A - Mesures de longueurs, d'aires ou de volumes. la valeur du rayon correspondant au centre de gravité de la courbe . Théorème de Guldin. La mesure de l'aire engendrée par la rotation

Aires et volumes http://mathsplp.creteil.iufm.fr/ht_works/exposes/volumes/volumes.htm

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A - Mesures de longueurs, d'aires ou de volumes.I. Notations et conventions.

Dans tout l'exposé, désigne un espace euclidien de dimension 3 muni d'unrepère orthonormé .

Quand cela est nécessaire, nous utilisons les coordonnées cylindriques

ou sphériques associées au repère orthonormé :

Sauf cas particulier explicite, désigne une partie connexe et compacte de ,

désigne un arc de courbe et sa longueur, désigne un élément de surface et la mesure de son aire, désigne un élément de volume et sa mesure, et sont des applications différentiables, respectivement d'une partie

de ou d'une partie de , dans . représente l'élément différentiel .

II. Matrice et déterminant jacobiens.

Soit une partie connexe de et une application continûmentdifférentiable de l'ensemble dans . On appelle matrice jacobienne de en un point de la matrice,

, de la différentielle de en ce point :

On appelle ( déterminant ) jacobien de en un point de le déterminant,, de la matrice jacobienne de en ce point.

Changement de variables. est une partie connexe et compacte de .


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Soit une application continûment différentiable de dans et une application continue de dans , ou . Nous admettons, sans la justifier, la formule de changement de variable :

Notons bien que la formule utilise la valeur absolue du jacobien de .

Deux cas particuliers, en dimension 3.

Calcul en coordonnées cylindriques. Soit une partie connexe et compacte de et l'application de

dans : . Le calcul du jacobien de est immédiat, qui donne :

.

Nous utilisons ce résultat pour effectuer des calculs en coordonnéescylindriques : .

1.

Calcul en coordonnées sphériques. Soit une partie connexe et compacte de et l'application de

dans : . Le calcul du jacobien de est immédiat, qui donne :

Nous utilisons ce résultat pour effectuer des calculs en coordonnéessphériques :

.

2.

III. Courbes, surfaces et volumes, définitions.

III-1. Chemin et courbe.

On appelle chemin différentiable dans , une application différentiable


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d'une partie connexe de dans . Nous appelons courbe , l'image d'un chemin différentiable dans et arc de courbe l'image d'un sous ensemble , connexe et compact de . Sauf contre indication explicite, nous considérons un arc de courbe commeborné. On appelle longueur de l'arc de courbe , parcouru entre les valeurs et

du paramètre ( ), l'expression intégrale : .

Nous définissons les coordonnées cartésiennes du centre de gravité de l'arc par les relations :

, et .

Insistons sur le fait que, si les mesures de longueur sont invariantes par translation, il n'en est pas de même pour les coordonnées du centre de gravité.

Remarque.

Si nous fixons une origine sur la courbe , orientée selon les croissants, il est possible de définir l'abscisse curviligne d'un point

par la relation : .

A titre indicatif, voici l'expression de l'élément différentiel à l'aide

des trois systèmes de coordonnées classiques :

Cas particulier d'une courbe , située dans un demi plan limité par l'axe et d'angle polaire fixé.

Un calcul élémentaire donne, pour :

(1)


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Dans les mêmes conditions, nous avons, pour le centre de gravité :

(2)

III-2. Surface.

On appelle surface dans , l'image d'une partie connexe de par une application différentiable . Si on se limite à un sous ensemble connexe et compact, on appelle mesurede l'aire de l'élément de surface , image de , l'expression intégrale :

.

Nous définissons les coordonnées cartésiennes du centre de gravité del'élément de surface par les relations :

, , et

Nous ne nous étendons pas sur les méthodes de calcul. Cas particulier d'une surface plane située dans le plan de cote fixée.

Nous considérons la surface , image du connexe et compact par l'application , définie par : . Un calcul élémentaire donne :

(3)

Cas particulier d'une surface plane située dans un demi plan passant par l'axe

et d'angle polaire fixé.Nous considérons la surface , image du connexe et compact par l'application , définie par : . Un calcul élémentaire donne :


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(4)

Pour le centre de gravité de la surface , nous obtenons :

(5)

Insistons sur le fait que, si les mesures d'aire sont invariantes par translation, il n'en est pas de même pour les coordonnées du centre de gravité.

III-3. Volume.

On appelle volume l'image d'une application différentiable d'une partie connexe de dans .

Si on se limite à un sous ensemble connexe et compact de , on appelle mesure de l'élément de volume , image de , l'expression intégrale :

.

Rappelons que le produit mixte est invariant par permutation circulaire :

Exemple : volume d'une sphère.

La sphère de rayon et de centre est l'image du pavé par la fonction

. Un calcul immédiat donne :


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B - Hypothèses simplificatrices.

Les calculs d'aire et de volume apparaissent comme des calculs d'intégralesmultiples sur des supports plus ou moins compliqués. L'idée est donc deramener le calcul de ces intégrales multiples à celui d'intégrales plus faciles àcalculer, voire évidentes.

Dans un premier cas nous étudions les volumes de la famille descylindres, pour lesquels toutes les sections parallèles à une base sontisométriques.Un deuxième cas nous fait découvrir la famille des cônes dont les sectionsparallèles à une base sont homothétiques.Après les formules particulières, formule de la base moyenne et formuledes trois niveaux, un paragraphe complet est réservé aux solides derévolution invariants dans une rotation.

IV. Etude de volumes dont les sections parallèles à une base varient simplement.

IV-1. Volume d'un cylindre ou d'un prisme de base .

Soit un connexe et compact de , son image dans le plan

par l'application et un réel positif. Nous étudions le volume , image de l'ensemble par l'application

définie par : . Les deux fonctions et sont des applications continues de dans .

Un calcul élémentaire donne : .

Nous en déduisons l'expression du volume :

Nous avons reconnu l'aire, , de la surface de base de la formule (3). Exemple :

Volume d'un prisme droit ou oblique de base rectangulaire. Soit et les dimensions du rectangle de base, l'aire de la base vaut bien sûr

. L'application de la formule précédente donne alors :

.Dans le cas d'un prisme oblique, la mesure de la hauteur est différente de lamesure des arêtes obliques.


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Exemple :Volume d'un cylindre, de révolution ou non, de base un cercle de rayon . L'application de la formule précédente donne immédiatement : .

Remarque.

Dans le cas d'un cylindre ou d'un prisme, les fonctions et sont desapplications affines mais la propriété apparaît comme plus générale.

IV-2. Volume d'un tronc de cône ou de pyramide de base .

Soit un connexe et compact de , son image dans le plan et deux nombres réels et . Nous supposons . Nous étudions le volume image de l'ensemble par l'application

définie par : .

Les deux paramètres et sont des constantes.

Un calcul élémentaire donne : . Nous

en déduisons l'expression du volume :

Nous avons reconnu l'aire, , de la surface de base de la formule (3). Volume d'un cône ou d'une pyramide de base .

Pour , nous obtenons le volume du cône ou de la pyramide de hauteur, dont l'aire de la base mesure :

.

Formule de la base moyenne.

Nous considérons un tronc de cône ou un tronc de pyramide dont nousconnaissons la hauteur et les mesures d'aire des deux bases et , de cote respective 0 et . Un calcul analogue au précédent nous donne :

.


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Nous éliminons entre cette relation et la relation

pour obtenir :

.

L'expression représente la moyenne géométrique des aires des

deux bases du tronc de cône ou de pyramide. La simplicité de cette formule est manifeste, mais on ne doit pas oublier qu'ilest impératif d'établir que le volume étudié est un tronc de cône ou depyramide.

Cas particulier, volume d'un tronc de cône de révolution.

Soit , le rayon de la grande base, le rayon de la petite base et la hauteur du tronc de cône. La formule précédente donne immédiatement :

.

Formule des trois niveaux.

On considère un volume compris entre les deux plans de cote et ( ) et on suppose que l'aire d'une section de par un plan de

cote est une fonction polynôme du second degré de la cote :.

Comme dans le paragraphe précédent, nous exprimons en fonction de et :

Dans l'expression obtenue, nous utilisons l'identité

pour faire apparaître l'aire du niveau médian, de cote :

Ce dernier résultat est connu sous le nom de formule des trois niveaux. Notons que les conditions d'application de la formule des trois niveaux sontmoins contraignantes que celle de la formule de la base moyenne.


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Cas particulier, volume d'un tronc de cône de révolution.Nous supposons la grande base incluse dans le plan .

Le rayon d'une section plane de cote est fonction affine de . Nous notons , le rayon de la grande base, le rayon de la petite base et la hauteur du tronc de cône. Le rayon de la section médiane vaut .

La formule des trois niveaux donne immédiatement :

Cas particulier, volume d'une sphère de rayon .

Nous considérons la sphère de centre et de rayon . L'aire de la section de la sphère par le plan de cote s'exprime :

. Nous reconnaissons un polynôme du second degré en , la formule des trois niveaux est applicable. Les deux bases extrêmes ( pôles de la sphère ) ont une aire nulle et l'aire de lasection médiane ( équatoriale ) mesure :

V. Etude des surfaces et des volumes de révolution.

V-1. Mesure de l'aire d'une surface de révolution.

Nous considérons l'aire de la surface engendrée par la rotation autour del'axe de l'arc de courbe plane défini par l'application différentiable,

, du segment dans le demi plan .

La surface considérée est l'image de l'ensemble par la fonction . L'expression de l'aire de la surface est alors :

.

Les vecteurs et sont orthogonaux, un calcul élémentaire donne :


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Nous avons utilisé les formules (1) et (2) du paragraphe III-1 pour reconnaîtrela valeur du rayon correspondant au centre de gravité de la courbe .

Théorème de Guldin.

La mesure de l'aire engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane autourd'un axe de son plan ne traversant pas l'arc de courbe est égale au produit de lalongueur de l'arc de courbe par la longueur de l'arc décrit par son centre degravité. Notons que ce théorème est encore valable si on remplace la circonférencecomplète par une fraction de circonférence.

Exemple. Mesure de l'aire d'un disque de rayon .

Un disque de rayon peut être considéré comme engendré par la rotationd'un segment de droite , orthogonal à l'axe et tournant autour de ce dernier. Le segment est lui-même image du segment par

l'application de dans , .

Les calculs du rayon du centre de gravité et de la longueur du segment donnent :

L'application du théorème de Guldin fournit le résultat attendu :

V-2. Mesure du volume d'un solide de révolution.

Nous considérons le volume du solide engendré par la rotation autour del'axe de l'élément de surface plane défini par l'application

différentiable de dans : .

Le volume considéré est ainsi l'image de l'ensemble par la fonction . L'expression de la mesure du volume est ainsi :


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Le vecteur est un vecteur de norme , orthogonal au plan qui

contient les deux vecteurs et .

Les vecteurs et sont colinéaires.

Nous avons reconnu la valeur correspondant au centre de gravité de lasurface .

Théorème de Guldin.

La mesure du volume engendré par la révolution d'un élément de surfaceplane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas est égale auproduit de l'aire de la surface par la longueur de la circonférence décrite parson centre de gravité. Notons que ce théorème est encore valable si on remplace la circonférencecomplète par une fraction de circonférence.

Cas particulier, volume d'un cône de révolution de hauteur , dont la base a pour rayon .

Le cône peut être considéré comme engendré par la rotation d'un triangle, rectangle en , tournant autour de l'axe . (

, ) Sans rentrer dans les détails, les calculs du rayon du centre de gravité et del'aire du triangle donnent :

L'application du théorème de Guldin fournit le résultat attendu :


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C - Quelques classiques. Prisme droit. ( Parallélépipède rectangle, cube. )

Aire latérale : Volume :

hauteur périmètre de base hauteur aire de base

Cylindre droit.


hauteur périmètre de base hauteur aire de base

Calcul par le théorème deGuldin.

Calcul par la formule des trois niveaux.

Prisme ou cylindre oblique.

Volume :

hauteur aire de base


Pyramide régulière ou cône de révolution.


apothème périmètre de base hauteur aire de base

Pour le cône, Théorème deGuldin.


Pyramide ou cône quelconque.

Volume :

hauteur aire de base



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Tronc de cône de révolution de rayons et , de hauteur et d'apothème . Aire latérale : Volume :

Calcul par le théorème deGuldin. Calcul par la base moyenne.

Sphère de rayon .

Aire latérale (*) : Volume (*) :


Tore de rayons et ( ).




(*) Le théorème de Guldin permet de déterminer le centre de gravité d'un demicercle.

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C.S.T. Mathématique 2003. Mise à jour du 04/07/07.

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