde loi de Newton donne md2x/dt

2 = ≠kx d’où l’équation di�érentielle

x + Ê

20x = 0 avec Ê0 =

Ú

k

m

[rad.s≠1] ¸ (5.1)

Il s’agit de l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique.

Propriétés

Avant de trouver les solutions de cette équation di�érentielle, il est intéressant d’en dégager quelquespropriétés :

• L’équation (5.1) est invariante par la transformation t ‘æ ≠t ce qui traduit la réversibilité du phéno-mène.

• On note également une invariance par la transformation x ‘æ ≠x ce qui signifie que les oscillations sontsymétriques autour de la position d’équilibre.

• Enfin, l’analyse dimensionnelle de l’équation di�érentielle montre que [Ê0] = T≠1 : il existe donc unedurée de l’ordre de 1/Ê0 qui est caractéristique du phénomène d’oscillation.

Solution

La solution de l’équation di�érentielle (5.1) s’écrit

x(t) = A cos (Ê0t + Ï)

60


t

x(t)

≠A

A

T0 = 2fi

Ê0

Fig. 5.1 – Oscillations harmoniques.

Avec A et Ï, deux constantes d’intégration que l’on obtient grâce à deux conditions initiales. Comme l’illustrela Figure 5.1, le système se met à osciller (si on l’écarte de sa position d’équilibre x = 0) avec une amplitudeA et à une fréquence, dite fréquence propre

‹0 = Ê02fi

= 12fi

Ú

k

m

¸ (5.2)

On notera que la fréquence propre dépend des caractéristiques du pendule élastique (k et m) mais non del’amplitude des oscillations : on parle d’isochronisme des oscillations.

Exercice – Un conducteur de masse m = 80 kg monte dans sa voiture vide ; les amortisseurs s’en-foncent alors de 4 cm. La masse de tout ce qui se trouve sur les ressorts est alors de 1000 kg. Dansl’approximation harmonique, le système voiture-conducteur se comporte comme un oscillateur. Don-nez sa fréquence propre.

Rép. – Lorsque le conducteur s’installe dans la voiture, son poids produit une contraction des ressorts qui doiventexercer une tension supplémentaire pour compenser ce poids. Cette tension supplémentaire s’exprime par 4k�x oùk désigne la constante de raideur d’un amortisseur et �x la contraction des ressort. À l’équilibre, on a

mg = 4k�x =∆ k = mg

4�x= 4900 N.m≠1

La fréquence propre du système masse-ressort vaut f0

= 1

2fi

4k

M

avec M la masse totale. On trouve environ 0,7 Hz.

Aspects énergétiques

Du point de vue énergétique, cet oscillateur transforme l’énergie élastique en énergie cinétique et vice

versa. L ’énergie potentielle élastique vaut

Ep = 12kx

2 = 12kA

2 cos2 (Ê0t + Ï)

alors que l’énergie cinétique s’écrit

Ec = 12mx

2 = 12kA

2 sin2 (Ê0t + Ï)

On vérifie que l’énergie mécanique du pendule élastique Em = Ec + Ep = 12 kA

2 reste constante puisque lesforces qui travaillent sont conservatives.

61


À retenirL’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l’amplitude.

5.1.2 Pendule élastique amortiEn réalité, la présence des frottements dissipe l’énergie initialement fournie à l’oscillateur. On assiste

alors à un phénomène d’amortissement qui se caractérise,

1. soit par une diminution de l’amplitude des oscillations au cours du temps ;

2. soit par un retour à l’équilibre sans oscillation.

La modélisation des forces de frottement est plus ou moins complexe :

• Pour des frottements de type visqueux, on choisit généralement, en première approximation, un modèlede frottement linéaire en vitesse : f = ≠–v. Parfois une modélisation plus réaliste exige d’utiliserun modèle quadratique du type f = ≠– |v| v ce qui présente l’inconvénient de donner une équationdi�érentielle non linéaire.

• Pour des frottements solides, on utilisera les lois d’Amontons-Coulomb sur le frottement.

Nous nous contenterons ici de traiter le pendule élastique en présence de frottements visqueux modélisés parf = ≠–x où – désigne le coe�cient de frottement. L’équation du mouvement s’écrit

mx + –x + kx = 0

et, si l’on pose

Ê0 =Ú

k

m

[rad.s≠1] et · = m

–

[s]

elle devientx + x

·

+ Ê

20x = 0 (5.3)

C’est l’équation caractéristique d’un oscillateur harmonique linéairement amorti. Par rapport à l’oscillateurharmonique on note la présence d’un terme supplémentaire (x/·) que l’on appelle terme dissipatif car àl’origine de la dissipation d’énergie. L’analyse dimensionnelle de l’équation montre que le paramètre · esthomogène à un temps. Nous verrons que · représente l’ordre de grandeur du temps d’amortissement desoscillations (quand il y en a). Enfin, avec · et Ê0 il est possible de former un nombre sans dimension Q

appelé facteur de qualité. Par définition,Q , Ê0· ¸ (5.4)

In fine, le comportement d’un oscillateur harmonique linéairement amorti est complètement décrit par ladonnée de Ê0 et Q puisque l’équation di�érentielle s’écrit

x + Ê0Q

x + Ê

20x = 0 ¸ (5.5)

Remarque : On retrouve l’oscillateur harmonique lorsque Q æ Œ. Plus Q est grand donc, moins l’oscillateurest amorti.

Propriétés

• L’équation (5.5) n’est plus invariante par la transformation t ‘æ ≠t. En d’autres termes, le phénomèneest irréversible.

• Le phénomène est caractérisé par par la présence de deux temps caractéristiques : · donne l’ordre degrandeur de l’amortissement alors que 1/Ê0 est un ordre de grandeur de la durée entre deux oscillations.

62


5.1.3 Régime libreL’équation (5.5) admet des solutions de la forme x(t) = A er t avec r solution de l’équation caractéristique

r

2 + Ê0Q

r + Ê

20 = 0

dont le discriminant s’écrit � = Ê

20

!

1/Q

2 ≠ 4"

. Suivant le signe du discriminant, on distingue trois régimesdi�érents.

Régime pseudo-périodique : Q >

12

Dans ce cas, le discriminant de l’équation caractéristique est négatif et les racines sont complexes :

r = ≠ Ê02Q

± iÊ avec Ê = Ê0

Ú

1 ≠ 14Q

2

La solution réelle est donc de la forme

x(t) = e≠ Ê02Q

t [A cos Êt + B sin Êt]

L’oscillateur oscille avec une amplitude qui s’amortie exponentiellement au cours du temps (cf. figure 5.2).Puisque l’amplitude diminue au cours du temps, on ne peut plus parler de phénomène périodique. Cependant,il est d’usage de définir la durée T entre deux maxima successifs, qui est aussi la période de cos(Êt). Cettedurée T est appelée pseudo-période et vaut

T = 2fi

Ê

= T0

1 ≠ 1/(4Q

2)

La figure 5.2 illustre également l’évolution de l’énergie mécanique de l’oscillateur au cours du temps. Ladécroissance observée s’explique par la dissipation des forces de frottement et vérifie l’équation d’évolution

dEmdt

= ≠–x

2 Æ 0

10 20 30 40

-1

1

t (s)

x

10 20 30 40

1

t (s)

Em = 12 kx

2 + 12 mv

2

Fig. 5.2 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régimepseudo-périodique. On a choisi une masse m = 1 kg, une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1 et un facteur dequalité Q = 10. Les conditions initiales sont x(0) = 0 et x(0) = 1, 5.

63


Régime critique : Q = 12

Le discriminant de l’équation caractéristique est nulle et la racine est double : r = ≠Ê0. La solutions’écrit alors

x(t) = [A + Bt]e≠Ê0t

L’oscillateur atteint l’équilibre sans osciller (on dit qu’il n’ y a pas dépassement). On peut montrer que leretour à l’équilibre est ici le plus rapide sans dépassement 1.

10 20 30 40

0.5

t (s)

x

10 20 30 40

1

t (s)

Em = 12 kx

2 + 12 mv

2

Fig. 5.3 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régimecritique. On a choisi une masse m = 1 kg et une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1. Les conditions initialessont identiques.

Régime apériodique : Q <

12

Le discriminant de l’équation caractéristique est positif et les solutions sont réelles :

r = ≠ Ê02Q

± � avec � = Ê0

Ú

14Q

2 ≠ 1

La solution est doncx(t) = e≠ Ê0

2Q

t

#

A e�t + B e≠�t

$

L’oscillateur atteint l’équilibre sans osciller et très lentement (amortissement fort).Finalement, on retiendra les idées simples suivantes : plus l’amortissement est important et moins il y

a d’oscillations. Un oscillateur perturbé, oscillera si Q > 1/2 ce qui est assez fréquent comme le suggère laTable 5.1.

Tab. 5.1 – Quelques ordres de grandeurs du facteur de qualité.

Oscillateur Facteur de qualité Q

circuit RLC sélectif ≥ 100Diapason ≥ 103

terre, lors d’un tremblement de terre ≥ 103

corde de guitare ≥ 103

oscillateur à quartz 104 ≠ 106

atome excité ≥ 107

1. Si l’on souhaite que le système atteigne l’état d’équilibre le plus vite possible en limitant le dépassement à ±5%A parexemple, il faut se placer en régime pseudo-périodique avec un facteur de qualité Q ƒ 0, 35.

64

5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES. 5.2. Résonances.

10 20

10≠1

t (s)

x

2 4 6 8 10

10≠1

t (s)

Em = 12 kx

2 + 12 mv

2

Fig. 5.4 – Évolution de x et de l’énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régimeapériodique. On a choisi une masse m = 1 kg, une pulsation propre Ê0 = 1 rad.s≠1 et un facteur de qualitéQ = 1/10. Les conditions initiales sont identiques.

Application – La suspension automobileDans le domaine de l’automobile, le contrôle de la suspension et de l’amortissement détermine le confort des passagers.Par exemple, les automobiles adoptent en général des suspensions isochrones, c’est-à-dire à fréquence propre constantede la pleine charge à la charge minimum. De plus on gagne en confort en imposant une fréquence propre de l’ordrede 1 Hz ce qui correspond à la fréquence de la marche d’un être humain. Enfin, comme on vient de le voir, le facteurde qualité joue un rôle important dans la réponse d’un oscillateur en régime libre. Quand on cherche un retour àl’équilibre rapide sans oscillation on a intérêt à ce que l’amortisseur produise un facteur de qualité Q proche de 1/2.

5.2 RésonancesIl est possible d’entretenir les oscillations d’un oscillateur à condition de lui fournir de l’énergie (en

moyenne). Nous nous contenterons d’étudier le cas ou l’excitation est périodique et plus particulièrementsinusoïdale 2.

5.2.1 GénéralitésReprenons comme exemple le pendule élastique. Soumettons l’autre extrémité du ressort à un déplacement

sinusoïdal a cos(Êt) de fréquence ‹ = Ê/2fi connue. De plus on envisage la présence de frottements visqueuxque l’on modélisera par une force f

x

= ≠–x.

•

¸(t)a cos Êt

La relation fondamentale de la dynamique projetée suivant l’axe horizontal donne

mx = ≠k(¸ ≠ ¸0) ≠ –x

2. Le théorème de Fourier permet de trouver la réponse d’un oscillateur linéaire à une excitation périodique quelconque.

65


Fixons l’origine des x à la position de repos du régime libre. On a donc a cos Êt + ¸ = ¸0 + x d’où l’équationdu mouvement

x + –

m

x + k

m

x = ka

m

cos(Êt)

équation de la forme :x + Ê0

Q

x + Ê

20x

¸ ˚˙ ˝

= Ê

20a cos(Êt)

¸ ˚˙ ˝

oscillateur excitation¸ (5.6)

avec Ê0 la pulsation propre et Q le facteur de qualité. Il s’agit d’une équation di�érentielle linéaire avec unsecond membre sinusoïdal dont la solution se décompose en deux termes :

1. L’un étant la solution particulière, s’exprime comme un signal sinusoïdal de pulsation Ê ; c’est le régime

forcé.

2. L’autre terme, que nous désignons par régime transitoire, correspond à la solution de l’équation homo-gène. On a vu qu’il y a trois régimes distincts selon la valeur du facteur de qualité. Dans tous les casréalistes, la présence de termes dissipatifs – même faibles – entraîne la disparition du régime transitoire(d’où son nom) au bout d’un certain temps d’autant plus court que · est petit. Passé ce délai, seulpersiste le régime sinusoïdal forcé.

Dans toute la suite, nous supposons que le régime transitoire est complètement dissipé et que seul persistele régime forcé :

x(t) = a1 cos(Êt) + a2 sin(Êt) avec t ∫ ·

5.2.2 Résonance d’élongationLa méthode classique qui permet d’obtenir la solution particulière consiste à remplacer x(t) par a1 cos(Êt)+

a2 sin(Êt) dans l’équation di�érentielle pour en déduire les valeurs de a1 et a2 :

cos(Êt)5

a1!

Ê

20 ≠ Ê

2"

+ a2ÊÊ0Q

6

+ sin(Êt)5

a2!

Ê

20 ≠ Ê

2" ≠ a1ÊÊ0Q

6

= Ê

20a cos(Êt)

d’où l’on tire deux équationsY

_

]

_

[

a1!

Ê

20 ≠ Ê

2"

+ a2ÊÊ0

Q

= Ê

20a

a2!

Ê

20 ≠ Ê

2" ≠ a1ÊÊ0

Q

= 0

ce qui donne finalementY

_

_

_

_

_

_

_

]

_

_

_

_

_

_

_

[

a1 = a

1 ≠ u

2

(1 ≠ u

2)2 +3

u

Q

42

a2 = a

u/Q

(1 ≠ u

2)2 +3

u

Q

42

avec u = Ê

Ê0= ‹

‹0(5.7)

u désigne la fréquence réduite c’est-à-dire la fréquence rapportée à l’échelle de la fréquence propre.En général, on préfère écrire les solutions harmoniques sous la forme A cos(Êt + Ï). Compte tenu du fait

que

a1 cos(Êt) + a2 sin(Êt) = A cos(Êt + Ï) avec

Y

_

_

]

_

_

[

A =

a

21 + a

22

tan Ï = ≠a2/a1

66


l’élongation s’écrit

x(t) = A cos (Êt + Ï) avec

Y

]

[

A = a

(1≠u

2)2+( u

Q

)2

tan Ï = u

Q(u

2≠1)

L’amplitude A, comme la phase Ï, varie donc avec la fréquence de l’excitation.

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

Q = 1/10

Q =Ô

22

Q = 2

Q = 4

Q = 8

Fréquence réduite Ê

Ê0

Am

plitu

deré

duite

A(Ê

)a

Fig. 5.5 – Réponse fréquentielle de l’amplitude d’un oscillateur vis à vis d’une excitation sinusoïdale.

La Figure 5.5 représente l’évolution de l’amplitude des oscillations en fonction de la fréquence pourdi�érentes valeur du facteur de qualité. On constate que si le facteur de qualité est su�samment grand,l’amplitude des oscillations passe par un maximum : c’est la résonance en élongation.

On montre sans di�culté que :

• la résonance n’a lieu que si Q >

Ô2

2 ;

• la fréquence de résonance vaut

‹

r

= ‹0

Ú

1 ≠ 12Q

2

et si Q > 5, on fait une erreur inférieure à 1% en écrivant ‹

r

ƒ ‹0 ;

• l’amplitude des oscillations à la fréquence propre ‹0 vaut Qa d’où le phénomène d’amplification d’élon-gation avec un ressort de grand facteur de qualité ;

• lorsque Q =Ô

2/2, l’amplitude des oscillations vaut a sur une grande bande de fréquence (à bassefréquence), ce qui confère au ressort un comportement identique à celui d’une tige rigide.

Applications

L’amplification –par le facteur de qualité– des oscillations d’élongation à la résonance peut être à l’origined’e�ets néfastes comme la destruction d’habitations suite à un séisme. Elle peut aussi être recherchée pourconstruire des appareils sensibles à l’instar des sismographes.

Par ailleurs, la réponse en fréquence d’un oscillateur permet d’accéder à la raideur de l’oscillateur etdonc à la force de la liaison. Par exemple, la réponse fréquentielle d’une molécule vis-à-vis d’une ondeélectromagnétique permet de remonter aux caractéristiques de la liaison chimique. Cette technique d’analysechimique s’appelle spectrométrie Infra Rouge.

67


5.2.3 Résonance de vitesseOn s’intéresse maintenant à la vitesse du pendule élastique. Sachant que

x(t) = a

Ú

(1 ≠ u

2)2 +1

u

Q

22cos (Êt + Ï) avec u = Ê

Ê0

on obtient la vitesse v(t) par dérivation temporelle

v(t) = x(t) = aÊ

Ú

(1 ≠ u

2)2 +1

u

Q

22cos (Êt + Ï + fi/2)

La vitesse est en quadrature de phase avec le déplacement. L’amplitude de la vitesse s’écrit :

V = AÊ = aÊ

Ú

(1 ≠ u

2)2 +1

u

Q

22= a QÊ0

Ò

1 +#

Q

! 1u

≠ u

"$2

0 0.5 1 1.5 2 2.50

2

4

6

8

Q = 1

Q = 2

Q = 4

Q = 8

Fréquence réduite Ê

Ê0

Vite

sse

rédu

iteV

aÊ

0

Réponse fréquentielle en vitesse

Vmax

VmaxÔ2

Ban

dePa

ssan

te

Bande passante

Fig. 5.6 – Évolution de l’amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence pour di�érentes valeur du facteurde qualité.

Comme on peut le voir sur la Figure 5.6, l’amplitude de la vitesse passe par un maximum : c’est larésonance en vitesse. Ce phénomène se produit à la fréquence ‹ = ‹0 quelle que soit la valeur de Q. La bande

passante �‹ est définie par l’intervalle de fréquence tel que V Ø VmaxÔ2 . On montre que la bande passante est

reliée simplement au facteur de qualité par la relation

‹0�‹

= Q ¸ (5.8)

La résonance est donc d’autant plus aigüe que Q est grand ce qui explique pourquoi le facteur Q est aussiappelé facteur d’acuité de la résonance.

68


Remarque : Nous avons vu que le facteur de qualité était lié au temps de relaxation · par la relation Q = Ê0

· .La relation précédente entre bande passante et facteur de qualité permet de relier temps de relaxation et bandepassante :

�‹ = 12fi·

Autrement dit, un oscillateur qui possède une réponse fréquentielle très sélective est aussi un oscillateur quipossède un grand temps de réponse : sélectivité et inertie vont de paire.

5.2.4 Aspects énergétiquesPour entretenir les oscillations d’un oscillateur harmonique il faut fournir de l’énergie en moyenne comme

nous allons le montrer et ceci, d’autant plus que les frottements son importants.

¸(t)a cos Êt

E

≠æfop

≠æT

Õ•

Reprenons l’étude du pendule élastique mis en mouvement par une excitation harmonique de son extrémitéE : xE = a cos Êt. Au niveau de l’extrémité E, deux forces agissent :

1. la tension élastique≠æT

Õ = ≠≠æT = kx(t)≠æu

x

;

2. la force qu’exerce l’opérateur pour entretenir le forçage sinusoïdal : ≠æfop.

Le point E étant sans masse, on a ≠æfop +

≠æT

Õ = ≠æ0 ce qui donne ≠æfop = ≠kx(t)≠æu

x

. La puissance fournie parl’opérateur vaut alors

Pop = ≠æfop · ≠æ

vE = k a Ê x(t) sin Êt

Par ailleurs, en régime sinusoïdal forcé on a x(t) = a1 cos Êt + a2 sin Êt, d’où

Pop = k a Ê

!

a1 sin Êt cos Êt + a2 sin2Êt

"

La puissance fournie oscille à la pulsation 2Ê autour d’une valeur moyenne ÈPopÍ. Sachant que Èsin Êt cos ÊtÍ =0 et Èsin2

ÊtÍ = 1/2, on trouveÈPopÍ = kaÊ

2 a2 > 0 car a2 > 0

Ainsi, en moyenne, l’opérateur doit fournir de l’énergie à l’oscillateur pour entretenir les oscillations. Notonségalement que la puissance moyenne ÈPopÍ est proportionnelle à a2 qui représente l’amplitude des oscillationsen quadrature de phase avec l’excitation.

Poursuivons notre calcul en remplaçant a2 par son expression (5.7) :

ÈPopÍ = ka

2

2Êu/Q

(1 ≠ u

2)2 + (u/Q)2

= ka

2Ê0Q

2(u/Q)2

(1 ≠ u

2)2 + (u/Q)2

= ka

2Ê0Q

21

1 + [Q(1/u ≠ u)]2

ÈPopÍ = k

2Ê0Q

V

2

La puissance fournie est proportionnelle au carré de l’amplitude de vitesse. Le facteur de qualité étant lié aucoe�cient de frottement – par la relation Ê0/Q = –/m, on peut réécrire la puissance ÈPopÍ :

ÈPopÍ = –

2 V

2 (5.9)

69

5. OSCILLATEURS MÉCANIQUES. 5.3. E�ets anharmoniques.

Expression dans laquelle, le deuxième terme n’est rien d’autre que la puissance dissipée par les forces defrottement (ÈPdissÍ = ≠ –

2 V

2). On obtient donc la relation ÈPopÍ + ÈPdissÍ = 0 qui traduit le fait, qu’enmoyenne, l’opérateur doit fournir de l’énergie pour compenser la dissipation d’énergie par les frottements.

La relation (5.9) montre également que la puissance fournie obéit à un phénomène de résonance lorsquela fréquence excitatrice vaut ‹0. L’oscillateur absorbe alors une puissance maximum

ÈPopÍmax = –

2 V

2max = 1

2Q m a Ê

30

Il est intéressant de calculer l’énergie moyenne stockée par l’oscillateur et de la comparer à l’énergiedissipée sur une période. À la résonance, ces deux énergies sont directement liées au facteur de qualité Q.En e�et, lorsque Ê = Ê0, l’amplitude des oscillations vaut A = Qa et celle de la vitesse V = AÊ0 de sorteque l’énergie dissipée sur une période s’écrit

Ediss = ÈPopÍ2fi

Ê0

= 12–V

2 2fi

Ê0

Ediss = fi–A

2Ê0

alors que l’énergie mécanique stockée sous forme d’énergie cinétique et potentielle vaut, en moyenne,

ÈEmÍ = 12kA

2

Le rapport des ces deux énergies donne (en utilisant Ê0/Q = –/m et Ê

20 = k/m)

ÈEmÍEdiss

= Q

2fi

¸ (5.10)

Plus Q est grand et plus la part d’énergie stockée sous forme cinétique et potentielle est grande devantl’énergie dissipée par période. On peut alors donner une interprétation énergétique du facteur de qualité :

Facteur de qualitéLe facteur de qualité Q d’un système oscillant est 2fi fois l’énergie moyenne emmagasinée dans lesystème divisée par l’énergie dissipée par cycle.

5.3 E�ets anharmoniques5.3.1 Approximation harmonique

Considérons un système mécanique conservatif à un degré de liberté x dans une situation d’équilibrestable. L’énergie potentielle présente donc un puits de potentiel centré sur la position d’équilibre. L’énergiemécanique s’écrit

12µx

2 + Ep(x) = Em (5.11)

où µ est un scalaire positif représentant l’inertie. L’approximation harmonique est en général la premièremodélisation choisie quand on veut décrire simplement les oscillations. Elle est utilisée pour décrire lesvibrations moléculaires, les vibrations d’un cristal etc. Elle consiste à approcher le puits de potentiel (decourbure non nulle) par la parabole osculatrice. En e�et, au voisinage d’un équilibre stable, un développementde l’énergie potentielle à l’ordre deux, donne

Ep ƒ Ep(xeq) + 12Ÿ(x ≠ xeq)2 avec Ÿ = d2Ep

dx

2 (xeq) > 0

70


x

Ep

Ep,min + 12 Ÿ(x ≠ xeq)2

Ep,min

Fig. 5.7 – Profil d’énergie potentielle d’un système unidimensionnelle présentant un équilibre stable.

En traduisant la conservation de l’énergie mécanique par dEm/dt = 0, on obtient

µx + Ÿ (x ≠ xeq) = 0

Si l’on désigne par X = x ≠ xeq l’écart à l’équilibre, on obtient l’équation di�érentielle

X + Ÿ

µ

X = 0

caractéristique d’un oscillateur harmonique oscillant à la pulsation propre

Ê0 =Ú

Ÿ

µ

¸ (5.12)

Ainsi, pour de petites élongations autour de l’équilibre, un puits de potentiel présentant un courbure Ÿ

positive, donnera lieu à un comportement d’oscillateur harmonique.Remarque : Si Ÿ < 0, les solutions sont divergentes (Aert avec r > 0) ce qui correspond à une positiond’équilibre instable. On retrouve donc l’idée qu’un état d’équilibre instable est associé à un profil d’énergiepotentiel présentant un maximum local.

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Exemple – Le pendule rigideConsidérons un pendule simple rigide de masse m et de longueur ¸ astreint à évoluer dans un plan vertical. Il s’agitd’un système à un degré de liberté (◊ désigne l’écart angulaire) d’énergie potentielle de pesanteur

Ep

= ≠mg¸ cos ◊

présentant un puits de potentiel symétrique et centré en ◊ = 0.

◊(t)¸

≠æur

≠æu◊

≠æT

≠æP = m≠æg

M(¸,◊)

≠æg

◊

Ep

≠fi fi

≠mg¸

mg¸

approximationharmonique

Si l’on communique au pendule une énergie faible, celui-ci développera un régime d’oscillations quasi harmoniquespuisque l’on peut approcher le puits de potentiel par une parabole (cos ◊ ƒ 1 ≠ ◊2/2) :

Ep

ƒ 12mgl◊2 + Cte =∆ Ÿ = mg¸

Alors que l’énergie cinétique s’écrit

Ec

= 12mv2 = 1

2m¸2◊2 =∆ µ = m¸2

Ainsi, au voisinage de ◊ = 0 , on a◊ + Ÿ

µ◊ = 0

l’angle oscille de façon harmonique à la pulsation propre

Ê0

=Ú

Ÿ

µ=

Ò

g

¸

valeur indépendante de la masse et de l’amplitude des oscillations. Cette dernière propriété n’est valable que dansl’approximation harmonique, c’est-à-dire pour les petits angles.

5.3.2 AnharmonicitésComme nous venons de le voir, l’approximation harmonique constitue souvent la première approche

lorsque l’on étudie les petits oscillations autour d’un équilibre stable. En revanche, pour les grandes ampli-tudes on sort du domaine de validité de cette approximation ce qui se traduit par l’apparition dans l’équationdi�érentielle de termes supplémentaires non linéaires dit termes anharmoniques.

De manière générale, de tels oscillateurs peuvent se décrire par l’équation di�érentielle suivante :

x + x

·

+ f(x) = 0 avec f(x) ≠≠≠æxæ0

0 (5.13)

où x représente l’écart à la position d’équilibre et le terme x/· modélise l’amortissement. Cette équationpeut s’interpréter comme l’équation du mouvement d’un point matériel de masse unité et de coordonnée x,

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dans un puits de potentielEp(x) =

ˆx

0f(xÕ) dx

Õ

La stabilité de l’oscillateur est garantie si Ep(x) présente un minimum en x = 0.

Cas du pendule simple

50 100 150

1

2

3

180angle ◊max (°)

T/T0Le pendule simple, comme nous l’avons vu, est régi par uneéquation di�érentielle du type (5.13) avec

f(x) = sin x

Le puits de potentiel a tendance à s’évaser par rapport au puitsparabolique associé à l’approximation harmonique ce qui signifieque les oscillations ralentiront par rapport à des oscillations har-moniques. En d’autres termes, la période des oscillations, contrai-rement au cas de l’oscillateur harmonique, augmente avec l’ampli-tude ◊max des oscillations. C’est ce qu’illustre la figure ci-contre entraçant l’évolution de la période T en unité de T0 (période dansl’approximation harmonique) en fonction de l’amplitude des oscil-lations ◊max.

Cas de la liaison moléculaire

Considérons une molécule diatomique comme H2, O2, CO, etc.Bien que la stabilité d’un tel édifice relève de la mécanique quan-tique, il est souvent plus simple, moyennant quelques approxi-mations, de décrire la liaison de façon phénoménologique. PhilipMorse a proposé une énergie potentielle qui décrit de façon sa-tisfaisante la structure vibrationnelle d’une molécule diatomique.Dans ce modèle, les deux atomes interagissent via une énergiepotentielle d’interaction, dit potentiel de Morse, de la forme

Ep = E0!

e≠2ax ≠ 2e≠ax

"

où x désigne l’écart à l’équilibre et E0 l’énergie de dissociationde la molécule. Le profil de ce potentiel, représenté sur la figureci-contre montre clairement une dissymétrie.

0≠E0

0 x

Ep

Ep = E0!

e≠2ax ≠ 2e≠ax

"

Lorsque l’on développe Ep(x) au voisinage de 0, on trouve

Ep ƒ ≠E0 + 12Ÿx

2 ≠ ‘x

3 avec Ÿ = 2E0a

2 et ‘ = Ÿa/2

ce qui donne une équation du mouvement du type 3.

x + Ê

20x ≠ —x

2 = 0 avec Ê0 =

Ÿ/µ et — = 32aÊ

20

En conséquence, les oscillations ne sont plus symétriques autour de x = 0 et la moyenne temporelle Èx(t)Ívarie avec l’énergie de l’oscillateur. En e�et, on peut montrer à l’aide d’une méthode perturbative (cf.

Complément B) que

Èx(t)Í = —x

2max

2Ê

20

= 3a

4 x

2max

3. L’énergie cinétique s’écrit E

c

= 1

2

µx

2 avec µ la masse réduite du système diatomique (cf. chapitre sur les systèmes à deuxcorps).

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En d’autres termes, la longueur de la liaison moléculaire augmente avec l’énergie emmagasinée dans la liaison(dans l’approximation harmonique, l’énergie d’un oscillateur varie comme le carré de l’amplitude). C’est cemême phénomène qui explique le phénomène de dilatation des cristaux : quand la température augmente,l’énergie de vibration atomique augmente également ce qui accroit la distance intermoléculaire par e�etanharmonique.

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5–OSCILLATEURSMÉCANIQUES - FEMTO - La … · OSCILLATEURS MÉCANIQUES 60 ... Avant de trouver les solutions de cette équation diérentielle, il est intéressant d’en dégager