Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes Partie I : Propagation guidée 31- Titre

Guillaume VILLEMAUD - Cours de Propagation et Lignes

Partie I : Propagation guidée

1- Titre


Plan du cours2- Plan

Partie I : Propagation guidée Domaine des lignes de transmission

équations des télégraphistesrégime en régime sinusoïdalligne fermée sur une chargeutilisation de l’abaque de Smithparamètres Ssystèmes d’adaptationrégime impulsionnel


3- Généralités

I. LIGNES DE TRANSMISSION (Généralités)


I.1. Phénomène de propagation

Ligne ouverte

I.1.a. La ligne bifilaire et l’expérience de Hertz

4- Propag

100 MHz

Lorsque L >> , les lois classiques de l’électricité ne s’appliquent plus.Ce phénomène a été mis en évidence par Hertz ligne bifilaire.


I.1. Phénomène de propagationI.1.b. Courants stationnaires ou propagés

5- Quasi-stationnaire

symétrie

M

M’Système symétrique : courants à la même distance égaux et opposés

si L << , courants constants quel que soit x (à to donné) stationnaire (vitesse )si L >> , variations de courant suivant x propagation

x


I.2. Équation des télégraphistesI.2.a. Courants quasi-stationnaire

6- Quasi-stationnaire

Si on décompose une ligne de grande longueur en segments de longueur dx (telle que dx<< ), on peut alors considérer des courants quasi-stationnaires.

dx

i

v


I.2.b. Théorie de Kirchhoff

7- Kirchhoff

Ldx Rdx

GdxCdxSchéma équivalent

d’un tronçon de ligne

I.2. Équation des télégraphistes


Quelques exemples

8- Kirchhoff exemple

Petits calculs :

Calculez la longueur d’onde pour le courant à 50Hz, puis pour les fréquences vocales entre 300Hz et 4kHz.

Enfin calculez la longueur d’onde pour une fréquence GSM à 900MHz.

Prise en compte d’un modèle à constantes localisées dépend de la longueur de la ligne voulue et de la fréquence de l’application


Ldx RdxGdx Cdx


I.2.c. Paramètres primaires d’une ligne

9- Paramètres primaires

Ldx Rdx

GdxCdx

i(x) i(x+dx)

v(x) v(x+dx)

Pertes dans les conducteursL : inductance linéique H/mR : résistance linéique /m

Pertes dans les diélectriquesG : conductance linéique -1/m

C : capacité linéique F/m


v(x)


Conventions de notations

10- Notation

ligne de transmissionÉmetteur Récepteurx

y=l-x

Grandeurs physiques instantanées : v(x,t), i(x,t), z(x,t)v(y,t), i(y,t), z(y,t)



Calcul sur une ligne entière

11- Notation


Quand on crée une différence de potentiel à l’entrée d’une ligne (branchement d’une source), on peut alors calculer

les courants et tensions induits sur chaque tronçon élémentaire pour en déduire la propagation du signal.


I.2.d Equations variationnelles (tension)

12- tension

Ldx Rdx

GdxCdxv(x) v(x+dx)

dxx

vv(x)dx)v(x

dx)v(xi(x)Rdxt

iLdxv(x)

t

iLi(x)R

x

v

Chute de tension sur dx


or

i(x) i(x+dx)


Equations variationnelles (courant)

13- courant

Ldx Rdx

Gdx Cdx

i(x) i(x+dx)

v(x) v(x+dx)

dxx

ii(x)dx)i(x

dx)i(xv(x)Gdxt

vCdxi(x)

t

vC)v(G

x

i

xor

Chute de courant sur dx



Equations des télégraphistes

14- Télégraphistes

0iRGt

iLGRC

t

iLC

x

i

0vRGt

vLGRC

t

vLC

x

v

2

2

2

2

2

2

2

2

t

vC)v(G

x

i

xt

iLi(x)R

x

v



I.3. Solutions de l’équationI.3.a. Solutions pour une ligne sans pertes

15- solutions

Ldx Rdx

GdxCdx

Ligne sans pertes : pas de résistance ni de conductance

0t

iLC

x

i

0t

vLC

x

v

2

2

2

2

2

2

2

2

Nouvelles équations :


16- i+ i-

On pose LC

u1

0t

iLC

x

i

0t

vLC

x

v

2

2

2

2

2

2

2

2

Solutions particulières : f(t-x/u) et g(t+x/u)

(dimension d ’une vitesse)

Le courant peut donc être vu comme la superposition d ’un de deux courants i+ et i-

i+ se propage dans le sens des x positifs avec la vitesse de phase courant incident

i- se propage dans le sens des x négatifs avec la vitesse de phase courant réfléchi

LCu

1

LCu

1

I.3. Solutions de l’équation


17- solution

)()(.C

1

x

i

C

1

t

v

ux

td

dg

ux

td

df

u

On intègre par rapport à t

)()()(.C

1x

u

xtg

u

xtf

uv

Fonction arbitraire de x

t

iL

x

v

Or Cela donne alors 0)( x

)()(

u

xtg

u

xtf

C

Lvd’où



18- Impédance caract

On a bien alors

i = i+ + i- = f(t- x/u) + g(t+ x/u)

et v = v+ + v- = Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) )

avec C

LZc

C

L

i

v

C

L

i

v

Zc est l ’impédance caractéristique de la ligne

Remarque : si on est dans le vide,

smcLC

u /10.31 8



I.4. Exemples de lignes réelles

19- Rappels

Introduction

Rappels

Perméabilité et permittivité du vide

µ0= 410-7 H.m -1 0= 10-9/(36) F.m -1

Vitesse de la lumière dans le vide

18

00

.10.31 smc


20- Bifilaire

I.4.a. La ligne bifilaire


D

dtan

0r

1171065.5

2/3

25.0

2

m

dD

mmdmm

Exemple

r

Caractéristiques


21- Utilisation

Utilisation


- Liaisons interurbaines entre centraux téléphoniques (signaux multiplexés => HF).- Liaisons abonné-commutateur : signal vocal- DSL (Digital Suscriber Line)

câbles de cuivre, diamètre d= 0,5 à 2mmdiélectrique (polyéthylène ou papier sec).


22- Paramètres

Paramètres primaires


Pertes actives dans le diélectrique négligeables Diélectrique :

f

BF :R1>>L1

HF :R1<<L1

Conducteur :

1kHz 10kHz 100kHz 1MHz 10MHz1

10

100

1k

10k

100k

/km


L1

R1


23- Paramètres HF

Paramètres primaires en HF


mHd

DL /

2ln0

1

mCG /)tan( 111

mF

dD

C /2

ln1

m

Dd

d

fR /

1

12

01


24- Paramètres BF

Paramètres primaires en BF


mHLLL iHF /1

mCG /tan 111

mF

dD

C /2

ln1

mfRR MHz /)0(11

0,1mH/km

11 100 kmR kmmHL /6.01

111 .0 kmG kmµFC /051.01


25- Coax

I.4.b. La ligne coaxiale

Caractéristiques

d1 d2

Conducteur extérieur (tresse)

Conducteur intérieur

Isolant, r



26- Utilisation

Utilisation


Liaisons interurbaines entre centraux téléphoniques (signaux multiplexés => HF).

câbles 2.6/9.5mm (diélectrique=air) :

f=4MHz, 960 voiesf=12MHz, 2700 voiesf=60MHz, 10800 voies

fmin

160kHz1.2MHz16.8MHz

1 voie=4kHz


27- Paramètres



mdd

fR /

11

2211

01

mH

d

dL /ln

2 1

201

m

dd

tgfG /

ln

4 1

1

2

21

mF

dd

C /

ln

2

1

2

1

En général : 1=2. mdd

fR /

11

21

01


28- Réflexion

I.5.a. Ligne fermée sur une charge

I.5. Réflexion, transmission

Quand on cherche à transmettre un signal à une charge, la tension créée par le générateur se propage le long de la ligne. On

calcule la propagation de proche en proche sur des tronçons élémentaire jusqu’à atteindre la charge.

Là, les conditions imposées au courant et à la tension changent (discontinuité), créant une tension et un courant réfléchis.

Zr


29- Réflexion

Calcul d’une ligne fermée sur Zr


Zr

i+

i-

V

On a vu que V = Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) )Quand on place une charge, on a alors Vr = Zr( i+ + i- )

soit V = Zr ( f(t- x/u) + g(t+ x/u) )


30- Réflexion

I.5.b. Coefficient de réflexion


D’où Zc( f(t- x/u) - g(t+ x/u) ) = Zr ( f(t- x/u) + g(t+ x/u) )

On a alors

i

i

ZcZr

ZcZr

ul

tf

ul

tg

v

v

)(

)(

RZcZr

ZcZr

Coefficient de réflexion


31- Transmission

I.5.c. Coefficient de transmission


v

vv

v

v

incidentetension

Zràtransmisetension

T

Coefficient de transmissionRT 1


32- Cas particulier

I.5.d. Cas particuliers


Zr = Zc0

ZcZr

ZcZrR

Pas d’onde réfléchie, cas d’une onde progressiveLigne adaptée, toute la puissance est transmise à la charge

Zr = 1

ZcZr

ZcZrR

Toute la puissance est réfléchie

Ligne infiniment longue pas d’onde réfléchie, R=0

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