Opérations sur les variables aléatoires

_____________________________

1 Variables aléatoires indépendantes

Soit 2 variables aléatoires X et Y.

On dit que X et Y sont indépendantes si, pour tout couple (I, J) d’intervalles réels,

Pr((X∈I) et (Y∈J)) = Pr(X∈I) . Pr(Y∈J).

(On définit de manière analogue l’indépendance de n variables aléatoires.)

2 Résultats admis

∗ Soit 2 variables aléatoires X et Y.

On a les égalités suivantes : E(X+Y) = E(X) + E(Y) et E(X–Y) = E(X) – E(Y).

(On généralise ces résultats au cas de n variables aléatoires)

∗ X étant une variable aléatoire et a et b étant 2 réels quelconques,

E(aX) = aE(X) ; V(aX) = a2V(X) ; σ(aX) = |a| σ(X) ,

E(aX+b) = aE(X) +b ; V(aX+b) = a2V(X) ; σ(aX+b) = |a| σ(X).

∗ Si X et Y sont 2 variables aléatoires indépendantes, E(XY)=E(X).E(Y)

et V(X+Y)=V(X)+V(Y)=V(X–Y) .

(On généralise ces résultats au cas de n variables aléatoires indépendantes.)

3 Application : La variable aléatoire centrée réduite

X étant une variable aléatoire d’espérance m, et d’écart type σ strictement positif,

on pose T =σ

mX −.

T=σσ

mX −

1 alors, d’après le paragraphe 2, E(T) =

σσσσ

mm

mXE −=−

1)(

1=0 et de plus

σT =σ

1σ =1.

On dit que T est la variable aléatoire centrée réduite associée à X ; T a pour espérance 0 et

pour écart type 1.