stc0stc0stc0Licence Professionnelle E. A. E.

ACOUSTIQUE PHYSIQUE

Chapitre 1 : Propagation en milieu homogène infini

Chapitre 2 : Quelques solutions de l’équation des ondes et propriétés

Chapitre 3 : Niveaux sonores et éléments d’analyse spectrale

Chapitre 4 : Réflexion et transmission aux interfaces - Impédance

Chapitre 5 : Ondes sonores dans les tuyaux

Yves GERVAIS - Florent MARGNAT

1

2

Chapitre 1

Propagation en milieu homogène infini

Sommaire1.1 Introduction - Concept d’onde de pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Etablissement de l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 Equations d’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Linéarisation et combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.3 Relation d’état - Equation d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.4 Expression de l’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.5 Le potentiel acoustique ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Energie, intensité et puissance acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Equation d’énergie acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Puissance et intensité acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3

4

1.1 Introduction - Concept d’onde de pressionOn décrit ici la propagation d’une onde acoustique dans un milieu homogène, c’est-à-

dire tel que les conditions de pression, de masse volumique et de température moyennes sontconstantes dans tout le domaine considéré, au repos, donc tel qu’il n’y a pas d’écoulementmoyen, infini, c’est-à-dire qu’on laisse volontairement de côté ici tous les phénomènes de ré-flexion d’onde et donc qu’on admet que l’onde se propage librement. Par ailleurs, on considèreque la propagation de l’onde s’effectue sans perte d’énergie, ce qui revient en fait à admettreque les phénomènes dissipatifs, comme la viscosité ou la conduction thermique, sont négli-geables et qu’il n’y a donc pas d’atténuation.

Une onde sonore 1 consiste en fait simplement en une mise en mouvement qui se propage àune certaine vitesse. La description phénoménologique de cette propagation est simple. Il fauttout d’abord rappeler que le milieu de propagation est déformable (compressible et élastique).Il est en effet à remarquer qu’il ne peut y avoir de propagation dans un milieu incompressible.

De façon classique et similaire à ce qu’on fait en mécanique des milieux continus, notam-ment en mécanique des fluides, on assimile le milieu à un ensemble de particules liées entreelles par des forces moléculaires.

Mouvement de la particule, accusant un certain retardtemporel par rapport au mouvementde la particule précédente.

Lorsqu’on excite une particule, celle-ci communique son mouvement à la particule voisinequi elle-même se met donc en mouvement avec un certain retard temporel lié aux caracté-ristiques du milieu de propagation (masse volumique, coefficient de compressibilité, etc.) Ily a donc création d’un ébranlement qui se propage de particule en particule : c’est une ondeacoustique.

On peut d’ores et déjà distinguer deux vitesses caractéristiques du phénomène :– la vitesse des particules (vitesse acoustique), très faible en pratique : quelques mm/s à

cm/s ;

– la vitesse de contamination de la mise en mouvement (vitesse de l’onde, vitesse de pro-pagation, vitesse du son, célérité), grande en pratique (quelques centaines de m/s), fonc-tion des caractéristiques du milieu de propagation et indépendante de la vitesse acous-tique dans le cas des petites oscillations qui nous intéresse ici (acoustique linéaire).

Notion de longueur d’onde - PériodeLe mouvement se propage de proche en proche mais accuse un certain retard par rapport à

la particule de référence au fur et à mesure que l’ébranlement s’éloigne.

1. et, de façon plus générale, toutes les ondes ; la spécificité des ondes sonores ou acoustiques, parfois égale-ment appelées ondes de pression, étant liée à ce que dans un fluide, les ondes acoustiques sont purement longitu-dinales (propagation normale, front d’onde perpendiculaire à la direction de propagation), et qu’elles nécessitentun milieu matériel pour se propager (pas de son dans le vide).

5

Du fait de l’élasticité du fluide, le mouvement des particules s’inverse :

état initial

excitation

élasticité

inertie

puis, compte tenu de l’inertie des particules, celles-ci redépassent leur position initiale, etce sont à nouveau les forces liées à l’élasticité qui inversent le mouvement, etc. Ce mouvementest oscillatoire et se caractérise, du point de vue temporel, par un temps d’aller-retour complet,un cycle d’une durée constante : c’est la période.

Du point de vue spatial, et dès lors que le phénomène est établi, on retrouve, à partir d’unecertaine distantce, une situation strictement équivalente à celle de la particule de référence :c’est la longueur d’onde, ou cycle spatial, qui n’est autre que la distance parcourue par l’ébran-lement pendant un cycle temporel (sur une période). Pour illustre ceci, on peut schématiser laposition des particules à un instant donné :

Il est donc clair que la période spatiale (longueur d’onde) et la périodicité temporelle (pé-riode) sont liée par une relation de proportionnalité (plus le phénomène est lent, plus l’ébran-lement aura eu le temps de se propager loin), la constante de proportionnalité n’étant autre quela vitesse de propagation (la vitesse du son). On a donc :

6

λ= c0T (1.1)

où λ est la longueur d’onde, T la période et c0 la vitesse de propagation.

Remarque : Ne pas perdre de vue que dans les fluides, les ondes se propagent dans la mêmedirection que la direction du déplacement des particules. Ceci est lié aux caractéristiques desfluides (tenseur des contraintes totales). C’est évidemment très différent dans les solides. Faireattention toutefois aux ondes de surface, qui sont des ondes de gravité, de nature différente, età la propagation modale dans les guides d’ondes.

1.2 Etablissement de l’équation d’ondeRappelons les hypothèses générales :

– La viscosité et la conductibilité thermique sont négligeables ;– il n’y pas de forces extérieures et on néglige la pesanteur ;– le milieu de propagation est homogène (pas de stratification en température et/ou en

pression moyenne), et au repos (pas d’écoulement) ;– les mouvements des particules sont de très faible amplitude.

Sur la base de ces hypothèses on construit ce que l’on appelle une théorie linéaire de lapropagation.

1.2.1 Equations d’origineL’équation d’onde est naturellement déduite des équations de la dynamique des fluides

compressibles en régime instationnaire (conditions nécessaires pour qu’existe l’acoustique), eten appliquant les hypothèses précédentes. Ces équations sont : les équations de Navier-Stokes(ou équations d’Euler dès lors qu’on néglige la viscosité), qui traduisent le bilan de quantitéde mouvement, et l’équation déduite du principe de conservation de la masse.

Equation de conservation de la masse

∂ρ

∂t+div(ρ V ) = 0 qui s’écrit aussi

∂ρ

∂t+ ∂

∂x j

(ρu j

)= 0

avec V le champ de vitesse (3 composantes : V = ux + v y +w z)ρ la masse volumiquet le temps

x j coordonnées d’espace

Equation d’Euler (pas de viscosité et pesanteur négligée)

ρ

(∂V

∂t+ V ¯gradV

)=− grad p ou ρ

(∂ui

∂t+u j

∂ui

∂x j

)=− ∂p

∂xi; i , j = 1,2,3

7

C’est une identité vectorielle qui comprend trois équations.

1.2.2 Linéarisation et combinaisonOn considère maintenant les hypothèses énoncées au début, et donc que le milieu de pro-

pagation est caractérisé par :

– une masse volumique moyenne ρ0 constante ;– une pression moyenne p0 constante (la pression atmosphérique dans les applications

courantes) ;– une vitesse moyenne nulle V0 = 0 (repos) ;

ainsi que, de façon implicite :– une température moyenne T0 constante ;– une entropie moyenne s0 constante ...

On suppose qu’à cet état de repos moyen se superposent des fluctuations acoustiques de trèsfaible amplitude. Ces fluctuations acoustiques sont caractérisées par :

– des fluctuations de masse volumique ρ′ avec ρ′ << ρ0 ;– des fluctuations de pression p ′, avec p ′ << p0 ;– des fluctuations de vitesse v ′ .

Les grandeurs totales deviennent donc :

ρ = ρ0 +ρ′

p = p0 +p ′

V = V0 + v ′ = v ′ car V0 = 0 par hypothèse

Les fluctuations acoustiques sont supposées de très faible amplitude en comparaison desgrandeurs moyennes. Elle sont de l’ordre de ϵ (avec ϵ << 1) quand les quantité moyennessont de l’ordre de l’unité.

on a : ρ0 =O[1] ; p0 =O[1]ρ′ =O[ϵ] ; p ′ =O[ϵ] ; v ′ =O[ϵ]

Ainsi, l’équation de conservation de la masse devient :

∂(ρ0 +ρ′)∂t

+ ∂

∂x j

[(ρ0 +ρ′)u′

j

]= 0

ρ0 étant supposée constante et uniforme, ses dérivées partielles par rapport au temps et à l’es-pace s’annulent, et il reste :

∂ρ′

∂t+ρ0

∂u′j

∂x j+ ∂

∂x j

(ρ′u′

j

)= 0

On remarque que le troisième terme à gauche de l’égalité contient un produit des fluctuationsρ′u′

j . Ce terme sera donc de l’ordre de O[ϵ2], alors que les deux autres sont de l’ordre de O[ϵ].

8

Comme ϵ<< 1, ce troisième terme est négligeable devant les deux autres. C’est l’opération delinéarisation : la forme linéarisée de l’équation de conservation de la masse est finalement :

∂ρ′

∂t+ρ0

∂u′j

∂x j= 0 (1.2)

De son côté, l’équation de bilan de quantité de mouvement devient, en introduisant les quantitémoyennes et fluctuantes (et en se rappelant que V0 = 0 ) :

(ρ0 +ρ′)(∂u′

i

∂t+u′

j

∂u′i

∂x j

)=− ∂(p0 +p ′)

∂xi

De même, en tenant compte du fait que la pression moyenne p0 est uniforme, on a∂p0

∂xi= 0, et

en développant on obtient :

ρ0∂u′

i

∂t+ρ0u′

j

∂u′i

∂x j+ρ′∂u′

i

∂t+ρ′u′

j

∂u′i

∂x j=− ∂p ′

∂xi

Ici encore, on remarque des termes contenant le produit de deux voire trois quantités fluc-tuantes, que l’on néglige devant ceux n’en contenant qu’une. On obtient ainsi la forme linéa-risée de l’équation d’Euler (en l’absence d’écoulement moyen car on a supposé V0 = 0 ) :

ρ0∂u′

i

∂t=− ∂p ′

∂xi(1.3)

Remarque : On cherche à établir une équation d’onde pour une seule variable p ′, ρ′ ou u′i .

On dispose pour cela d’un système de 4 équations, les équations (1.2) et (1.3). Formellementparlant, il manque donc une équation : ce sera une relation d’énergie associée à une relationd’état thermodynamique.

On combine finalement les deux équations linéarisées en retranchant la divergence de la

seconde à la dérivée par rapport au temps de la première, à savoir : div(1.3)− ∂

∂t(1.2). On

obtient :

∂2p ′

∂xi ∂xi+ρ0

∂2u′i

∂xi ∂t− ∂2ρ′

∂t 2−ρ0

∂2u′i

∂t ∂xi= 0

d’où il reste, en simplifiant le deuxième et le quatrième terme qui s’annulent mutuellement :

∆p ′− ∂2ρ′

∂t 2= 0 (1.4)

∆ est l’opérateur Laplacien : ∆p ′ = ∂2p ′

∂xi ∂xi= ∂2p ′

∂x2+ ∂2p ′

∂y2+ ∂2p ′

∂z2

9

1.2.3 Relation d’état - Equation d’énergieOn constate au regard de l’équation (1.4) qu’il est maintenant nécessaire d’établir une

relation entre p ′ et ρ′. Celle-ci est aisément accessible à partir d’une relation d’état : chaquegrandeur d’état peut être définie à partir de deux autres grandeurs d’état. Ici, il est adapté deconsidérer que la pression peut être définie en fonction de la masse volumique ρ et de l’entropies :

p = p(ρ, s)

ce qui s’écrit, sous forme différentielle :

dp =(∂p

∂ρ

)s

dρ+(∂p

∂s

)ρ

ds (1.5)

Cette relation d’état a permis d’établir une relation entre p et ρ, mais elle a introduit unenouvelle inconnue, l’entropie s. Pour l’éliminer, il faut donc prendre en compte une nouvelleéquation. Ce sera évidemment la dernière équation n’ayant pas été utilisée, l’équation d’éner-gie. Celle-ci s’écrit, de façon générale :

ρcpds

dt=Q

Dans le cas qui nous intéresse ici, on va considérer que les transformations thermodynamiquessont isentropiques. Ceci sous-entend qu’elles sont adiabatiques et réversibles. Ceci est tout àfait légitime dans le cas des ondes acoustiques linéaires qui sont étudiées ici : les phénomènesd’échange de chaleur sont lents en comparaison du temps caractéristique du phénomène acous-tique. Les échanges thermiques sont donc extrêmement faibles et on peut admettre que la pro-pagation des ondes s’effectue sans échange de chaleur. De plus, le phénomène de propagationest complètement réversible ici dans la mesure où tout phénomène dissipatif est négligé parhypothèse : l’énergie totale est intégralement conservée.

L’équation d’énergie précédente se réduit donc à :

ds

dt= 0 ; l’entropie est une constante.

De la relation (1.5), en assimilant les variations infinitésimales dp, dρ et ds aux fluctuationsacoustiques p ′, ρ′ et s′, il vient, compte tenu du fait que les transformations sont isentropiques(s′ = 0) :

p ′ =(∂p

∂ρ

)s

dρ′ (1.6)

On a donc maintenant une relation 2 directe entre p ′ et ρ′. On peut ainsi établir l’équation

d’onde. Mais avant cela, intéressons-nous au terme p ′ =(∂p

∂ρ

)s

2. Pour la petite histoire, rappelons que c’est Newton qui, en 1687, propose une telle relation d’évolution. Ilsuppose (à tort pour une fois) que les transformations sont isothermes, ce qui conduit à quelques erreurs.

10

Expression du terme(∂p

∂ρ

)s

Il s’agit donc de déterminer la loi d’évolution de la pression p en fonction de la massevolumique ρ compte tenu du fait que cette évolution thermodynamique est considérée isentro-pique. Rappelons que dans le cas de transformations isentropiques, on a la relation :

p

ργ= k c’est-à-dire p = kργ où k est une constante.

donc :(∂p

∂ρ

)s= γkργ−1 . Par ailleurs, en remplaçant k par

p

ργon obtient

(∂p

∂ρ

)s= γ

p

ργργ−1 = γ

p

ρ

et comme en général la milieu de propagation est supposé être un gaz parfait, on a :

p

ρ= r T

Il vient finalement :(∂p

∂ρ

)s= γr T

où γ= cp

cvest le rapport des chaleurs massiques à pression et volume constants respectivement

(γ= 1.4 dans le cas de l’air), r est la constante des gaz parfaits (égale à 287J .kg−1.K −1) et Tla température.

Dimension du terme(∂p

∂ρ

)s

Il est important d’examiner la dimension du terme(∂p

∂ρ

)s. On a montré l’égalité suivante :(

∂p

∂ρ

)s= γ

p

ρ

d’où, γ étant sans dimension,[(

∂p

∂ρ

)s

]=

[p

][ρ] = MLT −2L−2

ML−3.

Ainsi :

[p

][ρ] = L2

T 2=

(L

T

)2

= [m/s]2 .

donc(∂p

∂ρ

)s

est homogène au carré d’une vitesse. On pose ainsi :(∂p

∂ρ

)s= c2 (1.7)

où c est homogène à une vitesse. On montrera plus loin que c n’est autre que la vitesse du son,qui vaut donc :

c =√γr T (1.8)

11

Il est à noter que c n’est pas une quantité cinématique (vitesse d’un point matériel). C’est unegrandeur thermodynamique homogène à une vitesse et liée à la nature des transformationsthermodynamiques lors de la propagation d’une onde. On parle de vitesse de phase.

1.2.4 Expression de l’équation d’ondeCompte tenu des relations (1.4), (1.6) et (1.7) obtenues précédemment, nous pouvons main-

tenant établir l’équation d’onde pour une seule quantité acoustique, par exemple et de façonclassique pour la fluctuation acoustique de la pression p ′.

Les relations (1.6) et (1.7) donnent directement

p ′ = ρ′c2 (1.9)

En injectant cette dernière dans (1.4), il vient immédiatement

∆p ′− 1

c2

∂2p ′

∂t 2= 0

Soit encore, comme la vitesse du son peut être considérée comme constante lors de la propa-gation d’ondes acoustiques linéaires, c’est-à-dire c = c0 avec c0 =

√γr T0 :

∆p ′− 1

c20

∂2p ′

∂t 2= 0 (1.10)

Il s’agit de l’équation d’onde pour la pression.

Notons que les formes sont équivalentes pour les fluctuations acoustiques de masse volu-mique ρ′ ou de vitesse u′

i :

– Pour la masse volumique ρ′ :

La combinaison de (1.4) et (1.9) conduit à :

c20∆ρ

′− ∂2ρ′

∂t 2= 0 qui se met sous la forme : ∆ρ′− 1

c20

∂2ρ′

∂t 2= 0

– Pour la vitesse u′i , dans le cas unidimensionnel (tel que ui ≡ u) :

Il faut cette fois repartir des équations (1.2) et (1.3) écrites en 1D (une seule variabled’espace x) :

∂ρ′

∂t+ρ0

∂u′

∂x= 0 (1.11)

ρ0∂u′

∂t=− ∂p ′

∂x(1.12)

en faisant c20 ×

∂

∂x(1.11)− ∂

∂t(1.12)

12

il vient∂2u′

∂x2− 1

c20

∂2u′

∂t 2= 0

On verra au paragraphe suivant comment cette dernière relation peut être généralisée au vecteurvitesse acoustique v ′ .

1.2.5 Le potentiel acoustique ϕ

Dans le cas particulier de la propagation d’onde, et notamment d’ondes de pression, dansun fluide (gaz ou liquide) et en l’absence de viscosité ce qui est le cas ici, il est aisé de mon-trer que le mouvement des particules est irrotationnel. En effet, dans ce cas, le mouvementd’une particule est communiqué dans une direction purement londitudinale à la direction 3 dumouvement initial :

Ex : • en 1D

Ex : • en 2D

Même provoqué par l’excitation d’une paroi, une seule direction de propagation n’est pos-sible :

Dans ce cas, seul le mouvement suivant x peut être propagé. Le mouvement selon y nepeut l’être, même en considérant une viscosité : il ne se mettrait en place dans ce cas qu’unecouche limite (dite acoustique) de faible épaisseur, et la propagation se ferait suivant x sansmodification 4.

La propagation d’ondes dans les fluides est donc, en dehors de ce qui se passe dans lescouches limites (qui n’existent d’ailleurs pas dans l’hypothèse de fluide non visqueux), irro-tationnelle. Dans ce cas, il est possibile de définir un potentiel ϕ′(M , t ) tel que les fluctuationsde vitesse acoustiques dérivent de ce potentiel :

3. Le terme "direction" est à considérer comme représentatif du lien entre direction des oscillations des parti-cules et direction de propagation, en dehors de tout aspect 1D, 2D ou 3D du problème.

4. Attention, c’est très différent dans les solides, qui peuvent propager des ondes longitudinales et transver-sales

13

v ′ =− grad ϕ′ 5 (1.13)

Le potentiel ϕ′ est une fonction scalaire de l’espace et du temps dont le calcul peut s’avérerbeaucoup plus simple et astucieux que celui de chacune des trois composantes de vitesses.

– Equation d’onde pour le potentiel ϕ′ :

Comme les autres quantités acoustiques, le potentiel vérifie la même équation d’onde.En effet, on a, à partir des relations (1.2) et (1.3) :

∂ρ′

∂t+ρ0divv ′ = ∂ρ′

∂t+ρ0div

(grad ϕ′

)= ∂ρ′

∂t+ρ0∆ϕ

′ = 0 (1.14)

∂v ′

∂t=−∂ grad ϕ′

∂t=− 1

ρ0

gradp ′

d’où : grad

[∂ϕ′

∂t

]= 1

ρ0

gradp ′ soit

p ′ = ρ0∂ϕ′

∂t(1.15)

En utilisant la relation ρ′ = p ′/c20 dans (1.14), on obtient

1

c20

∂p ′

∂t−ρ0∆ϕ

′ = 0 et en injectant maintenant 1.15 on a

ρ0

c20

∂2ϕ′

∂t 2−ρ0∆ϕ

′ = 0 soit encore :

∆ϕ′− 1

c20

∂2ϕ′

∂t 2= 0 (1.16)

– Conséquence pour le champ de vitesse v ′ :

L’existence d’un potentiel des vitesses acoustiques, et donc le fait que les mouvementssoient irrotationnels lors de la propagation, permet de généraliser l’équation d’onde ob-tenue pour une seule composante de vitesse à la totalité du vecteur vitesse v ′.Rappelons tout d’abord les équations (1.2) et (1.3), qui s’écrivent sous forme vectorielle :

∂ρ′

∂t+ρ0divv ′ = 0 (1.17)

∂v ′

∂t=− 1

ρ0

gradp ′ (1.18)

Pour faire disparaître p ′ et ρ′, avec p ′ = ρ′c20 , il est naturel d’effectuer l’opération :

5. Il est à noter que ϕ′ n’est définie qu’à une constante additive près, ce qui n’a aucune conséquence puisque,dans les relations qui suivent, ϕ′ n’apparait qu’à travers ses dérivées.

14

c20

grad(1.17)−ρ0∂

∂t(1.18) qui donne successivement

c20

grad

(∂ρ′

∂t

)+ρ0c2

0grad

(div v ′

)−ρ0

∂v ′2

∂t 2− ∂

∂t

(grad p ′

)= 0

c20

c20

grad

(∂p ′

∂t

)+ρ0c2

0grad

(div v ′

)−ρ0

∂v ′2

∂t 2− ∂

∂t

(grad p ′

)= 0 qui se simplifie en :

grad(div v ′

)− 1

c20

∂v ′2

∂t 2= 0

Rappelons que le laplacien appliqué à un vecteur V est défini par

∆V = grad(divV

)− rot(rotV

)Lorsque le champ V est irrotationnel, le laplacien vectoriel se réduit à ∆V = grad

(divV

)On obtient alors pour la vitesse acoustique v ′ une équation ayant la même forme quetoute équation d’onde :

∆v ′− 1

c20

∂2v ′

∂t 2= 0 (1.19)

1.3 Energie, intensité et puissance acoustiquesL’énergie acoustique dans un milieu continu, et notamment fluide, est la part d’énergie

associée à la propagation d’ondes acoustiques. L’énergie acoustique se détermine de façonclassique par rapport à ce qui se fait en mécanique, en particulier en mécanique des fluides, àpartir de l’écriture d’une équation de bilan d’énergie mécanique en dehors ici de toute consi-dération sur les aspects thermiques (viscosité et conduction thermique négligées).

Rappelons tout d’abord que le théorème de l’énergie cinétique est tiré du principe fon-damental (conservation de la quantité de mouvement), et qu’à ce titre, l’équation d’énergiecinétique ne constitue pas une équation supplémentaire à la description de l’évolution d’unsystème donné, mais que son application peut en constituer une alternative intéressante. Eneffet, on a :

mdV

dt= f

soit, en multipliant (produit scalaire) par la vitesse des deux côtés : mV · dV

dt= f · V

il vient : md

dt

(V 2

2

)= f · V Ainsi :

– le produit f · V définit la puissance P des forces appliquées au système.

– La masse étant une constante, on a : md

dt

(V 2

2

)= d

dt(Ec )

15

où Ec = 1

2mV 2 est l’énergie liée au mouvement, donc cinétique.

On en déduit le théorème de l’énergie cinétique : le taux de variation de l’énergie cinétique estégal à la puissance des forces :

d

dt(Ec ) =P(

f)

1.3.1 Equation d’énergie acoustiqueEn acoustique, la démarche est évidemment la même, en dehors du fait que de façon clas-

sique en mécanique des milieux continus, on travaille souvent au niveau particulaire (équationslocales), le passage à un domaine complet se faisant via une intégration sur le volume de cedomaine.

Considérons l’équation de la dynamique pour une onde acoutique, à savoir l’équation d’Eu-ler linéarisée (et sans écoulement moyen) dans notre cas :

ρ0∂u′

i

∂t=− ∂p ′

∂xi(1.3)

En multipliant par la vitesse des deux côtés :

ρ0u′i

∂u′i

∂t=−u′

i∂p ′

∂xi

ρ0∂(v ′2/2

)∂t

=−[

∂

∂xi

(p ′u′

i

)−p ′∂u′i

∂xi

]; (v ′2 =

∑i

u′2i )

En utilisant l’équation de conservation de la masse (1.2)

∂ρ′

∂t+ρ0

∂u′i

∂xi= 0 autrement dit

∂u′i

∂xi= 1

ρ0

∂ρ′

∂t, on obtient :

ρ0∂(v ′2/2

)∂t

=−[

∂

∂xi

(p ′u′

i

)− 1

ρ0p ′∂ρ

′

∂t

]Enfin, compte tenu de l’isentropicité des phénomènes et de la relation des gaz parfaits

p ′ = ρ′c20 on a :

1

ρ0p ′∂ρ

′

∂t= 1

ρ0c20

p ′∂p ′

∂t= 1

ρ0c20

∂(p ′2/2

)∂t

d’où

ρ0∂

∂t

[v ′2/2+ 1(

ρ0c0)2

p ′2

2

]=− ∂

∂xi

(p ′u′

i

)(1.20)

C’est l’équation d’énergie acoustique.

Il est tout d’abord à noter qu’on retrouve bien la forme générale d’une équation de biland’énergie mécanique. En effet, en intégrant sur un volume D de surface Σ, il vient :

16

ÑDρ0

∂

∂t

[v ′2

2+ 1(

ρ0c0)2

p ′2

2

]dv =

ÑD− ∂

∂xi

(p ′u′

i

)dv

ce qui, en vertu du théorème de la divergence, devient :

−Ñ

Dρ0

∂

∂t

[v ′2

2+ 1(

ρ0c0)2

p ′2

2

]dv =

ÏΣ

p ′ u′i ni dσ

Il est à remarquer que le terme du second membre représente la puissance des forces de pres-sion appliquées sur la surface Σ du domaine considéré :

P =Ï

Σp ′ u′

i ni dσ (1.21)

Il vient donc, en désignant l’énergie totale eT par : eT = ρ0v ′2

2+ 1

ρ0c20

p ′2

2

−Ñ

DeT dv = P (1.22)

On retrouve bien la forme générique d’une équation de bilan.

L’énergie acoustique totale eT est donc constituée de deux parties. La première contri-bution est associée à la vitesse acoustique. C’est évidemment l’énergie cinétique acoustique

ec = 1

2ρ0v ′2. La seconde contribution est associée à la pression acoustique p ′. C’est l’énergie

potentielle acoustique, qualifiée de potentielle car pouvant être restituée sous la forme d’éner-gie cinétique étant donné la réversibilité des phénomènes considérés ici.

ep = 1

2

1

ρ0c20

p ′2

1.3.2 Puissance et intensité acoustiquesLa puissance acoustique est donc définie par la relation (1.21) :

P =Ï

Σp ′ u′

i ni dσ (1.21)

Il est important de s’attacher au produit p ′ u′i , qui définit dans l’expression précédente un

vecteur densité surfacique de puissance acoustique. On désigne généralement cette quantitépar l’intensité acoustique I :

Ii = p ′ u′i soit I = p ′ v ′ (1.23)

17

On constate donc au regard des équations de bilan précédentes qu’une diminution de l’énergieacoustique totale contenue dans le domaine D traduit l’existence d’un flux d’intensité acous-tique sortant de la surface Σ. Sous forme locale, ceci s’exprime naturellement en reprenant(1.20) :

ρ0∂

∂t

(eci n +epot

)+ ∂

∂xiIi c’est-à-dire :

ρ0∂

∂t(etot )+ div Ii (1.24)

traduisant le fait que tout redistribution spatiale de Ii (c’est-à-dire divIi = 0 : présence dediffusion) implique une variation locale de la densité d’énergie acoustique totale.

Rappelons enfin que l’intégration sur la surface du domaine considéré de l’intensité acous-tique n’est autre que la puissance acoustique :

P =Ï

ΣI · n dσ (1.25)

– Dimension de l’intensité acoustique :

L’intensité acoustique est donc définie par le produit pression-vitesse :

[I ] = [p].[u] = M .L.T −2.L−2 . L.T −1

= M .T −3 = M .L2.T −3

L2= M .L.T −2 . L.T −1

L2

=[For ce][vi tesse]

[sur f ace]= W

m2

L’intégration de l’intensité sur la surface, qui donne la puissance, s’exprime bien en W .

18

Chapitre 2

Quelques solutions de l’équation desondes et propriétés

Sommaire2.1 Solution en onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Conséquences de la forme de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Vitesse du son . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2 Courbes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.3 Impédance caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.4 Quelques valeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Solution en ondes sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Solutions en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Equation de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Ondes planes en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4.3 Ondes sphériques en régime harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . 33

19

20

Au cours du chapitre précédent, nous avons établi l’équation décrivant la propagationd’ondes acoutiques linéaires en champ libre. Le présent chapitre en est la suite naturelle puis-qu’on propose maintenant d’établir les solutions de l’équation des ondes. Ceci sera effectuétout d’abord dans le cas de la propagation d’une onde plane unidirectionnelle, ce qui permet-tra d’introduire la structure générale de la solution de l’équation d’onde ainsi que les notionsfondamentales de vitesse du son et d’impédance caractéristique du milieu de propagation.

La fin du chapitre sera quant à elle consacrée aux ondes périodiques et à la notation com-plexe qui y est généralement associée, extrêmement usité en acoustique appliquée.

2.1 Solution en onde planeLa propagation d’une onde plane dans une seule direction est un cas de propagation élé-

mentaire, en pratique le plus simple pouvant être traité, mais qui constitue la base de nom-breuses situations réelles. Le problème est donc le suivant : on considère la propagation libred’une perturbation acoustique caractérisée par la quantité acoustique g selon l’axe x, c’est-à-dire aussi bien dans la direction des x > 0 que dans celle des x < 0 ( x ∈]−∞;+∞[ ), telleque la seule composante non nulle de la vitesse acoustique est portée par l’axe x :

v ′ = u′ x

Il est à noter dans ce cas que la grandeur g représente tout aussi bien la pression acoustique p ′,la fluctuation acoustique de masse volumique ρ′, la vitesse acoustique u′, le potentiel acous-tique ϕ′, ou encore n’importe quelle autre quantité acoustique.

L’équation d’onde s’écrit simplement dans ce cas :

∂2g

∂x2− 1

c2

∂2g

∂t 2= 0 (2.1)

En effet, on a ∆= ∂2

∂x2+ ∂2

∂y2+ ∂2

∂z2≡ ∂2

∂x2en 1D puisque la seule variable d’espace est x.

Schématiquement, la situation du problème est la suivante :

fronts d’ondes, normaux à x, pouvantse propager aussi bien suivant x > 0

que x < 0.

La solution générale de l’équation (2.1) s’obtient comme suit.On effectue tout d’abord le changement de variables

21

{α= x − ctβ= x +ct

soit

x = (β+α

)/2

t = 1

2c

(β−α

)En considérant que g dépend de x et t par l’intermédiaire des nouvelles variables α et β, et enappliquant la dérivation des fonctions composées, on peut exprimer ses dérivées par rapportaux variables de départ (x et t) à partir des dérivées par rapport aux nouvelles variables.

En effet :

∂g

∂x= ∂g

∂α

∂α

∂x+ ∂g

∂β

∂β

∂x= ∂g

∂α+ ∂g

∂β

de même :

∂g

∂t= ∂g

∂α

∂α

∂t+ ∂g

∂β

∂β

∂t= −c

∂g

∂α+ c

∂g

∂β= c

(∂g

∂β− ∂g

∂α

)En répétant cette opération, on obtient les dérivées secondes :

∂2g

∂x2= ∂

∂α

(∂g

∂α+ ∂g

∂β

)∂α

∂x+ ∂

∂β

(∂g

∂α+ ∂g

∂β

)∂β

∂x= ∂2g

∂α2+ 2

∂2g

∂α ∂β+ ∂2g

∂β2

et

∂2g

∂t 2= ∂

∂α

[c

(∂g

∂β− ∂g

∂α

)]∂α

∂t+ ∂

∂β

[c

(∂g

∂β− ∂g

∂α

)]∂β

∂t= c2

(∂2g

∂α2− 2

∂2g

∂α ∂β+ ∂2g

∂β2

)En remplaçant dans (2.1), il vient immédiatement 4

∂2g

∂α∂β= 0 soit :

∂2g

∂α ∂β= 0 (2.2)

On peut mettre l’équation précédente (2.2) sous la forme :

∂

∂β

[∂g

∂α

]= 0

indiquant par là-même que ∂g /∂α ne dépend pas de β, et donc qu’elle n’est fonctionque de α.

En posant∂g

∂α= f (α) , on obtient, en intégrant :

g (α,β) =∫

∂g

∂αdα =

∫f (α)dα+ g2(β) où g2(β) est une fonction arbitraire de β (la

"constante" lors de l’intégration par rapport à α dépend a priori de de β). Par ailleurs, on peutposer :∫

f (α)dα= g1(α) où g1(α) est une fonction arbitraire de α.

Il vient alors : g (α,β) = g1(α)+ g2(β)

22

soit encore, en revenant aux variables primitives x et t :

g (x, t ) = g1(x −ct )+ g2(x + ct ) (2.3)

Ainsi, la solution générale de l’équation d’onde est donnée par la somme de deux fonctionsarbitraires, l’une de x − ct et l’autre de x + ct , qui seront en pratique déterminées en pratiquepar la condition initiale et/ou aux limites du problème considéré.

2.2 Conséquences de la forme de la solutionL’interprétation physique de la solution générale (2.3) à l’équation d’onde est extrême-

ment importante, car elle permet de préciser les propriétés caractéristiques fondamentales dela propagation : vitesse du son, courbes caractéristiques et impédance caractéristique.

2.2.1 Vitesse du son– Plaçons-nous dans le cas particulier où la solution générale g (x, t ) se réduit à g1(x −

ct ) , c’est à dire que g2 est identiquement nulle :

g (x, t ) = g1(x −ct ) et g2(x + ct ) ≡ 0

et observons la propagation d’une perturbation acoustique (une impulsion infinitésimale)localisée en x à l’instant t . Si g1(x − ct ) représente cette perturbation acoustique etqu’elle possède une certaine valeur en (x, t ), elle conserve cette valeur au point x +∆xet à l’instant t +∆t si l’argument de la fonction g1 reste inchangé, c’est-à-dire si :

x −ct = x +∆x − c(t +∆t )

Cette condition est vérifiée si ∆x = c∆t , soit si∆x

∆t= c .

Rappelons qu’au cours de la propagation, les mouvements particulaires sont transmis deproche en proche au cours du temps, et ces mouvements particulaires sont conservés. Ilest donc clair que si g (x, t ), et a fortiori ici g1(x, t ), représente ces mouvements, cettecondition n’est respectée que si

∆x

∆t= c

c’est-à-dire si la distance ∆x parcourue par la perturbation pendant l’intervalle de temps∆t est égale à c ∆t . La quantité c représente donc la vitesse du son.

Par ailleurs, on note que la distance ∆x est positive (orientée suivant x > 0), indiquantque la fonction g1(x − ct ) représente la propagation d’une perturbation acoustique dansle sens des x croissants, à la vitesse c.

23

il s’agit de ce qu’on appelle communément l’onde directe.

– Plaçons-nous maintenant dans le second cas particulier où g (x, t ) se réduit à g2(x +ct ) , c’est à dire que g1 est identiquement nulle :

g (x, t ) = g2(x +ct ) et g1(x − ct ) ≡ 0 .

Là encore, intéressons-nous à la propagation d’une perturbation acoustique. En raison-nant de façon identique à précédemment, la fonction g2(x, t ) ayant une certaine valeuren (x, t ) garde cette valeur en (x +∆x, t +∆t ) si son argument est inchangé, c’est-à-diresi :

x +ct = x +∆x + c(t +∆t )

soit si ∆x =−c∆t , autrement dit∆x

∆t=−c .

Outre le fait que cette fois encore on note que c n’est autre que la vitesse du son, ladistance ∆x parcourue par la perturbation acoustique pendant l’intervalle de temps ∆test cette fois négative ( ∆x = −c∆t ), donc orientée suivant x < 0, indiquant que lafonction g2(x+ct ) décrit la propagation dans le sens des x décroissants, et à la vitesse c.

On parle dans ce cas d’onde inverse ou d’onde réfléchie.

2.2.2 Courbes caractéristiquesOn peut chercher à examiner l’évolution des fonctions g1 et g2 dans le plan espace-temps

(x, t ), ou, en d’autres termes, la position d’un point x atteint à l’instant t par une impulsioninitialement localisée en x0 à l’instant t0.

Compte tenu de ce qui vient d’être dit, ce point - ou plutôt ces points - seront naturellementtels que :

24

(x − ct ) = x0 − ct0 =α1

(x + ct ) = x0 + ct0 =α1

}(2.4)

C’est points sont donc portés par des droites dans le plan (x, t ).

Les droites (2.4) sont appelées les caractéristiques du point (x0, t0). Le long de la premièrede ces droites, g1(x −ct ) garde une valeur constante, et donne les valeurs du couple (x, t ) pourlesqeulles l’onde directe, ou plutôt la quantité qui la représente, garde la même valeur qu’auxconditions initiales (x0, t0). La seconde droite, celle en x + ct , représentative de l’évolution del’évolution de g2(x + ct ), joue le même rôle pour l’onde réfléchie.

On dit que les impulsions (les ondes acoustiques) se propagent suivant les caractéristiques.

2.2.3 Impédance caractéristiqueLa forme générale obtenue pour g (x, t ), valable pour toute grandeur acoustique, permet

également d’établir un lien direct entre les fluctuations acoutiques de pression et de vitesse. Eneffet, on peut par exemple poser, pour le potentiel acoustique ϕ′ :

ϕ′ ≡ g (x, t ) = g1(x, t )+ g2(x, t ) = g1(x − ct )+ g2(x + ct )

A partir des relations du chapitre précédent, (1.13) :

v ′ =− grad ϕ′ qui se réduit à u′ =−∂ϕ′

∂x

dans le cas d’une propagation à une dimension selon x, et (1.15) :

p ′ = ρ0∂ϕ′

∂t,

25

il vient :{p ′ = ρ0c

[−g1(x −ct )+ g2(x +ct )]

u′ = −g1(x − ct )− g2(x + ct )

– Plaçons-nous maintenant dans le cas où g2 est identiquement nulle, c’est-à-dire que nousne considérons que la partie de l’onde (du champ acoustique) se propageant dans ladirection des x croissants (x > 0).Les grandeurs p ′ et u′ se réduisent à :

p ′ =−ρ0c g1(x −ct )u′ =−g1(x − ct ) . On constate ainsi que

p ′ = ρ0cu′ (2.5)

pour une onde selon les x croissants.

– Pour l’onde inverse, c’est-à-dire celle se propageant dans la direction des x décroissants(x < 0), on pose g1 ≡ 0 et on a :

p ′ = ρ0c g2(x + ct )u′ =−g2(x + ct ) . Dans ce cas, on constante que

p ′ =−ρ0cu′ (2.6)

pour une onde selon les x décroissants.

Dans les deux cas, c’est un résultat remarquable puisqu’il apparaît une relation directe(changeant simplement de signe selon la direction de propagation) entre les fluctuations acous-tiques de pression et de vitesse, et que le rapport entre ces deux grandeurs n’est lié qu’auxcaractéristiques physique (ρ0c) du milieu de propagation.

La vitesse acoustique, grandeur cinématique, apparaît donc ici directement reliée à la gran-deur d’état qu’est la pression, ce qui est une propriété remarquable du milieu de propagation.Attention toutefois, car ce résultat est propre à l’acoutique linéaire (petites perturbations dansune fluide non-visqueux) et ne peut être utilisé en dehors de ce cadre (en mécanique des fluidesnotamment).

On a donc :p ′

u′ =±ρ0c (2.7)

où le signe ± dépend du sens de la propagation. Par analogie avec la mécanique et l’électricité(avec la pression jouant le rôle du potentiel et la vitesse jouant le rôle de l’intensité), la quantitéρ0c définit l’impédance caractéristique du milieu de propagation, et nous reviendrons plusloins en détail sur ce qu’elle représente.

Elle s’exprime en kg .m−2.s−1, unité qu’on appelle Rayl , en hommage à Lord Rayleigh(XIXème siècle).

26

2.2.4 Quelques valeurs– gaz

Vitesse du son Impédance caractéristique(m/s) (kg .m−2.s−1 = N .m−3.s−1 = Pa.m−1.s)

Air à 0oC 331.6 428

Air à 20oC 343 415

Oxygène à 0oC 317.2 453

Hydrogène à 0oC 1269.5 114

Vapeur à 100oC 404.8 242

– Liquides

Vitesse du son Impédance caractéristique(m/s) (Pa.s.m−1)

Eau à 20oC 1481 1.48×106

Eau salée à 13oC 1500 1.54×106

Mercure à 20oC 1450 19.7×106

– Solides : Attention, les relations précédentes ne sont plus valables, v ′ n’est plus ir-rotationnelle et les ondes acoustiques ne sont plus purement longitudinales. Il existe unecomposante longitudinale et une composante transversale qui se propagent simultané-ment mais avec des vitesses de propagation cL et cT différentes.

cL cT Impédance caractéristique(m/s) (m/s) (Pa.s.m−1)

Fer 5840 5170 1.48×106

Aluminium 6400 5240 14×106

2.3 Solution en ondes sphériquesLe cas de la propagation en ondes sphériques est particulièrement important puisqu’il décrit

la propagation en champ libre dans l’espace à trois dimensions, cas extrêmement courant enpratique.

Considérons là encore une fonction g de l’espace et du temps ( g = g (x, t ) ), représentatived’une quantité acoustique. La fonction g (x, t ) ) satisfait à l’équation des ondes :

∆g − 1

c2

∂2g

∂t 2

27

où le laplacien s’écrit, en coordonnées sphériques :

∆g = 1

r 2

∂

∂r

(r 2∂g

∂r

)+ 1

r 2 sinφ

∂

∂φ

(sinφ

∂g

∂φ

)+ 1

r 2 sin2φ

∂2g

∂θ2

On se place volontairement dans le cas d’une propagation sphérique parfaitement isotrope(identique dans toutes les directions), de telle sorte que le champ acoustique est indépendantde θ et φ et donc ne dépend que de la coordonnée radiale r :

g ≡ g (r, t )

Dans ce cas, le laplacien se réduit à :

∆g = 1

r 2

∂

∂r

(r 2∂g

∂r

)= 2

r

∂g

∂r+ ∂2g

∂r 2= 1

r

∂2

∂r 2

(r g

)L’équation d’onde s’écrit alors :

1

r

∂

∂r 2

(r g

)− 1

c2

∂2g

∂t 2= 0 soit encore :

1

r

∂

∂r 2

(r g

)− 1

c2

∂2

∂t 2

(r g

)= 0 (2.8)

La relation précédente indique donc que la fonction (r g ) satisfait à une équation similaire àl’onde plane (à condition bien sûr de remplacer x par r), et donc que la solution générale pourl’onde sphérique s’écrit simplement :

g (r, t ) = 1

rg1(r − ct )+ 1

rg2(r +ct ) (2.9)

La seule différence avec l’onde plane tient au terme en 1/r . La fonction g1, de même que pourl’onde plane, décrit la propagation selon les r croissants, la fonction g2 décrivant la propagationselon les r décroissants.

28

Il est à noter qu’en champ libre, la propagation ne se fait que selon les r croissants (pasd’onde "retour" ou inverse puisque pas de réflexion), et g2(r − ct ) est identiquement nulle. Lasolution générale (g) se réduit alors à 1 :

g (r, t ) = 1

rg1(r −ct ) (2.10)

On peut donc en déduire la structure générale des quantités acoustiques :

– potentiel acoustique : ϕ′(r, t ) = 1

rg1(r − ct )

– pression acoustique : p ′(r, t ) = ρ0∂ϕ′

∂t=−ρ0

c

rg ′

1(r −ct )

– vitesse acoustique : u′(r, t ) =−∂ϕ′

∂r=−1

rg ′

1(r −ct )+ 1

r 2g1(r − ct )

– masse volumique (fluctuation acoustique) : ρ′(r, t ) = p ′

c2=−ρ0

c

1

rg ′

1(r − ct )

Cas particulier de la vitesse acoustique :

Il est important de noter au vu du groupe d’équations précédentes que la vitesse acoustiqueu′(r, t ) n’a pas la même structure que les autres grandeurs acoustiques que sont ϕ′, p ′ et ρ′,alors que la vitesse répond à la même équation d’ondes. L’explication tient au fait que, du pointde vue formel, l’équation d’onde pour la vitesse fait apparaître le laplacien d’un vecteur (quiest un vecteur) et non le laplacien d’un scalaire. Même en ne considérant que la composanteradiale u′

r , il est à noter que :

∆v ′ · r =∆u′r

puisqu’on a : ∆v ′ · r =∆u′r −

2

r 2u′

r

indiquant par là-même qu’il est normal d’obtenir un terme supplémentaire dans l’expres-sion de u′ par rapport à p ′ ou ϕ′.

Rappelons toutefois les expressions de la pression et de la vitesse acoustiques. On a :p ′(r, t ) = −ρ0

c

rg ′

1(r −ct )

u′(r, t ) = −1

rg ′

1(r −ct )+ 1

r 2g1(r − ct )

La composante radiale u′ de la vitesse acoustique est donc composée de deux termes, l’unpondéré par la fonction 1/r et l’autre pondéré par la fonction 1/r 2. Il est donc clair que lesecond terme va disparaître au profit du premier au fur et à mesure de la propagation d’une

1. Cette solution vérifie la condition de rayonnement de Sommerfeld : limr →∞

[r

(∂p

∂r+ 1

c

∂p

∂t

)]= 0

29

perturbation selon r croissant, l’amplitude du terme en 1/r 2 diminuant naturellement beau-coup plus vite que celle du terme en 1/r quand r augmente. On dit que le terme en 1/r 2 estcelui de champ proche (1/r 2 domine 1/r quand la distance r est petite) alors que celui en 1/rest le terme de champ lointain (1/r 2 devient négligeable devant 1/r quand r augmente).

Notons que dans le champ lointain, c’est-à-dire le domaine de propagation tel que l’ampli-tude du terme en 1/r 2 est négligeable devant celle du terme en 1/r , on a :

u′(r, t ) ∼=−1

rg ′

1(r −ct ) ,

l’expression de la pression acoustique restant inchangée.On obtient alors une relation directe entre fluctuations acoustiques de pression et de vi-

tesse :

p ′(r, t ) ∼= ρ0c u′(r, t ) (2.11)

valable en champ lointain où1

r 2<< 1

r.

C’est une relation identique à celle qu’on avait obtenue pour l’onde plane, indiquant qu’onretrouve pour l’onde sphérique les même propriétés que celles obtenues pour les ondes planes,dès lors que la propagation s’effectue dans le champ lointain 2.

2.4 Solutions en régime harmoniqueJusqu’à présent, les équations générales, et surtout l’allure des solutions générales, ont été

établies en dehors de toute considération sur la nature de la perturbation acoustique considé-rée. En particulier l’expression générale (2.3) de g (x, t ) est valable quel que soit le phénomènepropagatif à étudier, qu’il s’agisse d’une simple perturbation, d’un champ acoustique "perma-nent", c’est-à-dire n’évoluant plus au niveau temporel, ou encore d’un champ acoustique enperpétuel changement au fur et à mesure que le temps passe.

Si le dernier cas de figure est évidemment le plus souvent rencontré en pratique (c’est lecas de la musique, mais également de ce qu’on qualifie habituellement de bruit...), il resteque l’étude des champs acoustiques "permanents" est extrêmement répandue en acoustique (leterme "permanent" est ici à considérer au sens où on admet que le champ acoustique étudiéreste stable au cours du temps, qu’il n’évolue pas 3).

Il y a en fait plusieurs raisons à cela. La première en est que de nombreux problèmesd’acoustique sont effectivement liés à des phénomènes qui n’évoluent pas dans le temps : bruit

2. Nous verrons plus loin, dans le paragraphe consacré aux oscillations harmoniques, comment on peut fixerla limite virtuelle entre champ proche et champ lointain.

3. Tout en gardant à l’esprit qu’un phénomène acoustique, même s’il est considéré comme permanent ausens où il n’évolue pas dans le temps, est caractérisé par des fluctuations temporelles de toutes les grandeurs

acoustiques 4. On fera remarquer à cet égard que si∂ρ

∂t= 0 il n’y a pas d’acoustique...

4. Ceci tient à la définition générale de l’opérateur produisant les quantités moyennes temporelles, et à ladifférence entre le temps d’observation et le temps d’évolution d’un phénomène (par exemple, la météo au coursd’une journée par rapport au cycle des saisons sur une année

30

d’une machnie ou d’une installation industrielle. La seconde est plus subtile et tient à ce que denombreux phénomènes acoustiques, même en perpétuelle évolution, peuvent être considéréscomme permanents tant que leur observation reste courte au regard du temps caractéristiquede leur évolution. C’est un effet une démarche légitime en acoustique dans la mesure où lapropagation est associée à des phénomènes très rapides dans le temps (typiquement, plusieurscentaines de Hertz, soit des périodes de l’ordre du centième de seconde), les mécanismes phy-siques associés à leur génération ou leur atténuation (de façon générale, à leur modification)étant en comparaison très lents 5.

Dans ce cas, la technique habituelle pour intégrer les équations générales vues précédem-ment consiste à séparer les variables, c’est-à-dire l’espace et le temps. On considère, commele phénomène est "permanent du point de vue acoustique", et donc qu’il n’est pas évolutif, quela variation temporelle du champ correspond uniquement à une oscillation sinusoïdale. On aalors 6 :

g (x, t ) = G (x) e jωt (2.12)

où ω est la pulsation des oscillations : ω= 2π f , avec f la fréquence, et G (x) une fonction del’espace éventuellement complexe.

2.4.1 Equation de HelmholtzEn injectant (2.12) dans l’équation d’onde habituelle :

∆g (x, t )− 1

c2

∂2g (x, t )

∂t 2, il vient, compte tenu du fait que :

∂

∂t

[g (x, t )

]=+ jωg (x, t ) et∂2

∂t 2

[g (x, t )

]= ∂

∂t

[jωg (x, t )

]=−ω2g (x, t )

∆g (x, t )+ ω

c2g (x, t ) = 0

soit encore :[∆G (x)+ ω

c2G (x)

]e jωt = 0

soit finalement, comme e jωt = 0 :

∆G (x)+k2G (x) = 0 (2.13)

C’est l’équation de Helmholtz, où k =ω/c est le nombre d’onde, dont la dimension est l’in-verse d’une longueur [m−1].

Par ailleurs, dès lors que G (x) est déterminée quelle que soit la valeur de ω, la solutiontemporelle complète g (x, t ) peut être obtenue par transformation de Fourier inverse.

5. Les cas où un tel formalisme ne peut être retenu sortant du cadre de ce cours. On est alors amené enparticulier à effectuer des analyses temps-fréquence des phénomènes

6. C’est la méthode de Fourier. Le formalisme plus général est normalement obtenue par séparation des va-riables, en posant g (x, t ) =G (x).T (t ) . La solution générale pour T (t ) se réduit à (2.12) dans le cas des oscillationsharmoniques qui nous intéresse ici, sans perte de généralité.

31

En effet, on a : g (x, t ) = 1

2π

∫ +∞

−∞G (x,ω) e jωt dω

G (x,ω) =∫ +∞

−∞g (x, t ) e− jωt dt

(2.14)

On note qu’avoir posé l’égalité (2.12) revient en fait strictement à travailler dans l’espacede Fourier. Par ailleurs, on devrait en tout rigueur noter la fonction G (x) de l’égalité (2.13) parG (x,ω) ou Gω(x) , la fonction G (x) prenant une forme différente pour chaque valeur de ω. Onne le fait pas ici pour alléger l’écriture.

2.4.2 Ondes planes en régime harmoniqueDans ce cas, l’équation de Helmholtz se réduit à :

∂2G(x)

∂x2+k2G(x) = 0 (2.15)

dont la solution générale s’écrit :

G(x) = A e− j kx +B e+ j kx (2.16)

où A et B sont des constantes d’intégration dépendant des conditions aux limites du problèmeconsidéré, et éventuellement complexes.

Il est tout d’abord à noter que, puisqu’elles sont éventuellement complexes, les constantesd’intégration peuvent être notées :

A = |A|e jφA et B = |B |e jφB

Nous verrons plus en détail par la suite l’intérêt de cette écriture.La solution complète pour g (x, t ) s’écrit donc :

g (x, t ) =G(x)e jωt = A e j (ωt−kx) +B e j (ωt+kx) (2.17)

soit encoreg (x, t ) = |A| e j (ωt−kx+φA) +|B | e j (ωt+kx+φB ) (2.18)

Remarque sur la notation complexe

Le fait que G(x) soit complexe, et par conséquent les constantes A et B , tient au fait d’avoirposé :

g (x, t ) =G(x)e jωt

et donc de travailler dans l’espace de Fourier, ce qui est tout à fait légitime dans le casd’oscillations harmoniques et, de plus, particulièrement pratique puisque les opérations ma-thématiques sur les exponentielles complexes sont généralement aisées.

32

La phase de la solution recherchée, qui est en général non nulle, n’est, par hypothèse, pascontenue dans l’exponentielle complese e jωt (il aurait fallu poser e j (ωt+φ), ce qui aurait alourdiinutilement les développements). Cette phase est implicitement contenue dans G(x) (c’est-à-dire ici dans A et B), fonction complexe pouvant toujours être mise sous la forme |G(x)|e jφ,comme on peut le constater lors du passage de la forme (2.17) à la forme (2.18) de l’expressionde g (x, t ).

Toutefois, il est clair que seule la partie réelle de la solution générale g (x, t ) n’a de sensphysiquement. Par conséquent, en pratique : dès lors qu’on adopte la méthode de Fourier (onparle de "notation complexe"), c’est-à-dire qu’on pose :

g (x, t ) =G(x)e jωt

(on devrait en toute rigueur écrire g (x, t ) =ℜ[G(x)e jωt

], avec ℜ la partie réelle, mais c’est

implicite)l’ensemble des calculs est conduit sur la base de quantités complexes, et les phases sont im-plicitement contenues dans la (ou les) fonction(s) G(x) , le retour à l’espace physique ne sefaisant qu’au final, en ne considérant que les parties réelles des solutions obtenues.

Dans le cas présent, la fonction réelle g (x, t ) s’écrit à partir de l’équation (2.18) :

g (x, t ) =ℜ [(2.18)]

soit g (x, t ) = |A|cos(ωt −kx +φA

)+|B |cos(ωt +kx +φB

)– La période temporelle T

Par définition, elle est telle que : ∀t , g (x, t ) = g (x, t +T )

Il vient immédiatement : ωT = 2π (car e j 2π = 1 ) soit :

T = 2π

ω= 1/ f (2.19)

– La période spatiale λ (ou longueur d’ondeElle est là encore définie par : ∀x, g (x +λ, t ) = g (x, t ) soit, compte tenu de (2.17) :

kλ= 2π d’où :

λ= 2π

k= c/ f (2.20)

en se rappelant que k = ω/c et que ω = 2π f . Notons qu’on retrouve bien le lien entrepériodicité spatiale (longueur d’onde) et temporelle (période) :

λ= c T (2.21)

2.4.3 Ondes sphériques en régime harmoniqueDans ce cas l’équation d’onde s’écrit :

∂2

∂r 2

[r g (r, t )

]− 1

c2

∂2

∂t 2

[r g (r, t )

] = 0 (2.22)

33

et la solution est à chercher sous la forme générale :

g (r, t ) = A

re j (ωt−kr ) + B

re j (ωt+kr ) (2.23)

On retrouve là encore la période T = 2π/ω. Il est à noter que l’amplitude g (r, t ) varie avecr mais il est bien sûr toujours possible de définir une pseudo-longueur d’onde telle que :λ= 2π/k.

En se replaçant volontairement dans le cas d’une onde sphérique se propageant unique-ment dans le sens des r croissants (cas de la propagation en champ libre, pas d’onde retour),la seule partie de la solution générale de g (r, t ) à conserver est celle en (r − ct ), ou encore ene j (ωt−kr ) car

e j (ωt−kr ) = e− jωc (r−ct ) ≡ f (r −ct )

ce qui revient à poser B ≡ 0.

Il vient alors, pour g (r, t ) :

g (r, t ) = A

re+ j (ωt−kr ) avec A complexe.

Considérons maintenant que g (r, t ) représente la pression acoustique p ′ (nous avons vuque g (r, t ) est susceptible de représenter toute quantité acoustique). Ainsi :

p ′(r, t ) = A

re j (ωt−kr ) + B

re j (ωt+kr ) (2.24)

soit encore, pour la pression réelle :

p ′(r, t ) = |A|r

cos(ωt −kr −φA)

Le calcul de la vitesse acoustique est immédiat, compte tenu de l’équation d’Euler linéari-sée :

∂u′

∂t=− 1

ρ0

∂p ′

∂r

qui s’écrit simplement, dans l’hypothèse du régime harmonique considéré ici, donc tel queg (r, t ) =G(r )e jωt ,

impliquant de fait 7 :∂

∂t

[g (r, t )

]= jω g (r, t ) ,

jωu′(r, t ) =− 1

ρ0

∂p ′

∂r

7. ceci implique également pour l’équation de conservation de la masse linéarisée :

∂ρ′

∂t+ρ0

∂u′i

∂xi= 0 <=> jωρ′+ρ0

∂u′i

∂xi= 0

34

soit :

u′(r, t ) = − A

jρ0ωr(− j k) e j (ωt−kr ) + A

jρ0ω

1

r 2e j (ωt−kr )

= − A

ρ0c

(1− j

kr

)e j (ωt−kr )

r= 1

ρ0c

(1− j

kr

)p ′(r, t )

On constate donc que p(r, t ) (soit encore |p(r, t )| ) décroît en 1/r (cf. équation (2.24)),alors que u′(r, t ) possède en plus une composante en quadrature avec la pression (en phaseavec le premier terme, facteur multiplicatif j sur ce second terme) qui décroit en 1/r 2.

On note donc que le rapport p ′/u′ , qui définit l’impédance :

p ′

u′ = ρ0c

(1

1− j /kr

)(2.25)

n’est plus égal à l’impédance caractéristique du milieu de propagation ρ0c . Toutefois, dès lorsque le terme en 1/r 2 dans u′ devient négligeable devant le terme en 1/r , c’est-à-dire dès que :

j

kr<< 1 soit kr >> 1 soit

2π

λr >> 1

ou encorer >>λ (2.26)

on retrouve p ′ = ρ0c u′ .

La relation (2.26) définit le champ lointain 8, où l’onde sphérique retrouve les même pro-priétés que l’onde plane.

A contrario, dans le champ proche, le champ de vitesse acoustique possède deux compo-santes, une en phase avec la pression, dont l’amplitude décroît en 1/r comme pour la pression,et l’autre en quadrature avec la pression et dont l’amplitude varie en 1/r 2. Nous en verrons lesconséquences dans un prochain chapitre.

8. En pratique, on admet que le champ lointain est atteint dès que r > 10λ . Il est à noter que cette valeur seuilde r dépend de λ et donc de la fréquence du phénomène.

35

36

Chapitre 3

Niveaux sonores et éléments d’analysespectrale

Sommaire3.1 Les niveaux acoustiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.1 Quelques généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.1.2 Le niveau d’intensité acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.1.3 Le niveau de pression acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.4 Le niveau de puissance acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.5 Intensités actives et réactives - Notions sur l’intensimétrie . . . . . . 45

3.2 Eléments d’analyse spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.1 La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.2.2 Le filtrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3 Les pondérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

37

38

Les deux chapitres précédents ont été consacrés à la description des aspects physiques dela propagation d’ondes linéaires, et à la modélisation de ceux-ci à l’aide des équations fonda-mentales de la dynamique des fluides. Ceci a notamment permis d’établir l’équation des ondesdécrivant la dynamique spatio-temporelle d’un champ acoustique, équation dont la résolutiona précisé la nature des fonctions mathématiques décrivant ce champ. Nons avons surtout puen déduire quelques-unes des propriétés fondamentales de la propagation. Avant d’appliquerces outils à l’étude de phénomènes acoustiques dans certaines situations particulières mais re-présentatives de nombreux problèmes concrets, ce qui sera fait au cours des chapitres à venir,nous nous proposons ici de commencer par introduire les quantités élémentaires caractéris-tiques d’un champ acoustique, à savoir son niveau et sa fréquence.

La notion de niveau acoustique renvoie immédiatement aux concepts d’amplitude et/ou depuissance du champ acoustique : "le bruit est fort !", "parlez moins fort !" Si ces deux der-nières interjections nous font penser qu’un bruit est "fort", car la force, c’est-à-dire la pressionacoustique s’exerçant sur une surface donnée a une amplitude élevée, nous verrons - même sile concept précédent est valide - que la définition rigoureuse d’un niveau acoustique est beau-coup plus subtile. Nous serons bien évidemment amenés à considérer la puissance du champacoustique et, dès lors qu’on rapporte cette puissance à l’unité de surface 1 où elle agit, à sonintensité telle qu’elle a été définie au premier chapitre. A ce titre, il est d’ailleurs à noter qu’onne devrait souvent pas dire "ce bruit est fort", mais "ce bruit est intense". Rappelons égalementque les musiciens parlent de l’intensité d’une note pour caractériser son niveau, ce en quoi ilsont parfois raison.

Pour ce qui est de la fréquence, autre quantité fondamentale pour caractériser un son, nousverrons comment un champ acoustique, qui consiste en des fluctuations temporelles de gran-deurs physiques, peut être retranscrit dans le domaine spectral. Cette opération s’effectue na-turellement selon les principes de la transformation de Fourier. Nous serons alors amenés àintroduire quelques outils de base de l’analyse spectrale, particulièrement utiles pour l’étudede problèmes concrets.

3.1 Les niveaux acoustiques

3.1.1 Quelques généralitésUn des problèmes majeurs pour la définition du niveau d’un champ acoustique est que la

valeur qu’on attribue à ce niveau doit être représentative de ce que nous percevons en tantqu’individu. Notre perception d’un événement est bien souvent "linéaire", aussi l’unité utiliséepour définir le niveau de cet événement est-elle souvent facile à appréhender. Par exemple, onapprécie facilement la différence entre un véhicule roulant à 100km/h et un autre roulant à200km/h : il y en a un qui va beaucoup plus vite que l’autre, et l’unité distance par rapport autemps (m/s) est bien adaptée à la perception que nous avons du phénomène. A contrario, ladynamique que nous avons de ce type d’événement, c’est-à-dire la gamme sur laquelle nouspouvons apprécier ce phénomène, est relativement limitée (tant qu’on se restreint à la méca-

1. Il ne faut pas perdre de vue que cette grandeur n’est évidemment que celle pouvant être perçue dès lors quela détection est ponctuelle, ce qui est notamment le cas de l’oreille, ou effectuée à l’aide d’un microphone.

39

nique classique !) En effet, s’il est aisé de constater qu’un véhicule roulant à 200km/h (soit≈ 60m/s) va vite, il nous sera très difficile de constater qu’un véhicule roulant à 1mm/s sedéplace effectivement, ou alors sur un temps d’observation extrêmement long.

La perception que l’on a d’un champ acoustique est tout autre. En effet, non seulement lacontribution de plusieurs champs acoustiques à la perception qu’on en a n’est pas additive (2voitures l’une à côté de l’autre ne font pas un bruit de niveau deux fois plus fort que celui d’uneseule voiture), mais la sensibilité de l’oreille est telle que la gamme d’amplitudes sur laquelleun champ acoustique peut être perçu est extrêmement large. Pour illustrer ce propos, on peutdonner quelques valeurs de la puissance acoustique émise par certains dispositifs :

Dispositif Puissance acoustique

• Montre µ w at t s

• Voix humaine quelques 10µ w at t s à quelques m w at t s

• Groupe musique pop quelques w at t s

• Avion à réaction quelques 10k w at t s

• Fusée quelques Még a w at t s

En gros, l’échelle est telle que le rapport des plus fortes puissances aux plus faibles est del’ordre de 1015. C’est une dynamique absolument remarquable.

Il est donc clair que le w at t , qui est et restera l’unité physique de la puissance d’un champacoustique, n’est pas adpatée à la représentation au quotidien de ce qui est perçu. C’est uneéchelle trop large qui renvoie des valeurs difficiles à apprécier et à comparer de manière li-néaire.

Pour couvrir une telle échelle, l’idée est de "comprimer" le domaine des valeurs qui serventà quantifier la grandeur physique considérée (ici la puissance acoustique). En acoustique,ceci est effectué à l’aide du logarithme décimal (noté log10), qui renvoie naturellement uneéchelle logarithmique 2. Le choix de cette échelle a notamment été fixé par le comportementde l’oreille humaine, qui a une sensibilité différentielle. Ceci s’exprime par la loi de Weber-Fechner :

La sensation varie comme le logarithme de l’excitationou encore :

La variation de sensation est indépedante de l’intensité et ne dépend que de la variationrelative de cette intensité.

Du point de vue mathématique, cette loi s’exprime de la façon suivante, si I est la grandeurphysique de la sensation S ressentie :

dS = kdI

I

soit S = k Ln

(I

I0

)soit encore S = K log10

(I

I0

)où I0 est une constante à déterminer.

2. donc telle que les ordres de grandeurs sont placés sur une échelle linéaire

40

L’unité associée à l’échelle logarithmiqe décimale 3 s’appelle le Bel (noté B), en hommageau physicien Graham Bell.

En pratique, cette unité est un peu grande, et on lui préfère le déci bel c’est-à-dire ledixième de Bel, noté dB . Le décibel a en outre l’avantage de représenter la plus petite variationde niveau qu’il est possible de déceler à l’oreille.

Notons enfin qu’un logarithme ne peut s’appliquer qu’à une quantité sans dimension.

3.1.2 Le niveau d’intensité acoustiqueNous avons montré au cours du premier chapitre que l’intensité acoustique n’est autre

qu’une puissance par unité de surface. C’est donc une quantité énergétique à même de carac-tériser la puissance. Par ailleurs, c’est une quantité extrêmement importante dès lors que ladétection ou la mesure du champ est ponctuelle, ce qui est le cas en acoustique (c’est la puis-sance au niveau de la surface de détection).

Le niveau d’intensité acoustique est défini par :

L I ]dB = 10 log10

(I

I0

)(3.1)

où I est la moyenne temporelle de I , avec I = I ·n = p ′ v ′ ·n , et I0 est l’intensité acoustique deréférence (parfois notée Ir e f ). Il est naturel de prendre pour intensité acoustique de référencecelle d’une onde plane progressive de pression p0 (définie plus loin), soit 2×10−5Pa. Commeon a, dans le cas de l’onde plane :

p ′ = ρ0c u′ , il vient pr e f = ρ0c ur e f

et comme l’intensité acoustique est définie par le produit p ′u′ = I , on a :

Ir e f =p2

r e f

ρ0c

Après calcul, on obtient approximativement : I0 = Ir e f = 10−12W /m2

Notons que si on considère une surface de référence de 1m2, la puissance de références’écrit : P0 =Pr e f = 10−12W .

Il faut bien prendre conscience que le niveau d’intensité est en général différent de celui depression. On verra en effet que le niveau de pression renvoie à une force par unité de surface,alors que le niveau d’intensité renvoie à une puissance par unité de surface. Le lien entre cesdeux grandeurs se fait par l’intermédiaire de la vitesse acoustique. Il suffit pour s’en convaincred’examiner le cas d’une onde se réfléchissant sur une paroi parfaitement immobile : l’ondeexerce sur la paroi des fluctuations de pression acoustiques (un microphone placé en paroimesurera effectivement des fluctuations de pression). Toutefois, la paroi étant parfaitement

3. Si la compression de l’échelle est effectuée à l’aide d’un logarithme népérien, la sensation (le niveau perçu)s’exprime en néper s.

41

immobile, sa vitesse est nulle et, par conséquent, l’intensité également : il n’y a effectivementaucune énergie acoustique traversant cette paroi rigide 4.

Ce n’est que dans le cas particulier de l’onde plane progressive ou, comme il sera vu plusloin, de l’onde sphérique en champ libre, que :

p = ρ0c u , d’où I = p2

ρ0cet donc L I = Lp .

3.1.3 Le niveau de pression acoustiqueComme l’oreille et les microphones sont sensibles à la pression acoustique, il est essentiel

de définir le niveau de pression acoustique (S.P.L. : Sound Pressure Level en anglais). Celui-cis’exprime par L (Level en anglais), en décibels (dB)

L]dB = 10 log10

(p2

e f f

p20

)= 20 log10

(pe f f

p0

)(3.2)

pe f f est la pression efficace (valeur RMS, Root Mean Square en anglais). On a (cf. an-nexe) :

pe f f =√

p2 soit encore p2e f f = p2

où la notation g désigne la valeur moyenne temporelle de la grandeur g .

p0 est la pression acoustique de référence (parfois notée pr e f ). Elle correspond à peu prèsau seuil d’audition d’un son à la fréquence de 1 kH z, et vaut :

p0 = pr e f = 2×10−5Pa

3.1.4 Le niveau de puissance acoustiqueSi l’oreille ou encore un microphone sont effectivement sensibles à la pression acoustique,

la pression n’est en rien représentative de l’énergie ou de la puissance d’un champ acoustique,ou délivrée par une source sonore. La puissance est une grandeur énergétique, conservative, etdonc représentative d’un champ acoustique d’un système donné. Il est nécessaire d’y porter unintérêt particulier.

Le niveau de puissance est donné par :

LP ]dB = 10 log10

(P

P0

)(3.3)

où P est la moyenne temporelle de P , avec P =Ï

ΣI · n dσ

4. Si on pousse, même fort, une voiture qui reste immobile, on ne délivre pas de puissance

42

soit encore : P =Ï

ΣI · n dσ avec I = p ′v ′ .

P0 est la puissance acoustique de référence (elle est parfois notée Pr e f ). Elle correspond àl’intensité de référence intégrée sur une surface de 1m2 soit :

P0 =Pr e f = 10−12W

Il est à noter que la lettre W est parfois utilisée pour désigner la puissance P

Le cas de l’onde sphérique

Comme nous l’avons vu précédemment, l’onde sphérique est caractérisée par le fait quepression et vitesse acoustiques n’évoluent pas en phase dans la zone proche de l’origine dela propagation (champ proche). Nous avons vu en particulier que, dans cette zone, pressionet vitesse ne sont plus liées directement par l’impédance caractéristique ρ0c. Il est importantd’examiner quelles en sont les conséquences pour la détermination des niveaux acoustiques.

– Dans le champ lointain

Comme nous l’avons vu en fin de chapitre précédent, p ′(r, t ) et u′(r, t ) sont liées par larelation :

u′(r, t ) = 1

ρ0c

(1− j

kr

)p ′(r, t ) (3.4)

Dans le champ lointain, donc tel que kr >> 1, l’équation (3.4) se réduit à :

u′(r, t ) = 1

ρ0cp ′(r, t )

indiquant de fait que : p ′(r, t ) = ρ0c u′(r, t )

et donc que pression et vitesse évoluent parfaitement en phase, et que le rapport p ′/u′

est bien égal à l’impédance caractéristique du milieu.On retrouve ainsi les caractéristiques de l’onde plane progressive, et, pour l’intensitéacoustique instantanée :

I (r, t ) = p ′(r, t ) u′(r, t ) = 1

ρ0cp ′2(r, t )

soit, pour l’intensité acoustique moyenne

I (r ) =p2

e f f

ρ0c

Ceci implique naturellement qu’en un point donné r du champ lointaint on a : L I = Lp .

– Dans le champ proche

43

Les choses sont un peu plus subtiles dans le champ proche, où le terme en − j

krde

l’expression (3.4) ne peut plus être négligé.De façon à examiner ce qui se passe dans le champ proche, on peut, sans perte de gé-néralité, se placer dans le cas où la pression acoustique est purement réelle. On peut ladéfinir telle que :

p ′(r, t ) = A

rcos(ωt − kr )

La vitesse acoustique s’obtient aisément à partir de l’équation d’Euler linéarisée :

ρ0∂u′

∂t=−∂p ′

∂r

d’où∂u′

∂t=− 1

ρ0

[Ak

rsin(ωt − kr )− A

r 2cos(ωt − kr )

]soit, en intégrant par rapport au temps :

u′(r, t ) =∫

∂u′

∂tdt = 1

ρ0c

A

r

[cos(ωt − kr )− 1

krsin(ωt − kr )

]On retrouve bien le fait que la vitesse acoustique possède un terme en phase avec la pres-sion (le terme en cos) et un terme en quadrature avec la pression (le terme en sin), quidécroît d’ailleurs en 1/r par rapport à celui-ci : c’est naturellement le terme de champproche, qui devient négligeable dès que kr >> r .

L’intensité acoustique se définit bien sûr toujours à partir du produit pression - vitesse,soit, pour sa valeur instantanée :

I (r, t ) = 1

ρ0c

A2

r 2

[cos2(ωt − kr )+ 1

krsin(ωt − kr )cos(ωt − kr )

]soit encore

I (r, t ) = 1

ρ0c

A2

2r 2

[1+cos(2(ωt − kr ))+ 1

krsin(2(ωt − kr ))

](3.5)

indiquant que l’intensité acoustique instantanée fluctue dans le temps à la pulsation 2ω(c’est le produit de deux grandeurs fluctuant à la pulsation ω), et que le terme de champ

proche, qui varie en1

kr(terme en sin) est en quadrature avec le terme de champ lointain

(terme en 1+cos).Toutefois, il est à noter que l’intensité acoustique moyenne s’écrit encore :

I (r ) = 1

ρ0c

A2

2r 2car cos(2(ωt − kr )) = 0 et sin(2(ωt − kr )) = 0

d’où I (r ) = 1

ρ0cp2

e f f (r ) puisque p2e f f (r ) = A2

2r 2ici,

et on retrouve donc L I = Lp .

44

Les niveaux de pression et d’intensité acoustiques restent donc toujours égaux pour uneonde sphérique en champ libre.

Il est par ailleurs important de remarquer ici que la moyenne temporelle de la partie de

l’intensité acoustique associée au champ proche (terme en1

krsin(ωt − kr )cos(ωt − kr ) )

est nulle. Cela traduit le fait qu’en moyenne (c’est-à-dire sur une période pour un régimed’oscillations harmoniques), la partie de l’énergie acoustique qui lui est associée ne se propagepas vers le champ lointain, et ne contribue donc pas à la puissance acoustique émise.

A contrario, l’intensité acoustique instantanée possède une composante continue, indépen-

dante du temps (cf. équation (3.5) : terme en1

ρ0c

A2

2r 2associé aux contributions des pressions

et vitesses en phase), exprimant la part d’intensité contenant l’énergie acoustique effectivementpropagée : cette part de l’intensité acoustique, indépendant du temps, est qualifiée d’intensitéactive. Par opposition, la part d’intensité acoustique oscillant dans le temps est qualifiée d’in-tensité réactive.

3.1.5 Intensités actives et réactives - Notions sur l’intensimétrieLe cas particulier précédent a permis d’introduire les notions d’intensités acoustiques ac-

tive et réactive. Nous allons maintenant généraliser ces deux notions, et donc examiner com-ment, dans le cas général d’un champ acoustique, caractérisé notamment par l’existence d’ondesincidentes mais également d’ondes réfléchies, on peut distinguer la partie du champ qui cor-respond effectivement à la propagation d’énergie acoustique de celle pour laquelle il n’y a paspropagation d’énergie.

Ceci a naturellement des conséquences pour la détermination de la puissance acoustiquetraversant effectivement une surface donnée, ce qui est le cas dès lors qu’on cherche à détermi-ner la puissance acoustique d’une source localisée. Nous introduirons alors quelques notionssur l’intensimétrie acoustique.

a) Intensités acoustiques active et réactive

Plaçons-nous dans le cas général d’un champ acoustique quelconque, notamment tel que lerapport entre pression et vitesse acoustiques n’est pas égal à l’impédance caractéristique ρ0cdu milieu de propagation (réflexions, champ acoustique parasite, ...). Le champ acoustique estcaractérisé par ses champs de pression et de vitesse, qui s’écrivent, en adoptant la notationcomplexe :

p ′(x, t ) =ℜ[

P (x) e jωt]

; v ′(x, t ) =ℜ[U (x) e jωt

]où P (x) et U (x) sont des fonctions complexes de l’espace, indiquant que, dans ce cas général,pression et vitesse ne sont pas nécessairement en phase.

L’intensité acosutique est bien sûr donnée par la relation :

I (x, t ) = p ′(x, t ).v ′(x, t ) =ℜ[

P (x) e jωt]

.ℜ[U (x) e jωt

]

45

soit encore :

I (x, t ) = P (x) e jωt +P∗(x) e− jωt

2.U (x) e jωt +U∗(x) e− jωt

2où ∗ désigne le complexe conjugué. Ceci conduit à :

I (x, t ) = 1

4

[P (x) U (x) e2 jωt +P∗(x) U∗(x) e−2 jωt +P∗(x) U (x) +P (x)U∗(x)

]soit finalement

I (x, t ) = 1

2ℜ[

P (x)U∗(x)]+ 1

2ℜ

[P (x)U (x) e2 jωt

](3.6)

Le premier terme de l’expression de l’intensité acoustique est indépendant du temps : c’estl’intensité active. Le second terme est quant à lui dépendant du temps, et correspond à uneoscillation à la pulsation 2ω : c’est l’intensité réactive. Il est à noter que la moyenne tempo-relle de cette composante de l’intensité est nulle, et que la moyenne temporelle de l’intensitéacoustique, c’est-à-dire l’intensité acoustique moyenne I (x) se réduit à l’intensité acoustiqueactive :

I (x) = 1

2ℜ[

P (x)U∗(x)]

b) Puissance acoustique d’une source

La puissance d’un champ acoustique, et notamment la puissance acoustique délivrée parune source, est théoriquement déterminée à partir de l’intégration sur une surface fictive en-tourant ce champ (ou la source) du vecteur intensité acoustique projeté sur la normale à cettesurface (I et n ne sont pas forcément colinéaires).

P =Ï

σI · n dσ

le niveau de puissance acoustique étant lui obtenu à partir de la moyenne temporelle P de lapuissance acoustique instantanée :

LP ]dB = 10 log10

(P

P0

)

46

En théorie, il faudrait donc connaître l’intensité acoustique en tout point de la surface fictived’intégration pour calculer la puissance d’une source. En pratique, l’obtention d’une puissances’effectue à partir de la discrétisation de l’intégrale surfacique précédente, en mesurant l’inten-sité en un point d’un nombre fini de surfaces élémentaires dont la somme est égale à la surfaced’intégration : En désignant par Ini la valeur moyenne de l’intensité acoustique normale (c’est-à-dire suivant n, mesurée en un point i , représentatif de l’intensité acoustique sur la surfaceélémentaire ∆Si , il vient :

P =n∑

i=1Ini ∆Si

ce qui s’écrit encore, si on fait en sorte que tous les ∆Si soient équivalents (∆Si =∆S) :

P = ∆Sn∑

i=1Ini

– Cas particulier du champ isotrope et libre

Dans le cas particulier d’un champ acoustique sphérique, parfaitement isotrope, il estpossible de déterminer rigoureusement la puissance acoustique à partir de l’intégralesurfacique de l’intensité.En effet, comme dans ce cas le champ d’intensité acoustique est parfaitement isotrope etle vecteur intensité acoustique uniquement porté par r (coordonnée radiale), il est naturelde choisir comme surface fictive d’intégration celle d’une sphère centrée sur l’origine Odu repère.

Par construction, la normale n de cette sphère est colinéaire à r , aussi on a :

I (r, t ) = I (r, t )r d’où I (r, t ) · n = I (r, t ) .

Comme I (r, t ) est isotrope, sa valeur est identique en tout point de la surface d’intégra-tion. Il vient pour la puissance acoustique instantanée :

P (r, t ) =Ï

σI · n dσ=

Ïσ

I (r, t ) dσ= S(r )I (r, t )

où S(r ) est l’aire de la sphère d’intégration et vaut S(r ) = 4πr 2. Par ailleurs, comme nousavons montré que l’intensité acoustique moyenne I (r ) s’exprime par :

I (r ) = 1

ρ0cp2

e f f (r )

47

on obtient directement :

P = 4πr 2

ρ0cp2

e f f (r ) (3.7)

où il est à noter que P est indépendant de r puisque nous avons montré que :

p2e f f (r ) = A2

2r 2avec A constante,

d’où

P = 4πr 2

ρ0c.

A2

2r 2= 2πA2

ρ0c= cte .

ce qui est naturel puisque nous avons éliminé par hypothèse tout phénomène dissipa-tif, impliquant la conservation de l’énergie, résultat que nous aurions d’ailleurs retrouvéquelle que soit la surface d’intégration.

Le résultat de la relation (3.7) est tout à fait intéressant car il permet en pratique de dé-terminer la puissance acoustique moyenne d’une source acoustique, et donc le niveaude puissance acoustique de cette source, à partir de la simple mesure de la pression ef-ficace en un point localisé à une distance r de celle-ci. Toutefois, l’application de larelation (3.7) est très limitée en pratique : elle sous-entend un rayonnement acoustiquetout d’abord isotrope (on dit aussi omnidirectionnel) et, surtout, en champ libre.

– Cas pratiques

Si la première condition n’est en fait pas véritablement pénalisante (il suffit de recou-rir à une discrétisation de la surface d’intégration), la seconde l’est beaucoup plus carreproduire des conditions de champ libre est extrêmement délicat. Ceci ne peut être ef-fectué qu’en chambre anéchoïque (chambre sourde), équipement bien souvent inacces-sible en pratique. Il faut en effet bien prendre conscience que dès lors que la conditionde champ libre n’est pas respectée, la pression acoustique mesurée en un point par unmicrophone n’est normalement pas la pression de l’onde acoustique émise par la sourcedont on veut déterminer la puissance. La pression mesurée est la somme de la pressiondu champ acoustique rayonné par la source, à laquelle s’additionnent les pressions detous les autres champs acoustiques issus des multiples réflexions du champ initial, etconsécutives au non-respect de la condition de champ libre.Il est donc clair, dans ces conditions, que la pression acoustique mesurée en un pointn’est en rien représentative de celle de l’onde acoustique émise par la source, et, a for-tiori, de l’intensité acoustique du champ rayonné par cette source (les relations p = ρ0c u

et I = p2

ρ0cne sont plus valables, et L I = Lp).

c) Notions sur l’intensimétrie acoustique

Si la pression acoustique (et donc le niveau de pression acoustique) est effectivement ce àquoi nous sommes sensibles (et donc le niveau de pression représentatif de la gêne ressentie),

48

ce qui justifie complètement qu’on cherche à la calculer ou à la mesurer, nous venons de voirque la détermination ou la mesure de cette grandeur ne suffisent généralement pas (sauf cas trèsparticulier, à savoir : champ acoustique purement progressif, c’est-à-dire en champ lointain eten l’absence de réflexion, de source parasite...) à la détermination de la puissance acoustiqued’une source, ou, de façon plus générale, de l’énergie acoustique propagée. Ceci nécessite ladétermination ou la mesure de l’intensité acoustique.

Du point de vue de la mesure, ceci est assez délicat. Rappelons tout d’abord la définitionde l’intensité acoustique. Elle s’écrit :

I = p ′v ′

Sa mesure exige donc la mesure simultanéee de la pression de de la vitesse acoustiques instan-tanées. Or, si la mesure de la pression acoustique ne pose en pratique pas de réels problèmes(les microphones acoustiques étant aujourd’hui extrêmement fiables et précis, à condition tou-tefois d’être correctement étalonnés !), la mesure de la vitesse acoustique reste encore à l’heureactuelle extrêmement délicate.

Le principe de base des intensimètres actuels repose donc sur la mesure simultanée de lapression acoustique en deux points de l’espace très faiblement espacés, ce qui donne accès àune composante de la vitesse acoustique.

Supposons en effet qu’on veuille déterminer la composante Ix selon la direction x du vec-teur intensité acoustique Ix = I · x). Il nous faut pour cela déterminer la composante u′ selon xde la vitesse acoustique v ′ (avec u′ = v ′ · x).

Pression et vitesse acoustiques sont liées par l’équation d’Euler linéarisée, qui s’écrit, enprojection sur x :

ρ0∂u′

∂t=−∂p ′

∂xsoit encore, en supposant un régime d’oscillations harmoniques de pulsation ω :

jω ρ0 u′ =−∂p ′

∂x

(ceci sous-entend que p ′ et u′ sont ici des fonctions complexes), ce qui conduit immédiatementà :

u′ =− j

ρ0ω

∂p ′

∂x(3.8)

Deux microphones sont donc placés respectivement en x1 et x2 de sorte que la distance∆x = x2−x1 soit très faible (relativement à la longueur d’onde : ∆x <<λ), et mesurent respec-tivement les pressions p1 et p2. Le gradient de pression de la relation (3.8) est alors approchépar :

∂p ′

∂x≈ p2 −p1

x2 −x1= p2 −p1

∆x

Il vient donc : u′ = j

ρ0ω(p2 −p1) .

49

Par ailleurs, la pression acoustique p ′ qui règne sur l’intervalle ∆x (par exemple au centrede celui-ci) est correctement approchée par la moyenne des pressions qui règnent en x1 et x2 :

p ′ ≈ 1

2(p1 +p2)

Il vient immédiatement, pour la composante Ix de l’intensité acoustique :

Ix = I · x = p ′v ′ · x = p ′u′

Ix = 1

2

j

ρ0ω ∆x(p1 +p2)(p2 −p1)

soit, pour la valeur moyenne Ix de l’intensité acoustique, compte-tenu de ce que nous avonsdit précédemment :

Ix = 1

2ℜ[

p ′u′∗]Ix = 1

4ρ0ω ∆xℜ[

j (p1 +p2)(p∗2 −p∗

1 )]

soit encore, après quelques lignes de calcul :

Ix = 1

2ρ0ω ∆xℑ[

p1 p∗2

](3.9)

où ℑ désigne la partie imaginaire.

En pratique, la détermination de la partie imaginaire du produit entre les deux pressionscomplexes p1 et p∗

2 utilise les outils de traitement du signal (interspectre des signaux p1(t )et p2(t ). Par ailleurs, si cette technique d’intensimétrie est maintenant très répandue et per-formante, elle souffre de certaines limitations : nécessité d’avoir des microphones appariés(même réponse en amplitude et en phase), difficulté à décrire les hautes fréquences (car alorsla longueur d’onde est faible et on a du mal à respecter ∆x << λ), contamination du champacoustique par la sonde elle-même (notamment pour les hautes fréquences qui sont plus su-jettes à la diffraction par un élément étranger)...

50

3.2 Eléments d’analyse spectraleComme nous l’avons évoqué au début du chapitre, la seconde information fondamentale

caractéristique d’un son concerne sa fréquence. En effet, notre oreille est - en général - extrê-mement sensible à cette grandeur, aussi la seule description d’un champ sonore à partir de sonniveau, telle que présentée au long des paragraphes précédents, ne suffit pas. Nous sommesainsi amenés à analyser le contenu spectral d’un son, c’est-à-dire à examiner l’ensemble desfréquences qui le composent.

3.2.1 La transformée de FourierUn champ acoustique est caractérisé par un certain nombre de grandeurs physiques (par

exemple et notamment la pression, qui attire généralement toute notre attention puisque c’estla grandeur à laquelle nous sommes sensibles, et qui, de plus, est celle dont la mesure est la pluscourante) qui fluctuent dans le temps. L’analyse spectrale consiste à fournir une représenta-tion de ces fluctuations temporelles, par transformation, dans un autre domaine qu’on qualifiede spectral ou fréquentiel ou encore de Fourier. La représentation ainsi obtenue s’appelle unspectre 5.

En acoustique, la transformation communément utilisée est celle de Fourier, qui a l’avan-tage indéniable de fournir une représentation spectrale d’un signal temporel en termes defréquences qui composent ce signal, c’est-à-dire en décomposant ce signal temporel en unesomme de fluctuations élémentaires par unité de temps.

Ce concept est facile à appréhender tant que le signal qui nous intéresse est périodique.Celui-ci est aisément décomposable en une somme discrète de fluctuations temporelles dontles périodes sont des fractions entières de la période du signal :

La représentation spectrale de ce signal temporel renvoie donc un nombre fini de fré-quences (inverse de la période de chacune des fluctuations temporelles discrètes) caractériséespar une amplitude et une phase.

5. Il est à noter qu’un spectre - qui porte ainsi bien son nom - n’a pas d’existence physique : ce n’est qu’unereprésentation d’un phénomène physique variable dans le temps, qui, lui seul, est réel.

51

On a écrit :S(t ) =∑

nSn(t ) =∑

nAn cos(ωn t +φn)

C’est la série de Fourier. Dans ce cas de signal périodique, on parle de spectre de raies.

Dans le cas général, les signaux ne sont pas périodiques. Un signal non périodique esttoutefois équivalent à un signal périodique dont la période tendrait vers l’infini, et donc dont lapremière fréquence 6 tendrait vers zéro. ( f = 1/T → 0). Le spectre de raies devient un spectrecontinu (la période de ce signal tendant vers l’infini, la fréquence associée tend vers zéro :toutes les autres fréquences sont des multiples de celle-ci). La représentation spectrale devient :

C’est la Transformée de Fourier, qui s’écrit :

s(t ) =∫ +∞

−∞F ( f ) e2π j f t d f = 1

2π

∫ +∞

−∞F (ω) e jωt dω (3.10)

Inversement :F ( f ) =

∫ +∞

−∞s(t ) e−2π j f t d f =

∫ +∞

−∞s(t ) e− jωt dω (3.11)

où F ( f ) est une fonction complexe. Le spectre est, par définition, le carré du module de cettefonction. Il est donc réel, et on a :

S( f ) = |F ( f )|2 = F ( f ) F∗( f ) (3.12)

Il est très important de noter que la transformation de Fourier conserve toute l’informationcontenue dans s(t ) puisque le signal peut être reconstitué à partir de F ( f ) qui est complexe,

6. la fréquence fondamentale, c’est-à-dire la fréquence f1 du spectre de raies précédentes.

52

et qui contient donc implicitement un module et une phase. En revanche, de l’informationest perdue dès lors qu’on calcule un spectre, puisqu’on renvoie une valeur réelle, ne pouvantrestituer qu’une seule information.

Le spectre est cependant lié à la valeur efficace du signal. En effet, en vertu du Théorèmede Parseval, on a :

s2e f f = s2 =

∫ +∞

−∞S( f )d f (3.13)

Par ailleurs, comme s2 a la dimension du carré du signal, c’est-à-dire une puissance, S( f ) estproportionnelle à une puissance multipliée par un temps, c’est-à-dire une énergie. S( f ) estdonc la densité spectrale de puissance (en Watt/Hertz).

3.2.2 Le filtrageLa transformée de Fourier est un outil extrêmement puissant qui permet de fournir la repré-

sentation fréquentielle d’un signal temporel, dont l’analyse et l’interprétation qui en découlesont de fait rendues beaucoup plus simples. Pour aller plus loin dans l’analyse du contenufréquentiel d’un signal, on a l’habitude d’utiliser des filtres qui permettent d’isoler des fré-quences ou des bandes de fréquences particulières du signal, et donc d’isoler telle ou tellecaractéristique du phénomène physique étudié.

Les filtres sont généralement de deux types : les filtres à largeur de bande constante et ceuxà largeur de bande relative constante.

Filtre et analyse à largeur de bande constante

Le filtre d’analyse a une largeur ∆ f = fH − fB indépendant de la fréquence centrale fc quiest telle que :

fc = fH + fB

2

En général, les largeurs de bande d’analyse ∆ f sont de :∆ f = 3,16H z (car ≈p

10H z) ; 10H z ; 31,6H z ; 100H z ; ...

53

bien que les appareils modernes disposent d’autres choix.

Il est à noter que ces analyses à ∆ f constante sont indispensables pour étudier finement cer-tains phénomènes physiques, surtout dès lors qu’ils contiennent des raies. Toutefois, l’étuded’un phénomène sur toute la gamme de fréquence d’intérêt, c’est-à-dire normalement de 20H zà 20kH z, peut s’avérer extrêmement longue et fastidieuse si on utilise un filtre à ∆ f constante,et petite de surcroît. De plus, l’énergie acoustique dans les fréquences élevées est généra-lement faible au regard de celle contenue en basse fréquence, justifiant par là même le faitqu’on cherche à utiliser un filtre dont la largeur d’analyse augmente avec la fréquence. Saufcas contraire (raie à très haute fréquence par exemple), ceci se révèle largement suffisant enpratique.

Filtre et analyse à largeur de bande relative constante

Le principe de ces filtres est que la largeur d’analyse, telle que ∆ f = fH − fB , n’est pas uneconstante mais augmente avec la fréquence, en posant :

fH = k fB (k > 1)

Il est alors logique de tracer les spectres à l’aide d’une échelle logarithmique, dont l’abscisseest proportionnelle à x tel que x = log( f ).

Le choix de la fréquence centrale fc de la bande d’analyse ne se fait plus par moyennearithmétique de fB et fH mais de façon à ce qu’elle représente graphiquement la moyenneentre xB et xH , c’est-à-dire telle que :

xc = xB −xH

2

ce qui implique pour fc : log fc = 1

2(log fB + log fH ) = log

√fB fH

d’où fc =√

fB fH

Il vient donc :

fc =√

fB fH =√

fB k fB = fB

pk

∆ f = fH − fB = fB (k −1) = fck −1p

k

On note bien que la largeur de la bande d’analyse augmente avec la fréquence centrale dela bande.

• Analyse par octave

Dans ce cas, fH = 2 fB d’où k = 2.

54

En pratique, les bandes d’octaves sont normalisées de telle sorte qu’une d’entre elle soitcentrée sur la fréquence 1kH z. On obtient les fréquences centrales des dix octaves cou-vrant le spectre d’analyse (d’environ 20H z à environ 20kH z) :

fc (H z) = 31,5 ; 63 ; 125 ; 250 ; 500 ; 1000 ; 2000 ; 4000 ; 8000 ; 16000

• Analyse par tiers d’octave

Il y a trois tiers d’octave par octave. La largeur xH −xB d’un tiers d’octave compris entrefB et fH doit être le tiers de celle de l’octave s’étendant de fB à 2 fB soit :

xH −xB = log fH − log fB = 1

3

(log(2 fB )− log( fB )

)ce qui implique :

fH

fB= 21/3 soit k = 21/3

En pratique, les bandes 1/3 d’octave sont normalisées de telle sorte qu’une d’entre ellessoit centrée à 1kH z, ce qui définit complètement toutes les bandes 1/3 d’octave (cf.tableau).

Comparaison des types d’analyse

Comme nous l’avons vu plus haut, il est clair que les analyses en bandes d’octave sontbeaucoup plus grossières que celles en tiers d’octave, elles-mêmes moins précises que lesanalyses en bande étroite. Ceci est illustré par le spectre ci-dessous, qui restitue les analysesen bandes d’octave, de tiers d’octave, et à largeur constante du spectre acoustique rayonné parune source (NB : l’échelle des fréquences est logarithmique).

Comme on le constate, l’analyse par octave indique simplement que le niveau est élevé auxenvirons de 1000H z. L’analyse par 1/3 d’octave est déjà beaucoup plus précise puisqu’elleindique des niveaux imprtants dans les bandes centrées à 250H z et 2000H z pouvant éventuel-lement correspondre à des raies acoustiques. On constate que seule l’analyse en bande étroiterenseigne véritablement sur la structure du spectre. Il est donc clair que l’analyse physique dubruit rayonné par une source, et donc l’identification précise des mécanismes générateurs de

55

bruit exigent généralement une analyse en bandes étroites. Toutefois, il apparaît qu’en pratique,pour les applications industrielles, l’analyse en bandes de tiers d’octave est très suffisante etbien représentative de la gêne ressentie. C’est celle qui est la plus répandue.

3.3 Les pondérationsDes études physiologiques comparatives indiquent que l’oreille est moins sensible aux

fréquences basses et aux fréquences élevées comparativement à celles situées dans la bandede 500 à 5000H z. Fletcher et Manson ont notamment tracé, à la suite de nombreux tests surdes individus (jeunes et en bonne santé) les courbes d’égal niveau sonore. Ils ont à cet effetintroduit une nouvelle unité, le phone, pour représenter la différence de sensation de l’oreilleaux différentes fréquences.

De façon à tenir compte de ces différences de sensibilité de l’oreille aux différentes fré-quences, et en particulier du fait que l’oreille est moins sensible aux basses fréquences etaux fréquences élevées comparativement aux fréquences moyennes, on a introduit des pon-dérations spectrales qui, appliquées aux spectres mesurés (correspondant à la vraie grandeurphysique), renvoient une valeur plus représentative du niveau perçu/ressenti.

Appliquer une pondération consiste donc à soustraire 7 un certain nombre de dB à la va-leur mesurée (donc la quantité physique) selon la fréquence (voir courbes jointes). Comme lasensibilité fréquentielle de l’oreille varie également avec le niveau, on a introduit trois pondé-rations :

• La pondération A, qui renvoie des niveaux acoustiques notés dB A, pour une gamme deniveaux sonores de 60−65dB à 1kH z,

• La pondération B, niveaux notés dBB , pour une gamme de niveaux à 1kH z comprisentre 65 et 85dB environ,

• La pondération C (dBC ), pour des niveaux supérieurs à 85dB .

La pondération D (dBD) est quant à elle réservée à la mesure du bruit des avions.

Notons qu’en pratique on n’utilise presque plus que la pondération A.

Par ailleurs, pour éviter toute ambigüité, les niveaux sont souvent qualifiés de linéaires(notés dBl i n) dès lors qu’aucune pondération n’est appliquée. Rappelons que seuls ces niveauxlinéaires (dBl i n) sont représentatifs de la grandeur physique mesurée.

7. éventuellement ajouter, bien que ce soit beaucoup plus rare...

56

Annexe Rappels sur les notions de valeurs crètes, moyennes, quadratiques moyennes, effi-caces

Soit a(t ) un signal périodique de période T ( a(t +T ) = a(t ) ).

• Valeur crète (ou amplitude crète) : valeur maxi de a(t )

• valeur moyenne (ou amplitude moyenne) :

a = 1

T

∫ t+T

ta(t )dt

• valeur quadratique moyenne :

a2 = 1

T

∫ t+T

ta2(t )dt

• valeur efficace (ou RMS) :

aeff =√

a2 =√

1

T

∫ t+T

ta2(t )dt

• Ecart type :

σ=√

1

T

∫ t+T

t(a(t )− a)2dt

Remarque : Si a = 0 alors aeff =σ .

57

58

Chapitre 4

Réflexion et transmission aux interfaces -impédance de paroi

Sommaire4.1 Reflexion et transmission à l’interface de deux milieux . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Situation générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2 Conditions à l’interface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.1.3 Quelques conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.1.4 Réflexion et transmission en incidence normale . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Impédance acoustique de paroi - Réflexion et absorption . . . . . . . . . 704.2.1 Impédance acoustique de paroi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.2.2 Coefficient de réflexion et impédance de paroi . . . . . . . . . . . . . 724.2.3 Coefficient d’absorption et impédance de paroi . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Transmission à travers les parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3.1 Réflexion et transmission à travers 2 interfaces séparant 3 milieux . 754.3.2 Loi de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

59

60

Les chapitres 1 et 2 nous ont permis d’introduire les caractéristiques générales d’un champacoustique, et les formalismes mathématiques qui y sont associés. Nous avons toutefois impli-citement supposé au cours de ces chapitres que le milieu de propagation était infini.

En pratique, la propagation s’effectue dans des conditions où existent presque toujoursdes parois. Les ondes acoustiques impactent sur ces parois, de telle sorte qu’une part de leurénergie se voit réfléchie dans le milieu de propagation initial, l’autre partie étant transmisedans le matériau constituant la paroi elle-même. Les paragraphes qui suivent sont consacrés àl’examen de ces conditions de réflexion et de transmission.

Notons également que des points de vue de la modélisation physique et de l’analyse mathé-matique qui en découle, ces conditions de réflexion/transmission aux parois d’un domaine depropagation sont autant de conditions aux limites nécessaires à la détermination complète dessolutions. Indiquons enfin que nous serons ainsi amenés à introduire la notion d’impédanceacoustique de paroi, quantité fondamentale pour l’étude des caractéristiques générales d’unchamp acoustique.

4.1 Reflexion et transmission à l’interface de deux milieuxOn aborde ici l’étude des phénomènes de transmission et de réflexion d’une onde acous-

tique en examinant les conditions de réflexion et de transmission d’une onde acoustique planeincidente venant impacter une interface sans masse entre deux milieux de propagation. Unepartie de l’onde incidente est ainsi réfléchie et se propage à nouveau dans le milieu initialmais dans une direction différente de celle de l’onde incidente, alors qu’une partie de l’énergieacoustique incidente est transmise dans le second milieu et se propage dans celui-ci (cf figure).

4.1.1 Situation générale

Le milieu de propagation de l’onde incidente (milieu 1⃝, qui est également le milieu depropagation de l’onde réfléchie) est de masse volumique ρ1, et la vitesse du son y est égale àc1. Le milieu de propagation de l’onde transmise (milieu 2⃝) a une masse volumique ρ2 et lavitesse du son y est égale à c2.

61

On cherche à examiner ici les caractéristiques des champs réfléchi et transmis en fonctionde celles du champ incident et des propriétés physiques du milieu de propagation (ρ1, c1, ρ2, c2).Il s’agit en particulier de déterminer les amplitudes (les énergies) et les directions de propaga-tion (θr ,θt ) en fonction de l’amplitude et de la direction θi du champ incident, sans omettrebien sûr quelle peut-être l’éventuelle influence de la fréquence. Rappelons que nous disposonspour cela des équations de conservation de la dynamique des fluides, à savoir les équations deconservation de la masse et de la quantité de mouvement sour leurs formes linéarisées et enl’absence de viscosité, compte-tenu du cadre général que nous nous sommes fixé ici.

Quelques définitions préliminaires

On utilise ici la notation complexe. Chaque onde (incidente, réfléchie, transmise) peut êtredéfinie en termes de la pression acoustique qui y est associée et qui s’écrit, en un point quel-conque M de l’espace et compte tenu de sa propagation dans une direction e (le milieu depropagation est supposé 2D) :

p(M , t ) = Pe j (ωt−k·−−→OM) (4.1)

où P est l’amplitude complexe de l’onde,ω est la pulsation,

k est le vecteur d’onde égal à ke = kx x +ky y soit k =√

k2x +k2

y−−→OM s’écrit xx + y y

On a donc :

• pour l’onde incidente :

pi (M , t ) = Pi e j (ωt−ki ·−−→OM)

avec ki = k1ei et k1 =ω/c1

d’où ki ·−−→OM = k1ei ·−−→OM = k1(cosθi x + sinθi y) · (xx + y y)= k1(x cosθi + y sinθi )

• pour l’onde réfléchie :

pr (M , t ) = Pr e j (ωt−kr ·−−→OM)

avec kr = k1er et k1 =ω/c1

d’où kr ·−−→OM = k1er ·−−→OM = k1(−cosθr x + sinθr y) · (xx + y y)= k1(−x cosθr + y sinθr )

• pour l’onde transmise :

62

pt (M , t ) = Pt e j (ωt−kt ·−−→OM)

avec kt = k2et et k2 =ω/c2

d’où kt ·−−→OM = k2et ·−−→OM = k2(cosθt x + sinθt y) · (xx + y y)= k2(x cosθt + y sinθt )

d’où les pressions incidente, réfléchie et transmise :

pi (M , t ) = Pi e j (ωt−k1(x cosθi+y sinθi ))

pr (M , t ) = Pr e j (ωt−k1(−x cosθr +y sinθr ))

pt (M , t ) = Pt e j (ωt−k2(x cosθt+y sinθt ))

Notons qu’on peut maintenant définir les quantités suivantes :

• Le coefficient de réflexion en pression : R = Pr

Pi

• Le coefficient de transmission en pression : T = Pt

Pi

• Le coefficient de réflexion en intensité : RI = Ir

Ii

• Le coefficient de transmission en intensité : TI = It

Ii

• Le coefficient de réflexion en puissance : RΠ = Wr

Wi

• Le coefficient de transmission en puissance : TΠ = Wt

Wi

où W désigne ici la puissance moyenne.

Il est important de remarquer que dans le cas d’une onde progressive, plane ou sphériqueen champ lointain on a :

I = 1

ρ0c

|P |22

car p = ρ0cu et I = p ·u donc I = p2/(ρ0c).

Ainsi RI = Ir

Ii= |Pr |2

2ρ1c1× 2ρ1c1

|Pi |2= |Pr |2

|Pi |2= |R|2

et TI = It

Ii= |Pt |2

2ρ2c2× 2ρ1c1

|Pi |2= ρ1c1

ρ2c2

|Pt |2|Pi |2

= ρ1c1

ρ2c2|T |2

Par ailleurs :

W = SI où s est une surface. Donc :

63

• RΠ = Ir Sr

Ii Si= Ir

Ii= RI si on considère que Sr = Si c’est-à-dire qu’on s’intéresse à la

puissance réfléchie par une surface égale à la surface sur laquelle l’onde incidente vientimpacter.

• TΠ = It St

Ii Si= It

Ii= TI si on considère que St = Si c’est-à-dire qu’on s’intéresse à la puis-

sance transmise à travers une surface égale à la surface sur laquelle l’onde incidentevient impacter.

D’autre part, le phénomène de réflexion / transition est conservatif puisque nous négligeonspar hypothèse toute forme de dissipation. L’énergie initiale, imposée par l’onde incidente seconserve mais est pour partie réfléchie et pour partie transmise dans le second milieu. On a :

Energie incidente = Energie réfléchie + Energie transmise

relation qui est encore valable pour les puissances :

Puissance onde incidente = Puissance onde réfléchie + Puissance onde transmise

soit :

Wi = Wr +Wt qu’on peut écrire Ii Si = Ir Sr + It St

soit encore, pour une même surface de contrôle (Si = Sr = St = S) :

Ii = Ir + It

Il vient immédiatement, en divisant par Ii :

Ir

Ii+ It

Ii= 1 d’où :

RI +TI = 1 (4.2)

De même, il est clair que, quelles que soient les surfaces Si , Sr et St considérées :

RΠ+TΠ = 1 (4.3)

compte-tenu de la conservation de l’énergie.

4.1.2 Conditions à l’interfaceIl est naturel d’examiner en détail l’évolution des phénomènes physiques sur l’interface

entre les deux milieux 1⃝ et 2⃝ (c’est-à-dire en x = 0) puisque c’est en ce lieu que l’ondeacoustique incidente est en partie réfléchie et transmise.

Il y a évidemment des conditions dynamiques que les champs acoustiques incident, réfléchiet transmis doivent respecter sur l’interface.

64

En premier lieu, l’application du principe fondamental de la dynamique (ou encore un bilande quantité de mouvement) sur l’interface sans masse considérée ici conduit immédiatement àla continuité des pressions au passage de cette interface infiniment mince, et donc, du point devue mathématique, à l’égalité des pressions de part et d’autre de l’interface :

p1(x = 0, t ) = p2(x = 0, t ), ∀y (4.4)

En second lieu, les conditions cinématiques imposent également la continuité des vitessesacoustiques normales (suivant la normale n, c’est-à-dire suivant x dans le cas présent) aupassage de cette interface infiniment mince 1. En désignant par u(

−−→OM , t ) la composante suivant

x (suivant n) de la vitesse acoustique, cette condition s’écrit mathématiquement :

u1(x = 0, t ) = u2(x = 0, t ), ∀y (4.5)

Conséquences des conditions à l’interface (x = 0, y quelconque)

La continuité de la pression acoustique à l’interface impose l’égalité des pressions de chaquecôté de l’interface (éq. (4.4). Dans le milieu 1, la pression acoustique instantanée s’exprimecomme la somme des pressions acoustiques incidente et réfléchie instantanées :

p1(−−→OM , t ) = pi (

−−→OM , t )+pr (

−−→OM , t )

Dans le milieu 2, la pression acoustique se réduit évidemment à celle de l’onde transmise :

p2(−−→OM , t ) = pt (

−−→OM , t )

A l’interface, on a (x = 0, y quelconque) :

pi (x = 0, t )+pr (x = 0, t ) = pt (x = 0, t ),∀y (4.6)

Compte tenue de (4.1), ceci conduit à :

Pi e− j k1 sinθi y +Pr e− j k1 sinθt y = Pt e− j k2 sinθt y

Il est à noter que cette relation doit être vérifiée pour toute valeur de y , et, de ce fait, doit doncêtre indépendante de y . Ceci impose que :

e− j k1 sinθi y = e− j k1 sinθt y = e− j k2 sinθt y (4.7)

d’oùk1 sinθi = k1 sinθr = k2 sinθt (4.8)

La double égalité (4.8) implique immédiatement les deux relations suivantes :

• k1 sinθi = k1 sinθr

Or, comme θi ∈ [0,π/2] et θr ∈ [0,π/2], on a :

θr = θi (4.9)

1. cette condition peut également être vue comme la conséquence d’un bilan de masse sur l’interface.

65

• k1 sinθi = k2 sinθt d’où :

ω

c1sinθi = ω

c2sinθt , soit :

sinθi

c1= sinθt

c2(4.10)

C’est la loi de Snell-Descartes.

Par ailleurs, la double égalité (4.7) implique également, pour ce qui est des amplitudes desondes acoustiques :

Pi +Pr = Pt (4.11)

La continuité des composantes normales de la vitesse acoustique à l’interface conduit à larelation 4.5. Comme pour la pression, la vitesse acoustique instantanée dans le milieu 1⃝ s’ex-prime comme la somme des vitesses acoustiques incidentes et réfléchies instantanées, la vi-tesse acoustique dans le milieu 2⃝ se réduisant quant à elle à la vitesse acoustique de l’ondetransmise. A l’interface, et en projection suivant la normale, on a :

ui (x = 0, t )+ur (x = 0, t ) = ut (x = 0, t ), ∀y (4.12)

Chaque onde - incidente, réfléchie ou transmise - prise individuellement est évidemmentprogressive 2 (elle transporte de l’énergie acoustique), et se propage dans la direction e. Lavitesse acoustique de chaque onde est v , et en désignant par v l’amplitude (complexe) desfluctuations de vitesse acoustique, on a naturellement :

v =V (−−→OM , t )e ;

(V (

−−→OM , t ) = V e j (ωt−k·−−→OM)

)(4.13)

d’où, en projection sur x, et comme v = ux + v y :

u = v · x =V e · x

ce qui conduit à, pour les trois ondes considérées :ui (

−−→OM , t ) = Vi cosθi e j (ωt−k1·−−→OM)

ur (−−→OM , t ) = −Vr cosθr e j (ωt−k1·−−→OM)

ut (−−→OM , t ) = Vt cosθt e j (ωt−k2·−−→OM)

(4.14)

(le signe - indique bien que l’onde réfléchie se propage suivant −x)

L’équation (4.12) conduit ainsi immédiatement à :

Vi cosθi −Vr cosθr =Vt cosθt (4.15)

Cette dernière relation peut simplement être exprimée en termes de l’amplitude des fluc-tuations de pression (P) plutôt qu’à l’aide de l’amplitude des fluctuations de vitesse (v), en

2. à la différence du champ acoustique du côté 1, qui, dans sa globalité, n’est pas purement progressif puisqu’ilrésulte de la superposition d’un champ incident et d’un champ réfléchi, indiquant de fait qu’une part de l’énergietotale est propagée alors que l’autre est stationnaire.

66

vue notamment de sa combinaison avec (4.11). Comme chaque onde prise individuellementest progressive dans la direction e, on a de façon générale :

p(−−→OM , t ) = ρ c v · e

soit p(−−→OM , t ) = ρ c V (

−−→OM , t )

soit encore, pour les amplitudes complexes :

P = ρ c V

L’équation (4.15) s’écrit donc :

Pi

ρ1c1cosθi − Pr

ρ1c1cosθr = Pt

ρ2c2cosθi (4.16)

Comme θi = θr d’après l’équation (4.9), on a :

Pi −Pr = ρ1c1

ρ2c2

cosθt

cosθiPt sous réserve que cosθi = 0.

On peut donc en déduire les coefficients de réflexion et de transmission en pression R et T(avec R = Pr /Pi et T = Pt /Pi ). L’équation (4.11) conduit à :

1+R = T

et l’équation (4.16) à :

1−R = ρ1c1

ρ2c2

cosθt

cosθiT

d’où les formules :

T = 2

1+ ρ2c2

ρ1c1

cosθi

cosθt

(4.17)

et

R =1− ρ1c1

ρ2c2

cosθt

cosθi

1+ ρ1c1

ρ2c2

cosθt

cosθi

(4.18)

avec

cos2θt = 1− sin2θt = 1−(

c2

c1

)2

sin2θi (4.19)

67

4.1.3 Quelques conséquences• 1er cas : la vitesse du son dans le milieu 1 est plus élevée que dans le milieu 2.

• 2ème cas : la vitesse du son dans le milieu 2 est plus élevée que dans le milieu 1.

68

4.1.4 Réflexion et transmission en incidence normaleCoefficients de réflexion et de transmission en intensité et en puissance

Cas particuliers de milieux d’impédances très différentes. Définition de la nature desfrontières.

• 1er cas : interface air-eau

frontière rigide

• 2ème cas : interface eau-air

frontière molle

69

4.2 Impédance acoustique de paroi - Réflexion et absorptionDans la partie précédente, nous avons examiné les conditions de réflexion et de transmis-

sion à l’interface de deux milieux d’impédances caractéristiques réelles, où notamment l’ondepouvait se propager librement et sans atténuation au-delà de l’interface (dans le milieu 2⃝).

Un cas extrêmement important en pratique se doit d’être examiné : c’est celui pour le-quel la paroi (ou le milieux 2⃝) est constituée d’un matériau absorbant, donc tel qu’une partiede l’énergie acoustique (celle qui n’est pas réfléchie) est absorbée (dissipée) au cours de sapropagation dans le matériau (c’est-à-dire dans le milieu 2⃝).

Dans ce cas, plutôt que de chercher à déterminer les propriétés de l’onde transmise et sonatténuation au cours de sa propagation, il est beaucoup plus judicieux de représenter l’influencede cette paroi (c’est-à-dire du milieu 2⃝) en termes de l’impédance qu’elle présente au champincident au niveau de l’interface, la valeur de l’impédance devant évidemment rendre comptedes propriétés d’absorption que possède cette paroi.

Par ailleurs, nous nous limiterons volontairement ici à l’examen des propriétés de réflexionet d’absorption des matériaux dits à réaction localisée. Ce sont des matériaux tels que lesondes sont supposées ne pouvoir s’y propager que dans la direction normale à leur surface.Cette hypothèse a avant tout l’avantage de conduire à des formalismes simples et elle estreprésentative de la réalité pour certains types de parois absorbantes (parois constituées decellules cloisonnées). Evidemment, pour les matériaux absorbants plus courants que sont lesmousses ou les laines de roche ou de verre, les ondes acoustique peuvent a priori se propagerdans toutes les directions, et l’hypothèse ne tient plus (matériaux à réaction non localisée).Toutefois, tant que l’onde incidente est normale, la propagation se fait uniquement selon cettenormale dans le matériau absorbant, et l’hypothèse de matériaux à réaction localisée restevalable.

4.2.1 Impédance acoustique de paroiCompte tenu de ce que nous venons de voir, la situation à traiter est la suivante :

L’impédance acoustique de paroi Z est définie par le rapport entre la pression acoustiqueet la composante normale de la vitesse acoustique, sur la paroi (c’est-à-dire en x = 0).

Z = p

u

∣∣∣par oi

(4.20)

70

où u = v · n avec v la vitesse acoustique. Z est a priori complexe et s’écrit donc :

Z = R + jχ (4.21)

où R est la résistance et χ la réactance. Il est usuel de rapporter ces grandeurs à l’impédancecaractéristique du milieu ρ0c. On définit alors l’impédance réduite z :

z = Z

ρ0c= r + j x

où r et x sont respectivement la résistance et la réactance réduites. Notons enfin que l’inverse

de l’impédance est l’admittance notée Y : Y = 1

Z(l’admittance réduite est donnée par

y = 1/z).

Remarque concernant l’impédance acoustique

Il faut noter que l’impédance acoustique telle que nous venons de la définir est conforme àla définition de l’impédance caractéristique d’un milieu, définie par le rapport p/u. Toutefois,l’analogie avec l’électricité devrait plutôt nous pousser à définir la quantité Z = p

Sucomme

étant l’impédance acoustique, la quantité Z = p

udéfinissant alors quant à elle une impédance

acoustique spécifique. C’est effectivement la quantité Z = p

Suqui est utilisée dès lors qu’on

traite de la propagation des ondes dans les conduites (la propagation s’effectuant à travers lasection du conduit, la valeur de celle-ci y joue évidemment un rôle fondamental).

Par ailleurs, rappelons la définition de l’impédance mécanique Zmeca = ||F ||||V || , qui part du

même concept mais qui est encore différente dans son formalisme

(||F ||||V || ≈

pS

u= p

u= p

Su

).

Unité : l’unité d’impédance est le Rayl, du nom de Lord Rayleigh (fin du XIXème siècle).Sa dimension est M .L−2.T −1.

Cas particuliers d’impédance

De façon similaire à ce qui a été fait dans la partie précédente, on peut définir :

• Une paroi parfaitement rigide : la vitesse normale est nulle à la paroi, et l’impédance estinfinie : Z −→∞ (Y −→ 0), et p = 0.

• Une paroi parfaitement molle : la pression (acoustique) est nulle à la paroi, et l’impé-dance est nulle : Z −→ 0 (Y −→∞), et un = 0.

• Une paroi adaptée : cette condition est réalisée dès que Z = ρ0c. Le champ incidentn’est donc pas modifié puisque la relation p = ρ0c u continue d’être vérifiée. On parled’adaptation d’impédance ou encore de transparence acoustique.

71

4.2.2 Coefficient de réflexion et impédance de paroiDe façon similaire à ce qui a été vu précédemment lors de l’étude de la réflexion à l’inter-

face de deux milieux d’impédances caractéristiques différentes, on peut déterminer le coeffi-cient de réflexion R en fonction de l’impédance de paroi Z .

Notons que nous nous limitons volontairement ici au cas de l’incidence normale, la généra-lisation à l’incidence oblique ne posant aucune difficulté de principe (on pourra s’inspirer pourcela des développements effectués au début du chapitre, en se rappellant ici qu’on considère laparoi comme étant constituée d’un matériau à réaction localisée, tel que la vitesse acoustiquedans le matériau est portée par la normal : ut = ut x ; θt = 0 )

La situation est donc la suivante :

La pression totale dans le milieu de propagation est la somme des pressions des ondesincidente et transmise :

p(x, t ) = pi (x, t )+pr (x, t ) = Pi e j (ωt−kx) +Pr e j (ωt+kx)

Le coefficient de réflexion en pression R(x) est le rapport des pressions réfléchie et transmise(à l’abscisse x) :

R(x) = pr (x, t )

pi (x, t )= Pr e j (ωt+kx)

Pi e j (ωt−kx)= Pr

Pie2 j kx = |R(x)|e jφ

à la paroi, c’est-à-dire en x = 0, on a :

R(x = 0) = R = Pr

Pi

d’oùp(x, t ) = Pi

(e− j kx +Re+ j kx

)e jωt (4.22)

De même, la vitesse acoustique est la somme des vitesses des ondes acoustiques incidenteet réfléchie :

u(x, t ) = ui (x, t )+ur (x, t )

ce qui, contenu de ce que :pi (x, t ) =+ρ0c ui (x, t ) (onde se propageant suivant x > 0)

72

et pr (x, t ) =−ρ0c ur (x, t ) (onde se propageant suivant x < 0)conduit immédiatement à 3 :

u(x, t ) = pi (x, t )

ρ0c− pr (x, t )

ρ0c= Pi

ρ0c

(e− j kx −Re+ j kx

)e jωt (4.23)

En effectuant le rapport entre les relations (4.22) et (4.23), il vient :

p(x, t )

u(x, t )= ρ0c

e− j kx +Re+ j kx

e− j kx −Re+ j kx(4.24)

qui n’est autre que l’impédance à l’abscisse x. En x = 0, cette quantité n’est autre que l’impé-dance de la paroi (relation (4.20))

Z = p

u

∣∣∣par oi

= ρ0c1+R

1−R

d’où les relations entre l’impédance et le coefficient de réflexion en pression :

Z

ρ0c= 1+R

1−R(4.25)

ou encore

R =Z

ρ0c−1

Z

ρ0c+1

= Z −ρ0c

Z +ρ0c(4.26)

Remarque : Dans le cas de l’incidence oblique, compte-tenu de ce qu’on considère desmatériaux à réaction localisée, donc tels que θt = 0, il vient, en posant θi = θ = θr : (cfrelation (4.19)

Z

ρ0ccosθ = 1+R

1−Ret R =

Z

ρ0ccosθ−1

Z

ρ0ccosθ+1

Conséquences : on peut là encore examiner quelques conséquences pour des cas particu-liers d’impédances.

• La paroi est infiniment rigide : la vitesse normale est nulle sur la paroi (il existe unnoeud de vitesse sur la paroi), l’impédance Z est infinie, et le coefficient de réflexionvaut R = 1. La réflexion est donc totale. Par ailleurs, le module |R| de R vaut 1 et saphase φ est nulle, indiquant qu’onde incidente et onde réfléchie sont en phase.

• La paroi est parfaitement molle : la pression est nulle et donc l’impédance également(mais u = 0), et le coefficient de réflexion vaut R = −1. La réflexion est donc là encoretotale sur une paroi parfaitement molle. Le module |R| de R vaut encore 1 mais sa phaseφ vaut π, indiquant qu’onde incidente et onde réfléchie sont en opposition de phase.

3. Notons qu’on peut obtenir cette relation en s’abstenant de poser pi ,r (x, t ) =±ρ0c ui ,r (x, t ) et en appliquantdirectement l’équation d’Euler entre p(x, t ) et u(x, t ) :

∂u

∂t=− 1

ρ0

∂p

∂x<=> jωu(x, t ) =− 1

ρ0

∂p

∂x<=> u(x, t ) = j Pi

ρ0ω

(− j ke− j kx + j kRe+ j kx

)e jωt

73

• L’impédance est adaptée, Z vaut ρ0c et il n’y a pas de réflexion. Puisque l’énergie réflé-chie est nulle, c’est donc que toute l’énergie incidente est transmise dans la paroi et doncabsorbée par celle-ci. Nous allons effectivement vérifier par la suite que dans ce cas lecoefficient d’absorption vaut 1.

4.2.3 Coefficient d’absorption et impédance de paroiLe paragraphe précédent a permis d’établir les relations entre le coefficient de réflexion

en pression et l’impédance de paroi. Il est maintenant logique de chercher à déterminer laproportion de l’énergie incidente absorbée et dissipée par la paroi, c’est-à-dire de définir lecoefficient d’absorption en fonction de l’impédance 4

Pour cela, déterminons les intensités acoustiques incidente et réfléchie. Celles-ci peuventêtre déterminées à partir de la relation :

I = 1

2ℜ[

p.u∗]pour ce qui est des moyennes temporelles.

Il vient, pour l’intensité incidente :

Ii = 1

2ℜ

[Pi e j (ωt−kx).u∗

i e− j (ωt−kx)]

= 1

2ℜ

[Pi P∗

i

ρ0c

]= 1

2ρ0c

∣∣P 2i

∣∣et pour l’intensité réfléchie :

Ir = 1

2ℜ

[Pr e j (ωt+kx).u∗

r e− j (ωt+kx)]

= 1

2ρ0cℜ[−Pr P∗

r

]= −1

2ρ0cℜ[

Pi R.(Pi R)∗]

= −1

2ρ0cℜ[

Pi P∗i R R∗]= −1

2ρ0cℜ

[Pi P∗

i |R|e jφ|R|e− jφ]

= −1

2ρ0c|R|2 ℜ[

Pi P∗i

]= −1

2ρ0c|R|2|Pi |2

On constate que l’intensité acoustique, incidente comme réfléchie, est indépendante de x.Ceci est naturel car l’énergie doit se conserver d’une section à l’autre.

On remarque par ailleurs que :Ir =−|R|2 Ii

indiquant bien que |R|2 définit le coefficient de réflexion en intensité RI (cf. § 4.1.1 de cechapitre), le signe moins (−) indiquant que l’intensité réfléchie se propage dans la directionopposée à l’intensité incidente.

4. similaire en fait au coefficient de transmission en intensité TI défini précédemment.

74

Comme le système est conservatif et qu’il n’y a pas de perte d’énergie, la différence entrel’intensité incidente et l’intensité réfléchie (en valeur absolue, le signe de la relation précédenten’étant lié qu’aux directions de propagation opposées) n’est autre que l’intensité Ia absorbéepar la paroi :

Ia = Ii −|Ir | = −1−|R|2)Ii = (1−RI )Ii

Par définition, coefficient d’absorption α de la paroi est le rapport entre l’intensité acoustiqueIa absorbée par la paroi et l’intesnité incidente, et vaut :

α= Ia

Ii= 1−RI (4.27)

avec RI = |R|2, où R est défini en fonction de Z par l’équation (4.26).

4.3 Transmission à travers les paroisAprès avoir examiné les conditions de réflexion et de transmission à travers une interface

sans masse, il est maintenant important en pratique de déterminer ces même conditions lorsquela transmission se fait à travers une paroi, c’est-à-dire via deux interfaces.

4.3.1 Réflexion et transmission à travers 2 interfaces séparant 3 milieuxLa situation à considérer est la suivante, où on se limite volontairement au cas de l’inci-

dence normale : une onde incidente se propage dans un milieu 1⃝ d’impédance caractéristiqueρ1c1, traverse un milieu 2⃝ d’impédance caractéristique ρ2c2 et d’épaisseur L, pour ensuiteêtre transmise dans un milieu 3⃝ (ρ3c3).

Il s’agit évidememnt en pratique de déterminer le coefficient de transmission en intensitéTI en fonction des caractéristiques physiques des trois milieux, et de l’épaisseur L de la paroi.Ceci s’effectue de façon tout à fait analogue à ce qui a été vu précédemment, c’est-à-dire enécrivant les continuités des pressions et des vitesses sur les deux interfaces.

On a :• en x = 0 : {

pi (x = 0, t )+pr (x = 0, t ) = pa(x = 0, t )+pb(x = 0, t )ui (x = 0, t )+ur (x = 0, t ) = ua(x = 0, t )+ub(x = 0, t )

(4.28)

75

• en x = L : {pa(x = L, t )+pb(x = L, t ) = pt (x = L, t )ua(x = L, t )+ub(x = L, t ) = ut (x = L, t )

(4.29)

En utilisant le formalisme de la notation complexe, c’est-à-dire en posant :pi (x, t ) = Pi e j (ωt−k1x) ; pa(x, t ) = Pa e j (ωt−k2x) ; pt (x, t ) = Pt e j (ωt−k3x) ;

pr (x, t ) = Pr e j (ωt+k1x) ; pb(x, t ) = Pb e j (ωt+k2x)

et compte-tenu du fait que l’équation d’Euler linéarisée impose

ui = +pi

ρ1c1; ua = +pa

ρ2c2; ut = +pt

ρ3c3;

ur = −pr

ρ1c1; ub = −pb

ρ2c2

on obtient, après quelques développements mathématiques issus de l’application des rela-tions (4.28) et (4.29), les expressions de R = Pr /Pi , T = Pt /Pi et bien sûr de RI et TI .

Dans le cas particulier où ρ3c3 = ρ1c1 = ρ2c2 (exemple : paroi séparant deux pièces où il ya de l’air), on obtient :

• pour le coefficient de réflexion en pression R :

R =j sin(k2L)

(ρ1c1

ρ2c2− ρ2c2

ρ1c1

)2 cos(k2L)+ j sin(k2L)

(ρ1c1

ρ2c2− ρ2c2

ρ1c1

)• Comme RI = |R|2 et que RI +TI = 1,

TI = 1

cos2(k2L)+ 1

4sin2(k2L)

(ρ1c1

ρ2c2+ ρ2c2

ρ1c1

)2

L’énergie acoustique transmise est donc fonction des impédances caractéristiques des mi-lieux de propagation, mais également de la fréquence et de l’épaisseur de la paroi, via le para-mètre kL (qu’on appelle la fréquence réduite). En effet, lorsque kL = 0+nπ , cos2(kL) = 1et sin2(kL) = 0 d’où TI = 1, ce qui signifie que toute l’énergie est transmise, et lorsquekL =π/2+nπ , cos2(kL) = 0 et sin2(kL) = 1 , on obtient la valeur minimale de TI :

T mi nI = 1

1

4

(ρ1c1

ρ2c2+ ρ2c2

ρ1c1

)2

76

4.3.2 Loi de masseUne autre approche pour évaluer la puissance acoustique transmise à travers une paroi en

fonction de la puissance acoustique incidente consiste à considérer que la paroi se comportecomme un solide indéformable (au sein duquel il n’y a alors pas de propagation d’onde), sansbien évidemment négliger pour autant son inertie. Cette paroi possède une masse surfaciquems telle que ms = m/S où m est la masse de la paroi sur une surface de référence S. Lasituation est la suivante :

La paroi étant supposée indéformable, on a évidemment la même vitesse ut sur l’interfaceentre le milieu 1⃝ et la paroi, et entre la paroi et le milieu 2⃝. La vitesse est obtenue à partir del’application du principe fondamental sur un élément de paroi de surface S :

[−pt + (pi +pr )]

S = mdut

dt(4.30)

soit−pt + (pi +pr ) = m

S

dut

dt= ms

dut

dt

En supposant la paroi relativement mince, telle que pi (x = −L

2, t ) ≈ pi (x = 0, t ) ; pr (x =

−L

2, t ) ≈ pr (x = 0, t ) ; et pt (x = L

2, t ) ≈ pt (x = 0, t ) , et en considérant un régime d’oscillation

harmonique, il vient immédiatement :

Pt −Pi −Pr =− jω ms Ut (4.31)

Par ailleurs, la continuité de la vitesse impose (en x = 0 ≈±L/2) :

Ui +Ur =Ut (4.32)

et compte tenu de : Ui = Pi

ρ0c; Ui = −Pt

ρ0c; Ui = Pt

ρ0con a :

Pi +Pr =(1+ jω

ms

ρ0c

)Pt soit 1+R =

(1+ jω

ms

ρ0c

)T

77

Pi −Pr = Pt soit 1−R = T .

d’où

T = 2

2+ jωms

ρ0c

(4.33)

et

R =jω

ms

ρ0c

2+ jωms

ρ0c

(4.34)

Il est aisé d’en déduire les expressions des coefficients de réflexion et de transmission enintensité RI et TI (avec RI = |R|2 et TI = 1−RI ), et donc l’indice d’affaiblissement acoustiqued’une paroi soumise à une onde plane incidente.

En effet, si P i est la puissance de l’onde acoustique incidente, et P t celle de l’onde trans-mise, l’indice d’affaiblissement acoustique est la différence entre les niveaux de puissanceassociés à ces deux ondes et vaut donc :

R = 10log

[P i

P ref

]−10log

[P t

P ref

]= 10log

[P i

P t

]= −10log

[P t

P i

]=−10log[TI ] = 10log

[1

TI

]

avec TI = 4

4+(ωms

ρ0c

)2

soit

R = 10log

[1+ 1

4

(ωms

ρ0c

)2]= 10log

[1+

(π f ms

ρ0c

)2]donc pour une paroi relativement lourde et à haute fréquence :

R ≈ 20log

(π f ms

ρ0c

)(4.35)

C’est la loi de masse.

78

Chapitre 5

Ondes sonores dans les tuyaux

Sommaire5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Impédance en un point d’un tuyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

79

80

5.1 IntroductionOn considère ici la propagation dans les tuyaux. Pour simplifier, on va considérer un tuyau

de section circulaire et on suppose que la propagation s’effectue par ondes planes. Ceci néces-site que la longueur d’onde soit grande devant le rayon, c’est-à-dire :

λ>> R

Applications

– mesure de l’impédance de matériau (Tube de Kundt)

– instruments de musique (fréquences suffisamment faibles)

– circuits aéroliques (ventilation)

Si λ≈ R ou λ< R, on observe des ondes à 2 ou 3 dimensions. C’est le domaine des modestransverses en conduites, les problèmes de cavités, d’acoustique des salles, etc.

5.2 Impédance en un point d’un tuyauOn suppose qu’on connait Z en un point, et on cherche Z en un autre point.

La pression acoustique s’écrit :

p = A e j (ωt−k X ) +B e j (ωt+k X ) (somme d’une onde aller et d’une onde retour)

où on a posé X =−L+x , de sorte qu’en x = 0 on a X =−L et qu’en x = L on a X = 0 .

Ainsi : p = A e j (ωt+k(L−x)) +B e j (ωt−k(L−x))

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La vitesse acoustique est déduite de l’équation d’Euler linéarisée :

ρ0∂u

∂t=−∂p

∂x

ρ0 jω u = j k[

A e j (ωt+k(L−x)) −B e j (ωt−k(L−x))]

Comme ω= kc0 il vient :

u = 1

ρ0c0

[A e j (ωt+k(L−x)) −B e j (ωt−k(L−x))

]Ainsi, l’impédance en toute abscisse est donnée par :

Z = p

u= A e j k(L−x) +B e− j k(L−x)

A e j k(L−x) −B e− j k(L−x)ρ0c0

En x = L on obtient Z (x = L) = ZL = A+B

A−Bρ0c0

Par suite, il vient :

Z = ρ0c0[A+B ]cosk(L−x)+ [A−B ] j sink(L−x)

[A−B ]cosk(L−x)+ j [A+B ]sink(L−x)

Z = ρ0c0

ZL

ρ0c0cosk(L−x)+ j sink(L−x)

cosk(L−x)+ jZL

ρ0c0sink(L−x)

Soit, si cosk(L−x) = 0 :

Z = ρ0c0

ZL

ρ0c0+ j tank(L−x)

1+ jZL

ρ0c0tank(L−x)

(5.1)

C’est la formule qui donne Z (x) en fonction de ZL.

On peut en déduire l’impédance en x = 0 :

Z (x = 0) = Z0 = ρ0c0

ZL

ρ0c0+ j tankL

1+ jZL

ρ0c0tankL

Cas particuliers

• si ZL = ρ0c0 alors Z (x) = ρ0c0 ∀x c’est ce qu’on appelle l’impédance itérative.

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• si le tuyau est fermé rigidement en x = L

Dans ce cas, u(x = L) = 0 donc ZL est infinie. Alors

Z (x) ≈ ρ0c01

j tank(L−x)

on cherche les fréquences qui sont telles que la colonne d’air contenu dans le tuyaurentre en résonnance. C’est le cas lorsque l’impédance d’entrée est nulle, c’est-à-dire si :

Z0 = ρ0c01

j tankL= 0

donc si kL = (2n−1)π/2 avec n un nombre entier positif ou nul. Cette condition corres-pond à L = (2n −1)λ/4.

• si le tuyau est ouvert en x = L

Dans ce cas, on peut supposer que l’extérieur impose la pression, c’est-à-dire p(x = L) =p0 = patm

On obtient alors ZL = 0 et Z0 = ρ0c0 j tankL

Si l’extrémité en x = 0 est également ouverte, une résonnance est obtenue si Z0 = 0,c’est-à-dire si tankL = 0.

Cette condition est vérifiée quand L = nλ/2 avec n un nombre entier strictement positif.

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