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BC A5 Mouvement d'une particule charge dans un champ magntique uniforme 1

A5: Mouvement d'une particule charge dans un

champ magntique uniforme

a. Force de Lorentz

1) Dfinition

Une charge q qui se dplace avec une vitesse v

dans un champ magntique caractris par le

vecteur B

subit une force magntique appele force de Lorentz f

m donne par :

Bvqf m

mf

est le produit vectoriel de q v

par B

.

2) Caractristiques de la force de Lorentz

direction : perpendiculaire au plan form par vq

et B

sens : dtermin par la rgle des trois doigts de la main droite (cf. figure)

norme : sinqvBfm

avec: q est la charge (C)

v est la vitesse de la charge (m/s)

B est l'intensit (la norme) du vecteur champ magntique (T)

est l'angle form par vq

et B

.

3) Attention

Si q < 0 alors qv est de sens oppos la vitesse v !

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b. Etude cinmatique dans le cas o la vitesse initiale est perpendiculaire au

champ magntique

1) Systme tudi :

A l'instant initial t = 0, une particule de masse m et de charge lectrique q>0 pntre en O

avec la vitesse 0v

dans une rgion de l'espace o rgne un champ magntique uniforme B .

On suppose que 0v

est perpendiculaire B .

Nous tudions le mouvement de la particule l'intrieur du champ uniquement.

Le rfrentiel est celui du dispositif qui cre le champ magntique (bobines de Helmholtz).

On utilise la base de Frenet ( T

, N

) lie la particule, complte par le vecteur unitaire k

fixe et perpendiculaire au plan form par T

et N

linstant t = 0.

2) Forces et acclration

Force de Lorentz : Bvqf m

Le poids P est ngligeable devant

fm. Il ny a pas de frottement car le mouvement se fait dans

le vide

La relation fondamentale de la

dynamique scrit :

amBvq

Bvm

qa

Projections sur les directions de T

, N

et k

:

0aT (1)

m

vBqa N (2)

0a k (3)

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3) Etude du mouvement

* (1): TT Tdv

a 0 v v constantdt

!

Le mouvement est uniforme.

* (3): kk kdv

a 0 v constantdt

= v0k = 0

Donc il n'y a pas de mouvement suivant k

!

Le mouvement est plan. Il s'effectue dans un plan perpendiculaire B , contenant la

vitesse initiale 0v .

* Comme la coordonne normale de l'acclration s'crit toujours

2vaN ( = rayon du

cercle tangent), on a grce (2) :

m

vBq2

v

Bq

mv m, v, q et B sont constants =R est constant !

Le mouvement est circulaire.

Une particule charge entrant dans un champ magntique avec une vitesse

perpendiculaire dcrit un MCU dans un plan perpendiculaire au champ.

Le rayon de la trajectoire est donn par l'expression : Bq

mvR (4)

4) Proprits :

La force de Lorentz fm est centripte. C'est elle qui est l'origine du mouvement circulaire et

uniforme !

Contrairement la force lectrostatique, la force magntique de Lorentz ne travaille pas et ne

va pas modifier lnergie cintique de la particule. La norme de la vitesse v=v0=const

La priode de rotation v

RT

2

Bq

m2T

La frquence est relie la priode par T

1f

m

Bq

2

1f

Les expressions montrent que T et f dpendent du rapport m/q et de B mais sont indpendants

du rayon r et de la vitesse v.

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c. Vrification exprimentale

Un canon lectron injecte des lectrons

acclrs sous une tension U dans une sphre

rempli de gaz rarfi qui permet de visualiser la

trajectoire des lectrons qui circulent la vitesse

v= m

eU2

Deux bobines de Helmholtz portant chaque fois

N spires de rayon r bob plac un cart gal au

rayon crent un champ uniforme

B=bobbob

r

NI

r

NI

70 1099.8

125

8

Sous leffet du champ magntique perpendiculaire la vitesse des lectrons, les

lectrons dcrivent une trajectoire circulaire.

Mesures : r=0,20m et N=154 spires m=9,110-31

kg e=1,610-19

C

U (V) I(A) Rexp(m) v(m/s) B (T)

eB

mvRcal

Orientation des vecteurs :

Dessiner lorientation des vecteurs f,qv et B et le sens de I dans les bobines dans la situation de lexprience.

1) Noter que Bvqf m

joue le rle

de force centripte

2) Si 0v

est parallle B

la force

de Lorentz est nulle et la

particule dcrit un mouvement

rectiligne et uniforme travers le

champ (Newton I).

3) Si l'angle entre 0v

et B

est

diffrent de 0 et de 90, la

particule dcrit un mouvement

uniforme hlicodal

(trajectoire = hlice).

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d. Spectrographe de masse

Le spectrographe de masse sert sparer les isotopes d'un mme lment. Il est form de trois

chambres o rgne un vide trs pouss.

* Chambres d'ionisation : On y produit des ions de mme charge q mais de masses m1 et

m2 diffrentes.

* Chambre dacclration : A travers une premire fente, les ions pntrent dans cette

chambre avec une vitesse ngligeable. Ils sont acclrs par la tension U > 0 et sortent

avec une vitesse

m

Uq2v0 (5)

* Chambre de dviation : Les ions sont dvis par un champ magntique B

et ont pour

trajectoire des demi-cercles dont les rayons R1 et R2 dpendent des masses m1 et m2.

(4) et (5) q

Um

BRet

q

Um

BR 22

11

2121

Le rayon de la trajectoire augmente avec la masse.

On arrive ainsi recueillir sur le dtecteur des particules de mme masse ; la position du

dtecteur permet de dterminer le rayon R de la trajectoire. Connaissant la charge q, on

dtermine la masse m de la particule.

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e. Cyclotron (Dcouverte en 1929 par E. O. LAWRENCE aux USA)

Un cyclotron est un acclrateur de particules charges. Il comporte deux lectrodes en

forme de deux demi-cylindres creux appels les "dee" (en anglais) ou "ds" (en franais) en

raison de leur forme de lettre D. Les deux "ds" baignent dans un champ magntique

uniforme et on les relie une tension alternative. Ainsi un champ lectrique alternatif apparat

dans lintervalle isolant troit qui spare les deux ds. lintrieur rgne un vide trs pouss.

En son centre (point O) se trouve

une source qui injecte des particules

charges : protons, deutons,

particules alpha ,...

Ces particules sont acclres vers le

"d" suprieur, o elles arrivent en

A1 avec une vitesse vA1. Elles

dcrivent alors avec la vitesse vA1

constante un demi-cercle. Au

moment prcis o elles sapprtent

sortir du d (point B1), la tension

applique entre les deux "ds" a

chang de signe : les particules sont acclres vers le "d" infrieur (entre B1 et C1) : sa

nouvelle vitesse est vC1 > vA1. Dans le "d" infrieur les particules dcrivent aussi un demi-

cercle, de rayon suprieur au prcdent, avec la vitesse vC1 constante. Lorsqu'elles sortent

(point D1) la polarit des "ds" a encore chang : les particules sont acclres vers le "d"

suprieur (entre D1 et A2) et entrent dans ce "d" avec la vitesse vA2 > vC1 et ainsi de suite.

A chaque traverse de l'intervalle entre les "ds", la tension applique acclre les particules et

elles dcrivent des demi-cercles avec des vitesses de plus en plus grandes, et donc avec des

rayons de plus en plus grands.

La dure de parcours des demi-cercles est constante, gale la demi-priode : Bq

m

2

T

La frquence du gnrateur doit donc valoir f =m

Bq

2 constante.

En fin de parcours, les particules arrivent la priphrie des "ds" (rayon R) et sortent

tangentiellement la trajectoire avec la vitesse v. Elles peuvent alors tre utilises comme

projectiles corpusculaires de haute nergie.

Vitesse :m

BRqv Energie cintique :

m

RBq

2

1mv

2

1E

2222

c pour v < 10% vit. lumire