6 Fonctions de la variable réellefabienpucci.fr/wp-content/uploads/2018/11/2019_PCSI_06... · 2018-11-25 · Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle I. INÉGALITÉS DANS R I.3

Chapitre

6

Fonctions de la variableréelle

L

ongtemps, les mathématiques se sont développées au service des autressciences. La séparation des différentes sciences est d’ailleurs tardive, et nom-

breux ont été les mathématiciens à avoir également été des physiciens de renommée,comme Newton par exemple. Les mathématiques ont d’abord été vues comme unoutil :

— au service de la mécanique et de l’ingéniérie (Archimède ⌊1⌋)

— au service de l’astronomie (géométrie grecque, Ptolémée ⌊2⌋, écoles indienne etarabe)

— au service de toute étude nécessitant d’être chiffrée pour obtenir des ordres degrandeurs.

⌊1⌋. Archimède de Syracuse, né à Syracuse vers 287 av. J.-C. et mort en cette même ville en212 av. J.-C., est un grand scientifique grec de Sicile (Grande-Grèce) de l’Antiquité, physicien,mathématicien et ingénieur. Bien que peu de détails de sa vie soient connus, il est considéré commel’un des principaux scientifiques de l’Antiquité classique. Parmi ses domaines d’étude en physique,on peut citer l’hydrostatique, la mécanique statique et l’explication du principe du levier. Il estcrédité de la conception de plusieurs outils innovants, comme la vis d’Archimède.

Archimède est généralement considéré comme le plus grand mathématicien de l’Antiquité etl’un des plus grands de tous les temps1. Il a utilisé la méthode d’exhaustion pour calculer l’airesous un arc de parabole avec la somme d’une série infinie, et a donné un encadrement de Pi d’uneremarquable précision. Il a également introduit la spirale qui porte son nom, des formules pourles volumes des surfaces de révolution et un système ingénieux pour l’expression de très grandsnombres.

Archimède est mort pendant le siège de Syracuse où il a été tué par un soldat romain qui aagi malgré les ordres demandant de ne pas lui nuire.⌊2⌋. Claude Ptolémée, communément appelé Ptolémée (Ptolémaïs de Thébaïde (Haute-Égypte)

vers 90 - Canope vers 168) est un astronome et astrologue grec qui vécut à Alexandrie (Égypte).Il est également l’un des précurseurs de la géographie. Sa vie est mal connue. Son cognomen

Ptolemaeus semble indiquer des origines gréco-égyptiennes, et son nomen Claudius une citoyennetéromaine.

Ptolémée est l’auteur de plusieurs traités scientifiques, dont deux ont exercé une grande in-fluence sur les sciences occidentales et orientales. L’un est le traité d’astronomie, aujourd’hui connusous le nom d’Almageste. L’autre est la Géographie, qui est une synthèse des connaissances géogra-phiques du monde gréco-romain.

L’œuvre de Ptolémée est la continuation d’une longue évolution de la science antique fondéesur l’observation des astres, les nombres, le calcul et la mesure. Avec l’œuvre d’Aristote, c’estessentiellement à travers elle, transmise à la fois par les Arabes et les Byzantins, que l’Occidentredécouvrira la science grecque au Moyen Âge et à la Renaissance, laissant leurs prédécesseurs dansl’obscurité.

1

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle

D

u dernier point découle l’importance du développement du calcul numérique(calcul approché, en opposition au calcul algébrique). C’est ce point de vue

qui est à la base des procédés d’approximation (méthode de Newton de recherched’un zéro, méthodes approchées de calcul d’intégrales), aboutissant notamment à lanotion de convergence (qui donne la validité de l’approximation à l’infini).

A

insi, l’utilisation de l’outil est souvent à la base de sa définition, et a souventprécédé sa théorisation : les mathématiques ont évolué de façon empirique.

Dans ce chapitre nous donnons les outils permettant une étude efficace des fonctions.L’outil essentiel est bien entendu la dérivation, que nous abordons ici d’un point devue essentiellement pratique : l’objectif est de savoir dériver et étudier de façonefficace des fonctions explicites.

Nous commencerons par quelques rappels sur les limites, limites à gauche et limites àdroite. Nous supposerons connues les différentes opérations classiques sur les limites,que nous établirons rigoureusement plus tard : somme, produit, quotient.

SommaireI Inégalités dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.1 Relation d’ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.2 Valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.3 Intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6I.4 Majorant et minorant - Maximum et minimum . . . . . . 7

II Généralités sur les fonctions - Géométrie . . . . . . . . . 7

II.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8II.2 Représentation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 10II.3 Parité, imparité, périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . 13II.4 Fonctions et relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . 16

III Aspects topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

III.1 Limites : point de vue métrique . . . . . . . . . . . . . . . 19III.2 Limites : point de vue topologique . . . . . . . . . . . . . 25III.3 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26III.4 Limites à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . 27III.5 Propriétés algébriques des limites . . . . . . . . . . . . . . 28III.6 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV.1 Stabilité algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.2 Bijectivité, réciproque d’une bijection . . . . . . . . . . . 34

V Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

V.1 Taux d’accroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37V.2 Fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43V.3 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44V.4 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44V.5 Dérivées à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . 45V.6 Opérations et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

VI Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . 51

F.PUCCI 2

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle I. INÉGALITÉS DANS R

VII Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

VII.1 Convexité et dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56VII.2 Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59VII.3 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

VIII Plan d’étude d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

I Inégalités dans R

I.1 Relation d’ordre dans R

R est muni d’une relation d’ordre total 6 c.-à-d. qu’elle possède les propriétéssuivantes :

Réflexivité : ∀x ∈ R, x 6 x .

Antisymétrie : ∀ (x ; y) ∈ R2, (x 6 y et y 6 x) =⇒ x = y .

Transitivité : ∀(x, y, z) ∈ R3, (x 6 y et y 6 z) =⇒ x 6 z .

Elle est totale : ∀ (x ; y) ∈ R2, x 6 y ou y 6 x .

Proposition 1

Exercice 1 : Calculer et simplifier les nombres suivants ⌊3⌋

A= 1 +2

2 − 3

3 +4

5 − 32

.

B=√

3 −√

5 ×√

3 +√

5.

C=√

12 + 5√

75 − 7√

27.

D=1 −

√5

2 −√

5− 3 −

√5

4 −√

5.

E=(√

3 −√

5 −√

3 +√

5)2

Soient a, b, c et d des nombres réels.

1. a 6 b ⇐⇒ a + c 6 b + c 2. Si a 6 b et c 6 d alors a + c 6 b + d.

3. ∀c > 0, a 6 b ⇐⇒ ac6bc. 4. ∀c < 0, a 6 b ⇐⇒ ac>bc.

5. Si a et b sont non nuls de même signe alors a 6 b ⇐⇒ 1a>

1b.

Proposition 2 (Compatibilité des opérations avec la relation d’ordre)

Exercice 2 : Soient x 6 y éléments de [0 ; 1 [. Montrer quex

1 − x6

y

1 − y.

Exercice 3 : Résoudre dans R les inéquations suivantes :

⌊3⌋. ou l’inverse !

F.PUCCI 3


1. (3x + 1)26 2(3x + 1)(x + 1).

2.x − 1x + 3

> 2.

3.√

3x2 − 11x + 21 < 2x − 3

4.√

2 + x +√

3x − 5 > 7.

5.2x + 1x − 2

6x + 1x + 3

.

6.2x − 3x − 2

− 4x − 13x2 − 2x − 8

<6532

.

7. 2 < (2x − 3)26

254

.

I.2 Valeur absolue

La relation d’ordre permet de doter R d’une norme :

Soit x ∈ R.La valeur absolue de x est le nombre réel noté |x| défini par :

|x| =

{

x si x > 0,−x si x < 0.

Définition 1 (Valeur absolue)

Remarque : Un autre manière encore est d’écrire |x| = max (−x ; x).

Ainsi doté,(

R, | |)

est un espace normé que l’on pourra munir d’une famille d’ouvertset de fermés ou plus simplement d’une topologie :

Soit a ∈ R et r ∈ R∗+.

— Bo (a ; r) ={

x ∈ R / |x − a| < r}

est un ouvert contenant a .

— Bf (a ; r) ={

x ∈ R / |x − a| 6 r}

est un fermé contenant a .

On y reviendra. . .

Une autre manière de définir ou de voir |x| est d’écrire |x| = d(O, M) où M est lepoint de l’axe réel d’abscisse x.

On dira alors que(

R, d)

est un espace métrique. De la même manière, on pourraalors doter R d’une topologie, dite métrique à l’aide d’ouverts et de fermés :

Soit a ∈ R et r ∈ R∗+.

— Bo (a ; r) ={

x ∈ R / d (x ; a) < r}

est un ouvert contenant a.

— Bf (a ; r) ={

x ∈ R / d (x ; a) 6 r}

est un fermé contenant a.

Remarque : Si tous les espaces normés peuvent être munis d’une distance en posant

d (x ; y) = |x − y|,

toutes les distances ne dérivent pas d’une norme. Ceci nous amènerait un peu troploin hors-programme mais sachez qu’il n’y pas équivalence ou cherchez du côté desdistance p-adiques.

Exercice 4 : Résoudre, dans R, les équations et inéquations suivantes :

F.PUCCI 4


1 2−1−2

1

2

3

Figure 6.1 – x 7−→ |x|.

O r−r

|x| 6 r

|x| > r

Figure 6.2 – |x| 6 r et |x| > r.

1. |3x − 5| 6 7.2. |2x − 7| > 1.3. |x2 − x + 5| = |x − 1|.

4. |x + 2| + |2x − 1| + |x − 3| = 8.

5. 4x2 − 7|x| + 3 = 0.

Pour tous réels x et y, on a :∣∣∣|x| − |y|

∣∣∣ 6

∣∣∣x + y

∣∣∣ 6 |x| + |y|.

Avec égalité si, et seulement si ∃ λ ∈ R+ tel que x = λy.

Proposition 3 (Inégalité triangulaire)

Preuve: Voir la proposition (??) du chapitre (??) .

Exercice 5 :1. Soient x ∈ R tel que |x − 2| 6 1 et y ∈ R tel que −5 6 y 6 −4.

Encadrer x + y, x − y, xy etx

y.

2. Soit (x ; y) ∈] − 1 ; 1 [2. Montrer que

∣∣∣∣∣

x + y

1 + xy

∣∣∣∣∣

< 1.

F.PUCCI 5


I.3 Intervalles de R

La relation d’ordre permet également de définir la notion d’intervalle.

En effet, qu’est-ce donc d’autre qu’un ensemble de valeurs à la fois inférieures etsupérieures à deux bornes :

Soit I une partie de R. On dit que I est un intervalle dans les quatre cassuivants :

— I = {x ∈ R / a < x < b} où (a ; b) ∈(

R∪ {±∞})2

et on note : I = ]a ; b [.

— I = {x ∈ R / a < x 6 b} où (a ; b) ∈(

R ∪ {±∞})

× R et on note :I = ]a ; b ].

— I = {x ∈ R / a 6 x < b} où (a ; b) ∈ R ×(

R ∪ {±∞})

et on note :I = [a ; b [.

— I = {x ∈ R / a 6 x 6 b} où (a ; b) ∈ R × R et on note : . . . . . . .I = [a ; b ].

Définition 2 (Intervalles de R)

Muni de ces intervalles, R est ainsi muni d’une topologie qui permettrait déjà dedéfinir la notion de limite, de continuité et de dérivabilité.

La proposition suivante, à l’aide de la valeur absolue, fait le lien entre les deuxtopologies naturelles de R : celle dérivant de sa norme et celle construite sur lesintervalles précédents. Les deux topologies sont donc équivalentes.

Soient a un réel quelconque et r un réel strictement positif. Alors :

— |x − a| 6 r est équivalent à x ∈ [a − r ; a + r ].

— |x − a| > r est équivalent à x ∈ ] − ∞ ; a − r ] ∪ [a + r ; +∞ [.

Proposition 4 (Intervalles et valeur absolue)

Ces propriétés sont encore vraies en remplaçant les inégalités larges par des inégalitésstrictes et les intervalles fermés par des intervalles ouverts.

Interprétation géométrique : L’ensemble Bf (a ; r) ={

x ∈ R / |x − a| 6 r}

estla boule de centre a et de rayon r.

La réunion de toutes ces boules (ouvertes ou fermées) dote, comme on l’a dit, Rd’une topologie (métrique).

F.PUCCI 6

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelleII. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS - GÉOMÉTRIE

I.4 Majorant et minorant - Maximum et minimum

Soit A une partie de R, on dit que :

— A est majorée lorsque : ∃ M ∈ R, ∀x ∈ A, x 6 M .

— A est minorée lorsque : ∃ m ∈ R, ∀x ∈ A, m 6 x .

— A est bornée lorsque A est à la fois majorée et minorée .

— A admet un maximum lorsque : ∃ b ∈ A, ∀x ∈ A, x 6 b .

— A admet un minimum lorsque : ∃ a ∈ A, ∀x ∈ A, a 6 x .

Définition 3

Remarque : La partie A est bornée si, et seulement si ∃ M ∈ R+ tel que

∀x ∈ A, |x| 6 M.

— Si A est majorée par un majorant qui est dans A alors celui-ci est unique.On l’appelle LE maximum de A et on note β = max(A).

— Si A est minorée par un minorant qui est dans A alors celui-ci est unique.On l’appelle LE minimum de A et on note α = min(A).

Proposition 5 (Unicité des extrema)

Preuve: Simple utilisation de la dé�nition d'un majorant et de l'antisymétrie

de 6 dans R.

Exercice 6 : Déterminer si les parties suivantes sont majorées, minorées, bornées,en donnant le cas échéant un exemple de majorant, de minorant, le maximum etle minimum.

1. A = R+

2. B = [0 ; 1 [

3. C = Z

4. D ={ 1

n, n ∈ N∗

}

.

II Généralités sur les fonctions - Géométrie

F.PUCCI 7


II.1 Définitions

Soit A une partie de R et f : A 7−→ R.On appelle domaine de définition de f , noté Df , l’ensemble

Df ={

x ∈ A / f(x) existe}

.

Si x ∈ Df et si y = f(x), on dit que :

— y est l’image de x par f ,

— x est un antécédent de y par f (pas forcément unique).

Définition 4

Toute étude d’une fonction f devra donc commencer, comme ce cours, par préciserle domaine de définition de f .

Exemples 1 (Image directe) : Pour toute partie A ⊂ Df , on rappelle que :

f(A) ={

y ∈ R / ∃ x ∈ A, y = f(x)}

.

— L’image de R+ par la fonction exponentielle est [1 ; +∞ [.Celle de R− est ]0 ; 1 ].

— Par la fonction sin :

— l’image de πZ est {0},— l’image de [0 ; π ] est [0 ; 1 ],

— l’image de[

−π

2;π

2

]

est [−1 ; 1 ],

— et l’image de [0 ; 2π ] est aussi [−1 ; 1 ].

Remarque : Soient A et B deux parties de R et f : A 7−→ R une fonction.

byy

×

α1α1

×

α2α2

×

α3α3 α4α4

Figure 6.3 – Une seule image mais plusieurs antécédents possibles.

F.PUCCI 8


On dit que f est à valeurs dans B si toute valeur de f est élément de B c.-à-d.

∀x ∈ A, f(x) ∈ B ou encore si imf ⊂ B. ⌊4⌋

Exemple 2 : sin est à valeurs dans R mais sin(R) = [−1 ; 1 ] 6= R.

L’exponentielle est aussi à valeurs dans R voire R+ mais exp(R) =]0 ; +∞ [ 6= R+

ou R.

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle commun I.

— La somme de f et g est la fonction notée (f + g) définie pour tout x ∈ Ipar :

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

— Le produit de f et g est la fonction notée (f × g) définie pour tout x ∈ Ipar :

(f × g)(x) = f(x) × g(x).

— Si, de plus, g ne s’annule pas sur I. Le quotient de f par g est la fonction

notéef

gdéfinie pour tout x ∈ I par :

(

f

g

)

(x) =f(x)g(x)

.

Définition 5 (Somme, Produit, Quotient)

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et g une fonction définie sur unintervalle J telles que f(I) ⊂ J .La composée de f par g est la fonction, notée g ◦ f , définie pour tout x ∈ I par :

(

g ◦ f)

(x) = g(

f(x))

.

Définition 6 (Composée)

ATTENTION La condition f(I) ⊂ J ou encore « f est à valeurs dans J » estparticulièrement importante.

On doit garantir que f(x) appartienne au domaine de définition de g pour tout xde I.

Exemple 3 : L’ensemble de définition de la fonction x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − xest ]0 ; 2 [ .

Exercice 7 : Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définiespar :

⌊4⌋. Mais en aucun cas, f n’est obligée d’être surjective dans cette définition.

F.PUCCI 9


x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − x

x 7−→ 1 + e√

x

x 7−→ x√

2 − x

x 7−→ 1

x 7−→ e√

x

x 7−→ x

x 7−→√

2 − x

x 7−→ ex

x 7−→ √x

x 7−→ √x

x 7−→ 2 − x

÷

×

+

◦

◦

Figure 6.4 – La fonction x 7−→ 1 + e√

x

x√

2 − xvue comme quotient,

sommes, produits et composées de fonctions.

1. f(x) =√

−x2 + 5x − 6.

2. g(x) =1

cos(2x).

3. h(x) = ln(2x + 3).

4. k(x) =√

1 − x2.

Correction :

1. Df = [2 ; 3 ].

2. Dg =⋃

n∈Z

]π

4+ n

π

2;3π

4+ n

π

2

[

.

3. Dh =]

−32

; +∞[

.

4. Dk = [−1 ; 1 ].

ATTENTION

De même, que précédemment, on rappelle que la composition n’est pas dutout commutative.Pire, f ◦ g peut exister sans que g ◦ f n’ait de sens.Comparez, par exemple, les domaines de définitions de x 7−→ ln |x| etx 7−→ | ln x|.

II.2 Représentation d’une fonction

Dans le cas d’une fonction de R dans R, le graphe, tel que nous l’avons défini dansun chapitre antérieur, correspond au sous-ensemble de R2 constitué des éléments(x ; f(x)), pour x ∈ Df .

Le graphe permet d’avoir une idée générale de la fonction étudiée. Un graphe précis(par approximations et interpolation à partir d’un grand nombre de points, obtenuspar exemple par des expériences) permet d’obtenir facilement une première approxi-mation de solutions de certaines équations ou inéquations.

Certaines opérations simples sur les fonctions se traduisent facilement sur le graphe,comme la composition à la source ou à l’arrivée par x 7−→ ax ou x 7−→ x − a.

F.PUCCI 10


Une autre opération se traduisant élégamment sur les graphes est la réciproque desfonctions bijectives (cf. proposition (19) ).

On se place dans un repère (O; −→ı ; −→ ) orthonormé même si un repère affine suffiraitpour nombre de propriétés. Entraînez-vous à trouver lesquelles.

Soit f une fonction de Df dans R. On appelle courbe représentative de f , et onnote Cf ou G, l’ensemble

Cf ={

(x ; y) / (x ∈ Df ) ∧(

y = f(x))}

.

Définition 7

Soit f : R 7−→ R et a ∈ R. Le graphe de :

— x 7−→ f(x) + a se déduit du graphe de f par une translation de vecteur a~ .

— x 7−→ f(x − a) se déduit du graphe de f par une translation de vecteur a~ı .

— x 7−→ f(a − x) se déduit du graphe de f par une symétrie d’axe x =a

2.

— x 7−→ f(ax) se déduit du graphe de f par une dilatation horizontale de rapport1a

. ⌊5⌋

— x 7−→ af(x) se déduit du graphe de f par une dilatation verticale de rapport a .

Proposition 6 (Effet des transformations usuelles sur Cf)

bcMM

bcM ′M ′

a~

Cf

Cg

x

f(x)

g(x) = f(x) + a

bcMM

bcM ′M ′a~ı

x − a x

g(x) = f(x − a)

Cf Cg

Figure 6.5 – x 7−→ g(x) = f(x) + a et x 7−→ g(x) = f(x − a).

Exercice 8 : Á partir des courbes représentatives des fonctions x 7−→ x2 et

x 7−→ 1x

tracer les courbes de f et g définies par :

f(x) = 3x2 − 30x + 16 et g(x) =3x − 16−x + 6

.

Exercice 9 : Soit f : x 7−→ (x − 1)2

2− 1.

⌊5⌋. a 6= 0 bien sûr !

F.PUCCI 11


x=

a 2

bcMM

bcM ′M ′

b

a − x x

g(x) = f(a − x)

Cf Cg

Figure 6.6 – x 7−→ g(x) = f(a − x).

bcMM

bcM ′M ′

ax

g(x) = f(ax)

x

bcNN

bcN ′N ′

ax′

g(x′) = f(ax′)

x′

Cf

Cg

bcMM

bcM ′M ′

x

f(x)

g(x) = af(x)

bcNN

bcN ′N ′

xf(x′)

g(x′) = af(x′)

Cf

Cg

Figure 6.7 – x 7−→ g(x) = f(ax) et x 7−→ g(x) = af(x).

1. Représenter la courbe représentative de f à partir de celle de x 7−→ x2.

2. Déterminer alors graphiquement l’ensemble des solutions de l’inéquation

(x − 1)2

2− 1 6 −1

2.

Correction : Pour tra er le graphe de f à partir de la ourbe de x 7−→ x2, on e�e tue

su essivement :

1. une translation de ve teur ~ı,

2. une dilatation verti ale de rapport

12 ,

3. et une translation de ve teur −~.

Les solutions de l'inéquation

(x − 1)2

2−1 6 −1

2sont alors l'ensemble des x ∈ [−1 ; 1 ] pour

lesquels la ourbe de x 7−→ x2est située en dessous de la droite d'équation y =

(

−12 + 1

)

×2 = 1.En omposant par la translation de ve teur ~ı, l'ensemble des solutions est don l'inter-

valle [0 ; 2 ].

F.PUCCI 12


II.3 Parité, imparité, périodicité

— Une fonction f est paire lorsque son domaine de définition Df est symé-trique par rapport à 0 que :

∀x ∈ Df , f(−x) = f(x).

— Une fonction f est impaire lorsque son domaine de définition Df est sy-métrique par rapport à 0 que :

∀x ∈ Df , f(−x) = −f(x).

— Une fonction f est T -périodique (T > 0) lorsque :

∀x ∈ Df , x + T ∈ Df et f(x + T ) = f(x).

Définition 8

Le graphe d’une fonction impaire passe toujours par l’origine.

π

2π

3π

22π

5π

23π

7π

24π

9π

25π

11π

26π

13π

27π

15π

28π

17π

29π

19π

2−π

2−π

−3π

2−2π

−5π

2−3π

−7π

2−4π

−9π

2−5π

−11π

2−6π

−13π

2−7π

−15π

2−8π

−17π

2−9π

−19π

2−1

1

Figure 6.8 – x 7−→ cos x et x 7−→ sin x.

Exemples 4 :

— Les fonctions x 7−→ x2n, n ∈ Z, |x|, cos x, ch x sont paires.

— Les fonctions x 7−→ x2n+1, n ∈ Z, sin x, sh x et tan x sont impaires.

— cos et sin sont 2π-périodiques, tan est π -périodique.

— x 7−→ eix à valeurs dans C est 2π -périodique.

Compléments sur les fonctions périodiques :

— En pratique, pas besoin d’étudier une fonction périodique sur tout son domainede définition. Une étude sur une période suffit.

F.PUCCI 13


— Une fonction T -périodique est aussi kT -périodique pour k ∈ Z. On définitalors la période T comme le plus petit des réels strictement positif vérifiantf(x + T ) = f(x) c.-à-d.

T = min{

t ∈ R∗+ / ∀x ∈ Df , x + t ∈ Df et f(x + t) = f(x)

}

.

ATTENTION Il existe des fonctions périodiques n’admettant pas de pé-riode minimale, par exemple 1Q.

— Alors qu’une fonction peut être paire ou impaire sur un intervalle borné àcondition qu’il soit symétrique par rapport à O, l’invariance par translationdu domaine de définition d’une fonction périodique lui impose d’être nécessai-rement infini.

Soient T > 0, f : I 7−→ R et g : I 7−→ R deux fonctions T -périodiques.

— Les fonctions f + g, f × g sont aussi T -périodiques, ainsi quef

gsi g ne

s’annule pas.

— Pour tout a > 0, la fonction x 7−→ f(ax) estT

a-périodique.

Théorème 1 (Opérations sur les fonctions périodiques)

Exemple 5 : Si a > 0, x 7−→ cos(ax) est2π

a-périodiques et un domaine d’étude

sera[

0 ;π

a

]

par périodicité et parité.

π

2π

3π

22π

5π

23π

7π

24π

9π

25π

11π

26π

13π

27π

15π

2−π

2−π

−3π

2−2π

−5π

2−3π

−7π

2−4π

−9π

2−5π

−11π

2−6π

−13π

2−1

1

Figure 6.9 – x 7−→ cos 5x et x 7−→ sin x2 .

Exercice 10 : Écrire à l’aide des quantificateurs la négation des assertions sui-vantes :

F.PUCCI 14


1. f est impaire. 2. f est 3-périodique.

— Une fonction f est paire si, et seulement si sa courbe représentative Cf estsymétrique par rapport à l’axe des ordonnées .

— Une fonction f est impaire si, et seulement si sa courbe représentative Cf

est symétrique par rapport à l’origine du repère .

— Une fonction f est T -périodique si, et seulement si sa courbe représentativeCf est invariante par translation de vecteur T~ı .

Proposition 7 (Interprétation graphique de la parité)

Preuve: Montrons, par exemple, le premier point (les autres points se dé-

montrent de manière analogue).

Supposons f paire et notons G son graphe.

Si M (x ; y) ∈ G alors y = f(x). Le symétrique de M par rapport à l'axe des

ordonnées est

(−x ; y) = (−x ; f(x)) = (−x ; f(−x)) ∈ G,

don G est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Ré iproquement, supposons que G soit symétrique par rapport a (Oy).

Alors d'une part Df est symétrique par rapport à 0.

De plus si (x ; y) ∈ G alors (−x ; y) ∈ G .-à-d. y = f(−x) = f(x) et f est paire.

— Lorsqu’une fonction est paire ou impaire, on restreint son étude au do-maine Df ∩ [0 ; +∞ [ et on complète la courbe par symétrie .

— Si la fonction est T -périodique, on restreint son étude à un segment delongueur T et on complète la courbe par translations de vecteur T~ı .

Méthode 1 (Restriction du domaine d’étude)

Exemple 6 : Par imparité et π-périodicité, un domaine d’étude minimal pour

x 7−→ tan x est[

0 ;π

2

[

.

Exercice 11 : Déterminer le domaine d’étude de la fonction f définie sur R par

f(x) =cos(2x)

cos2(x) + 1.

Correction : De =[

0 ;π

2

[

.

On obtient la ourbe représentative de f par une symétrie d'axe (Oy) et des translations

de ve teur π~ı.

F.PUCCI 15


II.4 Fonctions et relations d’ordre

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R.

— La fonction f est croissante (resp. strictement croissante) sur I si :

∀ (x ; y) ∈ I2, x 6 y =⇒ f(x) 6 f(y) (resp. f(x) < f(y)).

— La fonction f est décroissante (resp. strictement croissante) sur I si :

∀ (x ; y) ∈ I2, x 6 y =⇒ f(x) > f(y) (resp. f(x) > f(y)).

— La fonction f est monotone sur I (resp. strictement monotone) sur I si fest soit croissante (resp. strictement croissante), soit décroissante (resp.strictement décroissante) sur I.

Définition 9 (Fonctions monotones)

Les fonctions croissantes sont donc, de ce point de vue, les fonctions rendant la com-position compatible avec la relation d’ordre de R. Mieux, elles partagent l’ensembledes fonctions monotones en deux classes d’équivalence : celles compatibles avec larelation d’ordre et les celles qui ene le sont pas.

On peut, bien sûr, caractériser la monotonie d’une fonction dérivable par le signe desa dérivée, mais c’est là un théorème et non une définition.

La définition (9) est générale et ne requiert pas la dérivabilité.

Exemples 7 :— La fonction cos est :

— décroissante sur tout intervalle de la forme[

2kπ ; (2k + 1)π[

, k ∈ Z ,

— croissante sur tout intervalle de la forme[

(2k + 1)π ; (2k + 2)π[

, k ∈ Z

,

— mais elle n’est pas monotone sur R.

— La fonction tan est strictement monotone sur tout intervalle de la forme]

−π

2+ kπ ;

π

2+ (k + 1)π

[

, k ∈ Z.


1. f est croissante sur [1 ; +∞ [.2. f est strictement monotone sur R.

La composée de fonctions monotones est monotone et la règle des signes donnele sens de la monotonie.

Proposition 8 (Composée de fonctions monotones)

F.PUCCI 16


Preuve: Easy. . .

Remarque : On ne peut en revanche rien dire sur le produit ou une combinaisonlinéaire quelconque de deux fonctions monotones en général !

Par exemple x 7−→ x2 et x 7−→ x sont croissantes sur R+ mais pas x 7−→ x2 − x ⌊6⌋.

Exemple 8 : Pas besoin de dériver pur expliquer que la fonction x 7−→ x + ln x,somme de fonctions strictement croissantes, est strictement croissante sur R∗

+ pasplus que pour la fonction x 7−→ e

√x sur R+, composée de fonctions croissantes ou

encore x 7−→ √xex, produit de fonctions positives croissantes sur R+.

— Une fonction f est dite majorée lorsqu’il existe un réel M tel que :

∀x ∈ Df , f(x) 6 M.

Le réel M est alors appelé un majorant de f .

— Une fonction f est dite minorée lorsqu’il existe un réel m tel que :

∀x ∈ Df , f(x) > m.

Le réel m est alors appelé un minorant de f .

— Une fonction f est dite bornée lorsqu’elle est à la fois majorée et minorée.

Définition 10 (Fonction bornées)

Une fonction f est bornée si, et seulement si |f | : x 7−→ |f(x)| est majorée.

Proposition 9

Preuve: Supposons f bornée. Alors |f | est majorée par max(∣∣∣min

x∈If(x)

∣∣∣ ;∣∣∣max

x∈If(x)

∣∣∣

)

Ré iproquement si |f | est majorée par M ∈ R+ alors ∀x ∈ I, −M 6 f(x) 6 M et

f est bornée.

Exemple 9 : La fonction f : x 7−→ 11 + x2

, définie sur R, y est bornée. Majorée

par 1 et minorée par 0 .

⌊6⌋. Pas plus que x 7−→ x2 − x est décroissante !

F.PUCCI 17


1 2 3−1−2−3

1

Figure 6.10 – Courbe représentative d’une fonction bornée.

Soient f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I de R et x0 ∈ I.

— La fonction f admet un maximum global (resp. minimum global) en x0 si :

∀x ∈ I, f(x) 6 f(x0) (resp. f(x) > f(x0)).

On note alors f(x0) = maxx∈I

f(x) (resp. f(x0) = minx∈I

f(x)).

— La fonction f admet un maximum local (resp. minimum local) en x0 s’ilexiste un intervalle J ⊂ I contenant x0 tel que :

∀x ∈ J, f(x) 6 f(x0) (resp. f(x) > f(x0)).

On note alors f(x0) = maxx∈J

f(x) (resp. f(x0) = minx∈J

f(x)).

Définition 11 (Extrema globaux et locaux)

Il est clair que, dans le cadre de la définition,

maxx∈J

f(x)6maxx∈I

f(x) et minx∈J

f(x)>minx∈I

f(x).

Exemple 10 : Reprenons la fonction de exemple (9) définie par f(x) =1

1 + x2.

— f admet un maximum global en x0 = 0 qui est 1.

— f est minorée par 0 sans avoir de minimum global .Montrons le par l’absurde en supposant qu’il existe x0 ∈ R tel que ∀x ∈ R,f(x0) 6 f(x).Par symétrie, on peut supposer x0 ∈ R+ où f y est strictement décroissante.D’où, pour tout x ∈ R tel que x0 < x, on a f(x) < f(x0) et la contradiction.

Exercice 13 : Montrer que la fonction g définie sur R par g(x) = x3 − 3x admetun maximum local en −1.

Correction : On a g(−1) = 2 et ∀x ∈ R, g(x) − g(−1) = x3 − 3x − 2

= (x + 1)2(x − 2).

Don , ∀x ∈ J =] − ∞ ; 2 ], g(x) > g(−1).

F.PUCCI 18

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle III. ASPECTS TOPOLOGIQUES


1. f est majorée par M .2. f est minorée.3. f est bornée sur I.

4. f n’admet pas de minimum global.

5. f n’admet pas de minimum local.

III Aspects topologiques

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction définie sur un sous-ensemble Ide R.

On supposera que I est un intervalle, ou une union finie d’intervalles, et on notera Il’intervalle (ou union d’intervalles) fermé correspondant dans R∪{±∞} (en incluantles bornes).

On étudie la limite de f en un point a de I c.-à-d. en un point de son domaine ouune borne.

Remarque : Plus généralement, si A est un sous-ensemble quelconque de R, on peutconsidérer la limite en un point a de l’adhérence A de A, défini comme étant le pluspetit fermé contenant A, ou de façon équivalente, l’ensemble des points x pouvantêtre approchés d’aussi près qu’on veut par des points de A (c.-à-d. tout voisinage dex rencontre A).

Lorsque a ∈ A, on dira que a est adhérent à A.

III.1 Limites : point de vue métrique

Soit a ∈ I ∩ R.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers a si

∀ε ∈ R∗+, ∃ η(ε) ∈ R∗

+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→a

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers a si :

∀A ∈ R, ∃ η(A) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers a si :

∀A ∈ R, ∃ η(A) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 12 (Limites en un point fini)

F.PUCCI 19


Décortiquons l’expression dans le cas d’une limite finie :

— ∀ε ∈ R∗+ : « Quelle que soit la marge d’erreur ε qu’on se donne, aussi petite

soit-elle . . . ».

— ∃ η(ε) ∈ R∗+ : « . . . il existe une petite boule de rayon η centrée en a, quitte à

prendre η très petit . . . ».

— ∀x ∈ I, : |x − a| 6 η . . . : « . . . tel que si a est à la fois dans I et dans cetteboule . . . ».

— . . . =⇒ |f(x) − b| 6 ε : alors f(a) est proche de b à ε près ».

Autrement dit : « Si x ∈ I est suffisamment proche de a, alors f(a) est aussi prochequ’on veut de b ».

Remarques :

— L’hypothèse a ∈ I est nécessaire pour pouvoir considérer des points aussiproches que l’on veut de a.On dira que la limite de f est envisageable en a si cette hypothèse est satisfaite(sans considération d’existence ou non de la limite), et qu’elle ne l’est pas sia /∈ I.

— Dans le cas fini, l’inégalité est d’autant plus contraignante que ε est petit. Onpeut alors se contenter d’étudier le cas de valeurs de ε inférieures à une valeurε0 donnée.

— De même, dans le cas d’une limite ∞, la définition trouve sa pertinence lorsqueA devient grand ou petit (vers ±∞) mais il n’est pas nécessaire de le supposerstrictement positif ou négatif.

Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans R.Si lim

x→af(x) = ∞ alors la courbe représentative de f admet une droite asymptote

d’équation x = a.

Corollaire 1 (Asymptote ⌊7⌋)

On peut remplacer une ou plusieurs des inégalités larges |x − a| 6 η et|f(x) − b| 6 ε par des inégalités strictes pour obtenir des définitions équiva-lentes.

Proposition 10

Preuve: Il su�t de onstater que

Bf

(

a ; η

2

)

⊂ Bo (a ; η) ⊂ Bf (a ; η)

⌊7⌋. De l’étymologie grecque construit à l’aide du préfixe privatif « a » et de « symptôsis » (ren-contre) : la droite qui ne se rencontre pas.

Remarque : L’utilisation du terme asymptote ne se limite pas aux droites. On parlera bientôt decourbes asymptotes.

F.PUCCI 20


et,

Bf

(

b ; ε2

)

⊂ Bo (b ; ε) ⊂ Bf (b ; ε) .

Exemples 11 (Limites des fonctions de référence en 0) :

f(x) limx→0x>0

f(x) limx→0x<0

f(x)

1xn

n 6=0 +∞+∞ si n pair

−∞ si n impair

1√x +∞

non défini

ln x−∞

non défini

1xn

, n impair

1xn

, n pair

1√x

ln x

O

Figure 6.11 – Limites des fonctions de référence en 0

Si a ∈ I et si f admet une limite en a, alors cette limite est nécessairement égaleà f(a) .

Proposition 11 (Limite en un point du domaine)

ATTENTION La proposition (11) ne dit absolument pas que toute fonction estcontinue en a mais seulement qu’une condition nécessaire à l’être dans le domaineest d’avoir une limite en a qui sera alors f(a).

Preuve: Posons ℓ la limite de f en a.

F.PUCCI 21


Le sou is vient que a n'a pas né essairement besoin d'appartenir à I mais seulement

à I pour être appro hé par des éléments de I. Lorsque a ∈ I, il n'y alors plus de

problème et la ondition |a − a| 6 η est toujours vraie don

|f(a) − ℓ| 6 |f(x) − f(a)| + |f(x) − ℓ| 6 ε.

Don ℓ = f(a).

Conclusion, une fonction admet une limite en un point (intérieur) de I si, et seule-ment si elle y est continue. ⌊8⌋

Nous voyons maintenant comment définir la limite d’une fonction en un point infini.La longueur de ces définitions est due au nombre de cas à étudier.

Dans toutes ces définitions également, on peut remplacer les inégalités larges pardes inégalités strictes.

La seule inégalité que l’on n’a pas le droit de modifier est ε > 0.

Soit I tel que +∞ ∈ I.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers +∞ si

∀ε ∈ R∗+, ∃ B(ε) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→+∞

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x > B =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 13 (Limites en +∞)

De manière analogue, en −∞ :

⌊8⌋. En un point de I et non de I je le redis.

F.PUCCI 22


Soit I tel que −∞ ∈ I.

— Soit b ∈ R. On dit que f(x) tend vers b lorsque x tend vers −∞ si

∀ε ∈ R∗+, ∃ B(ε) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ |f(x) − b| 6 ε.

On note alors limx→−∞

f(x) = b.

— On dit que f(x) tend vers +∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ f(x) > A.


f(x) = +∞.

— On dit que f(x) tend vers −∞ lorsque x tend vers −∞ si :

∀A ∈ R, ∃ B(A) ∈ R, ∀x ∈ I, x 6 B =⇒ f(x) 6 A.


f(x) = −∞.

Définition 14 (Limites en −∞)

Comme on peut le constater, la distinction entre un point fini et les deux infinis, àfaire à la source et à l’arrivée, amène à distinguer 9 cas différents dans la définitiondes limites. Pour les études pratiques, ce n’est pas gênant : il suffit de considérer lecas qui nous concerne.

Pour des études plus théorique, notamment pour établir des propriétés générales,il peut être plus commode d’avoir une description plus uniforme, évitant d’avoir àdistinguer entre un grand nombre de cas. C’est là qu’entre en jeu la topologie. ⌊9⌋

Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans R.Si lim

x→∞f(x) = b alors la courbe représentative de f admet une droite asymptote

d’équation y = b.

Corollaire 2 (Asymptote)

⌊9⌋. La topologie est une branche des mathématiques concernant l’étude des déformations spa-tiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures). La topo-logie s’intéresse plus précisément aux espaces topologiques et aux applications qui les lient, dites« continues ». Elle permet de classer ces espaces, notamment les nœuds, entre autres par leurdimension (qui peut être aussi bien nulle qu’infinie). Elle s’intéresse aussi à leurs déformations.

En analyse, grâce aux informations qu’elle fournit sur l’espace considéré, elle permet d’obte-nir un certain nombre de résultats (existence ou unicité de solutions d’équations différentielles,notamment).

Les espaces métriques ainsi que les espaces vectoriels normés sont des exemples d’espacestopologiques.

F.PUCCI 23


Exemples 12 (Limites des fonctions de référence en l’infini) :

f(x) limx→+∞

f(x) limx→−∞

f(x)

xn

n 6=0 +∞+∞ si n pair

−∞ si n impair

1xn

n 6=0 0 0√

x+∞

non défini

ln x+∞

non défini

ex

+∞ 0

1√x 0 non défini

sin xcos xtan x pas de limite pas de limite

1xn

, n impair1xn

, n pair

xn, n pair

xn, n impair√

x1√x

sin x

ln x

ex

O

Figure 6.12 – Limites des fonctions de référence en l’infini

Soit f : I 7−→ R une fonction.Si f est croissante et non majorée alors lim

x→+∞f(x) = +∞.

Théorème 2 (Limite monotone)

Preuve: Soit f : I 7−→ R une fon tion.

F.PUCCI 24


Soit A ∈ R. Comme f est non majorée, il existe un élément x0 de I tel que f(x0) > A.

Or, f est roissante.

Don , ∀x ∈ I, x > x0 =⇒ f(x) > f(x0) > A et le résultat.

Remarque : On traduire le théorème précédent pour une fonction décroissante nonminorée.

III.2 Limites : point de vue topologique

Soit x ∈ R = R ∪ {±∞}.On appelle voisinage de x, noté V(x), toute partie V ⊂ R telle que x ∈ V et Vcontient un intervalle ouvert contenant x.

Définition 15 (Voisinage d’un point)

Globalement, retenez en première approximation qu’un voisinage de x est un inter-valle ouvert ou une réunion d’intervalles ouverts contenant x.

On peut alors donner une définition globale à l’aide de la notion de voisinage etéquivalente de la limite d’une fonction en un point :

Soit a ∈ I (fini ou infini) et b ∈ R.Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f admet une limite b lorsque x tend vers a.

(ii) ∀ V ∈ V(b), ∃ U ∈ V(a), f(

U ∩ I)

⊂ V .

Théorème 3 (Définition topologique des limites)

La définition métrique s’est placée dans le cadre métrique pour l’ensemble de départet l’ensemble d’arrivée. La caractérisation topologique s’est placée dans le cadretopologique à la fois au départ et à l’arrivée.

On peut mélanger les deux. Ainsi, les points (i) et (ii) du théorème précédent sontaussi équivalents, dans le cas d’une limite finie en un point fini, à :

(i) ∀V ∈ V(b), ∃ η(V ) ∈ R∗+, ∀x ∈ I, |x − a| < η =⇒ f(x) ∈ V .

(ii) ∀ε ∈ R∗+, ∃ U ∈ V(a), ∀x ∈ I, x ∈ U =⇒ |f(x) − b| < ε.

Ici, comme plus haut, les inégalités sont indifféremment strictes ou larges, à part ε > 0.

Pour le reste, il suffit de remarquer que |x − a| < η équivaut à x ∈ B (a ; η).

On passe alors du cas topologique au cas métrique en remarquant que tout voisi-nage de a contient une boule B (a ; η), et du cas métrique au cas topologique enremarquant qu’une boule B (a ; η) est un voisinage de a.

D’une manière générale,

F.PUCCI 25


Nous dirons qu’une fonction f admet une propriété P au voisinage d’un pointa ∈ I, s’il existe un voisinage V de a dans R∪ {±∞} tel que la propriété P soitvérifiée par f sur l’ensemble V ∩ I.

Définition 16 (Propriété vraie dans un voisinage)

La notion de limite permet alors de « contrôler » une fonction au voisinage d’unpoint. Ainsi, on obtient par exemple :

Soit f une fonction admettant une limite finie en un point a de I.Alors, f est bornée au voisinage de a.

Proposition 12

Preuve: Dans un voisinage de a il su�t d'é rire

|f(x)| 6 |f(x) − f(a)| + |f(a)| . . .

III.3 Unicité de la limite

L’unicité de la limite d’une fonction provient d’une propriété topologique de R :

Soit (x ; y) ∈ R2

tels que x 6= y.Alors il existe des voisinages U de x et V de y tels que U ∩ V = ∅.

Lemme 4 (Lemme de séparation)

Preuve: Soit d = |x − y| > 0.

Alors x ∈ B(

x ; d3

)

, y ∈ B(

y ; d3

)

et B(

x ; d3

)

∩ B(

y ; d3

)

= ∅.

Soit a ∈ I et f une fonction réelle.Sous réserve d’existence, la limite de f(x) lorsque x tend vers a est unique.

Théorème 5 (Unicité de la limite, cas réel)

Preuve: Par l'absurde en onsidérant ℓ < ℓ′et deux voisinages de l'une et l'autre

bien hoisis.

F.PUCCI 26


Notation : En cas d’existence de la limite en a, le théorème (5) permet dejustifier la notation, maintenant non ambigüe, lim

x→af(x) = b de LA limite de f(x)

lorsque x tend vers a.

III.4 Limites à droite et à gauche

Soit J un intervalle (ou une réunion d’intervalles, ou plus généralement un sous-ensemble quelconque) tel que a ∈ I ∩ J . Si la mite (finie ou infinie) en a de larestriction f|I∩J existe, on utilise la notation suivante :

limx→a

f|I∩J(x) = limx→ax∈J

f(x).

Dans cette notation, il est sous-entendu que x doit, bien sûr, être élément du domainede définition de f .

— La limite à gauche correspond au cas où J =] − ∞ ; a [. On utilise alors lanotation suivante :

limx→a−

f(x) = limx→a

x∈]−∞;a [

= limx→ax<a

f(x) = f(a − 0).

— La limite à droite correspond au cas où J =]a ; +∞ [. On utilise alors lanotation suivante :

limx→a+

f(x) = limx→a

x∈]a;+∞ [

= limx→ax>a

f(x) = f(a + 0).

Définition 17 (Limites à droite et à gauche)

Remarque : Le point a est exclus de J !

Exercice 15 : Que dire des limites suivantes en a ?

1. f : x 7−→ x

|x| en 0. 2. f : x 7−→ 1x

en 0.

3. f : x 7−→ ⌊x⌋ en n ∈ Z.

De même que plus haut, on peut dire que la limite limx→ax∈J

f(x) est envisageable ou non

suivant que x est dans I ∩ J .

On dira que la limite de f en a sur J est envisageable. Par abus, on dira égalementque f(a) est envisageable si f est définie en a. Cela correspond au cas particulier oùJ = {a}.

Soit a ∈ I. La fonction f admet une limite ℓ en a si, et seulement si parmi lesquantités f(a−0), f(a) et f(a+0), celles qui sont envisageables existent et sontégales à ℓ.

Théorème 6 (Caractérisation de la limite par limites à gauche et à droite)

F.PUCCI 27


D’une manière générale, limx→a

f(x) existe si, et seulement si

limx→ax<a

f(x) = limx→ax>a

f(x).

Exemple 13 :

— La fonction x 7−→ 1x2

a pour limite +∞ en 0 ⌊10⌋.

— La fonction x 7−→ 1x

n’a pas de limite en 0 mais limx→0x<0

1x

= −∞ et limx→0x>0

1x

= +∞.

1x

1x2

O

Limite à droite

Limite à gauche

Limite à gauche

Figure 6.13 – Limites à droite et à gauche d’une fonction

III.5 Propriétés algébriques des limites

Pour la suite du chapitre, on supposera connues les propriétés suivantes des limites.Ces propriétés seront démontrées ultérieurement :

— Les limites de sommes, produits, quotients, composées, et les formes indéter-

minées 0 × ∞,00

,∞∞ , ∞ − ∞, 1∞, 00 et ∞0.

— La conservation des inégalités LARGES par passage à la limite.

— Le théorème d’encadrement, ou théorème des gendarmes, aussi appelé pluscomplètement théorème d’existence de la limite par encadrement, ce qui ditbien quel est le point essentiel de ce théorème.

⌊10⌋. Car la même limite à droite et à gauche.

F.PUCCI 28


Soient ℓ, ℓ′ ∈ R.

1. Pour les sommes de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞Si g a pour limite ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞alors f + g a pour limite ℓ+ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ Forme

Indéter.

2. Pour les produits de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ 6= 0 0 ∞Si g a pour limite ℓ′ ∞ ∞ ∞alors f × g a pour limite ℓ × ℓ′ ∞ ⌊11⌋ Forme

Indéter.∞ ⌊11⌋

3. Pour les quotients de limites :

Si f a pour limite ℓ ℓ > 0 ℓ > 0 0 ℓ ∞ ∞Si g a pour limite ℓ′ 6= 0 0+ 0− 0 ∞ ℓ′ ∞

alorsf

ga pour limite

ℓ

ℓ′ +∞ −∞ FormeIndéter.

0 ∞ ⌊11⌋ FormeIndéter.

Proposition 13 (Opérations sur les limites)

Remarque : On se rappellera que pour lever l’indétermination, on peut éventuel-lement transformer l’expression algébrique donnée : développement, factorisation,quantité conjuguée. . .

Exercice 16 : Calculer les limites suivantes :

1. limx→+∞

x2 − 1x

1 − x4. 2. lim

x→+∞

1x

2 −√

4 − 1x

.

Soient a, b, c ∈ R et f , g deux fonctions pour lesquelles on suppose limx→a

f(x) = b

et limx→b

g(x) = c.

Alors, sous réserve d’existence, la fonction composée g ◦ f vérifie :

limx→a

(

g ◦ f)

(x) = c.

Proposition 14 (Limite d’une fonction Composée)

⌊11⌋. Appliquer la règle des signes d’un produit.

F.PUCCI 29


Cette dernière propriété nous permet alors de justifier la recherche d’une limite parchangement de variable c.-à-d. on ne s’intéresse plus à la limite de (gof)(x) quandx → a , mais de g(X) quand X → b.

Exemple 14 : On cherche la limite de la fonction x 7−→ f(x) =ln2(x) + 2 ln(x)

ln2(x) + 1.

limx→0

ln2(x) + 2 ln(x)ln2(x) + 1

=↑

X = ln xlimx→0

X = −∞

limX→−∞

X2 + 2X

X2 + 1= 1.

Exercice 17 : Calculer les limites suivantes :

1. limx→1−

1 + x

1 − x

√

1 + x

1 − x. 2. lim

x→0arctan

(ex − 1

x

)

.

Soient a, b ∈ R.

— Si limx→a

f(x) = ±∞, alors Cf admet une asymptote verticale d’équationx = a .

— Si limx→±∞

f(x) = b, alors Cf admet une asymptote horizontale d’équation

y = b .

Proposition 15 (Étude des branches infinies)

III.6 Relations de comparaison

Soient deux fonctions f , g : I 7−→ R et un point a ∈ I.

Nous supposerons ici que f et g sont deux fonctions qui ne s’annulent pas sur unvoisinage de a privé de a : V(a) \ {a}.

Il s’agit ici de comparer les deux fonctions au voisinage de a.

Pour cela, formons leur rapportf(x)g(x)

et regardons ce qu’il se passe lorsque x → a.

Trois cas intéressants se présentent alors :

1.f(x)g(x)

est borné au voisinage de a.

On dira que f est dominée par g et on écrira :

f =x→a

O(g).

2.f(x)g(x)

tend vers 0 lorsque x tend vers a.

On dira que f est négligeable devant g et on écrira :

f =x→a

o(g).

F.PUCCI 30


3.f(x)g(x)

tend vers 1 lorsque x tend vers a.

On dira que f et g sont équivalentes et on écrira :

f ∼x→a

g.

La relation : « Est un grand O de. . . »

Soit a ∈ I et f et g deux fonctions définies sur l’intervalle I ⊂ R ne s’annulant passur un voisinage de a privé de a.

On dira que la fonction f est un grand O de la fonction g au voisinage du point

a si, et seulement sif(x)g(x)

est borné au voisinage de a privé de a.

On note alors f(x) =x→a

O(

g(x))

.

Définition 18 (« Est un grand O de . . . »)

Par abus de langage, on notera O(g) toute fonction étant un grand O de g auvoisinage de a.

Remarques :— Lorsque f = O(g), on dit aussi que « f est dominée par g ». Mais cette

terminologie prête a confusion. . .

— La notation f = O(g) ne veut rien dire si l’on ne précise pas au voisinage dequel point on se trouve.

— Écrire f = O(1) au voisinage de a signifie que f est bornée au voisinage de a.

— S’il existe un réel positif M tel que |f(x)| 6 M |g(x)| dans un voisinage de aalors f = O(g).

Exemple 15 : f(x) = 3x5 − x4 + 2x alors :

{

f = O(x) au voisinage de 0.

f = O(x5) au voisinage de + ∞.

La relation : « Est négligeable devant . . . »

Soit a ∈ I et f et g deux fonctions définies sur l’intervalle I ⊂ R ne s’annulant passur un voisinage de a privé de a.

On dira que la fonction f est négligeable devant la fonction g au voisinage du

point a si, et seulement si limx→ax 6=a

f(x)g(x)

= 0.

On note alors f(x) =x→a

o(

g(x))

ou parfois f(x) ≺≺ g(x).

Définition 19 (« Est négligeable devant . . . »)

F.PUCCI 31

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle IV. CONTINUITÉ

Par abus de langage, on notera o(g) toute fonction étant un petit o de g au voisinagede a.

Remarques :— La notation f = o(g) ne veut rien dire si l’on ne précise pas au voisinage de

quel point on se trouve.— Écrire f = o(1) au voisinage de a signifie que lim

x→af(x) = 0.

Exemple 16 : f(x) = 3x5 − x4 + 2x alors :

{

f = o(1) au voisinage de 0.

f = o(x6) au voisinage de + ∞.

Si au voisinage d’un point a on a f(x) = o(

g(x))

alors f(x) = O(

g(x))

.

Proposition 16 (Lien entre les relations de comparaison)

IV Continuité

définition.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

— On dit que f est continue en un point a ∈ I si limx→a

f(x) = f(a) .

— On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en toutpoint de I.

Définition 20 (Fonction continue)

En accord avec le paragraphe (III.2), il est TRÈS important de remarque que lacontinuité d’une fonction sur un intervalle est une propriété locale.

Interprétation graphique : Une fonction f est continue sur un intervalle I sielle est définie sur cet intervalle et si sa courbe représentative se trace d’un »traitcontinu », sans lever le crayon.

Remarque : Avec les notations du paragraphe (III.6), on dit alors que

f(x) − f(a) = o(1) au voisinage de a.

Exemple 17 (La fonction partie entière) : Une propriété de R ⌊12⌋est que :

∀ x ∈ R, ∃n ∈ Z tel que n 6 x < n + 1.

La fonction partie entière ⌊ ⌋ : R 7−→ Z est alors définie par :

⌊x⌋ = n.

F.PUCCI 32


1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

1 2 3 4−1

1

2

3

x

f(x)

(Cf )

Figure 6.14 – Exemples de fonctions continues et discontinues en

un point.

limx→n−

n∈Z

= n − 1 et limx→n+

n∈Z

= n.

1 2 3 4−1−2−1

−2

1

2

3

4

x

⌊x⌋

Figure 6.15 – La fonction partie entière :

ATTENTION

Certaines fonctions n’ont même pas de limites en un point. Considérons lafonction f définie sur R∗ par

f(x) = sin(1

x

)

.

En 0, limx→0

1x

= ±∞. Comme la limite de sin(x) en l’infini n’existe pas, celle

de f(x) en 0 n’existe pas non plus.

⌊12⌋. On dit que R est archimédien !

F.PUCCI 33


1 2−1−2

−1

1

x

f(x)

Figure 6.16 – La fonction x 7−→ sin(

1x

)

n’a pas de limite en 0.

IV.1 Stabilité algébrique

Soient f et g deux fonctions définies et continues sur un intervalle I.

— Les fonctions (f + g) et f × g sont encore continues sur I.

— Supposons que g ne s’annule pas sur I. La fonctionf

gest encore continue

sur I.

Proposition 17 (Structure de l’ensemble des fonctions continues)

Soient f une fonction continue sur un intervalle I et g une fonction continue surun intervalle J telle que f(I) ⊂ J .Alors g ◦ f est encore continue sur I.

Proposition 18 (Composée de fonctions continues)

IV.2 Bijectivité, réciproque d’une bijection

Soit f une fonction définie sur I ⊂ R à valeurs dans J .On dit que f est bijective si, et seulement si tout élément de J admet un uniqueantécédent par f .On appelle alors bijection réciproque la fonction, notée f−1, qui à tout y ∈ Jassocie l’unique antécédent de y par f , de sorte que :

{

y = f(x)x ∈ I

⇐⇒{

f−1(y) = xy ∈ J

Définition 21 (Bijection)

F.PUCCI 34


Soit f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I deR. Alors :

(i) f réalise une bijection de I dans l’intervalle J = f(I) .

(ii) Son application réciproque f−1 est elle-même continue sur J et strictementmonotone et de même sens de variation que f .

Théorème 7 (de la bijection)

Feu le théorème des valeurs intermédiaires appliqué aux fonctions strictement mo-notones !

On appelle homéomorphisme toute bijection continue entre deux espaces topo-logiques dont la bijection réciproque est continue.

Définition 22 (Homéomorphisme)

Le théorème (21) affirme donc que les fonctions continues strictement monotonessont des homéomorphismes de I sur f(I).

Les courbes représentatives Cf et Cf−1 sont symétriques par rapport à la pre-mière bissectrice d’équation y = x.

Proposition 19

Preuve: Notons G le graphe de f et G′ elui de f−1

.

Soit M (x ; y) ∈ G. Alors y = f(x).

Le symétrique de M par rapport à la première bisse tri e est :

(y ; x) = (f(x) ; x) =(

f(x) ; f−1(

(f(x)))

∈ G′.

Ré iproquement, si M (x ; y) ∈ G′, y = f−1(x).

M est le symétrique par rapport à la première bisse tri e du point

(y ; x) =(

f−1(x) ; x)

=(

f−1(x) ; f(

f−1(x)))

= (x ; f(x)) ,

don d'un point de G.

Exemple 18 (Fondamental) : La fonction carrée f : x 7−→ x2 n’est pas bijec-tive sur R car, par exemple, f(1) = f(−1) = 1.

Considérons la restriction de f sur R+.

F.PUCCI 35


f est continue et strictement croissante sur R+ à valeurs dans R+. Le théorème dela bijection permet de conclure que f réalise une bijection de R+ sur R+.

Elle admet donc une bijection réciproque f−1 : R+ 7−→ R+ qui est la fonctionracine carrée : {

y = x2

x ∈ R+⇐⇒

{

x =√

yy ∈ R+

Grâce au théorème de la bijection, on en déduit que la fonction racine carrée estdéfinie et continue sur R+, et qu’elle est strictement croissante sur cet intervalle.

1 2 3 4

1

2

3

Figure 6.17 – x 7−→ √x et sa réciproque x 7−→ x2 sur R+.

Exercice 18 : Tracer la courbe de arctan = (tan)−1 à partir du graphe de tan

sur]

−π

2;π

2

[

.

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Pour montrer que f est bijective, onutilise l’une des deux méthodes suivantes :

On montre que f est continue et strictement monotone sur I.Alors, d’après le théorème de la bijection, f réalise une bijection de l’intervalleI sur l’intervalle J = f(I).

Méthode 2 (Montrer qu’une fonction est bijective)

Cette méthode est simple à appliquer car il suffit de justifier que f est continue surI et d’étudier ses variations pour montrer qu’elle est bijective.

Par contre, cette méthode ne donne pas l’expression de la bijection réciproque f−1

de f .

Exercice 19 : Montrer que l’équation x3 + x + 1 = 0 admet une unique solutionsur [−1 ; 0 ].

F.PUCCI 36

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle V. DÉRIVABILITÉ

On montre que l’équation y = f(x) (d’inconnue x) possède une unique solutionqui est, par définition, x = f−1(y).

Méthode 3 (Montrer qu’une fonction est bijective)

Cette méthode, en général plus compliquée que la précédente, permet néanmoinsd’obtenir l’expression de la bijection réciproque f−1 de f .

Exercice 20 : Montrer que la fonction g :] − 1 ; +∞ [ 7−→] − ∞ ; 1 [ définie par

g(x) =x − 1x + 1

est une bijection et déterminer sa bijection réciproque.

V Dérivabilité

Une fonction peut être plus ou moins « régulière ». La régularité d’une fonction semesure à l’aide des propriétés de continuité et de dérivabilité.

Plus on peut dériver une fonction, plus celle-ci sera régulière. Intuitivement, plusune fonction est régulière, plus son graphe est lisse.

Dans ce paragraphe et sauf mention contraire, les fonctions étudiées seront systéma-tiquement des fonctions définies sur un intervalle ouvert de R et à valeurs réelles.

V.1 Taux d’accroissement

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a ∈ I.On dit que f est dérivable en a si le taux d’accroissement de f entre x et a :

f(x) − f(a)x − a

, x 6= a,

admet une limite finie quand x tend vers a.Dans ce cas, la limite est appelée nombre dérivé de f en a et est noté f ′(a) :

f ′(a) = limx→a

f(x) − f(a)x − a

, x 6= a.

Définition 23

Remarque : Avec les notations du paragraphe (III.6), on dit alors que

f(x) − f(a) = o(x − a) au voisinage de a.

Interprétation graphique :

Soit A (a ; f(a)) un point de la courbe représentative, donnons nous un autre pointM (x ; f(x)) avec x ∈ Df , un point variable « pas trop éloigné » de A.

On considère alors les droites (AM), sécantes en A et M à Cf .

F.PUCCI 37


Le taux d’accroissement désigne le coefficient directeur de la corde (AM).

Pour x fixé, un vecteur directeur de (AM) est−−→AM =

f(x) − f(a)

x − a

.

Le coefficient directeur de (AM) est donc :

f(x) − f(a)x − a

.

Par définition, le nombre dérivé en a, s’il existe, est donc le coefficient directeurde la tangente à la courbe en au point d’abscisse a et, par extension, une fonctionf est dérivable en a si, et seulement si sa courbe représentative admet une tangenteau point d’abscisse a. ⌊13⌋

Son équation est alors ⌊14⌋ :

(Ta) : y = f ′(a)(x − a) + f(a).

Si, pour tout x de I, f est dérivable en x, on dit que f est dérivable sur I et lafonction f ′ : x 7−→ f ′(x) est appelée la fonction dérivée de f sur I.

Remarque : Lorsque le taux d’accroissement tend vers ±∞, la courbe admet unedemi-tangente verticale en A.

⌊13⌋. si on peut la tracer !⌊14⌋. et à retenir.

bcAA

bc

bc

bcMM

bc

bc

bc

a

f(a)

x

f(x)

(Ta)

Cf

Figure 6.18 – Tangente à une courbe comme limite de ses sécantes.

F.PUCCI 38


Exemple 19 : La courbe de la racine carrée admet une demi-tangente verticaleen 0.

D’une manière générale, ce sera le cas pour toutes les réciproques de fonctions dontla dérivée s’annule en ce point (cf. proposition (24) ).

Remarques : La dérivation est une notion :

— locale et non ponctuelle. f doit être définie dans un voisinage de a.

— locale et non globale. Elle ne dépend que de la restriction de f à un voisinagede a quel qu’il soit et non de sa description globale.

Un peu de cinématique : On considère un objet en mouvement sur un axe. Onnote t la durée en secondes de son parcours, et x(t) la distance en mètres, parcourueaprès t secondes.

On note t0 et t1 = t0 + h deux instants : le quotientx(t1) − x(t0)

hest la vitesse

moyenne de l’objet entre les instants t0 et t1 = t0 + h.

Dans les conditions précédentes, la limite quand h se rapproche de 0 de la vitessemoyenne ⌊15⌋est appelée vitesse instantanée de l’objet à l’instant t0.

V (t0) = limt1→t0

x(t1) − x(t0)t1 − t0

= limh→0

x(t0 + h) − x(t0)h

(6.1)

Définition 24

Deux manières de voir ce résultat :

— La vitesse instantanée est la limite de la vitesse moyenne lorsque l’écart entreles deux points de mesure tend vers 0.

— La vitesse instantanée est la dérivée première de la position. ⌊16⌋

Exemple 20 : On lâche un objet en chute libre. On note x(t) la distance par-courue (en m) après t secondes. On admet que la distance parcourue s’exprime enfonction du temps de parcours par

x(t) = 4, 9t2.

Calculer la vitesse instantanée de l’objet après une chute de t secondes.

Première méthode : On exprime la vitesse moyenne de l’objet entre les ins-tants t et t + h :

v =x(t + h) − x(t)

h=

4, 9(t + h)2 − 4, 9t2

h

⌊15⌋. c’est à dire le nombre dérivé de x en t0

⌊16⌋. C’est quoi la dérivée seconde ?

F.PUCCI 39


En développant, réduisant et simplifiant, on obtient :

v =4, 9(t2 + 2th + h2) − 4, 9t2

h=

9, 8th + 4, 9h2

h= 9, 8t + 4, 9h

Lorsque h tend vers 0, ce quotient se rapproche de 9, 8t :limh→0

(9, 8t + 4, 9t) = 9, 8t.

Donc la vitesse instantanée de l’objet en chute libre est donnée par l’expres-sion

v(t) = x′(t) = 9, 8t.

Deuxième méthode : On calcule la dérivée de la position :

v(t) = x′(t) =dx(t)

dt= 4, 9 × 2t = 9, 8t.

Après 5 secondes de chute libre, la vitesse est de 9, 8 × 5 = 49 m/s. (soit179,4 km/h).

Remarque : Les physiciens expriment volontiers une variation à l’aide du symbole∆. Ils notent ainsi ∆t = t1 − t0 et ∆x = x1 − x0.

Pour une variation très petite, reprenant une notation introduite par Isaac Newton,on note alors dt et dx. On obtient ainsi la notation différentielle de la dérivée :

x′(t) =dx(t)

dt.

L’avantage de cette notation est de rendre bien visible la variable par rapport àlaquelle on dérive. Ici, la position x(t) est dérivée par rapport au temps.

En mathématiques, et temps que l’on ne considérera que des fonctions d’une seule

variable, on note plus simplementdf(x)

dx= f ′(x).

Une fonction f : I 7−→ R est dérivable sur I si f est dérivable en tout pointde I.

On appelle fonction dérivée de f sur I, que l’on note f ′(

oudf

dx

)

, la fonction

qui à tout x de I associe le nombre dérivé de f en x :

f ′ : I R

x f ′(x).

Définition 25 (Fonction dérivée)

F.PUCCI 40


ATTENTION

Pour peu que f soit dérivable sur I, on peut prolonger la définition (23)à un intervalle J ⊂ I fermé mais alors, il n’est pas équivalent de dire que fest dérivable sur J et que la restriction de f est dérivable sur J .Ainsi, par exemple, si J = [0 ; 2 ] et J = [0 ; 1 ], la dérivabilité de f sur Jstipule la dérivabilité de f en 1 (donc la dérivabilité à la fois à gauche et àdroite), alors que la dérivabilité de la restriction de f à [0 ; 1 ] n’impose quela dérivabilité à gauche en 1.Remarquez que les problèmes ont toujours lieu en des bornes fermées de J ,qui ne sont pas des bornes de I. Ainsi, on pourrait contourner le problèmeen se restreignant à la dérivabilité sur des intervalles du type I ∩ U , où Uest un intervalle ouvert de R.

Exercice 21 (Dérivée usuelle) : Retrouver les fonctions dérivées des fonctionsusuelles suivantes et préciser leur domaine de dérivabilité :

1. Les fonctions constantes.2. x 7−→ xn, n ∈ Z.3. x 7−→ √

x

4. x 7−→ exp(x).

5. x 7−→ cos(x) et x 7−→ sin(x)

Un peu d’histoire:— La notion de dérivée tire son origine dans l’étude des tangentes, et en parti-

culier de la pente des tangentes. Pierre de Fermat ⌊17⌋ le premier (en 1636)

constate que très souvent, la pente s’obtient en écrivantf(x + e) − f(a)

e, en

« prenant » e = 0 (il ne dispose pas encore de la notion de limite). Il appelle eun « infiniment petit ».

— Newton, en 1669, introduit la notation (x, y, z), pour les dérivées des coor-données d’un point, qu’il appelle « fluxions » des « fluentes » (x, y, z), qu’ildéfinit comme les vitesses dont les fluentes sont augmentées graduellement etindéfiniment.Sa notation est encore utilisée actuellement en physique.

— En 1674, Leibniz introduit la notation dx ; pour désigner une variation infi-nitésimale sur l’abscisse, et dy pour désigner une variation infinitésimale sur

l’ordonnée. Si y dépend de x,dx

dydésigne donc la variation infinitésimale de

la fonction y rapportée à la variation infinitésimale de x qui l’a provoquée : ils’agit bel et bien de la définition de Fermat, et rien de plus : pas de nouvellethéorie, juste une nouvelle notation, encore largement utilisée aujourd’hui, no-tamment sous la forme non quotientée (pensez aux intégrales !)

⌊17⌋. Pierre de Fermat, né dans la première décennie du XVIIième siècle, à Beaumont-de-Lomagne (département actuel de Tarn-et-Garonne), près de Montauban, et mort le 12 janvier 1665à Castres (département actuel du Tarn), est un magistrat, polymathe et surtout mathématicienfrançais, surnommé « le prince des amateurs ».

Il est aussi poète, habile latiniste et helléniste, et s’est intéressé aux sciences et en particulierà la physique. On lui doit notamment le principe de Fermat en optique.

Il est particulièrement connu pour avoir énoncé le dernier théorème de Fermat, dont la démons-tration n’a été établie que plus de 300 ans plus tard par le mathématicien britannique Andrew Wilesen 19944.

F.PUCCI 41


— À la fin du 18ième siècle, Joseph-Louis Lagrange ⌊18⌋ introduit la terminologie« dérivée » et la notation f ′.

— La formalisation rigoureuse est due à Karl Weierstrass ⌊19⌋ dans la deuxièmemoitié du 19ième siècle, s’appuyant sur une définition rigoureuse de la notionde limite et de continuité (dont il donne également pour la première fois unedéfinition rigoureuse et précise)

⌊18⌋. Joseph Louis, comte de Lagrange (en italien Giuseppe Lodovico ou aussi GiuseppeLuigi De la Grange Tournier1), né à Turin en 1736 et mort à Paris en 1813, est un mathématicien,mécanicien et astronome italien naturalisé français. À l’âge de trente ans, il quitte le Piémont et vaséjourner à Berlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s’installe pour ses vingt-six dernières annéesà Paris, où il obtient la nationalité française sur l’instance d’Antoine Lavoisier.

Fondateur du calcul des variations avec Euler et de la théorie des formes quadratiques, ildémontre le théorème de Wilson sur les nombres premiers et la conjecture de Bachet sur la décom-position d’un entier en quatre carrés. On lui doit un cas particulier du théorème auquel on donnerason nom en théorie des groupes, un autre sur les fractions continues, l’équation différentielle deLagrange.

En physique, en précisant le principe de moindre action, avec le calcul des variations, vers1756, il invente la fonction de Lagrange, qui vérifie les équations de Lagrange, puis développela mécanique analytique, vers 1788, pour laquelle il introduit les multiplicateurs de Lagrange. Ilentreprend aussi des recherches importantes sur le problème des trois corps en astronomie, un deses résultats étant la mise en évidence des points de libration (dits points de Lagrange) (1772).

Il élabore le système métrique avec Lavoisier pendant la Révolution. Il est membre fondateurdu Bureau des longitudes (1795) avec, entre autres, Laplace et Cassini. Il participe à l’enseignementde mathématiques de l’École normale de l’an III avec Joseph Lakanal, de l’École polytechnique(dès 1797) avec Monge et Fourcroy. Il a aussi été le fondateur de l’Académie de Turin (1758).

En mécanique des fluides, il introduit le concept de potentiel de vitesse en 1781, bien enavance sur son temps. Il démontre que le potentiel de vitesse existe pour tout écoulement defluide réel, pour lequel la résultante des forces dérive d’un potentiel. Dans le même mémoire de1781, il introduit en plus deux notions fondamentales : le concept de la fonction de courant, pourun fluide incompressible, et le calcul de la célérité d’une petite onde dans un canal peu profond.Rétrospectivement, cet ouvrage marque une étape décisive dans le développement de la mécaniquedes fluides moderne.

Lagrange a aussi œuvré dans le domaine de la théorie des probabilités.⌊19⌋. Karl Theodor Wilhelm Weierstrass, habituellement appelé Karl Weierstrass, orthogra-phié Weierstraß en allemand, né le 31 octobre 1815 à Ostenfelde (Westphalie), mort le 19 février1897 à Berlin, était un mathématicien allemand, lauréat de la médaille Copley en 1895.

Karl Weierstrass est souvent cité comme le « père de l’analyse moderne ». Il consolida destravaux de Cauchy sur les nombres irrationnels et leur amena une nouvelle compréhension. Sestravaux les plus connus portent sur les fonctions elliptiques.

C’est lui qui le premier rendit public un exemple de fonction continue nulle part dérivable.Weierstrass étudia la fiabilité de l’analyse, dont il propose une construction logique rigoureuse.

À cette époque, les démonstrations de l’analyse s’appuyaient sur des définitions ambiguës, d’où lanécessité de nouvelles définitions. Tandis que Bolzano avait développé une définition suffisammentrigoureuse des limites dès 1817 (et peut-être même auparavant), ses travaux restèrent quasi incon-nus de la communauté mathématique pendant des années, et d’autres mathématiciens éminents,comme Cauchy, n’avaient que de vagues définitions de la limite et de la continuité d’une fonction.

En 18611, Weierstrass définit la continuité comme suit :f est continue en x0 si, pour tout réel ε strictement positif, il existe un réel δ strictement positif

tel que, si x est à une distance de x0 strictement inférieure à δ, alors la valeur de la fonction f enx est à une distance strictement inférieure à ε de la valeur de la fonction f en x0.

∀ε > 0, ∃ δ > 0/|x − x0| < δ =⇒ |f(x) − f(x0)| 6 ε.

Weierstrass formula également une définition de la limite et de la dérivée « en (ε, δ) », tellequ’on l’enseigne généralement aujourd’hui.

F.PUCCI 42


V.2 Fonction monotone

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) > 0 (resp. f ′(x) > 0), alors f est croissante(resp. strictement croissante) sur I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) 6 0 (resp. f ′(x) < 0), alors f est décroissante(resp. strictement croissante) sur I.

— Si pour tout x ∈ I, f ′(x) = 0 (resp. f ′(x) > 0), alors f est constante surI.

Proposition 20 (Caractérisation de la monotonie par le signe de la dérivée)

Remarque : Si f ′ est positive (resp. négative) sur I et ne s’annule qu’en un nombrefini de points, alors f est strictement croissante (resp. décroissante) sur I.

ATTENTION L’hypothèse « I est un intervalle » est indispensable ici. Le théorème estfaux si I est un réunion d’intervalles.

Cf

I1 I2

Figure 6.19 – f est constante sur I1 et I2 mais n’est pas constante

sur I = I1 ∪ I2.

Cf

I1 I2

Figure 6.20 – f est croissante sur I1 et I2 donc f ′> 0 mais n’est

pas croissante sur I = I1 ∪ I2.

Avec ces nouvelles définitions, il put donner des démonstrations rigoureuses de plusieurs théo-rèmes qui reposent sur des propriétés des nombres réels jusqu’alors tenues pour intuitives, tels lethéorème des valeurs intermédiaires, le théorème de Bolzano-Weierstrass et le théorème de Borel-

Lebesgue.

F.PUCCI 43


V.3 Extrema

Soit f dérivable sur un intervalle ouvert.Si f admet en x0 un extremum local alors f ′(x0) = 0.

Théorème 8 (Condition nécessaire d’extremum)

La réciproque de ce théorème est fausse. Il suffit de considérer la fonction x 7−→ x3

dont la dérivée s’annule en 0 sans que 0 ne soit un extremum local.

Soient f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I, et x0 ∈ IOn dit que x0 est un point critique de f si f ′(x0) = 0.

Définition 26 (Point critique)

Ainsi, une CN pour que f présente un extremum local en x0 ∈ I est que x0 soit unpoint critique.

ATTENTION C’est évidemment faux si I n’est pas ouvert (cas d’un extremumsur le bord).

V.4 Continuité

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Théorème 9 (Continuité et dérivabilité)

Preuve: Soiet a, x ∈ I ave a 6= x.

f(x) =f(x) − f(a)

x − a× (x − a) + f(a).

Le membre de droite a bien une limite quand x tend vers a, qui est f(a). Ainsi fest bien ontinue en a ∈ I, et don sur I.

Ce théorème explique simplement que la notion de dérivabilité est plus forte quecelle de continuité comme l’était déjà la notion de continuité par rapport à cellede définition. On pourra donc trouver des fonctions continues sans qu’elles soientdérivable mais pas l’inverse.

ATTENTION La réciproque de ce théorème est fausse . Pour s’en rendre compte,on peut s’appuyer sur les représentations graphiques suivantes :

F.PUCCI 44


— Si une fonction est continue sur un intervalle, sa représentation graphique esten un seul morceau .

— Si la fonction est dérivable sur un intervalle, sa représentation graphique admetune tangente en chacun de ses points .

1 2 3 4

1

2

3

x 7−→ √x.

1 2−1−2

1

2

3

x 7−→ |x|.

Figure 6.21 – Exemple de fonctions non dérivables en 0.

Comme explicité précédemment, les premiers exemples à avoir en tête sont la fonc-tion valeur absolue et la racine carrée et globalement, l’image à avoir en tête estcelle de la fonction 6.22.

a

bAA

Figure 6.22 – Point anguleux.

La fonction est bien continue en a, car la courbe est en un seul morceau.

Par contre, la fonction n’est pas dérivable en a, car la représentation admet au pointA deux demi-tangentes.

On dit que la courbe admet un point anguleux en a.

V.5 Dérivées à droite et à gauche

On note I le domaine de définition de f .

F.PUCCI 45


Soit x0 ∈ I.

— On dit que f est dérivable à droite en x0 si l’expressionf(x) − f(x0)

x − x0admet une limite à droite lorsque x tend vers x0.On note alors :

f ′d(x0) = lim

x→x+

0

f(x) − f(x0)x − x0

= limh→0+

f(x0 + h) − f(x0)h

.

— On dit que f est dérivable à gauche en x0 si l’expressionf(x) − f(x0)

x − x0admet une limite à gauche lorsque x tend vers x0.On note alors :

f ′g(x0) = lim

x→x−

0

f(x) − f(x0)x − x0

= limh→0−

f(x0 + h) − f(x0)h

.

Définition 27 (Dérivées à droite et à gauche)

Évidemment, la première condition pour que la dérivée à droite existe est que cettelimite ait un sens, donc que x0 ne soit pas la borne supérieure de I ou inférieurepour la limite à gauche.

Cela nous permet de revenir sur la dérivabilité sur un intervalle fermé :

Soit f définie sur un intervalle fermé [a ; b ].On dit que f est dérivable sur [a ; b ] si f est dérivable sur ]a ; b [, dérivable àdroite en a et dérivable à gauche en b.

Définition 28 (Dérivabilité sur un intervalle fermé)

Adaptation immédiate à des intervalles semi-ouverts.

Remarque : La dérivabilité à droite en x0 équivaut à la dérivabilité en x0 de larestriction de f à I ∩ [x0 ; +∞ [.

Soit x0 ∈ I, non égal à une des bornes de I.Alors f est dérivable en x0 si, et seulement si f est dérivable à gauche et à droiteen x0, et f ′

g(x0) = f ′d(x0).

Dans ce cas, f ′(x0) = f ′d(x0) = f ′

g(x0).

Proposition 21 (Caractérisation de la dérivabilité par f ′d et f ′

g)

Exercice 22 : Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :

F.PUCCI 46


1. x 7−→ | sin(x)|. 2. x 7−→ |x|3. 3. x 7−→ ⌊x⌋.

Exercice 23 : Soit f définie sur R par f(x) =

2 − x2 si x < 1;1x

si x > 1

Montrer que f est continue mais n’est pas dérivable en 1.

Donner une interprétation géométrique.

Exercice 24 : Mêmes questions que l’exercice précédent en 0 avec f définie sur R

par f(x) =

sin x

xsi x 6= 0;

f(0) = 1.

Exercice 25 : Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie surR+ par :

f(x) =√

x si 0 6 x 6 1 et f(x) = ax2 + bx + 1 si x > 1

soit dérivable sur R∗+.

V.6 Opérations et dérivabilité

Soient f , g deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I et λ un réel.

(i) La combinaison linéaire λf + g est encore dérivable sur I et pour toutx ∈ I : (

λf + g)′

(x) = λf ′(x) + g′(x).

(ii) Le produit fg est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

(iii) Supposons que g ne s’annule pas sur I. Le quotient1g

est encore dérivable

sur I et pour tout x ∈ I :(

1g

)′(x) = − g′(x)

g2(x).

(iv) Supposons que g ne s’annule pas sur I. Le quotientf

gest encore dérivable

sur I et pour tout x ∈ I :(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x) − f(x)g′(x)g2(x)

.

Proposition 22 (Opérations sur les fonctions dérivables)

F.PUCCI 47


Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivablesur un intervalle J tel que f(I) ⊂ J .Alors la fonction g ◦ f est encore dérivable sur I et pour tout x ∈ I :

(g ◦ f)′(x) = f ′(x) × g′(

f(x))

.

Proposition 23 (Composée de fonctions dérivables)

Exercice 26 : Étudier la dérivabilité de la fonction f définie par :

f(x) = ln(

x +√

x(1 − x))

.

Donner sa dérivée le cas échéant.

Exercice 27 : Donner la dérivée des fonctions définies par leur expressions sui-vante et préciser le domaine de dérivabilité :

1. f(x) = cos(

x − 12x + 1

)

.

2. g(x) =1

cos x.

3. k(x) = tan 3x.

4. l(x) =sin x + cos x

1 + cos x.

5. e(x) =n∑

k=0

xk

k!.

6. f(x) =x − 1x + 1

√

x − 1x + 1

.

7. a(x) = ln(

x +√

1 − x2)

.

Soit f une fonction bijective de I dans J .Si f est dérivable sur I et si f ′ ne s’annule pas sur I, alors f−1 est dérivable surJ et :

∀y ∈ J,(

f−1)′

(y) =1

f ′(

f−1(y)) .

Proposition 24 (Dérivée de l’application réciproque d’une bijection)

Preuve: Soit x0 dans I et y0 = f(x0). On a :

limy→y0

f−1(y) − f−1(y0)y − y0

=1

limy→y0

y − y0

f−1(y) − f−1(y0)

=1

limx→x0

f(x) − f(x0)x − x0

=1

f ′(x0)=

1

f ′(

(f−1(y0)) .

f−1est don dérivable en x0 quel onque de I don sur I tout entier.

F.PUCCI 48


Exemple 21 : f : R+ R+

x x2est bijective (comme vu plus haut) de réci-

proque = f−1 : R+ R+

x√

x.

f est dérivable (car polynomiale) et pour x ∈ R+, f ′(x) = 2x ne s’annulant quepour x = 0.

Ainsi, par le théorème de dérivabilité de la fonction réciproque théorème (24) ,f−1 est dérivable sur R+ \ {f(0)} = R+∗, et pour y ∈ R+,

(

f−1)′

(y) =1

f ′(

f−1(y)) =

12√

y.

On appelle Difféomorphisme toute bijection dérivable entre deux deux ouvertsde R dont la bijection réciproque est dérivable.

Définition 29 (Difféomorphisme)

La proposition (24) affirme donc que les fonctions dérivables dont la dérivées nes’annule pas sur I sont des difféomorphismes sur I.

Exercice 28 : Définir la fonction arcsin x, fonction réciproque de sin sur un do-maine à préciser et donner l’expression de sa dérivée.

Soit f : I 7−→ R. On définit récursivement :

— f (0) = f

— ∀n ∈ N, si f (n) est dérivable, f (n+1) =(

f (n))′

.

Si, pour tout n ∈ N, la fonction f (n) existe, on dit que f est n fois dérivable surI et on appelle f (n) la dérivée nième de f sur I.

Définition 30 (Dérivée n-ième)

Remarque : Pour pouvoir définir la dérivée n-ième de f en x0, il faut pouvoir dériverf (n−1) en x0, et il faut donc que f (n−1) soit définie sur tout un voisinage de x0 etnon seulement en x0.

Une fonction f est dite de classe Cn sur un intervalle I si elle est n fois dérivablesur I et que f (n) est continue.

Définition 31 (Fonction de classe Cn)

F.PUCCI 49


Ainsi, une fonction est de classe C0 si elle est continue. Elle est de classe C1 si elleest dérivable (donc continue) et de dérivée continue, . . .

Remarquez que la dérivabilité ne suffit pas à obtenir la classe C1.

Exercice 29 : Étudier la classe de f : x 7−→ x2 sin(1

x

)

.

Notation : Soit I un intervalle et n ∈ N.

— On note Dn(I) l’ensemble des fonctions définies sur I et n fois dérivables sur I.

— On note Cn(I) l’ensemble des fonctions n fois dérivables sur I et de dérivéen-ième continue.En particulier, D0(I) est l’ensemble de toutes les fonctions définies sur I, C0(I)est l’ensemble de toutes les fonctions continues sur I.

— Si f est de classe Cn sur I pour tout n ∈ N, donc si f est infiniment dérivable,on dit que f est de classe C∞ et on note C∞(I) leur ensemble.

Exemple 22 : L’exponentielle, les fonctions sinus, cosinus, les polynômes, lesfractions rationnelles, le logarithme sur leur ensemble de définition sont de classeC∞.

Exercice 30 : Soit f : x 7−→ xn et k ∈ N.

Pour tout k 6 n, montrer que pour tout x ∈ R, f (k)(x) =n!

(n − k)!xn−k.

Exercice 31 : Soit f : R∗ 7−→ R la fonction définie par f(x) =1x

.

Montrer que, pour tout n ∈ N : ∀x ∈ R∗, f (n)(x) = (−1)n n!xn+1

.

Exercice 32 : Soit f : R 7−→ R la fonction définie par f(x) = sin x.

Montrer que, pour tout n ∈ N : ∀x ∈ R, f (n)(x) = sin(

x + nπ

2

)

.

Soient f et g deux fonctions de I dans R, et x0 ∈ I. Soit n ∈ N∗

Si f et g sont n fois dérivables en x0 alors fg aussi et :

(

fg)(n)

(x0) =n∑

k=0

n

k

f (k)(x0)g(n−k)(x0).

Théorème 10 (Formule de Leibniz)

Preuve: Ré urren e. . .

F.PUCCI 50

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle VI. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE

Exercice 33 : Donner la dérivée n-ième de x 7−→ xex.

Remarque : Il existe une formule explicite pour la dérivée d’ordre n d’une compo-sition (formule de Faà di Bruno), mais cette formule est fort complexe.

Pour le plaisir, on énonce, sans démonstration :

(

f ◦ g)(n)

=∑

(m1, m2,..., mn)∈Nn

1m1+2m2+...+nmn=n

n!m1!m2! . . . mn!

n∏

k=1

(

f (k)

k!

)

× g(m1+m2+...mn) ◦ f.

VI Comportement asymptotique

Le comportement à l’infini (comportement asymptotique) peut aussi aider à cernerl’allure de la courbe.

On définit pour cela la notion de droite asymptote : il s’agit d’une droite qui approched’aussi près que l’on veut une portion de la courbe lorsque l’on s’éloigne vers l’infinidans l’une des deux directions. Plus précisément :

On dit qu’une fonction f admet :

1. une asymptote verticale au voisinage de a d’équation x = a lorsquelimx→a

f(x) = ±∞.

2. une asymptote horizontale au voisinage de +∞ d’équation y = b lorsquelim

x→±∞f(x) = b.

3. plus généralement, une droite (D) d’équation y = ax + b, dite asymptoteoblique, au voisinage de ±∞ lorsque lim

x→±∞f(x) − (ax + b) = 0

Définition 32 (Asymptote)

Tant qu’on ne dispose pas de méthode plus sophistiquée, le principe est le suivant(pour une asymptote en +∞) :

1. Étudier la limite def(x)

xlorsque x tend vers +∞ :

— Si cette limite n’existe pas, ou si elle est infinie, la courbe de f n’apas d’asymptote en +∞.

— Si cette limite est finie, de valeur a, on dit que la droite y = ax estdirection asymptotique de la courbe en +∞.

2. On étudie la limite de f(x) − ax :

— Si elle n’existe pas, ou si elle est infinie, la courbe de f n’a pasd’asymptote en +∞.

— Si cette limite est finie, de valeur b, alors la droite d’équationy = ax + b est asymptote à la courbe de f en +∞.

Méthode 4 (Déterminer une droite asymptote (non verticale))

F.PUCCI 51

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle VII. CONVEXITÉ

Nous verrons plus tard comment on peut obtenir a sans former le quotient, à l’aided’équivalents, ou même comment obtenir simultanément a et b à l’aide d’un « déve-loppement limité ».

Exercice 34 :

1. Déterminer les asymptotes de la courbe de f : x 7−→ x3 − 2x2 + 1x2 + 1

.

2. Montrer que x 7−→ x + sin x admet une direction asymptotique en −∞ et+∞ mais pas d’asymptote.

VII Convexité

Enfin, l’allure de la courbe va dépendre fortement de « l’orientation de la courbure »,c.-à-d. de savoir si le « creux » de la courbe est orienté vers le haut ou vers le bas.

C’est ce qu’on appelle la convexité de la courbe. Intuitivement, si le creux de lacourbe est orienté vers le haut, la pente de la tangente est de plus en plus forte,donc f est croissante. Cela amène la définition suivante :

Soit I = [a, b] un intervalle de R. On note I l’intervalle I privé de ses bornes. Onconsidère dans cette leçon une fonction f : I −→ R.

La fonction f est dite convexe si ∀ (x, y) ∈ I2, ∀ λ ∈ [0, 1],

f(

λx + (1 − λ)y)

6 λ f(x) + (1 − λ) f(y).

Elle est dite concave si −f est convexe.

Définition 33 (Fonction convexe)

|

xx|

yy

X

Y

f(x)

f(y)

λ f(x) + (1 − λ) f(y)

f(

λ x + (1 − λ) y)

λ x + (1 − λ) y

Cf

Figure 6.23 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessous de

ses cordes.

Exemples 23 :

— Les fonctions x 7−→ x2, x 7−→ |x| sont convexes.

F.PUCCI 52


— Toute combinaison linéaire à coefficients positifs de fonctions convexes estconvexe.

— La limite simple d’une suite de fonctnios convexes est une fonction convexe.

— Le produit (x 7−→ x2 et x 7−→ x) et la composée (x 7−→ −x et x 7−→ x2) defonctions convexes ne sont pas nécessairement convexes.

— f est une fonction affine si et seulement si f et −f sont convexes.

Remarque : Si f : R −→ R, alors pour tout réel x, f |]−∞,x[ et f |[x,+∞[ convexes 6⇒ fconvexe sur R.

|

xx

f est convexe si et seulement si A = {(x, y) ∈ R2 | f(x) 6 y} est une partieconvexe de R2.

Théorème 11 (Épigrage)

Cf

A

Figure 6.24 – A est appelé épigraphe de f .

Preuve:"=⇒" : Soient M(x1, y1), N(x2, y2) ∈ A et T (x, y) ∈ [MN ]. Il existe λ ∈ [0, 1] tel

que x = λ x1 + (1 − λ) x2 et y = λ y1 + (1 − λ) y2. Alors :

f(x) = f(

λ x1 + (1 − λ) x2

)

6f onvexe

λ f(x1) + (1 − λ) f(x2)

6M,N∈A

λ y1 + (1 − λ) y2 = f(y).

"⇐=" : Soient M(x1, y2), N(x2, y2) ∈ A. Comme A est onvexe, [MN ] ⊂ A .-à-d. ∀λ ∈ [0, 1], on a :

f(

λx1 + (1 − λ)x2

)

6 λy1 + (1 − λ)y2 = λf(x1) + (1 − λ)f(x2).

Don f est onvexe.

F.PUCCI 53


Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f est convexe ;

(ii) Pour tout (x, y, z) ∈ I3 tel que x < y < z,

f(y) − f(x)y − x

6f(z) − f(x)

z − x6

f(z) − f(y)z − y

;

(iii) Pour tout x0 ∈ I, la fonction suivante est croissante :

ϕx0: I\{x0} −→ R

x 7−→ f(x) − f(x0)x − x0

.

Théorème 12 (Une fonction convexe est au-dessous de ses cordes)

Si l’on note X(

x, f(x))

, Y(

y, f(y))

et Z(

z, f(z))

,alors (ii) traduit le fait que la pente de la droite(XY ) est inférieure à celle de (XZ), elle-même infé-rieure à celle de (Y Z), comme le montre clairementl’illustration ci-contre :

X

Y

Z

Cf

Figure 6.25 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessous de

ses cordes.

Preuve:(i) ⇒ (ii) : x < y < z et f est onvexe, don il existe λ ∈ ]0, 1[ tel que :

{

y = λ x + (1 − λ) zf(y) 6 λ f(x) + (1 − λ) f(z)

et

x =1λ

(

y − (1 − λ) z)

f(x) >1λ

(

f(y) − (1 − λ) f(z))

.

Comme 1 − λ 6= 0, on a :

f(y) − f(x)y − x

6λ f(x) + (1 − λ) f(z) − f(x)

λ x + (1 − λ) z − x=

f(z) − f(x)z − x

.

f(z) − f(x)z − x

6f(z) − 1

λ

(

f(y) − (1 − λ) f(z))

z − 1λ

(

y − (1 − λ) z) =

f(z) − f(y)z − y

.

Don

f(y) − f(x)y − x

6f(z) − f(x)

z − x6

f(z) − f(y)z − y

.

F.PUCCI 54


(ii) ⇒ (iii) : Soit (x, y, x0) ∈ I3. En séparant les as x0 < x < y, x < x0 < y et

x < y < x0, par hypothèse, on a immédiatement :

ϕx0(x) =

f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0= ϕx0

(y).

ϕx0est roissante sur I\{x0}.

(iii) ⇒ (i) : Soient (x, y) ∈ I2tel que x < y, λ ∈ ]0, 1[ et x0 = λ x+(1−λ) y ∈]xy[⊂ I.

D'après (iii), et en notant que x − x0 < 0, y − x0 > 0 et y − x > 0, on a :

ϕx0(x) 6 ϕx0

(y) ⇔ f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0

⇒ (y − x0)(

f(x) − f(x0))

> (x − x0)(

f(y) − f(x0))

⇔ λ(y − x)(

f(x) − f(x0))

> (λ − 1)(y − x)(

f(y) − f(x0))

⇔ λ f(x) + (1 − λ) f(y) > (λ − 1 − λ)(

− f(x0))

⇔ λ f(x) + (1 − λ) f(y) > f(x0) = f(λ x + (1 − λ) y)

.

Soit f : I 7−→ R une fonction convexe.

(i) Tous les extrema locaux de f de I sont des extrema globaux.

(ii) Si f possède deux minima locaux α et β de I, alors ces deux valeurs sontégales et f est constante sur [α, β].

Proposition 25 (Extrema d’une fonction convexe)

Preuve:(i) Soit α ∈ I un minimum lo al de f et soit Vα un voisinage de α tel que

f(α) 6 f(x), ∀x ∈ Vα.

Soient x0 ∈ Vα \ {α} et x ∈ I tels que α < x0 < x. D'après 12, on a :

f(x0) − f(α)x0 − α

6f(x) − f(α)

x − αf(x0) − f(α)(x − α) 6 (f(x) − f(α))(x0 − α)

f(α)(x0 − x) 6 f(x)(x0 − α) − f(x0)(x − α)

f(α)(x0 − x) 6f(α)6f(x0)

f(x)(x0 − α) − f(α)(x − α)

f(α)(x0 − α) 6 f(x)(x0 − α).

Comme x0 − α > 0, on obtient f(α) 6 f(x) : α est un minimum global de f .

(ii) Clair.

F.PUCCI 55


Soit f : R 7−→ R une fonction convexe et majorée sur R. Alors f est constante.

Corollaire 1

Preuve: Supposons f non onstante .-à-d. ∃x, y ∈ R tels que x < y et

f(x) 6= f(y).

� Si f(x) < f(y), omme f est onvexe, ∀z > y,f(z) − f(y)

z − y>

f(y) − f(x)y − x

︸︷︷︸

λ

ou

en ore f(z) > λ(z−y)+f(y). Comme f(y) > f(x), λ > 0 et limz→+∞

f(z) = +∞ e qui ontredit les hypothèses.

� Si f(x) > f(y), on montrerait de même que limz→−∞

f(z) = +∞.

f est don onstante.

VII.1 Convexité et dérivabilité

Si f : I −→ R est convexe, alors :

(i) f admet une dérivée à gauche f ′g et une dérivée à droite f ′

d en tout pointde I.

(ii) f est continue sur I.

(iii) f ′g et f ′

d sont croissantes sur I.

Théorème 13 (Dérivée d’une fonction convexe)

Preuve:(i) Soit x0 ∈ I. Pour tous x ∈ ]a, x0[ et y ∈ ]x0, b[, le théorème (12) nous

assure que ϕx0est roissante et majorée sur ]a, x0[ par ϕx0

(y).Don la limite à gau he en x0 de ϕx0

existe et

limx→x0

−

ϕx0(x) = lim

x→x0−

f(x) − f(x0)x − x0

= f ′g(x0).

On pro ède de la même manière pour la dérivée à droite.

(ii) L'existen e des dérivées à droites et à gau he entraîne la ontinuité de f sur

I.

(iii) Soit x0 ∈ I. Pour tous x ∈ ]a, x0[ et y ∈ ]x0, b[, on a :

f(x) − f(x0)x − x0

6f(y) − f(x0)

y − x0

f ′g(x0) 6 f ′

d(x0) (1)

En passant à la limite x → x0−et y → x0

+.

F.PUCCI 56


• Soit alors x1 ∈ I tel que x0 < x1. D'après le point (ii) du théorème (12) , pourtout x ∈]x0, x1[, on a :

f(x) − f(x0)x − x0

6f(x1) − f(x0)

x1 − x06

f(x) − f(x1)x − x1

⇒ limx→x0

+

f(x) − f(x0)x − x0

6f(x1) − f(x0)

x1 − x06 lim

x→x1−

f(x) − f(x1)x − x1

⇔ f ′d(x0) 6

f(x1) − f(x0)x1 − x0

6 f ′g(x1). (2)

Ainsi, les inégalités (1) et (2) nous donnent f ′g(x0) 6 f ′

g(x1) .-à-d. f ′g est roissante

sur I. On pro ède de la même manière pour f ′d.

Remarques :1. f convexe sur I 6⇒ f continue sur I. Considérer par exemple la fonction

f définie sur [−1, 1] par f(−1) = f(1) = 2 et pour tout x ∈ ]−1, 1[, f(x) = x2.L’implication est vraie si I est ouvert.

2. f convexe sur I 6⇒ f dérivable sur I. Considérer par exemple la valeurabsolue sur un intervalle ouvert contenant 0.

• •

Figure 6.26 – Convexité n’entraine ni continuité ni dérivabilité.

Soit f : I −→ R une fonction continue sur I et dérivable sur I.

f est convexe sur I si et seulement si f ′ est croissante sur I.

Théorème 14

Cf

Figure 6.27 – La courbe d’une fonction convexe est au-dessus de

ses tangentes.

Preuve: D'après le théorème (13) , si f est dérivable sur , on a f ′g = f ′

d = f ′

et f ′est roissante sur I.

F.PUCCI 57


Ré iproquement, soient x1, x2 ∈ I tels que x1 < x2 et x0 = λ x1 +(1−λ) x2 ∈ ]x1, x2[ave λ ∈]0, 1[.D'après le théorème des a roissements �nis sur ]x1, x0[ et ]x0, x2[, il existe c1 ∈ ]x1, x0[et c2 ∈ ]x0, x2[ tels que :

f ′(c1) =f(x0) − f(x1)

x0 − x1et f ′(c2) =

f(x2) − f(x0)x2 − x0

.

Comme c1 < c2, la roissan e de f ′sur I entraîne :

f ′(c1) 6 f ′(c2)

⇔ f(x0) − f(x1)x0 − x1

6f(x2) − f(x0)

x2 − x0

⇒ λ(x2 − x1)(

f(x0) − f(x1))

6 (1 − λ)(x2 − x1)(

f(x2) − f(x0))

⇔ f(x0) = f(

λ x1 + (1 − λ) x2

)

6 λ f(x1) + (1 − λ) f(x2).

f est onvexe sur I.

Soit f : I −→ R une fonction continue sur I et dérivable sur I. On note Cf sacourbe représentative.

f est convexe sur I si et seulement si Cf est au-dessus de toutes ses tangentes.

Corollaire 1 (Une fonction convexe est au-dessus de ses tangentes)

Preuve: Soit x0 ∈ I. L'équation de la tangente en x0 à f est

(Tx0) : y = f ′(x0)(x − x0) + f(x0).

La position Cf par rapport à (Tx0) est donnée par le signe de

g(x) = f(x) − f ′(x0)(x − x0) − f(x0).

g est dé�nie sur I et dérivable sur I ave g′(x) = f ′(x) − f ′(x0) et g(x0) = 0.

f est au-dessus de toutes ses tangentes

⇔{

g est dé roissante sur ]a, x0[g est roissante sur ]x0, a[

⇔{

g′ < 0 sur ]a, x0[g′ > 0 sur ]x0, a[

⇔{

∀ x 6 x0, f ′(x) 6 f ′(x0)∀ x0 6 x, f ′(x0) 6 f ′(x)

⇔ f ′est roissante sur I

⇔Thm 1

f est onvexe sur I.

F.PUCCI 58


Soit f : I −→ R est continue sur I et de classe C2 sur I. Alors f est convexe

sur I si et seulement si f ′′ est positive sur I.

Corollaire 2 (Caractérisatrion par la dérivée seconde)

Preuve: DerivableConvexe3 D'après le théorème 14, f onvexe sur I équivaut à

f ′ roissante sur I.

Comme f est C2sur I, e i équivaut en ore à f ′′

> 0 sur I.

Exemple 24 : Γ : x 7−→ Γ(x) =∫ +∞

0e−ttx−1dt est convexe sur R∗

+.

VII.2 Extrema

Soient f : I −→ R une fonction dérivable et convexe sur I, et a ∈ I tel quef ′(a) = 0.Alors f admet un minimum en a.

Proposition 26

Preuve: Extrema D'après le corollaire (1) , f est au-dessus de toutes ses

tangentes. En parti ulier, au point a :

∀ x ∈ I, f(x) > f ′(a)(x − a) + f(a) = f(a).

Don f admet un minimum en a.

VII.3 Inégalités de convexité

Exemples 25 :— x 7−→ ex est convexe sur R et, en particulier, au-dessus de sa tangente en 0 :

∀ x ∈ R, ex> x + 1.

— x 7−→ sin(x) est concave sur[

0,π

2

]

:

∀ x ∈[

0,π

2

]

,2π

x

corde

6 sin(x) 6 xtangente

.

F.PUCCI 59


— Soient ϕ : I −→ R convexe et (λ1, x1), . . . , (λn, xn) ∈ R × I tels quen∑

i=1

λi = 1.

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

6

n∑

i=1

λi ϕ(xi).

— Soient ϕ : R 7−→ R convexe et continue et f : [0, 1] 7−→ R une applicationcontinue.

ϕ(∫ 1

0f(t)dt

)

6

∫ 1

0ϕ(

f(t))

dt.

Proposition 27 (Inégalités de Jensen)

En particulier : ϕ(

x1 + . . . + xn

n

)

6ϕ(x1) + . . . + ϕ(xn)

n.

Preuve: On raisonne par ré urren e sur l'entier n > 2. Pour n = 2, 'est la

dé�nition de la onvexité : ϕ(

λx1 + (1 − λ)x2

)

6 λϕ(x1) + (1 − λ)ϕ(x2).On suppose le résultat vrai jusqu'au rang n−1 et les ouples (λ1, x1), . . . , (λn, xn) ∈ R×I

hoisis tels que

n∑

i=1

λi = 1 :

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

= ϕ

1 −n∑

i=3

λi

λ1 x1 + λ2 x2

1 −∑ni=3 λi

︸︷︷︸

=: y

+n∑

i=3

λi xi

6HRn

(

1 −n∑

i=3

λi

)

ϕ(y) +n∑

i=3

λi ϕ(xi).

Comme

λ1 + λ2

1 −∑ni=3 λi

= 1, on a aussi :

ϕ(y) 6λ1

1 −∑ni=3 λi

ϕ(x1) +λ2

1 −∑ni=3 λi

ϕ(x2).

D'où :

ϕ

(n∑

i=1

λi xi

)

6 λ1ϕ(x1) + λ2ϕ(x2) +n∑

i=3

λi ϕ(xi).

Exercice 35 : Soit la fonction f définie par f(x) =√

x2 + 3x − 2.1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f .2. Déterminer les limites de f aux bornes de Df .3. Étudier les variations de f sur Df .

4. Soient les droites (∆1) d’équation y = x +32

et (∆2) d’équation y = −x − 32

.

Montrer que (∆1) et (∆2) sont respectivement asymptotes à Cf en +∞ et−∞.

F.PUCCI 60

Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle VIII. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION

VIII Plan d’étude d’une fonction

Nous terminons en résumant les différentes étapes pour l’étude d’une fonction f :

1. On commence par déterminer le domaine de définition de f c.-à-d. on ne tra-vaille pas sur quelque chose qui n’existe pas !

2. On restreint l’intervalle d’étude par parité ou périodicité si c’est le cas c.-à-d. onne travaille pas pour rien.

3. Avant de dériver, on justifie que f est continue et dérivable sur l’intervalled’étude c.-à-d. On n’effectue aucune opération sans en avoir le droit. ⌊20⌋

4. On calcule et on factorise f ′.On détermine également les points d’annulation de la dérivée en résolvant afind’avoir les lieux des tangentes « horizontales ».

5. On détermine les limites de f au extrémités du domaine d’étude avant de lesétendre au domaine de définition tout entier par symétrie ou translation. etselon les cas ses extremum, des valeurs remarquables. . .

6. On dresse le tableau de variation de f en y reportant toutes les informationsobtenues.

7. On trace la courbe représentative de f , en utilisant les éventuelles symétriesliées à la parité ou la périodicité et en commençant par tracer les asymptoteset les tangentes qui donnent des informations précieuses.

Exercice 36 : Étudier la fonction f : x 7−→ cos x − cos2 x.

⌊20⌋. Il est parfois inutile de dériver, je le rappelle.

F.PUCCI 61

@Index

Archimède, 1Asymptote, 20, 23, 30, 51Asymptotique

Branches infinies, 30Comportement, 51

Bijectiond’une fonction, 34dérivée de la réciproque, 48réciproque, 34

Boule, 6

Cinématique, 39Compatibilité

de la relation d’ordre, 3Composée

de fonctions, 9de fonctions continues, 34de fonctions dérivables, 48de fonctions monotones, 16

Continuité, 32Composée de fonctions continues, 34Structure, 34

Corde, 54Courbe représentative, 11

tangente à, 37

Dérivéen-ième, 49à droite et à gauche, 45des fonctions usuelles, 41d’une composée, 48d’une fonction convexe, 56de la fonction réciproque, 48seconde, 59Signe de la, 43

Dérivabilité, 37sur un intervalle fermé, 46

Développementlimité, 52

Difféomorphisme, 49Dilatation, 11Distance

p-adique, 4

Épigraphe, 53Extrema, 44

d’une fonction convexe, 55, 59

Fermé, 4Fonction

à valeurs dans, 9bornée, 17continue, 32convexe, 52croissante, 16décroissante, 16dérivée, 40

usuelle, 41dérivable

définition, 37de classe C∞, 50de classe Cn, 49impaire, 13monotone, 43périodique, 13, 14paire, 13partie entière, 33

Graphe, 37d’une fonction paire, impaire ou pério-

dique, 13de la réciproque, 11Effet d’une transformation sur, 11

Homéomorphisme, 35

Imparité, 13Inégalité, 3

de convexité, 59de Jensen, 60

Intervalle, 6

Leibniz, 50Limite, 19

à droite, 27à gauche, 27

1

Chapitre 7: INDEX INDEX

d’une composée, 29Définition topologie, 25en l’infini, 22, 23

en un point de◦I, 21

en un point fini, 19fonctions de référence, 21, 24Opérations sur, 29Propriétés des, 28Unicité de la, 26

MéthodeDétermination du domaine d’étude, 15Déterminer une droite asymptote, 51Montrer qu’une fonction est bijective, 36,

37Majorant, 7

de fonction, 17Maximum, 7

global, 18local, 18

Minimum, 7global, 18local, 18

Minorant, 7de fonction, 17

Newton, 1Norme, 4

O, 31o, 30, 31Opération

sur les fonctions dérivables, 47sur les fonctions périodiques, 14

Ouvert, 4

Périodedéfinition, 14

Périodicité, 13Parité, 13Point

anguleux, 45critique, 44

Produitde fonctions, 9

Propriétélocale, 32vraie dans un voisinage, 26

Relationd’ordre, 3

et fonctions, 16de comparaison, 30

Repèreaffine, 11orthonormé, 11

Sommede fonctions, 9

Symétrie, 11

TangenteÉquation de la, 38d’une fonction convexe, 58

Taux d’accroissement, 37Théorème

de la limite monotone, 24de la bijection, 35

Topologie, 6, 19, 23, 25, 26dérivant d’une norme, 4métrique, 4

Transformationd’une courbe, 11

Translation, 11

Valeur absoluedéfinition, 4

Vitesseinstantanée, 39moyenne, 39

Voisinage, 25privé d’un point, 30

F.PUCCI 2

Chapitre 7: INDEX INDEX

F.PUCCI 3

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6 Fonctions de la variable réellefabienpucci.fr/wp-content/uploads/2018/11/2019_PCSI_06... · 2018-11-25 · Chapitre 6: Fonctions de la variable réelle I. INÉGALITÉS DANS R I.3