a-a-page de garde initiale - EURASIP · ; : Effort et de flux réduits (intrinsèques). H : Matrice de transformation linéaire. L d M d et : Matrices d’opérateurs différentiels

UNIVERSITE DE TUNIS ELMANAR

THESE

Présentée à

LA FACULTE DES SCIENCES MATHEMATIQUE,

PHYSIQUES ET NATURELLE DE TUNIS

Pour obtenir le grade de

DOCTEUR

Spécialité

Electroniques

Réalisée et soutenue par

HICHEM TAGHOUTI

Le 08 / 04 / 2011

Utilisation Conjointe de l’Approche Bond Graph et le FormalismeScattering Pour la Modélisation des Systèmes Physiques.

Applications aux Circuits Electroniques Hautes Fréquences à ElémentsLocalisés et Distribués

Thèse dirigée par Pr. Abdelkader MAMI

JURY:

Professeur MEKKI KSOURI Président

Professeur HICHEM TRABELSI Rapporteur

Professeur ALI GHARSALLAH Rapporteur

Professeur ABDELKADER MAMI Examinateur

Professeur FATHI CHOUBANI Examinateur

À mes parents, mes frères, mes sœurs

et ma belle fiancée : DALAL

À ceux que j’aime…

REMERCIEMENTS

La réalisation de cette thèse fut une occasion merveilleuse de rencontrer et

d’échanger avec de nombreuses personnes. Je ne saurais pas les citer toutes

sans dépasser le nombre de pages raisonnablement admis dans ce genre de

travail. Je reconnais que chacune a, à des degrés divers, mais avec une égale

bienveillance, apporté une contribution positive à sa finalisation. Mes dettes

de reconnaissance sont, à ce point de vue, énormes à leur égard.

Je pense particulièrement à Monsieur ABDELKADER MAMI, Professeur à la

Faculté des Sciences de Tunis, mon professeur et mon promoteur, pour la

finesse de ses attitudes sur le plan aussi bien humain que scientifique. Ses

remarques successives ont permis d’améliorer les différentes versions de ce

travail. Il a toujours trouvé comme promoteur le juste équilibre entre la liberté

qu’il m’a laissée dans le choix des grandes orientations et dans la

détermination des pistes à suivre, d’une part, et un soutien total et sans faille

dans les moments délicats, d’autre part. De lui, j’ai toujours reçu non

seulement les encouragements dont le doctorant à tant besoin, mais aussi les

précieux conseils pratiques que seul un homme, ayant des qualités humaines

comme lui, peut amener à prodiguer. Grâce à son approche respectueuse de la

personne humaine, je me suis continuellement senti à l’aise. Je lui en sais

infiniment gré.

Je suis très reconnaissant à Monsieur MEKKI KSOURI, Professeur à l’Ecole

Nationale d’Ingénieurs de Tunis et Directeur de l’Unité de Recherche

d’Analyse et Commande des Systèmes (U.R-ACS-ENIT) à l’Ecole Nationale

d’Ingénieurs de Tunis (ENIT), pour avoir accepté de présider ce Jury.

Je remercie également tous ses collaborateurs notamment Monsieur HICHEM

TRABELSI, Professeur à l’Ecole Supérieure de Technologie et d’Informatique

et Monsieur ALI GHARSALLAH, Professeur à la Faculté des Sciences de Tunis

et Directeur de l’Unité de Recherche de Circuits et Systèmes d’Electronique

Haute Fréquence à la Faculté des Sciences De Tunis (U.R-CSEHF-FST), pour

avoir lu partiellement ce travail et pour m’avoir continuellement fourni les

conseilles actualisées sur la question de ma recherche et surtout pour avoir

assuré la tâche de rapporteurs.

Je tiens aussi à dire un grand merci à Monsieur FATHI CHOUBANI Professeur

au SUP’COM pour sa bonne humeur et sa disponibilité d’avoir accepté la tâche

d’examinateur de ce travail.

J’associe à mes remerciements l’ensemble des doctorants et des membres des

deux Unités de Recherche ACS-ENIT et CSEHF-FST pour l’ambiance

chaleureuse de travail et pour nos échanges qui n’ont pas toujours été

scientifiques.

Je ne saurais oublier de remercier toutes les personnes qui me sont chères

pour l’aide, la confiance et le soutient dont ils ont fait preuve tout au long de

ces dernières années.

Enfin, j’exprime ma dernière pensée à mon Professeur Monsieur Abdelkader

Mami qui m’a soutenu et encouragé durant ce travail, et à qui je dédicace ce

travail.

TABLE DES MATIERES

TABLE DES MATIERES

LISTE DES SYMBOLES

Liste des symboles………………………………………………………………………….13

INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale……………………………………………………………………….16

CHAPITRE I : LE FORMALISME SCATTERING ET SON RAPPORTAVEC L’APPROCHE BOND GRAPH

Généralité sur le formalisme scattering…………………………………………………….21

PREMIERE PARTIE

Présentation du Formalisme Scattering : Une approche alternative pour la

modélisation des systèmes physiques

I- Introduction…………………………………………………………………………25

II- Présentation du formalisme scattering……………………………………………...25

II-1 : Systèmes physiques et variables d’ondes…………………………………………….25

II-2 : Représentation scattering……………………………………………………..29

II-2.1 : Structure de jonction simple et orthogonalité de la matrice S……………...31

II-2.2 : Structure de jonction pondérée à deux ports………………………………..33

II-2.3 : Représentation scattering pour un élément à un port……………………….34

II-2.4 : Caractérisation des éléments à n-ports……………………………………...36

DEUXIEME PARTIE

Interprétation Physique et Représentation Bond Graph du Formalisme Scattering

I- Introduction…………………………………………………………………………39

II- Interprétation physique du formalisme scattering…………………………………..39

II-1 : Interaction dynamique et notion de causalité………………………………...39

II-2 : Etude de transfert de puissance par le formalisme bond graph………………43

II-3 : Etude de transfert de puissance par les concepts du formalisme scattering…..47

II-3-1 : Etude de la puissance incidente et la puissance réfléchie…………………..47

II-3-2. Etude de l’onde incidente et de l’onde réfléchie……………………………49

III- Conclusion………………………………………………………………………….52

CHAPITRE II : PROCEDURE ANALYTIQUE D’EXPLOITATION

DES PARAMETRES SCATTERING D’UN MODELE BOND GRAPH

CAUSAL D’UN SYSTEME PHYSIQUE : APPLICATION EN HAUTE

FREQUENCE

I- Introduction………………………………………………………………………....55

II- Exploitation du formalisme scattering……………………………………………...56

II-1 : Procédure analytique d’exploitation…………………………………………..56

II-2 : Application sur un filtre haut fréquence……………………………………...59

II-2-1 : Filtre type T à éléments localisés…………………………………………..60

II-2-2 : Filtre type à éléments localisés…………………………………………..62

III- Exploitation du formalisme scattering à partir du formalisme bond graph………...64

III-1 : Transformation du bond graph……………………………………………….64

III-1-1 : Introduction du bond graph réduit…………………………………………64

III-1-2 : Bond graph réduit d’un élément linéaire à 1-port…………………………65

III-1-3 : Bond graph réduit du transformateur et du gyrateur………………………67

III-1-4 : Bond graph réduit d’une jonction à n-ports………………………………..68

III-2 : Exploitation graphique du bond graph réduit………………………………...70

1. Cas 1 : Causalité flux-flux………………………………………………………….72

2. Cas 2 : Causalité effort-effort………………………………………………………72

3. Cas 3 : Causalité flux-effort………………………………………………………...73

4. Cas 4 : Causalité effort-flux………………………………………………………...73

IV- Exemples d’extraction des paramètres scattering d’un système physique à partir de

son modèle bond graph réduit et causal…………………………………………………….75

IV-1 : Application sur un actionneur électrique……………………………………75

a. Système à une seule branche………………………………………………………..75

b. Système à deux branches…………………………………………………………...78

IV-2 : Application de la procédure analytique d’exploitation de la matrice de

scattering en haute fréquence……………………………………………………………….80

IV-2-1 : Filtres de Tchebychev à éléments localisés……………………………….80

IV-2-2 : Simulation des paramètres scattering du filtre…………………………….85

IV-2-3 : Validation des résultats trouvés…………………………………………...85

IV-2-4 : Discussion………………………………………………………………….86

V- Conclusion………………………………………………………………………….86

CHAPITRE III : PROCEDURE DE REALISATION D’UN MODELEBOND GRAPH D’UN SYSTEME PHYSIQUE A PARTIR DE SAFONCTION ET SA MATRICE DE TRANSFERT

I- Introduction…………………………………………………………………………89

II- Equation d’état issue d’un modèle bond graph dans le cas linéaire………………..90

II-1 : Historique de réalisation de l’équation d’état………………………………...90

II-2 : Forme particulière des matrices d’état………………………………………..91

II-1-1 : Hypothèse…………………………………………………………………..91

II-1-2 : Propriétés du quadruplet (A, B, C, D)……………………………………...91

II-3 : Application à un filtre haute fréquence……………………………………….93

III- Détermination de l’équation d’état par le développement en alpha-beta d’une

fonction de transfert………………………………………………………………………...95

III-1 : Réalisation de l’équation d’état……………………………………………...95

III-2 : Application aux paramètres scattering (S11, S12, S21 et S22) d’un filtre haute

fréquence……………………………………………………………………………97

III-2-1 : Cas d’un filtre électrique de type T………………………………………..98

III-2-2 : Cas d’un filtre de Tchebychev (fc=10GHz)……………………………...100

IV- Procédure de réalisation d’un modèle bond graph dans le cas mono-variable……103

IV-1 : Analyse de la structure de la représentation d’état…………………………104

IV-2 : Réalisation du modèle bond graph d’un système mono-variable………….104

V- Procédure de réalisation du modèle bond graph dans le cas multi-variable………106

V-1 : Les notions de réalisation minimale d’un modèle bond graph……………...106

V-1-1 : Forme de SMITH-MAC MILLAN d’une matrice de transfert…………...106

V-1-2 : Propriétés et théorèmes de la réalisation minimale……………………….107

V-2 : Représentation d’état associée à une matrice de transfert…………………..108

V-3 : Structure du modèle bond graph dans le cas multi-variable………………...110

V-4 : Réalisation minimale du modèle bond graph……………………………….111

VI- Applications en haute fréquence…………………………………………………..115

VI-1 : Cas mono-variable………………………………………………………….115

VI-2 : Cas multi-variable………………………………………………………….117

VII- Conclusion………………………………………………………………………...120

CHAPITRE VI : PRESENTATION ET REALISATION DU MODELE

SCATTERING BOND GRAPH DES FILTRES PASSIFS HAUTES

FREQUENCES

I- Introduction………………………………………………………………………..123

II- Discussion autour de la réalisation de la matrice scattering………………………124

II-1 : Calcul de la matrice scattering à partir d’un bond graph acausal…………...124

II-2 : Comparaison à la procédure analytique d’exploitation : Application à un

tronçon de ligne de transmission élémentaire……………………………………………..126

II-3 : Discussion et commentaire………………………………………………….131

III- Procédure de réalisation du scattering bond graph………………………………..132

III-1: Scattering bond graph d’un quadripole……………………………………..133

III-2: Scattering bond graph d’un système complet……………………………….139

III-2-1 : Cas des impédances réelles………………………………………………139

III-2-2 : Cas des impédances quelconques………………………………………...141

III-3 : Scattering bond graph et réalisation minimale……………………………..142

IV- Conclusion………………………………………………………………………..143

CONCLUSION GENERALE

Conclusion générale……………………………………………………………………….145

ANNEXES

Annexe A

Représentation scattering des différents éléments 1-port, 2-ports………………………...149

Annexe B

1. Premier cas possible……………………………………………………………….151

2. Deuxième cas possible…………………………………………………………….153

Annexe C

Présentation du formalisme Bond Graph………………………………………………….157

I- Introduction………………………………………………………………………..157

II- Les variables généralisés…………………………………………………………..157

III- Les éléments de base en Bond graph……………………………………………...158

III-1 : Les éléments passifs………………………………………………………..159

III-1-1 : Eléments dissipatifs : R…………………………………………………..159

III-1-2 : Eléments de stockage d’énergie : C et I………………………………….159

III-2 : Les éléments actifs…………………………………………………………160

III-3 : Les jonctions………………………………………………………………..161

1) Jonction 0 (zéro)…………………………………………………………………161

2) Jonction 1(un)……………………………………………………………………161

3) Jonction TF (transformateur)……………………………………………………...162

4) Jonction GY (gyrateur)……………………………………………………………162

III-4 : Les Détecteurs……………………………………………………………...163

IV- Notion de causalité………………………………………………………………...163

IV-1 : Affectation de la causalité sur les éléments…………………………………...164

IV-2 : Chemins et boucles causales…………………………………………………..165

IV-2-1 : Définition……………………………………………………………………165

IV-2-2 : Gain de boucle causale………………………………………………………166

V- Relation entrée-sortie dans le bond graph causal………………………………….167

VI- Conclusion………………………………………………………………………...168

Annexe D

Les étapes de la procédure analytique d’exploitation de la matrice S…………………….170

Annexe E

Développement d’une fonction de transfert en fractions continues et factorisation des

matrices de transfert……………………………………………………………………….174

I- Développement en fraction continue de la fonction de transfert………………….174

II- Factorisation d’une matrice de transfert quelconque……………………………...176

II-1 : Théorème de Smith-Mac Millan…………………………………………….176

II-2 : Matrice de transfert factorisée………………………………………………176

Annexe F

Interprétation physique du modèle bond graph et réalisation par la méthode de Synthèse

d’Impédance………………………………………………………………………………179

I- Interprétation physique du modèle bond graph…………………………………...179

II- Réalisation d’un modèle bond graph par la méthode de synthèse d’impédance….180

Annexe G

Réalisation d’impédance et de circuit avec des lignes microbandes……………………...184

1. Équivalence entre un tronçon de ligne et une inductance ou une capacité………..184

2. Réalisation d’inductances et de capacités…………………………………………185

3. Réalisation de circuits résonnants ou anti-résonnants…………………………….187

4. Filtre passe-bas…………………………………………………………………….190

a) Modélisation classique…………………………………………………………….190

b) Réalisation avec des tronçons de lignes microbandes…………………………….191

c) Filtre de Cauer…………………………………………………………………….192

5. Filtres passe-haut………………………………………………………………….192

6. Filtres passe-bande en lignes microbandes………………………………………..194

a) Modélisation………………………………………………………………………194

b) Réalisation avec des tronçons de lignes microbandes…………………………….195

BIBLIOGRAPHIE

Bibliographie……………………………………………………………………………...197

PUBLICATIONS

Publications………………………………………………………………………………..211

LISTE DES SYMBOLES

A.U 2010-2011 Page 13

LISTE DES SYMBOLES

P t : Puissance instantanée.

e t : Effort instantané.

f t : Flux instantané.

12P : Puissance qui circule d’un système 1 vers un système 2.

21P : Puissance qui circule d’un système 2 vers un système 1.

12w : Onde circulant d’un système 1 vers un système 2.

21w : Onde circulant d’un système 2 vers un système 1.

wi : Onde incidente.

wr : Onde réfléchie.

; : Effort et de flux réduits (intrinsèques).

H : Matrice de transformation linéaire.

etL d M d : Matrices d’opérateurs différentiels.

etT T

: Matrices caractérisant un système idéal.

SR : Coefficient de réflexion caractérisant l’élément résistif R.

SC : Coefficient de réflexion caractérisant l’élément capacitif C.

SI : Coefficient de réflexion caractérisant l’élément inductif I.

ou bienX x : Vecteur d’état.

ou bienU u : Vecteur d’entrée.

ou bienY y : Vecteur de sortie.

P PC r : Puissance transférée à une charge (puissance réfléchie).

Pi : Puissance incidente.

W : Matrice d’ondes.

T : Matrice de transfert.

A.U 2010-2011 Page 14

S : Matrice de Scattering.

0R : Résistance de normalisation.

i : Variable d’énergie réduite associée à un élément i.

i : Élément de stockage d’énergie réduit associé à un élément i.

Hii : Opérateur intégro-différentiel associé aux chemins causaux des ports Pi-Pi.

Hij : Opérateur intégro-différentiel associé aux chemins causaux du port Pj vers le port Pi.

,1 1w wi r : Variables d’onde incidente et réfléchie associées au port P1.

,2 2w wi r : Variables d’onde incidente et réfléchie associées au port P2.

: Opérateur intégro-différentiel associé au déterminant d’un modèle bond graph.

i : Opérateur intégro-différentiel associé au déterminant réduit extrait à partir de en y supprimant les boucles

touchant le chemin causal entrée-sortie.

L si : Transmittance du chemin entrée-sortie.

MD : Matrice de transfert directe, résultante d’une division Euclidienne.

s : Forme de Smith-Mac Millan.

S sdégé

: Matrice Scattering dégénérée.

Ss : Matrice Scattering série.

S p

: Matrice Scattering parallèle.

Ssp

: Matrice Scattering d’un système en cascade (série-parallèle).

d s : Dénominateur commun d’une matrice Scattering.

g : Coefficients de réflexion d’une source d’alimentation.

C : Coefficient de réflexion d’une charge.

tg : Coefficient de transmission d’une source d’alimentation.



A.U 2010-2011 Page 16


La caractérisation des circuits hautes fréquences par la répartition des

ondes incidentes et réfléchies aux différents accès d’un système est une

technique connue et utilisée depuis le début du siècle. Cette répartition est

transcrite par une matrice dite matrice de répartition ou appelée souvent

matrice « Scattering » notée S.

Le formalisme scattering, permet de représenter la répartition entre les

ondes de puissances incidentes et réfléchies, est utilisé classiquement en

hyperfréquences ou autrement en théorie des lignes. Il représente un

opérateur entrées-sorties fréquentiel, mais non une matrice de transfert,

puisque la matrice scattering associée à deux blocs en série n’est pas le

produit des deux matrices scattering correspondantes. Généralement, le

formalisme scattering apparaît comme une représentation unifiée des moyens

d’investigation des circuits et réseaux dans un domaine extrêmement vaste

allant des très basses fréquences rencontrées en électrotechnique jusqu’aux

très hautes fréquences (fréquences optiques, micro-ondes…).

Du coté des bond-graphistes, les paramètres scattering ont été évoqués

dés les premières recherches et travaux sur les bond-graphs et ont montré

que ce formalisme constitue une approche alternative pour la modélisation des

systèmes physiques.

Bien que ces travaux sur ce formalisme restent limités, du moins en ce

qui concerne les bond-graphistes, la présentation de ce qui a été fait dans ce

domaine nous permettra d’améliorer la méthodologie, qui a été basée sur un

bond graph acausal, par une nouvelle méthodologie, basée sur un bond graph

transformé, réduit, causal et parfois décomposé. Cette amélioration à pour but

le calcul de la matrice de scattering S d’un système physique fonctionnant

souvent en hautes fréquences ainsi que sa modélisation par la construction de


A.U 2010-2011 Page 17

ce que nous appellerons le « Scattering Bond Graph ». Ce nouveau modèle

aura comme particularité de montrer explicitement les différentes ondes de

puissance dans ce système physique.

Afin de valider les résultats expérimentaux déjà publiés et qui sont

basés sur la détermination des paramètres scattering (S11, S12, S21 et S22) et

leurs simulations sous HP-ADS, nous avons devisé nos études en quatre

chapitres.

Le premier chapitre sera devisé en deux grandes parties. Au cours de la

première partie, nous allons présenter brièvement le formalisme scattering et

montrer qu’il possède les mêmes propriétés que les formalismes de types

réseaux et particulièrement l’hypothèse de réticulation. Cette hypothèse

permet la séparation des phénomènes, ainsi que les concepts de structures de

jonction simple et pondérée qui conservent la continuité de la puissance

comme le préconise PAYNTER et BUSH-VISHINIAC dans leurs travaux.

Nous nous baserons aussi sur les propriétés de la matrice S ainsi que

les travaux qui ont concerné les domaines d’utilisation du formalisme

scattering pour montrer que ce dernier représente une approche alternative

pour la modélisation des systèmes physiques.

La caractérisation des transferts de puissance entre les systèmes

physiques en interaction sera abordée dans la deuxième partie du premier

chapitre. Cette caractérisation de transfert de puissance, se base sur les

travaux de HOGAN, ainsi que sur l’étude des variables effort et flux et les

notions d’impédance et d’admittance généralisées.

Cette caractérisation va aussi nous montrer qu’il est possible d’étendre

formellement les concepts introduits par le formalisme scattering. Cela dans

le but d’introduire d’autres grandeurs similaires à celles utilisées par ce


A.U 2010-2011 Page 18

formalisme et notamment le formalisme bond graph qui permet de mieux

décrire les problèmes de transferts de puissance entre les systèmes.

Alors que dans le deuxième chapitre, nous allons présenter une

procédure analytique d’exploitation des paramètres scattering d’un système

linéaire complexe. Cette procédure permet d’établir, pour ce système, les

relations de scattering entre une entrée et une sortie fixée. Elle présente un

aspect calculatoire automatique ce qui nécessite une préparation préalable du

système sous la forme d’une structure arborescente à une seule branche pour

pouvoir tirer profil du chainage par calcul matriciel.

En se basant sur cette même procédure d’exploitation, nous allons

présenter aussi dans ce chapitre, une méthode systématique qui utilise

conjointement le formalisme scattering et l’approche bond graph pour la

détermination de ces paramètres scattering.

Cette méthode, qui lie le formalisme scattering et le formalisme bond

graph, se base sur une procédure algèbro-graphique. Elle utilise les notions

des chemins causaux et la règle de Masson appliquée sur le modèle bond

graph causal, réduit et transformé du système linaire dont on veut déterminer

ses paramètres scattering (coefficients de réflexion (S11, S22) et de

transmission (S12, S21) ).

Dans le deuxième chapitres, nous avons présenté et appliquer la

procédure analytique d’exploitation des paramètres scattering à partir d’un

modèle bond graph réduit et causal d’un système physique donné et

notamment les filtres à éléments localisés qui fonctionnent en haute

fréquence. Après une exposition de la technique bond graph en mettant

l’accent sur tous les aspects pratiques que fournit cette approche dans la

compréhension et l’analyse des systèmes complexes, nous allons essayer,

dans le troisième chapitre, d’effectuer une étude inverse à celui du deuxième


A.U 2010-2011 Page 19

chapitre. Cette étude permet d’obtenir un modèle bond graph à partir de la

fonction ou la matrice de transfert d’un système physique tel que les filtres

hauts fréquence utilisés dans le second chapitre.

Nous sommes donc confrontés à une problématique d’un autre type qui

consiste à s’interroger sur la possibilité d’intégrer un modèle sous forme de

fonction de transfert comme sous-partie d’un modèle bond graph globale sans

pour autant perdre les avantages graphique déjà évoqué. Nous pouvons dire,

dans ce cas, que ce chapitre représente une introduction au quatrième

chapitre.

Enfin, dans le dernier chapitre, nous allons mettre l’accent sur la

réalisation d’un modèle bond graph de type particulier capable de modéliser

les ondes incidentes et réfléchies qui se propagent de la source vers la charge

à travers un circuit électrique à base d’éléments localisés et/ou distribués

(lignes microbandes).

Autrement, dans le quatrième chapitre, nous avons cherché à mettre en

évidence les ondes de puissances et leurs propagations sur un bond graph

appelé souvent « Scattering Bond Graph ». Ce modèle possède une

interprétation physique, plus facile à manipuler qu’un modèle mathématique

abstrait, et qu’il propose une approche temporelle des phénomènes modélisés

habituellement avec les outils fréquentiels.

Premier Chapitre

LE FORMALISME SCATTERING ET SON RAPPORTAVEC L’APPROCHE BOND GRAPH

Chapitre I : Le Formalisme Scattering….

A.U 2010-2011 Page 21

Généralité Sur Le Formalisme Scattering

Chaque système physique simple ou complexe, présente des propriétés importantes

qui risquent d’être masquées par un formalisme mal adapté et des équations trop

compliquées ; d’où la nécessité d’un formalisme approprié et bien choisit qui pourrait

caractériser et décrire au mieux notre système.

La caractérisation d’un système donné nécessite alors à se fixer un ensemble de

variables physiques généralement mesurables et d’établir les relations mathématiques

constitutives et topologiques du système étudié et qui lient ces variables entre elles.

Typiquement, pour un système électrique linéaire à n-ports ou accès, la démarche

classique consiste à le caractériser par un ensemble d’équations linéaires liant entre elles les

variables courants et tensions aux divers accès de ce réseau ; ces relations, découlent de

l’application des lois d’Ohm-Kirchhoff et des relations constitutives des éléments de ce

système.

Nous pouvons, à titre d’exemple, définir la matrice d’impédance Z et d’admittance Y

après avoir utilisé un calcul et un regroupement transformationnel des variables et des

relations constitutives du système et suivant le problème à résoudre qui, à son tour, peut

devenir plus simple ou plus difficile à comprendre en fonction de l’approche ou le formalisme

adopté. C’est pourquoi, il est important pour les analystes d’adopter une attitude flexible et

d’étudier diverses approches afin de trouver la technique la plus appropriée vue que

l’utilisation de ces formalismes ou approches n’est pas toujours adaptée pour la résolution des

problèmes posés chaque fois qu’on essaie de caractériser un système donné.

Autrement, lorsqu’on a essayé d’étendre aux ondes de fréquences plus hautes les

techniques d’analyse des circuits basses fréquences, des difficultés sont apparues. En effet, en

microondes, les dimensions des circuits deviennent comparables aux longueurs d’ondes, les

courants aux extrémités d’une simple impédance changent en amplitude et en phase et il

devient, par conséquent, difficile de définir le potentiel scalaire entre deux points. Ces

difficultés ont été réduites par l’utilisation de la théorie des lignes de transmission, qui prend

en compte les variations longitudinales des courants et des tensions dont l’utilisation est

limitée par la plage de fréquence étudiée.

Il a fallu alors considérer la distribution des champs magnétiques et électriques donnée

par la théorie électromagnétique. Des difficultés nouvelles sont apparues dans les systèmes

présentant des régions de discontinuités. Les concepts d’impédance et d’admittance sont

utilisables, mais les relations obtenues sont pour le moins difficiles à interpréter

physiquement.


A.U 2010-2011 Page 22

La théorie de la diffraction, qui se base sur l’étude des ondes électromagnétiques de

très courtes longueurs d’onde, c’est introduit pour interpréter les phénomènes se produisant

lorsque les obstacles sont de l’ordre de grandeur des guides d’ondes présentant des

discontinuités. L’étude de ces discontinuités a lieu en régime harmonique et dans le domaine

linéaire, ce qui a permis d’utiliser sans difficultés le calcul matriciel.

Le problème général posé est la caractérisation des jonctions de guides d’ondes

constituant un système à plusieurs accès et l’étude des phénomènes de transmission d’ondes

entre ces différents accès et leurs réflexions aux entrées. Ces coefficients de transmission et de

réflexion, relevés ou calculés constituent les éléments de la matrice scattering ou matrice de

répartition S et sont fonction des discontinuités internes.

Les nouvelles applications de la matrice S sont apparues approximativement vers les

années soixante et depuis cette période, l’évolution rapide des technologies et l’apparition des

circuits microondes de faibles dimensions en technologie tri-plaque ont donné un regain

d’actualité à l’utilisation de la matrice scattering. Alors, on a assisté à une caractérisation de

circuits de fréquences de plus en plus basse par des processus faisant appel au formalisme de

la matrice S avec des notions basse fréquence.

Il est clair que la caractérisation des circuits par le formalisme de la matrice S a ainsi

conduit à travers les fréquences, à un étonnant mouvement de va et vient, des basses

fréquences à l’optique, puis de l’optique aux basses fréquences, suivi d’une nouvelle

incursion vers les fréquences hautes. Pour cela, les physiciens tel que RIVER et SARDOS

[River et Sardos, 1982] ont constaté que l’étude d’un grand nombre de technologies, a priori

très diverses, peut ce mener de manière unifiée à partir du concept de la matrice scattering.

Du coté des Bond-Graphistes, PAYNTER et BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al.

1988] ont montré que le formalisme scattering constitue une approche alternative pour la

modélisation des systèmes physiques. Ils ont rappelé d’une part quelques propriétés et

notamment l’orthogonalité de la matrice S qui respecte d’une façon intrinsèque les relations

causales et inclut explicitement les lois de conservation et d’autre part, ils ont montré que la

représentation scattering existe pour des systèmes n’ayant ni impédance ni admittance tels que

les jonctions de Kirchhoff, les gyrateurs et les transformateurs. D’autre part, la représentation

scattering n’est pas limitée aux systèmes constitués par des éléments linéaires mais aux

systèmes causaux.

Le premier chapitre sera devisé en deux grandes parties. Au cours de la première

partie, nous allons présenter brièvement le formalisme scattering et montrer qu’il possède les

mêmes propriétés que les formalismes de types réseaux et particulièrement l’hypothèse de

réticulation qui permet la séparation des phénomènes, ainsi que les concepts de structures de

jonction simple et pondérée qui conservent la continuité de la puissance comme le préconise

PAYNTER et BUSH-VISHINIAC dans leurs travaux [Paynter et al. 1988].


A.U 2010-2011 Page 23

Nous nous baserons aussi sur les propriétés de la matrice S ainsi que les travaux qui

ont concerné les domaines d’utilisation du formalisme scattering pour montrer que ce dernier

représente une approche alternative pour la modélisation des systèmes physiques.

La caractérisation des transferts de puissance entre les systèmes physiques en

interaction sera abordée dans la deuxième partie du premier chapitre et cela en se basant sur

les travaux de HOGAN [Hogan, a, 1985 ; Hogan, b, 1985 ; Hogan, c, 1985] ainsi que

l’étude des variables effort et flux et les notions d’impédance et d’admittance généralisées.

Cette caractérisation va nous montrer qu’il est possible d’étendre formellement les

concepts introduits par le formalisme scattering pour introduire d’autres grandeurs similaires à

celles utilisées par ce formalisme et notamment le formalisme bond graph qui permet de

mieux décrire les problèmes de transfert de puissance entre les systèmes.

Les concepts du bond graph peuvent construire un autre point de vue plus adapté à

l’étude et la compréhension de transfert de puissance entre les systèmes. Ces concepts sont

rendus possibles grâce à une transformation linéaire des variables effort et flux en variables

d’onde incidente et onde réfléchie.


A.U 2010-2011 Page 24

PREMIERE PARTIE

Présentation du Formalisme Scattering : Une approche

alternative pour la modélisation des systèmes physiques


A.U 2010-2011 Page 25

I- Introduction

Comme nous l’avons montré précédemment, la répartition des ondes incidentes et

réfléchies aux différents accès d’un système donné est transcrite par une matrice de répartition

ou matrice scattering noté S qui a été utilisé, généralement, dans de vastes domaines

physiques à titre d’exemple, l’optique de diffraction pour la caractérisation des circuits très

hauts fréquences. Ce formalisme apparait donc comme une approche unifiée des moyens

d’investigation des circuits et réseaux dans un domaine extrêmement vaste allant des très

basses fréquences rencontrées en électrotechnique jusqu’aux fréquences optiques.

Il apparaît alors primordial, lors de l’étude d’un système physique, de choisir le

formalisme le mieux adapté permettant d’obtenir les relations mathématiques les plus faciles à

comprendre et à interpréter. La diversité des méthodologies mises à notre disposition nous

procure alors une flexibilité quant à l’outil a utilisé en fonction de l’objectif à atteindre.

Dans cette partie, et après un rappel succinct du formalisme scattering en mettant

l’accent sur la simplicité des relations qui caractérisent les problèmes énergétiques et de

transfert de puissance, nous montrerons, en se basant sur les travaux de PAYNTER et

BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al. 1988], que ce formalisme constitue une approche

alternative pour la modélisation des systèmes physiques et qu’il possède les mêmes propriétés

que le formalisme bond graph qui fait partie de la classe des représentations de type réseaux.

Ces représentations, qui ont été par la suite formalisées mathématiquement sous forme de

graphes, sont basées sur l’identification et l’idéalisation des caractéristiques intrinsèques des

milieux physiques et sur la structuration d’un système physique complexe sous forme de

réseaux.

La théorie des analogies en physique permet alors au bond graph de généraliser la

représentation réseaux à tous les domaines de la physique classique des systèmes à paramètres

localisés et à paramètres distribués.

II-Présentation du formalisme scattering

Vu que la définition des frontières d’un système physique est nécessaire au cours de sa

modélisation, l’hypothèse de réticulation introduite par PAYNTER [Paynter et al. 1888],

nous permette de supposer qu’il est possible de séparer et de localiser les propriétés de l’objet

physique qui constitue le système donné et donc de définir l’objet comme un ensemble de

propriétés élémentaires reliées entre elles.

II-1 : Systèmes physiques et variables d’ondes

Nous supposons, en se basant sur l’hypothèse de réticulation [Paynter et al. 1888],

que tout espace contenant un système physique peut se diviser en deux parties : le système

propre et son environnement qui à leurs tour se partagent une relation symétrique : est que

chacun des deux constitue un environnement pour l’autre.


A.U 2010-2011 Page 26

Cette proposition implique que toute communication entre le système et son environnement

peut être représentée par deux pairs de branches orientées et de sens opposés. Ainsi, le

système et l’environnement peuvent envoyer et réceptionner mutuellement des informations à

travers ces branches. La même logique reste valable si nous traçons une limite interne dans le

système. Toutes les interactions peuvent aussi être représentées par deux paires de branches

orientées et opposées.

Considérons maintenant deux systèmes SYS1 et SYS2 en interaction et communiquant entre

eux comme l’indique la figure I.1.

Figure I.1 : Systèmes physiques en interaction

Le SYS1 et SYS2 représentent deux éléments dont chacun possède un port par lequel il

communique. La liaison entre ces deux éléments est effectuée par un lien simple qui

représente aussi bien l’interconnexion que l’interaction.

En se basant sur l’hypothèse de la continuité de puissance [Breedveld, 1985 ;

Breedveld, 1988] et la notion de conservation d’énergie qui est assurée par un flux d’énergie

entre éléments, nous pouvons dire que le lien liant SYS1 et SYS2 représente ce même flux

d’énergie et on peut lui associer une grandeur commune noté P (puissance instantanée) qui

représente le produit de deux variables conjuguées : l’effort noté e et le flux noté f qui sont

utilisées dans tous les domaines énergétiques comme le montre le tableau I.1.

La puissance instantanée dans le lien connectant les deux éléments SYS1 et SYS2 est donnée

par l’équation ci-dessous.

P t e t f t (I.1)

A B


A.U 2010-2011 Page 27

Effort : e Flux : f

Translation Force F/N Vitesse v/ms-1

Rotation Couple T/Nm Vitesse angulaire Ω/rad.s-1

Hydraulique Pression p/Nm-2Débit volumique v/m

-3.s-1

Acoustique Pression p/Nm-2Débit volumique v/m

-3.s-1

Electrique Tension u/V Courant i/A

Chimique Potentiel chimique µ/J.mol-1 Flux molaire N/ J.mol-1

Thermodynamique Température T/K Flux d’entropie S/W.K-1

Tableau I.1 : variable associées pour chaque domaine physique

La puissance P peut se mettre sous la forme suivante :

12 21P P P (I.2)

Avec :

P12 : puissance qui circule de SYS1 vers SYS2.

P21 : puissance qui circule de SYS2 vers SYS1.

Dans l’hypothèse introduite par PAYNTER et BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al. 1988] on

peut associer, pour chacune des deux puissances P1 et P2, un scalaire positif que l’on peut

définir par les expressions suivantes :

212

122

wP (I.3)

221

212

wP (I.4)

Où :

W12 : onde circulant de SYS1 vers SYS2.

W21 : onde circulant de SYS2 vers SYS1.

Le lien connectant le SYS1 et SYS2 dans la figure I.1, peut être décomposé pour chaque

système, en deux branches. Chaque branche représente soit l’onde incidente Wi soit l’onde

réfléchie Wr comme l’indique la figure I.2.


A.U 2010-2011 Page 28

Figure I.2 : Représentation scattering

Wi1 et Wi2 : ondes incidentes associées aux signaux entrant dans SYS1 et SYS2.

Wr1 et Wr2 : ondes réfléchies associées aux signaux sortant de SYS1 et SYS2.

Les ondes W12 et W21 représentent les amplitudes de vibration des ondes correspondantes. Ce

concept est introduit dans le formalisme scattering [Carlin et Giordano, 1964 ; Montgomery

et al. 1948 ; Paynter et al.1988].

Si maintenant les deux systèmes SYS1 et SYS2 sont couplés, l’hypothèse de la continuité de

puissance [Breedveld, 1988 ; Paynter et al. 1988] permet d’impliquer :

1 21 2i rw w w (I.5)

1 12 2r iw w w (I.6)

L’universalité de l’application du formalisme scattering, permet de lier les variables ondes Wi

et Wr aux variables habituelles effort et flux c’est pour ça qu’on peut signaler que la puissance

P circulant dans le lien connectant les deux systèmes SYS1 et SYS2 s’écrit sous la forme d’un

produit de deux variables intrinsèques notées : (variable effort intrinsèque) et (variable

flux intrinsèque) provenant de la transformation linéaire développée par BREEDVELD

[Breedveld, 1984].

Soit :

2 22 2 .

2 2i rw w

P (I.7)

2 2 2 2 .2 2

i r i rw w w w

(I.8)

A partir de l’équation (I.8), on peut écrire la transformation linéaire suivante :

2 2

2 2

1 11

1 12

i i

r r

w wH

w w

(I.9)

La relation matricielle indiquée par l’équation ci-dessous représente le passage des variables

d’effort et de flux intrinsèques (,) aux variables d’ondes (wi, wr) par le biais d’une

transformation linéaire inverse de la transformation H.

A BWr1

W12

Wi2Wi1

W21

Wr2

Wr1 Wi2


A.U 2010-2011 Page 29

1 11

1 12

i

r

wH

w

(I.10)

La matrice H est orthogonale vue qu’il existe une égalité entre cette matrice et son inverse.

II-2 : Représentation scattering

Généralement, la caractérisation d’un réseau linéaire quelconque peut se faire par des

équations algèbro-différentielles linéaires qui relient entre elles les variables effort et flux des

diverses paires de ports à ce réseau.

Suivant la nature du problème à résoudre, on peut utiliser ces équations sous diverses formes

puisqu’ils résultent de l’utilisation des lois d’Ohm-Kirchhoff et des relations constitutive des

éléments.

On peut définir les matrices impédance Z et admittance Y, qui suivant BELEVITCH

[Belevitch, 1948] peuvent ne pas exister contrairement à la représentation scattering, en

arrangeant les coefficients complexes caractéristiques du réseau dans un tableau ou une

matrice, cela se fait par l’utilisation du calcul transformationnel et le regroupement des

variables de même nature dans un vecteur.

Considérant maintenant un système linéaire quelconque à n-ports caractérisé par les variables

et comme l’indique la figure ci-dessous :

Figure I.3 : Système linéaire à n ports

L’expression linéaire générale développée par OONO [Oono et Yasura, 1954] et qui relie le

vecteur des variables d’effort et au vecteur des variables de flux est donnée ci-dessous :

0t

L d M dt

(I.11)

L et M : matrices d’opérateurs différentiels.

d : opérateur de dérivation temporelle.

Système linéaire

multiports

n

n

1 1

2

2

j j


A.U 2010-2011 Page 30

La résolution de l’équation (I.11) par rapport à donne, dans le cas où L est inversible,

l’équation ci-dessous :

1 . .t L d M d t (I.12)

Et si M est inversible, la résolution de la même équation par rapport à donne :

1 . .t M d L d t (I.13)

En appliquant la transformé de LAPLACE sur les équations (I.12) et (I.13), on aura les

nouvelles équations ci-dessous :

.p Z p p (I.14)

.p Y p p (I.15)

En se basant sur les travaux effectués par BELEVITCH [Belevitch, 1948] ainsi que ceux de

PAYNTER et BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al. 1988], nous pouvons utiliser l’équation

(I.10) pour transformer l’équation (I.11) sous la forme ci-dessous :

i r i rL d w t w t M d w t w t (I.16)

La résolution de l’équation ci-dessus par rapport à Wr donne :

1

. .r i iw t M d L d M d L d w t S d w t

(I.17)

D’où l’opérateur différentiel multidimensionnel [Paynter et al. 1988] nommé aussi opérateur

de scattering S est tel que :

1.S M L M L

(I.18)

Remarque :

La matrice d’impédance Z ou d’admittance Y ne sera plus définie pour le système

dans le cas où les matrice L et M sont singulière [Paynter et al. 1988]. Dons il est

impossible de caractériser conventionnellement le système en terme de matrice

impédance ou matrice admittance.

Dans le même cas, la matrice S existe et la représentation scattering est plus

conventionnelle utilisant les variables effort et flux et les matrice d’impédance et

d’admittance.

Dans le contexte de la représentation scattering, le système linéaire à n-ports

représenté par la figure I.3 sera caractérisé par les variables ondes comme l’indique la figure

suivante :


A.U 2010-2011 Page 31

Figure I.4 : Caractérisation d’un système à n ports par les variables d’ondes

Les variables d’ondes incidentes et d’ondes réfléchies indiquées sur la figure ci-dessus,

s’écrivent sous la forme générale suivante :

11 12 11 1

222 2

1

nr i

r i

n nj nnrn in

S S Sw w

Sw w

S S Sw w

(I.19)

Ou bien :

r iw S w (I.20)

Les éléments de la diagonale de la matrice S désignent les coefficients de reflexion alors que

les éléments extra-diagonaux désignent les coefficients de transmission. Tous ces coefficients

sont appelés coefficients de scattering et sont constitués par une combinaison linéaire

d’opérateurs algébriques ou différentiels [Montgomery et al.1948; Oswald, 1958 ; Paynter

et al. 1988].

II-2.1 : Structure de jonction simple et orthogonalité de la matrice S

Plusieurs propriétés de la matrice scattering ont été évoquées et démontrées dans les

travaux de PAYNTER et BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al. 1988] ainsi que ceux de

MONTGOMMERY [Montgomery et al. 1948] et leur permettant de qualifier de façon

générale que le formalisme scattering est une approche alternative pour la modélisation des

systèmes physiques.

Une des propriétés importante est l’orthogonalité de la matrice scattering associée à un

système idéal [Paynter et al. 1988 ; Pannenborg, 1952]. En particulier dans le cas d’un

système idéal, non énergétique, c'est-à-dire un système dans lequel aucune énergie n’est

créée, stockée ou dissipée, ne peut assurer que la continuité et la conservation de l’énergie à

travers tous ses ports, la matrice scattering S est unitaire.

Système linéaire

multiports

Win

Wrn

Wi1 Wr1

Wr2

Wi2

Wrj Wij


A.U 2010-2011 Page 32

Pour le système idéal représenté par la figure I.4, la condition de conservation de la puissance

est tel que :

10

2

T T Ti i r rP t t t w w w w (I.21)

En replaçant l’expression du vecteur d’onde réfléchie en fonction du vecteur d’onde incidente

dans l’expression ci-dessus on aura une autre expression de la puissance :

r iw t S d w t (I.22)

1. . . 0

2T T Ti i i iP t w w w S S w (I.23)

D’où le résultat suivante :

.TS S I (I.24)

I est la matrice identité.

D’après ce résultat, on peut considérer que tous les ports du système idéal sont

interchangeables et la matrice scattering prend la nouvelle forme suivante :

T

a b b

b a

S S

b a b

b b a

(I.25)

Avec :0

ii

ij

S a

S b

, :i j i j

Il en résulte de la condition d’orthogonalité de l’équation (I.24) l’expression suivante :

1 0 0

0 1

.

1 0

0 0 1

T

a b a b

b b

S S a a

b b b b

b b a b b a

(I.26)

Les contraintes sur les éléments a et b sont :

2 2

2

1 1

2 2 0

a n b

ab n b

(I.27)


A.U 2010-2011 Page 33

La solution du système précédent est telle que :

21

2

an

bn

(I.28)

Les expressions de ces solutions en terme de variables conventionnelles et sont :

1

2

1

2

i r

i r

w w

w w

(I.29)

En tenant compte de l’équation (I.20), l’expression précédente devient :

1

2

1

2

i i

i i

I S w T w

I S w T w

(I.30)

T et T sont les matrice qui caractérisent le système idéal considéré, et elles lient

respectivement les vecteurs d’effort et de flux (,) aux vecteurs des ondes incidentes et

ondes réfléchies comme l’indique l’équation (I.29).

Ces deux matrices, seront explicitées pour les deux solutions de l’équation (I.28) qu’admet le

système d’équations (Annexe A).

II-2.2 : Structure de jonction pondérée à deux ports

Soit un système idéal et linéaire à deux ports dont la matrice scattering admet la forme

suivante :

S

(I.31)

Avec :

2

2

1

1

0 1


A.U 2010-2011 Page 34

D’où les deux formes possibles après simplification de la forme générale donné par

l’expression (I.31) :

GYS

(I.32)

TFS

(I.33)

D’après les deux formes précédentes de la matrice S, on peut dire qu’il n’existe que

deux éléments idéaux et linéaires à deux ports, le gyrateur idéal et le transformateur idéal

(voir figure I.5), comme le préconisent PAYNTER et BUSCH-VISHNIAC [Paynter et al.

1988]. Ces deux éléments sont caractérisés dans le formalisme scattering par une matrice

alors que la description bond graph ne leur affecte qu’un module intrinsèque qui n’est autre

que le rapport de transformateur et le rapport de gyrateur.

Les résultats précédentes, nous montre d’autres propriétés de la matrice S et

notamment les propriétés de réciprocité et de symétrie [Grivet, 1974]. En effet, nous

constatons que dans le cas de la matrice de scattering du gyrateur, S11=S22 et S12=-S21. Ces

relations impliquent que le gyrateur est un élément symétrique et non réciproque. Alors que

pour la matrice de scattering du transformateur nous constatons que S11=-S22 et S12=S21 ce qui

signifie que le transformateur est un élément non symétrique et réciproque.

Figure I.5 : Représentation scattering d’un système à deux ports.

II-2.3 : Représentation scattering pour un élément à un port

La représentation graphique d’un élément à un port est donnée par la figure suivante :

Figure I.6 : Représentation scattering d’un élément à 1-port.

Dans le cas où le système multiport se traduit à un élément à 1-port, les matrices impédance et

admittance se transforment en une impédance z et une admittance y. les matrices de scattering

se réduisent donc à deux coefficients de réflexion, liant la variable d’onde réfléchie à la

variable d’onde incidente.

A

1Aiw 2Arw

1Arw2Aiw

A

1Aiw

1Arw


A.U 2010-2011 Page 35

Les relations qui caractérisent dans le formalisme scattering les trois éléments à 1-port R, C et

I seront établie dans ce qui suit.

Cas de l’élément R linéaire :

Cet élément est caractérisé par une relation constitutive algébrique entre les variables et,

associé à une dissipation. Cette relation est sous la forme suivante :

r Avec0

Rr

R : R0 résistance de normalisation.

Le coefficient de réflexion SR qui caractérise l’élément R est :

1

1R

rS

r

(I.34)

Dans le cas où R=R0, alors SR=0 et la résistance est dite adaptée vis-à-vis de R0 [Breedveld,

1985 ; Breedveld, 1988 ; Kurokawa, 1969].

Cas de l’élément C linéaire :

Cet élément, qui est un élément de stockage d’énergie par accumulation de flux, est

caractérisé par la relation suivante :

0

10

t

c

d

(I.35)

Avec: 0C CR

En tenant compte de l’opérateur de dérivation d [Zadeh et Dosser, 1963], le coefficient de

reflexion SC qui caractérise l’élément C est le suivant :

1 .

1 .C

C

C

dS

d

(I.36)

N.B :

L’opérateur différentiel d peut être remplacé par l’opérateur s de LAPLACE. (Voir chapitre

II)

Cas de l’élément I linéaire :

Cet élément, qui est aussi un élément de stockage d’énergie par accumulation d’effort, est

caractérisé par la relation suivante :

0

10

t

I

d

(I.37)


A.U 2010-2011 Page 36

Avec :0

I

I

R

L’expression du coefficient de reflexion SI qui caractérise l’élément I est donné ci-dessous en

fonction de l’opérateur de dérivation d.

. 1

. 1I

I

I

dS

d

(I.38)

II-2.4 : Caractérisation des éléments à n-ports

Toutes les définitions et relations établies dans les cas d’1-port peuvent être étendues

au cas n-ports en utilisant une représentation matricielle au lieu des scalaires.

En effet, à partir de l’association de jonctions et d’éléments à 1-port, on peut construire un

système complexe à n-ports ne comportant pas de source.

Considérons, à titre d’exemple, l’élément de stockage C connecté au second port d’une

jonction à effort commun à trois ports (jonction 0 en mot bond graph: figure I.7).

Figure I.7 : Représentation scattering de l’élément C associé à la jonction parallèle

La matrice scattering qui caractérise la jonction à effort commun noté S0 s’écrit sous la forme

suivante :

1 1

2 2

3 3

1 2 21

2 1 23

2 2 1

r i

r i

r i

w w

w w

w w

(I.39)

Nous pouvons écrire, à partir de la figure I.7, les deux relations supplémentaires suivantes :

Elément de

stockage C

Jonction à

effort commun

4iw

2iw

2rw

4rw

3rw

3iw

1rw

1iw


A.U 2010-2011 Page 37

2 4

4 2

i r

i r

w w

w w

(I.40)

Le coefficient de reflexion de l’élément C s’écrit sous la forme suivant :

4 4r C iw t S d w t Où 1 .

1 .C

C

C

dS d

d

En remplaçant les expressions précédentes dans l’équation (I.40) on aura :

2 2i C rw t S d w t (I.41)

La matrice de scattering, caractérisant l’élément C et associée à la jonction à effort commun

(jonction 0 en mot bond graph), prendra donc la forme ci-dessous après l’avoir dégénérer d’un

rang et sera noté S0C.

1 1

3 3

21

22 .

r C i

r C iC

w d w

w d wd

(I.42)

Par analogie, la matrice de scattering caractérisant un élément de stockage I associé à une

jonction à flux commun (jonction 1 en mot bond graph) noté S1I est tel que :

1 1

3 3

21

22 .

r iI

r iII

w wd

w wdd

(I.43)

On peut généraliser cette méthode si on considère une jonction à n-ports, connectée à n

éléments à 1-port. La procédure précédente permet donc de transformer la matrice de

scattering (n x n) associée à la jonction en une autre matrice de dimension (n x m) qui

caractérise le système entier (jonction + éléments).

Le tableau indiqué dans l’annexe B, récapitule les différentes représentations scattering

possibles des éléments 1-port, 2-ports… [Amara, 1991] (Annexe B).


A.U 2010-2011 Page 38

DEUXIEME PARTIE

Interprétation Physique et Représentation Bond Graph

du Formalisme Scattering


A.U 2010-2011 Page 39

I- Introduction

Dans la première partie de ce chapitre, nous avons présenté brièvement le formalisme

scattering en mettant l’accent sue la simplicité des relations qui caractérisent les problèmes

énergétique et de transferts de puissance. En effet, ce formalisme présente les spécificités d’un

système physique de type réseau tel que l’hypothèse de réticulation, la séparation des

phénomènes, la structure de jonction kirchhovienne, etc. Il apparaît donc comme étant un

précurseur au bond graph ou plus encore, les bonds graphs sont nés à partir des variables

scattering comme le préconise PAYNTER [Paynter, 1992].

Dans la deuxième partie de ce chapitre, nous allons essayer d’expliquer le lien naturel

qui existe entre les bonds graphs et le formalisme scattering [Amara et Scavarda, 1991] en

donnant une interprétation physique de ce formalisme par l’étude des interactions entre

plusieurs systèmes pour montrer que les concepts du bond graph, qui introduisent les concepts

du formalisme scattering, peuvent être étendus pour étudier les transferts de puissance entre

ces systèmes et constituent une autre approche plus adapté à l’étude et à la compréhension des

problèmes de transfert de puissance entre les systèmes donnés grâce à une transformation

linéaire des variables d’effort et de flux en variables d’onde incidente et d’onde réfléchie.

II- Interprétation physique du formalisme scattering

Généralement, pour étudier le comportement particulier d’un système physique donné

et d’obtenir ainsi la meilleur compréhension du problème posé, il est primordiale de le

caractériser au mieux avec le formalisme le plus approprié. La technique qui consiste à

adopter une autre approche peut quelquefois rendre la solution du problème posé plus simple,

ce changement d’approche peut être effectué par une opération mathématique appelée souvent

transformation linéaire.

L’utilisation des variables d’effort et de flux ainsi que les notions d’impédance et

d’admittance généralisées introduites par HOGAN [Hogan, c, 1985 ; Hogan, 1987], permet

la caractérisation des interactions entre plusieurs systèmes physiques. L’étude de ces

interactions va nous montrer que le technique bond graph, qui introduit les concepts du

formalisme scattering, peut être étendu pour étudier les transferts de puissance entre ces

systèmes.

II-1 : Interaction dynamique et notion de causalité

Généralement, deux sous-systèmes physiques en interaction dynamique seront décrits

par bond graph comme l’indique la figure ci-dessous :

Figure I.8 : Modèle bond graph de deux sous-systèmes en interaction dynamique

A B


A.U 2010-2011 Page 40

En effet, le comportement dynamique d’un système décrit par bond graph sera étudié en

l’exprimant sous forme d’un système d’équations algèbro-différentielles comme l’indique la

forme générale ci-dessous.

.

( , )

( , )

x g x u

y h x u

(I.44)

Où : x : vecteur d’état (variables généralisées du bond graph).

u : vecteur d’entrée.

y : vecteur de sortie.

Les vecteurs u et y ont pour composantes des efforts et ou des flux.

Pour les deux sous-systèmes A et B de la figure I.8, l’équation précédente sera comme suit :

.

.

( , )

( , )

( , )

( , )

A A A A

A A A A

B B B B

B B B B

x g x u

y h x u

x g x u

y h x u

(I.45)

Dans le cas où le vecteur d’entrée de l’un des deux sous-systèmes devient le vecteur de sortie

de l’autre sous-système et inversement, alors la notion de causalité autorise l’un des sous-

systèmes à imposer l’effort et l’autre le flux et on peut écrire :

A B

B A

u y

u y

(I.46)

Les deux comportements possibles qui peuvent avoir chacun de ces deux sous-systèmes sont :

Si le flux (f) sera accepté en entrée et l’effort (e) en sortie, d’où l’équation (I.44) se

transforme sous la forme suivante :

.

( , )

( , )

x g x f

e h x f

(I.47)

En effet, à tous système dynamique linéaire admettant un flux en entrée et un effort en sortie

est associée la notion d’impédance, et bien que le concept d’impédance soit définit pour un

système linéaire, HOGAN a généralisé la notion d’impédance à 1-port [Hogan, 1985 ;

Hogan, 1987].

Si l’effort (e) sera accepté en entrée et le flux en sortie alors :


A.U 2010-2011 Page 41

.

( , )

( , )

x g x e

f h x e

(I.48)

Le système d’équations ci-dessus, définit selon HOGAN [Hogan, 1987] l’admittance

généralisée associée à 1-port.

L’échange d’énergie entre deux systèmes en interaction dynamique doit respecter le principe

de conservation d’énergie ce qui constitue une des premières conditions vérifiées par le bond

graph [Paynter, 1961]. L’interaction entre les deux sous-systèmes de la figure 8 est

caractérisée par une puissance instantanée qui est une fonction explicite des variables d’entrée

et de sortie (u, y) des deux sous-systèmes considérées. Cette puissance peut être exprimée

comme le produit de deux grandeurs conventionnellement définies par l’effort et le flux.

Nous notons, que pour chacun de ces deux sous-systèmes en interaction dynamique, qu’il est

impossible d’imposer les variables d’effort et de flux à l’autre système à la fois ce qui

constitue une importante contrainte physique [Paynter, 1961].

Dans le cas de l’interaction entre deux sous-systèmes à 1-port, une importante conséquence

apparait et qui réside dans la complémentarité. Autrement dit, si l’un des systèmes est

considéré comme étant impédance, l’autre ne peut être qu’une admittance. Alors que dans le

cas de l’interaction de deux systèmes à n-ports, la contrainte de causalité imposera une seule

impédance ou une seule admittance au niveau d’une jonction commune entre ces systèmes.

Et pour mieux comprendre le principe, considérons l’exemple physique de l’interaction entre

plusieurs sous-systèmes qui est étudié par HOGAN [Hogan, a, 1985 ; Hogan, c, 1985] et

donné par la figure I.9.

Figure I.9 : Exemple physique d’interaction entre des sous-systèmes et un objet

Les sous-systèmes indiqués dans la figure I.9 sont considérés comme des bras de robot qui

saisissent ensemble un objet en un point commun de l’espace [Amara, 1991 ; Amara et

Scavarda, 1991].

La contrainte de causalité associée à la jonction 1 imposée par la vitesse commune à tous les

robots, implique qu’un seul sous-système, équivalent à une admittance, est autorisé à imposer

Sous-

système j

Sous-

système 1

Sous-

système n

Sous-

système 0

Objet


A.U 2010-2011 Page 42

la vitesse. Les autres sous-systèmes acceptant cette vitesse comme entrée seront équivalents à

des impédances comme le montre le modèle bond graph de la figure I.10.

Dans ce cas, nous réécrivons les expressions des équations (I.47) et (I.48) comme suit :

.

0 0 0 0

0 0 0 0

.

1 1 1 1

1 1 1 1

.

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

n n n n

n n n n

x g x e

f h x e

x g x f

e h x f

x g x f

e h x f

(I.49)

Le modèle bond graph correspondant avec les contraintes causales possibles est tel que :

Figure I.10 : Modèle bond graph de l’exemple physique avec les contraintes causales

Avec cette causalité, les équations caractéristiques de la jonction 1 ont pour expression :

.

1 1 1 1

1 1 1 1

( , )

( , )

x g x f

e h x f

Impédance généralisée

Z1

.

0 0 0 0

0 0 0 0

( , )

( , )

x g x e

f h x e

Admittance généralisée

.

( , )

( , )

n n n n

n n n n

x g x f

e h x f


Zn

Y0

1

1e

1f

ne

0e0f


A.U 2010-2011 Page 43

01

1 0

n

ii

n

e e

f f f

(I.50)

Les notions d’admittance et d’impédance généralisées, les variables d’effort et de flux ainsi

que les concepts des bonds graphs sont utilisées et introduites par HOGAN [Hogan, b, 1985 ;

Hogan, 1987] pour mieux comprendre et caractériser, d’une manière globale, des systèmes en

interaction.

L’exploitation de la notion de causalité, qui traduit les relations de cause à effet, permet de

mener des actions pour analyser ces interactions. Ces actions ne concernent que les

comportements entrée-sortie en variables effort et flux et ne peuvent être que globales. Cette

approche se trouve ainsi limitée par la notion très générale de l’impédance et de l’admittance

généralisées qui rend difficile toute manipulation formelle et notamment le calcul des

puissances transférées sans une connaissance plus fine des relations constitutives des

systèmes. L’utilisation des ces notions avec précision, en tenant compte de la nature exacte

des systèmes en interaction, permet d’une part de caractériser les interactions par l’utilisation

des concepts bond graph et notamment les variables effort et flux et les formes impédance et

admittance ; d’autre part, d’étudier les transferts de puissance entre ces systèmes.

II-2 : Etude de transfert de puissance par le formalisme bond graph

Soit l’exemple d’interaction entre trois sous-systèmes physiques où la variable flux est

supposée commun aux trois sous-systèmes, comme l’indique la figure ci-dessous.

Figure I.11 : Systèmes physiques en interaction

La contrainte de causalité sera donc caractérisée par une jonction 1 qui impliquera qu’un seul

système, équivalent à une admittance est autorisé à imposer le flux aux deux autres systèmes

qui auront un comportement d’impédances comme le montre la figure I.12.

Le système SE décrit dans la figure I.11 représente une source d’effort ou encore un élément

idéal qui impose un effort au reste du système.

Système :

SE

Système :

g

Système :

C

Flux commun


A.U 2010-2011 Page 44

Figure I.12 : Modèle bond graph correspondant avec les contraintes causales

Nous pouvons signaler que le modèle bond graph de la figure ci-dessus est similaire à celle du

circuit de Thévenin ou à la forme de Norton qui sont souvent appliquées aux systèmes

linéaires [Shearer et al. 1967].

Pour chaque système, nous pouvons écrire le système d’équation suivant :

Système C :

.

( , )

( , )

C C C C

C C C C

x g x f

e h x f

(I.51)

Système g :

.

( , )

( , )

g g g g

g g g g

x g x f

e h x f

(I.52)

Système SE :

.

( , )

( , )

SE SE SE SE

SE SE SE SE

x g x f

e h x f

(I.53)

La contrainte causale caractérisée par la jonction 1 s’exprime sous la forme :

g SE C

SE C g

e e e

f f f

(I.54)

Les équations (I.51), (I.52) et (I.53) permettent un couplage direct entre l’entrée et la sortie et

peuvent avoir une représentation linéaire sous la forme générale suivante :

e(t)

Source d’effort

: SE

.

( , )

( , )

g g g g

g g g g

x g x e

f h x e

Admittance généralisée

.

( , )

( , )

C C C C

C C C C

x g x f

e h x f


ZC

Yg

1

e

SEf

Ce

gegf

Cf


A.U 2010-2011 Page 45

.

X AX BU

Y CX DU

(I.55)

Supposons que les systèmes C et g, indiqués dans la figure I.11, sont de simple éléments R

donc on aura :

,

.

g g C C

C C C

g

g

g

SE

y R Z R

e R f

ef

R

e e t

(I.56)

Ces équations nous permettent de transformer le modèle bond graph de la figure I.12 en une

autre forme représentant le circuit de Thévenin équivalent au sous-système A (de la figure 8)

qui, à son tour, regroupe la source d’effort idéal SE et la résistance interne Rg, alors que le

sous-système B représente la charge RC comme l’indique la figure I.13.

Figure I.13 : Modèle bond graph du circuit de Thévenin

D’après le système d’équation précédent (équation (I.56)), le flux fC et l’effort eC dans le

système B sont respectivement:

1

C

Cg

G

ef

RR

R

(I.56)

Et :

.

1

CC

CG

G

e Re

RR

R

(I.57)

e(t)

Sous-système A

: SE

Sous-système B

RC

Rg

1

SEe

SEf

Ce

gegf

Cf


A.U 2010-2011 Page 46

La puissance fournie au sous-système B est tel que :

2

2

2 2.

1

C

g

C C C C

C g C

g

Re

ReP t e t f t R

R R R

R

(I.58)

La puissance PC transmise à la charge par le système A sera maximale si RC varie et vérifie la

relation suivante :

1C

g

R

R (I.59)

Ou autrement, C gR R ce qui permet de dire qu’ils sont adaptés [Carlin et Giordano, 1964 ;

Chen, 1964 ; Kurokawa, 1965 ; Kurokawa, 1969] et que la puissance maximale AP délivrée

par le système A, qui ne dépend que des ses paramètres, est égale à celle délivrée au sous-

système B notée *CP [Carlin et Giordano, 1964 ; Kurokawa, 1965 ; Kurokawa, 1969] et a

comme expression :

2*

4C A

g

eP P

R (I.60)

Dans le cas où il n y a pas d’adaptation c.à.d. que 1C

g

R

R , le transfert de puissance ne sera pas

optimale, un transformateur idéal de module n intercalé entre les deux sous-systèmes A et B,

comme le montre la figure I.14, peut maximiser le transfert de puissance.

Figure I.14 : Modèle bond graph d’adaptation par un transformateur idéal

L’équation de la puissance transmise à la charge devient alors :

e(t)

Sous-système A

: SE

Sous-système B

RC

Rg

1

SEe

SEf

Ce

gegf

Cf

TF

1/n


A.U 2010-2011 Page 47

2

2C C

Cg

eP R

RnR

n

(I.61)

Le module de transformateur n capable de maximiser la puissance transmise de A jusqu’à B à

savoir :

C

g

Rn

R (I.62)

N.B : Le transformateur, par son module n, peut jouer le rôle d’un dispositif d’adaptation

entre les sous-systèmes A et B [Chen, 1964].

II-3 : Etude de transfert de puissance par les concepts du formalisme

scattering

II-3-1 : Etude de la puissance incidente et la puissance réfléchie

Considérons le cas où la condition d’adaptation n’est plus respectée, nous pouvons

dire que la puissance circulée entre les deux sous-systèmes A et B sera inférieur à AP qui est

celle délivrée par la source SE (sous-système A).

La différence entre la puissance maximale *CP et CP qui est transférée à la charge sera noté

rP et a comme expression :

2 2*

24r C C A C C

gg C

e eP P P P P R

R R R

(I.63)

Equivalent à :

22

4

C g

r

g g C

R ReP

R R R

(I.64)

Dans le cas d’un fonctionnement en régime sinusoïdale et en se référant à la notion de

puissance moyenne, La puissance rP n’est autre que la puissance réfléchie par la charge

comme le préconise KUROKAWA [Kurokawa, 1965 ; Kurokawa, 1969].

Le coefficient s de reflexion de l’onde de puissance sera définit par le rapport suivant :

C g

g C

R R

R R

(I.65)

La puissance réfléchie rP s’exprime sous la forme suivant :


A.U 2010-2011 Page 48

2r AP s P (I.67)

De même s2 désigne le coefficient de reflexion de puissance.

La puissance transférée au sous-système B sera exprimée comme suit :

C i rP P P (I.68)

Avec iP la puissance incidente [Brown, 1986 ; Hogan, 1987 ; Kurokawa, 1965] décrite par

la relation suivante :

2

4i A

g

eP P

R (I.69)

En substituant les équations (I.67) et (I.69) dans l’équation (I.68), on aura :

21C

i

Ps

P (I.70)

L’expression (1-s2) représente le coefficient de transmission de puissance [Kurokawa, 1965 ;

Kurokawa, 1969] et mesure la fraction de puissance transférée de sous-système A vers le

sous-système B.

La représentation graphique de l’équation (I.70) qui illustre l’allure de la puissance délivrée à

la charge en fonction du rapport C

g

R

Rsera donnée par la figure ci-dessous :

Figure I.15 : Puissance délivrée au sous-système B en fonction de C

g

R

R


A.U 2010-2011 Page 49

L’interprétation de la figure I.15 nous conduit à remarquer deux conditions possibles :

Dans le cas où la condition d’adaptation n’est pas vérifier c.à.d. que 1C

g

R

R , une partie

de la puissance incidente iP sera réfléchie (puissance rP ) vers le sous-système A et a

comme expression 2r iP s P , alors que la puissance dans la charge de sous-système B

prendra la forme suivante : C i rP P P

Or, dans le cas d’une adaptation complète la transmission de la puissance sera totale

( 0 et 1C

g

Rs

R ) et aucune puissance n’est réfléchie.

II-3-2 : Etude de l’onde incidente et de l’onde réfléchie

Afin d’expliquer le concept de la puissance incidente et de la puissance réfléchie, nous

considérons l’expression de l’équation (I.57), qui représente l’effort Ce dans le sous-système

B, et la réécrire sous la forme ci-dessous :

1

2 21

C

g

CC

g

R

Re ee

R

R

(I.71)

Ou encore :

2 2

C g

C

C g

R Re ee

R R

(I.72)

Nous pouvons définir, dans ce cas, les deux nouvelles variables :

L’effort incident :2

i

ee (I.73)

L’effort réfléchi :2

C g

r

C g

R R ee

R R

(I.74)

En tenant compte du coefficient de reflexion s, l’effort Ce deviendra :

C i i i re e se e e (I.75)

Par analogie, nous pouvons définir le flux Cf dans le sous-système B comme la superposition

de deux flux : le flux incident et le flux réfléchi :


A.U 2010-2011 Page 50

2i

g

ef

R (I.76)

2

C g

r

C g g

R R ef

R R R

(I.77)

De la même manière, en identifiant le coefficient de réflexion s, le flux Cf deviendra :

C i i i rf f sf f f (I.78)

L’exploitation des équations précédente permette de définir le système d’équation suivant :

1

2

1

2

i C g C

r C g C

e e R f

e e R f

(I.79)

1

2

1

2

i C g C

g

r C g C

g

f e R fR

f e R fR

(I.80)

A partir des équations précédentes, on peut introduire respectivement la puissance incidente et

la puissance réfléchie suivant les relations suivante :

2

21 1 1

2 22

C g C

i i i i

g

e R fP e f w

R

(I.81)

2

21 1 1

2 22

C g C

r r r r

g

e R fP e f w

R

(I.82)

Les variables iw et rw constituent respectivement la variable d’onde incidente et la variable

d’onde réfléchie qui ont été définit par KUROKAWA [Kurokawa, 1965 ; Kurokawa, 1969],

et ont les expressions suivantes :

1

2

C g C

i

g

e R fw

R

(I.83)

1

2

C g C

r

g

e R fw

R

(I.84)


A.U 2010-2011 Page 51

Les expressions de l’effort réduit et le flux réduit sont respectivement :

g

e

R (I.85)

gf R (I.86)

Les variables d’ondes incidente et réfléchie s’expriment en fonction des variables flux réduit

et effort réduit comme l’indique les expressions ci-dessous et sont fonction d’une

transformation linéaire particulière.

1

2iw (I.87)

1

2rw (I.88)

Le rapport des ondes incidente et réfléchie est tel que :

r

i

ws

w (I.89)

Ou encore :

1

1

rs

r

(I.90)

Avec :

1 C C

g C g

e Rr

R f R

(I.91)

Où r représente la résistance réduite ou normalisée.

Si 0C gR R s et si alors 0C gR R s . Or dans le cas où l’adaptation est vérifiée, on

aura , 1 et s=0C gR R r .

Et pour mieux comprendre le phénomène, nous traçons l’allure du rapport de la puissance

transmise au sous-système B en fonction du coefficient s.


A.U 2010-2011 Page 52

Figure I.16 : Représentation graphique du rapport de la puissance transmise vers la charge

En se référant à la notion de puissance moyenne, KUROKAWA [Kurokawa, 1965 ;

Kurokawa, 1969] a remarqué la similarité entre deux quantités définies par une

transformation linéaire du courant et de la tension et les variables d’ondes définies dans la

théorie des lignes de transmission. Ces similarités, ont conduit à une extension du champ

d’application des divers concepts introduits par le formalisme scattering aussi bien pour les

systèmes à paramètres répartis que pour les systèmes à paramètres localisés.

III- Conclusion

Au cours de ce premier chapitre, nous avons analysé les spécificités et les apports du

formalisme scattering pour l’étude des aspects énergétique.

C’est dans la première partie que le formalisme scattering apparaît comme une

approche alternative pour la modélisation des systèmes physiques suite aux travaux effectués

par PAYNTER et BUSCH-VISHINIAC [Paynter et al. 1988].

Nous avons signalé que le formalisme scattering possède les même propriétés qu’un

formalisme de type réseau et notamment l’approche bond graph et cela en se basant sur la

pluridisciplinarité de ce formalisme ainsi que les propriétés de la matrice S.

Nous avons indiqué aussi dans ce chapitre, l’existence d’un premier type de structure

de jonction Kirchhovienne idéale qui comprend une jonction à effort commun et à flux

commun et cela à partir de l’hypothèse de réticulation, qui permet la séparation des

phénomènes, et la propriété d’orthogonalité de la matrice de scattering S qui, à son tour,

confirme aussi l’existence d’un second type de jonction composée de deux formes d’éléments

à deux ports idéaux et linéaires a noté le transformateur et le gyrateur, chaque élément est

caractérisé par une matrice de scattering contrairement à la description bond graph qui ne leur

affecte qu’un module intrinsèque.


A.U 2010-2011 Page 53

Nous avons donné aussi une représentation scattering aux éléments à 1-port (éléments

R I et C) du bond graph en exploitant la transformation entre les variables effort et flux et les

variables d’ondes incidente et réfléchie comme le montre le tableau 1 dans la première partie.

Dans la deuxième partie, nous avons donné une interprétation physique et une

représentation bond graph des divers concepts introduits par le formalisme scattering.

En se basant sur les concepts du bond graph telles que les variables effort et flux et

l’impédance et l’admittance généralisée, nous avons caractérisé l’interaction entre plusieurs

sous-systèmes physiques.

Une situation optimale de transfert de puissance entre systèmes en interaction est

apparaît suite à une étude des transferts de puissances entre deux sous-systèmes simples à une

seule source d’énergie et aussi par l’introduction des notions de puissances incidente et

réfléchie.

Cette étude de transfert de puissance qui utilise les concepts du formalisme scattering

permet de comparer toutes les situations de transfert par rapport à une situation optimale, c’est

pour ça que nous pouvons dire que le formalisme scattering semble mieux adapté à la

description des transferts de puissance que le formalisme bond graph, mais tout en lui restant

complémentaire.

Deuxième Chapitre

PROCEDURE ANALYTIQUE D’EXPLOITATION DES

PARAMETRES SCATTERING A PARTIR D’UN

MODELE BOND GRAPH CAUSALE D’UN SYSTEME

PHYSIQUE :

APPLICATION EN HAUTE FREQUENCE

Chapitre II : Procédure Analytique d’Exploitation….

A.U 2010-2011 Page 55

I- Introduction

Comme nous l’avons montré précédemment, il existe deux importantes méthodes pour

caractériser un système physique donné.

La première méthode est de type topologique, consiste à caractériser le système par

des matrices scattering S qui définissent deux types de structure de jonction : la première est

de structure de jonction simple comportant deux jonctions idéales à n-ports identifiées comme

étant la jonction 1 et la jonction 0 en bond graph. Le second type, est de structure de jonction

pondéré comportant deux jonctions idéales à 2-ports identifiées aussi en bond graph comme

étant le transformateur et le gyrateur.

La seconde méthode est de type phénoménologique, dont les caractéristiques

physiques du système apparaissent lors de l’assemblage des éléments qui le composent et qui

sont issus de la définition de ces éléments. La description interne de ces composants ou

éléments, est effectuée par des coefficients de réflexion de stockage et de dissipation

d’énergie.

A la lumière de ce qui précède, nous allons présenter dans, ce chapitre, une procédure

analytique d’exploitation des paramètres scattering d’un système linéaire complexe. Cette

procédure permet d’établir, pour ce système, les relations de scattering entre une entrée et une

sortie fixée et elle présente un aspect calculatoire automatique ce qui nécessite une

préparation préalable du système sous la forme d’une structure arborescente à une seule

branche pour pouvoir tirer profil du chainage par calcul matriciel.

Cependant, la procédure analytique d’exploitation impliquera la succession des étapes

suivante :

La décomposition du système complexe en éléments mis en cascade et qui sont

caractérisés par leurs matrices d’onde respectives.

Calcule de la matrice d’onde globale du système entier en effectuant le produit des

matrices d’onde élémentaires.

Extraction des paramètres scattering caractérisant le système complexe en

appliquant une transformation linéaire sur la matrice d’onde globale calculé.

En se basant sur cette même procédure d’exploitation, nous allons présenter aussi dans

ce chapitre, une méthode systématique qui utilise conjointement le formalisme scattering et

l’approche bond graph [Amara et Scavarda, 1991] pour la détermination de ces paramètres

scattering.

Cette méthode, qui lie le formalisme scattering et le formalisme bond graph [Tsai,

1972], se base sur une procédure algèbro-graphique qui utilise les notions des chemins

causaux et la règle de Masson appliquée sur le modèle bond graph causal, réduit et transformé


A.U 2010-2011 Page 56

du système linaire dont on veut déterminer ses paramètres scattering (coefficients de réflexion

(S11, S22) et de transmission (S12, S21) ).

Dans le formalisme scattering, la phase d’exploitation des paramètres scattering

consiste à affecter convenablement une structure opératoire au modèle bond graph du

système. Le concept de la causalité permet d’organiser les relations constitutives des éléments

sous une forme Entrée-Sortie et d’analyser les variables de puissances effort et flux en termes

de dépendance.

Pour avoir un modèle bond graph réduit et transformé, nous allons expliquer

brièvement la manière dont on transforme le modèle bond graph d’un système linéaire

complexe de l’état conventionnel (normale) à l’état de réduction et de transformation.

Cette méthode consiste à normaliser les éléments de la structure de jonction simple (0

et 1), les éléments de la structure de jonction pondérée (TF et GY) et enfin les éléments de

stockage d’énergie (I et C) et de dissipation (R).

La méthode de transformation est rendue possible par l’utilisation d’un transformateur

idéal dont le module dépend d’une résistance de normalisation donnée. Dans ce cas les

variable de puissance conjuguées (e, f) sont transformées en variables réduites (,) et le

modèle bond graph ainsi transformé en un modèle bond graph réduit à partir du quel nous

pouvons extraire graphiquement, dans un premier temps, les relations entre une variable

d’entrée et une variable de sortie réduites et, puis les relations de scattering à partir d’une

transformation algébrique.

II-Exploitation du formalisme scattering

II-1 : Procédure analytique d’exploitation

Soit le système linéaire à 2n-ports indiqué par la figure II.1 ci-dessous, il comporte n-

ports à l’entré et n-ports à la sortie.

Figure II.1 : Système linéaire à 2n-ports

Comme l’indique la figure ci-dessus, les ondes incidentes et réfléchies aux 2n-ports seront

décomposées en deux groupes : ceux des entrées ( ,i e r e

w w ) et les autres ( ,i s r s

w w ) pour

les sorties. Ces 2n ondes sont liés par 2n relations matricielles exprimant les relations entre

onde aux entrées et ondes aux sorties du système.

Système linéaire

(1) (n+1)

(n) (2n)

i ew

r ew

r sw

i sw


A.U 2010-2011 Page 57

i e i s

r e r s

w wW

w w

(II.1)

La matrice W est une matrice carrée, elle est appelée matrice d’onde [Grivet, 1974; Poitevin,

1963 ; Paynter et al.1988] et elle joue par rapport à la matrice scattering le même rôle que

peut jouer la matrice de chaine par rapport à la matrice d’impédance.

NB :

Il ne faut pas confondre la matrice W avec la matrice de transfert T [Poitevin, 1963] qui est

utilisée dans l’étude des circuits par les théories conventionnelles et notamment par les

variables effort et flux et par les matrices d’impédance et d’admittance.

La matrice W peut prendre autre forme que précédemment en la décomposant en quatre sous

matrices carrées d’ordre n comme l’indique l’expression suivante :

11 12

21 22

i e i s

r e r s

W Ww w

w wW W

(II.2)

Généralement, la matrice d’onde d’un système physique dépend du choix des n entrées et des

n sorties contrairement à la matrice de scattering qui est une matrice unique.

Considérant maintenant la procédure de chaînage d’un ensemble de systèmes physiques

simples, la mise en chaine de cette ensemble de systèmes simples comportant n entrées et n

sorties sera obtenue en connectant les n sorties de chaque système aux n entrées

correspondantes du système suivant. Autrement dit et pour mieux comprendre, considérant

une succession de deux systèmes physiques simples notés respectivement (p) et (p+1). Les

ondes incidentes et réfléchies aux ports des entrées du système (p) sont respectivement

et

p p

i e r ew w alors que

et

p p

i s r sw w sont les ondes incidentes et réfléchies aux ports des sorties

de ce même système. La matrice d’onde pW s’écrit alors suivant la relation suivante :

p p

i e i sp

p p

r e r s

w wW

w w

(II.3)

De la même manière et pour le système (p+1) nous considérons que

1 1

etp p

i e r ew w

sont

respectivement les ondes incidentes et réfléchies aux ports des entrées de ce système alors que

ses ondes incidentes et réfléchies aux ports des sorties sont respectivement

1 1

etp p

i s r sw w

et

nous pouvons par la suite écrire la matrice d’onde 1pW .


A.U 2010-2011 Page 58

1 1

1

1 1

p p

i e i sp

p p

r e r s

w wW

w w

(II.4)

La figure II.2 ci-dessous nous permet de mieux comprendre la procédure de chaînage de ces

deux systèmes physiques ainsi que le passage vers un seul système et inversement.

Figure II.2 : Mise en cascade des deux systèmes (p) et (p+1)

La figure II.3 nous montrera le système équivalant noté (T) après application de la procédure

de chaînage.

Figure II.3 : Système équivalent après application de la procédure de chaînage

En examinant les connexions de mise en cascade sur la figure II.2, on peut remarquer que

l’ordre alphabétique des composants du vecteur d’ondes incidentes et réfléchies aux ports des

sorties est inversé par rapport au vecteur d’ondes incidentes et réfléchies aux ports des entrées

et cela nous permet de remarquer que les ondes réfléchies aux sorties du système p sont

égales aux ondes incidentes aux entrées du 1ème

p et que les ondes réfléchies aux entrées du

système 1ème

p sont égales aux ondes incidentes aux sorties du ème

p système. D’où les

équations de connexions en cascade des systèmes (p) et (p+1) sont :

1 1

etp p p p

i e r s r e i sw w w w

(II.5)

De façon générale, la chaîne des m systèmes à n-ports d’entrée et de sortie nous donne un

système équivalent à n-ports d’entrée et de sortie de matrice d’onde globale TW .

Système

(p)

Système

(p+1)

p

i ew

p

r ew

p

r sw

p

i sw

1p

i ew

1p

r ew

1p

i sw

1p

r sw

Système

(T)

T

i ew

T

r ew

T

r sw

T

i sw


A.U 2010-2011 Page 59

1 2

1

mm p

Tp

W W W W W

(II.6)

Si en faisant une partition de la matrice de scattering S en quatre sous matrices carrées d’ordre

n correspondant aux deux groupes de ports (les entrées et les sorties) nous pouvons avoir :

11 12

21 22

r e i e

r s i s

S Sw w

w wS S

(II.7)

Et en tenant compte de l’équation (II.2), on peut écrire toutes les combinaisons possibles entre

les composantes de la matrice de scattering ainsi que les composantes de la matrice d’onde :

1211

22

12

22

22 11 12 2121

22

2122

22

1

WS

W

SW

W W W WS

W

WS

W

(II.8)

Ou encore :

2211

21

12

21

21 12 22 1121

21

1122

21

1

SW

S

WS

S S S SW

S

SW

S

(II.9)

II-2 : Application sur un filtre haut fréquence

On se propose d’appliquer la procédure analytique décrite précédemment dans le but

de déterminer la matrice de scattering d’un système physique fonctionnant en haute fréquence

et intercalé entre deux ports P1 (port d’entrée) et P2 (port de la sortie). Pour cela, on traitera

deux exemples de circuit électrique fonctionnant en haut fréquence l’un est de type T alors

que l’autre est de type [Taghouti et Mami, b, 2010 ; Taghouti et Mami, 2009 ; Taghouti

et Mami, a, 2010].


A.U 2010-2011 Page 60

II-2-1 : Filtre type T à éléments localisés

Soit la figure II.4 d’un filtre électrique haute fréquence de type T constitué à partir de

la mise en cascade de trois éléments 1-port associés chacun à une jonction simple :

Une inductance associée à une jonction à flux commun.

Une capacité associée à une jonction à effort commun.

Une autre inductance associée à une jonction à flux commun

C

C1C=1.061 pF

L

L1

R=

L=2.65 nH

L

L2

R=

L=2.65 nH

Figure II.4 : Filtre haute fréquence de type T

Pour appliquer la procédure analytique, afin de déterminer la matrice de scattering du filtre

étudié, on se propose de décomposer ce système en sous-systèmes ou en éléments simples

disposés en cascade comme l’indique la figure II.5.

Figure II.5 : Mise en cascade des matrices d’onde des éléments du circuit électrique

Le modèle équivalent globale du système complet donnant la matrice d’onde globale peut être

représenté sous la forme suivante :

Figure II.6 : Modèle équivalent de la matrice gW du système complet

Port 1

P1

Port 2

P2

WL1 WC WL2

1L

i eW

1L

r sW

1L

r eW

1L

i sW

2L

i sW

2L

r sW

C

i sW

C

r sW

C

r eW

C

i eW

2L

i eW

2L

r eW

Wg

P1P2

P1 P1

g

i eW

g

r eW

g

i eW

g

r eW


A.U 2010-2011 Page 61

Ensuite on associe aux éléments simples de la figure II.5 leur matrice d’onde correspondante

obtenue en appliquant aux matrices de scattering décrites l’équation (I.42) et l’équation (I.43),

la transformation linéaire donnée par l’équation (II.9), d’où nous aurons :

La matrice d’onde 1LW de l’inductance L1 associée à la jonction à flux commun :

1 1

1

1 1

21

22L

s sW

s s

Avec 11

0

L

R (II.10)

La matrice d’onde CW de la capacité C associée à une jonction à effort commun :

21

22

C C

C

C C

s sW

s s

Avec 0C C R (II.11)

La matrice d’onde 2LW de l’inductance L2 associée à une jonction à flux commun :

2 2

2

2 2

21

22L

s sW

s

Avec 22

0

L

R (II.12)

La matrice d’onde globale du système complet entre les ports P1 et P2 s’écrit à partir de

l’équation (II.6) sous la forme suivant :

3

1

p

gp

W s W s

(II.13)

Ce qui est équivalent à :

3 2 3 2( ) ( ) 2 ( ) ( )1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )

3 2 3 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

s s s s s sC C C C C CW s

gs s s s s s

C C C C C C

(II.14)

En tenant compte de l’expression de la matrice globale donné par l’équation (II.14) ainsi que

l’équation (II.8), la matrice de scattering caractérisant le système complet s’écrit sous la forme

suivante :

3 2

1 ( ) ( ) 21 2 1 2 1 2

3 23 2 2 ( ) ( )

( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2

s s sC C CS s

gs s s

s s s C C CC C C

(II.15)

Pour valider le résultat trouvé, nous traçons les courbes représentatives des paramètres

scattering (coefficients de réflexions et de transmissions) de la matrice de scattering globale

trouvé ci-dessus.


A.U 2010-2011 Page 62

Figure II.7 : Représentation graphique des paramètres scattering du circuit étudié

Les représentations graphiques des paramètres scattering nous donne des informations

concernant le système électrique étudié. Il s’agit d’un filtre symétrique passe bas haute

fréquence comme l’indique les coefficients de transmissions S12 et S21, la fréquence de

coupure vaut 3 GHz comme l’indique les coefficients de réflexions S11 et S22.

II-2-2 : Filtre type à éléments localisés

Considérons maintenant l’exemple du circuit électrique donné par la figure II.8 ci-

dessous. De la même manière, nous déterminons la matrice de scattering de ce circuit en

appliquent la procédure analytique d’exploitation. La validation de nos résultats sera effectuée

par la simulation des paramètres constitutifs de la matrice trouvée.

C

C2C=1.272 pF

CC1C=6.438 pF

LL1

R=L=1.240 nH

Figure II.8 : Filtre haute fréquence de type

Le circuit ci-dessus, est constitué à partir de la mise en cascade de trois éléments 1-port

associés chacun à une jonction simple :

Une capacité associée à une jonction à effort commun.

Port 1

P1

Port 2

P2


A.U 2010-2011 Page 63

Une inductance associée à une jonction à flux commun.

Une autre capacité associée à une jonction à effort commun.

Les matrices d’onde correspondante aux éléments simples du circuit étudié sont :

1 1

1

1 1

21

22

C C

C

C C

s sW

s s

Avec 1 1 0C C R (II.16)

21

22

L L

L

L L

s sW

s s

Avec0

L

L

R (II.17)

2 2

2

2 2

21

22

C C

C

C C

s sW

s s

Avec 2 2 0C C R (II.18)

La matrice d’onde globale du système complet entre les ports P1 et P2 s’écrit en tenant compte

de l’équation (II.13) sous la forme suivant :

3 2 3 2

1 ( ) ( ) 2 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 13 2 3 22 ( ) ( ) ( ) ( ) 21 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

s s s s s sC C L L C C L C C L C C L C C C C LW sgs s s s s sL C C L C C L C C L C C L C C L C C

(II.19)

La matrice de scattering globale du système étudié sera donc :

3 2

( ) ( ) 211 2 2 1 2 1

3 2 3 2( ) ( ) 2 2 ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

s s sL C C L C C L C CS s

gs s s s s sC C L L C C L C C L C C L C C C C L

(II.20)

Nous traçons maintenant les courbes représentatives des paramètres scattering (coefficients de

réflexions et de transmissions) de la matrice de scattering globale trouvé ci-dessus, on aura :


A.U 2010-2011 Page 64

Figure II.9 : Représentation graphique des paramètres scattering du circuit étudié

III- Exploitation du formalisme scattering à partir du formalisme bond

graph

III-1 : Transformation du bond graph

III-1-1 : Introduction du bond graph réduit

La représentation par bond graph d’un sous-système physique est donnée par la figure II.10

ci-dessous :

Figure II.10 : Modèle bond graph d’un système physique

Les deux variables de puissance l’effort e et le flux f associées au lien sont liés par

l’expression de la puissance instantanée P t (voir Annexe C):

P t e t f t (II.21)

Le sous-système représenté ci-dessous peut être augmenté d’un lien supplémentaire par la

connexion d’un transformateur idéal de module n comme l’indique la figure ci-dessous :

Avec :

Sous-système

physique

e

f


A.U 2010-2011 Page 65

0

1n

R (II.22)

Figure II.11 : Modèle bond graph augmenté par un transformateur idéal

Les variables de puissance définies précédemment peuvent être écrites sous autre forme en

tenant compte des relations du transformateur.

0

0

ete

f RR

(II.23)

Où 0R représente la résistance réelle positive de normalisation.

De la même manière, on peut réécrire la puissance instantanée en fonction des nouvelles

variables et nous remarquerons qu’elle conserve les mêmes dimensions.

0

0

. .e

P t t t f R e t f tR

(II.24)

Le modèle bond graph de la figure II.11 peut être simplifié et représenté par un seul lien

portant les variables réduites et et sera nommé : modèle bond graph réduit.

Figure II.12 : Modèle bond graph réduit

Dans la suite, cette démarche sera étendue à tous les éléments bond graph en appliquant les

relations constitutives liant les variables réduites et .

III-1-2 : Bond graph réduit d’un élément linéaire à 1-port

Considérons un élément résistif R à 1-port, les étapes de sa transformation sont décrites ci-

dessous :

Sous-système

physique

TFe

f

n

Sous-système

transformé


A.U 2010-2011 Page 66

Figure II.13 : Etapes de transformation d’un élément R à 1-port

Avec :

0

0

0

et =f R

Ravec r=

R

eR

f

e

R

r

(II.25)

En appliquant la même démarche sur la capacité C et l’inductance I, nous pouvons écrire :

Pour l’élément C à 1-port réduit :

0 0

10

t

dC R

(II.26)

Pour l’élément I à 1-port réduit :

0

0

0tR

dI

(II.27)

En écrivant la variable d’énergie réduite associée à chaque élément, on aura :

0

0t

C d (II.28)

0

0t

I d (II.29)

Re

f

RTF :1

0R

e

f

R :

0

Rr

R

Etape 1 :

Etape 2 :

Etape 3 :


A.U 2010-2011 Page 67

Les éléments de stockage d’énergie réduit C 00

etII C R

R gardent la même structure

de relations constitutives que les éléments I et C conventionnels [Rosenberg et Karnopp,

1983].

III-1-3 : Bond graph réduit du transformateur et du gyrateur

De la même manière, la transformation d’un élément s’effectue par un ou deux

transformateurs idéals selon le nombre de lien qu’existe.

Pour le transformateur à 2-ports on utilise deux transformateurs idéals comme

l’indique la figure II.14 ci-dessous :

Figure II.14 : Etapes de transformation de l’élément transformateur à 2-ports

L’écriture des relations constitutives (Annexe C) donne :

1 2

2 1

e n e

f n f

(II.30)

11

01 1 1 01

2 2 022

02

,

e

R f R

e R

R

(II.31)

''1 2 02

'012 1

avecn R

n nRn

(II.32)

Pour le gyrateur, l’application de procédure de transformation donne :

TF :ne1

e2

f1 f2

TF :n TF : 02RTF :1

01R

1

1

e1

f1

e2

f2

2

2

TF :n’

1

1

2

2


A.U 2010-2011 Page 68

Figure II.15 : Etapes de transformation de l’élément gyrateur à 2-ports

L’écriture des relations constitutives donne :

1 2

2 1

e k f

e k f

(II.33)

11

01 1 1 01

2 2 022

02

,

e

R f R

e R

R

(II.32)

''1 2

'02 012 1

1avec k

kk

R Rk

(II.32)

III-1-4 : Bond graph réduit d’une jonction à n-ports

La figure II.16 ci-dessous montre la procédure de transformation d’une jonction

simple à n-ports (jonction 0 ou jonction 1) qui s’effectue en connectant un transformateur

idéal à tous les ports de cette jonction.

Dans le cas ou la jonction considérée est une jonction 0, on peut écrire les trois

relations constitutives suivantes :

1

Continuité de l'effort

0 Equilibre des flux

avec 1, ,

i

n

ii

e e

f

i n

(II.33)

GY : ke1

e2

f1 f2

GY :k TF : 02RTF :1

01R

1

1

e1

f1

e2

f2

2

2

GY :k’

1

1

2

2


A.U 2010-2011 Page 69

0

0

i=1, ,n

ii

i i

e

R

f R

(II.34)

1

i=1, ,n0

i

n

ii

(II.35)

Dans le cas où la jonction considérée est une jonction 1, on peut écrire les trois

relations constitutives suivantes :

Continuité de l'effort

0 Equilibre des flux

avec 1, ,

i

n

ii i

f f

e

i n

(II.36)

0

0

i=1, ,n augmentation des n-ports de jonction

ii

i i

e

R

f R

(II.37)

1

i=1, ,n0

i

n

ii

(II.38)

Généralement, la structure de la jonction réduite assure la continuité de la puissance et il n’y

aura aucune énergie dissipée, produite ou stockée dans cette jonction et cela se traduit par

l’expression suivante :

i=1, ,ni ii

(II.39)


A.U 2010-2011 Page 70

Figure II.16 : différentes étapes de transformation d’une jonction à n-ports

III-2:Exploitation graphique du bond graph réduit

Dans ce qui précède, nous avons présenté et défini la procédure de transformation des

éléments constituant un bond graph conventionnel. Cette procédure sera utilisée, dans cette

partie, pour caractériser l’exploitation graphique du bond graph réduit.

En effet, pour exploiter graphiquement le bond graph réduit, nous passons par trois étapes

importantes :

La première étape consiste à transformer le bond graph conventionnel du système

étudié en un modèle bond graph réduit causal par l’utilisation de la procédure décrite

précédemment.

Jonction

e1 en

f1 fn

Jonction TF :1

02RTF :

1

01R

1

1

e1

f1

en

fn

n

n

Jonction

1

1

n

n

TF : 1

0R

n n

n n

Etape 1

Etape 2

Etape 3


A.U 2010-2011 Page 71

La deuxième étape consiste à établir les relations analytiques entrée-sortie à partir du

bond graph réduit causal en se basant sur les notions de chemin causal et de boucle

causale.

Considérons le modèle bond graph réduit acausal d’un sous-système physique intercalé entre

deux ports P1 et P2 comme le montre la figure II.17 ci-dessous.

Les ports de ce sous-système le relient soit à d’autres sous-systèmes soit aux sources

d’énergie.

Figure II.17: Modèle bond graph acausal

En affectant une causalité flux au lien associé au port P1, nous pouvons écrire dans ce

cas la relation générale de l’effort réduit sous la forma suivante :

1 11 1 1 12 1

j n

i i i ii i j

t H s t H s t H s t

(II.40)

Avec :

11H s : Opérateur intégro-différentiel associé aux chemins causaux P1-P1.

1iH s : Opérateur intégro-différentiel associé aux chemins causaux reliant les ports Pi et le

port P1. Ce chemin est de type général dans lequel apparaissent les variables efforts et flux

réduits.

Figure II.18: Affectation d’une causalité flux au port P1

N.B : Dans le cas où il n’existe pas de chemin causal entre le port P1 et le port Pi, l’opérateur

intégro-différentiel correspondant et nul ( 1 0iH ).

En affectant, maintenant, une causalité effort au lien associé au port P1, la relation

générale de flux réduit sera donc écrite sous la forme suivante :

1 11 1 1 12 1

j n

i i i ii i j

t H s t H s t H s t

(II.41)

Sous-systèmeP1 P2

1

1

2

2

Sous-systèmeP1

1

1


A.U 2010-2011 Page 72

Figure II.19: Affectation d’une causalité flux au port P1

Un changement de causalité sur le lien associé au port P1 peut modifier les chemins causaux

du bond graph représentant le système et que par conséquent l’expression des opérateurs

intégro-différentiels 1iH change.

C’est à partir de la forme générale décrite et rappelée en Annexe C que nous avons obtenu les

opérateurs intégro-différentiels 1 11etiH H .

Nous pouvons écrire l’opérateur intégro-différentiel associé aux chemins causaux reliant le

port Pi au port Pj sous la forme suivante (Voir Annexe C):

ij iji

ij

L s s

H ss

(II.42)

Considérons maintenant le cas d’un problème entrée-sortie entre les deux ports particuliers P1

et P2 indiqués par la figure II.17 ci-dessus. L’affectation de la causalité sur ce sous-système

fait apparaitre quatre possibilités :

1. Cas 1 : Causalité flux-flux :

Figure II.20: Affectation de la causalité flux-flux

Dans ce cas les relations (II.40) et (II.41) se réduisent aux formes suivantes :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

t H s t H s t

t H s t H s t

(II.43)

2. Cas 2 : Causalité effort-effort :

Figure II.21: Affectation de la causalité effort-effort

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

t H s t H s t

t H s t H s t

(II.44)

Sous-systèmeP1

1

1

Sous-systèmeP1 P2

1 2

1 2

Sous-systèmeP1 P2

1 2

1 2


A.U 2010-2011 Page 73

3. Cas 3 : Causalité flux-effort :

Figure II.22: Affectation de la causalité flux-effort

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

t H s t H s t

t H s t H s t

(II.45)

4. Cas 4 : Causalité effort-flux :

Figure II.23: Affectation de la causalité effort-flux

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

t H s t H s t

t H s t H s t

(II.46)

Nous pouvons définir, d’après ce qui précède, la matrice H des opérateurs intégro-

différentiels pour chaque cas d’affectation de la causalité. Cette matrice est directement

associée au bond graph réduit causal et représente pour les variables de puissance réduites

( et ) l’équivalent de ce que représente la matrice S pour les variables d’onde ( eti rw w ).

11 12

21 22

H s H sH s

H s H s

(II.47)

La troisième étape consiste à exprimer les expressions des variables réduites ( et )

en fonction des variables d’onde ( eti rw w ) dans un même port en tenant compte de la

transformation ci-dessous :

1 1

1 1

2 2

2 2

1 11

1 12

et

1 11

1 12

i

r

i

r

w

w

w

w

(II.48)

Les paramètres de scattering qui constituent la matrice S prennent la forme :

Sous-systèmeP1 P2

1 2

1 2

Sous-systèmeP1 P2

1 2

1 2


A.U 2010-2011 Page 74

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

r i i

r i i

w t S s w t S s w t

w t S s w t S s w t

(II.49)

Avec :

1 1,i rw w : Variables d’onde incidente et réfléchie associées au port P1.

2 2,i rw w : Variables d’onde incidente et réfléchie associées au port P2.

N.B : Dans quelques ouvrages, les variables d’onde ( eti rw w ) prennent une autre notation

telle que ( eti rw a w b ) et de même ( 1 1 1 1 2 2 2 2= , et = ,i r i rw a w b w a w b ).

On peut maintenant introduire dans le formalisme scattering les matrices S d’opérateurs

différentiels et correspondants aux quatre cas d’affectation de la causalité comme le montre le

tableau ci-dessous. La procédure de détermination est expliquée dans l’Annexe D.

Différentes cas

d’affectation de la

causalité Matrice de scattering S correspondante

Cas1 : Causalité

flux-flux

11 22 12

21 11 2211 22

11 22 12 21

1 21

2 11

H H H HS

H H H HH H H

H H H H H

Cas 2 : Causalité

effort-effort

11 22 12

21 11 2211 22

11 22 12 21

1 21

2 11

H H H HS

H H H HH H H

H H H H H

Cas 3 : Causalité

flux-effort

11 22 12

21 11 2211 22

11 22 12 21

1 21

2 11

H H H HS

H H H HH H H

H H H H H

Cas 4 : Causalité

effort-flux

11 22 12

21 11 2211 22

11 22 12 21

1 21

2 11

H H H HS

H H H HH H H

H H H H H

Tableau II.1 : Matrices Scattering associées aux différentes cas d’affectation de la causalité


A.U 2010-2011 Page 75

IV-Exemples d’extraction des paramètres scattering d’un système

physique à partir de son modèle bond graph réduit et causal

Afin d’appliquer la procédure décrite précédemment, on se propose d’étudier quelques

exemples dans le but de mieux comprendre la manière d’extraction des paramètres scattering

d’un système physique à partir de son modèle bond graph réduit et causal et en passant par les

trois étapes signalées précédemment.

D’abord, nous appliquons cette procédure sur un système physique arborescent à une

seule branche puis, sur un système arborescent à deux branches [Amara et Scavarda, 1991].

Ensuite, l’application sera effectuée en haute fréquence en utilisant quelques filtres à éléments

localisés fonctionnant en très haute fréquence [Taghouti et Mami, b, 2010 ; Taghouti et

Mami, 2009 ; Taghouti et Mami, a, 2010]. Enfin, la validation de nos résultats sera

effectuée par simulation numérique des paramètres scattering trouvées et les comparées avec

les simulations habituellement effectuées par la méthode classique utilisée en microonde et

sous le logiciel HP-ADS (Advanced Design System).

IV-1 : Application sur un actionneur électrique

a. Système à une seule branche

Soit le modèle bond graph conventionnel d’un actionneur électrique à une seule

branche [Amara et Scavarda, 1991] intercalé entre les deux ports P1 et P2 comme le montre

la figure II.24 ci-dessous.

IJIL

R

R1GY1Se

20-sim4.1 Viewer (c) CLP 2009

Figure II.24 : Modèle bond graph acausal d’un actionneur électrique

En appliquant les trois étapes de la procédure d’exploitation de la matrice scattering S sur le

modèle bond graph acausal de l’actionneur électrique, nous pouvons calculer facilement la

matrice S.

La première étape consiste à réduire les éléments de ce modèle bond graph en effectuent une

transformation de ce dernier en connectant un transformateur idéal de module n aux ports de

P1 P2

ke1

f1

e2

f2


A.U 2010-2011 Page 76

chaque élément (jonction de structure simple (0 et 1) et pondérée (TF et GY) ainsi que les

éléments I, R) comme l’indique la figure ci-dessous.

TF TF

TF

TF

TF

TF

TFTF TFTF TFTF

IJI L

R

1GY1


Figure II.25 : Modèle bond graph acausal transformé et augmenté de l’actionneur électrique

La deuxième étape consiste à obtenir, à partir du modèle bond graph ci-dessus, le modèle

bond graph réduit en lui affectant la causalité sur tous ses liens.

IJI L

R

1GY1


Figure II.26 : Modèle bond graph réduit causal de l’actionneur électrique

Nous détectons en parcourant les chemins causaux, sur ce modèle bond graph réduit causal

deux boucles B1 et B2 causales dont les opérateurs intégro-différentiels associés sont :

2

1 22et

LL J

k rB B

ss

(II.50)

L’opérateur intégro-différentiel associé au déterminant de ce modèle bond graph est :

2

21

LL J

k r

ss

(II.51)

Le parcours des chemins causaux du port P1 vers le port P2 nous permet de déterminer les

opérateurs intégro-différentiels propres à ce système.

P2P1

k1

1

2

2

P1 P2

k

L J

1

1

2

2

1er boucle

causale

2nd boucle

causale


A.U 2010-2011 Page 77

En se référant à l’équation (II.42) on peut déterminer :

L’opérateur associé au chemin causal reliant la variable 1 réduite du port P1 à la

variable 1 du même port est :

11

1

L

Hs

(II.52)


variable 1 du port P1 est :

12 2L J

kH

s

(II.53)



21 2L J

kH

s

(II.54)



22

1

J

Hs

(II.55)

La matrice H des opérateurs intégro-différentiels est :

2

2

1

1

L L J

JL J

k

s sH s

k

ss

(II.56)

La troisième étape consiste à déterminer les éléments de la matrice de scattering qui ne sont

que les éléments de réflexions (S11 et S22) et de transmissions (S12 et S21).

La causalité assignée entre les deux ports P1 et P2 correspond au deuxième cas du tableau 1

d’où les paramètres scattering de la matrice S.

2 2

11 2 2

( ) 1

( ) 1L J L J J

L J L J J

s s r s r kS

s s r s r k

(II.57)


A.U 2010-2011 Page 78

2 2

22 2 2

( ) 1

( ) 1L J L J J

L J L J J

s s r s r kS

s s r s r k

(II.57)

12 2 2

2

( ) 1L J L J J

kS

s s r s r k

(II.58)

12 2 2

2

( ) 1L J L J J

kS

s s r s r k

(II.59)

b. Système à deux branches

Soit le modèle bond graph réduit causal à deux branches d’un système électrique

intercalé entre les deux ports P1 et P2 comme le montre la figure II.27 ci-dessous :

R r

I

I

1

1

10


Figure II.27 : Modèle bond graph réduit causal du système à deux branches

Ce modèle bond graph présente une structure particulière d’où la nécessité d’une étape

supplémentaire avant l’application de la procédure d’exploitation des paramètres scattering

constitutives de la matrice S.

Cette étape consiste à substituer aux éléments I (de paramètre 2I ) et R (de paramètre r) de la

boucle causale un sous-système caractérisé par une relation de scattering non élémentaire qui

implique une décomposition de ce sous-système de manière à pouvoir lui appliquer la

procédure dans le but du calcul du coefficient scattering.

En parcourant ce modèle bond graph réduit, nous remarquons l’existence d’une seule boucle

causale dont l’opérateur intégro-différentiel associé est :

P1 P2

1I

2I

1

1

2

2

Boucle

causale


A.U 2010-2011 Page 79

1

2I

rB s

s

(II.60)

L’opérateur intégro-différentiel associé au déterminant de ce modèle bond graph est :

2

1I

rs

s

(II.61)

En se référant à l’équation (II.42) et en parcourant les chemins causaux du port P1 vers le port

P2, on peut déterminer les opérateurs intégro-différentiels propres à ce système.



1 211

1i

I I

r

s sH s

(II.62)



112

1i

I sH s

(II.63)



121

1i

I sH s

(II.64)



122

1i

I sH s

(II.65)

2

1i

I

rs

s

: Opérateur intégro-différentiel associé au déterminant réduit extrait à partir

de en y supprimant les boucles touchant les chemins causaux considérés.


A.U 2010-2011 Page 80

La causalité assignée entre les deux ports P1 et P2 correspond au deuxième cas du tableau II.1

ce qui nous permet de déterminer les paramètres scattering de la matrice S à savoir :

21 2 1 1

11 21 2 2 1 1

1

2 2 1

I I I I

I I I I I

s r sS s

s s r r s s r

(II.66)

21 2 1 1

22 21 2 2 1 1

1

2 2 1

I I I I

I I I I I

s r sS s

s s r r s s r

(II.67)

12 2

1 2 2 1 1

2

2 2 1I I I I I

S ss s r r s s r

(II.68)

21 2

1 2 2 1 1

2

2 2 1I I I I I

S ss s r r s s r

(II.69)

IV-2 : Application de la procédure analytique d’exploitation de la matrice de

scattering en haute fréquence

IV-2-1 : Filtres de Tchebychev à éléments localisés

Dans ce paragraphe, nous proposons d’appliquer la méthode d’exploitation analytique

décrite précédemment sur un filtre de Tchebychev haute fréquence à base d’éléments localisés

et de fréquence de coupure 10 GHz intercalé entre deux terminaisons [Taghouti et Mami, b,

2010 ; Taghouti et Mami, 2009] qui ne sont que les ports P1 et P2 comme le montre la figure

II.28 ci-dessous.

CC2C=0.56 pF

CC1C=0.35 pF

LL2

R=L=0.65 nH

LL1

R=L=1.04 nH

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

Figure II.28 : Filtr de Tchebychev 10 GHz adapté et éléments localisés

Le modèle bond graph conventionnel causal de ce filtre intercalé entre ces deux ports P1 et P2

est donné par la figure II.29 ci-dessous.


A.U 2010-2011 Page 81

100 1

II

CC


Figure II.29 : Modèle bond graph conventionnel causal du filtre de Tchebychev

En appliquant les trois étapes de la procédure d’exploitation de la matrice scattering S sur le

modèle bond graph causal ci-dessus du filtre électrique, nous pouvons calculer facilement la

matrice S.

A partir de ce modèle, nous pouvons obtenir le modèle bond graph réduit causal indiqué par la

figure II.30 après avoir réduire les éléments de ce modèle en effectuant une transformation par

la connexion d’un transformateur idéal a chaque port des éléments constitutives de ce modèle

[Taghouti et Mami, 2009 ; Amara et Scavarda, 1991].

dessous.

100 1

II

CC


Figure II.31 : Modèle bond graph causal réduit du filtre

Ce modèle bond graph présente une structure particulier d’où la nécessité d’une étape

supplémentaire avant l’application de la procédure d’exploitation des paramètres scattering

constitutives de la matrice S.

Cette étape consiste à intercaler une jonction (0 ou 1) de décomposition [Taghouti et Mami,

b, 2010 ; Amara et Scavarda, 1991] suivant le modèle bond graph considéré afin de le

décomposer en deux sous-systèmes sans changement de causalité ni d’éléments constitutives

du système. Cette étape nous facilitera donc l’application de la procédure d’exploitation pour

le calcule de la matrice scattering.

P2P1

P2P1

1y 2y

2z1z

1 2

21

1L 2L

1C 2C

e1

f1

e2

f2


A.U 2010-2011 Page 82

Jonctionde décomposition

1 100 1

II

CC


Figure II.32 : Modèle bond graph réduit causal avec la jonction 1 de décomposition

La décomposition de ce modèle bond graph selon la jonction 1 de décomposition nous

donnera deux sous-systèmes dont les modèles bond graph réduits et causals sont indiqués par

la figure II.33 ci-dessous :

Figure II.33 : Décomposition du modèle bond graph réduit en sous-modèles

Avec :

1 1Lz s : impédance réduite de l’élément L1

2 2Lz s : impédance réduite de l’élément L2

1 1Cy s : admittance réduite de l’élément C1

2 2Cy s : admittance réduite de l’élément C2

1 1 0 2 2 0etC CC R C R (II.70)

1 1 0 2 2 0/ et /L LL R L R (II.71)

En parcourant les deux sous-modèles bond graph réduits, nous remarquons l’existence d’une

seule boucle causale pour chaque sou-modèle et dont l’opérateur intégro-différentiel associé

est :

P1 P21

1 2

2

1z 2z

1y2y

0 1

I

C


0 1

I

C


P1 P1’ P1

’ P2

1z 2z

2y1y

1

1

'1

'1

'1

'1

2

2

a) Sous-modèle bond graph réduit 1 b) Sous-modèle bond graph réduit 2


A.U 2010-2011 Page 83

1 2

1 1 2 2

1 1etB B

z y z y

(II.72)

Les opérateurs intégro-différentiels associés aux déterminants de chaque sous-modèle bond

graph sont :

1 2

1 1 2 2

1 11 et 1

z y z y (II.73)

En se référant à l’équation (II.42) et en parcourant les chemins causaux du port P1 vers le port

P’1 puis de P’1 vers P2 on peut déterminer les opérateurs intégro-différentiels propres à

chaque sous-modèle bond graph réduit.

a) Pour le premier sous-modèle bond graph réduit :

111

1 1

12

1 1

21

1 1

122

1 1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

zH

z y

Hz y

Hz y

yH

z y

Hz y

(II.74)

b) Pour le second modèle bond graph réduit :

211

2 2

12

2 2

21

2 2

222

2 2

2 2

1

1

1

1

1

1

1

1

zH

z y

Hz y

Hz y

yH

z y

Hz y

(II.75)

La causalité assignée entre les deux ports de chaque sous-modèle bond graph réduit

correspond au troisième cas du tableau II.1.


A.U 2010-2011 Page 84

Or, comme la matrice S n’est chainable, on peut déterminer la matrice d’onde pour chaque

sous-modèle puis en lui appliquent l’expression de l’équation (II.6) pour avoir la matrice

d’onde globale du modèle bond graph réduit complet du filtre électrique.

Pour le sous-modèle bond graph réduit 1 la matrice d’onde sera :

1 1 1 1 1 1 1 11

1 1 1 1 1 1 1 1

z y z y 2 z y z y1W

z y z y z y z y2

(II.76)

Pour le sous-modèle bond graph réduit 1 la matrice d’onde sera :

2 2 2 2 2 2 2 22

2 2 2 2 2 2 2 2

z y z y 2 z y z y1W

z y z y z y z y2

(II.78)

La matrice d’onde globale sera donnée par le produit des deux matrices W(1) et W(2) tel que :

T 1 2 11 12

21 22

W WW W W

W W

(II.79)

A partir de la matrice d’onde globale trouvée et en se référant à l’expression de l’équation

(II.8), on peut donc déterminer les paramètres de la matrice de scattering S à savoir :

4 3 2C1 C2 L1 L2 L1 C2 C1 L2 C1 L2 L1 C2 L2 L1 C1 C2 L1 L2

11 4 3 2C1 C2 L1 L2 L1 C2 C1 L2 C1 C2 L1 L2 C1 C2 L1 L2

s ( )s [ ( ) ( )]s ( )sS

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(II.80)

4 3 2C1 C2 L1 L2 C2 L1 C2 C1 L2 C2 L1 L2 C1 L1 L2 C1 C2 L1 L2


s ( )s [ ( ) ( )]s ( )sS

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(II.81)


2S

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(II.82)


2S

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(II.83)


A.U 2010-2011 Page 85

IV-2-2 : Simulation des paramètres scattering du filtre

Figure II.34 : Simulation des paramètres scattering du filtre de Tchebychev

IV-2-3 : Validation des résultats trouvés

La validation des résultats trouvé s’effectue par la simulation du circuit électrique de

Tchebychev elle-même par le logiciel de simulation numérique HP-ADS utilisé en micro-

onde.

Figure II.35 : Circuit électrique du filtre de Tchbychev à éléments localisés


A.U 2010-2011 Page 86

Figure II.36 : Simulation numérique du filtre de Tchebychev sous HP.ADS

IV-2-4 : Discussion

Le but des ces simulations est la validation de la méthode utilisée pour l’exploitation

des paramètres de scattering à partir du modèle bond graph causal réduit d’un filtre à base

d’éléments localisés et fonctionnant en haute fréquence contrairement aux travaux effectués

par A. Kamel [Kamel et Dauphin-Tanguay, 1993 ; Kamel et al. 1993] où le concept de la

causalité a été ignoré malgré qu’il représente une propriété significative dans le formalisme de

type réseau et en particulier le formalisme bond graph.

Toutes les simulations données par la figure II.34 ont été effectuées sous le logiciel Maple

pour nous montrer l’allure des coefficients de reflexion (S11 et S22) et de transmission (S12 et

S21) qui, à leur tour, nous donnent les informations concernant le type et l’ordre du filtre ainsi

que sa fréquence de coupure. Alors que les simulations données par la figure II.36 et qui ont

été réalisées directement sous le logiciel HP-ADS pour valider les simulations de la figure

II.34.

V- Conclusion

Dans ce chapitre nous avons présenté une procédure analytique d’exploitation des

paramètres scattering d’un système linéaire simple et/ou complexe. La méthode présentée

dans ce chapitre utilise conjointement le formalisme scattering et le technique bond graph et

elle se base sur une procédure algèbro-graphique qui utilise la notion des chemins causaux et

la règle de Masson appliquée sur un bond graph causal transformé contrairement aux travaux

effectués par Pr. A. Kamel qui a éliminé le concept de la causalité lors de la détermination des

paramètres scattering d’un système électrique et il n’a pas tenu compte des circuits électrique

volumineux symétriques ou antisymétriques et qui présentent une succession d’éléments de


A.U 2010-2011 Page 87

stockage d’énergie (C et L). En plus, l’utilisation du formalisme bond graph est parallèle à

l’application du concept de la causalité puisqu’elle permet d’organiser les relations

constitutives des éléments d’un système donné sous une forme entrée-sorite et d’analyser les

variables de puissances effort et flux en termes de dépendance ce qui nous permet de déduire

l’ordre du système et d’associer des systèmes d’équations au modèle par des procédures

causales systématiques.

Notons que dans ce chapitre, la transformation du bond graph nous conduit à avoir un

autre type du bond graph qui est le bond graph causal réduit. Cette transformation, nous

permet de normaliser les éléments de la structure de jonction simple et pondérée ainsi que les

éléments de stockage et de dissipation d’énergie. Ensuite, nous pouvons extraire

graphiquement les relations entre deux variables réduites et puis déterminer les relations de

scattering à partir d’une transformation algébrique.

Pour montrer la validité de cette méthode, nous l’avons appliqué, en premier lieu, sur

un actionneur électrique à une seule branche puis à deux branches. En second lieu, nous

l’avons appliqué en haute fréquence sur des filtres à base d’éléments localisés et dont on

connait initialement l’ordre, le type et la fréquence de coupure qui ont été vérifié par la suite

par la procédure analytique que nous avons expliquée dans ce chapitre.

Et pour finir, on peut dire que cette procédure systématique présente deux intérêts, le

premier concerne la superposition des deux formalismes et un passage systématique de l’un à

l’autre en utilisant les notions de chemin causal et de boucle causales. Le second intérêt réside

dans le fait que cette méthode permet d’étudier simultanément un système donné avec deux

formalismes qui sont complémentaires ce qui favorise une compréhension plus large de son

comportement.

Troisième Chapitre

PROCEDURE DE REALISATION D’UN MODELEBOND GRAPH D’UN SYSTEME PHYSIQUE A

PARTIR DE SA FONCTION ET SA MATRICE DETRANSFERT

Chapitre III : Réalisation d’un Modèle Bond Graph…

A.U 2010-2011 Page 89

I- Introduction

Selon le type d’un système dynamique donné nous pouvons choisir parmi différentes

techniques de modélisation une méthodologie capable d’obtenir des équations mathématiques

exploitables et permettent la détermination d’un modèle de comportement Entrées-Sorties.

La représentation d’état [Kalman, 1971] ainsi que la représentation sous forme de

fonction ou matrice de transfert [Rosenberg, 1971] sont considérées, dans le cas des systèmes

dynamiques linéaires, comme deux représentations complémentaires définissant un modèle

donné ou particulier.

Après avoir présenté et appliquer, dans le deuxième chapitres, la procédure analytique

d’exploitation des paramètres scattering à partir d’un modèle bond graph réduit et causal d’un

système physique donné et notamment les filtres à éléments localisés qui fonctionnent en

haute fréquence et après une exposition de la technique bond graph en mettant l’accent sur

tous les aspects pratique que fournit cette approche dans la compréhension et l’analyse des

systèmes complexes, nous allons essayer, dans ce chapitre, d’effectuer une étude inverse à

celui du deuxième chapitre permettant d’obtenir un modèle bond graph à partir de la fonction

ou la matrice de transfert d’un système physique tel que les filtres hautes fréquences utilisés

dans le second chapitre.

Nous pouvons dire, dans ce cas, que ce chapitre représente une introduction au

chapitre VI au cours du quel nous allons mettre l’accent sur la réalisation d’un modèle bond

graph de type particulier capable de modéliser les ondes incidentes et réfléchies qui se

propagent de la source vers la charge à travers un circuit électrique à base d’éléments localisés

ou distribués (lignes microbandes) [Taghouti et Mami, 2009 ; Taghouti et Mami, b, 2010 ;

Taghouti et Mami, c, 2010].

Nous somme donc confrontés à une problématique d’un autre type qui consiste à

s’interroger sur la possibilité d’intégrer un modèle sous forme de fonction de transfert comme

sous-partie d’un modèle bond graph globale sans pour autant perdre les avantages graphiques

déjà évoqués.

Généralement, la réalisation d’un modèle bond graph d’un système physique, à partir

de sa fonction ou matrice de transfert, peut répondre à un besoin de plus en plus grandissant

d’unifier l’approche bond graph avec les méthodes classiques de recherche d’un modèle

Entrées-Sorties issue généralement des mesures expérimentales [Kamel et Dauphin-

Tanguay, 1993]. Pour ce faire, nous allons essayer, dans ce chapitre, de traiter deux cas

possibles : le cas mono-variable et le cas multi-variable.

L’application de la règle de Masson [Nagy et Ljung, 1991] à un modèle bond graph

peut être considérer comme solution aux problèmes d’élaboration des règles simples

permettent de trouver des relations mathématiques représentant des caractéristiques Entrées-

Sorties des systèmes modélisés par bond graph [Breedveld, 1993 ; Karnopp et al. 1990].


A.U 2010-2011 Page 90

C’est ainsi que BROWN [Callier et Desoer, 1991] a utilisé cette méthode afin de déterminer

la fonction de transfert et la matrice de transfert dans le cas multi-variables par l’application

de la notion des chemins et boucles causales.

Dans ce chapitre, nous proposons d’expliquer une procédure tout à fait inverse aux

démarches classiques pour la réalisation d’un modèle bond graph issue de l’étude physique

d’un système avant la construction de modèles mathématiques.

La procédure proposée, consiste à réaliser le modèle bond graph d’un système

physique fonctionnant en haute fréquence à partir de son modèle fonction ou matrice de

transfert qui est considéré unique lorsque les hypothèses de modélisation seront définies et

quelque soit le type d’approche utilisée contrairement au modèle d’état qui n’est plus unique

et dépend de la technique de modélisation utilisée.

L’approche bond graph, nous permet donc de décrire un vecteur d’état X de type particulier

composé des variables d’énergie du système étudié et défini à partir de la représentation

Entrées-Sorties de ce système [Borne et al. 1990].

II-Equation d’état issue d’un modèle bond graph dans le cas linéaire

II-1 : Historique de réalisation de l’équation d’état

Il existe plusieurs approches capables de déterminer l’équation d’état associée au

modèle bond graph, citons à titre d’exemple la méthode DELGADO [Delgado, 1991], la

méthode ROSENBERG [Rosenberg, 1970] et la méthode AZMANI [Azmani, 1991].

La méthode proposée par ROSENBERG [Rosenberg et Zhou, 1988] permet de

générer les équations d’état d’une manière systématique partant de l’aspect structurel du bond

graph et des différentes relations liant les éléments. Des transformations algébriques

permettent alors d’éliminer les variables intermédiaires et d’aboutir à une équation d’état,

fonction des variables d’énergies, sous forme numérique.

Cette méthode trouve une large application informatique : des procédures numériques basées

sur cette méthode interviennent dans plusieurs logiciels de simulation par bond graph comme

ENPORT [Rosenberg, 1974] ou encore CAMAS [Broenink, 1990].

Alors que la méthode proposée par DELGADO [Delgado et Garcia, 1993], fournit

des résultats paramétriques. Cette méthode, connue sous le nom de « méthode des chemins »,

explore le modèle bond graph à la recherche des chemins liant un élément de stockage

d’énergie en causalité intégrale aux autres éléments bond graph et utilise les lois élémentaires

associées aux éléments et les règles structurelles liées aux jonctions.

Autrement dit, la méthode des boucles et chemins causaux notée : « MBCC »

proposée par AZMANI [Azmani, 1991] est une méthode graphique basée sur la

détermination des gains des chemins causaux et des boucles causales et sur une utilisation

généralisée de la règle de Masson.


A.U 2010-2011 Page 91

L’exploitation graphique et directe du modèle bond graph a l’avantage de permettre une

utilisation manuellement de cette méthode, avec une bonne compréhension des différents

termes intervenant dans le système d’état, ou automatisé après implémentation informatique.

Tel est le cas pour le logiciel ARCHER [Azmani et Dauphin-Tanguy, 1992] qui utilise cette

procédure pour déterminer un système d’état à partir du bond graph. La méthode « MBCC »

sera utilisée tout au long de ce chapitre.

II-2 : Forme particulière des matrices d’état

Comme nous l’avons signalé précédemment, tout modèle bond graph d’un système

physique est construit par des éléments passifs R, I et C couplés par le biais des jonctions 0,1,

TF et GY ainsi que des éléments actifs Se et Sf qui composent la structure de jonction du

modèle correspondant à l’architecture du système étudié.

Ces caractéristiques ont un grand intérêt lors du passage du système d’état à la construction du

modèle bond graph.

En tenant compte des travaux effectués par AZMANI [Azmani, 1991], nous pouvons mettre

en évidence le frome particulier des matrices d’état déduites d’un modèle bond graph.

Pour ce faire, rappelons dans la suite de ce paragraphe les hypothèses ainsi que les propriétés

correspondantes aux travaux d’AZMANI.

II-1-1 : Hypothèse

1. Tous les éléments I et C sont en causalité intégrale.

2. La structure de jonction est solvable c'est-à-dire que les boucles de causalité, si elles

existent, ont un gain différent de un [Rosenberg, 1987].

3. Le bond graph ne possède pas de liens d’information.

4. Le vecteur d’état associé au modèle bond graph contient les variables d’énergie : le

moment généralisé p lié aux éléments I et le déplacement q lié aux éléments C, pris

dans cet ordre.

Dans le cas linéaire, l’équation d’état s’écrit donc :

X AX BU

Y CX DU

(III.1)

II-1-2 : Propriétés du quadruplet (A, B, C, D)

1. La diagonale de la matrice A contient le paramètre constant des gains des

boucles causales entre les différents éléments I (respectivement éléments C) et

les éléments R.


A.U 2010-2011 Page 92

2. Quand un terme hors-diagonale est non nul (respectivement nul) dans la

matrice A, son symétrique par rapport à la diagonale principale n’est non nul

(respectivement nul). Le produit non nul de ces deux termes, représente le

paramètre constant du gain des boucles causales entre un élément I et un

élément C ou bien entre deux éléments de stockage d’énergie de même type.

Ce dernier cas se produit quand le chemin causal passe par un élément de

dissipation ou par un gyrateur.

3. La matrice B contient les gains des chemins causaux directs (ou passant par un

élément R) entre les sources et les éléments de stockage d’énergie.

4. La matrice C contient les gains des chemins causaux directs(ou passant par un

élément R) entre les éléments de stockage d’énergie et les éléments associés

aux variables de sortie.

5. La matrice D contient les gains des chemins causaux directs (ou passant par un

élément R) entre les sources et les éléments associés aux variables de sortie.

Le système d’état change sa forme dans le cas où les éléments I-C existent en causalité

dérivée, alors que les propriétés du quadruplet (A, B, C, D) restent valables.

L’équation d’état s’écrit donc sous la forme suivante :

EX AX BU (III.2)

Où , ,0 et , avec eti d d d i dn n n n n n i dE diag I X x x n n désignent respectivement le nombre

d’éléments en causalité intégrale et dérivée.

L’équation d’état sera donc après transformation :

ˆ ˆi in nx Ax Bu (III.3)

Avec est le facteur constant composé des gains des boucles causales liant les éléments I-C

en causalité dérivée aux éléments I-C en causalité intégrale.

De même, l’équation d’état change de forme dans le cas où il existe une ou plusieurs

boucles algébriques entre des éléments R. on aura donc :

x Ax Bu (III.4)

Avec facteur constant des gains des boucles causales liant les éléments R entre eux.

La représentation d’état change dans le cas où il existe des liens d’information

correspondant à des signaux, dans ce cas les termes symétriques par rapport à la

diagonale principale dans la matrice A ne représentent plus forcément le paramètre


A.U 2010-2011 Page 93

constant du gain des boucles causales entre un élément I et un élément C ou bien entre

deux éléments de stockage d’énergie de même type.

Pour interpréter le passage d’une fonction ou matrice de transfert à un modèle bond graph, il

est évident d’utiliser le cas de l’équation (III.1).

II-3 : Application à un filtre haute fréquence

On se propose de déterminer la représentation d’état d’un circuit électrique à base

d’éléments localisés et fonctionnant en haute fréquence. Pour cela, considérons la figure III.1

du circuit électrique intercalé entre les deux ports P1 (source) et P2 (charge).

Port P1 Port P2

Source

R

L2L1

C2C1


Figure III.1 : Filtre haute fréquence à éléments localisés

Le modèle bond graph conventionnel et causal de ce circuit est donné par la figure III.2

suivante :

Circuit électrique

Port:P2Port:P1

00 11Se

Se

R

R

CC2CC1

IL2IL1


Figure III.2 : Modèle bond graph conventionnel et causal du circuit électrique

En appliquant la procédure de transformation d’un modèle bond graph comme nous l’avons

signalé dans le chapitre II, nous pouvons déduire facilement le modèle bond graph réduit et


A.U 2010-2011 Page 94

causal comme l’indique la figure III.3 et à partir du quel nous déduisons les différentes

boucles causales mis en évidence par ce modèle.

Port:P2Port:P1

00 11Se R

CC

II


Figure III.3 : Modèle bond graph réduit et causal du filtre électrique

Les différentes boucles causales sont :

1 21 1

1

L C

Bs

(III.5)

2 22 1

1

L C

Bs

(III.6)

3 22 2

1

L C

Bs

(III.7)

4

2C

rB

s

(III.8)

Avec :

1 21 2 C1 1 0 C2 2 0

0 0 0

0

, , , et

où est la résistance de normalisation (résistance interne du générateur)

L L

L L RC R C R r

R R R

R

L’ordre de la matrice d’état est donné par le nombre d’éléments I-C en causalités intégrale.

Dans notre cas, cette matrice sera d’ordre 4.

L’équation d’état est alors immédiatement sous forme :

r

x Ax BE

y U Cx

(III.9)

1L

1C

2L

2C

r2

2

1

1


A.U 2010-2011 Page 95

rU Est la tension de sortie à la borne du port P2 (charge R).

La matrice A sera une matrice (4x4) est admet la forme ci-dessous :

1 2

2 2

1

1 2

1 10 0

10 0

10 0 0

1 10 0

L L

C L

C

C C

r

A

(III.10)

La matrice B sera une matrice (4x1) est aura la forme ci-dessous :

0

0

1

0

B

(III.11)

La matrice C sera une matrice (1x4) est admet aussi la forme suivante :

2

10 0 0

C

C

(III.12)

Or pour la matrice D, on peut dire quelle est une matrice (1x1) nulle.

III- Détermination de l’équation d’état par le développement en alpha-

beta d’une fonction de transfert

III-1 : Réalisation de l’équation d’état

La fonction de transfert supposée irréductible d’un système linéaire mono-variable est

écrite sous la forme suivante :

1 21 2 1 0

11 1 0

n nn n

n nn n

N s b s b s b s bH s

D s a s a s a s a

(III.13)

La fonction de transfert ci-dessus qui est une fonction stable asymptotiquement, admet un

développement en fraction continue en [Hutton et Friedland, 1975] sous une forme

canonique comme l’indique l’expression suivante :


A.U 2010-2011 Page 96

1 1

jn

j ij i

H s F s

(III.14)

Avec etj icte j F s peut se mettre sous la forme de fractions continues comme

l’indique l’expression suivante :

1

2

1

1

1

1

1

i

i

i

i

n

F s

s

s

s

s

(III.15)

Avec 2, ,i n

Pour le premier terme dans le développement on a :

1 1 11F s s s (III.16)

Pour calculer les n coefficients i il suffit d’utiliser l’algorithme de construction de la table

des alphas de Routh [Gantmacher, 1966] utilisée souvent lors de l’étude de la stabilité des

systèmes linaires

Et pour les coefficients j , on peut considérer de la même manière comme précédemment en

construisant une table par l’utilisation du dénominateur D s et du numérateur N s (Voir

Annexe E).

Nous pouvons associer au développement en de la fonction de transfert précédente un

bloc diagramme comme le montre la figure ci-dessous :

K K K K K K K K K K K

K K K K K

K


Figure III.4 : Bloc diagramme du développement en α-β

1 2 3 1n n

y

u

1x 2x 3x 1xn xn

1

s

1

11

s

1

s

1

s

1

s

1

2

1

3

1

1n

1

n


A.U 2010-2011 Page 97

L’équation d’état déduite du bloc diagramme représenté ci-dessus et en tenant compte des

variables d’état telles qu’elles ont été représentées sur la figure III.4, prend la forme suivante :

x Ax Bu

y Cx

(III.17)

Avec :

1 2

1 3

2 4

2

1

1 10 0 0

1 10 0 0

1 10 0 0

0 0

0

1 10 0

10 0 0 0

n n

n

A

(III.18)

1 0 0B (III.19)

1 2

1 2

n

n

C

(III.20)

Remarque :

Dans le cas où le degré de numérateur est égal au degré du dénominateur, il suffit

d’effectuer une division Euclidienne pour diminuer le degré du numérateur et se ramener à la

forme donnée par l’équation (III.13). La constante supplémentaire qui apparait peut être

interpréter comme étant une partie directe reliant l’entrée à la sortie que nous allons l’inclure

dans le modèle bond graph final décrit prochainement dans le chapitre IV.

III-2 : Application aux paramètres scattering (S11, S12, S21 et S22) d’un filtre haute

fréquence

Nous nous proposons de déterminer la représentation d’état d’un système électrique

fonctionnant en haute fréquence. Pour cela, considérons les exemples des filtres électriques

traités au cours du premier chapitre dont on a déterminé la matrice de scattering (paramètres

scattering) par la méthode analytique d’exploitation des paramètres de scattering.


A.U 2010-2011 Page 98

III-2-1 : Cas d’un filtre électrique de type T

Le schéma électrique de ce filtre est donné par la figure suivante :

C

C1C=1.061 pF

L

L1

R=

L=2.65 nH

L

L2

R=

L=2.65 nH

Figure III.5 : Schéma électrique du filtre type T

Par la méthode analytique d’exploitation des paramètres scattering décrite précédemment

dans le chapitre I, nous avons déterminé les éléments de la matrice scattering de ce filtre qui

ont pris la forme suivante :

3 21 2 1 2 1 2

11 3 21 2 1 2 1 2

12 3 21 2 1 2 1 2

21 3 21 2 1 2 1 2

3 21 2 1 2 1 2

22 31 2 1

( ) ( )

( ) ( ) 2

2

( ) ( ) 2

2

( ) ( ) 2

( ) ( )

(

C C C

C C C

C C C

C C C

C C C

C C

s s sS

s s s

Ss s s

Ss s s

s s sS

s

22 1 2) ( ) 2Cs s

(III.21)

Les expressions données ci-dessus sont sous la forme des fonctions de transfert qui diffèrent

entre eux par le degré du numérateur en fonction de dénominateur des paramètres scattering

S11 et S22. Pour ce faire, nous allons effectuer une division Euclidienne de ces paramètres afin

de diminuer de un le degré du numérateur par rapport au dénominateur et pour qu’on puisse

appliquer à la nouvelle fonction de transfert trouvée (les nouvelle paramètres de

scattering 11 22etS S ) la méthode signalée ci-haut.

Les nouveaux paramètres de scattering 11 22etS S , en conservant la même forme pour les deux

autres paramètres ( 12 21etS S ) prennent alors la forme suivante :


A.U 2010-2011 Page 99

21

11 113 21 2 1 2 1 2

22

22 223 21 2 1 2 1 2

12 3 21 2 1 2

2 2 2avec le quotient 1

( ) ( ) 2

2 2 2S avec le quotient 1

( ) ( ) 2

2

( ) (

C C

C C C

C C

C C C

C C C

s sS q

s s s

s sq

s s s

Ss s

12

1 2

21 213 21 2 1 2 1 2

avec le quotient 0) 2

2avec le quotient 0

( ) ( ) 2C C C

qs

S qs s s

(III.22)

Les paramètres constants qui apparaissent sous forme de quotient, lors de la division

Euclidienne des paramètres scattering du filtre étudié, seront représentés par une matrice dite

matrice directe notée DM et nous la considèrera, dans la suite de ca chapitre ainsi qu’au

chapitre IV, comme étant une partie directe reliant l’entrée à la sortie du système étudié.

11 12

21 22

D

q qM

q q

(III.23)

Chaque nouveau paramètre scattering trouvé aura par la suite une représentation d’état propre

à lui.

Considérons le cas du paramètre de scattering 11S :

21

11 3 21 2 1 2 1 2

2 2 2

( ) ( ) 2C C

C C C

s sS

s s s

(III.24)

En se référant à l’annexe E, nous pouvons facilement calculer les coefficients α-β qui

représentent les paramètres de quadruplet (A, B, C, D).

Pour les paramètres i le tableau de Routh correspondant est :

00 0 0 1 20 1 2 2 1 2 1 1 ( )1 20

1 ( )1 1 0 1 2( ) 20 1 2 2 2 2 2 1 20 1 21 2

2 1 22 1 222 01 2 1 2

0 1 2 3 3 21 2 0

3 20

a Ca aC Ca C

a Ca aCa

C

Caa C

a

a

(III.25)


A.U 2010-2011 Page 100


1 21 1 0 12 20 1 2 1 1 ( )1 20

2 22 020 2 2 2 1 20 1 21 2

33 02 10 3 3

0

b Cb bCa C

b Cb Ca

C

bb

a

(III.26)

Après calcule des coefficients α-β de la fonction de transfert 11S , en se référant aux

expressions (III.25) et (III.26) ainsi que les expressions (III.18), (III.19) et (III.20) et en tenant

compte à l’ordre du filtre qui est donné par le degré de dénominateur 11S , on peut écrire sa

représentation d’état sous la forme suivante :

1 2

1 3

2

1 10

1 10

10 0

A

(III.27)

1 0 0B (III.28)

31 2

1 2 3

C

(III.29)

Et pour trouver la représentation d’état des autres paramètres de scattering, nous

considèrerons de la même manière que précédemment.

III-2-2 : Cas d’un filtre de Tchebychev (fc=10 GHz)

Le schéma électrique de ce filtre est donné par la figure suivante :

CC2C=0.56 pF

CC1C=0.35 pF

LL2

R=L=0.65 nH

LL1

R=L=1.04 nH

TermTerm1

Z=50 OhmNum=1

TermTerm2

Z=50 OhmNum=2

Figure III.6 : Filtre de Tchebychev intercalé entre deux terminaisons


A.U 2010-2011 Page 101

En appliquant la méthode du bond graph réduit, décrite dans le premier chapitre, pour

l’extraction des paramètres scattering, on peut écrire la matrice scattering par ses paramètres

scattering sous la forme suivante :

4 3 2C1 C2 L1 L2 L1 C2 C1 L2 C1 L2 L1 C2 L2 L1 C1 C2 L1 L2


s ( )s [ ( ) ( )]s ( )sS

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(III.30)

4 3 2C1 C2 L1 L2 C2 L1 C2 C1 L2 C2 L1 L2 C1 L1 L2 C1 C2 L1 L2


s ( )s [ ( ) ( )]s ( )sS

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(III.31)


2S

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(III.32)


2S

s ( )s ( )( )s ( )s 2

(III.33)

Nous allons effectuer une division Euclidienne de ces paramètres afin de diminuer de un le

degré du numérateur par rapport au dénominateur et pour qu’on puisse appliquer à la nouvelle

fonction de transfert trouvée (les nouvelle paramètres de scattering 11 22etS S ) la méthode

signalée ci-haut.

Les nouveaux paramètres de scattering 11 22etS S , en conservant la même forme pour les deux

autres paramètres ( 12 21etS S ) prennent alors la forme suivante :

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 211 4 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 222 4 3( ) (1 2 1 2 1 2 1 2 1

s s sC L L L C L LSs s s sC C L L L C C L C C L L C C L L

s s sC L C L C C CSs sC C L L L C C L C

2)( ) ( ) 22 1 2 1 2 1 2

212 4 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

221 4 3 2( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

s sC L L C C L L

Ss s s sC C L L L C C L C C L L C C L L


2

(III.34)

Lors de la division Euclidienne des paramètres scattering du filtre de Tchebychev étudié, les

paramètres constants qui apparaissent sous forme de quotient sont données par la matrice

directe ci-dessous :

11 12

21 22

1 0

0 1D

q qM

q q

(III.35)

Considérons le cas du paramètre de scattering 22S :

22

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 24 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

s s sC L C L C C CS

s s s sC C L L L C C L C C L L C C L L

(III.36)


A.U 2010-2011 Page 102

En se basant sur l’annexe E, nous pouvons facilement calculer les coefficients α-β qui

représentent les paramètres de quadruplet (A, B, C, D).


00 1 2 1 2a L L C C 0 ( )( )2 1 2 1 2a L L C C 0 24a

1 ( )0 1 2 1 2a L C C L 12 1 2 1 2a L L C C

( )2 1 2 1 2 1 2( )( )0 1 2 1 22 1

C L L L C Ca L L C CL C

2 22a

2 ( )3 1 2 1 20 1 2 1 2 ( )1 2 1 2 1 2( )( )1 2 1 2

2 1

L C C La L L C C

C L L L C CL L C C

L C

4 20a

Pour les coefficients i on a :

00

1 10

10

2 20

20

3 30

30

4 40

a

a

a

a

a

a

a

a

(III.37)


10 1 1 22 L C Cb 1

2 1 22( )C Cb

20 1 22 L Cb 2

2 2b

30 22 Cb

40 2b

Pour les coefficients i on a :


A.U 2010-2011 Page 103

10

1 10

20

2 20

30

3 30

40

4 40

b

a

b

a

b

a

b

a

(III.38)

Après calcule des coefficients α-β de la fonction de transfert 22S , en se référant aux

expressions (III.25) et (III.26) ainsi que les expressions (III.18), (III.19) et (III.20) et en tenant

compte à l’ordre du filtre qui est donné par le degré de dénominateur 22S , on peut écrire sa

représentation d’état sous la forme suivante :

1 2

1 3

2 4

3

1 10 0

1 10 0

1 10 0

10 0 0

A

(III.39)

1 0 0 0B (III.40)

31 2 4

1 2 3 4

C

(III.41)

Et pour trouver la représentation d’état des autres paramètres de scattering, nous

considèrerons de la même manière que précédemment.

IV- Procédure de réalisation d’un modèle bond graph dans le cas

mono-variable

Dans cette paragraphe, nous nous proposons de construire un modèle bond graph à

partir de la représentation d’un système physique dans le cas mono-variable afin de

l’appliquer, par la suite, sur des circuits électriques à base d’éléments localisés et distribués et

fonctionnant en haute fréquence. Pour cela, nous allons analyser, au début, la structure des

matrices d’état en se basant sur les propriétés évoqués précédemment.


A.U 2010-2011 Page 104

IV-1 : Analyse de la structure de la représentation d’état

En observant la forme de l’équation d’état donnée par l’expression (III.1), nous

remarquons que la dimension du vecteur X est égal à n ce qui nous laisse remarquer qu’il peut

y avoir n éléments dynamique I et C dans le modèle bond graph prochainement réalisé. Alors

que, l’observation de la matrice d’état A donnée par l’équation (III.18) laisse nous remarquer

que sa diagonale comporte un seul élément qui vaut1

1

alors que les autres éléments sont

nuls, cela se traduit dans l’approche bond graph par l’existence unique d’une boucle causale

entre un élément résistif et un élément dynamique (I ou C) alors autres éléments I et C ne sont

plus liés causalement à d’autres éléments R.

De la même manière, et encore pour la matrice A, les termes qui sont disposés

symétriquement par rapport à la diagonale principale ne sont que les gains des boucles

causales entre des éléments I et des éléments C.

IV-2 : Réalisation du modèle bond graph d’un système mono-variable

L’existence de plusieurs termes nuls dans la matrice A laisse nous dire que cette

matrice est simple d’où la simplicité de la structure du modèle bond graph qui, lors de sa

construction, nous devons tenir compte des règles d’affectation des causalités ainsi que la

possibilité ou non de l’existence d’un chemin causal entre l’entrée et le premier élément

dynamique puisque les termes de la matrice B sont nuls sauf le premier terme qui est non nul

et vaut 1 et aussi nous devons tenir compte de la forme de la matrice de sortie C lors de la

construction d’une sortie pour ce modèle bond graph à partir des variables d’état de cette

matrice.

A partir de ces critères, nous pouvons dire qu’il est possible de construire deux modèles bond

graph qui sont duaux entre eux. Le premier, qui représente le modèle bond graph de base, est

donné par la figure ci-dessous et il est constitué d’une succession de jonction 1 et de jonction

0 sur lesquelles se rattachent les différents éléments dynamique. La chaine de se modèle est

débutée par une jonction 1 à trois liens contenant une source d’effort et un élément dissipatif

causalement lié à un élément inductif I. les autres éléments dynamiques (I et C) sont deux-à-

deux causalement liés entre eux.

Aucun chemin causal ne relie ces éléments à l’unique élément R.

Les valeurs associées aux éléments R, C, I, TF et GY peuvent être choisies sous la forme

suivante :

2 1 2 1

2 2

1

i i i i

i i i i

R

I TF

C GY

(III.42)


A.U 2010-2011 Page 105

CIR

TF

f

TF

TF

GY GY

CI

I

1 11

0

0 0K MSe

K


Figure III.7 : Premier forme du modèle bond graph d’un système dynamique mono-variable

Le modèle bond graph représenté par la figure III.7 ci-dessus a une structure particulière avec

une combinaison de liens de puissance et des liens d’information. La source d’effort eMS ,

causalement liée par un chemin direct uniquement au premier élément dynamique I, est une

source contrôlée par l’entrée u alors que la sortie y est un signal obtenu à l’aide d’un détecteur

de flux supposé idéal et construit grâce à des éléments TF et GY judicieusement placés.

On peut dire donc qu’il n’y a aucun retour de puissance depuis la sortie jusqu’au reste du

bond graph.

C IR

TF TF

TF

GY GY

C I

110 0K

K

MSf 0

C

e

1


Figure III.8 : Forme duale du modèle bond proposé

u

y

1I 1C 2I Ci 1Ii

1C 1I 2C Ii 1Ci

u

y


A.U 2010-2011 Page 106

Le modèle bond graph de la figure III.8 représente la structure duale du premier modèle

indiqué par la figure III.7, il fait apparaître une source de flux et un détecteur d’effort.

Le choix d’une source d’effort (respectivement de flux) à l’entrée et d’un détecteur de flux

(respectivement d’effort) à la sortie fut conditionné par le respect des règles de causalités.

NB :

Nous traiterons dans l’annexe F une autre méthode de réalisation d’un modèle bond graph à

partir de la synthèse d’impédance d’un système dynamique mono-variable [Redfield et

Krishnan, 1993].

V- Procédure de réalisation du modèle bond graph dans le cas multi-

variable

Dans le cas multi-variable, l’étude des différentes techniques de réalisation des

matrices de transfert montre que le problème de l’ordre de la construction du modèle bond

graph conduit aux concepts de commandabilité et d’observabilité. Par contre, dans le cas

mono-variable, le problème de l’ordre de réalisation de ce modèle bond graph n’a pas été

traité puisque le degré de dénominateur de la fonction de transfert non dégénérée se coïncide

avec la dimension de la représentation d’état.

En effet, l’utilisation de la théorie des matrices polynomiales s’avère inéluctable pour le

développement et l’approfondissement des notions de réalisation d’un modèle bond graph

dans ce cas (cas multi-variable) (Annexe E) tel que la forme irréductible de la fonction de

transfert, la simplification d’un numérateur et d’un dénominateur.

Pour cela, nous effectuons un bref rappel des principaux théorèmes et définitions concernant

la notion de réalisation minimale [Kailath, 1980].

V-1 : Les notions de réalisation minimale d’un modèle bond graph

V-1-1 : Forme de SMITH-MAC MILLAN d’une matrice de transfert

Considérons la matrice de transfert d’un système dynamique dans le cas multi-variable

noté TM s . Les dénominateurs de toutes les fractions rationnelles qui composent cette

matrice admettent un PGCD noté d s .

Le produit TP s M s d s n’est autre qu’une matrice polynomiale dont la forme de

Smith est notée s (Annexe E).

Nous notons par H s la forme de Smith-Mac Millan de TM s qui est obtenue simplement

par la division de s par d s et l’écriture des fractions rationnelles sous forme irréductible

[Borne et al. 1990].


A.U 2010-2011 Page 107

Pour 1, ,i r , nous écrivons :

i i

i

s s

d s s

(III.43)

Où eti is s sont premier entre eux et on a :

1 0

0 0

iri

i

sdiag

H s s

(III.44)

On peut définir à partir de l’expression de H s :

Les zéros de TM s qui sont les racines des numérateurs non nuls de H s ,

soit pour 1, ,i s i r .

Les pôles de TM s qui sont les racines des dénominateurs de H s ,

soit pour 1, ,i s i r .

V-1-2 : Propriétés et théorèmes de la réalisation minimale

La représentation R A B C D d’un système linéaire est dite réalisation

de TM s si et seulement si la fonction de transfert obtenue à partir de R est TM s ,

i.e.,

1

TM s C s I A B D

(III.45)

On appelle dimension d’une réalisation R A B C D quelconque, la dimension

n de son espace d’état [Callier et Desoer, 1991].

La réalisation R A B C D de TM s , sera dite minimale si et seulement si sa

dimension est minimale parmi toutes les réalisations de TM s .

La matrice TM s obtenue à partir de la forme de Smith-Mac Millan admet une

factorisation à droite et est une factorisation à gauche (Annexe E).

1

T d dM s N s D s

(III.46)

1

T g gM s D s N s

(III.47)


A.U 2010-2011 Page 108

Les démonstrations des théorèmes énoncés ci-dessous peuvent être trouvées dans KAILATH

[Kailath, 1980].

La matrice TM s factorisée à droite ou à gauche à partir de la forme de Smith-Mac

Millan, est irréductible : dans l’équation (III.46), etd dN s D s sont co-premières à

droite et dans l’équation (III.47), etg gN s D s sont co-premières à gauche.

Toutes réalisation de TM s avec un ordre égal au degré du déterminant de la matrice

dénominateur sera minimale (et d’une manière équivalente réalisation commandable-

observable) si et seulement si TM s est irréductible.

S’il existe une réalisation commandable-observable (minimale) de 1N s D s ,

avec degn détD s , alors toute réalisation d’ordre n sera également

commandable-observable.

Nous pouvons dire donc que la dimension de la réalisation minimale n’est autre que la somme

des degrés de , 1, ,i s i r , dans le frome de Smith-Mac Millan H s .

V-2 : Représentation d’état associée à une matrice de transfert

La matrice de transfert d’un système MIMO peut être écrite sous la forme suivante :

T

N sM s

D s

(III.48)

Avec : N s est une matrice p m (m entrées et p sorties) et D s le dénominateur

commun à tous les termes de TM s .

La matrice N s peut s’écrire sous la forme suivante :

1,2, , ; 1, 2 ,ijN s N s i p j m (III.49)

De même :

11 1 0

ij n ij ijij nN s b s b s b

(III.50)

1 0n

nD s a s a s a (III.51)

Dans le cas mono-variable, l’ordre du système est directement lié au degré du

polynôme D s . Par contre, il est difficile de déterminer à l’avance la dimension de la


A.U 2010-2011 Page 109

réalisation minimale dans le cas multi-variable sauf si nous appliquons des manipulations

mathématiques sur la matrice de transfert (utilisation de la forme de Smith-mac Millan

de TM s ).

Pour cela, nous considérons la méthode décrite dans le cas mono-variable, qui reste applicable

même si elle ne garantit pas l’obtention de la réalisation minimale dans certains cas, en

calculant la table des coefficients β pour chaque terme deijN N s ainsi que la table des

coefficients α calculés une fois pour toutes à partir du dénominateur commun D s .

La procédure de construction du modèle bond-graph est alors :

La chaine directe, associée à D s et donc à la partie dynamique du système apparait

autant de fois que le nombre d’entrées.

Les sorties sont construites en utilisant la table des β et un nombre approprié de liens.

Ces liens servent à capter l’information nécessaire au niveau du port adéquat.

La représentation d’état obtenue peut s’écrire sous la forme suivante :

x Ax Bu

y Cx

(III.52)

En tenant compte que :

, etm p m nu y x

A diag A (III.53)

0

0

B

B

B

(III.54)

avec 1, , ; 1, ,ijC C i p j m (III.55)

A : Est une matrice d’état bloc diagonale de dimension mn mn , c.à.d. que dans la

diagonale on retrouve la matrice d’état de la chaine directe n nA calculée, comme

dans le cas mono-variable (cas scalaire), à partir de D s .

B : Est une matrice mn m définit comme dans le cas mono-variable

où 11 0 0 0 nB .


A.U 2010-2011 Page 110

C : Est une matrice de sortie de dimension p mn et composée des éléments

1ij mnC définies à partir de la fonction de transfert

ijN s

D s.

V-3 : Structure du modèle bond graph dans le cas multi-variable

Dans le cas d’un système multi-variable à deux entrées et deux sorties, la structure du

modèle bond graph est donnée par la figure III.9 ci-dessous.

1 0 1MSeK

TF GY

GY

TF

0 0 ffK K

MSe1 K01

TF

GY

GY

TF

IR C

I RC

R

R


Figure III.9 : Structure du modèle bond graph d’un système 2-entrées, 2-sorties

Pour le modèle bond graph réalisé ci-dessus, la chaine directe sera dédoublée en gardant les

mêmes caractéristiques que dans le cas mono-variable.

Dans le cas de m-entrées et p-sorites, la structure générale sera donnée par la figure III.10 ci-

dessous où nous aurons m chaines identiques associées aux différentes entrées et p-sorties à

construire à partir des variables d’état en utilisant un nombre approprié d’éléments TF et GY.

u1

y1 y2

u2


A.U 2010-2011 Page 111

B-G

B-G

TF

GY

1 0 fMSe

MSe 1 TF

GY

0 f


Figure III.10 : Structure du modèle bond graph dans le cas générale

V-4 : Réalisation minimale du modèle bond graph

Considérons la structure du modèle bond graph de la figure III.9 représentée ci-dessus.

L’ordre de la réalisation minimale associée à ce cas nécessite obligatoirement le calcul de la

forme de Smith de la matrice de transfert TM s propre à ce modèle et donnée par

l’expression suivante:

2

1

21

s a sM s

s b ss

(III.56)

La table de Routh propre au dénominateur commun 2 21 2 1D s s s s est tel que :

00 1a 0

2 1a 1 2

1; 2

2

10 2a

20 1a

La table des coefficients β est calculée pour chaque polynôme de la matrice numérateur. Soit

donc les coefficients respectivement aux quatre polynômes du numérateur de la matrice

TM s :

y1u1

um yp


A.U 2010-2011 Page 112

11 11 12 12 21 21 22 221 2 1 2 1 2 1 2

1 1 1 -1; ; = ; =0; = ; =b; = ; 2

2 2 2 2a (III.57)

Les expressions des matrices etA C sont :

1 2

1

1 1

1

1 1

0 0

1 0 00

1 1

0 0

0 0 10

A

(III.58)

11 11 12 121 2 1 2

1 2 1 2

21 21 22 221 2 1 2

1 2 1 2

C

(III.59)

En remplaçant par les variables numériques correspondantes, on aura de nouveau :

10 02

20 0

2 0

10 0 2

20 0

2 0

A

(III.60)

1 0 0 0

0 0 1 0

B

(III.61)


A.U 2010-2011 Page 113

11 1 0

2

11 1 1

2

C

(III.62)

Le calcul de la forme de Smith-Mac Millan de la matrice de transfert TM s nous donne la

forme ci-dessous :

2

2

10

1

20

1

ss

s a s s s b

s

(III.63)

Généralement, si a b , la réalisation minimale est de 4rang puisqu’il est impossible de

simplifier la matrice s .

Or, il existe deux cas particuliers liés aux valeurs numériques respectives des paramètres a et

b. En effet :

Si 1a b alors s s’écrit sous la forme suivante :

2

10

1

20

1

ss

s a

s

(III.64)

Et le rang de la réalisation minimale est égal à 3.

Si 1a b alors s s’écrit sous la forme suivante :

2

10

1

0 2

s s

(III.65)

La réalisation minimale est seulement de rang 2.

Dans le cas où a b , le rang de la réalisation minimale coïncide bien avec celui du modèle

bond graph. Cependant, dans certains cas particuliers, le modèle bond graph, qui est une

représentation structurelle de la matrice de transfert et qui, par conséquent, ne prend pas en

compte les simplifications locales dues à des valeurs numériques particulières, est redondant.


A.U 2010-2011 Page 114

En effet, dans le cas où une simplification s’opère sur une même colonne (liée à une même

entrée), nous pouvons proposer un bond graph simplifié.

Dans le cas où 1a b , la matrice TM s peut s’écrire sous la forme suivante :

2

2

2

1

1 111

2 1 2( 1)

1 1

T

s

s ss sM s

s s ss

s s

(III.66)

Dans ce cas, nous considérons une chaine directe différente pour cette entrée en prenant en

compte la simplification. Les tables α-β seront calculées différemment, pour chacune des deux

entrées, partant des nouvelles expressions des dénominateurs.

Le modèle bond graph simplifié sera représenté par la figure III.11 ci-dessous. Avec ce

modèle, nous n’atteignons pas le rang de la réalisation minimale (rang=2), cependant nous

arrivons à diminuer le rang globale (3 au lieu de 4).

Il est à noter que nous ne pouvons pas envisager de bond graph simplifié dans le cas où la

simplification venait à affecter une ligne de TM s au lieu d’une colonne. Cela est dû à un

problème qui se pose lors de l’affectation des entrées qui, elle, ne sont pas détectées comme

un signal mais liées au bond graph par de vrai lien de puissance.

MSe 1

II1RR1

TF

TF

K

K 0f 0 Kf

KMSe10

GY TF

GY

TF

CC2 I I2 R R2


Figure III.11 : Structure du modèle bond graph causal simplifié

u1

y1 y2

u2


A.U 2010-2011 Page 115

VI- Applications en haute fréquence

VI-1 : Cas mono-variable

Nous nous proposons de réaliser le modèle bond graph du coefficient de réflexion

d’un filtre fonctionnant en haute fréquence. Pour cela, prenons le cas du filtre de Tchebychev

à base d’éléments localisés et dont nous avons déterminé sa matrice de scattering au cours du

premier chapitre.

Vu que l’ordre du numérateur du coefficient de réflexion coïncide avec celui de

dénominateur, nous allons donc étudier le cas du coefficient de réflexion dégénéré qui est

trouvé en effectuent une division Euclidienne du numérateur par rapport au dénominateur

commun.

Prenons l’expression du paramètre scattering 22S sous la forme dégénéré :

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 222 4 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

s s sC L C L C C CS

s s s sC C L L L C C L C C L L C C L L

(III.67)

En se basant sur la procédure de réalisation décrite précédemment ainsi que des expressions

(III.37), (III.38) et (III.42) et des valeurs numériques des différents éléments constitutive du

filtre de Tchebychev, nous pouvons réécrire la table des α-β nécessaire pour la construction à

savoir :

La table des coefficients αi est tel que :

0 -430 1.324960000 10a 0 -21

2 1.537900000 10a 04 2a

1 -320 1.776320000 10a 1 -11

2 7.930000000 10a

2 -220 9.464000000 10a 2

2 2a

3 -110 4.176153846 10a

40 2a

Les valeurs des αi sont :

121 = 7.459016393 10 ; 11

2 = 1.876923077 10 ; 113 = 2.266200037 10 ;

114 = 2.088076923 10


A.U 2010-2011 Page 116

La table des coefficients βi est tel que :

1 -320 2.03840000010b 1 -11

2 9.100000000 10b

2 -210 1.164800000 10b 2

2 2b

3 -110 5.600000000 10b

40 2b

Les valeurs des βi sont :

1 2 3 41.147540984 ; 1.230769231 ; 1.340946767 ; 1

L’expression (III.42) permet de nous donner les différentes valeurs des éléments du modèle

bond graph à construire ainsi que la valeur de la résistance R=1 à savoir :

1 1 1 2 1 1 1 2

2 3 2 4 2 3 2 4

I C TF GY

I C TF GY

Soit donc le modèle bond graph du coefficient de reflexion 22S dans le cas dégénéré :

MSeK

1

0

1

0

RR I I1

II2

CC1

CC2

GY

GY1

GY

GY2

TF

TF1

TF

TF2

0 f K


Figure III.12 : Modèle bond graph causal du coefficient de reflexion 22S dégénéré

P1 P2


A.U 2010-2011 Page 117

VI-2 : Cas multi-variable

Dans ce cas nous nous proposons de réaliser le modèle bond graph des paramètres

scattering d’un filtre fonctionnant en haute fréquence et à base d’éléments distribués.

Considérons le filtre de la figure III.13 ci-dessous intercalé entre les deux terminaisons qui

sont des ports P1 et P2 et qui n’est autre qu’un filtre à base de lignes microbandes [Taghouti

et Mami, c, 2010] :

Figure III.13 : Filtre passe bas à éléments distribués

La matrice de scattering de ce filtre s’écrit sous la forme suivante :

11 12

21 22

N s N s

N s N sS s

D s

(III.67)

En réalité, la matrice de scattering de ce filtre n’est pas une matrice de transfert. Or en passant

au cas dégénéré et en se basant sur la procédure de réalisation d’un modèle bond graph dans le

cas multi-variable, nous pouvons déduire le modèle bond graph de cette matrice tout en

effectuent une division Euclidienne des numérateurs de chaque paramètre scattering par

rapport au dénominateur commun dans le cas où l’ordre de ces numérateurs se coïncide avec

celui du dénominateur commun.

La division Euclidienne nous conduit à une nouvelle matrice de scattering dite matrice

dégénéré qui prendra la forme suivante :

11 12

21 22

dégé

S SS s

S S

(III.68)

Avec :


A.U 2010-2011 Page 118

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 211 4 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

3 22 2 2( ) 22 1 2 1 2 1 222 4 3( ) (1 2 1 2 1 2 1 2 1

s s sC L L L C L LSs s s sC C L L L C C L C C L L C C L L

s s sC L C L C C CSs sC C L L L C C L C

2)( ) ( ) 22 1 2 1 2 1 2

212 4 3 2( ) ( )( ) ( ) 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

221 4 3 2( ) ( )( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

s sC L L C C L L



2

(III.69)

Nous pouvons donc écrire la table des α-β de chaque paramètre scattering dégénéré nécessaire

pour la construction du modèle bond graph dans le cas multi-variable en se basant sur la

procédure de réalisation décrite précédemment ainsi que des expressions (III.37), (III.38) et

(III.42) et des valeurs numériques des différents éléments constitutive du filtre.

La table des coefficients αi sera donnée comme suit :

0 -430 1.324960000 10a 0 -21

2 1.537900000 10a 04 2a

1 -320 1.776320000 10a 1 -11

2 7.930000000 10a

2 -220 9.464000000 10a 2

2 2a

3 -110 4.176153846 10a

40 2a

Les valeurs des αi sont :

121 = 7.459016393 10 ; 11

2 = 1.876923077 10 ; 113 = 2.266200037 10 ;

114 = 2.088076923 10

La table des coefficients 11i propre au paramètre 11S est tel que :

1 -320 1.51424000010b 1 -11

2 6.760000000 10b

2 -210 1.164800000 10b 2

2 2b

3 -110 4.160000000 10b

40 2b


A.U 2010-2011 Page 119

Les valeurs des 11i sont :

11 11 11 111 2 3 40.8524590164 ; 1.230769231 ; 0.9961318844 ; 1

La table des coefficients 22i propre au paramètre 22S est tel que :

1 -320 2.038400000 10b 1 -11

2 9.100000000 10b

2 -210 1.164800000 10b 2

2 2b

3 -110 5.600000000 10b

40 2b

Les valeurs des 22i sont :

22 22 22 221 2 3 41.147540984 ; 1.230769231 ; 1.340946767 ; 1

Nous considérons de la même manière pour les autres paramètres de scattering dégénérés

12 21etS S et on aura l’expression suivante :

1 1 1 2 2 3 2 4

11 11 11 11 11 11 11 111 1 1 2 2 3 2 4

12 12 12 12 12 12 12 121 1 1 2 2 3 2 4

21 21 21 21 21 21 21 211 1 1 2 2 3 2 4

22 22 22 22 22 22 22 221 1 1 2 2 3 2 4

I C I C

TF GY TF GY

TF GY TF GY

TF GY TF GY

TF GY TF GY

(III.70)

La structure du modèle bond graph de la matrice de scattering sous la forme dégénéré et dans

le cas multi-variable est donnée par la figure III.14 ci-dessous :


A.U 2010-2011 Page 120

MSe 1 0 1 0

TF GY GYTF

0

K

K

K K

MSe10 10

TFGY GY TF

0f f

TFGYGY TF

TF GYGYTF

I I1 I I2C C1

C C2

R R

II3II4 CC3CC4 R R1


Figure III.14 : Structure du modèle bond graph du filtre dans le cas multi-variable

NB :

Nous pouvons remarquer que le modèle bond graph obtenu ne possède pas de relation

physique avec le système modélisé par l’opérateur de transfert. Pour cela, nous allons

procéder, dans l’annexe F à une interprétation physique de ce modèle puisqu’on est capable

de lui associé un circuit électrique classique dans la théorie de propagation d’ondes.

VII- Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté une procédure de réalisation d’un modèle bond

graph associé à un système dynamique mono-variable et multi-variable en appliquant un

développement en fraction continue en α-β sur la fonction ou la matrice de transfert de ce

système.

Dés le début, nous avons considéré ce chapitre comme une introduction au quatrième

chapitre dans le quel, nous allons focaliser notre attention sur l’application de ce procédure de

construction d’un modèle bond graph concernant l’étude de la propagation des ondes

incidente et réfléchie à travers un circuit électrique fonctionnant en haute fréquence dans le

but de lui construire le modèle bond graph le plus cohérent modélisant la propagation de ces

ondes de puissances depuis l’entrée jusqu’au sortie de ce système.

Pe1

Pe2

Ps2Ps1


A.U 2010-2011 Page 121

Le modèle bond graph trouvé présente une simplicité vue la possibilité d’être intégré

dans n’importe quel logiciel informatique utilisant l’approche bond graph. Il peut être intégré

aussi comme sous-modèle d’un bond graph global et donc d’utiliser d’une manière unifiée

toute la panoplie des techniques bonds graph car ceci est plus pratique et plus cohérent pour

l’utilisateur que d’utiliser une représentation Entrée-Sortie sous forme de boite noir très

opaque en ce qui concerne les propriétés structurelle surtout quand une partie du système

physique est mal identifiée.

Quatrième Chapitre

INTRODUCTION A LA PROCEDURE DEREALISATION DU MODELE SCATTERING

BOND GRAPH : APPLICATIONS AUX FILTRESPASSIFS HAUTES FREQUENCES

Chapitre IV : Introduction à la Procédure de

Réalisation du Scattering Bond Graph…

A.U 2010-2011 Page 123

I- Introduction

Après avoir présenté et appliquer, dans le deuxième chapitre, une procédure analytique

d’exploitation des paramètres scattering d’un système physique à partir de son modèle bond

graph transformé de l’état conventionnel à l’état réduit et causal, et après avoir expliquer,

dans le troisième chapitre, une procédure (qui est tout à fait inverse aux démarches classiques

pour la réalisation d’un modèle bond graph issue de l’étude physique d’un système avant la

construction de modèles mathématiques) de réalisation d’un modèle bond graph d’un système

physique fonctionnant en haute fréquence à partir de son modèle fonction ou matrice de

transfert, nous envisagerons dans ce chapitre d’appliquer les résultats des chapitres II et III

pour construire ce que nous appellerons « le Scattering Bond Graph » qui a comme

particularité de montrer explicitement les différentes ondes de puissances et leur propagation

dans un système physique.

Le modèle bond graph proposé est un modèle de structure simple et il reste inchangé

quelque soit la complexité du système étudié. Il possède une interprétation physique, il est

plus facile à manipuler qu’un modèle mathématique abstrait et il propose une approche

temporelle des phénomènes modélisés habituellement avec les outils fréquentiels.

Dans ce chapitre, nous allons essayer d’appliquer une nouvelle technique de

modélisation qui utilise conjointement le formalisme scattering et l’approche bond graph pour

une modélisation des systèmes physiques fonctionnant souvent en hautes fréquences. Pour

cela, et bien que ces travaux sur cette nouvelle technique restent limité du moins en ce qui

concerne les bond-graphistes, la présentation de ce qui a été fait dans ce domaine nous

permettra de proposer, au début de ce chapitre, une méthode basée sur un bond graph acausal

pour calculer la matrice scattering du système étudié.

En effet, le développement de la technique bond graph s’est articulé autour de deux

concepts de base qui sont l’hypothèse de réticulation et le principe de continuité de la

puissance [Paynter et al. 1988], sans oublier l’importance de la notion de causalité, qui fait

apparaître les relations de cause à effet entre les différents modules du système et rend le

modèle bond graph plus riche en informations qu’un simple graph [Karnopp, 1988]. Les

gains des chemins et boucles causaux permettent, entre autre, de faire de l’analyse

structurelle, d’avoir une estimation sur le comportement dynamique du système, de

déterminer les relations Entrées-Sorties, alors que le formalisme scattering, à travers ses

différents propriétés évoquées précédemment, inclut explicitement les lois de conservation et

respect d’une manière intrinsèque les relations causales [Belevitch, 1968]. Il joue donc un

rôle important dans le développement des bonds graph et ajoutons l’intérêt que lui accorde

Paynter [Paynter, 1992] qui le considère comme une approche alternative pour la

modélisation des systèmes physiques.

Pour cela, et en se basant sur le fait que le concept de la causalité est un notion très

important dans la modélisation des systèmes physiques puisqu’il nous permet d’organiser les



A.U 2010-2011 Page 124

relations constitutives des éléments sous une forme Entrées-Sortie et d’analyser les variables

de puissances effort et flux en termes de dépendance, nous nous proposons dans la suite de ce

chapitre de construire le modèle Scattering Bond Graph en tenant compte de la notion de

causalité contrairement a ce qui a été réalisé dans les travaux d’A. KAMEL [Kamel et

Dauphin-Tanguy, 1993] qui a annulé complètement le concept de la causalité malgré son

importance. Nous considérons, pour la construction de ce nouveau modèle, comme point de

départ le modèle bond graph conventionnel qui nous permettra de calculer les paramètres

scattering par l’application de la procédure analytique d’exploitation expliqué dans le

deuxième chapitre et qui utilise les notions des chemins causaux et la règle de Masson

appliquée au modèle bond graph transformé, réduit et causal, et pour objectif d’appliquer sur

la matrice de scattering trouvée, qui n’est pas en réalité une matrice de transfert, la procédure

décrite dans le troisième chapitre afin d’avoir le fameux modèle « Scattering Bond Graph » du

système étudié.

II-Discussion autour de la réalisation de la matrice scattering

II-1 : Calcul de la matrice scattering à partir d’un bond graph acausal

Le point de départ de cette méthode est le bond graph acausal du système physique ou

électrique étudié ramené sous une forme élémentaire à deux branches comprenant uniquement

une jonction 0 et une jonction 1 associées à une impédance et une admittance équivalentes en

cascades [Kamel et al. 1993].

Considérons maintenant l’impédance série et l’admittance parallèle en variables réduites

comme le montre la figure ci-dessous.

Figure IV.1 : Impédance série et admittance parallèle en variables réduites

Les représentations bond graph associés à la figure ci-dessus seront comme suit :

2i

v iw

(IV.1)

2r

v iw

(IV.2)

z1

1iw

1

1rw2

2rw

2iw

2

y

1

1iw

1rw2

2iw

2rw



A.U 2010-2011 Page 125

1 0Se

R

R

R

RSe


Figure IV.2: Bond graph acausal associé

Les matrices scattering serieS (souvent notée sS ) et parallèlS (souvent notée pS ) associé aux deux

représentations ci-dessous peuvent être écrites, en se basant aux équations (IV-1) et (IV-2)

ainsi qu’aux règles de Kirchhoff, sous la forme suivante.

2

2 2

2

2 2

s

z

z zSz

z z

(IV.3)

2

2 2

2

2 2

p

y

y yS

y

y y

(IV.4)

L’équivalence en matrices d’ondes est donnée respectivement par les expressions ci-dessous :

2

2 2

2

2 2

s

z z

Wz z

(IV.5)

2

2 2

2

2 2

p

y y

Wy y

(IV.6)

Le produit des deux matrices d’ondes ci-dessous nous donne la matrice d’onde globale spW du

système en cascade sous la forme suivante.

z y

1

2

2

1

2

2

1

1



A.U 2010-2011 Page 126

2

2 2

2

2 2

sp s p

zy z y zy z y

W W Wzy z y zy z y

(IV.7)

En appliquant les transformations entre matrice d’onde et matrice scattering, nous pouvons

avoir l’expression de la matrice scattering globale spS du système en cascade, tel que :

21

22sp

zy z yS

zy z yzy z y

(IV.8)

La détermination de la matrice scattering d’un système physique complexe s’effectue en se

référant à l’expression (IV-8) et par l’organisation du système sous forme d’arborescence

hiérarchique permettant de retrouver la structure élémentaire d’une impédance et d’une

admittance équivalentes en cascade. Or dans le cas des systèmes électriques fonctionnant en

hautes fréquences, l’organisation sous forme d’arborescence hiérarchique est presque

impossible, puisque, à titre d’exemple, nous ne pouvons jamais ramener une antenne à base

des lignes micro- rubans ou des antennes multicouches à base d’éléments distribués sous la

forme d’une impédance série en cascade avec une admittance parallèle. Nous discuterons dans

la suite de ce chapitre le cas des impédances caractéristiques de ces systèmes et les

possibilités de les ramener sous forme d’impédance et d’admittance en cascade.

II-2 : Comparaison à la procédure analytique d’exploitation : Application à un

tronçon de ligne de transmission élémentaire

Considérons maintenant la ligne de transmission et son tronçon élémentaire [Combes,

a, 1999 ; Combes, b, 1999] représenté comme l’indique la figure suivante (voir annexe G).

Figure IV.3 : a) ligne de transmission, b) tronçon de ligne élémentaire

L’étude électrique des lignes de transmission [Beck et al. 1995] n’est possible qu’a partir

d’un modèle équivalent à éléments localisés et qui représente un tronçon de ligne dont les

1V2V

La)

b)



A.U 2010-2011 Page 127

dimensions sont beaucoup plus petites que la longueur d’onde guidée utilisée ( l ). Sous

ces contraintes, il est possible de modéliser la ligne comme une mise en cascade de

quadripôles élémentaires [Matthaei et al. 1980] comme l’indique la figure ci-dessous.

R

GC

L


Figure IV.4 : Représentation quadripolaire d’un tronçon de ligne avec pertes

Où :

R : Résistance linéique.

L : Inductance linéique.

C : Capacité linéique.

G : Conductance linéique.

La structure élémentaire de l’impédance linéique et de l’admittance linéique équivalente en

cascade est donnée par les expressions suivantes.

Z R jLw

Y G jCw

(IV.9)

La normalisation de ces expressions par rapport à une résistance de normalisation 0R (souvent

nous considèrerons la résistance interne du générateur comme résistance de normalisation en

tenant compte de la condition d’adaptation d’impédance) nous permet d’écrire.

L

C

z r s

y g s

(IV.10)

Où :



A.U 2010-2011 Page 128

0

0

0

1,

,L C

Rr g

R r

LC R

R

(IV.11)

A partir du modèle bond graph acausal de la figure 5 donné ci-dessous ainsi que l’expression

de l’équation (IV.8), nous pouvons déduire directement l’expression des paramètres scattering

du tronçon de ligne élémentaire décrit précédemment.

Se R

RR

01


Figure IV.5 : Modèle bond graph acausal du tronçon de ligne avec perte

Nous pouvons écrire donc :

2

11 2

12 2

21 2

2

22 2

1 1 1

1 1 1 2

2

1 1 1 2

2

1 1 1 2

1 1 1

1

C L L C

C L C L

C L C L

C L C L

C L C L

C L C

s g r s g r rS

s r g s r g g

Ss r g s r g g

Ss r g s r g g

s r g s g r rS

s r

1 1 2L g s r g g

(IV.12)

Pour appliquer la procédure analytique d’exploitation qui tient compte de la notion de

causalité, nous commençons par assigner une causalité intégrale sur le bond graph ci-dessus

tout en supposant que l’impédance et l’admittance linéique et réduite ont respectivement les

caractéristiques d’une inductance et d’une capacité. D’où le modèle bond graph causal et

réduit du tronçon de ligne sera comme l’indique la figure ci-dessous.

z y



A.U 2010-2011 Page 129

Se 1 R0

C YI Z


Figure IV.6 : Modèle bond graph réduit et causal du tronçon de ligne

L’affectation de la causalité sur ce bond graph se traduit par une causalité effort-flux vue par

le système comme indiqué sur la figure IV.6. En se référant au résultat du deuxième chapitre,

les relations analytiques Entrée-Sortie peuvent prendre, alors, la forme suivante :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

t H s t H s t

t H s t H s t

(IV.13)

la matrice scattering prendra la forme suivante :

11 22 12

21 11 2211 22

11 22 12 21

1 21

2 11

H H H HS

H H H HH H H

H H H H H

(IV.14)

Nous détectons en parcourant les chemins causaux, sur ce modèle bond graph réduit causal

une seule boucle causale B1 dont l’opérateur intégro-différentiel associé est:

1

1B

z y

(IV.15)

L’opérateur intégro-différentiel associé au déterminant du modèle bond graph réduit est :

11

z y

(IV.16)



111

yH s

z y

(IV.17)

P1 P2

1

1

2

2



A.U 2010-2011 Page 130



12

1

1H s

z y

(IV.18)



21

1

1H s

z y

(IV.19)



221

zH s

z y

(IV.20)

En se référant à l’équation (IV.14), les paramètres scattering de la matrice S en fonction de

l’impédance et l’admittance linéique réduite sont tel que :

11

12

21

22

2

2

2

2

2

2

z y y zS

z y y z

Sz y y z

Sz y y z

z y y zS

z y y z

(IV.21)

En remplaçant l’impédance et l’admittance linéique par leurs expressions (IV.10), nous

pouvons réécrire les paramètres scattering sous la forme suivante :



A.U 2010-2011 Page 131

2

11 2

12 2

21 2

2

22 2

1 1 1

1 1 1 2

2

1 1 1 2

2

1 1 1 2

1 1 1

1

C L L C

C L C L

C L C L

C L C L

C L L C

C L C

s g r s r g gS

s r g s r g g

Ss r g s r g g

Ss r g s r g g

s g r s r g gS

s r

1 1 2L g s r g g

(IV.22)

Nous remarquons que les paramètres scattering trouvés par les deux méthodes présentent

quelques différences en ce qui concerne le signe des paramètres du numérateur ou le

dénominateur, cela est dû à l’affectation de la causalité et le nombre de changement

d’orientation en suivant les variables efforts et flux à travers les liens d’informations du

modèle bond graph réduit causal ci-dessus.

II-3 : Discussion et commentaire

L’affectation de la causalité sur un modèle bond graph ne dépend pas uniquement du

type d’éléments mais aussi de la structure globale de jonction. La causalité est, de ce fait plus

informative que la notion d’impédance et d’admittance [Karnopp, 1988] qui perd de son

intérêt sur un modèle bond graph remplacé par la notion de transmittance élémentaire obtenue

à partir des gains des chemins et des boucles causaux.

De plus, en ce qui concerne la méthode d’extraction des paramètres scattering par la

procédure analytique d’exploitation décrit précédemment dans le deuxième chapitre, où nous

avons présenté les quatre relations liées aux différents types de causalité, permettant de

déterminer la matrice S. le problème se pose lorsqu’on a affaire à une situation où la causalité

sur le lien d’entrée, sur le lien de sortie ou bien même sur les deux liens n’est pas unique.

Dans ce cas, le choix du type de causalité détermine laquelle des relations à utiliser.

Cependant, il serait plus judicieux, pour faciliter et alléger les calculs, de choisir le cas de la

causalité obligatoire imposée par les éléments inductifs et capacitifs constituant le système

étudié, et si n’est pas le cas, nous choisissant la causalité faisant apparaitre un nombre

minimum de chemins et de boucles causaux comme dans le cas de l’exemple du tronçon de

ligne élémentaire de la figure ci-haute.

Autrement, dans la méthode du bond graph acausal qui nous permet, après une réorganisation

hiérarchique, d’obtenir une impédance série et une admittance parallèle en cascade [Redfield

et Krishnan, 1993], et en regardant la Loi d’Ohm donnée par l’expression ci-dessus (IV.23)



A.U 2010-2011 Page 132

pour le calcul d’impédance, nous constatons qu’une causalité effort entrant (ou encore flux

sortant) a été implicitement prise en compte se traduisant par une causalité dérivée pour les

éléments I et une causalité intégrale pour les éléments C.

1

L

C

U R I

U Z I U s I

U Is

(IV.23)

Réciproquement, dans le calcul d’admittance ce sont les éléments I qui se trouvent en

causalité intégrale alors que les éléments C sont en causalité dérivée. Ceci étant, bien

évidement, indépendant de la causalité effective qu’aurait le modèle bond graph en causalité

intégrale.

III- Procédure de réalisation du scattering bond graph

Dans les deux chapitres précédents, nous avons expliqué brièvement le lien historique

qui lie l’approche bond graph au formalisme scattering en mettant l’accent sur une procédure

analytique d’exploitation des paramètres scattering, sous forme de fonction ou matrice de

transfert, d’un système physique à partir de son modèle bond graph réduit tout en tenant

compte du concept de la causalité vu son intérêt dans la modélisation moderne et les

informations qu’elle peut nous fournir sur le comportement dynamique du système étudié.

Nous avons présenté aussi, dans le chapitre précédent, une démarche inverse à celui du

deuxième chapitre qui a comme point de départ la fonction ou la matrice de transfert d’un

système physique et a pour but la réalisation d’un modèle bond graph qui présente la

simplicité de s’intégrer dans n’importe quel logiciel informatique utilisant le concept bond

graph [Azmani, 1991]. Dans ce qui précède, nous avons montré aussi que le bond graph

représente les relations de puissance entre les variables effort et flux qui s’expriment en

fonction des différentes ondes incidentes et réfléchies alors que le formalisme scattering relie,

grâce à un modèle mathématique, les ondes de puissance.

Pour cela, nous proposons, dans la suite de ce chapitre, un nouveau type de relation entre ces

deux formalismes tout en combinant les deux procédures décrites au cours du deuxième et

troisième chapitre en partant d’un modèle bond graph réduit et causal [Amara et Scavarda,

1991] pour atteindre un modèle bond graph de type particulier dit « Scattering bond graph »

qui fait apparaitre explicitement les différentes ondes de puissance [Kamel et Dauphin-

Tanguy, 1993 ; Kamel et al. 1993].

Contrairement au formalisme scattering souvent utilisé dans des problèmes de propagation

d’ondes (optique, hyperfréquence…) [Combes et Crampagne, b, 2002 ; Wake, 1998 ;

Cadieu et Lane, 1999 ; Combes et Crampagne, a, 2002] un modèle bond graph est une



A.U 2010-2011 Page 133

représentation unifiée de nombreux domaines de la physique et comme le scattering bond

graph est associé à un modèle bond graph classique, nous avons essayé, dans ce mémoire, de

conserver nos études dans le domaine fréquentiel en choisissant de travailler comme début,

sur des filtres hautes fréquences [Bildstein, 1989 ; Hasler et Neirynck, 1985] à éléments

localisés et/ou distribués [Taghouti et Mami, c, 2010 ; Taghouti et Mami, 2009 ; Taghouti

et Mami, b, 2010] vu que la réalisation de ce type de bond graph revient à changer de

domaine d’étude en passant du domaine fréquentiel au domaine temporel.

III-1: Scattering bond graph d’un quadripole

La forme la plus générale de la matrice scattering S d’un quadripôle est donnée par

l’expression ci-dessous.

11 11 12 120 0

21 21 22 220 0

1 n nn n

n nn n

b s b b s bS

d s b s b b s b

(IV.24)

Avec :

11 0

n nn nd s a s a s a

(IV.25)

La matrice s présenté ci-dessus est une matrice deux-deux ayant une forme particulière quelle

que soit la complexité des expressions de l’impédance série ou de l’admittance parallèle

équivalentes si nous travaillons par un modèle bond graph acausal [Kamel et Dauphin-

Tanguy, 1993 ; Kamel et al. 1993].

En effet si le système ne possède aucune source active, alors le quadripôle est dit réciproque,

de plus si le système est supposé sans perte la matrice S est orthogonale.

Le nombre d’éléments dynamiques présents dans le système physique étudié est donné par le

degré n du dénominateur d s . En effet, n désignera le nombre d’éléments I et C en causalité

intégrale si on partait d’un modèle bond graph, alors que les éléments qui sont en causalité

dérivée n’interviennent pas dans la dynamique du système.

Considérons maintenant le circuit équivalent d’un filtre passe bande à base d’éléments

localisés comme le montre la figure ci-dessous.



A.U 2010-2011 Page 134

C2

C1

L2

L1


Figure IV.7 : Circuit équivalent d’un filtre passe bande en ligne microbande

Le modèle bond graph conventionnel causal de ce filtre intercalé entre les deux ports entrée-

sortie P1 et P2 est donné par la figure ci-dessous.

RSe

0

0

1

1

I I1

II2 C C2

CC1


Figure IV.8 : Modèle bond graph conventionnel causal du filtre passe bande

Nous savons que dans un tel circuit les deux éléments inductif et capacitif en parallèle et en

série, comme l’indique la figure ci-dessus, peuvent être remplacées par une impédance série et

une admittance parallèle sans pour autant modifier le comportement dynamique du système.

Pour appliquer la procédure analytique d’exploitation de la matrice de scattering S nous

simplifions le modèle ci-dessus en un modèle bond graph transformé causal et réduit comme

l’indique la figure suivante.

P1 P2



A.U 2010-2011 Page 135

C

I

1 RSe 0


Figure IV.9 : Modèle bond graph réduit et causal du filtre

Avec :

1

1

2

2

1

1

L

C

C

L

z ss

y ss

(IV.26)

Les paramètres de la matrice scattering seront donc sous les formes suivantes.

4 3 2 11 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 111 4 3 22 11 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2

22 1 212 4 3 221 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1

s s s sL L C C C L L C C L L C L CS

s s s sL L C C C L C L C L L C L C C L

sC LSs s sL L C C C L C L C L L C L C C L

1222 1 2

12 4 3 22 11 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 24 3 2 11 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1

22 4 3 221 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1

s

sC LSs s s sL L C C C L C L C L L C L C C L

s s s sL L C C C L L C C L L C L CS

s s sL L C C C L C L C L L C L C

11 2 sC L

(IV.27)

Cette matrice n’est pas une vraie matrice de transfert (contrairement à la matrice d’onde),

nous allons procéder comme si elle l’était, du moins d’un point de vue entrée-sortie, reliant

sous une forme symbolique les ondes incidentes et réfléchies. Pour ce faire, nous appliquerons

les résultats du troisième chapitre qui permet de construire un modèle bond graph à partir

P1 P2

z

y



A.U 2010-2011 Page 136

d’une fonction ou matrice de transfert [Kamel et Dauphin-Tanguy, 1993 ; Kamel et al.

1993].

La matrice S n’est pas sous une forme adéquate puisque le degré du numérateur est égal à

celui du dénominateur. La démarche à suivre consiste donc à effectuer une division

Euclidienne de chaque terme de la matrice numérateur par le dénominateur commun d s ce

qui donne une nouvelle matrice notée S ayant un degré au numérateur égal à celui du

dénominateur d s diminué de un.

La nouvelle expression de la matrice scattering, après une division Euclidienne, sera sous la

forme suivante.

DS S M (IV.28)

DM : Représente la matrice de transmission directe.

Les termes de la matrice constante DM sont fonction des coefficients respectifs des

numérateurs et du dénominateur commun donc représentent les quotients de la division

Euclidienne du chaque terme de la matrice scattering par son dénominateur commun [Kamel

et Dauphin-Tanguy, 1993 ; Kamel et al. 1993].

Elle prendra donc la forme suivante :

11 12

21 22

D

q qM

q q

(IV.29)

La seconde étape consiste à chercher pour la nouvelle matrice de scattering S le

développement en alpha-beta et à construire le modèle bond graph correspondant en utilisant

la procédure de réalisation d’un modèle bond graph dans le cas multi-variable comme nous

l’avons expliqué dans le deuxième chapitre.

La partie directe vient se greffer sur ce bond graph à l’aide d’un nombre approprié de liens

d’information reliant les entrées aux différentes sorties.

Nous représentant le modèle scattering bond graph dans le cas d’une matrice directe diagonale

par la figure 10 suivante. Ce bond graph d’un type particulier est constitué de deux chaines

directes identiques (la matrice S de tout quadripole est carrée de dimension deux) modélisant

la partie dynamique [Kamel et Dauphin-Tanguy, 1996] liée au dénominateur

commun d s et ayant pour entrées deux sources d’effort représentant les ondes

incidentes 1 2eti iw w .



A.U 2010-2011 Page 137

La structure globale du modèle bond graph reste la même quel que soit le degré du

dénominateur commun. Seul le nombre d’éléments I et C, lié au nombre de i et donc au

degré de d s , change. Ceci étant, bien évidemment, en accort avec la remarque précédente

sur le degré n de d s .

Les variables de sortie, représentant les ondes réfléchies 1 2etr rw w , sont obtenues à l’aide de

détecteurs judicieusement placés pour capter l’information au niveau du port adéquat.



A.U 2010-2011 Page 138

1 1

1 1

0 0

00

Se

Se

TF

TF

TF

TFTF

GY GY

GYGY

GYGY

GY GY

TFTF

TF

0

0

f

f

I I

I I

C CR

R

C C

R

R


Figure IV.10: Modèle Scattering Bond Graph d’un quadripole

112

114

113

111

214

213

212

211

224

223

222

221

124

122

12312

1

2rw

2iw

22q

1rw

1iw

11q



A.U 2010-2011 Page 139

III-2: Scattering bond graph d’un système complet

Pour obtenir le modèle scattering bond graph globale du système complet nous

associons au quadripole ainsi modélisé la source et la charge en tenant compte des

coefficients de réflexion de la source ( et 1g g gt ) ainsi que du coefficient de réflexion

de la charge c . Ceci se fait en prenant quelque précautions de modélisation puisque la

modélisation par bond graph s’effectue souvent dans le domaine temporel et que ces

coefficients ne sont pas toujours réels mais peuvent être complexes si les impédances

générateur et/ou charge sont inductif, capacitifs ou bien les deux à la fois [Kamel et

Dauphin-Tanguy, 1993 ; Kamel et al. 1993].

III-2-1 : Cas des impédances réelles

L’intégration des coefficients de réflexion de la source et la charge dans le modèle

scattering bond graph est immédiate dans le cas où ils sont des coefficients réels. Il suffit de

les rajouter tels quels aux emplacements adéquats c'est-à-dire pour relier l’onde réfléchie 1rw et

l’onde incidente 1iw à l’entrée, ainsi que l’onde réfléchie 2rw et l’onde incidente 2iw vue par le

quadripole [Longoria et al. 1997].

La sortie 2rw contrôle, grâce à un retour de sortie de poids c correspondant au coefficient de

réflexion de la charge, alors que l’entrée 1iw est contrôlée directement par l’onde du

générateur gw avec un coefficient de transmission gt et indirectement par un retour de la

sortie 1rw de poids g correspondant au coefficient de réflexion du générateur. Dans les deux

cas, la partie directe vient en sus comme l’indique la figure IV.11 suivante avec une matrice

directe diagonale.



A.U 2010-2011 Page 140

1 1

1 1

0 0

00

TF

TF

TF

TFTF

GY GY

GYGY

GYGY

GY GY

TFTF

TF

0

0

f

f

I I

I I

C C

R

R

C C

R

R

K

K

K

MSe

MSe

K


Figure IV.11 : Modèle scattering bond graph global dans le cas d’impédances réelles

Générateur

gw

gt

g

c

22q

11q

2wr

1wr

1wi

2wi



A.U 2010-2011 Page 141

III-2-2 : Cas des impédances quelconques

Dans le cas où le système contient des éléments dynamiques, les coefficients de

réflexion font intervenir l’opérateur symbolique de Laplace. Dans ce cas, il est évident de

construire à partir de ces coefficients de réflexion un scattering bond graph particulier à une

entrée-sortie. Pour cela, prenons l’exemple d’un système dynamique [Kamel et Dauphin-

Tanguy, 1996] dont la charge est sous la forme suivante :

1 21

1 1

I

c

I I

s r

s r s r

(IV.30)

Donc le modèle bond graph qui remplacera le coefficient c prendra donc la forme suivante.

C

fR

0

0

TF


Figure IV.12 : Scattering bond graph de la charge inductive

L’avantage majeur de la représentation d’un système physique, qui fonctionne ou non en

haute fréquence, par une utilisation conjointe de l’approche bond graph et le formalisme

scattering, est la possibilité de modéliser un retour de sorite. En effet, le système bouclé

caractérise l’influence des ondes réfléchies sur le pourcentage de puissance délivrée par le

générateur à la charge. Le scattering bond graph met en valeur les différents paramètres, leurs

interconnexion et les chemins suivis par la puissance depuis le générateur jusqu’à la charge.

Nous pouvons noter aussi que l’utilisation des graphes de fluence dans le domaine du

scattering s’est cantonnée dans les travaux de BADOUAL [Badoual, 1980] où il a exploité

les règles élémentaires de la théorie des graphes et en particulier la règle de Masson

[Shamash, 1980] pour faciliter l’obtention de la matrice de scattering S sans se préoccuper

des aspects de l’automatique des systèmes continus comme dans notre cas.

cq



A.U 2010-2011 Page 142

III-3 : Scattering bond graph et réalisation minimale

Dans le troisième chapitre, nous avons posé le problème de la réalisation minimale

lors du passage d’une matrice de transfert à une représentation d’état puis au modèle bond

graph dans le cas multi-variable. Nous étions contraint de passer par la forme de Smith-Mac

Millan dans le cas où on veut connaître le degré de cette réalisation.

Dans le cas où le système est passif et sans perte, le problème de la réalisation minimale

survient lors de la construction du modèle scattering bond graph. La matrice scattering est

alors orthogonale et son déterminant est égale à un. Ceci a des conséquences sur la forme de

Smith-Mac Millan. En effet, le second terme dans la forme de Smith ci-dessous liée à la

matrice numérateur est précisément égal au déterminant de celle-ci devisé par le premier

terme, à un coefficient multiplicatif près pour rendre le polynôme unitaire [Truong et

Peschel, 1988].

11 22 12 21

0

0

s

S S S S

s

(IV.31)

Avec : 11 22 12 21, , ,s PGCD S S S S est généralement égal a un. Il est à rappeler que le

terme

11 22 12 21S S S S

s

est un polynôme puisque 11 22 12 21S S S S est divisible sans reste par s .

Comme

11 22 12 21

2det 1

S S S SS

d s

nous avons alors

2

11 22 12 21S S S S d s , ce qui implique

que d s est divisible aussi sans reste par s . La forme de Smith de la matrice S sera alors

comme suit :

11 22 12 21

0 10

0 0

ss

d sd sd s

d sS S S Sd s

s d s s

(IV.32)

Avec : d s s d s

Le degré de la réalisation minimale est alors au plus égal à n, tout dépend réellement du degré

de d s c'est-à-dire du polynôme obtenu après simplification entre etd s s .



A.U 2010-2011 Page 143

IV- Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons rappelé et expliquer brièvement, avec quelques

améliorations, une procédure qui utilise conjointement et d’une manière explicite le

formalisme scattering et l’approche bond graph pour la modélisation d’un système physique

en mettant en évidence les ondes de puissances et leurs propagations sur un bond graph de

type particulier appelé ‘’Scattering Bond Graph’’.

La procédure décrite dans ce chapitre, nous a permet d’avoir une représentation

temporelle avec des éléments dynamiques qui peuvent avoir une interprétation physique et

une meilleur analyse des phénomènes énergétiques.

Cette procédure nous a donné, par le biais d’une représentation graphique, un accès

aux différentes ondes de puissance, contrairement à la matrice scattering qui reste un modèle

formel difficile à interpréter.

CONCLUSION GENERALE

CONCLUSION GENERALE

A.U 2010-2011 Page 145

CONCLUSION GENERALE

Les travaux présentés dans ce mémoire ont eu pour objectif de mettre

en place et d’améliorer une méthodologie d’aide à l’étude, la modélisation et

l’analyse des systèmes physiques modélisés habituellement par les outils

fréquentiels. Cette méthodologie, propose à ces systèmes une approche

temporelle avec des éléments dynamiques par le biais d’une utilisation

conjointe du formalisme scattering et le formalisme bond graph.

La méthodologie proposée dans ce mémoire, a comme particularité de

montrer graphiquement et explicitement les différentes ondes de puissance et

leur propagation, à travers un système physique, sur un bond graph de type

particulier qui possède une interprétation physique, plus facile à manipuler

qu’un modèle mathématique abstrait et appelé souvent ‘’ Scattering Bond

Graph ‘’.

L’amélioration effectuée sur cette procédure consiste à tenir compte du

concept de la causalité qui fait apparaître les relations de cause à effet entre

les différents modules du système étudié et rend le modèle bond graph plus

riche en information qu’un simple graph, contrairement à ce qui a été effectué

dans les travaux du professeur A. KAMEL où il s’est basé sur un modèle bond

graph acausal pour l’application de cette méthodologie.

La démarche classique de cette méthodologie est un modèle bond graph

conventionnel que nous le transformant en un modèle bond graph réduit et

causal par l’application d’une procédure de transformation des bonds graph

conventionnels.

Le bond graph réduit et causal du système étudié représente donc le

modèle de départ pour cette méthodologie et utilisé pour calculer la matrice

scattering et cela en lui appliquant une procédure algèbro-graphique

CONCLUSION GENERALE

A.U 2010-2011 Page 146

d’extraction des paramètres scattering et qui utilise les notions des chemins

et boucles causales.

Une autre procédure, décrite à travers les chapitres de ce mémoire, est

appliquée sur la matrice scattering trouvée pour la construction de ce modèle

scattering bond graph et qui se base sur un développement en fractions

continues en α-β appliqué sur cette matrice qui est considérée comme une

matrice de transfert.

Nous avons, aussi, essayé d’appliquer mieux l’hypothèse de réticulation

introduite par PAYNTER et BUSCH-VICHNIAC et qui permet la séparation

des phénomènes. Cette hypothèse a été appliquée sur le modèle bond graph

causal de départ pour l’extraction des paramètres scattering du système

étudié.

Les travaux présentés dans ce mémoire, permettent de dégager aussi

plusieurs axes prospectifs :

En introduisant des composants actifs classiques dans l’étude des

systèmes en hyperfréquences.

En proposant un modèle scattering bond graph réduit sans oublier les

liens d’information.

En tenant compte des non linéarités dans le système physique du type

matrice scattering dépendant du vecteur entrées, par l’application de la

notion d’impédance généralisée comme le préconise HOGAN.

En intégrant tous ces résultats à un logiciel d’analyse et de simulation

tel que 20-Sim couplé à MATLAB, ce qui permettra d’utiliser les outils

d’identification développés dans ce dernier. Ou par le développement

d’un nouveau logiciel autre que les logiciels cité ci-dessus et qui

intègrent tous les résultats présentés dans ce mémoire.

LESANNEXES

ANNEXE A

Annexes : Annexe A

A.U 2010-2011 Page 149

Annexe A :

Représentation scattering des différents éléments 1-port, 2-ports…

ELEMENTS REPRESENTATION SCATTERING

1

-

P

O

R

T

Résistance 1

1R

rS

r

où

0

Rr

R

R

Inductance . 1

. 1I

I

I

dS

d

où

0

I

I

R

I

Capacité 1 .

1 .C

C

C

dS

d

où 0C CR

C

2

-

P

O

R

T

S

Transformateur

TFS

où 21

TF

Gyrateur

GYS

où 21 GY

3

-

P

O

R

T

S

Eléments associés à une jonction

21

22R

rS

rr

21

22 .

I

I

II

dS

dd

21

22 .

C

C

CC

dS

dd

n

k

R

1

I

1

C

0

Annexes : Annexe A

A.U 2010-2011 Page 150

ANNEXE B

Annexes : Annexe B

A.U 2010-2011 Page 151

Annexe B :

A partir de la condition d’orthogonalité de la matrice S, on peut écrire le résultat suivant :

1 0 0

0 1

.

1 0

0 0 1

T

a b a b

b b

S S a a

b b b b

b b a b b a

(B-1)

On peut écrire aussi les contraintes sur les éléments a et b :

2 2

2

1 1

2 2 0

a n b

ab n b

(B-2)

Nous avons déjà signalé que ce système admet deux solutions à savoir :

21

2

an

bn

(B-3)

Dans la première partie de ce chapitre, nous avons écrit les variables d’effort et de flux en

fonction des deux matrices T et T qui caractérisent le système idéal donné.

Explicitons maintenant ces deux matrices pour les deux solutions de l’équation (B-3) nous

aurons deux cas possibles :

1. Premier cas possible :

La première solution considérée est :

21

2

an

bn

(B-4)

Pour un port quelconque noté , on peut associer l’effort sous la forme suivante :

1 1

n nj j

ij i ijj j

j

t w t w t w

(B-5)

Annexes : Annexe B

A.U 2010-2011 Page 152

Ce qui donne en remplaçant les éléments de la matrice S par a et b dans l’expression de la

matrice T :

1

1 2 1 2

2 2

n

i ijjj

w wn n

(B-6)

Qui s’écrit aussi sous la forme :

1

1 2

2

n

iji

wn

(B-7)

A partir de la relation précédente, nous remarquons que l’effort est commun à tous les

ports du système étudié.

De la même manière, le flux associé au même port s’écrit :

1 1

n nj j

ij i ijj j

j

t w t w t w

(B-8)

En remplaçant les coefficients de la matrice S par a et b dans l’expression de la matriceT on

obtient :

1

1 2 1 22

2 2

n

i ijjj

w wn n

(B-9)

L’expression simplifiée de la somme des flux à tous les ports du système s’écrit :

1 1

1 2 22 2 0

2

n n

iwn n

(B-10)

Cette relation montre que la somme des flux est nulle quelque soit la valeur de l’onde

incidente au port. Le système étudié, correspondant à la première solution, conserve le flux.

La matrice de scattering qui caractérise le système idéal non énergétique sera exprimée sous

la forme suivante :

0

2 21

2 21

n n

S

n n

(B-11)

Annexes : Annexe B

A.U 2010-2011 Page 153

La matrice ci-dessus correspond à la représentation scattering d’une jonction à n-ports

caractérisée par un effort commun et une conservation de flux.

Dans l’approche bond graph, nous caractérisons souvent cette jonction par la « jonction 0 » et

dont les relations constitutives sont :

1

i,j0

i j

n

ii

(B-12)

Dans le domaine électrique, cette jonction d’identifie à une jonction de Kirchhoff

« parallèle ».

Dans le cas où le nombre de ports de cette jonction de limite à trois, donc n=3, et la matrice S0

s’écrit sous la forme suivante :

0

1 2 21

2 1 23

2 2 1

S

(B-13)

2. Deuxième cas possible :

La deuxième solution considérée est :

21

2

an

bn

(B-14)

De la même manière que précédemment, l’effort associé au port est donné par

l’équation ci-dessous :

1 1

n nj j

ij i ijj j

j

t w t w t w

(B-15)

L’équation précédente sera, si en remplaçant les éléments de la matrice S par a et b :

1

1 2 1 22

2 2

n

i ijjj

w wn n

(B-16)

De la même manière, l’expression simplifiée de la somme des efforts à tous les ports du

système étudié, sera :

Annexes : Annexe B

A.U 2010-2011 Page 154

1 1

1 2 22 2 0

2

n n

ijj

wn n

(B-17)

Dans ce cas, le système étudié conserve l’effort, puisque la somme des efforts est nulle

quelque soit la valeur de l’onde incidente au port.

En décomposant maintenant la matrice signalée précédemment, le flux sera écrit au port

comme l’indique l’équation ci-dessous :

1 1

n nj j

ij i ijj j

j

t w t w t w

(B-18)

En remplaçant les éléments de la matrice S par a et b, on aura :

1

1 2 1 2

2 2

n

i ijjj

w wn n

(B-19)

Autrement dit, l’expression précédente se transforme sous la forme suivante :

1

1 2

2

n

ijj

wn

(B-20)

Le système étudié sera caractérisé par une matrice S1 puisque le flux est commun à tous les

ports de ce système.

0

2 21

2 21

n n

S

n n

(B-21)

Cette matrice, correspond à la représentation scattering d’une jonction à n-ports, caractérisée

par un flux commun et une conservation de l’effort.

Dans l’approche bond graph, cette jonction sera définie par une « jonction 1 » et dont les

relations constitutive seront :

1

i,j0

i j

n

ii

(B-22)

De même, on peut identifier cette jonction, dans le domaine électrique, par une jonction de

Kirchhoff « série ».

Annexes : Annexe B

A.U 2010-2011 Page 155

Et dans le cas où le nombre de ports de cette jonction se limite à trois, donc n=3, et la matrice

S1 s’écrit sous la forme suivante :

1

1 2 21

2 1 23

2 2 1

S

(B-23)

Les résultats ci-dessus, confirment qu’il existe deux types de jonctions de Kirchhoff

« série » et « parallèle » qui sont idéales et symétriques. En plus, la matrice de scattering

associée à ces jonctions existe contrairement à la matrice impédance ou la matrice admittance.

Cette propriété implique que lors de la phase d’analyse, le formalisme scattering permet de

caractériser les aspects topologiques et dynamiques sous la même forme. Alors que les

aspects topologiques sont définis distinctement des aspects dynamiques dans l’approche bond

graph.

ANNEXE C

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 157

Présentation du formalisme Bond Graph

I- Introduction

La méthodologie bond graph a été définie par Paynter en 1961 [Paynter, 1976],

formalisé par Karnopp et Rosenberg en 1975 [Karnopp et Rosenberg, 1975 ; Rosenberg et

Andry, 1979] et est entrée en Europe par les Payés bas en 1970 plus précisément par

l’université de Twente, cette méthodologie est utilisée surtout dans le domaine industriel

(Général Motors, Ford, Renault……..) elle se base sur l’hypothèse dite de réticulation pour

modéliser et analyser n’importe quel système physique formé par un ensemble de sous-

systèmes élémentaires homogènes ou hétérogène échangeant l’énergie entre eux [Breedveld

et al. 1991]. Le bond graph s’applique donc sur n’importe quel domaine soit électrique,

électromécaniques, hydraulique ou acoustique c’est bien donc le caractéristique fondamentale

de formalisme bond graph qui utilise des liens de puissance symbolisés par une demi flèche,

nommés en anglais « bond », son orientation indique le sens de transfert de puissance et

illustrant les transferts énergétique dans le système étudier.

Figure C.1 : Sens de transfert d’énergie de A vers B

Les deux termes e : effort et f : flux représentent les variables généralisées de puissance à

travers le lien de puissance, ces derniers changent d’un domaine à un autre.

II-Les variables généralisés

Les variables généralisés de puissance présentent un lien entre la puissance

instantané P t , le moment p t et le déplacement q t tel que :

P t e t f t (C.1)

p t e t dt (C.2)

q t f t dt (C.3)

Le tableau (C.1) ci-dessous, présente les différentes variables généralisées (de puissance etd’énergie) pour différents domaines.

A Be

f

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 158

Effort e (t) Flux f (t) Moment p(t) Déplacement

q(t)

Electrique Tension u (V) Intensité i(A) Flux

magnétique

(V.s)

Charge q

Magnétique Force

magnétomotrice

(A)

Dérivé de flux

mage. (wb /s)

Flux mage.

(wb)

Hydraulique Pression P

(N/m²)

Débit vol. Q

(m³)

Impulsion

Pression Г

(Ns/m²)

Volume V (m³)

Acoustique Pression P

(N/m²)

Vitesse vol

V(m³/s)

Impulsion : Г

(Ns/m²)

Volume V (m³)

translation Force F(N) Vitesse V (m/s) Impulsion p

(N.s)

Déplacement

x(m)

rotation Couple (N.m) Vitesse

angulaire w

(rad/s)

Impuls.ang h

(N.m.s)Ange (rad)

Chimie Pot. Chimique

(I/mol)

Flux molaire

d(N (mol/s))

Masse mol. N

(mol)

Thermodynamique Température T

(K)

Flux d’entropie

d(S (wb/k))

Entropie S (I/k)

Tableau C.1 : Variables généralisées pour différents domaines physiques

III-Les éléments de base en Bond graph

Il existe quatre types d’éléments bonds graph liant un tel phénomène et les variables

généralisées :

Eléments passifs.

Eléments actifs.

Jonctions.

Détecteurs.

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 159

III-1 : Les éléments passifs

Les éléments passifs sont des éléments qui reçoivent de la puissance et peuvent être soit de

dissipation d’énergie ou de stockage d’énergie et aussi linéaires ou non linéaires suivant la loi

générique reliant l’effort et le flux. Les éléments passifs existent donc comme étant des

éléments multiports ou à 1-ports puisque ils ont un seul lien de puissance entrante.

III-1-1 : Eléments dissipatifs : R

Ces éléments reçoivent et dissipent l’énergie sous forme de chaleur telle que résistance,

amortissement, restriction hydraulique, pertes de puissance par frottement de tout type (tout

phénomène physique caractérisé par une relation effort-flux).

La loi générique s’écrit, dans le cas linéaire ou non linéaire par l’équation suivante :

, 0

0

R

R R R

e f

e f

(C.4)

III-1-2 : Eléments de stockage d’énergie : C et I

Ces éléments reçoivent de l’énergie et peuvent être soit capacitifs soit inertiels.

Dans le cas capacitif l’énergie s’écrit sous la forme ci-dessous :

E t e t f t dt e q dq (C.5)

Avec :

e t e q

f t dt dq

(C.6)

On peut citer comme éléments de stockages capacitifs : ressort, barre de torsion,

condensateur, réservoir…. (Tout phénomène caractérisé par une relation effort= flux dt).

La loi générique s’écrit dans ce cas en tenant compte de la causalité affecté:

, 0C

C C C

e fdt

e f dt

(C.7)

Dans le cas d’éléments inertiels l’énergie s’écrit sous la forme suivante :

E t e t f t dt E p f p dp (C.8)

Avec :

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 160

f t f p

e t dt dp

(C.9)

Citons comme exemples: inductance, masse, inertie… (Tout phénomène caractérisé par une

relation Flux= effort dt)

La loi générique s’écrit donc :

, 0I

II I

edt f

dee

dt

(C.10)

III-2 : Les éléments actifs

Ces éléments représentent des sources d’énergie pour les systèmes et dans la modélisation

bond graph. Ils sont notés Se (source d’effort) tel que les générateurs de tension, force de

pesanteur, barrage hydraulique… et aussi Sf (source de flux) tel que les générateurs de

courant, vitesse appliqué, pompe centrifuge. Ces éléments n’ont pas de loi générique puisque

une des variables e et f a une évolution prédéfinie indépendamment de l’autre variable.

On donnera dans le tableau ci-dessous les symboles en bond graph pour différents domaines.

Symbole en bond graph Définition

Variables généralisées e(t)donné, f(t) arbitraire

f(t) donné, e(t) arbitraire

Translation mécanique F(t) donné, v(t) arbitraire

V(t) donné, F(t) arbitraire

Rotation mécanique (t) donné, w(t) arbitraire

w(t) donné, (t) arbitraire

Système hydraulique P(t) donné, Q(t) arbitraire

Q(t) donné, P(t) arbitraire

Système électrique u(t) donné, i(t) arbitraire

i(t) donné, u(t) arbitraire

Tableau C.2 : Sources pour différents domaines physiques

Se

Sf

SF

SV

S

Sw

Sp

SQ

Su

Si

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 161

III-3 : Les jonctions

Les jonctions sont des éléments bond graph conservatifs de puissance et servent à

l’interconnexion des éléments R, C, I et sources. On définit quatre types de jonctions :

1) Jonction 0 (zéro)

Ce sont des jonctions iso effort (jonction d’effort commun) et aussi des éléments de jonction

multiports (reliant plusieurs éléments soumis à un même effort).

0


Figure C.2 : Modèle bond graph de la jonction 0


1 2 3

0

n

i ii

e e e e

a f

(C.11)

Avec i=1….n, ai = cœfficients qui correspond à l’orientation du sens de demi flèche (ai= +1 si

la demi flèche entrant, ai= -1 s’il est sortant).

N .B : ai est la même dans tout ce qui suit.

2) Jonction 1(un)

Ce sont des jonctions iso flux (jonction de flux commun) et des éléments de jonction

multiports (reliant plusieurs éléments soumis à un même flux).

1


Figure C.3 : Modèle bond graph de la jonction 1

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 162


1 2 3

0

n

i ii

f f f f

a e

(C.12)

3) Jonction TF (transformateur)

C’est une jonction qui appartient à la famille des éléments deux ports elle transforme les

variables effort-effort en flux-flux, elle est aussi conservative.

f2

e2

f1

e1TF

m


Figure C.4 : Modèle bond graph du transformateur

La loi générique s’écrit :

1 2

2 1

e m e

f m f

(C.13)

N.B : m apparaît ici comme signal ou module de transformateur (MTF) est

particulièrement important en mécanique (transformations géométriques, liaisons

cinématiques).

4) Jonction GY (gyrateur)

Elle ressemble à la jonction TF de point de vue famille mais elle transforme les variables

effort-flux en flux-effort.

f2

e2

f1

e1GY

r


Figure C.5 : Modèle bond graph du gyrateur

La loi générique s’écrit :

1 2

2 1

e r f

e r f

(C.14)

Où r est le module de gyrateur.

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 163

III-4 : Les Détecteurs

Les détecteurs sont des éléments B.G qui ne consomment pas de puissance (considérés

idéaux), sont utilisés dans un modèle B.G pour mesurer les variables correspondantes et

utilisent des liens de type signal (flèche) soient :

Détecteur d’effort : De

Détecteur de flux : Df

IV- Notion de causalité

Chaque élément 1-port est caractérisé par une équation qui relie les variables effort et

flux entre elle. Dans le sens mathématique, ces équations peuvent s’écrire en choisissant l’une

des deux variables comme étant une variable indépendante, l’autre étant considérée

dépendante. Cependant si on associe cet élément à un système complexe, cette possibilité

mathématique devient rapidement restreinte quant on veut traduire le processus cause à effet,

et organiser par conséquent les relations consécutives : c’est la notion de causalité.

La causalité apparaît explicitement lors de l’établissement du bond graph et constitue un outil

fondamental associé à son exploitation [Karnopp, 1983 ; Rosenberg, a, 1987 ; Rosenberg,

b, 1987].

Le bond graph décrit graphiquement la structure calculatoire de toutes les variables du

système, cela est possible par l’adjonction du « trait causal » qui joue le rôle d’un bit

supplémentaire d’information [Van Dixhoorn, 1982].

Figure C.6 : Affectation de la causalité

Le bond graph causal représente conjointement la structure physique du système modélisé

ainsi que sa structure calculatoire. Il est largement connu que toute modification dans la

structure physique, comme par exemple élimination ou insertion d’un élément de stockage

d’énergie, a des conséquences souvent importantes sur la structure calculatoire [Rosenberg,

a, 1987 ; Rosenberg, b, 1987].

A Be

f

A Be

f

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 164

Un autre avantage de la présence conjointe de ces deux informations complémentaires est

l’aide à la décision qu’elle peut apporter lors de la modélisation et l’analyse du système.

Donc la représentation simultanée de la structure physique et calculatoire du système

modélisé est une puissante propriété des bonds graphs qui manque dans d’autres

représentations, telles que les graphes de fluence ou les blocs diagrammes [Breedveld, 1982].

IV-1 : Affectation de la causalité sur les éléments

Les relations constitutives relatives à certains éléments précédemment exposés restreignent

les possibilités d’assignement de la causalité.

Ainsi dans le cas de jonction 0 (respectivement 1), caractérisé par la loi d’équilibre des flux

(respectivement effort) et de continuité d’effort (respectivement flux), l’affectation de la

causalité n’autorise qu’un seul effort incident à la jonction considérée (respectivement flux).le

tableau ci-dessous rappelle synthétiquement l’affectation graphique des éléments bond graph.

Le transformateur et le gyrateur considérés sont dégénérés en éléments 2-ports ce qui n’est

guère restrictif.

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 165

ELEMENTS Restrictions causales Relations constitutives

Jonction 0

1

1

; 1, 1i n

n

n jj

e e i n

f f

Jonction 1

1

1

; 1, 1i n

n

n jj

f f i n

e e

Transformateur

(M)TF

2 1

1 2

1 2

2 1

1

1

f m f

e m e

f fm

e em

Gyrateur

(M)GY

1 2

2 1

1 2

2 1

1

1

f m f

f m e

e fm

e fm

Tableau C.3 : élément de base en bond graph

IV-2 : Chemins et boucles causales

IV-2-1 : Définition

Une conséquence directe de l’affectation de la causalité dans une structure de jonction est la

notion de chemin causal (voir figure ci-dessous) qui est une séquence d’alternance de liens et

de nœuds [Rosenberg, 1972 ; Suda et Hatanaka, 1986] telle que :

Pour un bond graph causal cette séquence forme un simple chemin.

Tous les nœuds dans cette séquence ont une causalité complète et correcte.

01 n

j

1

j

n1

TF

TF

GY

GY

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 166

Deux liens du chemin causal ont en un même nœud des orientations causales

opposées.

Figure C.7 : Chemin causal

Il existe trois types de chemins causaux [Bonderson, 1975; Suda et Hatanaka, 1986] :

Chemin de causalité effort.

Chemin de causalité flux.

Chemin de causalité générale dans lequel apparaissent les variables effort et flux.

Dans ce cas la structure de jonction contient un nombre impair de gyrateurs.

Les ports Pi et Pj sont connectés causalement si la variable d’entrée de Pi est influencée par la

variable de sortie de Pj est vis-versa [Suda et Hatanaka, 1986].

Si cette connexion est assurée par la structure est sans l’intervention d’éléments, alors

la connexion est dite directe (ou structurelle) comme l’indique la figure ci-dessous.

Si la connexion est assurée par un élément R, la connexion est dite statique [Suda et

Hatanaka, 1986].

Tous ces concepts introduisent la notion de boucle causale qui est définit comme étant un

chemin causal fermé [Bonderson, 1975].

Figure C.8 : Boucle causale

Pi 0 1 0 Pj

Causalité effort

Causalité flux

C 0 1 0 R

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 167

IV-2-2 : Gain de boucle causale

Dans le cas du bond graph linéaire [Rosenberg, a, 1987 ; Rosenberg, b, 1987] la relation

entre la variable d’entrée et la variable de sortie d’un élément 1-port (R, I et C) peut s’écrire

sous une forme symbolique en utilisant l’opérateur symbolique de Laplace s à la dérivation

par rapport au temps d/dt ou son inverse 1/s associé à une intégration. La transmittance (ou le

gain) d’un élément entre la variable d’entrée et la variable de sortie est exprimée alors sous

une forme symbolique.

Le gain de la boucle causale précédemment introduite est le produit des transmittances des

éléments qui sont enveloppés par le chemin causal. Dans le cas l’exemple de la figure C.8 le

gain de la boucle est :

1

1B

R C s

(C.15)

V- Relation entrée-sortie dans le bond graph causal

Diverses techniques d’analyse linéaire peuvent être appliquées sur le bond graph

représentant un système linéaire [Breedveld, 1986]. Parmi ces techniques l’extraction

graphique des transmittances entrée-sortie à partir du bond graph causal par une extension de

la règle topologique utilisée par Masson pour les graphes de fluence [Masson, 1964] et

adaptée par Brown pour les bond graph linéaires [Bonderson, 1975].

Cette procédure stipule que la transmittance entre une variable entrée et une variable sortie est

donnée par :

i i

i

L s

H s

(C.16)

Où est le déterminant du bond graph défini par :

1 i i j i j kB B B B B B (C.17)

iB : Étant la somme des gains des boucles individuelles, i jB B est la somme des

produits de gains des paires de boucles ne se touchant pas, etc.… Il est à noter que le

dénominateur correspond aux modes du système.

Annexes : Annexe C

A.U 2010-2011 Page 168

i : Est le déterminant réduit extrait à partir de en y supprimant les boucles touchant le

chemin causal entrée-sortie.

iL s Est la transmittance du chemin entrée-sorite.

VI- Conclusion

La présentation succincte du formalisme bond graph permet de souligner certaines

spécificités de ce langage utilisées dans ce mémoire.

Les bonds graphs introduisent les notions d’abstraction et de séparation des phénomènes

physiques nécessaires à la description des systèmes et de leurs interactions avec leur

environnement, ce qui favorise la modélisation structurée et systématique des systèmes

physiques.

Pour la description des systèmes physique, le bond graph met en œuvre des réseaux qui

représentent la circulation des flux d’énergie entre des sous-systèmes élémentaires

interconnectés par des liens simples ou multiples, qui expriment la continuité de la puissance.

Le couplage entre des domaines énergétiques différents est aussi assuré par des éléments de la

structure de jonction généralisée ce qui favorise la modélisation pluridisciplinaire des

systèmes physiques. Le bond graph acausal permet de représenter la structure physique du

système en se basant sur des notions élémentaires de stockage, de transfert et de dissipation

d’énergie.

L’affectation de la causalité sur le bond graph permet de lui associer une structure calculatoire

qui traduit de processus cause à effet et organise par conséquent les relations constitutives

sous une forme entrée-sortie. L’exploitation du bond graph augmenté causalement permet

d’extraire les équations dynamiques qui régissent le système ainsi que les relations entrée-

sortie en exploitant la notion du chemin et de boucle causale.

ANNEXE D

Annexes : Annexe D

A.U 2010-2011 Page 170

Les étapes de la procédure analytique d’exploitation de la matrice S

Soit un système physique représenté en bond graph entre deux ports P1 et P2 où P1 est

supposé comme entrée du système et P2 comme sortie ; comme le montre la figure ci-dessous.

Figure D.17: Modèle bond graph d’un système physique

En se basant sur la méthode de transformation décrite dans le chapitre II, on peut écrire les

expressions des variables réduites (,) dans un port en fonction des variables d’onde

( eti rw w ) du même port à savoir :

1 1

1 1

1 11

1 12

i

r

w

w

(D.1)

2 2

2 2

1 11

1 12

i

r

w

w

(D.2)

On notera que :

1 1

2 2

1 1

2 2

i

i

r

r

w a

w a

w b

w b

(D.3)

Les relations de scattering prennent la forme :

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

r i i

r i i

w t S s w t S s w t

w t S s w t S s w t

(D.4)

Avec :

1 1,i rw w : Variables d’ondes incidente et réfléchie associées au port P1.

2 2,i rw w : Variables d’ondes incidente et réfléchie associées au port P2.

11 22,S S : Opérateur intégro-différentiel de réflexion de l’onde aux ports P1 et P2.

12 12S t : Opérateur intégro-différentiel de transmission entre le port P2 et le port P1.

Sous-systèmeP1 P2

1 2

1 2

Annexes : Annexe D

A.U 2010-2011 Page 171

21 21S t : Opérateur intégro-différentiel de transmission entre le port P1 et le port P2.

Par analogie au formalisme réseau on peut introduire dans le formalisme scattering des

matrices S d’opérateurs différentiels définies par :

11 12

21 22

S s S sS s

S s S s

(D.5)

Par souci de simplicité, les opérateurs intégro-différentiels, S11, S22, S21 et S12 seront désignés

respectivement par coefficients de réflexion et de transmission de l’onde.

La procédure que nous avons présentée et utilisée dans le chapitre II comporte quatre étapes :

1) Transformation du bond graph et obtention du bond graph réduit.

Réduction des éléments de la structure de jonction simple (0 et 1).

Réduction des éléments à 2-ports (TF et GY).

Réduction des éléments à 1-port (R, C et I).

2) Affectation de la causalité sur le bond graph réduit.

Détermination des opérateurs intégro-différentiels associés aux boucles

élémentaires par la lecture graphique du bond graph réduit en suivant

les chemins causaux.

Détermination de l’opérateur intégro-différentiel (s) associé au

déterminant du bond graph réduit.

3) Choix d’un port d’entrée (Pi) et d’un port de sortie (Pj)

Détermination :

*de l’opérateur intégro-différentiel reliant la variable de puissance qui

définit du port i d’entrée la causalité vis-à-vis du système à la variable

de puissance définissant la causalité du port j via à vis du système.

*de l’opérateur intégro-différentiel définissant le chemin inverse du

précédent.

*de l’opérateur intégro-différentiel reliant la variable de puissance

définissant la causalité vis-à-vis du système du port i d’entrée à l’autre

variable de puissance de ce port.

Calcul de la matrice d’opérateur H.

Annexes : Annexe D

A.U 2010-2011 Page 172

4) Transformation des variables réduites de puissance (,) en variables d’ondes

( eti rw w ) et obtention de la matrice d’opérateur S.

Nous pouvons déterminer facilement par l’application de cette procédure les

relations de scattering caractérisant les éléments de la structure de jonction

pondérée TF et GY ainsi que des éléments de la structure de jonction simple

auxquels sont associés des éléments R, I, et C.

A tous ces éléments est associée une causalité convenable.

ANNEXE E

Annexes : Annexe E

A.U 2010-2011 Page 174

Développement d’une fonction de transfert en fractions continues

et factorisation des matrices de transfert

I- Développement en fraction continue de la fonction de transfert

Tout système linéaire mono-variable, peut être caractérisé par le biais de sa fonction

de transfert supposée irréductible et prendra la forme suivante :

1 21 2 1 0

11 1 0

n nn n

n nn n

N s b s b s b s bH s

D s a s a s a s a

(E.1)

Les coefficients 0 0 00 2, , , ,ja a a représentent les coefficients 2 4, , , , ,n n n n ja a a a du

dénominateur D s de la fonction de transfert donnée par l’équation ci-dessus.

De même, les coefficients 1 1 10 2, , , ,ja a a représentent les coefficients

1 3 5 1, , , , ,n n n n ja a a a du dénominateur D s de la fonction de transfert.

Le tableau de Routh concernant les coefficients αi se construit d’une manière itérative [Borne

et al. 1990] comme l’indique l’expression ci-dessous :

0 0 0 00 2 4

1 1 1 10 2 4

2 1 20 2 4

0 2 4

0

j

j

i i i

n

a a a a

a a a a

a a a

a a a

a

(E.2)

Avec :

1 12 2

i i ij j i ja a a

(E.3)

Pour :

1, ( 1),

0,2,4, si pair,

=0, 2, 4, 1 si impair,

i n

j n i n i

n i n i

(E.4)

Annexes : Annexe E

A.U 2010-2011 Page 175

10

0

pour 1i

i i

ai n

a

(E.5)

Les coefficients 1, ,j j n sont calculés de la même manière à l’aide d’un tableau

construit à partir des coefficients du numérateur N s et de dénominateur D s .

Notons que Les coefficients 1 1 10 2, , , ,jb b b représentent les coefficients

1 3 5 1, , , , ,n n n n jb b b b du numérateur N s de la fonction de transfert donnée par

l’équation (E.1).

De même, les coefficients 2 2 20 2, , , ,jb b b représentent les coefficients

2 4 6 2, , , , ,n n n n jb b b b du numérateur N s de la fonction de transfert.

Le tableau de Routh concernant les coefficients βi est alors :

1 1 1 10 2 4

2 2 2 20 2 4

3 3 30 2 4

0 2 4

0

j

j

i i i

n

b b b b

b b b b

b b b

b b b

b

(E.6)

Avec :

22 2

i i ij j i jb b a

(E.7)

Pour :

1, ( 2),

0,2,4, si pair,

=0, 2, 4, 1 si impair,

i n

j n i n i

n i n i

(E.8)

0

0

pour 1i

i i

bi n

a (E.9)

Annexes : Annexe E

A.U 2010-2011 Page 176

II-Factorisation d’une matrice de transfert quelconque

II-1 : Théorème de Smith-Mac Millan

A partir d’opérateur élémentaire à gauche et à droite, en peut ramener toute matrice

polynomiale P s à une forme canonique du type forme de Smith comme le montre

l’expression ci-dessous :

1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

r

s

s r

s

p r

r m r

(E.10)

g ds V s P s V s (E.11)

Où : r rang P s ordre du plus grand mineur de P s non identiquement nul.

1

1

et divisei

i i i

i

ss s s

s

Pour tout ,i r 0 1s

i s Le PGCD de tous les mineurs dei i P s .

Les i s sont appelés les polynômes invariants de la s-matrice P s .

etg dV s V s Sont deux matrices de transformation uni-modulaires [66].

II-2 : Matrice de transfert factorisée

Une matrice de transfert TM s admet la forme de Smith-Mac Millan H s suivante :

1 0

0 0

iri

i

sdiag

H s s

(E.12)

Les forme équivalentes à H s peuvent s’écrire comme suit :

1 1d gH s s s s s (E.13)

Annexes : Annexe E

A.U 2010-2011 Page 177

Où :

1 0

0 0

ri idiag s

s

(E.14)

1 0

0 0

ri i

d

diag ss

(E.15)

1

1

0

0

ri

g

p

diag i ss

l

(E.16)

A partir de ces factorisations et de l’expression (E.11), on peut écrire :

1 1 1T g d dM s V s s s V s (E.17)

Ou bien :

1 1 1T g g dM s V s s s V s (E.18)

Comme l’inverse d’une matrice uni-modulaire est aussi une matrice uni-modulaire, nous

pouvons ainsi construire les deux factorisations : factorisation à droite et factorisation à

gauche, de TM s sous la forme numérateur-dénominateur matriciels comme nous avons

signalé précédemment dans le chapitre III.

ANNEXE F

Annexes : Annexe F

A.U 2010-2011 Page 179

Interprétation physique du modèle bond graph et réalisation par

la méthode de synthèse d’impédance

I- Interprétation physique du modèle bond graph

Le modèle bond graph de la figure III.7 ainsi que celui de la figure III.8 du chapitre III

n’a pas de réalité physique mais nous pouvons lui associer l’analogue en représentation réseau

sous la forme d’un circuit électrique comme l’indique la figure ci-dessous.

L1 L2 L3

C1 C2 C3

R

R1


Figure F.1 : Représentation réseau d’un modèle bond graph

La représentation ci-dessus a la particularité d’être composé d’un générateur de tension

auquel nous pouvons associer la résistance R en l’ajoutant à sa propre impédance interne, et

d’une cascade de cellule élémentaires formées par les éléments eti iL C .

La valeur de la sortie est donnée par l’expression ci-dessous :

1 1 2 1 3 3y i v i (F.1)

Avec les 2 1i sans dimension et les 2i homogène à une conductance.

Dans le cas particulier où les cellules sont identiques, la représentation ci-dessus montre

l’équivalente basse fréquence d’une ligne électrique sans perte, sous forme d’une suite infinie

de cellules localisées. L’étude classique en propagation d’onde électromagnétique le long

d’un file, permet de calculer l’impédance caractéristique de la ligne grâce à l’impédance

itérative et le coefficient de réflexion ainsi que d’envisager le problème d’adaptation de la

ligne de transmission sur son impédance caractéristique [Soutif, 1990].

On procède alors par étapes : la première consiste à transformer la cellule élémentaire en

quadripôle symétrique en T comme le montre la figure F.2. La seconde étape consiste alors à

mettre en cascade ces différents quadripôles et à déterminer de proche en proche l’impédance

du ième module jusqu’au dernier.

Lorsqu’on a deux cellules différentes qui se répètent, nous avons affaire à une ligne à deux

modes. Dans notre cas, les différentes cellules élémentaires sont à priori différentes, la

U t

1i 2i 3i

1V 2V

3V

Annexes : Annexe F

A.U 2010-2011 Page 180

représentation proposée s’identifie à une analyse modale de la fonction de transfert puisque la

ligne électrique équivalente est à plusieurs modes d’ondes.


Figure F.2 : Transformation de la cellule élémentaire en quadripôle symétrique en T

II-Réalisation d’un modèle bond graph par la méthode de synthèse

d’impédance

Etant données des spécifications dans le domaine fréquentiel, FOSTER [Foster, 1924]

propose de générer des circuits électriques en utilisant la méthode de réticulation qui consiste

à décomposer l’impédance globale en plusieurs sous-impédances élémentaires et par

conséquent de séparer les phénomènes exactement comme les travaux effectués par

PAYNTER [Paynter et al. 1988] qui a évoqué la propriété de réticulation dans la

modélisation par bond graph.

C’est ainsi qu’une impédance avec des pôles uniquement sur l’axe imaginaire est développée

selon l’équation ci-dessous :

0

2 21

2mi

i

k k sZ s k s

s s w

(F.2)

Au développement ci-dessus, FOSTER associe la réalisation du circuit suivante :


Figure F.3 : 1ère forme de Foster

Le modèle bond graph proposé [Redfield et Krishnan, 1993], en se basant sur les travaux

effectués par FOSTER [Foster, 1924] et ceux de CAUER [Cauer, 1958], est équivalent à la

figure ci-dessus peut être sous la forme suivante :

2L

2LL

CC

V

i

C

C

L

C

L

L

Annexes : Annexe F

A.U 2010-2011 Page 181

Sf

I

C

C

I

0

0

C

1

I


Figure F.4 : Bond graph associé à la forme de Foster

Le développement d’une impédance en fractions continus, conduit à la première forme de

Cauer comme le montre l’expression ci-dessous :

1

2

3

2

4

1

1

1

1

1i

Z s b s

b s

b s

s

b s

(F.3)

A ce développement, il est associé la première forme de Cauer, ainsi qu’un modèle bond

graph proposé par [Redfield et Krishnan, 1993].


Figure F.5 : 1ère forme de Cauer

L

L

L

L L

C

L

CCV

Annexes : Annexe F

A.U 2010-2011 Page 182

11Sf

I

C

C I

0 0

C

1

I


Figure F.6 : Bond graph associé à la 1ère forme de Cauer

Nous pouvons dire que ce modèle est pratiquement identique à celui proposé dans le

chapitre III par la figure III.7 ainsi que les autres figures, sauf qu’il fait apparaître un élément

inductif en causalité dérivée, ce qui entraîne un problème de simulation, et qu’en l’absence

d’éléments résistifs la diagonale de la matrice d’état associée est nulle et le système est

oscillateur pur.

De plus, cette première forme de Cauer est faite au voisinage de s , il existe alors une

deuxième forme de Cauer au voisinage de 0s et une troisième forme au voisinage

de et 0s s avec des conditions particulières à respecter.

Il existe une autre démarche, basé sur l’approche bond graph, pour faire de la synthèse

d’impédance, proposée par REDFIELD et KRISHNAN [Redfield et Krishnan, 1993]. Cette

méthode, développée pour les systèmes 1-port uniquement, commence par reconnaître le bond

graph comme étant un bloc-diagramme condensé, puis, en utilisant le principe de réticulation

et les propriétés spécifiques du bloc-diagramme et du bond-graph, détermine par

identification successives les différents éléments bond graph (considérés comme des

impédances élémentaires) qui répondent aux spécifications de départ. Elle ne fournit pas de

solution unique et nécessite parfois de réitérer le procédé plusieurs fois pour éviter de faire

apparaître des composants actives dans le modèle bond graph ainsi réalisé.

Cette approche, développée en mono-variable, semble difficilement généralisable au multi-

variable puisque cela supposerait de travailler séparément avec chaque terme de la matrice

numérateur divisé par le dénominateur commun. On se retrouvera alors dans le cas le plus

défavorable de point de vue de l’ordre de la réalisation.

L LL

ANNEXE G

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 184

Réalisation d’impédance et de circuit avec des lignes microbandes

1. Équivalence entre un tronçon de ligne et une inductance ou une capacité

Nous savons qu’un tronçon de ligne d’impédance caractéristique cZ fermé sur une

impédance de charge LZ présente, à une distance x de cette dernière, une impédance Z x

donnée par :

tan

tanL c

c

c L

Z jZ xZ x Z

Z jZ x

(G.1)

Les tronçons utilisés ont une longueur x telle que :

tan à 10% prèsx x

Soit : ou6 12

x x

Dans ces conditions, l’expression (G.1) peut s’écrire :

L cc

c L

Z jZ xZ x Z

Z jZ x

(G.2)

L cZ Z x (cas particulier 0LZ ) :

c c

p

wZ x jZ x jZ x

v

Avec pv vitesse de propagation.

Le tronçon de ligne se comporte comme une impédance inductive Lw et l’on peut dire qu’il

est équivalent à l’inductance :

c

p

xL Z

v (G.3)

La réalisation technologique de ce cas peut se faire :

— soit par une ligne en court-circuit ;

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 185

— soit par une ligne dont l’impédance caractéristique cZ est très grande devant celle de la

ligne qui la charge.

L cZ x Z (cas particulier LZ ) :

1pc

c

vZZ x j jZ

x w x

Le tronçon de ligne se comporte comme une impédance capacitive1

Cwet il est équivalent à

la capacité :

1

c p

xC

Z v (G.4)

La réalisation technologique de ce cas peut se faire soit par une ligne en circuit ouvert, soit

par une ligne dont l’impédance caractéristique cZ est très petite devant celle de la ligne qui la

charge.

N.B :

Il serait possible d’arriver aux mêmes conclusions à partir de la représentation quadripolaire

classique d’un tronçon de ligne de longueur unité figure G.1. Si nous nous plaçons dans

l’approximation des lignes sans pertes ( 1 1 0R G , qui est utilisée dans le raisonnement

précédent), le quadripôle se réduit à une inductance en série et à une capacité en parallèle, ce

qui nous permet de préciser que :

— un tronçon de ligne inductif modélise une inductance série.

— un tronçon de ligne capacitif modélise une capacité parallèle.

L1

C1

R1

G1


Figure G.1 : Représentation quadripolaire d’un tronçon de ligne avec perte

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 186

2. Réalisation d’inductances et de capacités

De tout ce qui vient d’être expliqué découle la réalisation d’inductances et de capacités

avec des tronçons de ligne. Cette réalisation est particulièrement aisée en technologie

microbande puisque l’impédance caractéristique d’une telle ligne est inversement

proportionnelle à la largeur de la bande.

Une inductance série, figure G.2 , s’obtient par un fort rétrécissement de la bande

métallique ; en effet, le tronçon de faible largeur, qui présente donc une forte

impédance caractéristique, se trouve chargé à ses extrémités par des lignes dont

l’impédance caractéristique est plus faible.

Zc>>Zc1 ouZc2

l

Zc2Zc1

ZcLw


Figure G.2 : Réalisation d’une inductance série en lignes microbandes

Une inductance parallèle, figure G.3, s’obtient en plaçant en dérivation sur la ligne

principale un tronçon de ligne court-circuité.

B=1/LwZc1

Zc

Court-circuit


Figure G.3 : Réalisation d’une inductance parallèle en ligne microbande

Une capacité parallèle, figure G.4, s’obtient par un élargissement important de la

bande métallique ; ce tronçon, qui présente une faible impédance caractéristique, se

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 187

trouve chargé à ses extrémités par des lignes dont l’impédance caractéristique est plus

forte.

Zc

l

Zc2Zc1

B=Cw


Figure G.4 : Réalisation d’une capacité parallèle en lignes microbandes

Une capacité série est plus délicate à réaliser car elle nécessite de couper la ligne sur

une très petite longueur (quelques micromètres ou dizaines de micromètres).

Quantitativement, la valeur de la capacité ainsi obtenue ne peut se calculer qu’avec

une approximation grossière et, qualitativement, le schéma équivalent d’une telle

discontinuité comporte non seulement une capacité en série, mais aussi des capacités

parasites en parallèle.

N.B :

Toutes ces réalisations présentent des discontinuités dans la largeur w de la ligne

microbande. La modélisation de ce type de discontinuité est explicitée dans les travaux de

P.F. COMBES [Combes et Crampagne, a, 2002 ; Combes, a, 1999. Combes et

Crampagne, b, 2002 ; Combes, b, 1999].

3. Réalisation de circuits résonnants ou anti-résonnants

Il résulte de cette difficulté que les seuls circuits accordés que l’on peut réaliser avec

des tronçons de ligne sont des circuits résonnants, figure G.5, ou des circuits anti-résonnants,

figure G.6, placés en dérivation sur la ligne principale.

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 188

Zc2>>Zc1

l2Zc2

Zc1 l1

Zc

L

C


Figure G.5 : Réalisation d’un circuit résonnant mis en parallèle en lignes microbandes

l1

Zc

Zc1

Zc2 l2

Zc1<<Zc2

L C


Figure G.6 : Réalisation d’un circuit anti-résonnant mis en parallèle en ligne microbandes

Pour ce qui est des circuits résonnants ou anti-résonnants placés en série sur la ligne

principale, ils ne peuvent être obtenus, à partir des précédents, qu’en utilisant la propriété

qu’ont les lignes quart d’onde d’inverser les impédances. Nous savons, en effet, que

l’impédance d’entrée eZ d’une ligne4

(quart d’onde), d’impédance caractéristique cZ ,

chargée par une impédance LZ est :

2c

e

L

ZZ

Z (G.5)

Ainsi, un circuit résonnant parallèle mis en dérivation entre deux lignes quart d’onde est

équivalent à un circuit résonnant série mis sur la ligne principale, figure G.7.

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 189

L/4 L/4

Z=0 Z=0Z=00

A B

A B

Z=0Z=0

CL

Ground

L1 C1


Figure G.7 : Equivalence entre un circuit anti-résonnant mis en dérivation entre deux lignes

quart d’onde et un circuit résonnant

De même, un circuit résonnant série mis en dérivation entre deux lignes quart d’onde est

équivalent à un circuit résonnant parallèle mis sur la ligne principale, figure G.8.

L/4 L/4

Z=00 Z=00Z=0

A B

A B

Z=00Z=00C

L

Ground

L1

C1


Figure G.8 : Equivalence entre un circuit résonnant mis en parallèle entre deux lignes quart

d’onde et un circuit anti-résonnant

Avec :

2

1 0

0

2

1 0

0

0: pulsation de résonnance

c

c

ZL w

Lw

ZC w

Cw

w

/ 4 / 4

/ 4 / 4

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 190

Il serait également possible d’utiliser d’autres types de réseaux inverseurs

d’impédance que la ligne4

, laquelle présente l’inconvénient d’avoir une largeur de bande

réduite : réseaux quadripolaires ou longueurs de ligne, avec des éléments réactifs en série ou

en parallèle comme le montre la figure G.9.

L ou CL ouC

0/2 0/2

0

a b


Figure G.9 : Réseaux inverseurs d’impédance

Avec :2

: longeur angulaire de la ligne,l

4. Filtre passe-bas

a) Modélisation classique

Le schéma de la figure G.10 représente le modèle d’un filtre passe-bas. Aux

fréquences basses, les inductances série présentent des impédances faibles (→ 0) tandis que

les capacités en parallèle ont des impédances élevées (→ ∞) ; ce filtre est donc transparent.

Aux fréquences élevées, c’est le contraire : les inductances provoquent une réjection partielle

des signaux appliqués tandis que les capacités court-circuitent le reste.

C1 C3 C5

L4L2


Figure G.10 : Modélisation d’un filtre passe-bas

/ 2 / 2

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 191

La courbe de la figure G.11 montre la réponse amplitude-fréquence ou fonction de filtrage de

ce filtre. La coupure n’est pas nette et l’atténuation est progressive à partir d’une certaine

fréquence. On définit une bande passante du filtre à (-3 dB) et des fréquences de réjection à (-

10 dB), (-30 dB), etc., ainsi qu’une pente de réjection correspondant à la variation de

l’atténuation avec la fréquence autour de ces fréquences.

Figure G.11 : Courbe de réponse d’un filtre passe-bas

b) Réalisation avec des tronçons de lignes microbandes

Conformément aux principes technologiques énoncés au paragraphe 1, la réalisation

d’un filtre passe-bas va présenter une succession comme (voir figure G.12):

de tronçons de ligne de grande largeur, de longueur il et d’impédance caractéristique

icZ pour matérialiser les capacités :

1

i

ii

c p

lC

Z v (G.6)

de tronçons de ligne de faible largeur, de longueur jl et d’impédance caractéristique

cjZ pour matérialiser les inductances :

ij cj

p

lL Z

v (G.7)

0

-10

f3 f10 f30

f (Hz)

-3

-30

A (dB)

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 192

Zc5

Zc4

Zc3

Zc2

Zc150ohm50ohm


Figure G.12 : Réalisation d’un filtre passe-bas en lignes microbandes

c) Filtre de Cauer

Ce filtre, comme le montre la figure G.13, a une coupure plus nette. Pour cela, il suffit

de choisir les fréquences de résonance des circuits résonnants série (pour lesquelles Z⁄⁄ = 0) au

voisinage de la fréquence de coupure désirée fc. La meilleure solution consiste à échelonner

ces fréquences de résonance f2, f4, f6, de telle sorte que :

2 4 4 2 6 4; ;f f f f f f

L6L4L2

L1

C1 C3 C5

L5L3


Figure G.13 : Modélisation d’un filtre passe-bas de Cauer

La réalisation d’un tel filtre en technologie microbande s’effectue conformément à la figureG.14.

50ohm 50ohmZc1

Zc2

Zc21

Zc3

Zc4

Zc41

Zc5

Zc6

Zc61


Figure G.14 : Réalisation d’un filtre de Cauer en lignes microbandes

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 193

5. Filtres passe-haut

La figure G.15 représente la modélisation classique d’un filtre passe-haut. Aux basses

fréquences, les capacités série ont une impédance élevée tandis que les inductances en

parallèle ont une impédance faible ; il y a donc, pour une part, réjection et, pour l’autre part,

court-circuitage des signaux appliqués. Aux fréquences élevées, la situation est inversée et le

filtre est transparent.

C1 C3 C5

L5 L3


Figure G.15 : Modélisation d’un filtre passe-haut

La figure G.16 montre la fonction de filtrage d’un tel filtre. La coupure s’effectue

progressivement en deçà d’une certaine fréquence et l’on peut définir une fréquence de

coupure à -3 dB, des fréquences de réjection à -10 dB, -30 dB, etc., ainsi qu’une pente de

réjection autour de ces fréquences. Ces filtres peuvent être réalisés en technologie

microbande, conformément aux principes énoncés au paragraphe 1, la difficulté provenant de

la réalisation des capacités série.

Figure G.16 : Courbe de réponse d’un filtre passe-haut

0

-10

f3f10f30

f (Hz)

-3

-30

A (dB)

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 194

6. Filtres passe-bande en lignes microbandes

Ces filtres doivent être transparents à l’intérieur d’une certaine bande de fréquences

autour d’une fréquence centrale f0 et présenter une fonction de filtrage conforme à la figure

G.17.

Figure G.17 : Courbe de réponse d’un filtre passe-bande

La courbe représentative des variations de cette fonction permet de définir une bande

passante à -3 dB, des fréquences de réjection à -20 dB, -30 dB, etc. et une pente de réjection.

a) Modélisation

Les fréquences basses (au-dessous de la bande passante désirée) sont réfléchies par la

capacité C1, qui présente, pour elles, une impédance élevée, et court-circuitées par

l’inductance L2 qui présente une impédance faible. Les fréquences hautes (au-dessus de la

bande passante) sont réfléchies par l’inductance L1 (impédance élevée) et court-circuitées par

la capacité C2 (impédance faible).

C1

C2

L1

L2


Figure G.18 : Modélisation d’un filtre passe bande

0

-20

f0

f (Hz)

-3

-40

A (dB)

Bande

à -3 dB

Annexes : Annexe G

A.U 2010-2011 Page 195

L’emploi de plusieurs circuits résonnants série et parallèle à fréquences d’accord légèrement

décalées permet d’élargir la bande passante du filtre au prix de quelques pertes.

b) Réalisation avec des tronçons de lignes microbandes

Nous allons traiter le cas où le filtre est constitué de plusieurs circuits résonnants série

et parallèle comme le montre la figure G.19.

C5 L5

C4L4C3L3

C1

C2

L1

L2


Figure G.19 : Filtre passe-bande constitué de plusieurs circuits accordés

Comme nous l’avons vu au paragraphe 3, un circuit résonnant parallèle vu à travers

deux lignes λ /4 est équivalent à un circuit résonnant série. Dans ces conditions, le filtre de la

figure G.19 est équivalent au filtre de la figure G.20. En technologie microbande, chacun de

ces circuits résonnants parallèles sera réalisé conformément à la figure G.6.

L/4 L/4 L/4 L/4

L1 C1 L2 C2 L3 C3 L4 C4 L5 C5


Figure G.20 : Filtre passe-bande constitué de circuits résonnants parallèles et de tronçons deligne

/ 4 / 4 / 4 / 4

REFERENCESBIBLIOGRAPHIQUES

BIBLIOGRAPHIE

A.U 2010-2011 Page 197

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Application of the reduced bond graph approach to determinate the

scattering parameters of a high frequency filter

Abstract: With an aim to improve the analysis and comprehension of the simple or

complexes physical systems we present a new method to calculate the distribution matrix

(often named: scattering matrix) of a physical system functioning in high frequencies (filter

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based on localized elements) by basing on its reduced and causal bond graph model like on

the two types of simulations to validate the finding results.

Keywords: Bond graph technique, scattering formalism, filters with localized elements,

scattering matrix, integro-differentials operators, power transfer, modeling and simulation.

How to Find Wave-Scattering Parameters from the Causal Bond Graph

Model of a High Frequency Filter

Abstract: Problem statement: The aim of this study is to use the bond graph technique and

the wave-scattering formalism, jointly, to determine the scattering matrix of a high frequency

filter with cut-off frequency 10 GHz. Approach: The first step consist to model the high

frequency filter by bond graph approach, afterward, we decomposed the obtained causal bond

graph model under an elementary structures of a cascaded sub-model, where, each one

containing only 0-junction (parallel admittance) and 1-junction (series impedance). The causal

ways and algebraic loops present in each causal bond graph sub-model, allows us to derive

the elementary wave matrix W(i) of each sub-model. Results: The total or global wave matrix

W(T) of the high frequency filter is given by the product of all elementary wave matrixes W(i).

Conclusion: The scattering matrix S of the studied filter can be inferred by use of the founded

wave matrix W(T) which relates the incident and reflected waves at one port directly to the

incident and reflected waves at the adjacent port and the relations linking the S coefficients to

the W coefficients. Finally, the scattering parameters, founded from the wave matrix, will be

checked by comparison of the simulation results.

Key words: Wave matrix, scattering parameters, bond graph modeling, low-pass filter

A.U 2010-2011 Page 213

Extraction, Modelling and Simulation of the Scattering Matrix of aChebychev Low-Pass Filter with cut-off frequency 100 MHz from its

Causal and Decomposed Bond Graph Model

AbstractDuring our studies of the techniques of conception (design) and modelling of linear andnonlinear microwave circuits, we noticed the big need to a method able to improve theanalysis and the understanding of circuits, which often function in high frequency. Therefore,we propose, in this paper, a new methodology to study a microwave filter with localizedelements (Chebychev low-pass filter) by a joint application of the bond graph approach andthe scattering formalism. This study consists of, on the one hand, determining and simulatingthe scattering parameters of this filter and on the other hand, to modeling the incident andreflected wave propagation since the source towards the load through this filter. In fact, themodelling of these various wave propagation amounts modelling the scattering matrixconstituted by the scattering parameters of the studied filter on a particular type of bond graphmodel often named: “Scattering Bond Graph”.

Keywords: Bond graph modelling, scattering formalism, Chebychev low-pass filter, powerwave propagation, and simulation

Modeling Method of a Low-Pass Filter Based on Microstrip T-Lines withCut-Off Frequency 10 GHz by the Extraction of its Wave-Scattering

Parameters from its Causal Bond Graph Model

Abstract: Problem statement: This study presented a jointly application of bond graph

technique and wave-scattering formalism for a new realization called scattering bond graph

model which has the main advantage to show up explicitly the different wave propagation.

Approach: For that, we proposed to find the scattering matrix from the causal bond graph

model of a low-pass filter based on Microstrip lines and with cut-off frequency 10 GHz, while

starting with determination of the integro-differentials operators which is based, in their

determination, on the causal ways and causal algebraic loops present in the associated bond

graph model and which gives rise to the wave matrix which gathers the incident and reflected

waves propagation of the studied filter. Results: The scattering parameters, founded from the

wave matrix, will be checked by comparison of the simulation results. Conclusion:

Thereafter, we use a procedure to model directly this scattering matrix under a special bond

graph model form often called “Scattering Bond Graph Model”.

Key words: Wave matrix, bond graph modeling, microstrip lines, integro-differentials

operators

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