COMI:TE D'El'UDE Er D'EXP:WIT.A.TION DES

C.£\lCUIATlWRS ELIDTRONIQ,U:ffi

C . E .C .E.

67, r. de la Croix de Fer, Bruxelles, Belgique

PROGRE3S REPORr n° 5 (Mai 1959)

M.17. Dilatation d1un trace de tuya.uterie a. 6 branches

(Commission IP..SIA., Bruxelles)

Suite du probleme Progr. Rep. n° 4, P• 6. La tabulation des minima

a ete completee pour quelques cas suppl6roontaires (13.1/2 heures).

M. 13. Oscillations stella.ires (Prof. P. Ledoux, Liege)

Suite du probleme Progr. Rep. n° 1, P• 10 et n° 3, P• 3. Probleme

repete avec des valeurs numeriques d.if'ferentes ( 4.1/2 heures).

M. 37, Interceptions d 1avions (Minist. Def. NationaJ.e)

Suite du problem Progr. Rep. n<> 4, p. 7• La tabulation a ete completee pour 27 cas (10 heures) et le probleme

a ete r eexamine a l a luml.ere des r esultats. En evitant l'impression de certains

resultats (elimination du parametre t), on a pu combiner 5 cas en un seul grou­

pe de oas a programme a peine plus complexe, de sorte qua le probleme se redui­

sai t a 366 nouveaux cas. Cornrre seconde etape, 11 de ces nouveaux oas cmt ete

trai tes (4 heures par oas). Un nouvel examen des resul tats a amene le ?rfi.nistere

de la Defense Nationale a reduire la demande a la tabulation supplementaire de

3 nouveaux cas, moyennant une seconde complication du progranrrre de comptageJ

oette modification est en cours.

M. 38. Nivea.UJC d 1energie superficielle des semi~onducteurs

(Prof. De Keyser, Gand)

1.• Suite du Progr. Rep. n° 4, P• 5. I.a. La partie (a) a ete reprise apres discU3sion analytique. Il e 1aglt

en fa.it de t abuler la relation entre x, p, (et ~ definie implioitement par

x cotg 2x ± A VB - x2- + C ... 0 (1)

-2-

aveo

Les resultats se presentent le plus comrnodement en tra9ant x, de:fini implici­

tement par (1), en fonction de (, pour une se:rie de valeurs r egulierement

espacees de p, E etant constant pour une famille de courbes correspond.ant a une feuille. Les intervalles de variations a considerer sont O ~p ~ 1, r ~O,

0 ~ x ~ 71,, et t ~ -1/2 (car la fonotion est paire en 1 + 2 t..:J. La discussion ci-dessous est en outre limi. tee a 1 1 intervalle O !l.x :S. IL /2,

car des f ormules approchees elementaires sont val.ables pour IL /2 :5i, x ~ ft , ains:

qu'il apparaftra a la fin de la discussion.

Toutes les courbes sont tangentes a la limi.te de realite du radical,

c.-a-d. a la d.roite

Pour x"" o, la v.raie valeur de x cotg 2x est 1/2 et (1) devient

1 w:: - +A r :B + C ... 0 2-

(2)

(3)

ce qui est une equation bicarree en r 4 En particulier, pour p R 1, on a la

racine double

r = 1 + 2t. V2

(4)

AE- et p constants, le minimum de x en fonction de 'test obtenu en deri­

vant (1) par rapport a t{, ce qui donne la relation

p ( 1 + 2 l ) "" + V 2 (2-x2

Elimi.nant aentre (5) et (1), on trouve

2 ootg f!x • p/x - x/p ce qui est uno equation du second degre en p/x. La rncine correspondant a O s;;;pb 1 pour O ~x ~1/2 est donnee par

x/p ... -Jig X

(5)

(6)

- 3 -

ce qui montre que 1 t ordonnee du mtnirnum est independante de ~ •

Elimina.µt p entre (5) et (6), on trouve le lieu des minima dans le diag:ramme

(x, ,1) I 2 2 r2 .,. X (1 + 2£.cos x) (7)

2 sin x

P~ x petit (7) donne

(8)

et le sens de la concavite de cette courbe change dono pourf:. c 0,25,. On re­

trouve en particulier (4) pour x = o. Pour x proohe de [1.,,/2, ( 1 ) se redui t a

x \L 2 + A. YJ3 - x + C ca 0

x-¾ -(9)

et on voit que cela se produit pour C~1 (done p petit , ouc ou cYgTands)

puisque le premier terroo de (9) tend vers -co poux x a peine inferieur a fi/2,. Le second terme s 1annulle au point (x

0, (

0) ou la courbe touche la droite (2),

et 11on a fi., co

x0 "" ~ i (10) + co

ou c0 est C ecrit aveo (0

• On a

12 y2 C -C "" -to (11)

0 p

Posant ~ a x - x0 , -rj:::: o2 • 0 ~1 utilisant x0 = ,Y0 V2 et travaillant au premier

ordre en ~ et •J , (9) devient, apres soustraction de la m@me equation en x0 ,

( 12)

Les termes de gauche sont en ~ , -1J alors quo ceu:x: de droi te sont an r1T et I ~ • En

premiere approximation , on a done A'} - x0 ~ ... o. Posant, en seconde approrlmation

- 4 -

1 - x0 ~.,. 'f et utilisant la_ vn.leur de 'f 2 donnee par (12) cu le ma,mbre de

gauche est calcule par la premiere a:;:iproxi.mationt on trouve

XOl i2 --i-

p . 2.A.2 I

_J

(13)

ce qui defiui t tme para bole. ~t aux coordoru1ees du sommet, elles s I obtien­

nent approrlrmtivement psr (10) qui donne

Pou.rt= -0,5, on a A.,. o, et (1) se simplifie en

t 2 .,. p (p/2 - x cotg 2x)

(14)

(15)

ce qui donnc, en pa.rtioulier, ( = p/ '(i_ pour x .,. 11/4 . Eliminant t par (2) 1 on

retrouve 1 1equation qui precede (6). Pour t. grand, on pose z "" f /pf. Vz, ce qui tr:,nsforme ( 1) rigoureuse:ment

en

et approximativement en

1 (X cotg 2x x2

) 1 (1 ) c ➔ )2 Q ;:'2" + 2 2' + r - z + I - z "" a 2P 4P z ~

ou tousles terrnes sont de m~roo ordre, car nous etablirons finalement que 1-z

est de l'ordre de 1/"- • Faisunt z = 1 dans le premier terme, on obtient une

equation dcgre en 1 ... z que 11 on r esout par

1 [ ~ 2x ( x)] 1 - z = - 2!" 1 ± J 1 - p cotg 2x -fy

Remplagant z par sa valeur, et negligea.nt 1 1tmite a c8te de E , on obtient

:finalement

'( 2 2 2 (, -G.p f2) = P - x - p x 0otg 2x

2 (16)

- 5 -

On montre q_ue ces courbes ont une allure parabolique auteur du ml.nirrum

r O =i: p (i, et ~ defini im_plioitement par (6), car (16) s'ecrit

('( - ! 0)2 .,. F(x0) - F(x) ~ (x0- x)F1 (x0) (17)

avec 2

F(x) ,,. .?5_ + p x ootg 2x 2

(18)

L1eq_uation (1) n 1admet de racines superieures a /L/2 q_ue pour (_::> ((jl

done C > 3,5 pour p ~ 1 ett >- 0,5. Avcc cette valeur on ost deja presq_ue

clans le cas ou l'approtlrnation C:...>1 est va.lable et les raoines sont done tou­

jours relativement proches de-,r. Les eq_uations (10) a (14) valent avec rt./2

remplace par Tl• CI est cette rennrque qui permet en fai t de limiter la tabula­

tion a 1 1intervalle o ~x6- TL/2. La t abulation a ete effeotuee pour les valeurs suivantes de €.. r -0 15;-

\,,+2Qt, -0,3f -0,1; O; +o,1; +0,5; + 2; +10,ret chaque fois pour une dizaine de valeurr

de pen progression geometrique entre O et 1, et des valeurs de ( choisies a l e

main de f a9on a pouvoir tracer 1es courbes dans les regions interessantes. Pou2

chaque jeu de valeurs des parametres , les racines de (1) etaient situees par

tabulation en fonction de x et ensuite interpolees par la methode do Newton.

La convergence etlgeait d 1adopter un pas de tabulation d 1autant plus fin qu 1on

se rapprochait des racines doubles correspondant au point de contact aveo la

droite (2), et ce pas etait choisi rnanuellement. Il est evident qu 1il aurait

ete preferable de tabuler r en fonction do x ce qui ne necessite pas la resolu­

tion d 1une equation transcendante; la methode exigee par la position initiale

du probleme a cependant ete conservee par suite de la disponibilite du progranm

Le cas ~ "'" 0 a ete trai te a la machine de bureau.

I.b..!. Le probleme revient a tabular en fonction de p et 1,\""la foncti.,n x

definie implicitement par

x cotg 2:x: ± Y//2 + ~ 4/4p2

... x2 + ,f /2p =- 0

pour O~x~ ,l/2, (1k0 et O::S;p~1.

(19)

- 6 -

Les calculs ont e te faits comme dans la po.rtie I.a pour DGrmettre

de tracer une fami.lle de courbes de x en foncl:;ion de p pour 9 valeurs de ()

entrc 0,25 et 2. La discussion analytique a en effet montre que ces valeurs

etaient suffisantes pour caracteriser la farrr!.lle . En effet pour (petit, les

racines en x de (19) sont proches de n,./4 et de (1,/2 et sont simplement cal­

culables par develop,ement en serie e t pour '( grand (19) tend vers

p "" 2x cotg 2x

Signalons encore que pour r = rt./2 V2 '¼ 1 '11 ' ( 19) se dl<Virnpose en X "" 11) 4 et

p • 2x cotg 4x ..

1 1ensemble des t ~bulations des parties I a et Iba occupe la calcula­

trice pendant 79 heures .

ll• Nouveau probleme

To.buler la fonction ::I de r 1 i et p d1:~finie implici tement par

- 1r2 \r y2 2 J xL x co-tg x YA -1 + \J2 0 - x (1+A.) ' 2

(A+ YA - 1)

= 2pC: i sin 2x [ Ax cotg x - faa 2- x

2(1+A.)\ -

I> A .,. cos 2:x: - - sin 2x X

(20)

(21)

pour les rnemes intervalles d._¥arametres que dans le probleme I a . Seule la

determination positive de VA -1 est a considerer.

Les conditions de realite sent

(22)

2 et A - 1 ..70. Comme

A2

- 1 = sin2

2x [t- ; ootg 2x-1] = sin2

2.."'C (! -ootg x) C! + tg x)

11 faut que x soi t compri~~t_-e la racine si tuee dans le prerrd.er qu.and.ra.nt

de

-7-

p "" x cotg x (23)

et a./2, soit entre l a racine situ.ee dans le second quadrant de

p ::a - X t g X (24)

et 1f. L1 equation proposee est equivalente a

J/2-02_ x2 = x cotg x ~ -A + ~)x - 2pE_A sin 2xJ (25

)

(A+1) (2p.;:sin 2x - x (A+ .ii -1)

La br8nche de la courbe comprise entre rt et (24) est entierement dans

une zone ou 1 1approximation x ... fi.,-1 avoc •ij <.<O est vn l able, ca r la r acine

pertinente de (24) est alors x ... 11., - p/, 1.., done superieure a 2 18. Des clevelop-

pements en serie elementa~res sont done suf'fisru1ts dans cette zone et montrent

* que (25) est independant de £ , sauf' pour(:; ;;,7 i. En consequenc e , la t abulation

a et e lirr.i t6e a. la pr errd.ere zone et f ai te a t et p cons t ants (m&me jeu de valeur.

que e_ans la partie Ia et en outre z:. ... ± 0 ,005 et O 12) et attribuant a x une

aerie de valeurs decroissa.ntes dopuisfl../2 jusqu 1a l a racine de (23) , et en r e­

solvant chaquo fois (25) par r apport a r. Signalons encore qu 1 en (23) on a A "" -1 ct O a ~tandis que pour

x 22 fl., /2 toutes les courbes pas sent par r.,. n/2 r2 avec une t angente d 1 equ.a tion

,,, (L 1 (" 2 ) (TL ) ~ _ __._._ ,,,_..aa-=- !.lt.--1 - X

' ! 2 v2 -v 2 ap 2 (26)

ind.ependante de C 1 sauf pour f.. ;,->-1 OU (26) n I es t pas vala,ble . Il a et e verifie

que, pour c = O, les r esulta ts coincident avec ceux de la partie I b Pai' sub­

stitution de x a 2x.

Duree de l a partie II, 20,5 heures.

* Pour trois va leurs de 2 , ceci a et e verifie par une t abulation a la m'.l.Chine electrrnique.

M. 41. Cal.cul det, tuY§uteries ell_iptigt!:_es sous pression

(prof. Blanj ean)

On considere un tuyau en aoier, d 1epaisseur constnnte h, l a fibre

mo;renne et ant un cylindre indefini a section droite elliptique (demi.-axes §.

et 12, avec a:> b). On pos e x ... h/a et£.,.. 1-b/a. Le -t,oyau et ant soumls a une

pression interieure .12., on de:rmnde de calculer l a t ension rmximum ~ et 1 1 ao­

croissement de pression Q..p_ necess2,iro a une r eduction i ~ osee (0 ,0025) dee ..

La solution st expriJ11.e sous la forrne d lune serie infinie d I integrales

elliptiques, maisp dans une tli.eorie de premiere approxi1mtion, on ne r etient

que le terme fondamental ou l es transcend.antes qui y fi6uxent seront developp ees

en s erie de fa9on a car antir llobt ention dlune pr ecision r el a tive de 10-3, m~me

dans le cas de combinai sons de par ametres les plus def avorabl~s.

Les formules approchees utilisees sent les suivantes 1

les nota tions auxiliaires et ant dffini es par s

2 0 b t (2 _ £ )

e2

[ 1 2 1 4 37 6\ J ""' - 1 + - 0 + - G + ----'-9 4 8 16 1024 _

y .,, X X 2

- e

- 9 -

1r 1 2 1 31 R.,._,,.L6-y+-Y --Y r- 10 12 -

e f.,. 1 -l

L.., (1 f2 f4 f6 1 -t ) [1 + - - - + -_ 6 40 112

6 e

. ,.- 1 1 2 1 4 1 61 Q.= (1 -t) ..,.+T,;"f -~f +-f

. 3 10 5o 144 -

On demande de tabuler /3 et d p en fonction de ( et x, etant entel:l.du q_ue • I

a) decroit ax constant, de 0,20 a o,oo, par pas de 0,0025 (81 valeurs) .

on notero q_ue la t abulation de_ L] p sera arr~tee des que p .,. l L). p "> 60

b) x prend les valeurs sutvantes:

0,01 a 0,05 par pas de 0,005

0,05 a O, 1 5 par pas de 0,010

O ,15 a 0,30 par pas de 0,050

soi t au total 22 valeurs.

Le calcul et 1 1impression des r esultats relatifs aux 1,782 cas dema.ndes, ant

pris 5h. 30 m.; le temp s d'impression est sensiblement double du temps de calcul

proprernent di t.

Ces resultats portes en diagrammes parattront en conclusion d 1un article develor

pant la theorie ci-dessus, par M. Blanjean, dans un prochain numero de la revue

"Aoier-Stahl-Steel".

- 10 -

M. 43. Filtres electriques (Bell Telephone, Anvers)

Le probleme est analogu~ a celui decrit dans Progr. Rep. n° 3 P• 6

avec les differences sui vantes : 1) la caracteristique du fil trage · est speci:f'iu, •

sur des bases differentes 2) les filtres sont des passe-ban~ antimetriques

3) on demand.e les valeurs des elGmerits d1une realisation en echelle de con.figu­

ration specifiee.

Les polynemes hV\) et f0) sent donnes, le premier cormne p:rodui t de 2 2 4 2 2 six facteurs /\ +Jl.:11 le second comme I\ fois deux facteurs r\ +.O. i. Il faut

ensuite calculer h2+ f

2 et le decomposer en six facteurs bicarres/\4+r/{+ s.

1l partir de

(1)

on reconstruit six facteursl\2+M+(3dont le produit definit un polyneme de

Hurwitz g(I\) de degre 12 1 ayant comme zeros ceux a partie reelle negative de

h2+ r2

• Les elements de la rnatrice d1impedance du filtre sont des fractions

rationnelles en/\ dedui tes simplernent des po131nernes h, f, et g. On contrCle 2 2 ensuite gg = h + f.

X

Le coJ.cul des elements se fait a partir de z11 de gauche a droite et de

Y11 de droite a gauche par des formules de recurrence correspondant a 1 1extrao­

tion d 1une oapacite shunt ou d 1une self ou d1un circuit antirosonnant serie.

On oontr8le le calcul dans chaque cas en recalculant a la frequence mi-bande

1 1impedance de la structure obtenue. En outre, les rapports des elements dans le

deux directions de calcul doivent ~tre constants, ce qui definit le rapport de

transformation entre entree et sortie du filtre.

Pour les valeurs nurneriques employees, les coefficients def etaient

d1un ordre de grandeur 10-7 par rapport a ceUJC de ht de sorte qu 1ils d.isparais-2 2

sent presque dans la formation de h + f. Dans ce cas, huit des zeros deg ten-

daient vers ceux de r2 qui sont doubles at imagine.i:i.-9s puxa, et le precede de

Eairstow ne convergeait pas. Le programme a dont ete modifie de fa9on a tra.vail­

ler sur la variable a ... 1\2+ 1, ce qui separe relativemerrl-~os (qui sont tou.s

- 11 -

proches de I\ n ± j) et fait e~ sorte que les coefficients de h(z) se relevent

a 1 1ordre de grandeur 10-3 par rapport a ceu.x de f(z). Dan~ h et f, le pas­

sage a la variable z se fai t simplement dans chaque facteur avant leur combi-2 2 2 t I naison. On decompose ensuite h + f en fn.cteurs z + r z + s et on repasse aux

programme en/\ par I

r=2+r J J

SciS +r +1 (2)

Aveo cette substitution, la convergence du precede de Bairstow est excellente

(premiere approximation r'= s'~ o). Dans le retour aux formules (1), on ev.l.te

une perte de precision provenn.nt de ce que ;3 ~ 1, en combinant ( 1) et (2) en

d I I . 0 =- Vr + s + 1 I t I

X,,. V 2 r +s - r /J+ 1

(3)

Le programme ainsi modifi e a perrnis de calculer les clements des deux

filtres extrgmes de 13, serie de 12 filtres dem:~ndee, et cola ch~que fois pour

deu:x: configurations differentes . Il est convenu d 1 n.ttendre l a rea lisgtion des

modeles avant d'entreprendre le calcul des filtres intermediaires, pour lesquels

une seule configuration sera definitivewBnt choisie. La mi.so au point du pro­

gramme, les divers tatonnements et les calculs des deu:x: filtres extr@mes ont

rocupe la rrachine pendant 60 hen.res . Le ?rogramme definitif demandera une

quinzaine de nrl..nutes par filtre.