1 / 21

But: Rappeler les notions de base du calcul tensoriel utilisées en mécanique des milieux continus.

2 / 21

Définition d’un tenseur:

On se place dans l’espace euclidien E3 Toutes les bases sont supposées orthonormées directes

UN TENSEUR EST UN VECTEUR DE DIMENSION QUELCONQUE

Par exemple:

* le scalaire 1 est un tenseur de rang 0 (30 composantes)

* le vecteur (1 2 3) est un tenseur de rang 1 (31 composantes)

* le vecteur (1 2 3 4 5 6 7 8 9) représenté par sa matrice

est un tenseur de rang 2 (32 composantes)

* un tenseur de rang 3 a 33=27 composantes

* un tenseur de rang 4 a 34=81 composantes

€

1 2 34 5 67 8 9

3 / 21

Utilisation de la notation indicielle

Il est utile d’utiliser une notation à plusieurs indices ou un élément surmonté de plusieurs barres pour désigner l’ordre d’un tenseur. Un indice i, varie de 1 à 3.

  Le scalaire T est un tenseur d’ordre 0.

  le vecteur Ti ou ou encore est un tenseur d’ordre 1.

  la matrice Tij ou est un tenseur d’ordre 2.

  le cube Tijk ou est un tenseur d’ordre 3.

  Tijkl ou est un tenseur d’ordre 4.

€

⇒

T1T2T3

€

⇒

T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

€

T

€

T

€

T

€

T

€

T

4 / 21

Opérations sur les tenseurs

Les opérations que l’on effectue sur les tenseurs sont de deux types:

-  des produits tensoriels, -  des contractions entre tenseurs.

Le produit permet de construire un tenseur d’un ordre supérieur ou égal.

La contraction permet de construire un tenseur d’un ordre inférieur ou égal.

Produit tensoriel, noté (sauf pour le produit vectoriel noté ^) ⊗

€

C = A ̂ B C = A^B Construire un vecteur à l’aide de deux autres vecteurs

€

C = A⊗ B Cij = AiB j À ne pas confondre avec le produit scalaire de deux vecteurs:

€

A . B = a1b1 + a2b2 + a3b3

À écrire sous forme matricielle

5 / 21

Précisions

€

u.v = nProduit scalaire:

Produit vectoriel:

Produit tensoriel: €

wi =∈ ijk u jvk

€

A⊗ B = C€

u∧v = w

€

n = uivi

€

Cij = AiB j

€

u.v = n

Produit tensoriel

Contraction tensorielle

€

u⊗ v = w

€

∈ ijk=12i − j( ) j − k( ) k − i( )

6 / 21

Produit tensoriel, noté (suite) ⊗

€

C = A⊗ B Cijk = AijBk

€

C111 C112 C113 C121 C122 C123 C131 C132 C133C211 C222 C233

C311 C333

33=27 composantes

€

C = A⊗ B Cijkl = AijBkl

?

3?=? composantes

7 / 21

Contraction tensoriel, d’ordre 1 notée ., d’ordre 2 notée :.

€

C = A.B ou C = AiBi Ici, il s’agit d’un produit scalaire de deux vecteurs

rang 0 rang 1 rang 1

Nous venons d’introduire la convention de sommation, dite aussi convention d’Einstein:

€

AiBi = AiBi = A1B1 +i=1

3

∑ A2B2 + A3B3

= produit scalaire

€

u . v =

u1u2u3

.

v1v2v3

= u1v1 + u2v2 + u3v3

u.vuivi

8 / 21

Contraction tensoriel (suite)

€

C = A.B ou Ci = AijB j

€

cela signifie : AijB jj=1

3

∑ j est appelé « indice muet »

Si nous développons:

€

C1 = A11B1 + A12B2 + A13B3C2 = A21B1 + A22B2 + A23B3C3 = A31B1 + A32B2 + A33B3

€

C = A :B ou C = AijBij

€

cela signifie : AijBijj=1

3

∑i=1

3

∑

Si nous développons:

€

C = A11B11 + A12B12 + A13B13 + A21B21 + A22B22 + A23B23 + A31B31 + A32B32 + A33B33

€

C = A :B ou Cij = AijklBkl

k et l sont des indices muets I et j sont des indices libres

9 / 21

Cas des tenseurs d’ordre deux

Ce sont les tenseurs les plus courants en mécanique (tenseur des contraintes, tenseur des déformations).

On les définit en disant qu’un tenseur du second ordre est un opérateur qui transforme un vecteur en un autre vecteur (comme une matrice qui multipliée par un vecteur en donne un autre).

€

Y = T.X

Il existe un tenseur unité ou tenseur de Kronecker tel que:

€

X = I.XXi = δij X j

δij symbole de Kronecker, tel que:

δij = 0 si i≠j δij = 1 si i=j

À développer

(à écrire sous forme indicielle)

Ce tenseur identité est représenté par la matrice identité:

100010001

10 / 21

Autre exemple

€

Cijkl = λδijδkl + µδikδ jl + µδilδ jk

σ ij = CijklεklMatériau isotrope

Loi de Hooke généralisée

€

σ ij = λδijδkl + µδikδ jl + µδilδ jk( )εklσ ij = λδijδklεkl + µδikδ jlεkl + µδilδ jkεklσ ij = λδijεll + µεij + µε jiσ ij = λδijεll + 2µεij

σ ij = 2µεij + λtr ε( )δij

11 / 21

A chaque tenseur, on peut associer un tenseur adjoint (ou transposé):

€

T→ TijtT→ Tji

Un tenseur est dit symétrique si Tij = Tji

Un tenseur est dit antisymétrique si Tij = - Tji

Tout tenseur peut se décomposer en parties symétrique et antisymétrique:

€

T = Ts + Ta

T s =12T+ t T( )

Ta =12T−t T( )

12 / 21

Chaque tenseur possède des invariants: un invariant est une caractéristique propre d’un tenseur indépendante d’un changement de base.

Le premier invariant est la trace.

Le troisième invariant est le déterminant du tenseur.

Tout tenseur peut également être décomposé en parties sphérique et déviatorique: €

tr T( ) = Tii = T11 + T22 + T33

€

Ts =13tr T( )I

€

Td = T −Ts

La partie sphérique d’un tenseur est

diagonale

Faire exo avec essai de cisaillement pure, et

diagonaliser (vérifier trace identique).

(représenter un chargement de ce type sur un cube élémentaire)

€

det T − λI( ) = 0

13 / 21

Exemple

Soit le second invariant du déviateur des contraintes J2:

Calculer J2 en fonction du tenseur des contraintes.

€

J2 =12sijsij

€

σ ij = sij +13σmmδij

sij =σ ij −13σmmδij

J2 =12σ ij −

13σmmδij

σ ij −

13σmmδij

J2 =12σ ijσ ij −

23σ ijσmmδij +

19σmm( )2δijδij

J2 =12σ ijσ ij −

13σmm( )2

Et dans un repère principal:

€

J2 =16

σ1 −σ 2( )2 + σ1 −σ 3( )2 + σ 2 −σ 3( )2[ ]

14 / 21

Opérateurs différentiels (gradient, divergence, rotationnel)

Ces opérateurs relient des champs scalaires, vectoriels ou tensoriels.

Gradient d’une fonction f(x,y,z):

Gradient d’un vecteur

€

grad f( )

€

grad f( ) =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

=

f ,xf ,yf ,z

Et on a:

€

df = f,xdx + f,ydy + f,zdz = grad f( ).dM

),,(zyxvvvv

€

grad v ( )

vx,x vx,y vx,z

vy,x vy,y vy,z

vz,x vz,y vz,z

€

d v = grad

v ( ).dM

€

df = f,idxi

15 / 21

Opérateurs différentiels (suite)

Divergence du vecteur

Divergence d’un tenseur

Tenseur rotationnel d’un vecteur

€

div v ( ) = vx,x + vy,y + vz,z = vi,i

),,(zyxvvvv

€

div T( ) =

Txx,x + Txy,y + Txz,zTyx,x + Tyy,y + Tyz,zTzx,x + Tzy,y + Tzz,z

= Tij, j

T

),,(zyxvvvv

€

rot(v) = grad(v)−t grad(v)

€

⇒divσ +

f = ρ

∂2 u ∂t 2

σ ij, j + f i = ρ˙ ̇ u i

16 / 21

Opérateurs différentiels (suite)

Vecteur rotationnel d’un vecteur ),,(zyxvvvv

€

w = rot( v ) =

12

vz,y − vy,z( )12

vx,z − vz,x( )12

vy,x − vx,y( )

€

ΔT Δt11 Δt12 Δt13

Δt21 Δt22 Δt23

Δt31 Δt32 Δt33

€

Δtij =∂ 2tij∂x1

2 +∂ 2tij∂x2

2 +∂ 2tij∂x3

2

Laplacien d’un tenseur

17 / 21

Loi de Hooke unidimensionnelle : σ = Eε

Loi de Hooke généralisée : εσ : C= σε : S=

Tenseur des rigidités Opérateur d’élasticité Tenseur des souplesses

Opérateur de souplesse ou de complaisance

klijklij

klijklij

S

C

σε

εσ

=

=Notation indicielle

Matériau anisotrope

Matériau isotrope

18 / 21

Loi de Hooke généralisée pour un matériau ISOTROPE :

jkiljlikklijijklC δµδ+δµδ+δλδ= ijmmijij

2 δλε+µε=σ

ijmmijij EE1 δσν−σν+=ε

Cas anisotrope : 81 21 composantes Cas isotrope : 81 2 composantes

εσ : C=

19 / 21

En partant de la loi de comportement élastique isotrope:

€

σ ij = 2µεij + λεmmδij

Exprimer la relation inverse:

€

ε = f σ( )

Exercice:

20 / 21

ijmmijij2 δλε+µε=σ

ijmmijij EE1 δσν−σν+=ε

)21)(1( νννλ

−+= E

)1(2 νµ+

= E

ijmm

ijij δµλµλσσµε )23(22

1+

−=

)(2 µλλν+

=

µλµλµ

++= 23E

ijmmijijEE δενννενσ )21)(1(1 −+

++

=

21 / 21

Exercice:

Soient et deux vecteurs dont les composantes dans une base orthonormée directe sont:

1)  Calculer le produit scalaire , les produits vectoriels et , puis les produits tensoriels et . Que peut on dire du produit tensoriel ?

2)  Calculer le produit doublement contracté (:) entre les tenseurs .

3)  Décomposer en parties symétrique et antisymétrique . Vérifier que le produit doublement contracté entre les tenseurs et est nul.

4)  Décomposer en parties sphérique et déviatorique .

5)  Le tenseur des contraintes s’exprime par : .

Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres. Quel est la composante hydrostatique et le déviateur de ce tenseur ?

a b

=

3

2

1

a

=

6

5

4

b

ba. bac

^= abd ^=baC

⊗= abD ⊗=

DC et

C

C

sC a

CsC

aC

sC dC

000

0

0

: σσ

σσ

σσ

22 / 21

1)  Multiplication matricielle: Exprimer C=AB; AB=I; AtB; trace de A; Trace(AB); trace de (ABC)

2)  Soient deux vecteurs : exprimés dans une base quelconque. Calculer le produit scalaire . Ecrire sous forme indicielle que la base est orthonormée. Exprimer le module d’un vecteur.

3)  Résoudre l’équation : dans le cas i=1,2,….,n et j=1,2,….,n.

€

A = aij[ ];B = bij[ ];C = cij[ ]

€

X = xiei;Y = yiei

€

X .Y

€

δij xix j xk = δik xix j xk