Adhérence-Frottement du 03/12/10 1/18 V.S.

AAddhhéérreennccee--FFrrootttteemmeenntt

TTTDDD nnn°°°111 ::: RRRooouuueee aaavvvaaannnttt mmmoootttrrriiiccceee

Q1.Compléter le schéma de manière à ce que la roue soit en équilibre.

La roue est soumise à l'action du support (0) qui est une liaison pivot. Dans le plan, cette

pivot fait apparaître une résultante qui doit équilibrer l'action du sol en J1. Comme dans la

pivot il n'y a pas de moment, le couple moteur est équilibré par l'action du sol.

J1

N1

T1

O1

C1

I1

R01

Q2.Donner l'expression de C1 en fonction de T1, N1 e et r.

Une équation de moment en O1 suivant z donne : 0111 eNrTC soit : 111 eNrTC

Q3.On pose : r

ek ,

1

11

N

T et on appelle

r

C11 la force de traction. Exprimer 1 en

fonction de N1, 1 et k.

111 Nk

Q4.A partir de quelle valeur de 1 n'y a-t-il plus adhérence ?

Il n'y a plus adhérence quand la vitesse de glissement devient non nulle. On a alors :

.

1

11 frottf

N

T

TTTDDD nnn°°°222

P

A

P

C B

G2 G1

Q1.L'ensemble étant symétrique, montrer par une analyse graphique de {1+2} puis de {1} que l'action de contact en A est horizontale.

On isole (1+2) qui est soumis à trois forces concourantes en I (inconnu) sur la verticale

passant par A. Sur ce schéma sont représentées deux configurations avec le point I sous A ou

au dessus de A.

Adhérence-Frottement du 03/12/10 2/18 V.S.

2P

A

C B

I?

P

A

B J

Puis on isole (1) soumis à trois forces concourantes en J. On constate que le point J ne peut

être sous le point A (impossibilité de fermer le triangle ou dynamique des forces).

On isole (1) soumis à trois forces concourantes en J avec le point J au dessus du point A.

P

A

B

J?

Pour refermer le triangle des forces, il faut que le point de concours soit sur l'horizontale

passant par A. L'action en A est donc horizontale.

Q2.On considère le système matériel {1}. Déterminer puis calculer la valeur maximale de l'angle pour que l'équilibre soit possible.

P

A

B

L'équilibre impose du bras (1) donne :

0cos2

cossinsincos

0cos

0sin

10101

101

0121

LPLFLF

PF

FX

.

L'équation de moment devient : 0cos2

1coscossinsincos soit :

2

1tantan . On a adhérence pour 3,0tan 0 f , d'où : 8,0tan

Q3.Que devient limite pour un tréteau deux fois plus lourd et deux fois plus haut ?.

La condition d'équilibre est indépendante du poids et de la géométrie du tréteau. Ca ne

change rien !

Adhérence-Frottement du 03/12/10 3/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°333 ::: CCCooommmpppooorrrttteeemmmeeennnttt dddyyynnnaaammmiiiqqquuueee ddd'''uuunnn 444444

I1

I2

G h

L1

L2

z0

z

x0

x

O y

g

Q1.Compléter la figure de calcul proposée. En déduire l'expression des grandeurs : 0xx ,

0xx , zz 0 , yzy ,, 0 et zdt

d

0

.

Q2.Le véhicule étant sur le plat à l'arrêt, déterminer en justifiant, les composantes normales, N1 et N2, des efforts (supposés ponctuels) exercés par le sol sur les roues avant et arrière en fonction de m, g, L1 et L2. On isole le véhicule.

I1 I2

G

h

L1 L2

z

x O y

Le bilan des actions mécaniques extérieures fait apparaître 3 actions représentées par les

torseurs : 1IAVsolT ,

2IARsolT et GVpesT .

Le PFS en I1 par exemple (ou mieux deux équations de moments en I1 et I2) donne trois

équations.

On en déduit : 21

21LL

LmgN

et

21

12LL

LmgN

Le véhicule est maintenant sur le plat en phase de freinage de décélération . Outre les

actions normales, notées N'1 et N'2, les roues (qui ne glissent pas) subissent du sol des actions

tangentielles notées T'1 et T'2. De plus, la voiture subit une force d'inertie représentée par

un glisseur de résultante xmFie en G. L'action aérodynamique est négligée devant les

autres actions mécaniques.

Q3.Rappeler les lois de Coulomb. Donner les torseurs : 1IAVsolT ,

2IARsolT dans la base

zyx en précisant le signe de leurs composantes.

0)1/2,(

Ig (adhérence) 0)1/2,(

Ig (frottement)

0)1/2,(

Ig projeté dans le plan

tangent donne 2 équations

21.21 NfT adh

2121 NfT

0)1/2,(21

IgT

0)1/2,(21 IgT

021 N condition de contact

Adhérence-Frottement du 03/12/10 4/18 V.S.

11

1

1

'

0

...'

I

IAVsol

N

T

T

,

22

2

2

'

.0.

...'

I

IARsol

N

T

T

, N'1, N'2, T'1, T'2>0

Q4.Déterminer en précisant votre démarche les composantes normales, N'1 et N'2 des efforts exercés par le sol sur les roues en fonction de m, g, L1 et L2, h et . On isole le véhicule.

Le bilan des actions mécaniques extérieures fait apparaître 4 actions représentées par les

torseurs : 1IAVsolT ,

2IARsolT , GVieT et

GVpesT .

Le PFS en I1 par exemple (ou mieux deux équations de moments en I1 et I2) donne trois

équations.

hgLLL

mN

2

211' et hgL

LL

mN

1

212'

Q5.En déduire N'1 et N'2 en fonction de N1, N2, m, L1 et L2, h et .

On en déduit : 21

11'LL

hmNN

et

2122'

LL

hmNN

Q6.La grandeur 21 LL

hmN

est appelé transfert d'appui. A quelle condition les roues

arrière du véhicule décollent-elles du sol ?

Les roues arrière décollent du sol si le transfert d'appui 21 LL

hmN

compense l'action

de contact, soit : 0121

2'

hgLLL

mN d'où :

h

gL1 .

Q7.On a : m=2360kg, L1=2,4m, L2=2,5m, h=0,6m. Calculer les valeurs de N1, N2 et du transfert d'appui. Au cas où les roues arrière décollent, que vaut T'1 ? Calculer T'1/N'1. Conclure.

=40 m/s2 N1=11812N, N2=11340N N=N2=11340N T'1=m=92606N T'1/N'1=4 !

Conclusions :

Cette décélération correspond à 4g ce qui est très important. De plus, la Porsche possède

de bonnes suspensions qui absorbent le transfert d'appui.

L'effort de freinage nécessaire pour obtenir cette décélération est :

NmFieT 926064023601' et N'1=23152N. On ne peut trouver un sol suffisamment

adhérent pour avoir un coefficient d'adhérence de 4.

Q8.Compléter le schéma de la roue avant motrice de manière à ce qu'elle soit en équilibre.

e

J1

N1

T1

O1

C1

r

I1

Q9.Expliquer quel phénomène implique le décalage e du point de contact de la roue sur le sol. Frottement de roulement (déformation des surfaces en contact).

Adhérence-Frottement du 03/12/10 5/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°444

a=5m

b=20m

h=30m

F

yC

C

O

Q1.Calculer F et positionner C pour que l'ensemble des forces de pression soit équivalente à F appliquée en E. Quel est le nom donné à C ?

La force pressante exercée en un point M courant est : xdSMpdf avec

yhgMp .

La résultante des forces de pression vaut donc :

xdzdyyhgxdSyhgxdSMpR

lh

ySbSb

barrageeau

00)()(

x

hglx

yhglR

h

barrageeau22

2

0

2

La moment résultant des forces de pression en O vaut :

zdyyhyglxdSyhgyyxdSMpOMM

h

ySbSb

O

barrageeau

0)()(

zh

glzyy

hglM

hO

barrageeau

632

3

0

32

Si les forces de pression sont équivalentes à un glisseur en C, cela signifie que le moment

en C est nul. On a donc : 0 barrageeau

O

barrageeau

C

barrageeau RCOMM

barrageeau

O

barrageeau ROCM . On est en présence d'un problème de division vectorielle,

dont le vecteur OC , appartenant à l'axe yO, est l'inconnue. On a :

2

barrageeau

O

barrageeaubarrageeau

R

MROC

.

yh

hgl

zh

glxh

gl

OC3

2

622

2

32

. Le point trouvé est le centre des poux C.

Adhérence-Frottement du 03/12/10 6/18 V.S.

Q2.Déterminer la position du centre de gravité du barrage puis le poids de ce dernier.

Pour déterminer le centre de gravité du barrage, on peut décomposer ce dernier en deux.

a=5m

b-a=15m

h=30m

O

G1

G2

21 21 OGSOGSOGS 221121 GGG xSxSxSS

2122

GGG hxab

ahxhxab

a

3222

aba

abaax

baG

ba

abbaxG

3

22

. AN : mxG 775

525

De même :

221121 GGG ySySySS 2122

GGG yab

ayyba

3222

habhay

baG

ba

hbayG

3

2. A.N. : myG 12

Q3.Etudier l'équilibre du barrage. Conclure.

On isole le barrage. Le bilan des actions mécaniques extérieures fait apparaître 3 actions

extérieures.

CbarrageeauT ,

GbarragepesanteurT et ?SbarragesolT

En représentant l'action du sol par un glisseur, on peut conclure que ces trois glisseurs

sont concourants en un point I si le barrage est en équilibre. L'action du sol ne peut être sans

frottement.

Q4.Le coefficient de frottement entre le sol et le barrage est f = 0,55. Préciser si le barrage est en équilibre et pourquoi.

L'action du sol sur le barrage a deux composantes, l'une normale qui équilibre le poids du

barrage et l'autre tangentielle qui doit s'opposer à l'action de la pression de l'eau.

Pour que le barrage soit en équilibre, il faut que :

hlba

gfPfNfh

glR badhadhadhbarrageeau22

2 soit :

adh

b

fba

h

A.N. : 55,048,025

12

252500

301000

adhf

Adhérence-Frottement du 03/12/10 7/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°555

Q1.En phase de glissement, calculer les actions de contact en A s'exerçant sur le treuil.

Une équation de moment en O permet d'écrire : 021 RTmgr . En phase de glissement,

on a : fN

T tan

21

21 . On en déduit : NR

mgrT 26021 et N

Rf

mgrN 64621

Q2.Déterminer les actions de contact (0)/(1) dans l'articulation O.

NNPYO

NTXO

NPYO

TXO

114621

26021

021

021

Q3.Que penser du positionnement du frein à sabot, relativement aux efforts dans la liaison (0)/(1) ?

S'il avait été placé symétriquement par rapport à l'axe (A,x), donc en bas, l'action Y0

serait égale à P-N21 donc plus faible alors que XO reste inchangé.

TTTDDD nnn°°°666

TTTDDD nnn°°°777 ::: FFFrrreeeiiinnn éééllleeeccctttrrrooommmaaagggnnnééétttiiiqqquuueee

On donne : fsabot/poulie =0,25 ; en phase de freinage, ftan .

Q1.En isolant {3,3',5}, montrer que les actions B'(2'/3') et B(4/3) ne peuvent pas être horizontales.

Adhérence-Frottement du 03/12/10 8/18 V.S.

F2’3’ inconnue

R05 inconnue

Ptambour

Cmoteur F43 inconnue

On peut raisonner par l’absurde à partir du schéma ci-dessus. Supposons que les actions en

B et B’ soient horizontales. Une équation de moment en O centre du tambour (5) appliquée à

l’ensemble {3,5,3’} isolé suivant l’axe perpendiculaire au plan d’étude montre qu’aucune action

ne crée un moment qui s’oppose à Cmot. L’ensemble n’est donc pas équilibré.

Les actions en B et B’ ne sont donc pas horizontales.

Q2.Déterminer la droite d'action des efforts I(3/5) et I'(3'/5) et montrer que ces actions sont tangentes à un cercle centré en O de rayon R.sin, avec R : rayon du tambour.

F3’5

F35 Cmoteur

Q3.Isoler {1}, {2’} et {4,R,2}. Conclure et déterminer les actions I(3/5) et I'(3'/5).

Q4.Calculer l'action B(R/4) du ressort sur l'armature.

Q5.Calculer les efforts s'exerçant sur les articulations A et A' et celui dans la biellette CC'.

TTTDDD nnn°°°888 ::: TTTaaammmbbbooouuurrr dddeee tttrrreeeuuuiiilll

Adhérence-Frottement du 03/12/10 9/18 V.S.

Q1.Par isolement de l'ensemble {poulie, charge P, câble DF}, déterminer l'action exercée par le câble sur le levier (2) en D.

On commence par isoler la poulie et deux brins de câble.

P/2 P/2

Q2.La charge P=1000 N doit descendre d'un mouvement uniforme. Quel doit être alors l'action de l'électroaimant (E) ?

La charge descend d'un mouvement uniforme. Les équations de la dynamique sont donc les

mêmes que celles de la statique.

On isole le levier (2).

E

N

T

P/2

On isole le levier.

Le bilan des efforts extérieurs fait apparaître quatre efforts (poids du levier négligé

devant les actions de contact).

La réduction des torseurs peut s'effectuer en C par exemple.

Les trois (problème plan) équations de la statique s'écrivent :

02

''

02

0

CDP

IITCINCEE

PEYN

XT

C

C

en appelant I' la projection de I sur la droite (CE).

Adhérence-Frottement du 03/12/10 10/18 V.S.

On en déduit :

CE

CDP

IITCIN

E

PNEY

TX

C

C

2''

2. L'action de l'électro-aimant peut être

déduite en tenant compte du fait que l'on est en phase de glissement. On a alors : NfT

Il vient :

CE

CDP

IIfCINE

2''

Il reste à déterminer la composante normale N exercée par le treuil sur le frein.

On isole le tambour de treuil

Q T

N

P/2

T

P/2

Le bilan des efforts extérieurs fait apparaître cinq efforts.

On ne cherche qu'une inconnue on ne va donc écrire qu'une équation, ne faisant pas

intervenir les inconnues de liaison en K et J. Comme ces deux liaisons en parallèle sont

équivalentes à une liaison pivot, dont le torseur possède un zéro en moment sur l'axe (O,x), on

écrit la seule équation de moment en O projetée sur x.

On a donc : 02

TF RP

RT qui permet d'écrire : F

T

R

RPT

2 et

F

T

R

R

f

PN

2

Finalement, E est déterminée complètement en fonction des données de l'énoncé. En

effet :

CE

CDP

IIfCIR

R

f

P

E F

T

2

''2

.

Adhérence-Frottement du 03/12/10 11/18 V.S.

L'application numérique donne :

NE 7,16

8,0

2,02

100006,05,01,0

3,0

2,0

5,02

1000

L'action exercée par l'électroaimant sur le levier est négative, donc dirigée vers le haut.

Sans action sur l'électro-aimant (panne de courant), le frein est donc effectif. La charge ne

descend pas.

Q3.L'électro-aimant exerce sur le levier un effort vers le haut de valeur E=17N. Déterminer en fonction de x les actions en K et J sur la partie mobile. Tracer les graphes K(x) et J(x).

On isole le tambour de treuil

Q T

N

P/2

T

P/2

Le bilan des efforts extérieurs fait apparaître cinq efforts.

KK

K

K

Z

Y

X

0

0

0

,

JJ

J

Z

Y

0

0

00

,

F

P

00

02/

00

,

G

Q

00

0

00

,

IT

N

0

0

00

On réduit ces torseurs en K

KK

K

K

Z

Y

X

0

0

0

,

KJJ

JJ

KJYZ

KJZY

00

,

K

T

PAKx

P

PR

2/0

02/

2/0

,

KKGQ

Q

0

0

00

,

K

F

KHNT

KHTN

RT

0

Les équations du PFS s'écrivent :

Adhérence-Frottement du 03/12/10 12/18 V.S.

02/

0

02/

0

02/

0

KHNKGQPAKxKJY

KHTKJZ

RTPR

TZZ

NQPYY

X

J

J

FT

JK

JK

K

Il reste à résoudre mais il est tard !

Q4.Faire l'application numérique avec x = 0,1 m.

TTTDDD nnn°°°999

TTTDDD nnn°°°111000 ::: LLLiiimmmiiittteeeuuurrr dddeee cccooouuupppllleee

TTTDDD nnn°°°111111 ::: LLLiiimmmiiittteeeuuurrr dddeee cccooouuupppllleee ààà fffrrriiiccctttiiiooonnn SSSIIIAAAMMM®®® RRRIIINNNGGGSSSPPPAAANNNNNN RRRIIIMMMOOOSSSTTTAAARRRTTTSSS

Coussinet

Faces collées des garnitures (3) et (3’)

Poulie réceptrice (2)

Arbre moteur

Flasque de pression (1’)

Ressort de pression

Arbre plateau (1)

Ecrou

Figure 1 Figure 2

Q1.Le plan fourni sur la figure-1 est extrait d’un catalogue constructeur. Expliquer le rôle joué par l’ensemble {vis à téton, épaulement, vis, rondelle}. Quelle est la liaison réalisée entre le flasque de pression et l’arbre plateau ?

Cet ensemble sert à réaliser l’arrêt axial bilatéral entre l’arbre-moteur et l’arbre-plateau.

Soit on utilise la vis à téton seule, soit une association {épaulement, vis, rondelle}. Les deux

solutions sont ici conjointement dessinées sur le plan afin de montrer les deux possibilités

simultanément.

La liaison entre le flasque de pression et l’arbre plateau est une liaison glissière courte

(rapport L/D=0,5 et transmission du couple par le clavetage) : c’est donc une linéaire

annulaire à doigt.

Q2.La liaison entre l’ensemble {poulie, coussinet} et l’ensemble {arbre plateau, garniture} est réalisée par l’intermédiaire de deux liaisons en parallèle (figure-2). Indiquer la nature de ces deux liaisons puis celle de la liaison équivalente. Justifier.

Deux surfaces fonctionnelles interviennent dans la réalisation de cette liaison : un plan de

contact (appui plan) et un cylindre de contact (linéaire annulaire car rapport L/D faible).

Adhérence-Frottement du 03/12/10 13/18 V.S.

La liaison équivalente est une liaison pivot unilatérale (transmission des efforts axiaux dans

un seul sens) et isostatique (3+2=5 inconnues).

Q3.Donner l'expression du moment transmissible par le limiteur de couple proposé en fonction de l'effort presseur exercé. Enoncer les hypothèses nécessaires à la démonstration de la relation demandée (ne pas redémontrer !).

En supposant le coefficient d'adhérence f(M) et la pression de contact uniformes sur la

surface de contact (Sc), on obtient les expressions de l'effort presseur F et du couple

transmissible CT.

)( 22

INTEXT RRpF et 3

2)( 33

0

INTEXTT RRfpC

En éliminant la pression de contact p entre ces deux expressions, le couple transmissible CT

s'exprime en fonction de l'effort presseur F (relation classique pour n surfaces frottantes) :

FfED

EDnFf

RR

RRnC

INTEXT

INTEXTT

022

33

022

33

)(

)(

3

1

)(

)(

3

2

e

z

O

y

M

e r

Q4.Calculer la valeur de l’effort presseur F exercé par les ressorts pour transmettre un couple de 300mN.

On inverse la relation : FfED

EDnFf

RR

RRnC

INTEXT

INTEXTT

022

33

022

33

)(

)(

3

1

)(

)(

3

2 qui donne :

)(

)(3

)(

)(

2

333

22

0

33

22

0 ED

EDC

nfRR

RRC

nfF T

INTEXT

INTEXTT

Numériquement, il vient : NF i 895713,02,0

13,02,0300

2,02

333

22

min

Q5.Deux écrous ont été vissés à fond. Combien de ressorts sont opérants ? En déduire l’effort presseur que doit exercer chacun d’eux.

Seuls quatre ressorts sont opérants. En effet lorsqu’un écrou est vissé à fond, la rondelle

de pression ne prend plus appui sur l’anneau élastique et le ressort correspondant n’exerce

plus aucun effort de pression.

Un ressort devra donc exercer un effort presseur de NFressort 22394

17913 .

TTTDDD nnn°°°111222

Adhérence-Frottement du 03/12/10 14/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°111333 ::: SSSuuussspppeeennnsssiiiooonnn RRReeennnaaauuulllttt

Question : Le véhicule étant dans une phase de freinage brutal dans le sens de -y, déterminer F et C ainsi que les actions mécaniques dans les liaisons, sauf dans la liaison entre la roue et le porte moyeu. Les roues avant sont à la limite de glissement par rapport à la route. On donne N = 4400N et f=0.9.

On isole {4,3}.

BAME :

H

H

N

TT

0

0

00

40 ,

E

EBiDi

F

T

00

00

0

3 ,

FF

F

F

F

Z

Y

X

T

0

0

0

32 ,

GG

G

G

G

Z

Y

X

T

0

0

0

31

On réduit les torseurs en O

O

H

TN

NT

T

T

400

400

1500

40 ,

O

OBiDi

F

F

F

T

1500

4000

0

3 ,

OFF

FFF

FF

O

YZ

ZXY

YX

T

250

250400

400

32 ,

OGG

GG

G

O

YZ

ZY

X

T

350

350

0

31 avec

100. ; 200. ; 50. 400. ;

200. ; 350. ; 200. ;

150. 150. ; 50. 150.

OA y OB y OC x z

CD y OG x CF x

FE y z GH x z

xTyNzTzNyTzxROH 150400400150400

yzFxFzyxROE BiDi 4001504001502503

xYyXyZzYzZyYxXzxROF FFFFFFF 40040025025040025032

yZzYzZyYxXxROG GGGGG 35035035031

Le PFS en O s'écrit :

0350250150400

0350250400400400

0400150

0

0

00

GF

GFF

F

GF

GF

GF

YYFT

ZZXFN

YT

ZZN

YYT

XXF

Adhérence-Frottement du 03/12/10 15/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°111444 ::: BBBuuutttéééeee dddeee fffiiixxxaaatttiiiooonnn dddeee sssééécccuuurrriiitttééé pppooouuurrr ssskkkiii

TTTDDD nnn°°°111555

TTTDDD nnn°°°111666

TTTDDD nnn°°°111777

TTTDDD nnn°°°111888

TTTDDD nnn°°°111999

Le téléski, de masse 15kg et centre de gravité G, est constitué d'une perche articulée en A

sur une attache ; cette dernière est en liaison pivot-glissant (guidage de diamètre d = 16mm,

de longueur L = 60mm et de coefficient de frottement f = 0,15) par rapport au câble incliné

de 60° par rapport à l'horizontale (Figure-2).

30°

a/ Suspente de ski en descente (Figure-3)

Q1.Isoler la suspente et montrer que l'action du câble sur l'attache ne peut être réduite à une seule force de contact. Déterminer les actions de contact en M et en N puis montrer qu'il y a arc-boutement de l'attache sur le câble.

On isole l'attache:

A

Adhérence-Frottement du 03/12/10 16/18 V.S.

En descente, s'il n'y a qu'une seule action de contact entre le câble et l'attache, l ne pêut

y avoir équilibre.

Q2.Déterminer la pente minimale pour laquelle on peut avoir équilibre de la suspente.

b/ Suspente de ski en montée (Figures-2/4)

A

En montée l'articulation se trouve au dessus de la douille.

La partie de la suspente située au dessus de la chaîne (AB) fait un angle de 73° avec le câble

et la partie inférieure un angle de 20° par rapport au câble.

Q3.Sachant que l'action exercée par le skieur est F = 640 N, refaire l'étude précédente.

TTTDDD nnn°°°222000

TTTDDD nnn°°°222111

Adhérence-Frottement du 03/12/10 17/18 V.S.

TTTDDD nnn°°°222222

Moyeu (M), arbre (A) rouleau (R), fadh=0,25.

Q1.En isolant le rouleau (R) puis l'arbre (A), indiquer dans quel sens la roue libre est embrayée quand l'arbre est moteur. Dans quel sens est-elle embrayée quand le moyeu (M) est moteur ?

O

O'

I

J

F

F

a

O

O' F

H

Cm

J

O

O'

I

F

Cm

T

N

Le rouleau est soumis à deux forces.

Une équation de moment appliquée à l'arbre autour de (O,z) montre le sens du couple

moteur (trigonométrique) qui permet d'équilibrer l'arbre.

Lorsque le moyeu (M) est moteur, la roue libre est embrayée dans le sens horaire.

Q2.Exprimer l'angle par son cosinus en fonction de D, d et a. En déduire que :

aD

daD

2

22

2tan

.

D

d

a

O

O'

I

H

J

On remarque que :

2

2

'

'cos

dD

da

OO

HO

soit : dD

da

2cos .

On a :

cos1

cos1

2tan2

soit :

aD

daD

2

22

2tan2

Adhérence-Frottement du 03/12/10 18/18 V.S.

Q3.En isolant le rouleau (R) et en lui écrivant une équation de résultante projetée sur la perpendiculaire à IJ, montrer que la relation traduisant l'équilibre de la roue libre peut

s'écrire : .2

tan adhf

.

O

O'

I

J

F

F

u

Le triangle OIJ est isocèle avec 2

)'()'(

JIOIJO

Une équation de résultante appliquée au rouleau (R) sur u donne :

02

cos2

sin2

cos2

sin

IIJJ TNTN soit : 02

cos2

sin

IJIJ TTNN

Une équation de moment en O' appliquée au rouleau (R) permet de montrer TI=TJ=T donc

NI=NJ=N.

On en déduit : 02

cos2

sin

TN soit : N

T

2tan

. Comme le coefficient d'adhérence est

le même au contact arbre-rouleau qu'au contact moyeu-rouleau, on a : .tan adhfNT .

Finalement : .2

tan adhf

(qui est la condition de coincement d'un cône).

On peut remarquer qu'il s'agit de coincement et non d'arc-boutement puisqu'un couple

moteur placé dans le bon sens, suffit à rompre l'équilibre.

TTTDDD nnn°°°222333

TTTDDD nnn°°°222444